2015

FUNCIONES

2015

IacuteNDICE

Concepto de variable funcioacuten dominio condominio y recorrido de una funcioacutenhelliphelliphelliphellip

Funcioacuten inyectiva suprayectiva y biyectivahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funcioacuten real de variable real y su representacioacuten graacuteficahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funciones algebraicas funcioacuten polinomial racional e irracionalhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funciones trascedentes funciones trigonomeacutetricas y funciones exponencialeshelliphelliphelliphellip

Funciones definidas por maacutes de una regla de correspondencia funcioacuten valor absolutohelliphellip

Operaciones con funciones adiccioacuten multiplicacioacuten composicioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funcioacuten inversa Funciones logariacutetmica Funciones trigonomeacutetricas inversashelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funciones con dominio en los nuacutemeros naturales y recorrido en los nuacutemeros reales las

sucesiones infinitashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funcioacuten impliacutecitahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Conclusioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Fuentes de consultashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

2015

CONCEPTO DE VARIABLE FUNCIOacuteN DOMINIO

CONDOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIOacuteN

Definicioacuten de variable

Por lo general en ciertas operaciones utilizadas como las ecuaciones algebraicas entre otras

habraacuten notado la presencia de literales o letras que suplantan a un valor numeacuterico el valor

de estas literales puede venir predefinidos si se trata de una constante (lo contrario a las

variables) o como en este caso se le puede asignar un valor pero este debe ser posible Las

variables puede tener nuacutemeros Naturales enteros racionales reales o complejos

Un pequentildeo ejemplo sencillo de esto seriacutea

Si queremos conocer el Aacuterea de un cuadrado recurrimos a su formula de A = LL o A

=L^2 ( Lado al cuadrado)

A= Aacuterea

L= Lado

En este ejemplo L es la variable ya que el valor que se le asigne a esta literal no es conocido

y podemos variarlo A tambieacuten es una variable ya que aun que en la forma actual solo

representa el resultado de una operacioacuten dependiendo de los valores asignados a esa

operacioacuten dependeraacute a lo que equivale A

Definicioacuten de Funcioacuten

En aacutelgebra una funcioacuten es caracterizada con el siacutembolo f

Una funcioacuten con una variable generalmente se representa f(x) si llegara a ocurrir el caso

en que existan 2 cantidades las cantidades se representariacutean con ldquoxrdquo ldquoYrdquo si lo

relacionamos con la ecuacioacuten y=x^3+4 entonces nos indica que Y esta en funcioacuten de X y se

representa de la siguiente manera y= f(x)=x^3+4

2015

Esta funcioacuten significa que se eleva X al cubo y se le suman 4 Tambieacuten podemos observar

que X es la variable independiente y Y es la variable dependiente

Definicioacuten de Dominio

El dominio en teacuterminos sencillos es los que puede entrar en una funcioacuten

Seguacuten el Diccionario Especializado de matemaacuteticas se define como Dominio a

El conjunto de nuacutemeros o cantidades sobre las cuales se efectuacutea o puede efectuarse una

aplicacioacuten En aacutelgebra el dominio de una funcioacuten f(x) es el conjunto de valores que puede

tomar la variable independiente x Si por ejemplo f(x) representa la raiz cuadrada de x

entonces el dominio se define como todos los nuacutemeros racionales positivos

Resumen Se le define al Dominio como el conjunto de todas las entradas posibles

Definicioacuten de Co-dominio

El condominio tambieacuten llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de

resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento

Recorrido de una funcioacuten

Tal como su nombre lo indica Se le denomina rango o recorrido de una funcioacuten al grupo de

valores reales que toma una variable y o f(x)

Resumen Es el probable resultado que sale de una funcioacuten

2015

FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA

Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA

FUNCIONES

Funcioacuten inyectiva

Ejemplo de funcioacuten inyectiva

En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le

corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del

conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes

elementos que tengan la misma imagen

Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el

valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros

positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva

2015

IacuteNDICE

Concepto de variable funcioacuten dominio condominio y recorrido de una funcioacutenhelliphelliphelliphellip

Funcioacuten inyectiva suprayectiva y biyectivahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funcioacuten real de variable real y su representacioacuten graacuteficahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funciones algebraicas funcioacuten polinomial racional e irracionalhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funciones trascedentes funciones trigonomeacutetricas y funciones exponencialeshelliphelliphelliphellip

Funciones definidas por maacutes de una regla de correspondencia funcioacuten valor absolutohelliphellip

Operaciones con funciones adiccioacuten multiplicacioacuten composicioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funcioacuten inversa Funciones logariacutetmica Funciones trigonomeacutetricas inversashelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funciones con dominio en los nuacutemeros naturales y recorrido en los nuacutemeros reales las

sucesiones infinitashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Funcioacuten impliacutecitahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Conclusioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Fuentes de consultashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

2015

CONCEPTO DE VARIABLE FUNCIOacuteN DOMINIO

CONDOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIOacuteN

Definicioacuten de variable

Por lo general en ciertas operaciones utilizadas como las ecuaciones algebraicas entre otras

habraacuten notado la presencia de literales o letras que suplantan a un valor numeacuterico el valor

de estas literales puede venir predefinidos si se trata de una constante (lo contrario a las

variables) o como en este caso se le puede asignar un valor pero este debe ser posible Las

variables puede tener nuacutemeros Naturales enteros racionales reales o complejos

Un pequentildeo ejemplo sencillo de esto seriacutea

Si queremos conocer el Aacuterea de un cuadrado recurrimos a su formula de A = LL o A

=L^2 ( Lado al cuadrado)

A= Aacuterea

L= Lado

En este ejemplo L es la variable ya que el valor que se le asigne a esta literal no es conocido

y podemos variarlo A tambieacuten es una variable ya que aun que en la forma actual solo

representa el resultado de una operacioacuten dependiendo de los valores asignados a esa

operacioacuten dependeraacute a lo que equivale A

Definicioacuten de Funcioacuten

En aacutelgebra una funcioacuten es caracterizada con el siacutembolo f

Una funcioacuten con una variable generalmente se representa f(x) si llegara a ocurrir el caso

en que existan 2 cantidades las cantidades se representariacutean con ldquoxrdquo ldquoYrdquo si lo

relacionamos con la ecuacioacuten y=x^3+4 entonces nos indica que Y esta en funcioacuten de X y se

representa de la siguiente manera y= f(x)=x^3+4

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Esta funcioacuten significa que se eleva X al cubo y se le suman 4 Tambieacuten podemos observar

que X es la variable independiente y Y es la variable dependiente

Definicioacuten de Dominio

El dominio en teacuterminos sencillos es los que puede entrar en una funcioacuten

Seguacuten el Diccionario Especializado de matemaacuteticas se define como Dominio a

El conjunto de nuacutemeros o cantidades sobre las cuales se efectuacutea o puede efectuarse una

aplicacioacuten En aacutelgebra el dominio de una funcioacuten f(x) es el conjunto de valores que puede

tomar la variable independiente x Si por ejemplo f(x) representa la raiz cuadrada de x

entonces el dominio se define como todos los nuacutemeros racionales positivos

Resumen Se le define al Dominio como el conjunto de todas las entradas posibles

Definicioacuten de Co-dominio

El condominio tambieacuten llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de

resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento

Recorrido de una funcioacuten

Tal como su nombre lo indica Se le denomina rango o recorrido de una funcioacuten al grupo de

valores reales que toma una variable y o f(x)

Resumen Es el probable resultado que sale de una funcioacuten

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FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA

Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA

FUNCIONES

Funcioacuten inyectiva

Ejemplo de funcioacuten inyectiva

En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le

corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del

conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes

elementos que tengan la misma imagen

Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el

valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros

positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva

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CONCEPTO DE VARIABLE FUNCIOacuteN DOMINIO

CONDOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIOacuteN

Definicioacuten de variable

Por lo general en ciertas operaciones utilizadas como las ecuaciones algebraicas entre otras

habraacuten notado la presencia de literales o letras que suplantan a un valor numeacuterico el valor

de estas literales puede venir predefinidos si se trata de una constante (lo contrario a las

variables) o como en este caso se le puede asignar un valor pero este debe ser posible Las

variables puede tener nuacutemeros Naturales enteros racionales reales o complejos

Un pequentildeo ejemplo sencillo de esto seriacutea

Si queremos conocer el Aacuterea de un cuadrado recurrimos a su formula de A = LL o A

=L^2 ( Lado al cuadrado)

A= Aacuterea

L= Lado

En este ejemplo L es la variable ya que el valor que se le asigne a esta literal no es conocido

y podemos variarlo A tambieacuten es una variable ya que aun que en la forma actual solo

representa el resultado de una operacioacuten dependiendo de los valores asignados a esa

operacioacuten dependeraacute a lo que equivale A

Definicioacuten de Funcioacuten

En aacutelgebra una funcioacuten es caracterizada con el siacutembolo f

Una funcioacuten con una variable generalmente se representa f(x) si llegara a ocurrir el caso

en que existan 2 cantidades las cantidades se representariacutean con ldquoxrdquo ldquoYrdquo si lo

relacionamos con la ecuacioacuten y=x^3+4 entonces nos indica que Y esta en funcioacuten de X y se

representa de la siguiente manera y= f(x)=x^3+4

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Esta funcioacuten significa que se eleva X al cubo y se le suman 4 Tambieacuten podemos observar

que X es la variable independiente y Y es la variable dependiente

Definicioacuten de Dominio

El dominio en teacuterminos sencillos es los que puede entrar en una funcioacuten

Seguacuten el Diccionario Especializado de matemaacuteticas se define como Dominio a

El conjunto de nuacutemeros o cantidades sobre las cuales se efectuacutea o puede efectuarse una

aplicacioacuten En aacutelgebra el dominio de una funcioacuten f(x) es el conjunto de valores que puede

tomar la variable independiente x Si por ejemplo f(x) representa la raiz cuadrada de x

entonces el dominio se define como todos los nuacutemeros racionales positivos

Resumen Se le define al Dominio como el conjunto de todas las entradas posibles

Definicioacuten de Co-dominio

El condominio tambieacuten llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de

resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento

Recorrido de una funcioacuten

Tal como su nombre lo indica Se le denomina rango o recorrido de una funcioacuten al grupo de

valores reales que toma una variable y o f(x)

Resumen Es el probable resultado que sale de una funcioacuten

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FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA

Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA

FUNCIONES

Funcioacuten inyectiva

Ejemplo de funcioacuten inyectiva

En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le

corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del

conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes

elementos que tengan la misma imagen

Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el

valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros

positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva

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Esta funcioacuten significa que se eleva X al cubo y se le suman 4 Tambieacuten podemos observar

que X es la variable independiente y Y es la variable dependiente

Definicioacuten de Dominio

El dominio en teacuterminos sencillos es los que puede entrar en una funcioacuten

Seguacuten el Diccionario Especializado de matemaacuteticas se define como Dominio a

El conjunto de nuacutemeros o cantidades sobre las cuales se efectuacutea o puede efectuarse una

aplicacioacuten En aacutelgebra el dominio de una funcioacuten f(x) es el conjunto de valores que puede

tomar la variable independiente x Si por ejemplo f(x) representa la raiz cuadrada de x

entonces el dominio se define como todos los nuacutemeros racionales positivos

Resumen Se le define al Dominio como el conjunto de todas las entradas posibles

Definicioacuten de Co-dominio

El condominio tambieacuten llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de

resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento

Recorrido de una funcioacuten

Tal como su nombre lo indica Se le denomina rango o recorrido de una funcioacuten al grupo de

valores reales que toma una variable y o f(x)

Resumen Es el probable resultado que sale de una funcioacuten

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FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA

Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA

FUNCIONES

Funcioacuten inyectiva

Ejemplo de funcioacuten inyectiva

En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le

corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del

conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes

elementos que tengan la misma imagen

Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el

valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros

positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva

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FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA

Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA

FUNCIONES

Funcioacuten inyectiva

Ejemplo de funcioacuten inyectiva

En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le

corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del

conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes

elementos que tengan la misma imagen

Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el

valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros

positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva

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Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que

cumplen

Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una

aplicacioacuten biyectiva entre A y B

Funcioacuten biyectiva

Ejemplo de funcioacuten biyectiva

En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva

Formalmente

para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del

conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada

que es la regla de la funcioacuten inyectiva Sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida

le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que

exige la funcioacuten sobreyectiva

Teorema

Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva

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Funcioacuten sobreyectiva

Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva

En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o

exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en

palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un

elemento de X

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FUNCIOacuteN REAL DE VARIABLE REAL Y SU

