Guía 57: Buscando proporciones

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CH-FyA-0473

Guía 57: Buscando proporciones

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Guía

57 Meta 19

GRADO 6

GUÍA DEL ESTUDIANTE

EN BÚSQUEDA DE

PROPORCIONES

EN MI COTIDIANIDAD

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 57

Myriam Yaneth Palacios Morales , Colegio Soacha Para Vivir Mejor

Jenny Viviana Moreno Díaz, Colegio San Ignacio

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Yiceth Torres Diaz, I. E. D. Quinto Centenario, Revisor.

Delia Cáceres Vega, Colegio Juan Francisco Sarasti Jaramillo, Revisor.

Andrés Forero Cuervo

http://www.grupolema.org/

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Guía

57 GRADO 6

EN BÚSQUEDA DE PROPORCIONES

EN MI COTIDIANIDAD

GRADO 6- META 19 - PENSAMIENTO NUMÉRICO - VARIACIONAL

Guía 55 (Duración 13 h)

• Descomposición polinómica con

potencias de 10.

• Sentido de la medida de números

con 9 y 10 cifras en contextos reales.

• Equivalencias entre fracción, mixto,

decimal al sumar, restar, multiplicar

y dividir cantidades.

• Afianzar el algoritmo para dividir

decimales en el caso en que el

dividendo es menor que el divisor y

los números tienen hasta centésimas.

• Potenciación cuando la base es una

fracción o un decimal.

• Ecuaciones lineales sencillas que

involucran fracciones o decimales.


• Mínimo común múltiplo (MCM) y

máximo común divisor (MCD).

• Descomposición en factores primos.

• Números compuestos.

• Criterios de divisibilidad.

• Porcentajes.

• Diagramas de doble línea y

esquemas con barras para resolver

problemas de porcentajes.


ACTIVIDAD 1

• Proporcionalidad directa e inversa.

• Razones y tasa unitaria.

•Tablas y razonamiento proporcional.

ACTIVIDAD 2

• Patrones y secuencias.

META DE APRENDIZAJE N.19 Analizo contextos como el de las especies en vía de extinción en Colombia, contextos de mezclas y recetas de cocina y de

medición de magnitudes (longitud, área, volumen, masa) para comparar, sumar y multiplicar números racionales positivos

utilizando gráficas (recta numérica, dibujos de áreas) y expresiones numéricas equivalentes (fracciones, decimales,

porcentajes), diferenció cambios porcentuales entre las cantidades allí involucradas y en otros de mi entorno. También,

utilizó razones para explicar cómo cambian las magnitudes de forma proporcional, utilizando tablas, diagramas,

descripciones con palabras, patrones numéricos y los comparo utilizando carteleras, infografías, dibujos o programas como

Excel o Geogebra.

PREGUNTAS ESENCIALES: ● ¿Cómo averiguamos de qué está hecho y cómo se prepara un pastel de cumpleaños? ¿Tu respuesta está relacionada con

las matemáticas?

● ¿Has pensado en cuál es la técnica perfecta para preparar un pastel de chocolate? ¿Será importante la cantidad de

ingredientes?

● ¿Por qué es importante determinar una magnitud en la elaboración de una receta?

● ¿De qué manera podemos relacionar la razón y proporción en acciones de mi diario vivir?

● ¿Qué importancia o necesidad tienen los patrones y secuencias en la elaboración de una receta?

● ¿Cómo puedes hacer uso de patrones y secuencias para dar respuesta a situaciones cotidianas?

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

Actividad 1: ● Analizo situaciones problema en los que las variables varían proporcionalmente (cantidad de elementos necesarios

por ejemplo recetas de cocina) puede describir esta variación utilizando relaciones multiplicativas entre las

cantidades.

● Comparo cantidades que son inversamente proporcionales en contextos de personas que trabajan vs tiempo durante

el cual trabajan, velocidad vs tiempo, entre otras. Expreso esta variación verbalmente y en una tabla.

● Comparo la tasa unitaria en situaciones de variación (media pastilla de chocolate por cada taza de leche, un cuarto

de taza de harina por cada galleta, 2 cucharadas de azúcar por cada taza de agua) y la utilizo para resolver

problemas de proporcionalidad.

Actividad 2 ● En las variaciones proporcionales diferencio patrones numéricos y los describo utilizando multiplicaciones y

divisiones.

● Dada una secuencia numérica o gráfica describo el patrón

● Dada la regla o el patrón de una secuencia encuentro los términos de la misma.

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 57

GRADO 6

ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 1: APLICANDO LA PROPORCIONALIDAD

Aprendamos a pensar proporcionalmente para resolver diferentes tipos de situaciones.

A) Activando saberes previos

Juan hizo un dibujo y luego trató de dibujar tres ampliaciones del mismo, Pero no está seguro de si son o

no ampliaciones. Ayuda a Juan a averiguar si alguno de los dibujos es una ampliación del dibujo original.

Justifica tus afirmaciones.

2. Observa las imágenes y completa la información:

La altura del árbol más grande es _________

veces la altura del árbol pequeño.

La altura del árbol pequeño es la __________ de

la altura del árbol más grande.

El peso de la mamá cerdo es _______ veces el

peso de su cría.

El peso del cerdo pequeño es la ________ del

peso de la mamá cerdo

3. Para hacer un litro de limonada se necesita agua, cubitos de hielo, 6

limones y 100 gr de azúcar. Luisa quiere hacer medio litro para sus dos

amigos. ¿Cómo puede saber que cantidad necesita de cada ingrediente

para que mantenga el mismo sabor? _________________________


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GRADO 6

ACTIVIDAD

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Observa la gráfica y dibuja la barra de la cantidad que necesita de azúcar.

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

B) Conceptos: aprendiendo en grande con la proporcionalidad

1. Juan quiere preparar una cobertura de chocolate para decorar una torta. ¿Cómo se puede expresar

matemáticamente la relación entre las cantidades de agua y chocolate, de acuerdo con la receta?

En parejas, encuentra la razón entre las

cucharadas de agua y chocolate utilizando

diagramas de doble línea o esquemas con barras.

MINI - EXPLICACIÓN: RAZONES

En matemáticas, una razón es la comparación de dos cantidades por medio de división o cociente.

La razón entre a y b, cuando b es un número distinto de cero, se escribe: a/b o a : b y se lee “a es a b”.

La razón a:b significa que por cada a unidades de la primera cantidad hay b unidades de la segunda.

Por ejemplo, si deseas elaborar dos veces la receta anterior necesitarás por 4 cucharadas de agua seis

cucharadas de chocolate. Como lo muestra la siguiente imagen:

Si Juan quiere utilizar la mitad de la receta necesita apoyarse en el diagrama de doble línea, para identificar

la razón entre las cucharadas de agua y de chocolate. Tal como se observa a continuación:


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GRADO 6

ACTIVIDAD

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EJERCITANDO LO APRENDIDO

1. Escribe la razón entre los pares de

números dados y calcular su valor, utilizando gráficos de barras:

a. 7 y 5 b. 6 y 18 c. 20 y 80

2. En caso escriba la razón y determine su valor :

a. antecedente 200 y

consecuente 300

b. antecedente 5 y

consecuente 3

c. antecedente 3 y

consecuente 9

2. Ahora Juan quiere preparar la misma cobertura de chocolate para decorar la torta, pero lo quiere

expresar como proporción, ¿Cómo puede Juan expresar esta relación?

3. Trabajo individual, parejas y equipos.

A continuación descubrirás como la proporcionalidad influye en la vida diaria:

1. Responde los siguientes interrogantes:

● ¿Alguna vez has hecho un pastel?

● ¿Cómo se podrían calcular las cantidades de sus ingredientes?

● Si elaboras un pastel el doble de grande, ¿Cómo calcularías la cantidad de los ingredientes?

2. Analiza la siguiente situación:

La próxima semana será el cumpleaños de Lulú y su mamá quiso invitar a 12 amigos, para ello quiere

preparar una torta siguiendo la receta que le dio su abuela sabiendo que, para dos personas, los ingredientes

para hacer un pastel son:


GUÍA 57

GRADO 6

ACTIVIDAD

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La mamá de Lulú deberá diseñar

una receta de cocina para 12

personas, que son 6 veces más

los ingredientes de la receta

para dos personas. Por lo tanto

las cantidades de cada

ingrediente serán 6 veces menos

que las cantidades: ¿Cuántos

ingredientes necesitará la mamá

de Lulú para elaborar el pastel?

Para no equivocarse decide

hacer una tabla:

Personas Huevos Yogurt Azúcar Harina Levadura Aceite Chocolate

12 24

2 4

MINI - EXPLICACIÓN: PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos magnitudes son directamente proporcionales

si al multiplicar o dividir una de ellas por un

número, la otra queda multiplicada o dividida por

ese mismo número. Al dividir cualquier valor de la

segunda magnitud por su correspondiente valor de

la primera magnitud, se obtiene siempre el mismo

valor (constante). A esta constante se le llama

razón de proporcionalidad directa.

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...

la cantidad de la primera corresponde al doble,

triple... de la segunda, entonces se dice que esas

magnitudes son directamente proporcionales.

Para ello Lulú multiplica seis veces cada

ingrediente de la receta.

4 huevos x 6 = 24 huevos

Personas

Huevos

12 24

2 4

Completa la tabla del Lulú en la situación anterior,

luego compara las respuestas con tus compañeros.


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ACTIVIDAD

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4. Paso 1: Observa y Reflexiona

¿Cuál de estas tres situaciones se trata de un problema de

proporcionalidad directa?

● 12 latas de refresco cuestan 60 monedas. ¿Cuánto costarán 10?

● En un equipo de 15 jugadores hay 8 zurdos y 0 ambidiestros.

¿Cuántos son diestros?

● 18 alumnos pueden dividirse en 6 grupos de 3 alumnos cada uno o en

2 grupos de ____ alumnos cada uno.

La respuesta correcta es: 12 latas de refresco cuestan 60 monedas. ¿Cuánto costarán 10?

Es el único caso en el que si aumenta o disminuye la magnitud a (cantidad de latas), aumenta o disminuye

en la misma proporción la magnitud b (precio). Es decir, si dividimos o multiplicamos la cantidad de latas

por un número, el precio se dividirá o se multiplicará por ese mismo número. En esta situación, la cantidad

de latas y el precio son magnitudes directamente proporcionales.

Paso 2: Hazlo con ayuda

¿Cómo se resuelve este tipo de problemas? ¿Cuales son las magnitudes que plantea esta situación?

Para resolver problemas de magnitudes proporcionales, el método de reducción a la unidad puede ser muy

útil.

Método de reducción a la Unidad: Como su nombre lo dice, se trata de descubrir cuál es el valor de una

de las magnitudes cuando la otra vale 1, cuando es la unidad.

En esta situación las magnitudes son:

● Cantidad de latas (magnitud a)

● Precio (magnitud b)

Para reducir a la unidad solo tenemos que preguntarnos: ¿Cuánto costaría 1 lata?

Para saberlo, dividimos el precio de las 12 latas (60 monedas) entre 12:

60 : 12 equivale a 5 : 1, que significa 5 monedas por 1 lata.

Cada lata cuesta 5 monedas. ¡Ya hemos reducido a la unidad!

Ahora puedes calcular cuánto nos costaría cualquier cantidad de latas… 15, 20, o incluso 1.000 latas.

Solo tenemos que multiplicar el precio de 1 unidad (5 monedas) por la cantidad de unidades.

En este caso nos preguntan por el precio de 10 latas, así que multiplicamos 5 x 10: 5 x 10 = 50.

Esto quiere decir que 10 latas de refresco cuestan 50 monedas.


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ACTIVIDAD

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Paso 3: Hazlo tu mismo

Andrea desea elaborar unos pancakes para compartir con sus amigos, su mamá le sugiere que para

cuatro personas debe utilizar 30 gramos de harina y dos huevos. Reúnete con un compañero para

completar la tabla utilizando el método de reducción, ya que Andrea desea saber cuál es la cantidad

de ingredientes que va a comprar para compartir con sus amigos.

Ingredientes 4 personas 6 personas 8 personas 10 personas 12 personas

Harina

(gramos) 30 75

Huevos 2 5

Harina /

huevos 30/ 2= 15 75/5= 15

B2) TASA UNITARIA

MINI - EXPLICACIÓN: TASA UNITARIA

1. Karla se matricula en una clase de baile. El costo fue de

$90.000 por 6 clases. ¿Cuál es el costo por clase?

Para calcular la tasa unitaria, se dividen ambas cantidades entre el mismo número para que la segunda

cantidad sea 1. Así :

La clase de baile de karla cuesta 15.000 por clase.

Una tasa es una razón que se utiliza para comparar diferentes clases de cantidades.

Una tasa unitaria describe cuántas unidades de medida del primer tipo corresponden a una unidad

de medida del segundo tipo.

Algunas tasas unitarias comunes son las millas (o kilómetros) por hora, costo por producto,

ganancias por semana, etc. En cada caso la primera cantidad se relaciona con 1 unidad de la segunda


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ACTIVIDAD

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cantidad.

PRACTIQUEMOS

Reúnete con tu compañero y resuelve las siguientes situaciones.

1. En la entrada del circo, pagamos $75.000 por 15 boletos, ¿Cuál es el precio por boleto?

Boleto 5 10 15

Precio 75.000

2. Karla estaba clavando un pedazo de madera con su papá. Comenzaron a las 10:00 am y Karla colocó

30 clavos en 10 minutos. Sí papá, en el mismo tiempo colocó 50 clavos. Con esas tasas, ¿a qué hora

acabaría de clavar 392 clavos?

3. Una dulce historia. “Connecticut” tiene más de 100 granjas que producen jarabe de arce. Los

azucareros recolectan la savia y la concentran para obtener el jarabe. En un buen año, un azucarero

pequeño de Connecticut obtiene semanalmente de media 301 galones de savia de 200 árboles.

Después de concentrarla obtiene aproximadamente 7 galones de jarabe, el cual se vende a $45.000

por media pinta o $44.000 por galón.

● Escribe la razón de savia a la de jarabe a su mínima expresión.

● Halla el precio unitario para el jarabe que se vende a media pinta y el que se vende por galón.

¿Cuál tiene el menor precio unitario?

● Si el azucarero vende el jarabe en envases de media pinta, ¿cuánto dinero obtendrá después

de 10 semanas de recolección en un buen año?

Reúnete con tus compañeros, compara tus respuestas, justificando lo aprendido.

MINI - EXPLICACIÓN: PROPORCIONALIDAD INVERSA

Observa y analiza la siguiente situación problema

Si para envasar cierta cantidad de

aceite se necesitan 8 barriles de 20

litros de capacidad cada uno, ¿cuántos barriles

necesitaremos si los que tenemos son de 5 litros

de capacidad?

Barriles Capacidad (litros)

8 20

x 5

Debido a que es menos capacidad, ¿más o menos

barriles necesitaremos?


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ACTIVIDAD

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Esta situación nos recuerda la proporcionalidad

inversa, es decir, por menos capacidad serán más

barriles.

5/20=8/x

Invertimos, puesto que vemos que: 20.8 = 5.x

x= 20.8/5=32

Es decir, como habíamos pensado por menos

capacidad serán más barriles. En este caso, para

5 litros de capacidad necesitaremos 32

barriles.

Reúnete con un compañero y reflexiona sobre la siguiente situación

Supongamos que 3 pintores tardan 20

días en pintar un mural.

Es claro que si duplicamos el número de

pintores, el tiempo que se necesita para pintar la

barda se reduce a la mitad. Es decir, 6 pintores

tardarán 10 días.

