Guia de Sesión 13d3maxmin
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2015
MATEMÁTICASUPERIOR…para Ciencias
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MÁXIMOS Y MÍNIMOS
TERCERA UNIDAD
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ÍNDICE
Pág.INTRODUCCIÓN
CAPACIDADES
DESARROLLO TEMÁTICO
13.Extre!" Re#$t%&!"' Máx%!" ( M)*%!"13.1. I*tr!+,--%*
1/.2. C$$-%+$+e" +e #$ Se"%*13.3. De"$rr!##! teát%-!13.4. M!t%&$-%*13.5. De"$rr!##! +e ",-!*te*%+!"
13.5.1. Deter%*$-%* +e extre!" re#$t%&!"
13.5.2. Deter%*$-%* +e !*$" +e -re-%%e*t!13.5.3. 3rá4%-$" +e 4,*-%!*e"13.5.4. Reg#$ +e L6!"%t$#
13.6. A-t%&%+$+1/.7. A,t!e&$#,$-%*
8I8LIO3RA9ÍADIRECCIONES ELECTRONICAS
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INTRODUCCIÓN
Estimado (a) estudiante:
La formación del Profesional del área administrativa requiere de los
conocimientos y habilidades matemáticas para la búsqueda y solución
de problemas que se presenten en su mercado de trabajo Esta
se!unda unidad se representa como una herramienta de apoyo al
estudiante que le proporcionará a los conceptos y habilidades
fundamentales de las matemáticas para su aplicación en las
asi!naturas sustantivas de su perfil profesional
"sted será capa# de plantear y resolver problemas de funciones y
l$mites% con la finalidad de que utilice estas t&cnicas en la solución de
problemas de aplicación en las materias de los ciclos sucesivos
El conocimiento que obten!a de esta unidad y su activa participación
en el desarrollo de ella dará a comprender la importancia de &sta
unidad en el conte'to laboralo olvide que el aprendi#aje se lo!ra con la perseverancia en el
estudio y nosotros sabemos que usted es capa# de lo!rarlo% con
dedicación% constancia y amor a su carrera lo!rará &'itos en esta
unidad
EXTREMOS
RELATI:OS'MÁXIMOS YMÍNIMOS
I*tr!+,--%*
uchas de las aplicacionesimportantes de la derivadaincluyen encontrar los valoresmá'imos y m$nimos de unafunción particular Por ejemplo%la utilidad que obtiene un
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fabricante depende del precio que cobra por el producto y el fabricante estáinteresado en conocer el precio que hace que su !anancia sea má'ima El precioóptimo se obtiene por medio de un proceso llamado ma'imi#ación u optimi#ación dela función de utilidad
*e una manera similar% una compa+$a de bienes ra$ces puede estar interesada en
conse!uir el in!reso má'imo por renta, una compa+$a ferroviaria puede necesitarconocer la velocidad promedio a la cual los trenes deben viajar a fin de minimi#ar elcosto por milla de operación
La principal dificultad sur!e cuando es necesario escribir el problema dado enpalabras en ecuaciones, una ve# que las ecuaciones se han construido% por lore!ular es rutinario completar la solución utili#ando un poco de cálculo
Esta tarea de e'presar problemas en palabras en t&rminos de ecuacionesmatemáticas ocurre a menudo en todas las ramas de las matemáticas aplicadas y esal!o que el estudiante interesado en las aplicaciones deberá dominar
-tra aplicación del cálculo de má'imos y m$nimos es la !rafica de curvas yfunciones% las cuales sirven% entre otras para determinar el comportamiento deciertas variables y predecir as$ adecuadas acciones Para ello utili#aremos no solo laprimera derivada sino tambi&n la se!unda% además de ciertos criterios adicionales
C$$-%+$+e" +e #$ Se"%*
• .alcula adecuadamente las derivadas de funciones polinomiales% e'ponenciales y
lo!ar$tmicas• /nterpreta diversos problemas empresariales% económicos y0o financieros a
trav&s de las derivadas• 1esuelve problemas de !estión empresarial (-ptimi#ación) haciendo uso
adecuado de las derivadas
De"$rr!##! Teát%-!
En las unidades anteriores hemos desarrollado herramientas que en los temas quesi!uen nos permitirán hacer aplicaciones a ejercicios y problemas concretos
M!t%&$-%*
Los costos de fabricación cambian se!ún
la cantidad que se produ#ca% laproducción tambi&n var$a dependiendo dela cantidad del factor capital y del factortrabajo que se decidan emplear 2er$aconveniente poder determinar poranticipado los beneficios má'imos y loscostos m$nimos% y lo más importante3.ómo lle!ar a ellos4
"na peque+a av$cola de la #ona disponesolo de 567 m de malla metálica para suscorrales *etermine las dimensiones del
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corral rectan!ular que deberá construirse de tal manera que in!resenadecuadamente la mayor cantidad de pollos posibles
De"$rr!##! +e S,-!*te*%+!"
Las herramientas que utili#aremos para determinar má'imos y m$nimos ya han sidoestudiadas anteriormente% corresponde ahora establecer ciertos criterios% pasos ometodolo!$a que se si!ue en todo problema que busque hallar un má'imo o unm$nimo% incluso si se desea !raficar al!ún tipo de función
Deter%*$-%* +e extre!" re#$t%&!"
Para hallar un má'imo o m$nimo% llamado tambi&n e'tremo relativo se procede de lasi!uiente manera:
$; 2e deriva
b) 2e i!uala la derivada a cero y se resuelvela ecuación (si depende de al!unavariable)
-; 2e sustituyen las soluciones obtenidas en laderivada se!unda y se ve si es positiva(m$nimo) o ne!ativa (má'imo)
+; El valor de la ordenada del punto seobtiene sustituyendo en la función
Ejemplo:
8allar los valores má'imos y m$nimos de la si!uiente función:
P(')9 6' ; '6 ; 56' < =
Re"!#,-%*'
$; 2e deriva
Px2 ? >x ? 12
; 2e i!uala la derivada a cero y se resuelve la ecuación
P
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P P
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Ee#!'
2ea la función 9
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*ecreciente si fF('o)G7
.óncava si: fFF('o) @ 7
.onve'a si: fFF('o) G 7
á'imo relativo si:fF( 'o) 9 7 y fFF('o) G 7
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$nimo relativo si:
fF( 'o) 9 7 y fFF('o) @ 7
E* #$ 4,*-%* P $*te" &%"t$'
P
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Ee#!'
La si!uiente función e'presa el rendimiento en euros de la inversión durante t a+os,anali#ar:
R
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1FF(t) 9 = lue!o 1(t) es todo el tiempo cóncava por no depender de t lase!unda derivada
5. El punto 'o es un :
á'imo relativo si fF( 'o) 9 7 y fFF('o) G 7
$nimo relativo si fF( 'o) 9 7 y fFF('o) @ 7
En ;6 la función 1(t) tiene un m$nimo pues 1F(;6)9 7 y 1FF(;6) G 7
3rá4%-$" +e 4,*-%!*e"
El tra#ado de !ráficas es una herramienta muy útil para poder visuali#ar elcomportamiento de las variables y estimar posibles valores desconocidos de estasvariables en el tiempo
Las consideraciones que se deben tener en cuenta al !raficar funciones son lasmismas que para hallar má'imos y m$nimos% solamente se deben tener presentesal!unos aspectos mas para dibujar correctamente cualquier tipo de función
Jener en cuenta los si!uientes pasos:
a. Deter%*$r ,*t!" +e $"!
Para ubicar aquellas coordenadas por donde pasa la !rafica% deben de utili#arsevalores que sean de fácil cálculo en la función y que no demanden muchotrabajo
Se e&$#G$ $r$ x =0 (H! $r$ y =0U !tr!" &$#!re" $r!%$+!"
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b. C$#-,#$r #$ r%er$ +er%&$+$
Para determinar los puntos cr$ticosM de la función% es decir los valores de 'M donde los valores de la función resultan má'imos o m$nimos
c. Ig,$#$r +er%&$+$ $ -er! ( re"!#&er
La primera derivada i!ual a cero determinar los valores de 'M donde e'istenmá'imos o m$nimos de la función -pcionalmente se podr$a determinar tambi&nlos valores donde la función es creciente o decreciente
d. C$#-,#$r "eg,*+$ +er%&$+$
La se!unda derivada indica si la función es conve'a o cóncava
e. E&$#,$r "eg,*+$ +er%&$+$
*espu&s de calcular la se!unda derivada se deben reempla#ar los valoresobtenidos al resolver la primera derivada y se!uir la re!la del criterio de lase!unda derivada
C$#-,#$r
Re"!#&er
C$#-,#$r
M)*%!
Máx%!
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f. Ig,$#$r "eg,*+$ +er%&$+$ $ -er!
Para obtener los puntos de infle'ión% es decir aquellos puntos donde la funcióncambia de sentido, si pasa de cóncavo a conve'o o viceversa
g. 6$##$r #)%te" +e #$ 4,*-%*
2i calculamos los l$mites de la función se obtiene una mejor idea delcomportamiento de la !ráfica a medida que los valores de la variableindependiente se incrementan 2irve para obtener las llamadas as$ntotas
Ee#!'
Nraficar la si!uiente función:
9
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Ainalmente la !ráfica completa ser$a:
Reg#$ +e L6!"%t$#
2e le utili#a para calcular aquellos l$mites que ten!an la forma indeterminada:
0 H 0 H Estas deben ori!inarse a partir de un cociente de funciones En ese caso la re!laindica que el l$mite del cociente de las funciones es i!ual al l$mite del cociente de susderivadas
2ean: F(x) y G(x) dos funciones% y al evaluar el l$mite se obtiene: 707 ó 0
Entonces se cumple que:
2i aún persiste la indeterminación se puede aplicar nuevamente la re!la paraintentar levantarla% este proceso puede reali#arse sucesivamente
2in embar!o% debemos considerar que en ciertas e'presiones la re!la de L?8ospitalno llevará a resultados finales% pues las continuas derivadas no lo!ran despejar laindeterminación% se lle!a a un estado c$clico en el que la función se transforma enotra y vuelve a su forma ori!inal
dx
dG
dx
dF
Lim
dx
xdG
dx
xdF
Lim xG
x F
Lim xG
x F
Lim =)(
)(
=)('
)('
=)(
)(
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Actividad 7
continuación se te presentan ejercicios en donde tienes que hallar má'imos ym$nimos de forma directa% reali#ar el tra#ado de curvas y aplicaciones sobre el uso ymanejo de las derivadas
1. *eterminar si las si!uientes funciones tiene má'imos y0o m$nimos% lue!o esbocesus !ráficas:
a. > 9 O6 ; =' < Q
b. > 9 O ; ' < =
c. > 9 O6 ; 6O
d. > 9 (O;6)6 <
e. > 9 O < 50'
2. "n fabricante de accesorios el&ctricos tiene unos costos de producción diariosde:
410800
2 x xc +−=
3.uántos accesorios ' se habr$an de producir cada d$a para minimi#ar loscostos4
/. La utilidad total del a!ua bebida cada d$a por una persona% e'presada endecilitros% viene dada por la si!uiente función:
"(') 9=' R '6
2e pide:
a. *etermine la utilidad má'ima y la utilidad m$nimab. 1epresentar !ráficamente esta función
. La peque+a av$cola /nSa .hiquens que se ubica en la #ona de Lima norte estaevaluando incrementar su producción para ello ha decidido utili#ar en todo loposible el terreno que posee con fines de crian#a *etermine las dimensiones delcorral rectan!ular que deberá construirse de tal manera que in!resenadecuadamente la mayor cantidad de pollos posibles% considerando que disponesolo de 567 m de malla metálica para el corral
S!#,-%!*e"'
1.
$. $nimo 9 ( 6 % ) . á' 9 ( ;5 % D ) $n 9 ( 5 % 6 )
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-. á' 9 ( 5 % 5 ) $n 9 ( 7 % 7 ) +. $nimo 9 ( 6 % )
e. á' 9 ( ;5 % ;6 ) $n 9 ( 5 % 6 )
2. ' 9 67 accesorios el&ctricos
/. " á' 9 = y " $n 9 7
. El corral deberá ser un cuadrado delado i!ual a 7 m
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Autoevaluación 7
plicando todo lo desarrollado en clase resuelva lo si!uiente:
1. .alcular los puntos cr$ticos de la si!uiente función% estimar sus valores má'imosy esbo#ar la !ráfica
Y = X H ex
2. Nraficar la si!uiente función:
Y = /X5 @ 20x/ 1>
/. 2i una empresa% encuentra que la cantidad de productos 'M (unidades de
producción) y su precio PM (por cada unidad de producción) está dado por:
/X ? 50 = 0
demás anali#ando el efecto de los niveles de la producción en el costo seencuentra que el costo de cada unidad producida está dado por:
CMe = 50HX 20 2x
Encuentre usted la cantidad que deberá producirse para obtener una !ananciamá'ima
S!#,-%!*e"'
1. 2.
/. 2e deben producir 5DC56% es decir 5Q unidades
19
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8I8LIO3RA9IA
• rya% Ta!dish (5UU=) atemáticas aplicadas a la dministración y
Econom$a Ed Prentice 8all % &'ico Jercera edición
• VudnicS% AranSs(5UCI ) atemáticas aplicadas para dministración%
Econom$a y .iencias 2ociales Ed Prentice 8all
• Espino#a% Eduardo(677=) atemática / y // =ta Edición
• 8aeussler Tr %Ernest A W 2 Paul% 1ichard (5UUD) atemáticas aplicadas
para dministración% Econom$a% .iencias 2ociales y de la vida EdicionesPrentice 8all% &'ico% Cva edición
• 8offmann Laurence W Vradley Nerald( 5UUI) .álculo aplicado a
dministración% Econom$a% .ontadur$a y .iencias 2ociales En c NraX 8ill%.olombia%IY edición
• Lial% ar!aret% 8un!erford% Jhomas(6777 ) atemáticas aplicadas para
dministración y Econom$a Ediciones Prentice 8all% Qma edición% &'ico
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS
• http:XXXmatematicasnet0
• http:XXXaulafacilcom
• http:XXXmono!rafiascom0-tros0atematicas
• http:00usuarioslycoses0juanbeltran0idIQhtm