REPRESENTACIOacuteN GRAacuteFICA

Cualquier funcioacuten cuyo rango de conjunto incluya soacutelo nuacutemeros reales es llamada una

funcioacuten valorada real o simplemente una funcioacuten real

Especialmente estudiada bajo el caacutelculo una funcioacuten valorada real se centra en las

integrales las desigualdades en general y sus derivadas

Una funcioacuten racional por ejemplo cae bajo la categoriacutea de una funcioacuten valorada real

Al igual que en cualquier otra funcioacuten tambieacuten una funcioacuten real pueden realizaacutersele las

operaciones baacutesicas tales como suma resta multiplicacioacuten etc

Aunque el denominador no sea igual a cero la operacioacuten de divisioacuten se puede realizar en

tales funciones

El resultado de estas operaciones es otra funcioacuten que puede no ser una funcioacuten real en

algunos casos

Si hablamos en teacuterminos matemaacuteticos una definicioacuten formal de una funcioacuten valorada real

seriacutea ldquoUna funcioacuten f X rarr Y se llama una funcioacuten valorada real si asocia un uacutenico

elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X donde X e Y son subconjuntos

del conjunto R (conjunto de todos los nuacutemeros reales)rdquo

En teacuterminos simples se puede decir que una funcioacuten que tiene el dominio y co-dominio de

su conjunto como subconjunto de R se llama una funcioacuten real

Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x f (x)) se le llama graacutefico de una

funcioacuten

En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de nuacutemeros reales la graacutefica se

llamaraacute graacutefica de la funcioacuten valorada real

2015

Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es

un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un

triplete (x1 x2 f(x1 x2)

Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten

1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X

e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k

El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X

Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo

del eje-x

En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x

Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute

la graacutefica

2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la

propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X

2015

La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco

grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos

Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =

x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del

origen y formaraacute la graacutefica

3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0

2015

4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0

2015

FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES

FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES

Funcioacuten polinomial

Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x

Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como

Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales

POLINOMIALES DE GRADO BAJO

NOMBRE FORMA GRADO

Funcioacuten constante f(x) = a 0

Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1

Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2

Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3

Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4

Funcioacuten racional

En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser

expresada de la forma

donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las

2015

Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es

un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un

triplete (x1 x2 f(x1 x2)

Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten

1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X

e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k

El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X

Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo

del eje-x

En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x

Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute

la graacutefica

2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la

propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X

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La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco

grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos

Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =

x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del

origen y formaraacute la graacutefica

3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0

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4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0

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FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES

FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES

Funcioacuten polinomial

Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x

Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como

Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales

POLINOMIALES DE GRADO BAJO

NOMBRE FORMA GRADO

Funcioacuten constante f(x) = a 0

Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1

Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2

Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3

Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4

Funcioacuten racional

En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser

expresada de la forma

donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las

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La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco

grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos

Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =

x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del

origen y formaraacute la graacutefica

3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0

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4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0

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FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES

FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES

Funcioacuten polinomial

Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x

Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como

Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales

POLINOMIALES DE GRADO BAJO

NOMBRE FORMA GRADO

Funcioacuten constante f(x) = a 0

Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1

Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2

Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3

Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4

Funcioacuten racional

En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser

expresada de la forma

donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las

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4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0

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FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES

FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES

Funcioacuten polinomial

Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x

Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como

Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales

POLINOMIALES DE GRADO BAJO

NOMBRE FORMA GRADO

Funcioacuten constante f(x) = a 0

Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1

Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2

Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3

Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4

Funcioacuten racional

En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser

expresada de la forma

donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las

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FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES

FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES

Funcioacuten polinomial

Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x

Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como

Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales

POLINOMIALES DE GRADO BAJO

NOMBRE FORMA GRADO

Funcioacuten constante f(x) = a 0

Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1

Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2

Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3

Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4

Funcioacuten racional

En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser

expresada de la forma

donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las

2015

funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores

de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un

nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables

Funcioacuten irracional

Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable

dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez

En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo

f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn

con g(x) una funcioacuten racional

Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero

real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)

Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos

que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros

reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras

palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0

Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez

cuadrada f(x)=xradic

Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto

de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten

raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual

que cero Im(f)=[0+infin)

