RAZONES Y PROPORCIONES

y PORCENTAJES

Matemática – 3ro.TT – Colegio Pcial. Nº 10 – La RiojaProf. Julieta Ivana Rios

RAZÓN

PROPORCION

DIRECTA INVERSA COMPUESTA

PORCENTAJE

Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen

¿Qué son las razones y

proporciones?

Por ejemplo

La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de pescado irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de pescado a comprar

http://blogs.educared.org/red-pronino/iean/files/2009/06/dsc00259.jpg

RAZÓN

Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas

Se puede escribir como

a:b Se lee " a es a bkb

a =ó

Antecedente

Consecuenteb

a

APLICACIONES

En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala.

Si un mapa está a escala 1:1000, ¿Qué significa?

Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.

http://galerias.educ.ar/d/13259-2/13_la_rioja_demografico_i.jpg

Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de

Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 17 bebés.

APLICACIONES

http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=ar&v=25&l=es

17-----1000

Country 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Argentina 18,59 18,41 18,23 17,47 17,19 16,9 16,73 16,53 18,11 17,94 17,75 17,54 17,34

La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional.

Por ejemplo, se sabe que la población de la Provincia de La Rioja es de 331.847 personas, y también se sabe que la superficie es de 89.68 kilómetros cuadrados

Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de:

habitantes por kilómetro cuadrado

¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!

APLICACIONES

331.847 hab = 3,789.680 km2

http://maps.google.com.ar/maps?psj=1&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.45960087,d.eWU&biw=1280&bih=698&q=superficie+de+la+rioja+argentina&um=1&ie=UTF-8&hq=&hnear=0x942805ffc2fdfc9b:0xb7c177a5045d7360,La+Rioja&gl=ar&sa=X&ei=HZaFUb2DOMrE0QHziYHgDA&ved=0CJwBELYD

PROPORCIONESSe llama proporción a la equivalencia entre dos razones

d

c

b

a =

Se escribe

o a : b = c: d Se lee “a es a b como c es a d”

En toda proporción:

d

c

b

a =

Extremos

Medios

OBSERVACIÓN

El producto de los medios es igual a los extremos.

d

c

b

a =

Dada la proporción:

Se cumple:

cbda ⋅=⋅

http://2.bp.blogspot.com/_RCPO8GwnXgU/TOPnovQILeI/AAAAAAAAAAM/pVeOZhI4WR0/s1600/Dibujo+pro.bmp

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante.

Observación

Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta.

Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye.

Ejemplo:

Mas horas de trabajo mas producción

EJEMPLO

En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas?

20

123 =x

Se tiene:

Huevos Personas

3 12

x 20

Formando la proporción

Multiplicando cruzado x⋅=⋅ 12203

x=5 Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas

Resolviendo para x, se tiene que:

EJEMPLO

Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto y medio?

http://3.bp.blogspot.com/_IfrgG0tmy7s/TKyZ4Tmb42I/AAAAAAAABPw/f5Hhg1kH3Vg/s1600/a%C3%B1quiler_vehiculos_baratos_online.jpg

Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

El número de obreros y el tiempo para realizar una obra

Observación Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y

solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye.

Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.

Ejemplo:

EJEMPLO

En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

x

20

400

300 =

Se tiene:Gallinas Días

300 20

400 x

Formando la proporción

Multiplicando cruzado x⋅=⋅ 40020300

15=x Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos

Resolviendo para x, se tiene que:

Se invierte la segunda razón

20400

300 x=

Ejemplo

Un depósito de agua se llena en 2.25 horas empleando cinco llaves de agua de igual diámetro. ¿En cuánto tiempo se llenará, si se utilizan tres llaves?

http://ar.selecciones.com/upload/contents/secondaryImage_522.jpg

Ejemplo de Proporcionalidad

1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar es una proporción...

2. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es...

3. La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es...

4. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es...

5. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es...

PORCENTAJE

http://alserv.files.wordpress.com/2012/01/ejemplocircular.gif

Introducción

Para calcular un porcentaje, se divide el entero en 100 partes iguales y se toma de ella la cantidad requerida. Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está considerando el 25 % de la cantidad.

Ejemplo

Si se dice que el 39,9 % de los alumnos de este colegio son mujeres, se está diciendo que de cada 100 alumnos aproximadamente 40 son mujeres y 60 son varones.

http://1.bp.blogspot.com/_LogsScmKPwM/TI_vydj-nkI/AAAAAAAAACg/kZT_AfVl7y0/s1600/OK-graficas-facilitadores.gif

CÁLCULO DE PORCENTAJE

Para trabajar con tantos por cientos, se procede de igual manera que en las proporciones directas

Ejemplo

Calcular el 32 % de 459.

La proporción que se debe formar es:

Ejemplo

¿Qué porcentaje es 142 de 568?

Solución:

La proporción que se debe formar es:

Ejemplo

De qué cantidad es 96 el 12%?

Solución:

La proporción que se debe formar es: