Gua 1.Solucionario de Estadstica Inferencial

7/26/2019 Gua 1.Solucionario de Estadstica Inferencial

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Solucionario de la Actividad de Aprendizaje 1 de Estadística Inferencial

Actividad de aprendizaje 1.1.

1.

n X X²

1 3 9

2 9 81

3 15 225

4 21 441

5 42 1764

6 30 900

7 6 36

8 9 819 6 36

10 15 225

11 21 441

12 24 576

13 33 1089

14 9 81

15 12 144

Sumas: 255 6129

Todos los datos de cobro son múltiplos de 3, tal que el dato 32 en realidad debe ser 33.

a) Media de muestra:

1715

255

n

x X

b) Varianza de muestra.

14,128

115

15/2556129

1

/ 222

2

n

n X X S

Estimación puntual de la varianza de población.

14,128ˆ 22 S σ

c) Estos datos corresponden a los costos cobrados al grupo de llamadas según el tiempo en

minutos completos directamente o redondeados hacia arriba, tal que con esta muestra se puede

estimar el valor promedio cobrado por cada llamada.



Esta muestra no es apropiada utilizar para estimar el tiempo promedio de llamada porque

existirán casos de redondeo del tiempo hacia arriba, tal que no se sabe el tiempo real para cada

una de las llamadas de la muestra considerada.

2. Relación 05,0057,0

700

40

N

n

Es necesario el uso del factor de corrección.

a) Error estándar estimado de la media.

18,01700

40700

40

2,1

1ˆ

N

n N

n

S σ

X

b) Intervalo de confianza del 90% para la media.

Por ser el tamaño de muestra n>30 se aplica la distribución normal.

X σ Z X IC ˆ. Área = 0,90/2 = 0,45: Z = 1,65

29,03,418,065,13,4 IC ; 0,43,03,4 LI ; 6,43,03,4 LS

Existe el 90% de confianza que el verdadero número promedio de errores por página en su trabajo

estará comprendido entre 4,0 y 4,6 errores.

3. 18,055/10/;55 n x n p

a. Error estándar estimado de la media.

052,0

55

)182,01(182,0)1(ˆ

n

p p σ P

b) Intervalo de confianza del 90% para la proporción.

Ya que tanto np como n(1-p) ≥ 5 se aplica la distribución normal.

P σ Z p IC ˆ. Área = 0,90/2 = 0,45: Z = 1,65



086,0182,0052,065,1182,0 IC ; 096,0086,0182,0 LI ;

268,0086,0182,0 LS

Existe el 90% de confianza que la verdadera proporción de población de asistentes al cine que

verán la película por segunda vez estará comprendida entre 0,096 y 0,268.

4. 2,6;72;21 S X n

Por ser el tamaño de muestra n < 30 y se desconoce la desviación estándar de la población seaplica la distribución “t”.

n

S t X IC . Para el 98% y n-1 = 20: t = 2,528

42,37221

2,6528,272 IC ; 58,6842,372 LI ; 42,7542,372 LS

Existe el 98% de confianza que la verdadera media para el índice de placa dentobacteriana de la

población de la parte norte de la provincia estará comprendida entre 68,58 y 75,42 errores.

5. 9;31;9 S X n

Por ser el tamaño de muestra n < 30 y se desconoce la desviación estándar de la población seaplica la distribución “t”.

n

S t X IC . Para el 90% y n-1 = 8: t = 1,86

58,5319

986,131 IC ; 42,2558,531 LI ; 58,3658,531 LS



Existe el 90% de confianza que la verdadera media mensual de accidentes producidos en la

población de Manabí estará comprendida entre 25,42 y 36,58.

6.

%95?; NC n

Tamaño de muestra para estimar la proporción a favor de la propuesta.

Sea error de muestreo: E = 5%. Área = 0,95/2 = 0,475: Z = 1,96

Tamaño de muestra para estimar la proporción:

2

1

E

Z

p pn

a) Con proporción desconocida (se aplica p = 0,50)

38416,38405,0

96,150,0150,0

2

n

Para cumplir con las características de la investigación para determinar la proporción deseada, es

necesario un tamaño mínimo de muestra de 384 personas.

b) Con proporción estimada p = 0,75

28812,28805,0

96,175,0175,0

2

n

En este caso, es necesario un tamaño mínimo de muestra de solo 288 personas, es decir se reduce

el tamaño necesario de muestra en 96 personas.

c) Con proporción estimada p = 0,25

28812,28805,0

96,125,0125,0

2

n

En este caso, se mantiene el tamaño mínimo de muestra de solo 288 personas necesarias, porque

el valor de proporción estimada de éxito es complementario con el literal anterior.

7. %95;2,1;5,0?; NC kg kg n S E Para Área = 0,95/2 = 0,475: Z = 1,96

Tamaño de muestra para investigar el peso medio de resistencia de las bolsas.



2213,225,0

2,196,1. 22

E

S Z n

El tamaño mínimo aparente de muestra necesario es 22 fundas de plástico para cumplir con los

requerimientos de la investigación, sin embargo, para que sea válido el uso de la distribución de

probabilidad normal, el tamaño mínimo de muestra apropiado es 30 fundas plásticas.


1. 10,0;151$;121;52$;144$ α X σ μ n

Prueba de hipótesis para la media de una muestra de cola superior

1.- Planteo de hipótesis.

.144:0 μ H Comisión promedio por venta es igual a 144 dólares.

.144:1 μ H Comisión promedio por venta es mayor a 144 dólares.

2.- Nivel de significancia: 10,0α

3.- Estadística de prueba.

Por ser el tamaño de muestra n>30, la distribución muestral para la media se aproxima a la

distribución de probabilidad normal.

48,1121/52144151

/

n S μ X Zp

4.- Regla de decisión.

Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α = 0,40: Zc = 1,28

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp > 1,28.

5.- Decisión.



Como Zp = 1,48 > 1,28 no se acepta la Ho, entonces al nivel de significancia del 10% se concluye

que la comisión promedio de sus clientes es mayor que el promedio de la industria en forma

significativa.

2. 01,0%;33,0;15%;10,0%;57,0 α X σ μ n

Prueba de hipótesis para la media de una muestra de cola inferior


.57,0:0 μ H Tasa promedio de aumento de consumo de gasolina es igual a 0,57%.

.57,0:1 μ H Tasa promedio de aumento de consumo de gasolina es menor a 0,57%.



A pesar que el tamaño de muestra n < 30, pero se conoce la desviación estándar de la población,

todavía es adecuado usar la distribución de probabilidad normal.

30,915/10,0

57,033,0

/

n σ

μ X Zp


Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α = 0,49: Zc = -2,33

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp .

5.- Decisión.

Como Zp = -9,30 < -2,33 se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 1% se concluye que

el aumento en el uso de la gasolina se redujo como resultado del embargo y sus consecuencias, en

forma significativa.

3. Datos (del ejercicio 2): )33,2(01,0%;33,0;15%;10,0%;57,0 Z α X σ μ n

Límite critico inferior de la prueba de hipótesis de cola inferior.



51,015

10,033,257,0

nZ-LI σ

μ

Probabilidad de cometer error tipo II: β

n σ

μ LI Z β

/

1

Potencia de la prueba: 1-β

1.- Para %50,01 μ

1517,0

39,015/10,0

50,051,0

Area

Z β

Probabilidad β = 0,50-0,1517 = 0,3483

Potencia de prueba: 1-β = 1-0,3483 = 0,6517

2.- Para %45,01 μ

4898,0

32,215/10,045,051,0

Area

Z β

Probabilidad β = 0,50-0,4898 = 0,0102


3.- Para %40,01 μ

50,0

26,415/10,0

40,051,0

Area

Z β

Probabilidad β = 0,50-0,50 = 0,0


Según los resultados anteriores, se puede concluir que conforme se aleja el valor verdadero de la

media de su valor inicial, la potencia de la prueba disminuye.

4. 05,0;3167,03000/950/;3000;35,0 α n x π p n



Prueba de hipótesis para la proporción de una muestra de cola inferior


.35,0:0 π H Proporción de compradores en espera es igual a 0,35.

.35,0:1 μ H Proporción de compradores en espera es menor a 0,35.



Ya que tanto np como n (1-p) ≥ 5, la distribución muestral para la proporción se aproxima bien a la


82,3

3000)35,01(35,0

35,03167,0

)1(

n π π

π p Zp



Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp < -1,65

5.- Decisión.

Como Zp = -3,82 < -1,65 se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 5% la compañía

debe concluir que la proporción de personas renuentes ha disminuido, en forma significativa.

5. 02,0;3,1;6,11;7;13 α veces S veces X n veces μ

Prueba de hipótesis para la media de una muestra de 2 colas


.13:0 μ H Razón promedio P/U es igual a 13.

.13:1 μ H Razón promedio P/U es diferente a 13.





Por ser el tamaño de muestra n < 30 y se desconoce la desviación estándar de la población, la

distribución muestral para la media se aproxima a la distribución de probabilidad normal, pero se

aplica la distribución “t”.

85,27/3,1

136,11

/

n S

μ X t P


Estadística t crítico, para α = 0,02 de 2 colas y n-1 = 6gl: tc = 3,143

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si tp está fuera de ±3,143.

5.- Decisión.

Como tp = -2,85 está dentro de ±3,143 no se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del

2% se concluye que la acción de las empresas de software en el mercado de valores tiene unarazón promedio P/U que no es significativamente diferente de 13 veces.

6. 01,0;2,16;2,7;95;1,8 22 α h S h X h μ n

Prueba de hipótesis para la media de una muestra de cola inferior


.1,8:0 h μ H Tiempo promedio de aprendizaje es igual a 8,1 horas.

.1,8:1 h μ H Tiempo promedio de aprendizaje es menor a 8,1 horas.



Por ser el tamaño de muestra n>30, la distribución muestral para la media se aproxima a la




18,295/2,16

1,82,7

/

n S

μ X Zp



Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp < -2,33.

5.- Decisión.

Como Zp = -2,18 > -2,33 no se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 1% se concluye

que no es más fácil aprender a operar las nuevas terminales, en forma significativa.


1.

Primer medicamento Segundo medicamento

h X 5,81 h X 9,72

h S 8,11 h S 1,22

901 n 80

2 n

05,0α

Desviación estándar de diferencia en medias muestrales.

301,080

1,2

90

8,1 22

2

22

1

21

21 n

S

n

S S S X X P

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de cola superior.


.: 210 H Tiempo promedio de horas de alivio es igual con los 2 medicamentos.

.: 211 H Tiempo promedio de horas de alivio es menor con el segundo medicamento.





99,1

3019,0

9,75,821

P S

X X Zp


Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α = 0,45: Zc = 1,65

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp > 1,65.

5.- Decisión.

Como Zp = 1,99 > 1,65 se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 5% se concluye que el

segundo medicamento proporciona un periodo de alivio significativamente más corto.

2.

Grupo inicial Grupo final

059,1$1 X 089,1$2 X

039,0$1 S 068,0$2 S

751 n 50

2 n

02,0α

Desviación estándar de diferencia en medias muestrales.

0106,050068,075039,0

22

2

2

2

1

2

121 n

S

n

S S S X X P

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de 2 colas.


.: 210 μ μ H Precio promedio de la gasolina regular es igual en las 2 gasolineras.



.: 211 μ μ H Precio promedio de la gasolina es diferente en las 2 gasolineras.



Por ser los tamaños de muestras mayores a 30, la distribución muestral para la diferencia de

medias se aproxima a la distribución de probabilidad normal.

83,20106,0

089,1059,121

Sp

X X Zp


Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α/2 = 0,49: Zc =

2,33

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp está fuera de

±2,33.

5.- Decisión.

Como Zp = -2,83 está fuera de ±2,33 se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 2% se

concluye que si cambio significativamente el precio de la gasolina regular sin plomo en estos dos

estados durante estos tres meses.

3.

Método original Método nuevo

688$1 X 706$2 X

63,32$1 S 84,24$2 S

161 n 112 n

05,0α

Varianza conjunta (se asume varianzas iguales para las 2 poblaciones).

64,88521116

84,24)111(63,32)116(

2

.1.1 22

21

222

2112

n n

S n S n S p

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de cola inferior.


.: 210 H Venta promedio obtenida es igual con los 2 métodos de capacitación.



.: 211 H Venta promedio obtenida es mayor con el nuevo método.



Por ser los tamaños de muestras menores a 30 y se desconocen los valores de la desviación

estándar de cada población, se aplica la distribución de probabilidad t.

544,1

11

1

16

164,885

706688

11

21

2

21

n n S

X X tp

p


Estadística t critica, para n1 + n2 – 2 = 25gl de una cola y α = 0,05: tc = -1,708

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si tp < -1,708.

5.- Decisión.

Como tp = -1,544 > -1,708 no se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 5% la

compañía puede concluir que el promedio diario de ventas no aumenta con el nuevo plan en

forma significativa.

4.

Bancos de California Bancos de Pennsylvania

%61,71 X %43,72 X

%39,01 S %56,02 S

111 n 82 n

10,0α

Varianza conjunta (se asume varianzas iguales para las 2 poblaciones).



218,0

2811

56,0)18(39,0)111(

2

.1.1 22

21

222

2112

n n

S n S n S p

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de 2 colas.


.: 210 μ μ H Tasa media hipotecaria es igual en los 2 estados.

.: 211 μ μ H Tasa media hipotecaria es diferente en los 2 estados.



Por ser los tamaños de muestras menores a 30 y se desconocen los valores de la desviación

estándar de cada población, se aplica la distribución de probabilidad t.

829,0

8

1

11

12186,0

43,761,7

11

21

2

21

n n S

X X tp

p


Estadística t critica, para n1 + n2 – 2 = 17gl de 2 colas y α

= 0,10: tc = 1,740

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si tp está fuera de

±1,740.

5.- Decisión.

Como tp = 0,829 está dentro de ±1,740 se acepta la Ho, entonces al nivel de significancia del 10%

se concluye que las tasas de hipotecas convencionales de California y Pennsylvania no provienen

de poblaciones con medias distintas en forma significativa.

5. Datos: 02,0;6 α n

Tabla de cálculos para la diferencia media de 2 muestras dependientes.

Semana Semana Diferencia Dif media Cuadrado

Empleados sin música conmúsica

D Dm (D-Dm)²

1 219 235 -16 3,17 367,3611

2 205 186 19 3,17 250,6944

3 226 204 22 3,17 354,6944



4 198 203 -5 3,17 66,6944

5 209 221 -12 3,17 230,0278

6 216 205 11 3,17 61,3611

Sumas: 19 1330,8333

Diferencia media: 17,36

19

n

D D

Desviación estándar:

3146,1616

8333,1330

1

2

n

D D S D

Prueba de hipótesis para la diferencia media de 2 muestras dependientes de 2 colas.


.0:0 D μ H Diferencia media en producción es igual con o sin música ambiental.

.0:1 D μ H Diferencia media en producción es diferente con música ambiental.



Por ser el tamaño de muestra menor a 30, se aplica la distribución de probabilidad t.

476,06/3146,16

17,3

/

n S

D tp

D


Estadística t critica, para 5gl de 2 colas y α = 0,02: tc = 3,365

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si tp está fuera de ±3,365.

5.- Decisión.

Como tp = 0,476 está dentro de ±3,365 se acepta la Ho, entonces al nivel de significancia del 2% se

concluye que la instalación de equipos de audio para poner música ambiental no ha cambiado la

producción en forma significativa.

6. Datos:

Viernes jueves

111 X 242 X

401 n 602 n



275,040/111 p 40,060/242 p

10,0;2500 α N

Proporción conjunta: 35,06040

2411

21

21

n n

X X p c

Relaciones:

05,0016,02500

401 N

n

05,0024,02500

602 N

n

No es necesario el uso del factor de corrección.

Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones de 2 muestras independientes de cola

inferior.


.: 210 π π H Proporción de acciones que avanzaron es igual para los dos días.

.: 211 π π H Proporción de acciones que avanzaron el viernes es menor que en el día jueves.



Por ser np y n (1-p) mayores a 5 para cada muestra se aplica la distribución normal.

28,1

60

1

40

1).35,01(35,0

40,0275,0

11.1

21

21

n n p p

p p Zp

c c



Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp < -1,285.

5.- Decisión.

Como Zp = -1,28 > -1,285 se acepta la Ho, entonces al nivel de significancia del 10% se concluye

que no hay suficiente evidencia que una proporción menor de las acciones de la Bolsa de Valores

avanzaron el viernes con respecto al jueves.



7. Datos: lg97,4;25lg;06,0lg;00,5 pu X n pu σ pu μ

Prueba de hipótesis para la media de una muestra de 2 colas


.00,5:0 μ H Longitud media de segmento de tubo cortado es igual a 5 pulgadas.

.00,5:1 μ H Longitud media de segmento de tubo cortado es diferente a 5 pulgadas.

2.- Nivel de significancia: Sea α = 0,05


A pesar que el tamaño de muestra n < 30, pero la población tiene distribución normal, entonces la

distribución muestral para la media también tiene distribución normal.

5,225/06,0

597,4

/

n S

μ X Z P


Estadística Z crítico

Para Área = 0,50-α/2 = 0,475: Zc = 1,96

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp está fuera de ±1,96; caso contrario se acepta.

Calculo del valor p

Para Zp = -2,50: Área = 0,4938

Probabilidad p = 2(0,50-0,4938) = 0,0124

5.- Decisión.

Para niveles de significancia α mayores al valor p de 0,0124 se rechazará la Ho, para tales casos la

máquina deberá ser recalibrada debido a que la longitud media será significativamente diferente

de 5.00 pulgadas.

Para el caso particular propuesto de α = 0,05 corresponde al caso señalado tal que para este nivel

de significancia será rechazada la Ho.

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