2015

FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES

TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES

EXPONENCIALES

Funciones trascendentes

Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la

trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un

buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre

Ejemplo 1 - Funciones trascendentes

Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos

de funciones trascendentes

f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la

exponente)

g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$

Podrigravea considerar un polinomio de grado 5

h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica

u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4

Funciones trigonomeacutetricas

En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando

se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone

2015

que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las

graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1

Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el

intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene

minus1lesinxle1

minus1lecosxle1

o en teacuterminos de valores absolutos

|sinx|le1

|cosx|le1

Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es

decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo

Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y

tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x

sin(x+2π)=sinx

cos(x+2π)=cosx

La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las

mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras

La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten

tanx=sinxcosx

2015

y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su

intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π

tan(x+π)=tanx para toda x

Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas

de las funciones seno coseno y tangente

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una

constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos

el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo

La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente

No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base

En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma

f(x)=ax

donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto

Si x=n un nuacutemero positivo entonces

an=asdotasdota⋯sdota n factores

Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces

aminusn=1an

si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto

2015

ax=apq=(aradicq)p

FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO

La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias

por lo tanto siempre seraacute positiva o nula

En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo

del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o

trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos

1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de

x)

2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada

intervalo

3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x

es negativa se cambia el signo de la funcioacuten

4 Representamos la funcioacuten resultante

2015

OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION

MULTIPLICACION COMPOSICION

Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar

multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones

Composicion De Funciones

Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para

producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se

representa g(f(x))

Definicioacuten

Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes

operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE

2015

Composicioacuten de funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva

funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la

primera

2015

FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA

FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS

Funcioacuten inversa

Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica

de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que

la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de

la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda

otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY

Funcioacuten logariacutetmica

Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la

funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x

Funciones trigonomeacutetricas inversas

En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de

circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad

expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco

y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco

cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y

2015

FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS

NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS

REALES LAS SUCESIONES INFINITAS

Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros

naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales

En siacutembolos

s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an

Es decir que

- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten

1 reg s(1) = a1

- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten

2 reg s(2) = a2

3 reg s(3) = a3

De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como

un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse

graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano

FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA

En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple

sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones

5x - y - 2 = 0

Derivada impliacutecita

2015

Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y

Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y

teniendo presente que

x =1

En general yne1

Por lo que omitiremos x y dejaremos y

Ejemplos

2015

Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para

facili tar el caacutelculo

2015

CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de

astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber

cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de

ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

seraacute uacutetil en la praacutectica

2015

BIBLIOGRAFIAS

httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri

doDeUnaFuncion

httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva

httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf

httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf

httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf

httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf

httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf

2015

que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las

graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1

Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el

intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene

minus1lesinxle1

minus1lecosxle1

o en teacuterminos de valores absolutos

|sinx|le1

|cosx|le1

Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es

decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo

Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y

tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x

sin(x+2π)=sinx

cos(x+2π)=cosx

La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las

mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras

La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten

tanx=sinxcosx

2015

y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su

intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π

tan(x+π)=tanx para toda x

Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas

de las funciones seno coseno y tangente

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una

constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos

el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo

La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente

No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base

En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma

f(x)=ax

donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto

Si x=n un nuacutemero positivo entonces

an=asdotasdota⋯sdota n factores

Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces

aminusn=1an

si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto

2015

ax=apq=(aradicq)p

FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO

La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias

por lo tanto siempre seraacute positiva o nula

En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo

del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o

trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos

1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de

x)

2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada

intervalo

3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x

es negativa se cambia el signo de la funcioacuten

4 Representamos la funcioacuten resultante

2015

OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION

MULTIPLICACION COMPOSICION

Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar

multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones

Composicion De Funciones

Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para

producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se

representa g(f(x))

Definicioacuten

Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes

operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE

2015

Composicioacuten de funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva

funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la

primera

2015

FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA

FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS

Funcioacuten inversa

Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica

de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que

la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de

la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda

otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY

Funcioacuten logariacutetmica

Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la

funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x

Funciones trigonomeacutetricas inversas

En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de

circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad

expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco

y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco

cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y

2015

FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS

NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS

REALES LAS SUCESIONES INFINITAS

Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros

naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales

En siacutembolos

s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an

Es decir que

- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten

1 reg s(1) = a1

- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten

2 reg s(2) = a2

3 reg s(3) = a3

De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como

un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse

graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano

FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA

En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple

sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones

5x - y - 2 = 0

Derivada impliacutecita

2015

Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y

Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y

teniendo presente que

x =1

En general yne1

Por lo que omitiremos x y dejaremos y

Ejemplos

2015

Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para

facili tar el caacutelculo

2015

CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de

astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber

cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de

ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

seraacute uacutetil en la praacutectica

2015

BIBLIOGRAFIAS

httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri

doDeUnaFuncion

httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva

httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf

httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf

httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf

httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf

httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf

2015

y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su

intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π

tan(x+π)=tanx para toda x

Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas

de las funciones seno coseno y tangente

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una

constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos

el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo

La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente

No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base

En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma

f(x)=ax

donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto

Si x=n un nuacutemero positivo entonces

an=asdotasdota⋯sdota n factores

Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces

aminusn=1an

si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto

2015

ax=apq=(aradicq)p

FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO

La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias

por lo tanto siempre seraacute positiva o nula

En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo

del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o

trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos

1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de

x)

2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada

intervalo

3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x

es negativa se cambia el signo de la funcioacuten

4 Representamos la funcioacuten resultante

2015

OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION

MULTIPLICACION COMPOSICION

Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar

multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones

Composicion De Funciones

Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para

producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se

representa g(f(x))

Definicioacuten

Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes

operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE

2015

Composicioacuten de funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva

funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la

primera

2015

FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA

FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS

Funcioacuten inversa

Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica

de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que

la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de

la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda

otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY

Funcioacuten logariacutetmica

Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la

funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x

Funciones trigonomeacutetricas inversas

En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de

circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad

expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco

y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco

cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y

2015

FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS

NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS

REALES LAS SUCESIONES INFINITAS

Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros

naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales

En siacutembolos

s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an

Es decir que

- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten

1 reg s(1) = a1

- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten

2 reg s(2) = a2

3 reg s(3) = a3

De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como

un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse

graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano

FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA

En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple

sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones

5x - y - 2 = 0

Derivada impliacutecita

2015

Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y

Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y

teniendo presente que

x =1

En general yne1

Por lo que omitiremos x y dejaremos y

Ejemplos

2015

Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para

facili tar el caacutelculo

2015

CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de

astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber

cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de

ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

seraacute uacutetil en la praacutectica

2015

BIBLIOGRAFIAS

httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri

doDeUnaFuncion

httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva

httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf

httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf

httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf

httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf

httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf

2015

ax=apq=(aradicq)p

FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO

La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias

por lo tanto siempre seraacute positiva o nula

En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo

del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o

trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos

1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de

x)

2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada

intervalo

3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x

es negativa se cambia el signo de la funcioacuten

4 Representamos la funcioacuten resultante

2015

OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION

MULTIPLICACION COMPOSICION

Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar

multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones

Composicion De Funciones

Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para

producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se

representa g(f(x))

Definicioacuten

Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes

operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE

2015

Composicioacuten de funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva

funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la

primera

2015

FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA

FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS

Funcioacuten inversa

Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica

de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que

la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de

la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda

otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY

Funcioacuten logariacutetmica

Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la

funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x

Funciones trigonomeacutetricas inversas

En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de

circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad

expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco

y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco

cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y

2015

FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS

NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS

REALES LAS SUCESIONES INFINITAS

Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros

naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales

En siacutembolos

s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an

Es decir que

- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten

1 reg s(1) = a1

- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten

2 reg s(2) = a2

3 reg s(3) = a3

De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como

un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse

graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano

FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA

En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple

sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones

5x - y - 2 = 0

Derivada impliacutecita

2015

Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y

Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y

teniendo presente que

x =1

En general yne1

Por lo que omitiremos x y dejaremos y

Ejemplos

2015

Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para

facili tar el caacutelculo

2015

CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de

astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber

cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de

ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

seraacute uacutetil en la praacutectica

2015

BIBLIOGRAFIAS

httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri

doDeUnaFuncion

httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva

httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf

httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf

httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf

httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf

httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf

2015

OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION

MULTIPLICACION COMPOSICION

Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar

multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones

Composicion De Funciones

Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para

producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se

representa g(f(x))

Definicioacuten

Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes

operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE

2015

Composicioacuten de funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva

funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la

primera

2015

FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA

FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS

Funcioacuten inversa

Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica

de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que

la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de

la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda

otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY

Funcioacuten logariacutetmica

Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la

funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x

Funciones trigonomeacutetricas inversas

En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de

circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad

expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco

y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco

cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y

2015

FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS

NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS

REALES LAS SUCESIONES INFINITAS

Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros

naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales

En siacutembolos

s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an

Es decir que

- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten

1 reg s(1) = a1

- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten

2 reg s(2) = a2

3 reg s(3) = a3

De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como

un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse

graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano

FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA

En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple

sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones

5x - y - 2 = 0

Derivada impliacutecita

2015

Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y

Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y

teniendo presente que

x =1

En general yne1

Por lo que omitiremos x y dejaremos y

Ejemplos

2015

Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para

facili tar el caacutelculo

2015

CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de

astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber

cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de

ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

seraacute uacutetil en la praacutectica

2015

BIBLIOGRAFIAS

httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri

doDeUnaFuncion

httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva

httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf

httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf

httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf

httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf

httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf

2015

Composicioacuten de funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva

funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la

primera

2015

FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA

FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS

Funcioacuten inversa

Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica

de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que

la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de

la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda

otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY

Funcioacuten logariacutetmica

Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la

funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x

Funciones trigonomeacutetricas inversas

En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de

circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad

expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco

y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco

cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y

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FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS

NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS

REALES LAS SUCESIONES INFINITAS

Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros

naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales

En siacutembolos

s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an

Es decir que

- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten

1 reg s(1) = a1

- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten

2 reg s(2) = a2

3 reg s(3) = a3

De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como

un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse

graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano

FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA

En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple

sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones

5x - y - 2 = 0

Derivada impliacutecita

2015

Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y

Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y

teniendo presente que

x =1

En general yne1

Por lo que omitiremos x y dejaremos y

Ejemplos

2015

Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para

facili tar el caacutelculo

2015

CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de

astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber

cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de

ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

seraacute uacutetil en la praacutectica

2015

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2015

FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA

FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS

Funcioacuten inversa

Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica

de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que

la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de

la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda

otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY

Funcioacuten logariacutetmica

Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la

funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x

Funciones trigonomeacutetricas inversas

En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de

circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad

expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco

y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco

cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y

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FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS

NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS

REALES LAS SUCESIONES INFINITAS

Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros

naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales

En siacutembolos

s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an

Es decir que

- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten

1 reg s(1) = a1

- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten

2 reg s(2) = a2

3 reg s(3) = a3

De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como

un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse

graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano

FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA

En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple

sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones

5x - y - 2 = 0

Derivada impliacutecita

2015

Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y

Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y

teniendo presente que

x =1

En general yne1

Por lo que omitiremos x y dejaremos y

Ejemplos

2015

Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para

facili tar el caacutelculo

2015

CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de

astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber

cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de

ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

seraacute uacutetil en la praacutectica

2015

BIBLIOGRAFIAS

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FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS

NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS

REALES LAS SUCESIONES INFINITAS

Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros

naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales

En siacutembolos

s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an

Es decir que

- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten

1 reg s(1) = a1

- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten

2 reg s(2) = a2

3 reg s(3) = a3

De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como

un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse

graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano

FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA

En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple

sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones

5x - y - 2 = 0

Derivada impliacutecita

2015

Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y

Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y

teniendo presente que

x =1

En general yne1

Por lo que omitiremos x y dejaremos y

Ejemplos

2015

Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para

facili tar el caacutelculo

2015

CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de

astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber

cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de

ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

seraacute uacutetil en la praacutectica

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Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y

Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y

teniendo presente que

x =1

En general yne1

Por lo que omitiremos x y dejaremos y

Ejemplos

2015

Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para

facili tar el caacutelculo

2015

CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

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astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

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cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

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ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

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ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

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CONCLUSION

Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy

importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas

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astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto

de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber

cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en

una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a

traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de

ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que

el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la

consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos

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