Funciones Elementales - InET - Curso IB Septiembre 2012

7/23/2019 Funciones Elementales - InET - Curso IB Septiembre 2012

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Colec c io l e in : LAS C I ENC IAS NATURALES Y LA MATEM L A S I E N I A S N A T U R A L E S Y L A M A T E MT

Distribucin de carcter gr

ADVERT

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deben ser descartadas o consideradas, en este c


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a u t o r i d a d e s

PRESIDENTE DE LANACINDra. Cristina Fernndez de Kirchner

MINISTRO DEEDUCACINDr. Alberto E. Sileoni

SECRETARIA DEEDUCACINProf. Mara Ins Abrile de Vollmer

DIRECTORAEJECUTIVA DELINSTITUTONACIONAL DEEDUCACINTECNOLGICALic. Mara Rosa Almandoz

DIRECTORNACIONAL DELCENTRONACIONAL DEEDUCACINTECNOLGICALic. Juan Manuel Kirschenbaum

DIRECTORNACIONAL DEEDUCACINTCNICOPROFESIONAL YOCUPACIONALIng. Roberto Daz

Ministerio de Educacin.Instituto Nacional de Educacin Tecnolgica.Saavedra 789. C1229ACE.Ciudad Autnoma de Buenos Aires.Repblica Argentina.2010


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Bocco, MnicaFunciones elementales para construir modelos matemticos / MnicaBocco; dirigido por Juan Manuel Kirschenbaum.- 1a ed. - Buenos Aires: Ministerio de Educacin de la Nacin. InstitutoNacional de Educacin Tecnolgica, 2010.216 p.: il.; 24x19 cm. (Las ciencias naturales y la matemtica / JuanManuel Kirschenbaum.)

ISBN 978-950-00-0758-0

1. Matemtica.2. Enseanza Media.I. Kirschenbaum, Juan Manuel, dir.II. Ttulo

CDD 510.712

Fecha de catalogacin: 11/03/2010

Impreso en Artes Grficas Rioplatense S. A., Corrales 1393 (C1437GLE),Buenos Aires, Argentina.

Tirada de esta edicin: 100.000 ejemplares

Coleccin Las Ciencias Naturales y la Matemtica.Director de la Coleccin: Juan Manuel KirschenbaumCoordinadora general de la Coleccin: Hayde Noceti.

Queda hecho el depsito que previene la ley N 11.723. Todos los de-rechos reservados por el Ministerio de Educacin - Instituto Nacional de

Educacin Tecnolgica.

La reproduccin total o parcial, en forma idntica o modificada por cual-quier medio mecnico o electrnico incluyendo fotocopia, grabacin ocualquier sistema de almacenamiento y recuperacin de informacin noautorizada en forma expresa por el editor, viola derechos reservados.

Industria Argentina

ISBN 978-950-00-0758-0

Director de la Coleccin:Lic. Juan Manuel KirschenbaumCoordinadora general y acadmica

de la Coleccin:Prof. Ing. Hayde Noceti

Diseo didctico y correccin de estilo:Lic. Mara Ins Narvaja

Ing. Alejandra SantosCoordinacin y produccin grfica:

Toms AhumadaDiseo grfico:

Carolina MacedraIlustraciones:

Diego Gonzalo FerreyroFederico Timerman

Retoques fotogrficos:Roberto Sobrado

Diseo de tapa:Toms Ahumada

Administracin:Cristina Caratozzolo

Nstor HergenretherColaboracin:

Tc. Op. en Psic. Soc. Cecilia L. VazquezDra. Stella Maris Quiroga

Nuestro agradecimiento al personaldel Centro Nacional de Educacin

Tecnolgica por su colaboracin.


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La Autora

Mnica Bocco es Profesora y Licenciada en Matemtica.Universidad Nacional de Ro Cuarto.Magister en Demografa. Universidad Nacional de Cr-doba.Profesora Asociada (por concurso) en la Universidad Na-cional de Crdoba (1986-2008).Coordinadora del Dpto. de Matemtica y docente en laFacultad de Ciencias Agropecuarias - Universidad Nacio-nal de Crdoba.Investigadora en temas de matemtica aplicada y de la di-

dctica de la matemtica.Autora de textos de Anlisis Matemtico y MatemticaElemental.Autora y coautora de numerosos trabajos cientficos pu-blicados en Revistas Internacionales y Nacionales, en elrea de la matemtica aplicada y en didctica de la mate-mtica.Ponente en numerosos Congresos y Reuniones Naciona-les e Internacionales.

Espero que este libro sea de utilidad para el proceso de aprendizaje en

el rea de la matemtica aplicada a la construccin de modelos. Agra-dezco a todos aquellos que me han ayudado en las sucesivas etapas deeste proyecto y, en lo personal, mi gratitud a mis ms grandes afectos:Virginia, Pablo y Walter.

Mnica

Magister Mnica Bocco


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Captulo 1: Modelos Matemticos

Modelo 8 Modelo matemtico 9

Modelos matemticos para resolver situaciones cotidianas. 11

Esquema conceptual de funciones y tipos de funciones 16

Captulo 2: Funciones Reales

Fenmenos, situaciones, grficas y frmulas 18

Relacin 20

Funcin 21

Representacin de funciones 24

Funciones crecientes y decrecientes 35

Operaciones con funciones 37 Ejercicios 43

Captulo 3: Funciones Lineales

Funciones lineales 50

Grficos de funciones lineales 55

Parmetros de funciones lineales 57

Frmula de una funcin lineal 60

Pendiente de una recta que pasa por dos puntos conocidos 63

Interseccin de la recta con el eje de las abscisas 66

Construccin de un modelo lineal 67

Ejercicios 68

Captulo 4: Funciones Cuadrticas

Funciones cuadrticas 72

Grficos de funciones cuadrticas 76

Tres casos posibles en la interseccin de una parbola y el eje de las abscisas 91

Construccin de un modelo cuadrtico 93

Ejercicios 94

Captulo 5: Funciones Exponenciales

Funcin exponencial 98 Grficos de funciones exponenciales 106

Propiedades de la funcin exponencial 111

Transformaciones de la funcin exponencial 112

Funciones exponenciales particulares 115

Modelo de crecimiento poblacional 116

ndice


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Introduccin al estudio de la Fsica

Funcin logstica 119

Aplicaciones a la economa:el clculo del inters compuesto en forma continua 121

Construccin de un modelo exponencial 124

Ejercicios 125

Captulo 6: Funciones Logartmicas

Funcin logartmica: 130

Exponencial y logartmica: funciones inversas 132

Grficos de funciones logartmicas 134

Propiedades de la funcin logartmica 135

Funciones logartmicas particulares 137

Modelo de clculo de pH en qumica 138

Propiedades de la funcin logaritmo 139

Cambio de base de un logaritmo 144

Escalas logartmicas 146

Construccin de un modelo logartmico 148

Ejercicios 149

Captulo 7: Funciones Trigonomtricas

Funcin trigonomtrica 152

Funciones seno y coseno 159

Grfico de las funciones seno y coseno 160

Relacin fundamental 168 Funcin tangente 169

Grfico de las funcin tangente 170

Funciones trigonomtricas recprocas 175

Funciones trigonomtricas inversas 179

Movimiento armnico simple 181

Funciones trigonomtricas para ngulos agudos de un tringulo rectngulo 184

Teorema del seno 191

Teorema del coseno 194

Construccin de un modelo trigonomtrico 199

Ejercicios 200

Captulo 8: Resultados de los ejercicios 204

Eplogo 216


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8 f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s p a r a c o n s t r u i r m o d e l o s m a t e m t i c o s

Muchas veces, en casa o en el colegio, en el transporte, en la ruta, en un comercio, enlas vacaciones, nos surgen preguntas como stas:

Cul es el volumen de la naranja que comeremos en el postre?Para dar respuesta a esta pregunta y poder estimar el volumen dela naranja en general, comenzamos con suponer que la misma esuna esfera. Estamos representado la naranja, es decir, construyen-do un modelo de naranja!

Podremos ganar la lotera si compramos un nico nmero? Para cal-cular las posibilidades de ganar debemos considerar todos los nme-ros posibles e imitar las extracciones del bolillero cuando se saca elnmero ganador. Estamos representando la forma en que la proba-

bilidad acta en el juego!

Qu rutas debo tomar para llegar a Mar del Plata viajando la menorcantidad de kilmetros posible? Para resolver mi problema puedoconsultar un mapa, y ubicando mi localidad de origen y la ciudadde Mar del Plata, sumar los kilmetros que aparecen en el mapa delas rutas que las unen. En el mapa se han representado con puntoslas localidades y con lneas las rutas y los nmeros indican la longi-tud... Esta representacin es un modelo de la geografa real!

La matemtica, que muchos describen como "el lenguaje del universo", nos otorga

la posibilidad de describir, calcular y predecir el comportamiento del mundo quenos rodea, y desde luego dar respuesta a stas y otras miles de preguntas.

La representacin de nuestra realidad, de forma simplificada y de diferentes manerasque nos ayuden a comprender su comportamiento, se realiza a travs de un modelo.

Los modelos constituyen la base para estudiar y entender problemas propios de muchasreas: economa, ingeniera, medicina, qumica, fsica, psicologa, etc.

1. Modelos matemticos

Modelo

Un modelo es una representacin grfica, esquemtica o analtica de una realidad, que sirve

para organizar y comunicar de forma clara los elementos que la conforman y sus relaciones.


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m o d e l o s m a t e m t i c o s

Un mapa es un modelo de la superficie de la Tierra.

Un modelo o una modelo es una persona que posa para pinto-res o fotgrafos o exhibe una coleccin de ropa.

Un circuito electrnico que describe una fuente de voltaje es unmodelo esquemtico.

Las rplicas de aviones, automviles, barcos, e incluso de mue-cos de superhroes, pero en una escala mucho menor, son mode-los de los mismos.

Maquetas y planos de edificios, centros comerciales, casas ocomplejos de oficinas son modelos que se usan para ver exacta-mente como se ver la "estructura real" cuando se construya.

Un modelo verbal es una narracin con palabras que describe unpaisaje o una compleja descripcin de un negocio (relata y esta-blece el escenario actual de la empresa, las metas y objetivos aseguir, etc.).