De igual manera si reducimos el número de

pintores a una tercera parte, el tiempo requerido

para realizar la misma tarea será el triple. Es

decir 1 pintor, tardaría 60 días. Al saber lo que

tarda un pintor, ya podemos completar una tabla

como la siguiente:

Así que el número de personas que realizan una tarea es inversamente proporcional al tiempo que tardan.

A mayor número de personas, menos tiempo. A menor número de personas, más tiempo.


GUÍA 57

GRADO 6

ACTIVIDAD

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PRACTICANDO

1. Reúnete con tus compañeros para reflexionar, luego completa la tabla identificando las variables

y si cumple la proporcionalidad inversa.

2. Realiza la tabla según se indica: El número de obreros y los días que tardan en pintar una torre

representa una situación de proporcionalidad inversa. Completa esta tabla donde se relacionan estas

variables:

N° de obreros 1 2 3 6 9 18

N° de días 90 45 22.5

3. Tres pintores tardan 10 días en pintar una pared. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo

trabajo?

Observa la siguiente situación:

Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el

puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de

ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma

cantidad de mercancía del almacén al centro comercial.

¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?

Colocamos los datos en una tabla y aplicamos la fórmula de la regla de 3 simple inversa así:

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: relación de cantidades con proporcionalidad inversa. Se da cuando


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dadas dos cantidades corresponden a magnitudes inversamente proporcionales. Para ello se utiliza la

siguiente regla:

EJERCITANDO MI MENTE:

1. Nueve personas realizan un trabajo en 16 días. ¿Cuánto tiempo

tardarán en realizar el mismo trabajo 8 personas?

2. En el Gran Hotel del Mar, durante el invierno, hay 3 jardineros. Entre todos, riegan y cuidan todos

los jardines del hotel en 6 horas. Si durante el verano hay 3 jardineros más, ¿en cuánto tiempo

regarán y cuidarán los jardines del hotel entre todos?

3. Entre algunos de los compañeros del equipo de fútbol, vamos a hacer un regalo a nuestra

entrenadora. Al principio, nos juntamos 4 compañeros y cada uno íbamos a pagar $10.000 pero al

final seremos 8 los compañeros que pondremos dinero para el regalo. ¿Cuánto dinero tendremos que

poner cada uno?

C) Resuelve y practica

Responde las siguientes situaciones problemas, primero de manera individual, después

las respuestas en parejas:

Paso 1: Observa y reflexiona.

Paso 2: Examina la información en detalle.

Paso 3: Hazlo tú mismo

1. Hemos comprado 3 kg de manzanas y nos han cobrado $3.000. ¿Cuánto nos cobrarán por 1, 2, 5 y

10 kg?

2. El señor Molina sabe que 6 caballos consumen 18 fardos de pasto en 30 días. ¿Para cuánto tiempo

podría alcanzar esa misma cantidad de pasto si tiene 15 caballos?

3. Sí 4 personas pintan un edificio en 6 días, ¿Cuánto tardarán en pintarlo 12 personas?

4. Susana, María, José y Martín decidieron salir a caminar llevando una bolsa con 6 alfajores para cada

uno. En el camino se encuentran con 4 amigos que se incorporan a la caminata. ¿Cuántos alfajores

podrá comer ahora como máximo cada uno, si deciden repartir en partes iguales?

5. Por cada vaso de jugo concentrado se usan 15 vasos de agua, para preparar jugo en una reunión.

¿Cuántos vasos de jugo concentrado necesito, sin gastar más de 110 vasos de agua?

6. Manuel es el encargado de la boletería de pasajes de mediana y larga distancia, y necesita calcular

rápidamente el precio de distintas cantidades de boletos, sobre todo cuando, durante las vacaciones,


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llegan muchos clientes juntos. Para ahorrar tiempo, y no hacer la cuenta cada vez, armó esta tabla

para los pasajes que llevan al pueblo más cercano.

Número de pasajeros 2 3 5 7

Precio de los boletos $2.400 $3.600 $6.000 $8.400

-¿Cómo podría utilizar Manuel su tabla para calcular el valor de 4 boletos? ¿Y si fueran 6? ¿Y si suben 8

personas juntas? ¿Y si fueran 12?¿Por qué se le habrá ocurrido poner estas cantidades en su tabla?

7. Primera parte. Investiga sobre una receta de cocina tradicional (postre, plato

principal, bebida,...) que se haga en tu casa.

● El nombre de la receta.

● El por qué se hace, cuándo se prepara.

● Los ingredientes que lleva la receta.

● El modo de preparación de la misma.

● Estimación del precio de cada ingrediente.

Segunda parte. Las matemáticas de la receta, te ayudan a elaborar y utilizar de manera correcta las

cantidades, para ello anota en tu cuaderno:

A. Escribe las cantidades de ingredientes que usas para 4 personas

B. Escribe el las cantidades de ingredientes que se necesitan para 20 personas

Imagina que eres dueño de un restaurante y quieres calcular el costo exacto de preparar la receta para las

4 personas, ¿ Cuánto te gastarías?

C. ¿Cuánto costaría preparar la receta para 20 personas?

D. Calcula cuánto debería pagar cada uno si finalmente la comida que has preparado para cuatro

personas se la comen dos personas, pero una de ellas come 3 veces más que la otra.

E. Para la receta preparada para 20 personas. Calcula cuánto deberán pagar cada una de ellas. Y si

sólamente acuden 10 personas, ¿cuánto pagarían si no quieres perder dinero? ¿Y si acuden 15

personas?

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY (u otros portales)

Tema: Razones y proporciones

(Mira los videos y responde las preguntas)


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https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-place-value/v/place-

value-1

Tema: Proporcionalidad directa

https://es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe/xc734090530553e83:algebra-

proporcionalidad-directa-e-inversa/xc734090530553e83:graficas-de-relaciones-directamente-

proporcionales/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3?modal=1

Tema: Proporcionalidad inversa

https://www.cerebriti.com/juegos-de-proporcionalidad+inversa/tag/mas-recientes/

https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-place-value/v/place-value-1

https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-place-value/v/place-value-1

https://es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe/xc734090530553e83:algebra-proporcionalidad-directa-e-inversa/xc734090530553e83:graficas-de-relaciones-directamente-proporcionales/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3?modal=1



https://www.cerebriti.com/juegos-de-proporcionalidad+inversa/tag/mas-recientes/


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D) Resumen


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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu

cuaderno

Eviden-

cias

⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien el

tema

1.

2.

3.

4.

Evidencias actividad 1:

1. Analiza situaciones problema en los que las

variables varían proporcionalmente (cantidad de

elementos necesarios por ejemplo recetas de

cocina) puede describir esta variación utilizando

relaciones multiplicativas entre las cantidades.

2. Compara cantidades que son inversamente

proporcionales en contextos de personas que

trabajan vs tiempo durante el cual trabajan,

velocidad vs tiempo, entre otras. Expresa esta

variación verbalmente y en una tabla.

3. Compara la tasa unitaria en situaciones de

variación (media pastilla de chocolate por cada

taza de leche, un cuarto de taza de harina por

cada galleta, 2 cucharadas de azúcar por cada

taza de agua) y la utiliza para resolver problemas

de proporcionalidad.

ii) Preguntas de comprensión

1) Una proporción es una igualdad de dos

razones. V ( ) F ( ).

2) ¿Cuál es la razón entre

la capacidad del recipiente

C y el A?

La capacidad del

recipiente C es la

___________ del

recipiente A.

3) ¿Cuáles de las siguientes tablas expresan

magnitudes proporcionales?

4) Completa la información:

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema En el salón de clases de camilo hay 40 estudiantes. La razón entre niños y niñas es de 4 a 6.

¿Cuántos niños y cuántas niñas hay en el salón?


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ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 2: JUGANDO CON LAS SECUENCIAS Y PATRONES

Aprendamos a reconocer secuencias y patrones numéricos y gráficos en situaciones de

la vida cotidiana como días de la semana, meses del año y otras fechas especiales.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

Un patrón es una sucesión de elementos (auditivos, gestuales, gráficos…) que se construye siguiendo una

regla, esa regla puede ser de repetición o recurrencia

Patrones de repetición: Son aquellos en los que los los distintos elementos son presentados en forma

periódica. Observemos el siguiente ejemplo:

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/series-y-patrones/

1. Trabaja de forma individual, utilizando el ejemplo anterior del gusano y marca con una X,

¿Cuál de las imágenes consideras debe continuar luego de la última figura?

Patrones de recurrencia: Son aquellos en los que la regularidad con que se presentan los elementos cambia

y de ellos tiene que inferirse su regla de formación, es decir, que puedes descubrir cuál será el siguiente

elemento observando el comportamiento de los anteriores. Por ejemplo:

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/series-y-patrones/


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ACTIVIDAD

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2 Utilizando la imagen anterior del gusano. Encierra en un circulo de color Rojo el grupo de flores

que consideras es el que continúa el patrón

3. Reúnete con un compañero que prefieras y comparen las respuestas. Escribe en tu cuaderno

qué diferencias y semejanzas encontraron y reflexionen juntos los resultados obtenidos después

de la comparación.

PRACTICA

Teniendo en cuenta la situación, ¿Cuál sería la secuencia o patrón que utilizará Lulú para la receta del pastel

usando los vasos de harina?

Observa con atención la receta para elaborar un pastel para 2

personas. Ahora con esta misma receta ayúdale a la mamá de

Lulú a elaborar un pastel para 12 personas, teniendo en cuenta

la cantidad de harina que se necesita para esta nueva receta.

Observa la secuencia de los vasos de harina:

De acuerdo a lo que observaste, ¿Cuál sería la secuencia que se debe continuar con los vasos de

harina?

Realiza la secuencia de los ingredientes de levadura y chocolate, para la elaboración de un

pastel para 12 personas, conforme a la receta.


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GRADO 6

ACTIVIDAD

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Reúnete con 4 compañeros y compara tus respuestas de las preguntas anteriores con las

de tus compañeros. Escriban una reflexión con base a la comparación realizada.

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor. B) Conceptos

Janeth, Pedro y Yiceth se encuentran en el recreo para hacer una

ensalada con las frutas que dieron en la merienda, ellos observan que

tienen dos tipos de frutas (manzana y naranja). Pero quieren organizar

las frutas antes de hacer su ensalada.

