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UCV-INGENIERA ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

Prof. Gerardo Ramrez

Ejercicios propuestos sobre Generalidades y Ecuaciones en variables Separables

1.- Para cada una de las ecuaciones dadas a continuacin verifique que la funcin dada es solucin de la misma

a) 32 xdy ydx

e = 3 210x xy e e= + b) 2 2 0x y xy y + = ( ) 0y x cos ln x , x= > c) 4

4yy ln x =

( )( ) ( )2 2 1

x t t ln t

y t t ln t

= = +

2.- Obtenga el valor de m de manera que la funcin my x= sea solucin de la ecuacin diferencial 2 6 4 0x y xy y + + = Sol: 1 4m y m= = 3.- En cada caso halle la Ecuacin Diferencial asociada a la familia de curvas dada:

a) ky

cos x= S: 0y y tgx =

b) ( )20

xx y sen t dt= S: 2 2y xy y senx= +

c) 4 11 2y C x C x = + S: 2 6 4 0x y xy y + + =

d) |

2 2 0yarctg ln C x yx

+ = S:

x yyx y+ =

e) Familia de circunferencias que tienen centro sobre la recta y x= y que pasan por el origen S: ( )( ) ( )2 21 2 1 0y x y xy y + + = f) Familia de parbolas de eje vertical, cuyo vrtice est sobre el eje x S: ( )2 2y yy = g) Familia de elipses cuyos focos se encuentran en los puntos (-3,0) y (3,0) S: ( )( ) 9x yy xy y y + = 4.- Compruebe que la EDO 2y y = tiene una solucin nica que cumple ( )0 0y x y= para cualquier punto ( )0 0x , y del plano xy 5.- Demuestre que en el intervalo [ ]0, , las funciones ( )1 1y x = y ( )2y x cos x= , satisfacen el problema de valor inicial

|21 0dy y

dx+ = , con ( )0 1y = Por qu este

hecho no contradice el Teorema de Existencia y Unicidad?



6.- Determine si el Teorema de Existencia y Unicidad garantiza que la ecuacin |

2 9dy ydx

= tiene solucin nica que cumpla a) ( )1 4y = , b) ( )1 1y = 7.- Resuelva en cada caso, la ecuacin diferencial dada a) 3 0xdx dye+ = S: 33 0xy Ce + = b) ( )1 6dyx x

dx+ = + S: 5 1y x ln x C= + + +

c) 1dy y

dx x+= S: 1y kx=

d) 21 2dx y

dy y senx+= S: 2y ln y cos x C+ + =

e) 2y x yxdyydx

e e e = + S: ( ) 33 1 3 0y x xy Ce e e + + + =

f) ( )22

1ydxy ln xdy x

+= S: 2 3 322 3 9y x xy ln y ln x C+ + + =

g) ( ) ( )33 2 3 0sen x dx y cos x dy+ = S: ( )2 23 6sec x y C+ = h) ( ) ( ) ( )4 21 1 4 0 1 0x dy x y dx , y+ + + = = S: ( ) ( )22 4arctg y arctg x + = i) 2x y y xy = S: 1ln y ln x C

x+ + =

j) 3 2x ydydx

e += S: 2 33 2y x Ce e + = k)

1dydx y x

= S: 1y ln y x C+ + = l) ( )2 1 1x y y+ + = S: 2 4 2 3y ln x y C + + = m) ( )121y x y = + + S: ( )|1 1 1 2xx y ln x y C+ + + + + = +n) ( )24y x y = + S: 4 22

x yarctg x C+ = +



Ejercicios propuestos sobre Ecuaciones Homogneas y Reducibles a ellas

Resolver cada una de las ecuaciones dadas a continuacin 1) 0( x y )dx xdy + = S: x ln x y Cx+ = 2) 2 2 0( y yx )dx x dy+ = S: x y ln x Cy+ = 3) dy y x

dx y x= +

S:

( )2 2 2 yln x y arctg Cx + + = 4) 22dyx y x y

dx = + S: 22 2y x y cx+ + =

5) 33

dy x ydx x y

+= + S: ( )2x y c x y+ =

6) 2 3 3 1 2dyxy y x ; y( )dx

= = S: 3 3 33 8x ln x y x+ = 7) ( )1 0 1ydx x ln x ln y dy ; y( ) e+ = =

S: 0xy lny

e + = 8) 1dy x y

dx y x = +

S: ( )2 2x y x C+ = + 9) ( ) ( )y ln x ln y dx x ln x x ln y y dy =

S: x x xln ln y Cy y y

= + 10) 1

3dy x ydx x y

= + + S:

2 22 2 6x xy y x y C =11) 3 2 1 1

3 2 2dy x y ; y( )dx x y

+= = + + S:

( ) ( )5215 10 6 11 x yx y e ++ + = 12) 2 7

4 3 18dy y xdx x y

+= S:

( ) ( )55 3 3y x C y x + = + +



Ejercicios propuestos sobre Ecuaciones Diferenciales Exactas. Factores Integrantes

1.- Para cada una de las ecuaciones dadas a continuacin, verifique que sea exacta y obtenga su solucin. a) ( ) ( )2 2 23 2 4 6 0x y dx xy y dy+ + + = S: 3 2 32 2x xy y C+ + = b) ( )3 2 0yx dx y ln x dyx + + + = S: 4 33 4 12x y y ln x C+ + = c) ( ) 0yx dy cos x ln y dx

ye + + + = S:

ysenx x ln y Ce+ + =

d) ( ) ( )2 3 4 3 2 4 33 3 4 0x y y dx x y y xy dy+ + + + = S: 3 3 4 55 5x y xy y C+ + = e) ( ) ( )2 22 3 2 4 0y x dx yx dy + + = S: 2 2 3 4x y x y C + = f) ( ) ( )3 2 23 2 0y y senx x dx xy y cos x dy + + = S: 23 2

2xxy y cos x C+ =

g) 22 6xdyx x y xdx

e= + S: 32 22 x x x Cxy xe e+ = h) 2 3 3 22

1 01 9

dxx y x yx dy

+ = + S: 3 3 3x y arctg x C =

i) ( ) 0tgx senx seny dx cos x cos y dy + = S: ( )ln cos x cos x seny C + = j) ( ) ( ) ( )2 22 1 0 1 1x y dx xy x dy ; y+ + + = = S: 3 2 2 4

3 3x x y xy y+ + =

2.- Resuelva el siguiente problema de valor inicial, verificando que la ecuacin diferencial es exacta. ( ) ( ) ( )4 2 5 6 4 1 0 1 2y x dx y x dy ; y+ + + = = Por qu otro mtodo se podra haber resuelto esta ecuacin? S:

2 24 5 3 8xy x x y y+ + = 3.- Determine el valor de k, para que la ecuacin dada sea exacta ( ) ( )3 4 2 2 32 3 20 0y kxy x dx xy x y dy+ + + = S: k=10 4.- Obtenga una funcin N(x,y), de manera que la ecuacin dada sea exacta

( )1 12 2 2 0xy x dx N x, y dyx y + + = + S: ( ) ( ) ( )

12

2

12

xN x, y h yy x y

= + + +



5.- Para cada una de las ecuaciones dadas a continuacin, determine un factor integrante que dependa de una sola variable ( ) ( )( )x y y utilcelo para hallar su solucin a) ( ) ( )2 23 6 3 3 2 0x xy y dx xy x dy+ + + + = S: 3 3 2 232

2x x y x y C+ + =

b) ( ) ( )2 1 2 0 0ydx ln y x dy , y+ = > S: 2x ln y Cy+ = c) ( ) ( )0 0y ln x dx xdy , x+ = > S: 1y ln x Cx+ + = d) ( )22 3 2 0y x dx xydy+ + = S: 2 2 3x y x C+ = 6.- Resuelva la ecuacin diferencial ( ) ( )2 22 3 0xy y dx x xy dy = , sabiendo que ella admite un factor integrante de la forma ( ) m nx, y x y = S:

( )3 2 x yy Cx e = 7.- Halle la solucin de cada una de las ecuaciones dadas a continuacin, sabiendo que ellas admiten un factor integrante de la forma especificada en cada caso a) ( )2 2 depende del producto0 ydx x x y dy , xy+ + = S: ( ) 1 0 0xy y C; x ; y + = = = b) ( ) ( ) ( )2 22 2 0x y dx y x dy , x y + + = = + S: ( )2 2 xln x y arctg Cy + =



Ejercicios propuestos sobre Ecuaciones Lineales de Primer Orden y Ecuacin de

Bernoulli

Resolver cada una de las ecuaciones dadas a continuacin

1) 2 23y x y x + = S: 313

xy Ce= +

2) 2 1x y xy + = S: ln x Cyx+=

3) ( )24 2 0x y dy ydx+ + = S: 2 1 245 /x y Cy= + 4) ( )xdy xsenx y dx= S: senx Cy cos x

x x= + +

5) ( )1 0x xdye e ydx+ + = S: 1xCy e= + 6) 34dyx y x x

dx+ = S:

3

47 5x x Cy

x= +

7) ( )2 0yydx xy x y dye+ + = S: 2 2

1 1 12 2 4

yy

Cy y y

x e e + + =

8) ( )64 0ydx x y dy + = S: 6 42x y Cy= + 9) ( )2 3 1 0cos x senx dy y cos x dx+ = S: y sec x C csecx= + 10)

3

23 2dy xx ydx y

= S: 3 2 3y Cx x= + 11) ( )2 43 2 0y x xy y + = S: 2 3y x C y = 12) 4 3 3y x yx y =

S: ( ) 12 3 2

0 essolucin singulary x Cx ;y

= +=

13) 21dyx y

dx y+ = S: 3 31y Cx= +

14) 2 2dyx y xydx

+ = S: x y Cxe = 15) ( )2 42 3 con 1 1 2y x yx y ; y / = = S: 3 1 69 49

5 5y x x = +

16) ( ) ( )2 4 3 con 0 1x y xy x; y+ + = = S: ( ) 32 23 1 16 4y x = + +



Ejercicios propuestos sobre Aplicaciones que conducen a Ecuaciones Diferenciales de

Primer Orden

I) Aplicaciones de tipo geomtrico 1.- Familia de curvas que cumplen con una condicin dada a) Cada curva de una cierta familia tiene la propiedad de que se encuentra ubicada en el primer cuadrante y pasa por el origen. Adems, el rea bajo dicha curva entre (0,0) y un punto (x,y) es igual a 1/3 del rea del rectngulo que tiene dichos puntos como vrtices opuestos. Determine la ecuacin de dicha familia de curvas S: Familia de parbolas de eje vertical, con vrtice en el origen 2y kx= b) Obtenga la ecuacin de la familia de curvas que cumple con la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en cada punto es igual a la suma de sus coordenadas S : 1xy C xe= c) Halle la ecuacin de la curva que pasa por (3, -4), de manera que la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos, es igual a dos veces el cociente de su ordenada entre su abscisa. S : 29 4 0y x+ = d) Determine la ecuacin de la familia de curvas tales que la pendiente de la recta normal en cada uno de sus puntos es igual a su ordenada ms 3 unidades. S : ( )23 2y x C+ + = 2.- Trayectorias Isogonales a) Obtenga la ecuacin de las trayectorias isogonales a la familia 2y ax= , en ngulo

60 =

S: 2 26 2 3 3 2 323 23

y xarctg ln y xy x Cx + =

b) Encuentre la ecuacin de las trayectorias isogonales en ngulo de 45 a la familia de circunferencias con centro en el origen de coordenadas.

S: ( )2 22 yarctg ln y x Cx + + =



3.- Trayectorias Ortogonales En cada uno de los siguientes ejercicios determine la ecuacin de las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada

a) 21ayx

= + S: 2 22 2y x ln x C =

b) Familia de circunferencias con centro en el eje x, que pasan por del origen S: 2 2x y Cy+ = c) 0y a ln x, x= > S: ( )2 22 2 1y x ln x C+ = d) 10