En muchas ocasiones es de gran inters no slo representar lasituacin sino el conocimiento de lo que ocurrir en las mismas, cuando las variablesinvolucradas evolucionen. Aquellas representaciones en las que se explicitan las relacio-nes entre las variables mediante frmulas, ecuaciones y uso de nmeros en general sedenominan modelos matemticos.

Para estudiar un sistema, un modelo matemtico comienza con la identificacin de losaspectos principales o determinantes del sistema y los caracteriza a travs de las expre-siones matemticas.

La idea en la construccin es encontrar un equilibrio entre la simplicidad y una repro-duccin del comportamiento que permita comprender, analizar y predecir, al cambiarel valor de la o las variables que lo describen, la respuesta del sistema en su conjunto.

El proceso de construccin de un modelo matemtico podra describirse en cuatro etapas:

Etapa 1. Observar el mundo real

Es un primer momento, debemos observar y analizar los componentes de la situacin-pro-blema real, lo que permitir seleccionar aquellas caractersticas relevantes de los aspectos a

Modelo matemtico

Un modelo matemtico es la representacin simplificada de la realidad, mediante el uso defunciones que describen su comportamiento, o de ecuaciones que representan sus relaciones.


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analizar, seleccionar el conjunto de variables que sintetizan el comportamiento del proble-ma, identificando las variables externas al mismo.

Por ejemplo: cuando se va a realizar un primer modelo para describir la trayectoria de unobjeto que es arrojado desde cierta altura, obviamente debemos tener en cuenta la accinde la gravedad, pero se podra obviar en el comienzo, los efectos de la resistencia del aire.En cambio, si realizamos un modelo del ascenso de un avin, la accin del aire no se puede

dejar de considerar.

Etapa 2. Descripcin coloquial del modelo preliminar

Una vez cumplida la observacin se elabora el modelo preliminar en el que debemosexplicitar, de manera clara y simplificada, la relacin matemtica que vincula a las varia-bles presentes en la situacin-problema. A partir de esta formulacin preliminar proce-demos a relevar la informacin que permita analizar la viabilidad de las decisiones aimplementar: uso de frmulas conocidas, realizacin de nuevas ecuaciones o funcionesque describan el problema, etc.

Por ejemplo: en el caso del modelo para describir la trayectoria de un objeto que es arro-jado desde cierta altura, debemos describir la situacin considerando valores de la varia-ble tiempo, partiendo de cero para el momento en que se arroja. Si modelizamos los gas-tos de produccin de una empresa deberemos determinar todos los costos iniciales fijos.

Etapa 3. Modelo matemtico

Utilizando las herramientas matemticas: definiciones, algoritmos, propiedades y teo-remas debemos construir las expresiones matemticas: funciones, ecuaciones, inecua-ciones, etc. que relacionan las variables que describen la situacin-problema, esto es:realizar el modelo.

Por ejemplo: un modelo matemtico para describir la distancia recorrida (d) por unobjeto pesado que es arrojado en cada libre desde cierta altura en cada tiempo (t) estrepresentado por la funcin:

dondeges la aceleracin constante determinada por la gravedad en la superficie terrestre(aproximadamenteg= 9,8 m/s2), y el objeto carece de velocidad inicial.

Etapa 4. Resultados

A partir de los valores medidos para las variables que estn presentes en el modelo debe-mos realizar el clculo con el modelo construido. Estos resultados deben contrastarse,evaluarse e interpretarse considerando los valores estimados u observados en la realidad.Esta etapa brinda la posibilidad de decidir la bondad del modelo desarrollado y permi-te un nuevo ajuste para mejor representacin de la realidad.


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Como prueba del modelo, y an antes de contrastar el mismo con la realidad, debemosconsiderar cuestiones como las siguientes: son razonables las hiptesis?, son correctas lasmedidas de las variables?, se contradicen entre s las ecuaciones?, existe una nica fun-cin que describe la situacin?, proporcionan las soluciones una respuesta al problema?

Esquemticamente:

A continuacin plantearemos, a modo introductorio, distintas situaciones problemticasque se pueden resolver mediante la construccin de modelos matemticos.

Situacin-Problema 1. Caminar rpido.

Supongamos que una persona est esperando un mnibus en la parada de una lnea de microsy decide cambiarse a la de otra lnea, y que cuando est caminando a la nueva parada ve acer-case el mnibus; entonces, comienza a caminar ms rpido y cada vez ms rpido.

Cuando llega a una determinada velocidad de caminata, digamos que recorri 2 metros encada segundo de tiempo, se da cuenta que necesita comenzar a correr. Tal vez, por el pesoque lleva o el calzado que usa, decide no correr, sino caminar ms rpido. Cuando su velo-cidad corresponde a recorrer 3 metros por cada segundo de tiempo, siente que no puedecaminar ms rpido.

Las dos velocidades alcanzadas: de 2 m/s y de 3 m/s son propias de una persona adul-ta, de contextura normal. Los pasos o la medida del pie estn limitando las velocida-des? Podr alcanzar, sin correr, una velocidad de caminata mayor? La matemticapuede auxiliar para comprender esta situacin?

Para responder a las anteriores preguntas podemos construir un modelo matemtico delcuerpo humano, que permita representar qu ocurre cuando se mueve a diferentes velo-

Modelos matemticos para resolversituaciones cotidianas


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cidades. Eso puede parecer una tarea de enormes proporciones, debido a que el funcio-namiento del cuerpo humano es muy complejo: una pierna tiene aproximadamente 30huesos y un nmero mayor de msculos. No obstante, se pueden hacer algunas senci-llas operaciones matemticas que representen nuestro movimiento al caminar.

En primer lugar, pensemos cmo caminamos: caminar significa que un pie se apoya enel suelo antes que el otro pie se levante. Por otra parte, mientras un pie est en el suelo,

la rodilla de la misma pierna se encuentra ms o menos en lnea recta con el pie. Amedida que caminamos, nuestra cabeza se inclina hacia arriba y hacia abajo. Debido aesto, el centro de gravedad del cuerpo se encuentra entre las articulaciones de las cade-ras, un poco ms arriba de stas.

Las ecuaciones que representan este modelo involucran los conceptos de funciones yecuaciones cuadrticas y trigonomtricas que estudiaremos en los captulos siguientes ysu representacin es:

donde vq es la velocidad del caminante que se maximizar,ges la aceleracin de la gra-vedad, y las restantesvariables se puedenobservar en el esquemadel grfico 1.1 de unapersona caminando:

Situacin-Problema 2. Suerte azar o coincidencia?

En un diario apareci recientemente el siguiente titular:

En realidad, la noticia describe un acontecimiento muy raro: tres hermanos nacidos enel mismo da?, es tan improbable este acontecimiento?, cmo podemos comprobar sieste evento es realmente sorprendente?

Una familia tiene tres hijos. Todos ellosnacieron el 31 de diciembre.

1 R. McNeill Alexander es profesor de zoologa y realiz investigaciones sobre el movimiento humano y animal. Para ampliar

la construccin del modelo que representa la caminata consultar: http://plus.maths.org/issue13/features/walking/index.html

Basado en "Modelling, step by step" (R. McNeill Alexander, 2001)1.

Grfico 1.1


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Para estas situaciones, nuevamente los modelos matemticos aparecen otra vez paraayudarnos.

Supongamos que el nacimiento de un beb en una familia tiene igual probabilidadde producirse en cualquier da durante todo el ao. Entonces, el primer nio puedenacer en cualquier da, pero la posibilidad de que el segundo nazca el mismo da ser1 en 365 das posibles, es decir 1/365 (supongamos que los aos no son bisiestos).

Y la posibilidad de que el tercer hermano nazca el mismo da que el segundo es otravez de . Pero entonces, a fin de vincular las tres fechas de nacimiento, observe-mos que la oportunidad de que coincidan los tres cumpleaos ser de de , esdecir .

Esta cuenta indica que hay 1 posibilidad en 133.225 que los tres hermanos hayan naci-do el 31 de diciembre (o cualquier da coincidente del ao).

Ahora bien, en Argentina y segn el Instituto Nacional de Estadsticas y Censos(INDEC2) hay 6.515.115 familias en diferentes tipos de unin. Si slo medio milln deestas familias estn formadas por una pareja y tres o ms hijos a su cargo, cabe esperar que

haya al menos 3 familias argentinas con la posibilidad de tener tres de todos los niosnacidos el mismo da ya que: 3,75 (es decir un nmero an mayor que 3).As que la familia del titular tiene pocas probabilidades de ser nica con esta condicin.Generalizar estas ideas para modelizar la "aparicin de eventos raros" es relativamentefcil.

Situacin-Problema 3. La propagacin del SIDA

El Sndrome de inmunodeficiencia adquirida(SIDA) es, en la actualidad, una epidemiamundial. Esta enfermedad se descubri aproximadamente en 1981, en principio como una

neumona de orgenes desconocidos en EE. UU, aunque hay indicios de casos en laRepblica del Congo (1959). En la actualidad, se reconoce como origen del agente viral(HIV-1) a poblaciones de chimpancs de frica ecuatorial.

Como en las grandes epidemias que azotaron al mundo, cuando se conoci, la reaccinde la poblacin fue ms bien irracional y se estigmatizaron grupos especficos de lapoblacin. Pero con el paso del tiempo, el cambio de actitud de la sociedad, y el des-cubrimiento de distintas fuentes de contagio se comprendi que la enfermedad afectapor igual a todo el mundo.

Las Naciones Unidas, en su programa sobre SIDA, estimaron que han muerto ms de

25 millones de personas desde que fue reconocida esta enfermedad en 1981, constitu-yndose as en una de las ms destructivas epidemias registrada a nivel mundial.

En los modelos matemticos para epidemias, entre ellas la del SIDA, se parte del supuestode que los individuos se encuentran en uno de varios estados posibles:

2 Familias completas por rango de la unin y origen de la reincidencia, segn legalidad de la unin en www.indec.gov.ar


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individuos susceptibles (S)

individuos infectados (I)

individuos recuperados o removidos (R).

La relacin entre los mismos sigue el esquema:

La velocidad a la que ocurren los dos procesos indicados por las flechas determina cmoser la evolucin de la infeccin. En general, en el rea de la medicina y biologa sedenomina tasa reproductivade la infeccin, e indica el nmero de infecciones produci-da por cada persona enferma.

Cuando la tasa reproductiva es mayor que 1, ocurre una epidemia. En cambio, si es menor

que 1 a medida que la infeccin se va propagando, la cantidad de susceptibles disminuye,entonces a la infeccin se le hace cada vez ms difcil propagarse y empieza a decaer.

Si se aplican medidas adecuadas, por ahora en el caso del SIDA la nica y fundamen-tal es la prevencin, lo que sera deseable que suceda es que, a medida que la epidemiase propaga en la poblacin se fueran "consumiendo" susceptibles. Entonces, como laepidemia necesita susceptibles para propagarse, a medida que hay menos de estos indi-viduos se le hace cada vez ms difcil propagarse. As, llegar un da en que el nmerode infectados comience a decrecer (tasa reproductiva menor que 1) y, finalmente, seextinguir la epidemia.

Para predecir la evolucin de esta epidemia, y poder aunar esfuerzosde cientficos de distintas reas (medicina, qumica, laboratorios,etc.), se debe lograr que la curva modelo que explique la transferen-cia del SIDA, se comporte segn el grfico que corresponde a la tasareproductiva menor que uno.

La matemtica ha permitido disear los modelos para describir y ana-lizar cada una de las curvas, la lnea verde de individuos susceptibles,la lnea roja de individuos infectados y la lnea azul de individuosrecuperados o removidos por muerte.

Situacin-Problema 4. Viento sol humedad?

Tormentas de nieve ocurridas en Bariloche, inundaciones de verano enlos ros de las sierras de Crdoba, y un huracn en Florida (EE. UU)han mostrado las consecuencias que produce en la actualidad el cam-bio climtico. Estas situaciones pueden ser previsibles, y su pronsti-

S I RContagio Recuperacin

o muerte

Grfico 1.2


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co exacto es necesario no slo para proteger bienes o formaciones naturales, sino lo msimportante para salvar vidas.

El servicio meteorolgico nacional (www.smn.gov.ar) utiliza modelos matemticos parala previsin del clima, esta metodologa es usada en todas las estaciones meteorolgicasmundiales. Las observaciones de temperatura, humedad, velocidad del viento, nubes ylas precipitaciones de todo el mundo se actualizan a lo largo del da. Esta informacin se

alimenta en modelos matemticos que predicen el comportamiento de las variablesmeteorolgicas en las prximas horas o das.

Con los adelantos tecnolgicos ocurridos en las ltimas dcadas, hoy el servicio mete-orolgico puede trabajar con datos de observacin que provienen de satlites que obser-van la Tierra. Entonces se puede calcular mejor el estado actual de la atmsfera, y porlo tanto, mejorar la forma en que los modelos describen los procesos fsicos de las con-diciones meteorolgicas, como por ejemplo, el ciclo de formacin de las nubes.

Situacin-Problema 5. Ayudamos a repartir las golosinas.

Un repartidor de productos para kioscos debe recorrer un determinado nmero dekioscos con el propsito de entregar la mercadera y, finalmente, volver al depsito areponerla. Cul es el mejor recorrido?

La primera respuesta que se nos ocurre es: el ms corto, con el objetivo de minimizarel gasto en combustible, pero no sera razonable, para poder visitar en el mismo da elmayor nmero de negocios, elegir el ms rpido?

Grficamente, si debe visitar cuatro kioscos algunos de los posibles recorridos serancomo se muestra en el grfico 1.3.

Y deberamos seguir representan-do, porque hay muchas ms posi-bilidades.

Si el repartidor debe llevar la mer-cadera a 10 kioscos, tiene un totalde caminos posibles de ms de3.600.000! para elegir. Es imposi-ble dibujar todos los recorridospara quedarse con el ptimo.

Entonces, necesitamos buscar unmtodo ms "inteligente" para llegara la solucin. Ms an, si el nmero de lugares por donde debera pasar a entregar lospedidos fuese creciendo. Para ello, debemos representar los kioscos como nodos y lasrutas como lados de un grafo; es decir, construir un modelo, que con la ayuda de unacomputadora, podamos resolver en forma exacta y tiempo mnimo.

Grfico 1.3


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Situacin-Problema 6. La miel cmo son los panales donde se elabora?

Ya en la antigedad, los romanos se preguntaban por qu las abejas construan sus col-menas utilizando compartimentos hexagonales? En Grecia, un matemtico Papus de

Alejandra (284-305), tambin se cuestionaba lo mismo. Sin embargo, slo siglos des-pus se encontr la respuesta a esta pregunta, cuando se realiz la representacin defiguras geomtricas y el clculo de las relaciones entre permetros y reas.

Las abejas, al guardar la miel, necesitan hacerlo en celdas individuales dentro de la col-mena. Para aprovechar el espacio al mximo, las distribuyen de modo que formen unmosaico sin huecos ni salientes, lo que pueden lograr, nicamente, con tringulos, cua-drados o hexgonos. Por qu eligieron entonces estos ltimos, si a simple vista son msdifciles de construir?

Para llegar a una solucin se utiliz el concepto matemtico que afirma: entre todos lospolgonos regulares de similar permetro, encierran ms rea aquellos que tienen mayornmero de lados. Aplicando las relaciones, se modelizaron todas las posibles figurasgeomtricas y se encontr que un crculo es la figura que encierra el espacio ms gran-

de en un contorno o permetro determinado, porque su nmero de lados es infinito.Si las celdas de una colmena fueran cilindros, al apoyarse unas con otras, la presin lasredistribuira y hara que adopten forma hexagonal, que representa la manera ms efecti-va de subdividir el plano, utilizando el menor permetro posible. De esta forma, gastan-do la mnima cantidad de cera, consiguen mayor superficie para guardar su miel. Queficientes resultaron ser estos insectos!

Las situaciones relatadas anteriormente necesitan, para su resolucin, la formulacin demodelos que las representen. A partir de ellos se pueden obtener las mejores respuestas.En este libro Funciones elementales para construir modelos matemticos, vamos apresentar, desarrollar y estudiar las funciones matemticas y su representacin grfica,para resolver problemas reales.

Para eso, realizaremos el recorrido que se muestra en el grfico 1.4, que corresponde acada uno de los captulos que siguen a continuacin.

Esquema conceptual de funciones

y tipos de funciones


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unciones

Funciones

lineales

Funciones

cuadrticas

Funciones

exponenciales

Funciones

logartmicas

Funciones

trigonomtricas

Situaciones - Problemas

odelos

Grfico 1.4


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Dos ciudades del mundo, hace mucho fro o mucho calor?

Si leemos los registros meteorolgicos3 indicados en la tabla 2.1 que corresponden apronsticos de tiempo para una misma semana del mes de agosto en las ciudades deRosario (Argentina) y Pars (Francia).

Qu deducimos a partir de los datos?

Que el martes en Rosario estar muyfro mientras que en Pars el da lunes

tendrn una temperatura mnimamuy elevada, ... lo que sucede es quela escala que se utiliza para presentar latemperatura en los dos pases es dis-tinta, mientras que en Francia se regis-tra en grados Fahrenheit (F), en Ar-gentina se utiliza la escala que mide engrados Centgrados.

Cmo se relacionan los grados Fahrenheit y los grados Centgrados?

Mediante la frmula

As la temperatura de 61F equivale a 16,1C pues

57F equivale a 13,9C pues

Y de la misma manera 54F equivale a 12,2C y 55F equivale a 12,8C.

Entonces, ahora podemos explicarnos que si bien es verano en el hemisferio norteNose pronosticaban esas temperaturas en Pars!

2. Funciones reales

Fenmenos, situaciones, grficas y frmulas

ROSARIO(ARGENTINA)

Da Lunes Martes Mircoles Jueves ViernesTemperatura

Mnima (t C)

4 3 4 7 12

PARS(FRANCIA)

Da Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes

Temperatura

Mnima (t F)

61 57 54 55 55

3 Fuente: http://espanol.weather.com

Tabla 2.1


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f u n c i o n e s r e a l e s

Esa correspondencia entre los dos tipos de escala para medir temperatura ambiente sepuede representar, grficamente en el plano, a partir de un par de ejes de coordenadascartesianas. En este caso como la temperatura vara en forma continua, podemos unircon una lnea los puntos.

Los grficos permiten apreciar confacilidad relaciones entre datos.

A partir del grfico 2.1 podemos de-ducir que:

1) la temperatura de -18C, aproxi-madamente, corresponde a 0F;

2) la temperatura de 34F, aproxi-madamente, corresponde a 0C;

3) a partir de 35F, aproximada-mente, la correspondiente tem-

peratura en C es positiva.

Ejemplo 1. Preparndose para correr el maratn

Un maratn es una prueba atltica de resistencia que consiste en correr a pie la distan-cia de 42,195 km. Un atleta que se est preparando para participar de una maratn haregistrado en su ltimo entrenamiento las velocidades (en km/h) en cada una de las tres

La escala centgrada (C), tambin se conoce como Celsius desde 1948, en honor al fsico y astr-nomo sueco Anders Celsius. La escala Fahrenheit (F), fue propuesta por Gabriel Fahrenheit en1724, quien fue un fsico alemn.

Anders Celsius (1701-1744) fue un fsico y astrnomo sueco. Se desempe como profesor deastronoma y fue director del Observatorio de Uppsala. Public estudios sobre observaciones deauroras boreales y particip en una expedicin a Laponia en la que confirm la teora de Newtonde que la Tierra se achataba en los polos.

Su principal contribucin fue como inventor de la escala centesimal del termmetro. Propuso quela temperatura 0C coincidiera con el punto de congelacin del agua mientras que la temperaturaa 100C equivaliera a la temperatura de ebullicin del agua a nivel del mar.

Gabriel Fahrenheit (1686-1736) fue un fsico alemn autor de numerosos inventos, entre los msdestacados mencionamos los termmetros de agua (1709) y de mercurio (1714). Su principal apor-

te terico fue el diseo de la escala termomtrica que lleva su nombre, an hoy empleada enEstados Unidos. Dise esta escala empleando como referencia una mezcla de agua y sal de clo-ruro de amonio a partes iguales, cuya temperatura de congelacin es ms baja que la del agua yla de ebullicin ms alta. En consecuencia, al abarcar un intervalo ms amplio, su escala permitemayor precisin que la centgrada a la hora de delimitar una temperatura determinada.

Grfico


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horas en que realiz su prctica. Los registros se pueden observar en el grfico 2.2, dondeen el eje horizontal se detallan los tiempos ty en el eje vertical la velocidad v.

De acuerdo al grfico se puede conocerque el corredor va aumentando su velo-cidad durante la primera hora y mediade entrenamiento y, luego, sigue corrien-

do a velocidad constante. Cuatro horasdespus de comenzar a correr empieza adisminuir su velocidad hasta finalizardicho entrenamiento a la hora 5.

A partir del grfico 2.2, es posible con-testar las siguientes preguntas?

1) Cul es la velocidad del atleta despus de correr una hora?

2) Cundo alcanza por primera vez la velocidad de 5 km/h?

3) En qu intervalo de tiempo mantiene el corredor la velocidad de 5 km/h?

En todas las aplicaciones anteriores se observa que los valores de una variable varan alcambiar los valores de otra: cmo depende una cantidad de otra?

Esta dependencia o correspondencia entre dos cantidades se describir utilizando el len-guaje de la matemtica. En los dos ejemplos, las variables que describen estas situacio-nes aparecen relacionadas entre s.

Se pueden definir, asociados a la relacin, dos conjuntos: el dominio y la imagen de lamisma, que sern subconjuntos del conjunto de partida y de llegada respectivamente.

Relacin

Una relacin es una correspondencia que asocia elementos del conjunto A, llamado conjunto departida de la relacin, con elementos del conjunto B, llamado conjunto de llegada.

En smbolos matemticos: x Ryx A,y Byxest relacionado conysegn R

El dominio de una relacin es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de parti-

da que estn relacionados con, al menos, un elemento del conjunto de llegada.

La imagen de una relacin es el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada queestn relacionados con algn elemento del dominio de la relacin.

En smbolos matemticos: Dom R = {xA/ existeyBconxRy}ImgR = {yB/ existexA conxRy}

Grfico 2.2


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Ejemplo 2. En una librera se relevaron los siguientes datos sobre el nmero de pginasde cuatro libros escritos por Garca Mrquez:

El Coronel no tiene quien le escriba 142 pginasEl otoo del patriarca 304 pginasEl amor en los tiempos del clera 504 pginasDel amor y otros demonios 192 pginas

Si consideramos los conjuntos:

A = {El Coronel no tiene quien le escriba, Del amor y otros demonios,El otoo del patriarca, El amor en los tiempos del clera}

B= {42, 92, 142, 192, 304, 354, 504, 554}

Y paraxA ey Bestablecemos la relacin:

xest relacionado conys y slo si "el libroxtiene el nmero de pginasy"

Entonces por los datos relevados podemos escribir los conjuntos:

Dom f= {El Coronel no tiene quien le escriba, Del amor y otros demonios, El otoodel patriarca, El amor en los tiempos del clera}Img f= {142, 192, 304, 504}

En esta situacin observamos que:

1) Dom R = A;2) cada elemento del dominio est relacionado con un nico elemento del conjunto

de llegada, llamado su imagen por la relacin R.

Las relaciones que cumplen estas dos propiedades permiten describir y analizar losfenmenos para los cuales existe un nico dato-resultado para cada valor de la variable

considerada. Estas relaciones reciben el nombre especial de funcin.

Importante!Una funcin modeliza una situacin en la que existe una relacin de dependenciaentre dos variables que intervienen en dicha situacin.

La variablexA se denomina variable independiente y la variabley Bse denominavariable dependiente.

Funcin

Una funcin de A en Bes una relacin que asocia a cada elementoxdel conjunto A uno y slo unoelementoydel conjunto B, llamado su imagen.

En smbolos: la relacinf: A Bes una funcin si y slo para todoxA existe un nicoyB quees su imagen, esto esy=f(x)


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Ejemplo 3. En las siguientes situaciones est presente el concepto de funcin:

el precio del combustible est relacionado con el precio del petrleo,

la presin atmosfrica es funcin de la altura de la localidad,

el volumen de una caja es funcin de su formato,

el precio por usar Internet depende de la velocidad de conexin,

el nivel de contaminacin ambiental de una ciudad esfuncin del nmero de automviles que transiten suscalles,

los kilogramos de alimento balanceado que consume unperro estn relacionados con su estructura fsica,

el promedio en una materia es funcin de las horas dedi-cadas a su estudio.

Ejemplo 4. En la tabla 2.2 se pueden obser-

var, para la ciudad de Crdoba, los milme-tros de lluvia promedio cada en cada uno delos meses de 20064.

Esta relacin entre el fenmeno meteorol-gico y el mes del ao se puede representarpor la funcin:

f: {x Z / 1 x 12} Rf(x) = lluvia promedio cada en la ciudad

de Crdoba en el mesx

En este caso la variable independiente es elmes del ao, y la lluvia promedio registradaes la variable dependiente.

A partir de la tabla, podemos deducir:

1) el mes en que se registr la mayor cantidad de lluvia cada fue diciembre,2) el mes en que se registr la menor cantidad de lluvia cada fue julio.

La cantidad de agua cada se expresa en milmetros de altura. Un milmetro de agua

cada equivale a verter un litro de agua en un metro cuadrado. Para medir la lluvia seutiliza el pluvimetro.

Mes del Ao

2006

Precipitacin

(promedio)

enero 134,86 mm

febrero 117,38 mm

marzo 122,62 mm

abril 81,08 mm

mayo 20,40 mm

junio 17,43 mm

julio 10,78 mm

agosto 25,46 mm

septiembre 25,85 mm

octubre 78,23 mmnoviembre 146,63 mm

diciembre 167,93 mm

4 Fuente: Datos recogidos en la Facultad de Ciencias Agropecuarias. UNC.

Tabla 2.2


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Un poco de historia

La definicin de funcin es el resultado de un proceso de varios siglos. Las primeras definicionesde funcin las present el ingls Isaac Newton. Posteriormente los suizos Johann Bernoulli yLeonhard Euler, entre otros matemticos, tambin dieron algunas definiciones. Hasta que, final-mente, en el siglo XIX, se lleg a la definicin moderna de funcin dada por el matemtico alemnM. Dirichlet quien, en 1837, consider una funcin como una correspondencia entre variables queverifica ciertas reglas.

Isaac Newton (1643-1727) fueun cientfico completo, susestudios abarcaron el rea dela fsica, filosofa y matemtica.Fue autor del tratadoPhilosophiae naturalis principiamathematica, donde describi

la ley de gravitacin universal y estableci lasbases de la Mecnica Clsica en las que explicabael movimiento de los cuerpos, as como sus efectosy causas.Newton fue el primero en demostrar que las leyesque gobiernan el movimiento en la Tierra y las que

gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes sonlas mismas. Otros hallazgos fueron: el descubrimien-

to de que el espectro de color que se observa cuan-do la luz blanca pasa por un prisma es inherente aesa luz; la ley de conduccin trmica, que describe la

tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire;la teora sobre el origen de las estrellas.Es calificado como el cientfico ms grande de todoslos tiempos, y junto a Leibniz se los considera comopadres de la matemtica actual por el desarrollo delclculo integral y diferencial, desde el punto de vistade las funciones. De hecho, fue el primero quecomenz a trabajar nicamente con ecuaciones ysus variables para el tratado del clculo.Newton fue elegido miembro del parlamento porCambridge, director de la Casa de Moneda deInglaterra, presidente de la Sociedad Real deLondres, y en 1705 la reina Ana de Inglaterra le con-cedi nobleza, siendo el primer cientfico que reci-bi este honor por sus obras.

Johann Bernoulli (1667-1748) fue matemtico, mdico y fillogo suizo. Sushijos Nicolau, Daniel y Johann Bernoulli fueron tambin grandes matem-

ticos. Las novedades matemticas le llegaron por el francs Leibniz, quienen esa poca mantena una polmica con Newton sobre cul fue el prime-ro en enunciar los principios del clculo infinitesimal. Bernoulli se convirti

en defensor de Leibniz. Sus estudios se centraron en el clculo infinitesi-mal y resolvi la ecuacin diferencial que lleva su nombre, propuesta porsu hermano Jacob. Su tesis doctoral, presentada en 1694, consista en unaaplicacin de las matemticas a la medicina, concretamente, al movimien-

to muscular. Fue elegido miembro de las academias de Pars, Berln, Londres, San Petersburgoy Bolonia y, en vida, fue conocido como el 'Arqumedes de su poca' lo que se refleja en el epi-

tafio de su tumba.

Leonhard Euler

(1707-1783) fue ma-temtico y fsico.Est consideradocomo el principalmatemtico delsiglo XVIII. Vivi en

Rusia y Alemania la mayor parte de suvida y realiz importantes descubrimien-

tos en el clculo y la teora de grafos.Fue quien introdujo gran parte de la ter-minologa moderna y notacin matemti-ca: lo ms notable fue la introduccin del

concepto de funcin matemtica.Euler fue el primero en escribir f(x) parahacer referencia a la funcin f aplicadasobre el argumento x. Tambin introdu-jo la notacin moderna de las funcio-nes trigonomtricas, la letra e comobase de las funciones logartmicas, laletra griega S como smbolo represen-

tante de sumas y la letra i para hacerreferencia a la unidad imaginaria.Euler ha sido uno de los matemticosms prolficos, y se calcula que susobras completas reunidas podran ocu-par entre 60 y 80 volmenes. Como con-memoracin, en Suiza, pareci su ima-gen en la serie sexta de los billetes de 10francos suizos y en numerosos sellospostales suizos, alemanes y rusos. Unasteroide descubierto en 2002 recibi elnombre de Euler en su honor.


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En los ejemplos anteriores utilizamos diferentes formas de representar una funcin.

Pero una funcin tambin se puede expresar de otras maneras. Matemticamente, unafuncin se puede definir a travs de:

un diagrama sagital;

una tabla acompaada de una explicacin;

un grfico cartesiano;

una frmula que la define.

1. Diagrama Sagital

Se denomina diagrama sagital al que se construye para representar las funciones utili-zando dos conjuntos (lnea curva cerrada que contiene sus elementos, y que se conocencon el nombre de diagramas de Venn) para indicar el conjunto dominio y el conjuntode llegada. Los elementos que se relacionan por la funcin se unen con una flecha.

Ejemplo 5. En el diagrama de Venn que representa a la funcinfse pueden observarlos conjuntos Dominio e Imagen, y para los elementos del dominio, su imagen corres-pondiente.

A partir del diagrama sagital (grfico 2.3) que repre-senta la funcinf, podemos obtener:

1) Domf= {1, 2, 3, 4};

2) Imgf= {a, b, d};

3) el valor def(3) = b;

4) el elemento del dominio cuya imagen es la letra d:x= 4, que escribimosf(4) = d;

5) la imagen del nmero 4:y= dque escribimosf(4) = d.

Ventajas: el diagrama sagital permite observar rpidamente la imagen de cada elemento.

Desventajas: no es adecuado para representar funciones cuando el dominio o la ima-gen de la misma son conjuntos con infinitos elementos.

2. Tablas

Cuando se representa una funcin mediante una tabla, se puede observar en la prime-ra columna los elementos del dominio y, en la segunda columna, los elementos de la

Representacin de funciones

Grfico 2.3


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imagen. En esta forma de representacin, la correspondencia de cada elemento con suimagen se observa en cada fila de la tabla.

Ejemplo 6. La siguiente tabla es una representacin de una funcin f.

A partir de la tabla 2.3, podemos obtener:

1) la definicin en palabras de la fun-cin y = f (x), esto es: "la funcin f asigna a cada ao, entre 2001 y 2005,el nmero de alumnos matriculados enel nivel polimodal en la RepblicaArgentina";

2) las variables que se relacionan por lafuncin:

- variable independientex: ao;

- variable dependientey: nmero de alumnos matriculados en el nivel polimodal;

3) el conjunto Domf= {2001, 2002, 2003, 2004, 2005};

4) el conjunto Imgf= {1.640.278, 1.649.332, 1.644.694, 1.575.653, 1.545.992};

5) en este problema ambas variables son cuantitativas, es decir se expresan mediantecantidades numricas;

6) el nmero de alumnos que se matricularon en el polimodal en 2003, que es1.644.694 representa la imagen por la funcin de x= 2003;

7) en el ao 2005 se registr el menor nmero de matrcula en este nivel de enseanza;

8) la imagen del nmero 2001 esf (2001) = 1.640.278;

9) la matrcula en el nivel polimodal en Argentina fue decreciente en el primer quin-quenio de este siglo.

Ventajas: las tablas permiten observar rpidamente la imagen de cada elemento.

Desventajas: no son adecuadas para observar tendencias o evolucin del fenmeno sihay muchos elementos en el dominio.

3. Grficos

Una funcin se representa en un grfico en el sistema de coordenadas cartesianas: en eleje horizontal, llamado eje de las abscisas o ejex, se representa la variable independiente,y en el eje vertical, que se llama eje de las ordenadas o ejey, la variable dependiente.

ALUMNOS MATRICULADOS EN EL NIVELPOLIMODAL/MEDIO ENARGENTINA5

Ao Total Alumnos

2001 1.640.278

2002 1.649.332

2003 1.644.694

2004 1.575.653

2005 1.545.992

5 Fuente: Indec: www.indec.gov.ar

Tabla 2.3


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De esta manera, cada elemento del dominio y su correspondiente imagen se puedenexpresar mediante un punto que se denomina par ordenado (x,f(x)) en el plano coor-denado.

En el punto (x, y) que se marca en el plano para obtener el grfico de una funcinimporta el orden, de all el nombre de par ordenado, es decir la primer coordenadaxesel valor de la variable independiente y la segunda coordenada yverificay=f(x).

Importante!El grfico de una funcin f est formado por todos los puntos (x,y), y para estos paresordenados la primera variablexDom fse visualiza en el eje de las abscisas (ejex), su res-pectiva imageny=f(x) se visualiza en el eje de las ordenadas (ejey).

Ejemplo 7. Todos los lquidos se evaporan: algunos ms rpido, otros ms lentamente. Lacantidad de vapor produce una presin que permanece constante a una determinada tem-peratura, sin importar la forma del recipiente ni la cantidad de lquido, siendo necesarioque haya lo suficiente de este ltimo como para mantener el equilibrio lquido-vapor. Elvapor, formado en este equilibrio, ejerce una presin sobre las paredes del recipiente que se

denomina presin de vapor.

El grfico 2.4 muestra la funcin que para cada C de temperatura indica cul es lapre-sin de vapor de agua, medida en kPa (kilopascal).

En este caso definimos

f : {x R/x 0} {xR/x 0}f(x) = presin del vapor (en kPa) paraxC

de temperatura.

A partir del grfico 2.4, podemos obtener:1) las variables que se relacionan por esta fun-

cin:

- variable independientex: temperatura;- variable dependientey: presin del vapor;

2) el conjunto Domf= {x R/x 0} cuyoselementos se miden utilizando como unidadde medida C (grados centgrados);

3) el conjunto Imgf= {y R/y 0} cuyos elementos se miden utilizando como uni-dad de medida el kPa;

4) la presin de vapor para 0C que es la imagen por la funcin del elemento 0 deldominio, esto esf(0) = 0 kPa;

Grfico 2.4


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5) la presin de vapor para 100C que es la imagen por la funcin del elemento 100del dominio, esto esf(100) = 100 kPa;

6) la presin de vapor, a medida que aumenta la temperatura, toma valores cada vezmayores, es decir la presin crece con la temperatura;

7) una presin de vapor medida es de 40 kPa, corresponde a una temperatura de 82Caproximadamente;

8) el punto A indica el valor que corresponde a la temperatura 37C, que es la tem-peratura corporal y, a veces, la de la piel es unos grados menor. La transpiracin(bsicamente agua) se evapora a la temperatura de la piel, entonces se produce apro-ximadamente a 4 kPa.

A 100C la presin de vapor es 1 atmsfera, es decir 100 kPa. Lo cual indica que, a100C, toda la masa lquida pasa a la fase gaseosa, a la atmsfera. Como si el aguaentrara en ebullicin!

Ejemplo 8. Para la produccin de miel se necesita que, en el sitio donde se colocan lascolmenas, se encuentre un nmero mnimo de especies de plantas. Su floracin, en cadauno de los meses del ao, es importante debido a que influye directamente en las pobla-ciones de abejas y, si no estuvieran, podran extinguirse.

Entre la flora melfera, que es la materia prima con que se alimentan las abejas, en nues-tro pas se encuentra el romero, tomillo, naranjo, tilo, acacia, eucalipto, lavanda, zarza-mora, alfalfa, entre otras6.

El grfico 2.5 muestra la cantidad de especies melferas en floracin en cada mes delao para la localidad de Ojo de Agua en Santiago del Estero.

El pascal (smbolo Pa) es la unidad de medida de la presin del Sistema Internacional de Unidades.Se define como la presin que ejerce una fuerza de 1 newton sobre una superficie de 1 m

2que se

encuentra perpendicular a la misma.

El pascal es una unidad muy pequea para medir variables, por ejemplo 1 Pa es aproximadamen-

te la presin que ejerce una capa de una dcima de milmetro de agua sobre la superficie sobre la

que se encuentre; una persona parada puede hacer una presin sobre el suelo de unos 15.000 Pa.

Para evitar esa cantidad de ceros se recomienda utilizar el kilopascal que es equivalente a 1.000

pascales.

Esta unidad de medida fue nombrada as en homenaje a Blas Pascal, matemtico, fsico y filsofo

francs.

6 Fotografa y texto de www.inta.gov.ar


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A partir del grfico 2.5, podemosdeducir que:

1) la funcin y=f(x) que describe lazkjsituacin se puede definir como:

f(x) = nmero de especies melferasen floracin en cada mes xdel ao,para la localidad de Ojo de Agua enSantiago del Estero;

2) las variables que se relacionan por laaeifuncin son:

variable independiente: mes del ao;

variable dependiente: nmero deespecies;

3) el conjunto Domf = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} y se visualiza en el eje de las abs-cisas (ejex);

4) en el eje de las ordenadas (ejey) se visualiza el conjunto Imgf ;

5) se verifica quef(8) = 22 lo cual indica que el nmero de plantas que florecieron enagosto fue de 22;

6) en el mes de octubre (mes 10) se registr el menor nmero de plantas melferas flo-recidas, que fue de 12 plantas. En cambio en el mayor nmero de plantas floreci-das se produjo en los meses de abril y mayo;

7) notar que en este caso no tiene sentido unir con una curva los puntos del grficoya que la variable independiente es un nmero natural.

Importante!Una funcin que puede presentarse en un grfico sin cortes es una "funcin continua".Si est formada por puntos o segmentos, como en el ltimo ejemplo, es una "funcindiscontinua".

Anlisis simultneo de grficos de dos funciones

En muchas situaciones reales, como las que se enumeran a continuacin, se necesita

evaluar la evolucin de las variables, comparndolas. Los precios alcanzados por la nafta sper y la nafta premium en cada uno de los das

del ao.

La altura alcanzada por dos objetos de distinto tamao que se arrojan en un mismomomento.

Grfico 2.5


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Los valores de la temperatura corporal y el pulso de una persona.

Los ingresos y gastos mensuales de una familia.

Los votos obtenidos por distintos partidos polticos en cada provincia.

En estos casos, es recomendable trabajar con grficos sobre un mismo sistema de coor-denadas a fin de contrastar los resultados.

Ejemplo 9. El crecimiento de un nio es vital para su desarrollo y el control del mismopermite detectar los factores que pueden interferir en la salud. Para controlar el creci-miento, los mdicos toman altura y peso del nio, al menos una vez al ao. En el pri-mer ao de vida el crecimiento es extremadamente rpido, para luego ir disminuyendo.

Tanto el peso como la altura pueden ser graficados a partir de datos de referencia deuna poblacin normal. Estos grficos muestran la evaluacin del crecimiento y sonimportantes para los mdicos pediatras, a fin de comparar su paciente con la "curvanormal".

En el grfico 2.6 se muestra una curva normal de peso de nios varones (en color azul) ypara mujeres (en color rojo) desde su nacimiento hasta los cinco aos7.

A partir del grfico 2.6, se observa que:

1) la funciny=f(x) cuyo grfico esla curva representada en azul, sedefine por f(x) = peso de unvarn para cada mes x de vida,conx 60;

2) la funciny=g(x) cuyo grfico es

la curva representada en rojo, sedefine por g (x) = peso de unamujer para cada mes x de vida,conx 60;

3) ambas funciones relacionan la va-riable independientexque repre-senta meses con una variable depen-diente y que representa kg depeso;

4) de acuerdo al grfico el conjunto Domf= {xR/ 0 x 60} y

Domg= {xR/ 0 x 60};

5) de acuerdo al grfico el conjunto Imgf= {yR/ 0 y 18} e

Imgg= {yR/ 0 y 17};

7 Sociedad Argentina de Pediatra. Comit Nacional de Crecimiento y Desarrollo. Guas para la Evaluacin del Crecimiento. 2

edicin. Buenos Aires: SAP, 2001. Cap. 2. Pg. 59, 72.

Grfico


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6) el peso normal que corresponde a un varn de 3 aos es de 14 kg, puesto quef(36) = 14, y a una nia de 4 aos le corresponde un peso, aproximado, de 15,5 kg;

7) observando la curva que representa la funcin peso de una mujer para cada mesxde vida, vemos en las nias un peso mayor a 15 kg cuando su edad supera los 48meses (4 aos);

8) a los cinco aos (60 meses) de edad de varones y mujeres se observa la mayor dife-

rencia de pesos entre los sexos;9) en todo el perodo considerado, es decir para todo valor dexperteneciente conjun-

to {xR/ 0 x 60} se verifica que:f(x) g (x);

10) en el intervalo de tiempo desde el nacimiento hasta el primer mes de vida se da elmayor aumento de peso, y es en el nico intervalo donde el peso de los varones yde las mujeres es proporcional.

Un problema de encuentro

Ejemplo 10. En una empresa durante 24 meses se registraron los costos totales (en $)y los ingresos obtenidos por las ventas (en $).

El grfico 2.7 presenta dos funciones:

I(x) = ingresos totales por ventas en cada mesxC(x) = costos totales registrados en cada mesx

Para ambas funciones consideramoscomo conjunto dominio el interva-lo [1,24], y podemos realizar el an-

lisis simultneo de las dos grficas.

En algn mes/meses los costos y losingresos son iguales? En dichosmomentos a cunto ascienden losmismos?

El primero de los puntos de corteentre los dos grficos responde aambas preguntas: en el mes 6 los cos-tos e ingresos alcanzan los $ 16.500

aproximadamente.

La siguiente igualdad, se alcanza en el mes 12, y como I(12) = G (12) = 17.500 entoncespodemos decir que, la empresa, en el mes 12 tuvo costos de $ 17.500, y los mismos igua-laron a las ganancias.

Grfico 2.7


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Por ltimo se presentan dos puntos de cortes ms, unos das despus del mes 18 y unosdas antes de cumplir el mes 24, en estos dos momentos los costos y los ingresos sontambin iguales.

A partir del grfico 2.7, podemos asegurar que:

1) en el primer mes los costos son menores que los ingresos;

2) en los seis primeros meses de cada ao la empresa obtiene ganancias, ya que losingresos superan a los costos. En cambio en los meses de julio a diciembre, se pro-ducen prdidas en la empresa;

3) a partir de las diferencias entre los grficos de ingresos y costos, como balance de los24 meses podramos deducir que la empresa obtuvo ganancias.

Importante!Cuando se analizan simultneamente grficos de funciones, los puntos de corte o encuen-tro son claves para la descripcin de los fenmenos que ellas representan.

Un problema de escala

Ejemplo 11. En la sociedad actual, el marketing es una necesidad empresarial, que afectaa todos: consumidores y empresarios. Los encargados de marketing de una empresa, tra-tan de convencer al cliente de que su producto es el que va a satisfacer sus necesidades.

Los dos grficos indicados en el grfico 2.8 fueron presentados por la seccin marke-ting de una empresa que produce dos marcas de computadoras Lgs y Smg. En ellos, seobserva una funcin que representa la cantidad de computadoras personales que podr-an venderse de acuerdo al nmero de segundos que aparezca en televisin una publici-

dad sobre el producto.

Unidades

70

60

50

40

30

20

10

0-1 1 2 3 4 5 6 7

A

fs

Unidades

350

300

250

200

150

100

50

0-1 1 2 3 4 5 6 7

A

gs

I. Grfico de la funcin f II. Grfico de la funcin g

Grfico


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En el grfico I la funcin que se encuentra graficada est definida por:f(x) = nmero de computadoras Lgs vendidas por la aparicin en anuncio publicitarioen televisin durante x segundos.

En el grfico II la funcin que se encuentra graficada queda definida por:g(x) = nmero de computadoras Smg vendidas por la aparicin en anuncio publicita-rio en televisin durante x segundos.

Para ambas funciones, el conjunto dominio el intervalo [1,6], es decir se estudia con-tratar entre uno y seis segundos de extensin total de publicidad televisiva. Nos pregun-tamos, ambas marcas tendrn igual aceptacin en el mercado?

Si observamos cmo crecen las lneas que representan las funciones que indican las ven-tas de computadoras en los dos grficos, podramos concluir que ambas marcas sernvendidas en igual cantidad, a medida que se contraten mayor cantidad de segundos depublicidad televisiva.

Para dar una respuesta ms concreta podramos, por ejemplo, ver cuntas computadoras

de cada marca estiman vender los de la seccin marketing si se realizan 3 segundos depublicidad. Consideremos el punto A que, para ambos grficos, corresponde a mostrardurante 3 segundos en televisin el aviso:

para la funciny=f (x) el par ordenado que corresponde a este valor de la variableindependientex= 3 es (3 ; 30) esto es,f(3) = 30 y nos indica que se considera via-ble vender 30 computadoras Lgs;

para la funciny=g (x) el punto A corresponde al par ordenado (3 ; 150), esto es sicolocamos 3 minutos el aviso, se estima que se vendern 150 = g (3) computadorasde la marca Smg.

Entonces, si se miran las escalas en cada uno de los grficos, se observa que en el grfi-co I para el eje de las ordenadas, que es donde leemos las imgenes de la funcin f , laescala usada indica cada unidad en el ejeyrepresenta una proyeccin de 10 computa-doras personales Lgs vendidas, mientras que en el grfico II, cada unidad indica que seestiman vender 50 computadoras personales Smg.

Entonces la respuesta a la pregunta, ambas marcas tendrn igual aceptacin en el mer-cado? es: el nivel de aceptacin en el mercado de ambas marcas no es igual, sino que aigual cantidad de segundos contratados para publicidad, la marca Smg se vendermejor. El departamento de marketing mostraba "a primera vista" tendencias iguales.

Importante!Cuando se analizan grficos de funciones comparativamente, se debe observar cuidadosa-mente el dominio de definicin de ambas, para que correspondan a iguales datos de lavariable independiente y muy cuidadosamente el conjunto imagen y las unidades demedida en ambos ejes, a fin de comparar tendencias y evolucin de la funcin.


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Ventajas: los grficos permiten observar rpidamente tendencias o evolucin del fen-meno, as como las imgenes de los elementos que incluyen.Desventajas: no son adecuados para predecir cmo contina el fenmeno, extrapolarimgenes de elementos no visibles, etc.

4. Frmulas

Todo fenmeno que se pretenda modelizar necesita ser cuantificado, as las variablesrelacionadas pueden considerarse como pertenecientes a conjuntos de nmeros, en estecaso hablamos de funciones numricas.

En general cuando estudiamos funciones numricas no perdemos generalidad en elestudio de las funciones que representan situaciones concretas, ya que realizando unaasociacin entre los elementos con alguna caracterstica numrica de los mismos pode-mos siempre tratar a cualquier funcin como una que asocia elementos numricos.

Ejemplo 12. Si consideramos la funcin que relaciona cada persona con su edad, pode-

mos realizar primero la correspondencia que identifica cada persona con su nmero dedocumento y as considerar la funcin como funcin numrica:

Persona Asignacin EdadAguine M. 9.056.321 56Benedeto M. 5.968.165 83Cortza J. 48.405.625 1Dolin A. 9.465.798 54Garcia G. 7.002.124 70Payrone R. 34.445.897 19Pace O. 7.923.456 71

Serrana M. 14.663.159 49

Entonces podemos expresar:f : {x N /x 40.000.000} Rdonde

f(x) = edad de la persona cuyo nmero de documento es x

Ejemplo 13.

a) La funcin definida por la frmula: ,

asigna a cada nmeroxcomo imagen la mitad de su valor ,

verifica que Dom f= Rya que para todo nmero realxes posible obtener siempre sumitad,

permite encontrar en forma sencilla: , esto es , y

tambin que resolviendo esf (6.000) = 3.000 por


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ejemplo esto esf(-1.200,8) = -600,4

conocer la frmula permite indicar de quin es imagen el nmero 560.000

ya que:f(x) = 560.000 entonces , es decirx= 1.120.000

b) La funcin definida por la frmula:

para cada valor real de la variable independientex, excepto parax= 0 (recordar: nose puede dividir por cero) asigna como imagen su inverso;

verifica que Dom g= R {0};

permite encontrar en forma sencilla: , tambin

o por ejemplo ;

conocer la frmula permite encontrar de quin es imagen el nmero 100.000 ya que:

f(x) = 100.000 entonces , es decir .

c) La funcin definida por la frmula:

para cada valor de la variablexasigna como imagen el valor de su raz cuadrada, luegolos resultados sern nmero reales si y slo si x 0;

su dominio es Dom y= [0, +).

Ventajas: las frmulas permiten construir tablas y grficos, adems podemos usarlas paraexplicar comportamientos pasados y extrapolar tendencias futuras.

Una nica funcin distintos grficos

Ejemplo 14. Consideremos la funcin definida por la frmula

1) Cmo es su representacin grfica si consi-deramos que esta funcin representa para cadaxlpices producidos, su costo neto de produc-cin, que es $ ?

En esta situacin particular la funcin se defi-ne slo para nmeros naturales, (no puedoproducir medio lpiz, ni 3,7 lpices), entoncesdebemos considerar Dom f= N y con la ayudade una tabla se construye el grfico 2.9.

Grfico 2.9


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2) Cul es el grfico si consi-deramos la funcin

pero con Domf= Z?

El grfico es el 2.10.

3) Para Domf= Rel grfico

de ,

El grfico es el 2.11.

Ejemplo 20. Para evaluar la temperaturaen cada tiempo t(en horas) de una cma-ra en donde se guardaron semillas de mazse realizaron registros de la temperatura(en C) de la misma en forma continuadesde las seis de la tarde de un da ydurante las primeras 6 horas del dasiguiente.

Para resolver esta situacin se puede con-siderar el grfico de la funcin (grfico2.12).

f(t) = temperatura (C) en cada instante t(en horas) registrada en la cmara conservadora.

Funciones crecientes y decrecientes

Grfico 2.10

Grfico 2.11

Grfico 2.12


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Para los registros de temperatura observamos cuatro situaciones bien diferentes en la evo-lucin de la temperatura a medida que transcurre el tiempo:

hasta dos horas antes de la medianoche, es decir - 6 < t < -2, la temperatura fueaumentando. Cul fue la mxima temperatura alcanzada?;

luego, y hasta la medianoche, -2 < t< 0, la temperatura fue disminuyendo. Cul fuela mnima temperatura alcanzada?;

entre la medianoche y la hora 1, es decir 0 < t< 1, la temperatura volvi a aumentar,hasta llegar a los 1C;

a partir de la hora 1 y hasta finalizar la observacin, es decir 1 < t < 6, se registr unatemperatura constante. De cuntos C fue esta temperatura constante?

Las anteriores observaciones se traducen en lenguaje matemtico de la siguiente forma:

para t (- 6, -2) la funcin es creciente,

para t (- 2, 0) la funcin es decreciente,

para t (0, 1) la funcin es creciente,

para t (1, 6) la funcin es constante.

En forma precisa se define:

1) Una funcinf se dice constante en un intervalo IDom fsi para todox I esf(x) = cdondeces un nmero real.

2) Una funcinf se dice creciente en un intervalo IDom fsi para todox1,x2 I conx1


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Grficamente (grfico 2.13):

1) si una funcin es creciente en un intervalo su grfico "sube" a medida que se incre-mentan los valores de la variable independiente;

2) si una funcin es decreciente en un intervalo su grfico "baja" a medida que seincrementan los valores de la variable independiente.

Ejemplo 21. Son siempre creciente las funciones que describen situaciones como:

la altura de una planta a medida que transcurren los das posteriores a la siembra;

el permetro de una circunferencia como funcin de la medida de su radio;

el nmero de personas en el mundo para cada ao calendario.

Son siempre decreciente las funciones que describen situaciones como:

la intensidad de un haz de luz que incide verticalmente en la superficie del mar amedida que aumenta la profundidad marina;

el esfuerzo que debe realizarse para levantar un peso mediante el uso de una palancacada vez que se amplia un brazo de la misma.

Ejemplo 22. Una funcin decreciente que es til para determinar antigedad de losfsiles es la que se obtiene a partir del estudio del carbono-14 (14C), que es un radio-stopo del carbono y fue descubierto por Kamen y Ruben. Debido a su presencia entodos los materiales orgnicos, el carbono-14 se emplea para conocer el momento de lamuerte del organismo. La masa de 14C de cualquier fsil disminuye segn una ritmoconocido: se comprob que a los 5.730 aos de la muerte de un ser vivo la cantidad de14C en sus restos fsiles se ha reducido a la mitad. Entonces, si se obtiene la diferencia

entre la proporcin de 14C que debera contener un fsil, si an estuviese vivo y la querealmente contiene, se puede conocer la fecha de su muerte.

Como antes expresamos, las funciones numricas al igual que los nmeros, se puedensumar, restar, dividir, etc. formndose as nuevas funciones.

Operaciones con funciones

Dadas dos funcionesf ygdefinimos:

1) La funcin suma (f+g) como (f+g)(x) =f (x) +g(x)2) La funcin diferencia (f-g) como (f-g)(x) =f (x) -g(x)3) La funcin producto (f.g) como (f.g)(x) =f (x) .g(x)

4) La funcin cociente como siempre queg(x) 0.


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Ejemplo 23. Consideremos dos funcionesfygdefinidas por las frmulas:

y g(x) =x

1) Cul es la imagen dex= 5 por la funcinf+g?

De acuerdo a la definicin calculamos: (f+g)(5) =f (5) +g(5)comof (5) +g(5) = 1 + 5entonces (f+g)(5) = 6

2) Cul es la imagen de la variable apor la funcinf+g?

Realizamos (f+g)(a) =f (a) +g(a) luego

entonces

3) Cul es la imagen dex= 1 por la funcinf . g?

Calculamos (f.g)(1) =f(1) .g(1), as , entonces (f.g)(1) = -1.

4) Cmo se define la funcin ?

Realizamos y como entonces

Importante!El dominio de definicin de las funciones que resultan de operaciones entre otras fun-ciones se considera siempre como el mayor subconjunto de Rdonde la funcin opera-

cin se define.

A partir de la definicin de las operaciones, qu ocurre con el grfico de una funcinfcuando realizamos las operaciones de suma, diferencia, producto o divisin de estafuncinfcon otra funcin constanteg?

Ejemplo 24: Consideremos dos funcionesfygdefinidas por las frmulas:f(x) =x2 - 1 yg(x) = 3

a) Los pares ordenados del grfico def+gson de la forma (x , (f+g)(x)), luego se obtie-

nen sumando a cada valorf(x) el valor deg (x) (la constante 3). Entonces el grficode la funcin suma resulta de "trasladar hacia arriba" tres unidades la curva querepresenta al grfico def (grfico 2.14).


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b) Los pares ordenados del grfico def - gson de la forma (x , (f-g)(x)), luego se obtie-nen restando a cada valorf(x) el valor deg (x) (la constante 3). Entonces el grficode la funcin resta resulta de "trasladar hacia abajo" tres unidades la curva querepresenta al grfico def (grfico 2.15).

Grfico 2.14

Grfico 2.15


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c) Los pares ordenados del grfico def .gson de la forma (x,f.g(x)), luego se obtie-nen multiplicando cada valorf(x) el valor deg (x) (la constante 3). Entonces el gr-fico de la funcin producto resulta de "triplicar" cada valor de la curva que repre-senta al grfico def (grfico 2.16).

Observar que los valores de la variablexque verifican f(x) = 0, es decir los pares ordena-dos (1, 0) y (-1,0), son los nicos que no alteran su imagen al graficar la funcin f.g.

d) Los pares ordenados del grfico de son de la forma , luego se

obtienen dividiendo cada valorf(x) por el valor constante 3. Entonces el grfico de lafuncin cociente resulta "la tercera parte" de cada valor de la curva que representa algrfico def.

Observar que los valores de la variablexque verificanf(x) = 0, es decir los pares ordena-dos (1;0) y (-1;0), son los nicos que no alteran su imagen al graficar la

funcin .

Grfico 2.16


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Ejemplo 25. Consideremos la funcin que representa la altura mxima del agua de undique en cada uno de los das de un ao de 2005

[H(d) = altura del agua del dique (m) en el da d.]

De acuerdo a los registros diarios, el grfico de esta funcin es el indicado en 2.18.

Grfico 2.17

Grfico 2.18


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A partir del grfico 2.18, podemos construir otros grficos.

1) Grfico de la funcin que repre-senta la altura del agua delmismo dique para el ao 2006,si se conoce que su altura mxi-ma diaria aument en 2 cm

cada da.

2) Grfico de la funcin que repre-

senta la altura del agua delmismo dique para un ao en elcual se conoce que su alturamxima registr una disminu-cin de 5 cm cada da.

3) De la funcin que representa laaltura del agua del mismodique para un ao en el cual seconoce que su altura mximaregistr una disminucin del50% cada da.

Grfico 2.19

Grfico 2.20

Grfico 2.21


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Ejercicio 1. El grfico 2.22 representa la relacin entre el peso de una bolsa de arenapara la construccin y el costo de la misma. Cada uno de los puntos de la relacin indi-ca una bolsa y la letra que lo identifica muestra su marca.

A partir del grfico de la funcin,cul es la respuesta a las siguientespreguntas?

a) De qu marca es la bolsa dearena ms pesada?

b) De qu marca es la bolsa dearena ms econmica?

c) Qu marcas ofrecen al mer-cado bolsas de arena de igual

peso?d) Qu marcas ofrecen al mer-

cado bolsas de arena de igualprecio? Cul de las dos marcas tiene mayor peso?

e) Qu bolsa de arena es ms econmica: la F o la D? Por qu?

Ejercicio 2. Indicar cules de los siguientes diagramas sagitales definen una funcin. Encaso de no ser una funcin, especificar la o las condiciones de la definicin que no severifican:

Ejercicios

Grfico 2.22

Grfico 2.23


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Ejercicio 3. Cul de los grficos indicados en 2.24 que se muestran en los siguientes siste-mas de coordenadas cartesianas ortogonales representan funciones? Por qu?

Ejercicio 4. Un empleado de la empresa telefnica present a sus superiores el registrode las ganancias obtenidas durante una semana en el telecentro a su cargo (tabla 2.4).

A partir de los datos del empleado definimos la fun-cin G (t) = ganancia obtenida por la empresa tele-fnica en el da ten el telecentro. Para esta funcin,cul es la respuesta a las siguientes preguntas?

a) Cul es el dominio de G(t)? y el conjunto imagen?

b) Cul es la imagen de la variable t= mircoles?

c) De quin es imagen el nmero 45?

d) Qu significa que G (lunes) = - $20?e) En que da de la semana la telefnica logra su mayor ganancia?

f ) Es la funcin G creciente o decreciente? Justifica tu respuesta.

Ejercicio 5. Para un micro que realizael trayecto entre Pennsula Valds(Chubut) y el balneario Las Grutas, seregistr la cantidad de combustible queposea el tanque en cada kilmetrorecorrido. La funcin f (x) = litros de

combustible en el tanque del micro encadaxkilmetro de su recorrido. Estafuncin se representa por el grfico2.25.

a) b)

Da t

Ganancia

Lunes $-20

Martes $23

Mircoles $32

Jueves $45

Viernes $80

Grfico 2.24

Grfico 2.25

Tabla 2.4


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En el eje de las abscisas (eje x) se encuentran representados los kilmetros recorridos yen el eje de las ordenadas (ejey) la cantidad de litros de combustible del micro en cadakilmetro.

A partir del grfico de la funcin, cul es la respuesta a las siguientes preguntas?

a) Cuntos litros de combustible tena el tanque del micro al partir de Pennsula

Valds?b) Cuntos litros de combustible tena el tanque del micro al terminar su viaje?

c) Cuntos kilmetros haba recorrido el conductor cuando por primera vez carg com-bustible? Cuntos litros tena el tanque del micro en dicho momento?

d) Cuntos litros consumi el micro en todo el viaje?

e) Qu ocurri en el kilmetro 250?

f ) Para investigar: en qu provincia se ubica el Balneario Las Grutas? Cul es supoblacin? Qu atractivos tursticos se pueden encontrar?

Ejercicio 6. Modelizar, mediante una funcin que describa el precio Pde un kilogramode manzana en funcin del da xdel ao, el siguiente informe brindado desde la pro-vincia de Ro Negro.

Informe En el primer mes del ao el precio se mantuvo estable en $1,00 por kilogramo.

En la ltima quincena del mes de febrero comenz a bajar hasta que el da 10 de abril,cuando alcanz un precio de $0,50 por kg.

El precio de $0,50 por kg se mantuvo constante hasta finalizar el mes de mayo.

A partir de junio se registr un aumento sostenido en el precio que permiti venderla manzana a $2,00 el kg el 15 de octubre.

A fines de noviembre nuevamente el precio comenz a decrecer, siendo a fin dediciembre de $1,20 por kg.

A partir del grfico realizado, cul es la respuesta a las siguientes preguntas?

a) Si P(x) = precio del kg de manzana el daxcul es el dominio de la funcin P ? ycul es el conjunto imagen de la funcin P ?

b) Realizar el grfico de una funcin P.

c) En qu intervalo la funcin es creciente?

d) En qu intervalo la funcin es decreciente?

e) Se mantuvo la funcin constante en algn/os intervalos?, cules?, qu valor alcan-z en dicho intervalo?


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f ) Para investigar. Cules son las principales provincias productoras de manzana enArgentina? Cuntas toneladas de manzana se producen anualmente? A qu pases seexporta la manzana? Cul es el ciclo productivo?

Ejercicio 7. Para la funcinfcuyo grfico se presenta, expresar:

a) dominio de la funcin;

b) imagen de la funcin;

c) corte con el ejey;

d)f (1);

e) la imagen de 5;

f) el o los valor/es de x cuyamaimagen es 0;

g) el intervalo dondefes cons-mitante;

h) los intervalos dondefes cre-

asiciente.

Ejercicio 8. Si definimos la funciny=f(x) a partir de la tabla 2.5:

Cul es el resultado de?a) f (0) b) f(2) c) f (-1)

d) f(2) +f (-2) e) f (-1) -f(1) f ) f(4) .f (0)g) f (1) .f(-3) h) f(4) /f (-3)

Ejercicio 9. Si definimos la funcin a partir de la frmulaf(x) = 2x- 4, cul es el resul-tado de?

a) f(0) b) f(2) c) f(-1)

d) f(a + b) e) f(2) +f(-2) f ) f(-1) -f(1)

g) f(4) .f(0) h) f(1) .f(-3) i)f(4) /f(-3)

j) f (a)+f(b)

Ejercicio 10. Si definimos la funcin a partir de la frmula , cul es el resulta-do de?

a) g(1) b) g(2) c) g(-0,1)


x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

f x) 1 2 4 2 1 0,5 0,3 0,1

Grfico 2.26

Tabla 2.5


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d) es posible encontrarg(0)? por qu?

e) g(2) -g(-2) f ) g(-1) +g(1) g) g(2) .g(-1)

h) g(1) .g(-3) i) g(-2) /g(2)

Ejercicio 11. Para la funcin que se define por trozos a partir de la frmula:

Cmo se completa la tabla 2.6?

Ejercicio 12. Para cada una de las siguientes funciones, cul es su dominio de definicin?

a) f (x) =x3 + 2x- 1 b)

c) d)

e) f )

g) h)

Ejercicio 13. Si las funcionesfygse definen comof(x) = 2x+ 4 yg(x) =x- 3, cul esel resultado de realizar?

a) (f +g)(5) b) (f -g)(2) c) (f .g)(0)

d) (f .g)(3) e) (f /g)(1)

f ) cul es la frmula que define a la funcin (f +g)?;

g) cul es la frmula que define a la funcin (f .g)?

Ejercicio 14. Si las funcionesfygse definen como yg(z) = z2, cul es elresultado, si puede realizar, de?

a) (f +g)(1) b) (f-g)(3) c) (f +g)(0)

d) (f.g)(-1) e) (f.g)(2) f ) (f/g)(1)

t

-3 -1 0 1 1,5 2 4 6 10

f t)

Tabla 2.6


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g) (f/g)(0)

h) cul es la frmula que define a la funcin (f +g)?, cul es el Dom (f +g)?;

i) cul es la frmula que define a la funcin (f.g)?, cul es el Dom (f.g)?

Ejercicio 15. Para las olimpadas organizadas con motivo de la Semana del Estudiante, enla que participan distintas escuelas en Crdoba, se realizaron distintivos para identificarlos distintos colegios participantes. La cantidad de distintivos vendidos se modeliza con lafuncin C(p) donde p es el precio (en pesos) a los que se ofrecen los distintivos:

C(p) = 3.613 -p2 - 2p

Para esta funcin, cul es la respuesta a las siguientes preguntas?

a) Para qu valores dep se puede definir la funcin C(p)?

b) Cuntos distintivos se vendieron si se cobraron $ 50?

c) Cuntos distintivos se haban regalado si no se cobrara dinero alguno?

d) Cul es la imagen de $ 60? Qu significa dicho resultado?

Ejercicio 16. Una empresa de medicina prepaga, que no recibe ms de 30.000 afiliados almes, incluye entre sus prestaciones atencin de odontlogos. El costo mensual Cde lasprestaciones de los dentistas est relacionado con la cantidad de personas que se adhierena la atencin y se representa por la funcin:

dondep indica el nmero de personas que solicitarn afiliarse para atencin odontolgica.

Para esta funcin, cul es la respuesta a las siguientes preguntas?

a) De acuerdo a la informacin que posee, cul es el dominio de la funcin?

b) Cunto deber pagar a los dentistas si slo 100 personas se afilian a los serviciosodontolgicos? y si se afilian 1.000 personas?

c) Cules sern los costos si todos los afiliados deciden participar del servicio de losdentistas?

Ejercicio 17. Para un nmero real sabemos calcular su valor absoluto, que se definecomo el valor numrico del nmero, sin su respectivo signo y se representa con la nota-cin |n|. Por ejemplo: |4| = 4, |-1| = 1 y |0| = 0.

Definimos la funcin valor absoluto como la funcin que asigna a cada valor de lavariable independientexsu valor absoluto, y escribimosf(x) = |x|, esta funcin pode-mos representarla por la frmula


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a) Realiza una tabla que representa la funcin.Consejo: considera un adecuado nmero de valores para la variable x.

b) Ubica en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales los pares ordenadosobtenidos a partir de la tabla anterior.

c) Realiza el grfico de la funcin valor absoluto, con qu letra del abecedario puedescompararlo?

d) Desde un punto de vista geomtrico, el valor absoluto de un nmero corresponde ala distancia desde dicho nmero hasta el nmero cero. Qu relacin encuentrasentre esta afirmacin y la ubicacin del grfico de la funcin valor absoluto en el sis-tema de coordenadas cartesianas?


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En los supermercados las cajeras disponen de balanzas en las cuales se puede teclear elprecio por kilogramo de la verdura que se pesa. Estas balanzas emiten un ticket dondese indica el precio total a pagar, correspondiente a la cantidad de verdura pesada.

La tabla 3.1 presenta las distintas cantidades pesadas y el precio total para cada una deellas, registrados para el tomate:

Estos registros se pueden modelizar mediante la funcindefinida como:

f : {xR/x 0} {f(x) R/f(x) 0}f(x) = costo de adquirirxgramos de tomate.

Si a partir de los datos de la tabla 3.1 realizamos un grficode esta funcin, obtenemos el grfico 3.1.

Peso (g) Precio total ( )

100 0,40

200 0,80

250 1,00

600 2,40

1.000 4,00

3. Funciones lineales

Funciones lineales

Grfico 3.1

Tabla 3.1


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f u n c i o n e s l i n e a l e s

Observamos que:

1) a igual diferencia de peso (sobreel ejex), igual diferencia de pre-cio a pagar (sobre el eje y). Estacondicin nos indica que la fun-cin cumple la propiedad de

proporcionalidad;2) los puntos de la funcin se pue-

den unir mediante una lnearecta (grfico 3.2).

En general, muchos fenmenos ysituaciones de la vida diaria, secomportan de forma que las fun-ciones que los representan verifican que los cambios en la variable dependiente (y)son proporcionales a los que se aplican a la variable independiente (x).

Ejemplo 1. En las siguientes situaciones est presente la relacin anterior de proporcio-nalidad:

distancia recorrida por un mvil sobre un camino recto con velocidad constante enfuncin del tiempo empleado (en fsica este movimiento se denomina rectilneo uni-forme);

longitud de una circunferencia en funcin del radio;

relacin entre la temperatura expresada en grados centgrados (C) y la temperaturaexpresada en grados Fahrenheit (F);

costo total de la factura del agua en funcin de los litros consumidos por mes en cadadomicilio.

A esta clase de funciones se las denomina funcin lineal.

Ejemplo 2. Son funciones lineales las que se expresan por la frmula:

1) y= 2x- 1 en este caso a= 2 y b = - 1

2) f(x) = 7 x en este caso a= 7 y b = 0

Llamamos funcin lineal a una funcinf: R R que verifica:

f(x) = ax+ b o y= ax+ b

donde ay b son nmeros reales, llamados parmetros de la funcin lineal.

Notar que, escri

mos en forma in

tinta la funcin

utilizando el nom

de la mismaf, o

indicando solam

el nombre de la

ble dependiente

Grfico


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52 f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s p a r a c o n

Funciones Elementales - InET - Curso IB Septiembre 2012

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