Janeth tiene 2 manzanas, Pedro tiene 2 naranjas y Yiceth tiene una

manzana y una naranja. Pedro les propone a sus compañeras que

organicen las frutas de acuerdo al patrón que él les colocó sobre la mesa.

Reflexiona

- ¿Qué consejo le podríamos dar a Janeth, Pedro y Yiceth para poder organizar las frutas?

- ¿Cuáles serían los posibles patrones de organización que tendrían las frutas? (Dibújalas)

- ¿Cuáles serían los posibles patrones de organización que tendrían las frutas? (Dibújalas)

MINI - EXPLICACIÓN: PATRONES Y SECUENCIAS

Recordemos que es una secuencia, en matemáticas una secuencia es una serie de elementos que se

suceden unos a otros y guardan relación entre sí. Por ejemplo:


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GRADO 6

ACTIVIDAD

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1. De forma

individual piensa en la

rutina de actividades

que haces a diario y

debajo de cada imágen

dale un número del 1 al 8

según orden en las que

las realizas.

2. Escribe un listado de

acciones que realizo

durante un día normal de

mi vida y comparte con

un compañero.

3. En la siguiente tabla escribe la rutina de actividades que realizas durante 3 días

consecutivos.

4. ¿Al terminar la tabla de datos comparte la información obtenida y junto con tu compañero

reflexionen si existen diferencias y similitudes entre las rutinas de actividades de los tres días? y


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GRADO 6

ACTIVIDAD

2

24

comparen la información obtenida en las tablas de datos de cada uno, escriban las conclusiones a las

que llegaron en su cuaderno.

MINI - EXPLICACIÓN: SECUENCIAS NUMÉRICAS

Hay una secuencia cuando se tiene un patrón que sigue una secuencia. El patrón que sirve para determinar

los términos que continúan en la secuencia, puede requerir sumar o restar una cantidad fija al número

anterior para obtener el siguiente.

● Paso 1.

Observemos la

siguiente

progresión, donde

la ranita Josefina,

se prepara para

saltar.

● Paso 2. Josefina la

ranita, hace varios saltos llevando el patrón iniciando desde el número cero, de izquierda a derecha

realizando una suma o adición.

● Paso 3. Josefina al iniciar los saltos observa que el patrón tiene una constante, en este caso suma

en cada salto 1.5 unidades. Así va avanzando en su recorrido. Observa qué ocurre si Josefina la

ranita da saltos en el sentido contrario.

● Paso 4. Conforme a los pasos anteriores, debemos continuar con el mismo procedimiento para poder

completar la progresión.

1. Con base a los pasos anteriores, intenta completar el patrón para poder ayudar a Josefina a

llegar a su lago favorito.


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GRADO 6

ACTIVIDAD

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25

2. Ahora con un compañero de tu preferencia analicen qué puede pasar si en vez en del cero iniciaran

en el lago favorito y Josefína quisiera llegar al número cero. Pueden hacer demostraciones o

procedimientos. Describan qué ocurrió con Josefina en su recorrido.

3. De forma individual descubre el patrón que se debe tener en cuenta en el recorrido que debe hacer

Josefina, ahora para llegar a su casa desde el Lago.

5. Para finalizar compara el patrón que hiciste en el punto anterior, con tu compañero de equipo

y describan los procesos que cada uno utilizó para poder ayudar a Josefina a llegar a su casa.

B2) Secuencias matemáticas

MINI - EXPLICACIÓN: MÁS SOBRE SECUENCIAS NUMÉRICAS: EL TRIÁNGULO DE PASCAL

El Triángulo de Pascal posee diversas aplicaciones en las matemáticas, incluyendo patrones y secuencias.

Una de las actividades básicas con el Triángulo de Pascal es identificar los patrones en el mismo.


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GRADO 6

ACTIVIDAD

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26

Paso 1. Observemos el triángulo para poder

completar la secuencia. En los costados del triángulo

encontramos el número 1, quien es el encargado de

darle la forma de triángulo a la figura y darnos la

secuencia numérica.

Paso 2. En la segunda fila encontramos la suma de dos

cantidades, en este caso 1 + 1.

Paso 3. En la tercera fila encontramos el resultado

de la suma del paso 2 y los 1 a los costados que también

se suman con el resultado del paso anterior. 1 + 2 + 1

Paso 4. Observa la fila 4 y realiza la suma como se viene realizando en los pasos anteriores.

1

1 + 1

1 + 2 + 1

1 + 3 + 3 + 1

Paso 5. Conforme a

los pasos anteriores,

debemos continuar

con el mismo

procedimiento, para poder

dar solución de la secuencia.

Con base a los pasos

anteriores, intenta

completar el triángulo de

Pascal

1. Compara tu triángulo de Pascal con el de un compañero: observen qué paso con el triángulo.


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ACTIVIDAD

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2. Ahora con tu compañero de equipo analicen qué puede pasar si en vez de iniciar el triángulo con el

número 1, lo iniciaramos con el número 2. (Pueden hacer demostraciones o procedimientos).

Describan que ocurrió con el triángulo cuando se hizo el cambio del número 1 por el número 2.

MINI - EXPLICACIÓN: MÁS SOBRE SECUENCIAS NUMÉRICAS

¿Cómo podemos averiguar la cantidad de postres que Lulú

quiere hacer en compañía de sus amigos Luis y Jaime? Deben

cocinar para seguir la secuencia.

