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Colegio Alberto Blest Gana“Jóvenes emprendedores para el siglo XXI”Coordinación Académica

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TÉRMINO ALGEBRAICOConsta de: a) signo

b) coeficiente numéricoc) factor literal

Ejemplo: -3a4 GRADO DE UN TÉRMINO

Es la suma de los exponentes del factor literal Ejemplo:

En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x)En el término 4x2y3 tiene grado 2 (2 + 3, la suma de los exponentes)

GRADO DE UNA EXPRESIÓNEs el grado mayor de sus distintos términos.

Ejemplo:En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo termino)

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas.

De acuerdo al número de términos puede ser:

MONOMIO: tiene uno término Ej. 5 x2yz4 ; x ya b

2 2

BINOMIO: tiene dos términos Ej. 7 5xy y ; p + q

TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x2 + 3x - 5

POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios términos Ej. Inventa uno __________________________

TERMINOS SEMEJANTESLos términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar,

sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal. Ejemplo:

El término 3x2y y el término 2x2y , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x2y

Factor literal

Coeficiente numérico

SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: Matemática / Plan DiferenciadoNOMBRE GUIA DE APRENIZAJE: Profundización de Lenguaje AlgebraicoNIVEL: 3º MedioPROFESOR(A): Alejandra Urrea Manns

OBJETIVOS GUIA DE APRENDIZAJE:

Aplicar expresiones racionales. Operatoria algebraica. Factorización simplificación, racionalización. Ecuaciones sencillas con expresiones racionales.

Resolver raíces n-ésimas de números positivos, Potencias con exponente fraccionario, Operatoria. Relación entre potencias de exponente fraccionario y raíces.

Resolver ecuación de segundo grado. Deducción de la fórmula para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Analizar las soluciones y su relación con el gráfico de la correspondiente función. Reconocer la función cuadrática considerando el signo del discriminante.


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EJERCICIOS: ahora te toca a ti demostrar lo que aprendiste

1) Define con tus palabras:

a) Coeficiente numérico b) Factor literal c) Término algebraico

2) En cada término algebraico, determina el coeficiente numérico, factor literal y el grado.

a) 3x2y b) m c) mc2 d) –vt e) 0,3ab5 f) 3 g) -8x3y2z4

h) i) j) k) l)

3) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:

a) 7x2y + xy b) -3 + 4x – 7x2 c) -2xy d) vt + e) 7m2n – 6mn2

f) g) x2 + 8x + 5 h) 2(3x + 4y) i) 2x2(3x2 + 6y)

j)

4) Calcula el perímetro de cada rectángulo encontrando su expresión algebraica. Luego clasifica según su número de términos, antes de reducir términos semejantes:

5) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:

EVALUACION DE EXPRESIONESA cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico.

Ahora tú: Si a = -2 ; b = 4 ; c = -1 encuentra el valor de cada expresión 1. 12a - 8a + 10a + 3a - 18a + 5a

=2. 7ª - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a =

Ejemplo: Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:

3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b =3 3 - 2 2 - 5 3 + 4 2 - 6 3 + 3 2 = 9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14

2a3a

4m

4mn 7y – 2x

5x + 3y


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Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a = y b = , evaluemos la expresión:

3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =

3 - 2 - 5 + 4 - 6 + 3 =

2 - 1 - + 2 - 4 + 32 =

Ahora te toca a ti:Si a = ; b = ; c = encuentra el valor de cada expresión

3. 2 a - 8 a + 10 a + 3 a - 23

a + 5 a =

4. -123

a + 5 b - 3 c + 2 a - 4 12

c + 7 b =

5. -5 c + 345

b - (-4 a) + 412

c + (-5 b) - 0,6 c =

EJERCICIOS: pone en práctica lo anterior

1) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada caso por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión.

a) 3ab – b + 2ab + 3b b) 3a2b – 8 a2b – 7a2b + 3a2b c) 2a2b – a2b – 1

d) ab2 – b2a + 3ab2 e) f)

2) Calcula el valor numérico de las siguientes E. A., considera para cada caso a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0

a) 5a2 – 2bc – 3d b) 7a2c – 8d3 c) 2a2 – b3 – c3 – d5

d) d4 – d3 – d2 + d – 1 e) 3(a – b) + 2(c – d) f)

g) h) i)

3) Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados para las variables respectivas.

a) ; si vi = 8 m/seg , t = 4 seg , a = 3 m/seg2 (d : distancia q’ recorre un móvil)

b) Ep = m·g·h ; si m = 0,8 hg , h = 15 m , g = 9,8 m/seg2 (Ep: energía potencial)

c) ; si a = 3,2 m (A : área de triángulo equilátero)

d) ; si r1 = 4 ohm y r2 = 6 ohm (R : resistencia eléctrica total en paralelo)

e) ; si k = 9·109 ; q1 = q2 = 4c y r = 10 m (F : fuerza atracción entre dos

cargas)


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4) Evalúa la expresión x2 + x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4, …, 40. ¿Qué característica tienen los números que resultan?

ENCONTRANDO FÓRMULASA Continuación debes encontrar una fórmula que represente a todos los términos de la sucesión de números, esta fórmula debe ser válida para valores naturales, es decir si le damos valores a la fórmula, debe irnos entregando los términos de la sucesión. Ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, ….. tiene una fórmula que general estos números, una manera de encontrarla es descomponer sus términos:

2 = 2 · 14 = 2 · 26 = 2 · 38 = 2 · 4

…….. 2 · n, donde n N. Esta es la fórmula que genera a esta sucesión. ¡Prueba dándole valores a “n” !

Encuentra la fórmula para las siguientes sucesiones:1) 22, 42, 62, 82, 102, ….. 2) 73, 93, 113, 133, …..3) -1, 1 , -1 , 1 , -1 , …… 4) 4, 10, 18, 28, ……5) 0, 2, 5 ,9, ….. 6) 2, 4, 8, 16, 32 ,……..6) Mersenne, antiguo matemático, propuso la expresión 2p – 1. Al reemplazar p por un número entre 1 y 10, ¿cuáles resultan números primos?7) Verifica si la fórmula 24n + 4(n + 1) + 10 entrega múltiplos de 7, para n N.

ALGEBRA Y GEOMETRÍA: CÁLCULO DE PERÍMETROS

Se dan los siguientes segmentos : a b c

d e

1) Elige un segmento y dibujas 3 veces el segmento elegido2) Elige dos segmentos y dibuja la suma de dichos segmentos3) Elige otros dos segmentos y dibuja la diferencia entre ambos segmentos.

Recordemos el concepto de PERÍMETRO 1 cm

b

2 cm 3 cm

4 cm

a a

b

P = 2 + 4 + 3 + 1 = 10 cm es decir , perímetro es la suma de todos sus lados

P = a + b + a + b, es decir, P = 2a + 2b


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c b d P = a + b + c + d + e

e a

Ahora tú determinarás el perímetro de cada figura:

4. 5. 6.

x

P = _____________ P = ____________ P = __________

7. 8. 9. m

2c 2c 2m

2m r m m

c 2s

P = _________ P = __________ P = _____________

10. 11. 2y

3t 5t m y

4t

P = _________________ P = ____________________

m

ap

m

a

x

xx

x

a a

b b

a a

m r

y

y


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Encuentra el polinomio que representa el perímetro de cada figura (todos sus ángulos son rectos): 12. y 13. y

x x

P = ________________ P = ____________________

ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

Productos notables:a) Cuadrado de binomio: ( a b ) 2 = a2 2ab + b2

ejemplos:

(2a+3b )2= (2 a)2 + 2 2 a 3b + (3 b)2 = 4 a2 +12ab +9b2

( x – 2y ) 2 = x2 – 2 x 2y +(2y)2 = x2 - 4xy + 4y2

= ( =

b) Suma por su diferencia: ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2

x x x x

x x x x

y

x x y

0,5y 0,5y

1,5x 1,5x

1,5x 1,5x

x+y

Para resolver paréntesis se debe seguir por las siguientes reglas:a) si el paréntesis está precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos

signos,b) si el paréntesis está precedido por signo negativo, debes Sumar su opuesto, es decir, cambiar el

signo de los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar.


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ejemplos

( 5a +6b ) ( 5 a – 6b) = ( 5 a ) 2 – ( 6b ) 2 = 25 a2 – 36 b2

( x – 4z ) ( x +4z ) = x2 – (4z )2 = x2 – 16z2

c) Cubo de binomio : ( a b )3 = a3

Ejemplos

( 2 x -3y )3 = ( 2x) 3 - 3 (2x)2 3y + 3 2x (3y)2 – (3y)3 = 8x3 – 36x2y +54xy2 – 27y3

EJERCICIOS1) (m+3)2 21) (x +5)(x – 2)2) (5+x)2 22) (a – 11)(a + 10)3) (6a + b)2 23) (a6 + 7)(a6 – 9)4) (7x + 11)2 24) (ab + 5)(ab – 6)5) (1+ 3x2)2 25) (x + 2)(x + 3)6) (2x + 3y)2 26) (3ab – 5x2)2

7) (4m5 + 5n6)2 27) (a2 + 8)(a2 – 7)8) (am + an)2 28) (m2–m + n)(n+m+m2)9) (a – 3)2 29) (x+5)(x-5)(x2+1)10) (2a – 3b)2 30) (a+2)(a-3)(a-2)(a+3)11) (x2 – 1)2 31) (x2-11)(x2-2)12) (x + y)(x – y) 32) (m2-m+n)(n+m+m2)13) (a –x)(x + a)14) (2a– 1)(1 + 2a)15) (2m + 9)(2m – 9)16) (a3 + b2)(a3 – b2)17) (1 – 8xy)(1 + 8xy)18) (x + y +z)(x + y – z)19) (2a – b – c)(2a – b + c)20) (a + 1)(a + 2)

FACTORIZACION:

ES TRASFORMAR UNA EXPRESION DE SUMA Y RESTA EN UN PRODUCTO, EXISTEN VARIOS CASOS DE FACTORIZACION QUE SON:

A) Factor común:puede ser solo numérico, literal o ambos a la vez, para lo cual debes considerar máximo común divisor y en la letra el mínimo exponente

Ejemplos

4 a +8 = 4 ( a +2 )

X3 + 2 x – 3x2= x ( x2 + 2 +3x)

7a +21 a b = 7 a ( 1+ 3b )


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B) factor por agrupación: es agrupar por término común y luego factor comun

Ejemplo p + pq – a-aq = p ( 1+q) – a (1+q) = ( p-a) ( 1+q )ph+ pq + xh + xq –rh – rq = p( h+q) +x(h+q) –r ( h+q) = (p+x-r) (h+q )

C) diferencia de cuadrados perfectos: equivale a una suma por su diferencia, para lo cual hay que buscar las bases de los cuadrados y luego se escriben los paréntesis

Ejemplos

25 – 36x2 = ( 5 + 6x) ( 5 -6x )

81 a4 – 169b2 = ( 9 a2 + 13b ) ( 9 a2 – 13b )

D) trinomio cuadrado perfecto: con el primer y tercer termino se buscan sus bases, el signo que los separa lo genera el segundo termino, luego se escribe el cuadrado de binomioX2 + 2xy + y2 = ( x + y ) 2

Ejemplos

9 a2 + 30ab + 25 b2 = ( 3 a + 5b ) 2

E) trinomio imperfecto: se forma un binomio con término en comúnSe busca números que sumados por el termino común entrega el segundo término y multiplicados generan el tercer termino y el primer término es el termino en comúnX2 + ( a+b) x + ab = ( x +a ) ( x + b )

X2 +7x +10 = ( x + 2 ) ( x+5 )

A2 + 5b -14 = ( a +7 ) ( a -2 )

F) suma y resta de cubos: se buscan las bases de los cubos y se mantiene el signo luego se multiplica el binomio por el cuadrado de sus bases mas o menos el producto de sus bases

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 –ab +b2)

a3 – b3 = ( a- b ) ( a2 + ab + b2)

Ejemplos:

8x3 – 27 = ( 2x – 3 ) ( 4x2 + 6x + 9 )

512 a3 + 64 b3 = ( 8 a + 4 b ) ( 64 a2 – 32ab + 16b2 )

FACTORIZACIÓN

1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =


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3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =

5. 14m2n + 7mn = 6. 4m2 -20 am =

7. 8a3 - 6a2 = 8. ax + bx + cx =

9. b4-b3 = 10. 4a3bx - 4bx =

11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =

13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =

15. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4

19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

20.

21.

22.

23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

25. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 26. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

31. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )

33. a2 + ab + ax + bx = 34. ab + 3a + 2b + 6 =

35. ab - 2a - 5b + 10 = 36. 2ab + 2a - b - 1 =

37. am - bm + an - bn = 38. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

39. 3x2 - 3bx + xy - by = 40. 6ab + 4a - 15b - 10 =

41. 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 42. a3 + a2 + a + 1 =

43. ac - a - bc + b + c2 - c =

44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

45. ax - ay - bx + by - cx + cy =

46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

48.

49.

50. x2 + 4x + 3 = 51. a2 + 7a + 10 =

52. b2 + 8b + 15 = 53. x2 - x - 2 =

54. r2 - 12r + 27 = 55. s2 - 14s + 33 =

56. h2 - 27h + 50 = 57. y2 - 3y - 4 =

58. x2 + 14xy + 24y2 = 59. m2 + 19m + 48 =

60. x2 + 5x + 4 = 61. x2 - 12x + 35 =

62. 5x2 + 11x + 2 = 63. 3a2 + 10ab + 7b2 =

64. 4x2 + 7x + 3 = 65. 4h2 + 5h + 1 =


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66. 5 + 7b + 2b2 = 67. 7x2 - 15x + 2 =

68. 5c2 + 11cd + 2d2 = 69. 2x2 + 5x - 12 =

70. 6x2 + 7x - 5 = 71. 6a2 + 23ab - 4b2 =

72. 3m2 - 7m - 20 = 73. 8x2 - 14x + 3 =

74. 5x2 + 3xy - 2y2 = 75. 7p2 + 13p - 2 =

76. 6a2 - 5a - 21 = 77. 2x2 - 17xy + 15y2 =

78. 9a2 - 25b2 = 79. 16x2 - 100 =

80. 4x2 - 1 = 81. 9p2 - 40q2 =

82. 36m2n2 - 25 = 83. 49x2 - 64t2 =

84. 169m2 - 196 n2 = 85. 121 x2 - 144 k2 =

86. 87.

88. 3x2 - 12 = 89. 5 - 180f2 =

90. 8y2 - 18 = 91. 3x2 - 75y2 =

92. 45m3n - 20mn = 93. 2a5 - 162 a3 =

94. b2 - 12b + 36 = 95. 25x2 + 70xy + 49y2 =

96. m2 - 2m + 1 = 97. x2 + 10x + 25 =

98. 16m2 - 40mn + 25n2 = 99. 49x2 - 14x + 1 =

100. 36x2 - 84xy + 49y2 = 101. 4a2 + 4a + 1 =

102. 1 + 6a + 9a2 = 103. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

104. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 105. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

106. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 107. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

108. b2 - 3b - 28 = 109. a2 + 6a + 8 =

110. 5a + 25ab = 111. bx - ab + x2 - ax =

112. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 113. ax + ay + x + y =

114. 8x2 - 128 = 115. 4 - 12y + 9y2 =

116. x4 - y2 = 117. x2 + 2x + 1 - y2 =

118. (a + b )2 - ( c + d)2 = 119. a2 + 12ab + 36b2 =

120. 36m2 - 12mn + n2 = 121. x16 - y16 =

122. 64 – x3 = 123. 8a3b3 + 27 =

124. 27m3 + 6n6 = 125. x6 – y6 =

126. = 127. =

COMPLEMENTARIOS

1) Si la arista de un cubo mide 6a cm. Calcula:a) La superficie del cubob) El volumen del cubo


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c) La superficie y el volumen para a = 1, 2, 4, … , 16¿en qué relación aumentan la superficie y el volumen cuando a aumenta en estos valores?

2) En una caja negra hay “b” bolitas blancas y “a” bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes cambios:

1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul.

A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al final.Nº bolitas blancas Nº bolitas azules Total bolitas

Inicio b a a + b1º2º3º

Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y 8 bolitas azules, en lugar de b y a, respectivamente.

3) Valorar , para x = , y = ; z = 0

4) Valorar ; para a = , b = – 1 ; c = 2

5) Valorar ; para m = , n = 2

6) Valorar ; para a = ; b = – 6 ; c = 2

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