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Geometría: distinguir perímetro de área, incluyendo cálculos

Dentro del núcleo estructurante Geometría uno de los saberes básicos fundamentales

que se ha observado tienen dificultades los alumnos es respecto a la distinción de los conceptos de perímetro y área. Y por otro lado dentro del núcleo Medición las dificultades se observan con respecto al cálculo de perímetros. Como los conocimientos están muy vinculados es que se decide tratarlos en forma conjunta.

Estos saberes básicos están incluidos en los saberes que se proponen promover desde los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de Segundo Ciclo, en Relación con la Geometría y la Medida, en donde se puntualiza:

El análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas que requieran:

*elaborar y comparar procedimientos para calcular áreas y perímetros de figuras.

*comparar figuras analizando cómo varían sus formas, perímetros y áreas

cuando se mantienen alguna o algunas de estas características y se modifica/n otra/s.

A continuación se muestran algunos ítems de evaluación que obtuvieron en general menos del 50% de respuestas correctas. Por ejemplo en la evaluación de 2013 el ítem correspondiente a la distinción entre perímetro y área obtuvo un 35,68% de acierto. El ítem correspondiente al cálculo de perímetro en la misma evaluación obtuvo un 34,85% de acierto.

Los ejercicios dados corresponden a varios operativos de evaluación (provinciales, nacionales e internacionales) porque en ellos, a pesar de ser poblaciones distintas y de distintos años, los alumnos repiten los mismos errores.

Es importante recordar que cada uno de los distractores que aparecen NO han sido puestos al azar, son posibles formas de razonar que tienen los alumnos, o un

aprendizaje incompleto que en algunos casos les resulta válido. Por ello en evaluación sistemática se los llama “distractores válidos”, al elegirlos queda claro el error que tienen los alumnos.

[1]

El área de la zona de juego es: a) 150 m2 b) 80 m2 c) 90 m2 d) 48 m2

[2]

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) El perímetro de A es mayor que el

perímetro de B. b) El perímetro de A es igual que el

perímetro de B. c) El perímetro de A es menor que el

perímetro de B. d) El perímetro de A es 3 veces el

perímetro de B.

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[3] Imagina que tienes una cuerda de 32 cm de largo y la usas para formar un rectángulo

que tenga 1 cm de alto. ¿Qué ancho tendrá ese rectángulo? (usando toda la cuerda)

a) 32 cm b) 31 cm c) 30 cm d) 15 cm

[4]

La afirmación verdadera es:

a) El perímetro de la cara sombreada del cuerpo A es igual que el perímetro de la cara sombreada del cuerpo B.

b) El perímetro de la cara sombreada del cuerpo A es mayor que el perímetro de la cara sombreada del cuerpo B.

c) El perímetro de la cara sombreada del

cuerpo A es menor que el perímetro de la cara sombreada del cuerpo B.

d) El perímetro de la cara sombreada del cuerpo A es el doble que el perímetro de la cara sombreada del cuerpo B.

[5]

En el patio de la escuela que es rectangular, hay baldosas de 0,3 m de lado. Si entran 100 baldosas en el ancho y 40 en el largo, ¿cuánto miden el perímetro y el área del patio?

[6]

a) El área de la ventana A es el doble del

área de la ventana B. b) El área de la ventana A es la mitad del

área de la ventana B. c) El área de la ventana A es más del

doble del área de la ventana B. d) El área de la ventana A es igual que el

área de la ventana B.

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[9] Un jardín rectangular continuo a un edificio tiene una vereda alrededor de los otros tres

lados, como se muestra en la figura:

[10] Ejercicio extraído de TIMSS (Test de Investigación de

Matemática y Ciencias) que se toma, a nivel internacional a 45 países.

[11] En el dibujo, la figura ABCD es un cuadrado. ¿Cuánto mide el perímetro de la figura EBCD?

1) 60 cm. 2) 27 cm 3) 22 cm 4) 12 cm.

[12] El siguiente edificio de juguete tiene 12 cm de altura y 16 cm de ancho. Todas las ventanas son iguales (congruentes). Si cada una tiene 3 cm por lado. ¿Cuánto es la suma del perímetro de todas las ventanas que se ven en el frente?.

a) 12 cm b) 31 cm

c) 54 cm d) 72 cm

Al iniciar el trabajo con áreas y perímetros, un aspecto importante a considerar es la diferenciación entre ambos conceptos. Esa confusión entre áreas y perímetros provoca, muchas veces, que las medidas del perímetro y del área aparezcan intercambiadas entre sí. Por ejemplo, el área muchas veces aparece expresada en centímetros y no en centímetros cuadrados, como si sólo fuera un problema de denominación. Por otro lado, los alumnos suponen la existencia de alguna vinculación entre ambos y tienden a pensar que la

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variación de uno de estos atributos implica la modificación del otro en la misma relación. Por ejemplo, si aumenta el área, aumenta el perímetro, si mantenemos el área, se mantiene el perímetro.

En cuanto a la confusión “perímetro– área”, “área – volumen” que se da frecuentemente en los alumnos tiene su origen en diversas razones tanto de origen psicológico como de origen didáctico.

Dentro de las razones psicológicas se citan:

el hecho que el perímetro es unidimensional mientras que el área exige la coordinación de dos dimensiones y el volumen de tres;

la tendencia a llevar a modelos lineales (en particular a pensarlas como magnitudes directamente proporcionales) las relaciones lado-perímetro, perímetro-área, área-volumen, por lo cual los alumnos no admiten que manteniéndose estable el perímetro se puedan obtener áreas distintas (mayores o menores que la dada). ¿Qué significa llevar a modelos lineales?… si a un alumno se le dice que el lado de una figura aumenta éste piensa que el perímetro o el área aumentan “en la misma proporción” y sabemos que no es así. Por ejemplo si se duplica el lado de un cubo se octuplica1 su volumen en lugar de duplicarse, o que al duplicar el lado de un cuadrado se duplica el perímetro pero se cuadriplica el área, entre otros.

Dentro de las razones didácticas se señalan:

la falta de tiempo de construcción de las nociones de perímetro, área y volumen, y el apuro por pasar a las fórmulas;

el uso de pocos recursos que permitan visualizar las diferencias de estos conceptos contrastándolos tales como el geoplano, el papel punteado o cuadriculado, las varillas articulables, el desarrollo de figuras del espacio, la construcción de figuras tridimensionales a partir de sus caras, el sellado de las caras de una figura, la búsqueda de figuras equivalentes trabajando con bloques o ladrillitos pero de formas distintas, cálculo de áreas laterales, entre otros;

se usan siempre y sólo figuras convexas, lo que provoca la idea errónea de que las figuras cóncavas no pueden ser usadas o no son convenientes;

casi nunca se ponen explícitamente en relación área y perímetro de la misma figura; por el contrario, a veces se insiste en que el perímetro se mide en metros (m), mientras que el área en metros cuadrados (m2), y se insiste en las diferencias y no en las relaciones;

1 El problema de duplicar el cubo fue el más famoso en los tiempos de los antiguos griegos , el cual consiste en construir el lado de un cubo que tenga el doble de volumen que otro cubo, cuyo lado se da como dato del problema.

Según la leyenda, una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al oráculo de Delos, consagrado a Apolo para consultar qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la

isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses cons truyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor. Nadie supo

cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado.

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casi nunca se hacen transformaciones sobre las figuras de forma que se conserven o se modifiquen área o perímetro, lo que crea una idea errónea en cuanto al significado que tiene el término ‘transformación’.

Las dificultades detectadas en el aprendizaje del perímetro y del área de las figuras –y, posteriormente, del volumen de los cuerpos– frecuentemente llevan a identificar un nudo problemático. Así lo expresan algunos maestros: “Los alumnos aplican bien las fórmulas, pero no ponen unidades en la respuesta”, “Les da lo mismo metro que metro cuadrado”, “Siempre preguntan si el área del cuadrado es lado por 4 o lado al cuadrado”.

En principio, cabe destacar que el tratamiento “aritmetizado” de las magnitudes hace que resulte difícil para el alumno diferenciarlas, ya que, en definitiva, pareciera que sólo se trata de “correr la coma”, aplicar fórmulas y operar con decimales. Y este trabajo es común para todas las magnitudes. Más aun, frente a una presentación prematura de las fórmulas y a partir de ejemplos, los alumnos pueden “aplicarlas” cuando se incluyen los datos en el enunciado de un problema, pero tienen dificultades para explicitar a qué se denomina “altura” en un triángulo, o bien confunden la altura de un paralelogramo con un lado si tienen que tomar las medidas de un dibujo.

Otro factor que influye en la dificultad para diferenciar estas magnitudes es el tratamiento “aislado”, derivado de la distribución de los contenidos que suele hacerse en el segundo ciclo. Habitualmente, se inicia el tratamiento de la noción de perímetro en cuarto grado. En quinto, se dedica un tiempo a su profundización y luego se inicia el trabajo sobre superficie.

En sexto grado, el trabajo se focaliza en los cálculos de áreas. En séptimo, eventualmente, se aborda el volumen. El tratamiento de estas magnitudes no siempre incluye su puesta en relación, cuestión que si se presenta como necesaria en los NAP (Núcleos de Aprendizaje Prioritarios).

Por otra parte, nuestra experiencia sensible muchas veces nos lleva a suponer que longitud, área y volumen siempre crecen o decrecen conjuntamente. Por ejemplo, para reformar una habitación mas grande que otra, anticipamos que usaremos más alfombra, más zócalos, más pintura. Intuitivamente tendemos a pensar que esto siempre es así.

El obstáculo para la construcción satisfactoria de las relaciones entre perímetro y área es básicamente de naturaleza didáctica y deriva de las siguientes elecciones:

se usan siempre y sólo figuras convexas, lo que provoca la idea errónea de que las figuras cóncavas no pueden ser usadas o no son convenientes;

se usan siempre figuras estándar provocando la idea errónea que viene enunciada generalmente con la frase: ‘Pero esta no es figura geométrica’;

casi nunca se ponen explícitamente en relación área y perímetro de la misma figura geométrica; por el contrario, a veces se insiste en que el

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perímetro se mide en metros (m), mientras que el área en metros cuadrados (m2), y se insiste en las diferencias y no en las relaciones;

casi nunca se hacen transformaciones sobre las figuras de forma que se conserven o se modifiquen área o perímetro, lo que crea una ida errónea en cuanto al significado que tiene el término ‘transformación’.

En el apartado de propuestas de enseñanza, hay sugerencias y actividades para poder ir sorteando estos obstáculos.