Para poder dar solución al interrogante de Lulú, Luis y Jaime,

lo primero que debemos hacer es averiguar si la secuencia es

ascendente, descendente o una combinación de ambas.

Secuencias de Números Ascendentes: Son secuencias

donde cada número es mayor que el anterior. Suelen ser las

más fáciles, ya que la forma de ascender es sumar o multiplicar, o la combinación de las dos.

Secuencias de números de sumas: Para poder orientarnos, observemos la siguiente secuencia

𝟏 𝟐 𝟑 𝟒. . .., en ella se puede ver que es una secuencia ascendente y para pasar de un número al siguiente

se debe sumar 1.

Por lo tanto el número que continúa es el resultado de sumar 4 + 1, y su

resultado será 5.

Observa la siguiente situación y

reflexiona

Jeimy y Luis están jugando rayuela, pero

a Luis se le olvidó colocar algunos números

a la rayuela. ¿Cuáles son los números que

debe colocar Luis para que Jenny pueda

avanzar?


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GRADO 6

ACTIVIDAD

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28

Secuencias de números de multiplicaciones: La secuencia 𝟏 𝟐 𝟒 𝟖.. también es ascendente pero ahora

para pasar de un número al siguiente se ha multiplicado por 2.

Por lo tanto, el siguiente número de esta secuencia es 8 x 2 =16.

Observa y reflexiona

En la siguiente serie hay un número equivocado, que no corresponde con la serie. Señala con

una “X”, el número equivocado y escribe el número que debería ir en su lugar: 5, 10, 12, 24, 26, 28,

54, 108 y explica con demostraciones cuál sería la secuencia correcta.

Secuencias de números de sumas y multiplicaciones: La secuencia 𝟏 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟒. .., se observa que también

es ascendente, quiere decir que aumenta su cantidad, pero ahora, se está combinando la suma y la

multiplicación alterando la suma de 4 con la multiplicación de 2.

Después de sumar 4 se multiplica por dos, luego se vuelve a sumar 4 y se vuelve

a multiplicar por 2. Por lo tanto, el resultado de la secuencia es 14 x 2 = 28, y si

queremos continuar al 28 se le sumarian 2.

Observa y reflexiona

● En la siguiente secuencia de números hay uno que no corresponde a la serie. Encierra el

número equivocado y explica el porqué de tu respuesta. Recuerda que puedes hacer

demostraciones. 2, 5, 10, 13, 26, 29, 58, 61, 63, 119.

Ahora con tu compañero comparen la solución de la secuencia anterior y describan qué semejanzas

y diferencias encuentran en las respuestas.

Secuencias de números descendentes: Son secuencias donde cada número es

menor que el anterior. Las operaciones matemáticas que se deben realizar son

restas y divisiones. En el caso de la secuencia 14 11 8 5 . .., los números son

descendentes y para pasar de un número al siguiente se debe ir restando 3 unidades.


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Por lo tanto, el siguiente número de la secuencia después del 5 es 2, porque al 5 se le restan 3, 5 - 3 =2.

Observa la siguiente situación y reflexiona

● La Oruga quiere llegar al piso 114, ¿Cómo podrías ayudarla a llegar a su destino?

● Encuentra la secuencia que debe seguir la Oruga para poder llegar al piso 114.

Reúnete con 3 compañeros más y comparen sus respuestas. Escriban en su cuaderno una reflexión con

base a la comparación realizada.


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Observa la siguiente situación:

En la granja “Santa Clara”, hay un galpón de pollos, donde las

gallinas colocan huevos diariamente. La dueña de la Granja, la

señora Sofía, quiso llevar un registro de la cantidad de huevos

que colocaban sus gallinas en un día y tomó el siguiente registro,

pero por contestar su teléfono celular, olvidó tomar nota de los

últimos tres registros.

¿Cuáles son los números que le hacen falta a Sofía para completar su registro de huevos del día?

Ahora con un compañero de tu preferencia analicen qué puede pasar si las gallinas colocan 729

huevos al iniciar el día y luego 81. ¿Cuál sería el registro de huevos de ese día? Pueden hacer

demostraciones o procedimientos, donde puedan explicar lo que ocurrió con los huevos.

C) Resuelve y practica

Es momento de poner en práctica lo visto en las mini- explicaciones, así

que puedes hacer uso de tu ingenio, talento y concentración para dar

solución a cada uno de los problemas y actividades que encontrarás a

continuación, utilizando los pasos de Tun1 - Tun 2- Tun 3.

1. Continuando con el gusto por la cocina de Lulú, hoy ella quiere

sorprender a su mamá, por lo tanto buscó dentro de las gavetas de la

cocina moldes para hacer galletas, pero encontró muchos. Lulú quiere

que le ayudes a buscar los moldes que completan la secuencia para que

sus galletas tengan el toque que le gusta a su mamá. Observa la imagen

y marca con una X sobre la imagen que continúa en cada secuencia.


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2. Durante la visita que Lulú

le hizo a la abuelita

Amalia, las dos quisieron

medir sus destrezas en

matemáticas.

Para esto, encontraron una actividad de agilidad mental en el periódico y quisieron competir entre

ellas. La actividad decía que debían encontrar la cantidad de cuadritos que tendrían la figura 7, 10 y

12. Para ello tienen que observar la sucesión que aparece en el periódico.

● Observa las figuras 1, 2, 3, 4 y continúa la secuencia hasta llegar a la figura 12.

