Guía 3. III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

GUÍA DE LABORATORIO Nº 3

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR

I. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y VALOR EN LA FRONTERA:

1) Dado que es una familia a tres parámetros de

soluciones de en el intervalo , defina un miembro de la familia

que cumpla las condiciones iniciales .

2) Puesto que es una familia de dos parámetros de soluciones de

en el intervalo , demuestre que las constantes y no pueden ser tales que un miembro de la familia cumpla las condiciones iniciales

. Explique por qué lo anterior no contradice el teorema de existencia y unicidad.

3) Halle un miembro de la familia de soluciones a del problema

anterior, que satisfaga las condiciones a la frontera . ¿El teorema de existencia y unicidad garantiza que una solución sea única?

4) En virtud de que es una familia a dos parámetros de

soluciones de en el intervalo , determine si es posible que un miembro de la familia satisfaga estas condiciones en la frontera:

a)

b)

c)

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

Materia: Matemática IVCiclo: II/2015

Guía de Lab. 3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior. Ciclo II/2004

d)

5) Definir un intervalo que abarque para el cual el problema de valor inicial correspondiente tenga una solución única.

II. ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS

- En los problemas del 1 al 6, comprobar que la familia biparamétrica dada es solución general de la E.D. no homogénea en el intervalo indicado.

1)

2)

3)

4)

5) a) Compruebe que y son, respectivamente, solu-ciones particulares de:

2


b) Usando el literal (a), determine soluciones particulares de:

6) Determinar una solución particular de:

a)

b)

c)

d)

III. REDUCCIÓN DE ORDEN

- En los ejercicios del 7 al 20, es solución de E.D. homogénea dada. Utilizar el mé-

todo de reducción de orden para obtener una segunda solución, ..

7)

8)

9)

10)

11)

3


12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

- Aplicar el método de reducción de orden para obtener una solución general de la

ecuación no homogénea dada en los problemas 35 y 36. La función es una solución de la ecuación homogénea asociada. En la solución general obtenida especifique una segunda solución de dicha ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea.

19)

20)

IV. ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.

- En los problemas del 21 al 33, determinar la solución general de cada ecuación diferencial.

21)

4


22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

- En los ejercicios del 34 al 41 resuelva la ecuación diferencial dada, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

5


34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

- En los problemas del 42 al 48 resuelva la ecuación diferencial, dada, sujeta a las condiciones de frontera indicadas.

42)

43)

6


44)

45)

46) Las raíces de la ecuación auxiliar son . ¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente?

47) Determinar una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes que tenga

las soluciones:

48) Obtener la solución general de cada una de las E.D. siguientes:

a)

b)

c)

d)

V. VARIACIÓN DE PARAMETROS.

- Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales en los problemas del 1 al 15 por variación parámetros. Proponga un intervalo en que la solución general este definida.

1)

2)

3)

7


4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

8


- En los problemas 16 al 21 resuelva por variación de parámetros la ecuación

respectiva, sujeta a las condiciones iniciales

16)

17)

18)

19)

20) Sabiendo que y forman un conjunto

fundamental de soluciones de , en ,

determine la solución general de:

21) Dado que son soluciones conocidas, linealmente

independientes, de en , determine una

solución particular de

VI. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER

- En los problemas del 1 al 11 resuelva la ecuación diferencial dada.

1)

2)

9


3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

- En los problemas 12 y 13 resuelva cada ecuación diferencial, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

12)

10


13)

- Resuelva los problemas del 14 al 19 por el método de variación de parámetros.

14)

15)

16)

17)

18)

19)

VII. PROBLEMAS DE APLICACIÓN (MODELADOS)

1) Se fija una masa de a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico

simple es oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante del resorte? ¿cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se

reemplaza por una de ?

2) Al fijar un contrapeso de al extremo de un resorte, lo estira 4 pulgadas. Deduzca la ecuación del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un punto que está 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio.

3) Formule la ecuación del movimiento si el contrapeso del problema anterior parte

de la posición de equilibrio con una velocidad inicial de hacia abajo.

4) Una fuerza de estira un resorte. Después, al extremo de ese resorte

se fija una masa de y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de

hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento.

11


5) Un contrapeso de estira a un resorte. Determine la amplitud y el

período de movimiento si el contrapeso parte arriba de la posición de

equilibrio con una velocidad inicial de hacia arriba. ¿Cuántas vibraciones

completas habrá hecho el contrapeso hasta los segundos?

