Ecuaciones y lugares geomtricos Los dos problemas fundamentales de la geometra

analtica son: Dada una ecuacin, hallar el lugar geomtrico que

representa. Dado un lugar geomtrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuacin.

Lugar geomtrico Definicin 1: el conjunto de los puntos, y solamente de

aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuacin, con la forma f(x,y)=0, se llama grafica de la ecuacin o, bien, su lugar geomtrico

Para determinar un lugar geomtrico y conocer su

forma vamos a utilizar algunas propiedades: Interseccin con los ejes coordenados Simetras Campos de variacin de las variables

Interseccin con los ejes coordenados Llamaremos intercepcin de una curva con el eje X a la

abscisa del punto de interseccin de la curva con el eje. Anlogamente, la intercepcin con el eje Y es la ordenada del punto de interseccin de la curva con el eje Ejemplo: determinar los interceptos de la siguiente ecuacin

Simetras Dos puntos son simtricos con respecto a una recta si

sta es la mediatriz del segmento que los une. Dos puntos son simtricos con respecto a otro punto, si ste es el punto medio del segmento que los une. En consecuenciaSi una ecuacin no se altera al sustituir x por(-x), su representacin grafica, o LG, es simtrica con respecto al eje y Ejemplo1.

2.

si una ecuacin no varia al sustituir y por y , su representacin grafica, o LG, es simtrico con respecto al eje x Ejemplo

3.

Por ultimo, si una ecuacin no varia al sustituir x por x e y por y, su representacin grafica es simtrica con respecto al origen Ejemplo

Campos de variacin Vamos a entender por campos de variacin o extensin

de una curva a los intervalos de variacin para los cuales los valores de x e y son valores reales. Esta informacin es til por las siguientes razonesDa la localizacin general de la curva en el plano coordenado. 2. Indica si la curva es cerrada o si es de extensin indefinida.1.

Los intervalos para los cuales los valores de x e y son

reales se determinan, resolviendo la ecuacin dada para y, en trminos de x, y para x en trminos de y

Ejemplo Discutir la ecuacin y2 =X3 , estudiando las

intersecciones , simetras y extensiones. Trazar la grafica correspondiente.

Ejercicios En cada una de las ecuaciones dadas a continuacin

determnese, interceptos, simetras y extensiones1. 5x+4y-20=0 2. 3x2+3y2-10=0

3. 3x2+4y2-12=04. 9x2-4y2-36=0 5. 16x2-y=0 6. 8x3-y=0 7. 16y2-x=0 8. X2-y2-9=0

El segundo problema de la geometra analtica: Dada una figura geomtrica o la condicin que deben cumplir los puntos de la misma, determinar

su ecuacin. Para una curva, dar las condiciones que deben

cumplir sus puntos es dar una ley a la cual deben obedecer los puntos de la curva. De acuerdo a esto es frecuente definir una curva como el lugar geomtrico descrito por un punto que se mueve siguiendo una ley especifica.

Una curva es el lugar geomtrico de todos aquellos

puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen una o mas condiciones geomtricas dadas De acuerdo a loa anterior , el procedimiento para

obtener la ecuacin de un lugar geomtrico es esencialmente como sigue: 1. Se supone que el punto P, de coordenadas (x,y) es un punto cualquiera que satisface la condicin o condiciones dadas, y, por tanto, un punto del lugar geomtrico.

2. Se expresa, analticamente, la condicin o

condiciones geomtricas dadas, por medio de una ecuacin o ecuaciones en coordenadas variables x e y 3. Se simplifica, si hace falta, la ecuacin obtenida en el paso 2 de tal manera que tome la forma f(x,y)=0

Ejemplo: hallar la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos A(-1,2) y B(4,-1).

Ejemplo: hallar la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista del puntos A(4,0) y el eje Y.

Hallar el lugar geomtrico de los puntos P(x,y) cuya

distancia al punto fijo C(2,-1) sea igual a 5.

Caractersticas de los distintos lugares geomtricos Hasta ahora hemos visto como construir L.G a partir de

la ecuacin o de algunas caractersticas que nos permiten determinar la ecuacin y posteriormente el estudio del L.G. En lo que sigue de la unidad estudiaremos las

caractersticas de los L.G de mayor relevancia e.d La Lnea Recta La circunferencia La elipse

La parbola La hiprbola

La lnea recta Definicin: llamaremos

lnea recta al lugar geomtrico de los puntos P1 (x1,y1) tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2) del lugar, el valor de la pendiente m, es siempre constante.

P2 (x2,y2)

Ecuacin de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada Geomtricamente, una recta queda, perfectamente

determinada por uno de sus puntos y su direccin.

Analticamente, la ecuacin de una recta puede estar

perfectamente determinada si se conoce las coordenadas de uno de sus puntos y su ngulo de inclinacin (por tanto, su pendiente)

Teorema 1 : la recta que pasa por el punto dado P1(x1,y1)

y tiene la pendiente dada m, tiene ecuacin.

Demostracin:

Otras formas de la ecuacin de la recta Si bien con el teorema anterior es factible determinar

la ecuacin de cualquier recta, tambin es necesario conocer otras formas de la ecuacin de la recta tiles para ciertos problemas Ecuacin de la recta dad su pendiente y su ordenada en el

origen: Consideremos la recta L cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b ed. pasa por el punto (0,b), Entonces aplicando el teorema anterior tenemos

Teorema 2: la recta cuya pendiente es m y cuya ordenada

en el origen es b tiene por ecuacin

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos:

geomtricamente una recta queda completamente definida por dos puntos cualesquiera de la recta. Entonces si tenemos dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2,y2) la ecuacin de la recta que pasa por estos puntos esCalculando m= ? Y aplicando el teorema 1

Teorema 3: la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1,

y1) y P2(x2,y2) tiene por ecuacin

Ecuacin simtrica de la recta: sean a0 y b 0 los

segmentos que una recta determina sobre el eje X e Y, es decir sus intercepciones. Entonces (a,0) y (0,b) son dos puntos de la recta Aplicando el teorema 3 a los puntos anteriores se obtiene

Teorema 4: la recta cuyas intercepciones con los ejes X

e Y son a 0 y b0, respectivamente, tiene por ecuacin:

Ejemplo: hallar la ecuacin de la recta que pasa por el

punto (-3,1) y es paralela a la recta determinada por los puntos (0,-2) y (5,2)

Ejercicios Hallar la ecuacin de la mediatriz del segmento (-2,1) y

(3,-5). Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(1,-5) y tiene pendiente 2 Hallar la ecuacin de la recta cuya pendiente es -3 y cuyo intercepto con el eje Y es -2 Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(4,2) y B(-5,7) los vrtices de un cuadriltero son A(0,0), B(2,4), C(6,7) y D(8,0). Hallar las ecuaciones de sus lados

Forma general de la ecuacin de una recta Se llama forma general de la ecuacin de la recta a

Ax+By+C=0 Donde A o B deben ser diferentes de cero y C puede o no ser cero, edemas se pueden identificar los siguientes elementos la pendiente esta dada por m=-A/B y el intercepto con el eje y esta dado por C/B

Posiciones relativas de dos rectas Existen 4 posiciones relativas entre dos rectas Paralelismo: matemticamente se prueba si las dos rectas tienen la misma pendiente Perpendicularidad: se confirma realizando el producto de las pendientes si este producto da -1 las rectas son perpendiculares: Coincidencia : se dice que dos rectas son coincidentes si tienen un punto en comn y la misma direccin Interseccin en uno y solo un punto: esto ocurre cuando las rectas no son paralelas.

Distancia de un punto a una recta La distancia d de una recta Ax+By+C=0 a un punto

dado (x,y) puede obtenerse sustituyendo las coordenadas en la siguiente expresin

Ejercicios Transformar la forma general de la ecuacin de la recta

a la forma simtrica. Hallar la ecuacin de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa por el punto (-2,4) y tiene pendiente -3 Hallar la ecuacin de una recta, determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y, es decir, sus intercepciones, son 3 y -5, respectivamente.

Ejercicios Hallar la ecuacin de la recta, determinando los

coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1, -3). Hallar el valor de k para que la recta kx + (k -1) y 18 =0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0. Determinar el valor de k para que la recta k2x + (k-1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x - 2y 11 =0. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x9y+2=0.

Secciones cnicas Las cnicas, son curvas que

resultan de la interseccin de un cono (circular recto) y un plano. Las cnicas que estudiaremos en este capitulo surgen cuando el plano no pasa por el vrtice. Estas cnicas son circulo, elipse, parbola e hiprbola

La circunferencia A continuacin comenzaremos un estudio detallado de la

ecuacin de la circunferencia y deduciremos algunas de sus propiedades especiales Ecuacin de la circunferencia forma ordinaria: La ecuacin de la circunferencia se obtendr a partir de la siguiente definicin La circunferencia es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo

Teorema 1: La ecuacin de la circunferencia de centro

(h,k) y radio r es

Demostracin: Sea P(x,y) un punto cualquiera de la

circunferencia de centro (h,k) y radio r

Un caso particular de lo anterior resulta cuando el

centro de la circunferencia se encuentra en el origen, en este caso se tiene que h=k=0, reemplazando estas condiciones en la ecuacin del teorema anterior se obtiene.

Forma general de la ecuacin de la circunferencia La forma general de la ecuacin de la circunferencia se

obtiene desarrollando la ecuacin ordinaria

Una ves obtenida la ecuacin general de la

circunferencia queda el problema de saber si toda ecuacin con la forma

representa una circunferencia, para lo cual usemos la competicin de cuadrados para poder volver a la forma ordinaria de la ecuacin de la circunferencia.

Ejercicios Escribir la ecuacin de la circunferencia de centro

C(-3,-5) y radio 7 Los extremos de un dimetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) y B(-4,5). Hallar la ecuacin general de la circunferencia. Hallar la ecuacin de la circunferencia de centro C(2,-4) y que es tangente al eje Y Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7,-6) y que pasa por el punto A(2,2)

Determinacin de una circunferencia sujeta a tres condiciones En la ecuacin de la circunferencia

Hay tres constantes independientes h, k y r. de igual

manera la ecuacin general de la circunferencia

Tambin hay tres constantes independientes D, E y F Por lo que determinando los valores de las constantes

anteriores en cualquiera de las dos ecuaciones queda determinada la ecuacin de la circunferencia

Para lo anterior podemos enunciar que

una circunferencia se determina completamente por tres condiciones independientes Ejemplo: determina la ecuacin de la circunferencia,

centro y radio si esta pasa por los pintos A(-1,1), B(3,5) y C(5,-3) Ejercicio: hallar la ecuacin, centro y radio de la

circunferencia que pasa por los puntos (6,2), (8,0) y cuyo centro est sobre la recta 3x+7y+2=0