● Con tu compañero de trabajo analicen los procesos realizados en la pregunta anterior y observen

detenidamente qué ocurrió con las figuras 5 y 6 hasta llegar a la 12 y escriban en sus cuadernos cómo

podría representarse de forma aritmética (numérica) las gráficas 7, 10 y 12.

3. Un vehículo está andando. A medida que va avanzando, va aumentando el kilometraje. ¿Qué ocurre con

el kilometraje del vehículo desde que inició el recorrido hasta llegar a 32 kilómetros?

A. Ahora supongamos que el vehículo se encuentra a 25 kilómetros del punto inicial de su recorrido,

identifica con tu compañero, como obtener los kilómetros faltantes.


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ACTIVIDAD

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Ahora busca con tu compañero otra pareja que se encuentre trabajando en la misma actividad y comparen

las respuestas.

Una vez terminado el Tun 2. Realicen juntos el Tun 3.

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY

(Mira los videos y responde las

preguntas)

Tema: Encontrar patrones de

Números https://es.khanacademy.org/math/cc-

third-grade-math/arithmetic-patterns-

and-problem-solving/imp-patterns-in-

arithmetic/v/practice-finding-patterns-

in-numbers

Tema: Reconocer patrones

numéricos https://es.khanacademy.org/math/cc-



arithmetic/v/recognizing-number-

pattern-examples

Tema: Patrones Matemáticos

(Mira los videos y responde las

preguntas) https://es.khanacademy.org/math/cc-



arithmetic/e/patterns

Tema: Patrones en tablas de

centenas https://es.khanacademy.org/math/cc-



arithmetic/v/patterns-in-hundreds-

chart


centenas https://es.khanacademy.org/math/cc-



arithmetic/e/patterns-in-hundreds-

chart


multiplicar https://es.khanacademy.org/math/cc-



arithmetic/v/patterns-in-multiplication-

tables-practice

Tema: Patrones en tablas de multiplicar https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/arithmetic-patterns-and-problem-solving/imp-patterns-in-

arithmetic/e/patterns-in-the-addition-table-and-multiplication-table

https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/arithmetic-patterns-and-problem-solving/imp-patterns-in-arithmetic/v/practice-finding-patterns-in-numbers





https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/arithmetic-patterns-and-problem-solving/imp-patterns-in-arithmetic/v/recognizing-number-pattern-examples





https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/arithmetic-patterns-and-problem-solving/imp-patterns-in-arithmetic/e/patterns




https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/arithmetic-patterns-and-problem-solving/imp-patterns-in-arithmetic/v/patterns-in-hundreds-chart





https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/arithmetic-patterns-and-problem-solving/imp-patterns-in-arithmetic/e/patterns-in-hundreds-chart





https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/arithmetic-patterns-and-problem-solving/imp-patterns-in-arithmetic/v/patterns-in-multiplication-tables-practice





https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/arithmetic-patterns-and-problem-solving/imp-patterns-in-arithmetic/e/patterns-in-the-addition-table-and-multiplication-table

https://es.khanacademy.org/math/cc-third-grade-math/arithmetic-patterns-and-problem-solving/imp-patterns-in-arithmetic/e/patterns-in-the-addition-table-and-multiplication-table


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D) Resumen

https://www.youtube.com/watch?v=gin7Cf2mk3M&feature=emb_logo


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ACTIVIDAD

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35

E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu

cuaderno

Eviden

-cias

⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien el

tema

1.

2.

3.

Evidencias actividad 2: 1. En las variaciones proporcionales diferencia patrones

numéricos y los describe utilizando multiplicaciones y

divisiones.

2. Dada una secuencia numérica o gráfica describe el

patrón

3. Dada la regla o el patrón de una secuencia encuentra

los términos de la misma.

ii) Preguntas de comprensión

1) Observa la secuencia numérica 13, __, 27,

34, 41, 48, 55, ___, ___. Los números que

faltan son ___ y ___.

2) ¿Es correcto afirmar que en la secuencia

numérica 15, 16, 17, 18 hay una secuencia

descendente? [ ] Sí. [ ] No.

3) ¿Qué tipo de secuencia hay en los números

141, 131, 121?

a) Ascendente b) Descendente

4. ¿Cuál figura es la que continúa de acuerdo

con el patrón? Marca la opción correcta.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un

problema

En las olimpiadas de

matemáticas de este año

se propuso a los

estudiantes desarrollar

la siguiente actividad teniendo en cuenta las primeras 4 posiciones de los cubos. Pero Juan que llegó a la

final de la olimpiada debe demostrar cómo logró llegar hasta la final, explicándole a los jurados del

evento cómo desarrolló las posiciones 2 hasta la 4, indicando de forma gráfica (dibujo) y diligenciando

la tabla. Pero ellos le piden que esa demostración le explique haciendo uso de operaciones matemáticas,

y que complete las posiciones 5 y 6.

¿Si fueras Juan, cómo podrías explicarle a los jurados la solución a las posiciones 5 y 6?

Justifica tu respuesta. https://basica.mineduc.cl/wp-content/uploads/sites/25/2016/05/guia_6basico_modulo2_matematica.pdf

Guía 57: Buscando proporciones

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