2015
FUNCIONES
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IacuteNDICE
Concepto de variable funcioacuten dominio condominio y recorrido de una funcioacutenhelliphelliphelliphellip
Funcioacuten inyectiva suprayectiva y biyectivahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funcioacuten real de variable real y su representacioacuten graacuteficahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funciones algebraicas funcioacuten polinomial racional e irracionalhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funciones trascedentes funciones trigonomeacutetricas y funciones exponencialeshelliphelliphelliphellip
Funciones definidas por maacutes de una regla de correspondencia funcioacuten valor absolutohelliphellip
Operaciones con funciones adiccioacuten multiplicacioacuten composicioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funcioacuten inversa Funciones logariacutetmica Funciones trigonomeacutetricas inversashelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funciones con dominio en los nuacutemeros naturales y recorrido en los nuacutemeros reales las
sucesiones infinitashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funcioacuten impliacutecitahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Conclusioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Fuentes de consultashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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CONCEPTO DE VARIABLE FUNCIOacuteN DOMINIO
CONDOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIOacuteN
Definicioacuten de variable
Por lo general en ciertas operaciones utilizadas como las ecuaciones algebraicas entre otras
habraacuten notado la presencia de literales o letras que suplantan a un valor numeacuterico el valor
de estas literales puede venir predefinidos si se trata de una constante (lo contrario a las
variables) o como en este caso se le puede asignar un valor pero este debe ser posible Las
variables puede tener nuacutemeros Naturales enteros racionales reales o complejos
Un pequentildeo ejemplo sencillo de esto seriacutea
Si queremos conocer el Aacuterea de un cuadrado recurrimos a su formula de A = LL o A
=L^2 ( Lado al cuadrado)
A= Aacuterea
L= Lado
En este ejemplo L es la variable ya que el valor que se le asigne a esta literal no es conocido
y podemos variarlo A tambieacuten es una variable ya que aun que en la forma actual solo
representa el resultado de una operacioacuten dependiendo de los valores asignados a esa
operacioacuten dependeraacute a lo que equivale A
Definicioacuten de Funcioacuten
En aacutelgebra una funcioacuten es caracterizada con el siacutembolo f
Una funcioacuten con una variable generalmente se representa f(x) si llegara a ocurrir el caso
en que existan 2 cantidades las cantidades se representariacutean con ldquoxrdquo ldquoYrdquo si lo
relacionamos con la ecuacioacuten y=x^3+4 entonces nos indica que Y esta en funcioacuten de X y se
representa de la siguiente manera y= f(x)=x^3+4
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Esta funcioacuten significa que se eleva X al cubo y se le suman 4 Tambieacuten podemos observar
que X es la variable independiente y Y es la variable dependiente
Definicioacuten de Dominio
El dominio en teacuterminos sencillos es los que puede entrar en una funcioacuten
Seguacuten el Diccionario Especializado de matemaacuteticas se define como Dominio a
El conjunto de nuacutemeros o cantidades sobre las cuales se efectuacutea o puede efectuarse una
aplicacioacuten En aacutelgebra el dominio de una funcioacuten f(x) es el conjunto de valores que puede
tomar la variable independiente x Si por ejemplo f(x) representa la raiz cuadrada de x
entonces el dominio se define como todos los nuacutemeros racionales positivos
Resumen Se le define al Dominio como el conjunto de todas las entradas posibles
Definicioacuten de Co-dominio
El condominio tambieacuten llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de
resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento
Recorrido de una funcioacuten
Tal como su nombre lo indica Se le denomina rango o recorrido de una funcioacuten al grupo de
valores reales que toma una variable y o f(x)
Resumen Es el probable resultado que sale de una funcioacuten
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FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA
FUNCIONES
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le
corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del
conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes
elementos que tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el
valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros
positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
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Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una
aplicacioacuten biyectiva entre A y B
Funcioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva
Formalmente
para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del
conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada
que es la regla de la funcioacuten inyectiva Sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida
le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que
exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
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Funcioacuten sobreyectiva
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
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FUNCIOacuteN REAL DE VARIABLE REAL Y SU
REPRESENTACIOacuteN GRAacuteFICA
Cualquier funcioacuten cuyo rango de conjunto incluya soacutelo nuacutemeros reales es llamada una
funcioacuten valorada real o simplemente una funcioacuten real
Especialmente estudiada bajo el caacutelculo una funcioacuten valorada real se centra en las
integrales las desigualdades en general y sus derivadas
Una funcioacuten racional por ejemplo cae bajo la categoriacutea de una funcioacuten valorada real
Al igual que en cualquier otra funcioacuten tambieacuten una funcioacuten real pueden realizaacutersele las
operaciones baacutesicas tales como suma resta multiplicacioacuten etc
Aunque el denominador no sea igual a cero la operacioacuten de divisioacuten se puede realizar en
tales funciones
El resultado de estas operaciones es otra funcioacuten que puede no ser una funcioacuten real en
algunos casos
Si hablamos en teacuterminos matemaacuteticos una definicioacuten formal de una funcioacuten valorada real
seriacutea ldquoUna funcioacuten f X rarr Y se llama una funcioacuten valorada real si asocia un uacutenico
elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X donde X e Y son subconjuntos
del conjunto R (conjunto de todos los nuacutemeros reales)rdquo
En teacuterminos simples se puede decir que una funcioacuten que tiene el dominio y co-dominio de
su conjunto como subconjunto de R se llama una funcioacuten real
Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x f (x)) se le llama graacutefico de una
funcioacuten
En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de nuacutemeros reales la graacutefica se
llamaraacute graacutefica de la funcioacuten valorada real
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Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es
un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un
triplete (x1 x2 f(x1 x2)
Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten
1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k
El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X
Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo
del eje-x
En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x
Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute
la graacutefica
2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X
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La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
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4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
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FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
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funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
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FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
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que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
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y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
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ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
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OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
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Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
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FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
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FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
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Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
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Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
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CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
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BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
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IacuteNDICE
Concepto de variable funcioacuten dominio condominio y recorrido de una funcioacutenhelliphelliphelliphellip
Funcioacuten inyectiva suprayectiva y biyectivahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funcioacuten real de variable real y su representacioacuten graacuteficahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funciones algebraicas funcioacuten polinomial racional e irracionalhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funciones trascedentes funciones trigonomeacutetricas y funciones exponencialeshelliphelliphelliphellip
Funciones definidas por maacutes de una regla de correspondencia funcioacuten valor absolutohelliphellip
Operaciones con funciones adiccioacuten multiplicacioacuten composicioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funcioacuten inversa Funciones logariacutetmica Funciones trigonomeacutetricas inversashelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funciones con dominio en los nuacutemeros naturales y recorrido en los nuacutemeros reales las
sucesiones infinitashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Funcioacuten impliacutecitahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Conclusioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Fuentes de consultashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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CONCEPTO DE VARIABLE FUNCIOacuteN DOMINIO
CONDOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIOacuteN
Definicioacuten de variable
Por lo general en ciertas operaciones utilizadas como las ecuaciones algebraicas entre otras
habraacuten notado la presencia de literales o letras que suplantan a un valor numeacuterico el valor
de estas literales puede venir predefinidos si se trata de una constante (lo contrario a las
variables) o como en este caso se le puede asignar un valor pero este debe ser posible Las
variables puede tener nuacutemeros Naturales enteros racionales reales o complejos
Un pequentildeo ejemplo sencillo de esto seriacutea
Si queremos conocer el Aacuterea de un cuadrado recurrimos a su formula de A = LL o A
=L^2 ( Lado al cuadrado)
A= Aacuterea
L= Lado
En este ejemplo L es la variable ya que el valor que se le asigne a esta literal no es conocido
y podemos variarlo A tambieacuten es una variable ya que aun que en la forma actual solo
representa el resultado de una operacioacuten dependiendo de los valores asignados a esa
operacioacuten dependeraacute a lo que equivale A
Definicioacuten de Funcioacuten
En aacutelgebra una funcioacuten es caracterizada con el siacutembolo f
Una funcioacuten con una variable generalmente se representa f(x) si llegara a ocurrir el caso
en que existan 2 cantidades las cantidades se representariacutean con ldquoxrdquo ldquoYrdquo si lo
relacionamos con la ecuacioacuten y=x^3+4 entonces nos indica que Y esta en funcioacuten de X y se
representa de la siguiente manera y= f(x)=x^3+4
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Esta funcioacuten significa que se eleva X al cubo y se le suman 4 Tambieacuten podemos observar
que X es la variable independiente y Y es la variable dependiente
Definicioacuten de Dominio
El dominio en teacuterminos sencillos es los que puede entrar en una funcioacuten
Seguacuten el Diccionario Especializado de matemaacuteticas se define como Dominio a
El conjunto de nuacutemeros o cantidades sobre las cuales se efectuacutea o puede efectuarse una
aplicacioacuten En aacutelgebra el dominio de una funcioacuten f(x) es el conjunto de valores que puede
tomar la variable independiente x Si por ejemplo f(x) representa la raiz cuadrada de x
entonces el dominio se define como todos los nuacutemeros racionales positivos
Resumen Se le define al Dominio como el conjunto de todas las entradas posibles
Definicioacuten de Co-dominio
El condominio tambieacuten llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de
resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento
Recorrido de una funcioacuten
Tal como su nombre lo indica Se le denomina rango o recorrido de una funcioacuten al grupo de
valores reales que toma una variable y o f(x)
Resumen Es el probable resultado que sale de una funcioacuten
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FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA
FUNCIONES
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le
corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del
conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes
elementos que tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el
valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros
positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
2015
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una
aplicacioacuten biyectiva entre A y B
Funcioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva
Formalmente
para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del
conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada
que es la regla de la funcioacuten inyectiva Sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida
le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que
exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
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Funcioacuten sobreyectiva
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
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FUNCIOacuteN REAL DE VARIABLE REAL Y SU
REPRESENTACIOacuteN GRAacuteFICA
Cualquier funcioacuten cuyo rango de conjunto incluya soacutelo nuacutemeros reales es llamada una
funcioacuten valorada real o simplemente una funcioacuten real
Especialmente estudiada bajo el caacutelculo una funcioacuten valorada real se centra en las
integrales las desigualdades en general y sus derivadas
Una funcioacuten racional por ejemplo cae bajo la categoriacutea de una funcioacuten valorada real
Al igual que en cualquier otra funcioacuten tambieacuten una funcioacuten real pueden realizaacutersele las
operaciones baacutesicas tales como suma resta multiplicacioacuten etc
Aunque el denominador no sea igual a cero la operacioacuten de divisioacuten se puede realizar en
tales funciones
El resultado de estas operaciones es otra funcioacuten que puede no ser una funcioacuten real en
algunos casos
Si hablamos en teacuterminos matemaacuteticos una definicioacuten formal de una funcioacuten valorada real
seriacutea ldquoUna funcioacuten f X rarr Y se llama una funcioacuten valorada real si asocia un uacutenico
elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X donde X e Y son subconjuntos
del conjunto R (conjunto de todos los nuacutemeros reales)rdquo
En teacuterminos simples se puede decir que una funcioacuten que tiene el dominio y co-dominio de
su conjunto como subconjunto de R se llama una funcioacuten real
Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x f (x)) se le llama graacutefico de una
funcioacuten
En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de nuacutemeros reales la graacutefica se
llamaraacute graacutefica de la funcioacuten valorada real
2015
Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es
un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un
triplete (x1 x2 f(x1 x2)
Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten
1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k
El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X
Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo
del eje-x
En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x
Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute
la graacutefica
2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X
2015
La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
CONCEPTO DE VARIABLE FUNCIOacuteN DOMINIO
CONDOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIOacuteN
Definicioacuten de variable
Por lo general en ciertas operaciones utilizadas como las ecuaciones algebraicas entre otras
habraacuten notado la presencia de literales o letras que suplantan a un valor numeacuterico el valor
de estas literales puede venir predefinidos si se trata de una constante (lo contrario a las
variables) o como en este caso se le puede asignar un valor pero este debe ser posible Las
variables puede tener nuacutemeros Naturales enteros racionales reales o complejos
Un pequentildeo ejemplo sencillo de esto seriacutea
Si queremos conocer el Aacuterea de un cuadrado recurrimos a su formula de A = LL o A
=L^2 ( Lado al cuadrado)
A= Aacuterea
L= Lado
En este ejemplo L es la variable ya que el valor que se le asigne a esta literal no es conocido
y podemos variarlo A tambieacuten es una variable ya que aun que en la forma actual solo
representa el resultado de una operacioacuten dependiendo de los valores asignados a esa
operacioacuten dependeraacute a lo que equivale A
Definicioacuten de Funcioacuten
En aacutelgebra una funcioacuten es caracterizada con el siacutembolo f
Una funcioacuten con una variable generalmente se representa f(x) si llegara a ocurrir el caso
en que existan 2 cantidades las cantidades se representariacutean con ldquoxrdquo ldquoYrdquo si lo
relacionamos con la ecuacioacuten y=x^3+4 entonces nos indica que Y esta en funcioacuten de X y se
representa de la siguiente manera y= f(x)=x^3+4
2015
Esta funcioacuten significa que se eleva X al cubo y se le suman 4 Tambieacuten podemos observar
que X es la variable independiente y Y es la variable dependiente
Definicioacuten de Dominio
El dominio en teacuterminos sencillos es los que puede entrar en una funcioacuten
Seguacuten el Diccionario Especializado de matemaacuteticas se define como Dominio a
El conjunto de nuacutemeros o cantidades sobre las cuales se efectuacutea o puede efectuarse una
aplicacioacuten En aacutelgebra el dominio de una funcioacuten f(x) es el conjunto de valores que puede
tomar la variable independiente x Si por ejemplo f(x) representa la raiz cuadrada de x
entonces el dominio se define como todos los nuacutemeros racionales positivos
Resumen Se le define al Dominio como el conjunto de todas las entradas posibles
Definicioacuten de Co-dominio
El condominio tambieacuten llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de
resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento
Recorrido de una funcioacuten
Tal como su nombre lo indica Se le denomina rango o recorrido de una funcioacuten al grupo de
valores reales que toma una variable y o f(x)
Resumen Es el probable resultado que sale de una funcioacuten
2015
FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA
FUNCIONES
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le
corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del
conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes
elementos que tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el
valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros
positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
2015
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una
aplicacioacuten biyectiva entre A y B
Funcioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva
Formalmente
para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del
conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada
que es la regla de la funcioacuten inyectiva Sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida
le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que
exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
2015
Funcioacuten sobreyectiva
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
2015
FUNCIOacuteN REAL DE VARIABLE REAL Y SU
REPRESENTACIOacuteN GRAacuteFICA
Cualquier funcioacuten cuyo rango de conjunto incluya soacutelo nuacutemeros reales es llamada una
funcioacuten valorada real o simplemente una funcioacuten real
Especialmente estudiada bajo el caacutelculo una funcioacuten valorada real se centra en las
integrales las desigualdades en general y sus derivadas
Una funcioacuten racional por ejemplo cae bajo la categoriacutea de una funcioacuten valorada real
Al igual que en cualquier otra funcioacuten tambieacuten una funcioacuten real pueden realizaacutersele las
operaciones baacutesicas tales como suma resta multiplicacioacuten etc
Aunque el denominador no sea igual a cero la operacioacuten de divisioacuten se puede realizar en
tales funciones
El resultado de estas operaciones es otra funcioacuten que puede no ser una funcioacuten real en
algunos casos
Si hablamos en teacuterminos matemaacuteticos una definicioacuten formal de una funcioacuten valorada real
seriacutea ldquoUna funcioacuten f X rarr Y se llama una funcioacuten valorada real si asocia un uacutenico
elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X donde X e Y son subconjuntos
del conjunto R (conjunto de todos los nuacutemeros reales)rdquo
En teacuterminos simples se puede decir que una funcioacuten que tiene el dominio y co-dominio de
su conjunto como subconjunto de R se llama una funcioacuten real
Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x f (x)) se le llama graacutefico de una
funcioacuten
En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de nuacutemeros reales la graacutefica se
llamaraacute graacutefica de la funcioacuten valorada real
2015
Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es
un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un
triplete (x1 x2 f(x1 x2)
Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten
1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k
El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X
Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo
del eje-x
En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x
Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute
la graacutefica
2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X
2015
La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
Esta funcioacuten significa que se eleva X al cubo y se le suman 4 Tambieacuten podemos observar
que X es la variable independiente y Y es la variable dependiente
Definicioacuten de Dominio
El dominio en teacuterminos sencillos es los que puede entrar en una funcioacuten
Seguacuten el Diccionario Especializado de matemaacuteticas se define como Dominio a
El conjunto de nuacutemeros o cantidades sobre las cuales se efectuacutea o puede efectuarse una
aplicacioacuten En aacutelgebra el dominio de una funcioacuten f(x) es el conjunto de valores que puede
tomar la variable independiente x Si por ejemplo f(x) representa la raiz cuadrada de x
entonces el dominio se define como todos los nuacutemeros racionales positivos
Resumen Se le define al Dominio como el conjunto de todas las entradas posibles
Definicioacuten de Co-dominio
El condominio tambieacuten llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de
resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento
Recorrido de una funcioacuten
Tal como su nombre lo indica Se le denomina rango o recorrido de una funcioacuten al grupo de
valores reales que toma una variable y o f(x)
Resumen Es el probable resultado que sale de una funcioacuten
2015
FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA
FUNCIONES
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le
corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del
conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes
elementos que tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el
valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros
positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
2015
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una
aplicacioacuten biyectiva entre A y B
Funcioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva
Formalmente
para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del
conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada
que es la regla de la funcioacuten inyectiva Sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida
le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que
exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
2015
Funcioacuten sobreyectiva
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
2015
FUNCIOacuteN REAL DE VARIABLE REAL Y SU
REPRESENTACIOacuteN GRAacuteFICA
Cualquier funcioacuten cuyo rango de conjunto incluya soacutelo nuacutemeros reales es llamada una
funcioacuten valorada real o simplemente una funcioacuten real
Especialmente estudiada bajo el caacutelculo una funcioacuten valorada real se centra en las
integrales las desigualdades en general y sus derivadas
Una funcioacuten racional por ejemplo cae bajo la categoriacutea de una funcioacuten valorada real
Al igual que en cualquier otra funcioacuten tambieacuten una funcioacuten real pueden realizaacutersele las
operaciones baacutesicas tales como suma resta multiplicacioacuten etc
Aunque el denominador no sea igual a cero la operacioacuten de divisioacuten se puede realizar en
tales funciones
El resultado de estas operaciones es otra funcioacuten que puede no ser una funcioacuten real en
algunos casos
Si hablamos en teacuterminos matemaacuteticos una definicioacuten formal de una funcioacuten valorada real
seriacutea ldquoUna funcioacuten f X rarr Y se llama una funcioacuten valorada real si asocia un uacutenico
elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X donde X e Y son subconjuntos
del conjunto R (conjunto de todos los nuacutemeros reales)rdquo
En teacuterminos simples se puede decir que una funcioacuten que tiene el dominio y co-dominio de
su conjunto como subconjunto de R se llama una funcioacuten real
Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x f (x)) se le llama graacutefico de una
funcioacuten
En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de nuacutemeros reales la graacutefica se
llamaraacute graacutefica de la funcioacuten valorada real
2015
Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es
un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un
triplete (x1 x2 f(x1 x2)
Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten
1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k
El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X
Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo
del eje-x
En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x
Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute
la graacutefica
2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X
2015
La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
FUNCIOacuteN INYECTIVA FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Y FUNCIOacuteN BIYECTIVA
FUNCIONES
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le
corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del
conjunto A le corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes
elementos que tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el
valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros
positivos obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
2015
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una
aplicacioacuten biyectiva entre A y B
Funcioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva
Formalmente
para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del
conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada
que es la regla de la funcioacuten inyectiva Sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida
le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que
exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
2015
Funcioacuten sobreyectiva
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
2015
FUNCIOacuteN REAL DE VARIABLE REAL Y SU
REPRESENTACIOacuteN GRAacuteFICA
Cualquier funcioacuten cuyo rango de conjunto incluya soacutelo nuacutemeros reales es llamada una
funcioacuten valorada real o simplemente una funcioacuten real
Especialmente estudiada bajo el caacutelculo una funcioacuten valorada real se centra en las
integrales las desigualdades en general y sus derivadas
Una funcioacuten racional por ejemplo cae bajo la categoriacutea de una funcioacuten valorada real
Al igual que en cualquier otra funcioacuten tambieacuten una funcioacuten real pueden realizaacutersele las
operaciones baacutesicas tales como suma resta multiplicacioacuten etc
Aunque el denominador no sea igual a cero la operacioacuten de divisioacuten se puede realizar en
tales funciones
El resultado de estas operaciones es otra funcioacuten que puede no ser una funcioacuten real en
algunos casos
Si hablamos en teacuterminos matemaacuteticos una definicioacuten formal de una funcioacuten valorada real
seriacutea ldquoUna funcioacuten f X rarr Y se llama una funcioacuten valorada real si asocia un uacutenico
elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X donde X e Y son subconjuntos
del conjunto R (conjunto de todos los nuacutemeros reales)rdquo
En teacuterminos simples se puede decir que una funcioacuten que tiene el dominio y co-dominio de
su conjunto como subconjunto de R se llama una funcioacuten real
Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x f (x)) se le llama graacutefico de una
funcioacuten
En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de nuacutemeros reales la graacutefica se
llamaraacute graacutefica de la funcioacuten valorada real
2015
Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es
un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un
triplete (x1 x2 f(x1 x2)
Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten
1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k
El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X
Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo
del eje-x
En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x
Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute
la graacutefica
2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X
2015
La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una
aplicacioacuten biyectiva entre A y B
Funcioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva
Formalmente
para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del
conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada
que es la regla de la funcioacuten inyectiva Sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida
le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que
exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
2015
Funcioacuten sobreyectiva
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
2015
FUNCIOacuteN REAL DE VARIABLE REAL Y SU
REPRESENTACIOacuteN GRAacuteFICA
Cualquier funcioacuten cuyo rango de conjunto incluya soacutelo nuacutemeros reales es llamada una
funcioacuten valorada real o simplemente una funcioacuten real
Especialmente estudiada bajo el caacutelculo una funcioacuten valorada real se centra en las
integrales las desigualdades en general y sus derivadas
Una funcioacuten racional por ejemplo cae bajo la categoriacutea de una funcioacuten valorada real
Al igual que en cualquier otra funcioacuten tambieacuten una funcioacuten real pueden realizaacutersele las
operaciones baacutesicas tales como suma resta multiplicacioacuten etc
Aunque el denominador no sea igual a cero la operacioacuten de divisioacuten se puede realizar en
tales funciones
El resultado de estas operaciones es otra funcioacuten que puede no ser una funcioacuten real en
algunos casos
Si hablamos en teacuterminos matemaacuteticos una definicioacuten formal de una funcioacuten valorada real
seriacutea ldquoUna funcioacuten f X rarr Y se llama una funcioacuten valorada real si asocia un uacutenico
elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X donde X e Y son subconjuntos
del conjunto R (conjunto de todos los nuacutemeros reales)rdquo
En teacuterminos simples se puede decir que una funcioacuten que tiene el dominio y co-dominio de
su conjunto como subconjunto de R se llama una funcioacuten real
Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x f (x)) se le llama graacutefico de una
funcioacuten
En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de nuacutemeros reales la graacutefica se
llamaraacute graacutefica de la funcioacuten valorada real
2015
Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es
un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un
triplete (x1 x2 f(x1 x2)
Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten
1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k
El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X
Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo
del eje-x
En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x
Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute
la graacutefica
2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X
2015
La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
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FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
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y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
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ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
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OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
Funcioacuten sobreyectiva
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
2015
FUNCIOacuteN REAL DE VARIABLE REAL Y SU
REPRESENTACIOacuteN GRAacuteFICA
Cualquier funcioacuten cuyo rango de conjunto incluya soacutelo nuacutemeros reales es llamada una
funcioacuten valorada real o simplemente una funcioacuten real
Especialmente estudiada bajo el caacutelculo una funcioacuten valorada real se centra en las
integrales las desigualdades en general y sus derivadas
Una funcioacuten racional por ejemplo cae bajo la categoriacutea de una funcioacuten valorada real
Al igual que en cualquier otra funcioacuten tambieacuten una funcioacuten real pueden realizaacutersele las
operaciones baacutesicas tales como suma resta multiplicacioacuten etc
Aunque el denominador no sea igual a cero la operacioacuten de divisioacuten se puede realizar en
tales funciones
El resultado de estas operaciones es otra funcioacuten que puede no ser una funcioacuten real en
algunos casos
Si hablamos en teacuterminos matemaacuteticos una definicioacuten formal de una funcioacuten valorada real
seriacutea ldquoUna funcioacuten f X rarr Y se llama una funcioacuten valorada real si asocia un uacutenico
elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X donde X e Y son subconjuntos
del conjunto R (conjunto de todos los nuacutemeros reales)rdquo
En teacuterminos simples se puede decir que una funcioacuten que tiene el dominio y co-dominio de
su conjunto como subconjunto de R se llama una funcioacuten real
Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x f (x)) se le llama graacutefico de una
funcioacuten
En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de nuacutemeros reales la graacutefica se
llamaraacute graacutefica de la funcioacuten valorada real
2015
Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es
un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un
triplete (x1 x2 f(x1 x2)
Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten
1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k
El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X
Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo
del eje-x
En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x
Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute
la graacutefica
2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X
2015
La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
FUNCIOacuteN REAL DE VARIABLE REAL Y SU
REPRESENTACIOacuteN GRAacuteFICA
Cualquier funcioacuten cuyo rango de conjunto incluya soacutelo nuacutemeros reales es llamada una
funcioacuten valorada real o simplemente una funcioacuten real
Especialmente estudiada bajo el caacutelculo una funcioacuten valorada real se centra en las
integrales las desigualdades en general y sus derivadas
Una funcioacuten racional por ejemplo cae bajo la categoriacutea de una funcioacuten valorada real
Al igual que en cualquier otra funcioacuten tambieacuten una funcioacuten real pueden realizaacutersele las
operaciones baacutesicas tales como suma resta multiplicacioacuten etc
Aunque el denominador no sea igual a cero la operacioacuten de divisioacuten se puede realizar en
tales funciones
El resultado de estas operaciones es otra funcioacuten que puede no ser una funcioacuten real en
algunos casos
Si hablamos en teacuterminos matemaacuteticos una definicioacuten formal de una funcioacuten valorada real
seriacutea ldquoUna funcioacuten f X rarr Y se llama una funcioacuten valorada real si asocia un uacutenico
elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X donde X e Y son subconjuntos
del conjunto R (conjunto de todos los nuacutemeros reales)rdquo
En teacuterminos simples se puede decir que una funcioacuten que tiene el dominio y co-dominio de
su conjunto como subconjunto de R se llama una funcioacuten real
Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x f (x)) se le llama graacutefico de una
funcioacuten
En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de nuacutemeros reales la graacutefica se
llamaraacute graacutefica de la funcioacuten valorada real
2015
Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es
un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un
triplete (x1 x2 f(x1 x2)
Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten
1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k
El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X
Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo
del eje-x
En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x
Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute
la graacutefica
2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X
2015
La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
Generalmente el graacutefico de tal funcioacuten es una superficie donde la entrada de la funcioacuten es
un par ordenado de nuacutemeros reales (x1 x2) y la salida es decir el graacutefico formado es un
triplete (x1 x2 f(x1 x2)
Algunas de las funciones valoradas reales y sus graacuteficos se analizan a continuacioacuten
1 Funcioacuten Constante y Graacutefico Una funcioacuten constante es una funcioacuten f X rarr Y donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k
El graacutefico formado para esta funcioacuten es una liacutenea recta paralela al eje X
Si tenemos que kgt 0 la liacutenea estaraacute por encima del eje x sino la liacutenea se formaraacute por debajo
del eje-x
En el caso que k sea igual a cero la liacutenea se superpone al eje-x
Ejemplo y = 12 en este caso una liacutenea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formaraacute
la graacutefica
2 Funcioacuten Identidad y Graacutefico Una funcioacuten identidad es una funcioacuten f X rarr Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X
2015
La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
La graacutefica de esta funcioacuten es una liacutenea recta que se traza en un aacutengulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos
Tal funcioacuten toma un elemento para siacute mismo y nunca cambia su dominio Ejemplo f (x) =
x en este caso una liacutenea en un aacutengulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a traveacutes del
origen y formaraacute la graacutefica
3 Funcioacuten Moacutedulo y Graacutefico Una funcioacuten moacutedulo o una funcioacuten valorada absoluta es una de la siguiente manera f(x) = x f(x) = x gt= 0 -x lt= 0
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
4 Funcioacuten Reciacuteproca y Grafico Una funcioacuten reciacuteproca es una como la que sigue f(x) = 1x donde x ltgt 0
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
Funcioacuten polinomial
Una funcioacuten polinomial es una funcioacuten en que f(x) es un polinomio en x
Una funcioacuten polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales estaacuten definidas y son continuas en todos los nuacutemeros reales
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Funcioacuten constante f(x) = a 0
Funcioacuten lineal f(x) = ax + b a ne 0 1
Funcioacuten cuadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 2
Funcioacuten cuacutebica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ne 0 3
Funcioacuten cuaacutertica f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e a ne 0 4
Funcioacuten racional
En matemaacuteticas una funcioacuten racional de una variable es una funcioacuten que puede ser
expresada de la forma
donde P y Q son polinomios y x una variable siendo Q distinto del polinomio nulo Las
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
funciones racionales estaacuten definidas o tienen sudominio de definicioacuten en todos los valores
de x que no anulen el denominador Obviamente esta definicioacuten puede extenderse a un
nuacutemero finito pero arbitrario de variables usando polinomios de varias variables
Funcioacuten irracional
Una funcioacuten irracional es una funcioacuten en cuya expresioacuten analiacutetica la variable
dependiente x aparece debajo del siacutembolo de raiacutez
En este apartado consideraremos uacutenicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)minusminusminusminusradicn
con g(x) una funcioacuten racional
Si el iacutendice n de la raiacutez es impar es posible calcular la imagen de cualquier nuacutemero
real siempre y cuando la expresioacuten g(x) sea un nuacutemero real es decir Dom(f)=Dom(g)
Si el iacutendice n de la raiacutez es par para poder calcular imaacutegenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero ya que las raiacuteces pares de un nuacutemero negativo no son nuacutemeros
reales Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuacioacuten g(x)ge0 En otras
palabras Dom(f)=xisinR∣g(x)ge0
Estudiemos ahora el caso maacutes simple de funcioacuten irracional la funcioacuten raiacutez
cuadrada f(x)=xradic
Se trata de una funcioacuten en que el iacutendice de la raiacutez es 2 Por tanto su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuacioacuten xge0 Asiacute tenemos Dom(f)=[0+infin) La imagen de la funcioacuten
raiacutez cuadrada es como en el caso del dominio el conjunto de los reales mayores o igual
que cero Im(f)=[0+infin)
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
FUNCIONES TRASCENDENTALES FUNCIONES
TRIGONOMEacuteTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonomeacutetrica la trigonomegravetrica inversa exponencial y logariacutetmica ademaacutes comprende un
buen nuacutemero de otras funciones que nunca han recibido nombre
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x es una funcioacuten exponencial (La x es la
exponente)
g(x)=x50 es una funcioacuten potencia (la x es la base$
Podrigravea considerar un polinomio de grado 5
h(x)=1+x1minusxradic es una funcioacuten algebraica
u(t)=1minust+5t4 es un polinomio de grado 4
Funciones trigonomeacutetricas
En el caacutelculo la covencioacuten es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario) Por ejemplo cuando se usa la funcioacuten f(x)=sinx se supone
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
que sinxsignifica el seno del aacutengulo cuya medida en radianes es x Por consiguiente las
graacuteficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1
Observe que tanto para la funcioacuten seno como coseno el dominio es (minusinfininfin) y el alcance es el
intervalo [minus11] En estos teacuterminos para todos los valores de x se tiene
minus1lesinxle1
minus1lecosxle1
o en teacuterminos de valores absolutos
|sinx|le1
|cosx|le1
Ademaacutes los ceros de las funciones seno surgen en muacuteltiplos enteros de π es
decir sinx=0 donde x=nπ y n es un nuacutemero positivo
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perioacutedicas y
tienen periodos 2π Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza perioacutedica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas los resortes vibratorios y las ondas sonoras
La funcioacuten tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuacioacuten
tanx=sinxcosx
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
y su graacutefica Es indefinida siempre que cosx=0 es decir cuando x=plusmnπ2plusmn3π2 Su
intervalo es (minusinfininfin) Observe que la funcioacuten tangente tiene periacuteodos π
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonomeacutetricas restantes (cosecante secante y cotangente) son reciacuteprocas
de las funciones seno coseno y tangente
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax donde la base a es una
constante positiva En la figura 3 se muestran graacuteficas de y=2x y y=(05)x En ambos casos
el dominio es (minusinfininfin) y (0infin) es el intervalo
La funcioacuten f(x)=2x se denomina funcioacuten exponencial porque la variable x es el exponente
No debe confundirse con la funcioacuten potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base
En general una funcioacuten exponencial es una funcioacuten de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva Cabe recordar queacute significa esto
Si x=n un nuacutemero positivo entonces
an=asdotasdota⋯sdota n factores
Si x=0 en tal caso a0=1 y si x=minusn donde n es un entero positivo entonces
aminusn=1an
si x es un nuacutemero racional x=pq donde p y q son enteros positivos y qgt0 por lo tanto
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
ax=apq=(aradicq)p
FUNCION DEFINIDA POR MAacuteS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA FUNCION VALOR ABSOLUTO
La funcioacuten de valor absoluto tiene por ecuacioacuten f(x) = |x| y siempre representa distancias
por lo tanto siempre seraacute positiva o nula
En esta condicioacuten de ser siempre positiva o nula su graacutefica no se encontraraacute jamaacutes debajo
del eje x Su graacutefica va a estar siempre por encima de dicho eje o a lo sumo tocaacutendolo
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten sin el valor absoluto y se calculan sus raiacuteces (los valores de
x)
2 Se forman intervalos con las raiacuteces (los valores de x) y se evaluacutea el signo de cada
intervalo
3 Definimos la funcioacuten a intervalos teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resultante
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
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FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
2015
OPERACIONES CON FUNCIONES ADICION
MULTIPLICACION COMPOSICION
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los nuacutemeros sumar restar
multiplicar dividir elevar a una potencia sacar raiacutez o se puede hacer combinaciones
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado Por ejemplo f actua sobre ldquoxrdquo para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definicioacuten
Sean f g dos funciones reales de variable real Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones i SUMA ii DIFERENCIA iii PRODUCTO iv COCIENTE
2015
Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
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CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
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Composicioacuten de funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g una nueva
funcioacuten llamada la ldquocompuesta de f y grdquo
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera
2015
FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
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httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
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httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
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FUNCION INVERSA FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS
Funcioacuten inversa
Son dos funciones tales que a todo punto de la graacutefica
de la primera funcioacuten corresponde un punto de la graacutefica de la segunda de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa es decir a todo punto de la primera curva corresponde en la segunda
otro punto simeacutetrico con respecto a la bisectriz del aacutengulo XOY
Funcioacuten logariacutetmica
Es aquella que estaacute afectada por un logaritmo como log10 x Puede decirse tambieacuten que la
funcioacuten logariacutetmica es la inversa de la funcioacuten exponencial y=a^x y y=loga x
Funciones trigonomeacutetricas inversas
En trigonometriacutea cuando el aacutengulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio) suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco
y= sen x y es igual al seno de x la funcioacuten inversa x= arc sen y es el arco
cuyo seno vale y o tambieacuten x es el arcoseno de y
2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
2015
Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
2015
Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
2015
BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
httpsmatesandreufileswordpresscom201102funciones-matematicaspdf
httpwwwprepa5unammxwwwP5profesorpublicacionMate05IIpdf
httpwwwingenieriaunammx~colomepgCAPITULO_I_FUNCIONES_IIIpdf
httpeiscunivalleeduco~oscarbedMD04-Funcionespdf
httpwwwcienciasulavematematicaestudiantespdftesis_anterioresTesis_LeonEleazarpdf
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FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUacuteMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUacuteMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS
Una sucesioacuten numeacuterica es una funcioacuten cuyo dominio es el conjunto de los nuacutemeros
naturales y cuyo recorrido estaacute incluido en el conjunto de los nuacutemeros reales
En siacutembolos
s lN reg lR n Icirc lN s(n) = an
Es decir que
- a1 es la imagen del nuacutemero natural 1 por medio de la sucesioacuten
1 reg s(1) = a1
- a2 es la imagen del nuacutemero natural 2 por medio de la sucesioacuten
2 reg s(2) = a2
3 reg s(3) = a3
De acuerdo con esta definicioacuten cada elemento de una sucesioacuten puede representarse como
un par ordenado (n s(n)) o bien (n an) Por consiguiente toda sucesioacuten puede representarse
graacuteficamente mediante un diagrama cartesiano
FUNCIOacuteN IMPLIacuteCITA
En las funciones impliacutecitas no se pueden obtener las imaacutegenes de x por simple
sustitucioacuten sino que es preciso efectuar operaciones
5x - y - 2 = 0
Derivada impliacutecita
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Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
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Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
facili tar el caacutelculo
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CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemaacuteticas se puede concluir en que son muy
importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
de finanzas de economiacutea de estadiacutestica de ingenieriacutea de medicina de quiacutemica y fiacutesica de
astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
seraacute uacutetil en la praacutectica
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BIBLIOGRAFIAS
httpmitecnologicocomigestionMainConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
httpmitecnologicocomigestionMainFuncionInyectiva
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Para hallar la derivada en forma impliacutecita no es necesario despejar y
Basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivacioacuten y
teniendo presente que
x =1
En general yne1
Por lo que omitiremos x y dejaremos y
Ejemplos
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Cuando las funciones son maacutes complejas vamos a utilizar una regla para
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importantes de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria problemas
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astronomiacutea de geologiacutea y de cualquier aacuterea social donde haya que relacionar variables
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para asiacute saber
cuaacutento podemos comprar si lo llevamos al plano podemos escribir esta correspondencia en
una ecuacioacuten de funcioacuten x como el precio y la cantidad de producto como y Ademaacutes a
traveacutes de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las graacuteficas lo cual va a depender de cada tipo de funcioacuten Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigacioacuten fue positivo ya que se cumple la
consiga en cuanto a la informacioacuten teoacuterica y creemos que tambieacuten esta monografiacutea nos
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doDeUnaFuncion
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