6) Una masa pesa y estira un resorte. Se quita esa masa y se

reemplaza con una de 1.6 slugs que parte arriba de la posición de

equilibrio con una velocidad de hacia abajo. Expresar la solución

en la forma . ¿En qué momento llega la masa a un desplazamiento numéricamente igual a ½ de la amplitud debajo de la posición de equilibrio?

7) Se cuelga una masa de 1 slug de un resorte cuya constante es . Al

principio la masa parte de un punto a arriba a la posición de equilibrio, con

una velocidad de hacia arriba. Determine los momentos en que la masa

se dirige hacia abajo con una velocidad de .

8) Cierto contrapeso estira un resorte y a otro resorte. Los dos resortes se fijan a un soporte rígido, como se indica en la figura 1. El primer

contrapeso se quita y en su lugar se pone uno de . El período de movimiento

es . Determine el valor numérico del primer contrapeso.

Figura 1

12


En los problemas del 9 y 10 la figura 2 y 3, respectivamente, representa la gráfica de una ecuación del movimiento de una masa unida a un resorte. El sistema masa resorte es amortiguado. Con la gráfica, determine:

a) Si el desplazamiento inicial de la masa ocurre arriba o debajo de la posición de equilibrio.

b) Si la masa está inicialmente en reposo ó si está moviéndose hacia abajo, ó si está moviéndose hacia arriba.

9) 10)

Figura 2 Figura 3

11) Un resorte de alcanza al colgarle una pesa de . El sistema se coloca en un medio a través del cual se ofrece una resistencia numéricamente

igual a veces su velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento

si la pesa parte de la posición de equilibrio con una velocidad de hacia abajo. Calcule el tiempo en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante?

12) Después de unir una pesa de a un resorte de , éste mide . Se

quita y se reemplaza con otra de y el sistema se coloca en un medio que ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.

a) Deduzca la ecuación del movimiento, si parte la pesa debajo de la

posición de equilibrio a una velocidad de hacia abajo.

b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma:

13


c) Calcule los momentos en que el contrapeso pasa por la posición de equilibrio al dirigirse hacia abajo.

d) Grafique la ecuación del movimiento.

13) Una pesa de estira un resorte. El movimiento que se produce se lleva a cabo en un medio que presenta una resistencia numéricamente igual a

veces la velocidad instantánea. Si la pesa parte de la posición de

equilibrio con una velocidad de hacia arriba, demuestre que si la ecuación del movimiento es:

14) Se une una masa de a un resorte cuya constante es . Se suelta la

masa a debajo de la posición de equilibrio con una velocidad de hacia abajo; el movimiento se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea.

a) Deduzca la ecuación del movimiento si una fuerza externa dada por

actúa sobre la masa.

b) Grafique las soluciones transitoria y de estado estable en el mismo conjunto de ejes coordenados.

c) Grafique la ecuación de movimiento.

15) Una masa de se cuelga de un resorte cuya constante es . Luego que alcanza el equilibrio, su suporte oscila de acuerdo con

, donde representa al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio (ver figura 4)

a) Cuando no hay amortiguamiento, determine la ecuación del movimiento si a masa parte del reposo en la posición de equilibrio.

b) ¿En qué momento pasa la masa por la posición de equilibrio?

c) ¿En que momento la masa llega a sus desplazamientos extremos?

14


d) ¿Cuáles son los desplazamientos máximo y mínimo?

e) Grafique la ecuación del movimiento.

Figura 4

RESPUESTAS DE ALGUNOS PROBLEMAS

I. Problemas de valor inicial y valor en la frontera

1)

3) , no hay garantía

4) a) No es posible b) No es posible

c) Si es posible

d) Si es posible

5)

II. Ecuaciones no Homogéneas

15


5) y

6) a)

b)

c)

d)

III. Reducción de Orden

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

16


18)

19)

20)

IV. Ecuaciones Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

17


31)

32)

33)

34)

36)

38)

40)

42)

44)

V. Variación de Parámetros

1)

2)

3)

4)

18


5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

17)

18)

19)

19


20)

21)

22)

VI. Ecuación de Cauchy – Euler

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

20


11)

12)

13)

14)

15)

16)

VII. Problemas de Aplicación (modelado)

1)

2)

3)

4)

5) vibraciones (oscilaciones) en

6) si

7) para

21


8)

10) a) Arriba de la posición de equilibrio b) Hacia abajo

11)

12) a)

b)

c)

14) a)

b)

c)

22


15) a)

b)

c)

d)

e)

23

Guía 3. III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Documents

Transcript of Guía 3. III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden