Ing. Alvaro Vega

LA PARÁBOLA

Repasando lo visto en clase:

• a = Eje de la parábola

• l = Recta directriz y es perpendicular al eje de la parábola

• A = Punto de intersección entre la directriz y el eje de la parábola

• p = Parámetro y es la distancia entre V y P

• V = Vértice y es el punto medio entre A y F

• LL´ = Lado Recto y su valor es I 4p I

• BB´ = Cuerda de la parábola

• CC´ = Cuerda Focal

CÁTEDRA: GEOMETRÍA ANALÍTICA

CÓDIGO: MAT-21524

CARRERA: CICLO BÁSICO DE INGENIERÍA

SEMESTRE: PRIMERO

PROFESOR: Ing. ALVARO VEGA

UNIDAD: II

TEMA: LA PARÁBOLA EN EL PLANO CARTESIANO

AUTORES DE LOS MATERIALES: - CHARLES H. LEHMANN (ENUNCIADO

DEL EJERCICIO) - FULLER G. (ENUNCIADO DEL

EJERCICIO) - Ing. ALVARO VEGA (SOLUCIÓN DE

LOS EJERCICIOS)

TITULOS DE LOS MATERIALES:

- GEOMETRÍA ANALÍTICA - GEOMETRÍA ANALÍTICA, C.E.C.S.A

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA - AMPLIACIÓN CICLO BÁSICO TÁCHIRA - NÚCLEO TÁCHIRA

F

V a

F F

B

L C

A

llll

B`

C`

L`

p

a

Ing. Alvaro Vega

Utilizando las ecuaciones para las parábolas vistas en clase resolvemos los

siguientes ejercicios:

EJERCICIO No. 1

Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto ( 3 , 2 ) y su foco está

en el punto ( 5 , 2 ).

SOLUCIÓN:

Observando los dos puntos dados, vemos que tanto el vértice como el foco tienen en

común el valor de la ordenada (es decir, el valor de “y”) que es 2. Por tanto

podemos afirmar que como el foco y el vértice pertenecen al eje de la parábola, este

eje es la recta y=2 por lo tanto es una parábola horizontal y su ecuación es de la

forma: ( y – k ) 2 = 4p ( x – h )

Además podemos graficar:

p = distancia entre los punto V y F p = 5 – 3 p = 2

Sustituyendo el valor del vértice dado y el valor de p calculado en la ecuación de la

parábola horizontal. Tenemos:

V F

3 5

Y

X

Eje de la parábola 2

Ing. Alvaro Vega

( y – 2 ) 2 = ( 4) (2) ( x – 3 )

( y – 2 ) 2 = 8 ( x – 3 ) Ecuación canónica de la parábola

Resolviendo para encontrar la ecuación general:

y2 – 4y + 4 = 8x – 24 y2 – 8x – 4y +24 = 0

EJERCICIO No. 2

Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la longitud del lado recto, y la ecuación

de la directriz, en una parábola cuya ecuación es: ( x + 6 ) 2 = –24 ( y – 2 )

SOLUCIÓN La ecuación dada representa una parábola vertical, es decir, su eje es paralelo al eje “Y”. Si comparamos la ecuación dada con la ecuación canónica similar: ( x + 6 ) 2 = –24 ( y – 2 ) ( x + h ) 2 = 4p ( y – k ) Tenemos que el vértice será V ( – 6 , 2 ) además podemos decir que 4p = –24,

luego despejando p, para hallar su valor

4p = –24 p = (–24 ) / 4 p = – 6

Como la distancia desde el vértice hasta el foco es igual al valor de p, entonces

podemos hallar las coordenadas del foco sumando el valor de p a la ordenada del

vértice y dejando el mismo valor de la abscisa, esto es:

Para la parábola vertical las coordenadas del foco son: F ( h (vértice) , k (vértice) + p )

Ing. Alvaro Vega

F [ – 6 , 2 + (– 6) ] F ( – 6 , – 4 )

La longitud del lado recto LL´ = I 4p I LL´ = | (4) (– 6) |

LL´ = | – 24 | = 24

Para hallar la ecuación de la directriz, sabemos que es una recta perpendicular al eje

de la parábola y para este ejercicio está 6 unidades distante del vértice en sentido

contrario a donde abre la parábola, pues la distancia entre la directriz y el vértice es

igual a la distancia entre el vértice y el foco

Eje de la parábola

V

F

Directriz

6

Y

X

La ecuación de la directriz será: y = 2 + 6 y = 8 y – 8 = 0

0

2

-6

- 4

8

Ing. Alvaro Vega

EJERCICIO No. 3

Dada la ecuación de la parábola 4y2 – 48x – 20y – 71 = 0 ; reduzca la ecuación

dada a la forma canónica, indique si es una parábola horizontal o vertical y hacia a

donde abre, halle las coordenadas del vértice y del foco, también hallar las

ecuaciones de la directriz y del eje y la longitud del lado recto.

SOLUCIÓN:

Primero dividimos la ecuación dada entre 4 para llevar el primer término de la

ecuación a la unidad.

4y2 – 48x – 20y – 71 = 0 dividiendo toda la ecuación entre 4 nos queda

y2 – 12x – 5y – (71 / 4) = 0 luego agrupando términos semejante y ordenando

y2 – 5y = 12x + (71 / 4) completando cuadrados para los términos de “y”

y2 – 5y + (5/2) 2 = 12x + (71 / 4) + (5/2) 2 y2 – 5y + (25/4) = 12x + (71 / 4) + (25/4)

( y – (5/2) ) 2 = 12x + (96/4)

( y – (5/2) ) 2 = 12x + 24 sacando factor al lado derecho de la igualdad

( y – (5/2) ) 2 = 12 ( x + 2) Ecuación canónica de la parábola dada

De la ecuación podemos determinar que la parábola es horizontal y que abre hacia

la derecha porque el valor de 4p = 12. También podemos determinar de la ecuación

canónica que el vértice tiene las coordenadas V( –2 , (5/2) )

Determinemos el valor de p

4p = 12 p = 12 / 4 p = 3

Ing. Alvaro Vega

Recordando que el foco y el vértice están en el eje de la parábola y como es una

parábola horizontal podemos afirmar que las coordenadas del foco son:

F ( h (vértice) + p , k (vértice) ) F ( –2 + 3 , (5/2) ) F ( 1 , (5/2) )

Para hallar la ecuación de la directriz, sabemos que es una recta perpendicular al eje

de la parábola y para este ejercicio está 3 unidades distante del vértice en sentido

contrario a donde abre la parábola, pues la distancia entre la directriz y el vértice es

igual a la distancia entre el vértice y el foco.

La ecuación de la directriz será: x = –2 – p x = –2 – 3 x = –2 – 3 x = – 5 Por lo tanto la ecuación de la directriz será x + 5 = 0

Como el foco y el vértice están sobre el eje de la parábola, entonces de las

coordenadas de estos dos puntos observamos que el valor de la ordenada ( valor de

“y” para ambos puntos) es el mismo (5/2) por lo tanto la ecuación del eje de la

parábola será:

y = (5/2) y – (5/2) = 0

Finalmente el lado recto es igual a 4p, siendo p = 3 el lado recto vale:

LL´ = | (4) (3) | LL´ = | 12 |