xy Ce= S: 2 20y x C= +

e) Familia de hiprbolas equilteras, de eje horizontal y centro en el origen S: xy k= 4.- Si la ecuacin diferencial de una familia de curvas, ( ) 0f x, y, y = no se altera al remplazar y por 1 y , la familia se denomina auto-ortogonal. Demuestre que la familia de parbola ( )2 4y C x C= + es auto-ortogonal. II) Aplicaciones de tipo fsico Crecimiento de poblaciones 1) Se sabe que la poblacin de una cierta ciudad aumenta proporcionalmente al nmero de habitantes presentes en cada instante. Si se sabe que la poblacin fue de 10.000 habitantes despus de 3 aos y que en 5 aos se duplic la poblacin inicial Cul era dicha poblacin inicial? S: 6598 habitantes 2) Cierta ciudad tena una poblacin de 25.000 habitantes en 1970 y 30.000 en 1980. Qu poblacin pueden esperar los urbanistas para el 2010? S: 51.840 habitantes 3) La poblacin de un pas aumenta 3% anualmente y su censo actual es de 190 millones de habitantes Cuntos aos debern transcurrir para que la poblacin alcance 250 millones? S: Aprox. 9 aos 4) Suponga que la poblacin de la Tierra aumenta con una rapidez proporcional a la poblacin presente en cada instante. Se estima que en el ao 1650 de nuestra era, la poblacin de la tierra era 600 millones de habitantes y que en el ao 1950, dicha poblacin



era 2,8 miles de millones (2,8 x 109). Si se supone que la poblacin mxima que la Tierra puede sostener es 25 miles de millones Cundo se alcanzar ese lmite? S: En el ao 2376 Desintegracin radioactiva 1) En el instante t = 0 se tenan 100 g de una sustancia radioactiva. Al cabo de 6 horas esa cantidad disminuy en un 3%. Calcule su perodo de vida media. S: 136,5 horas

2) El problema de valor inicial ( ) 00dA kA, A Adt = = es el modelo matemtico de desintegracin de una sustancia radioactiva. Demuestre que en general, el perodo de vida

media (T) de la sustancia es 2lnT

k=

3) Despus de dos das estn presentes 10 gramos de una sustancia radioactiva. Tres das ms tarde hay presentes 5 gramos Cuntos gramos de la sustancia haba inicialmente? S: 15,87 gramos Ley de Enfriamiento de Newton 1) Un termmetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire era 70 F y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10 F. Pasado minuto, el termmetro marca 50 F. Qu temperatura marcar cuando t = 1 min? En cunto tiempo marcar una temperatura de 15 F? S: a) T=36,67 F b) En aproximadamente 3,06 minutos 2) Un pastel es retirado del horno a 210 F y se deja enfriar a temperatura ambiente de 70 F. Despus de 30 minutos la temperatura del pastel es 140 F. Cundo estar a 100 F? S: En 66 minutos 3) Justamente antes del medioda el cuerpo de una vctima aparente de homicidio, se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante de 70 F. A medioda la temperatura del cuerpo era de 80 F y a la 1 pm de 75 F. Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte era 98,6 F (temperatura normal del cuerpo) y que se ha enfriado de acuerdo a la Ley de Enfriamiento de Newton Cul fue la hora de la muerte? S: Aproximadamente las 10:29 am Vaciado de tanques 1) Un tanque tiene la forma de un cubo de arista igual a 4 metros y en su base hay un pequeo agujero de rea A0. Si inicialmente el tanque est lleno hasta las partes de su altura En cunto tiempo estar lleno hasta la mitad de su altura?



S: ( )1 0

1

32 3 2con 2t , k kA g

k

= = 2) Un tanque tiene la forma de cono circular recto apoyado en su vrtice (embudo). Su altura es de 4m y el radio de su base 2m. Dicho tanque posee en el fondo un agujero de rea A0. Si inicialmente se encontraba lleno de lquido En cunto tiempo se vaca?

S: 1 01

16 con 25

t , k kA gk= =

3) Un tanque esfrico de 2 m de radio tiene en su fondo un orificio de rea A0 (m2). Si inicialmente el tanque se encuentra lleno de lquido En cunto tiempo se vaca totalmente?

S: 1 01

128 con 215

t , k kA gk

= = 4) Un tanque de agua tiene forma de cono circular recto, descansando sobre su base. El radio de dicha base es de 2 m y su altura 4 m, inicialmente se encuentra completamente lleno y en t = 0, comienza a vaciarse a travs de un orificio situado en el fondo del

mismo. Cunto tiempo tarda en vaciarse? S: 1 01

256 con 215

t , k kA gk= =

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