Guía Limites trigonomtricos. YUBERTH HURTADO

5/16/2018 Gu a Limites trigonomtricos. YUBERTH HURTADO - slidepdf.com

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Yubert Hurtado M.

1

Vientos de renovación corren por los pasillos de la educación, circulan por los sistemas de educación de la granmayoría de países del mundo. Los críticos de la educación exigen hoy que la enseñanza, que el proceso de transmitir

un conocimiento estén apoyados en una sólida fundamentación psicológica, que los docentes reemplacen el objetivoo eliminen de los logros el deseo de transmitir conocimientos y en cambio se desarrolle el firme propósito deenseñar a pensar, de enseñar por medio de métodos en los que se desborde la excelente didáctica, fundamentadaen el alma de un pedagogo (esto último no lo dan las universidades, nace desde lo interior de cada persona queposee el vivo deseo de enseñar bien), se cree un fundamento firme que dote de herramientas a los educados parapensar de la forma como los retos del nuevo siglo y los avances lo exigen.En relación a los cambios que se vienen dando en los procesos educativos, en Colombia, estos procesos de mudanzase manifiestan toda vez que se desarrollan congresos y encuentros pedagógicos, con el fin de encontrar nuevoscurrículos y materiales didácticos, principalmente plasmado en textos, cuya metodología, organización decontenidos y sistemas evaluativos responden de manera paliativa al nuevo enfoque o direccionamientoconstructivista del conocimiento en la vía de enseñar a pensar y entender el por qué de un proceso o resultado(Razón Matemática).Acogiendo a esta actitud de cambio en relación a la cual vengo hablando, yo un alumno de Licenciatura enMatemática y Física, deseo presentar una nueva Guía Didáctica, realmente nueva. Basta ya de libros matemáticosque te muestran muchos ejercicios pero de ellos entiendes pocos, que te hablan en un lenguaje extraterrestre yluego no te traduce en términos terrenales (un aprendizaje no meta-cognitivo, antes bien intra-cognitivo). Ésta guíaestá solidificada en el real deseo de cumplimiento con características distintivas que corresponda con los nuevosrequerimientos y son los s iguientes:

Cumplen con las exigencias del nuevo programa curricular.Su lenguaje es de fácil interpretación por parte de los estudiantes, sin menoscabo del rigor propio del lenguaje

científico o los términos técnicos.Al finalizar de los temas se propone un adecuado número de ejercicios debidamente ordenados y acordes con los eldesarrollo de la guía bajo su propio grado de complejidad.Las preguntas y ejercicios o problemas matemáticos propuestos están fundamentados en variables cuyos valoresse ajustan a la realidad y al contexto cotidiano.Cada unidad está precedida de una portadilla que incluye los objetivos y una breve reseña histórica de lo referenteal tema que se desarrolla en la guía; con lo que se busca que el educando o quien la estudia, comprenda que elconocimiento, incluyendo el matemático, es histórico y se construye día a día.Al final de la unidad se presenta:

Ejercicios de repaso y fundamentación.Respuesta a los ejercicios propuestos.



Yubert Hurtado M.

2

GUÍA PARA RESOLVER CON PROPIEDAD LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

INTRODUCCIÓN

Los ejercicios y problema matemático son y fueron creadas sobre los mismos principios de creación de un viruscibernético; el virus existe porque existe alguien que lo creó, al igual que creó la cura o antivirus, por lo tanto, todoejercicio o problema matemático no importa la forma como esté planteado, este generalmente tiene una solución lacual está implícita en el planteamiento mismo. Los ejercicios que involucran límites trigonométricos no se exceptúande esta generalidad, ya que estos vienen predispuestos para dar un resultado que está incluido en ellos mismos; pormás complejo que parezca el límite Trigonométrico en su estructura, no obstante si hacemos un pequeño esfuerzoneurológico o cerebral, llegaremos a la conclusión que todo está allí, es decir, ya el resultado estaba dado.En este trabajo que contiene una guía para resolver límite trigonométricos podrás comprobar que mi apreciacióncamina sobre la línea de la perfección y podrás obtener herramientas que te harán idóneo para resolver cualquierlímite Trigonométrico sin importar su grado de dificultad. Las matemáticas y todas sus ramas para entenderlas

simplemente hay que tratar de conocer algunas claves. Nada en las matemáticas es tan difícil como parece (quienesenseñan las matemáticas con falta de una correcta pedagogía y con la ausencia de una buena didáctica, son quienesmancillan una ciencia perfecta y en últimas terminan por hacer que se cree una fobia hacia las Matemáticas, fobiaque se alimenta por la existencia de indoctos profesores que deberían desaparecer, ya que están enseñando malalgo que después de DIOS es lo único perfecto), antes bien el hecho que sea una materia o ciencia casi perfecta, porno decir perfecta, es una gran ventaja ya que todo tiene un solo resultado, existen en ocasiones diversos procesoso métodos pero un solo resultado.Los límites trigonométricos no son más que la unión o relación de límites (con todo lo que estos contiene) confunciones trigonométricas, fundamentados de manera procedimental en operaciones, expresiones algebraicas yuniformidad de expresiones matemáticas como base para su solución.

Bajo la generalidad y sobre cualquier fundamento interpretativo de quienes conocen o entiende algo de laTrigonometría, los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable (son aquellos que su

resultado se obtiene sin proceso y son iguales a 1,2

1y 0) o una identidad trigonométrica y en algunos casos se

debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas comomultiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites,en conclusión; utilizar cualquier cantidad de artificios matemáticos que estén fundamentados en losreglamentos o parámetros de la materia misma. En ocasiones es necesario aplicar las propiedades de los límites deacuerdo a la operación planteada o límites especiales.



Yubert Hurtado M.

3

OBJETIVOSDotar a quienes utilicen este trabajo, de herramientas facultativas que le permitan solucionar cualquier tipo delímites trigonométricos sin importar el grado de complejidad, estando en la capacidad de explicar y demostrar queel uso de un procedimiento o método es correcto para resolver un ejercicio que involucre límites Trigonométricos.Este fin General que anteriormente dejé claro se podrá alcanzar fundamentado en los siguientes fines específicos:

Aprender a resolver límites por simple inspección aplicando los límites notables y las clases necesariaspara tal proceso. Solucionar límites trigonométricos usando algoritmos claros y sencillos. Emplear de manera correcta las equivalencias de las funciones trigonométricas. Adquirir en bases sólidas que se conviertan en el punto de apoyo para resolver cualquier límite

Trigonométrico sin importar su grado de complejidad. Aprender algunas claves puntuales que permiten solucionar límites trigonométricos de manera fácil. Creer que los límites trigonométricos son sencillos. Aprender a plantear ejercicio que involucren límites trigonométricos.



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4

TABLA GENERAL DE EQUIVALENCIAS TRIGONOMÉTRICAS (X≠0)

Reciprocas

xsenx

csc

1 Y

senx x

1csc

x x

sec

1cos y

x x

cos

1sec

xTanx

cot

1 y

TanxCotx

1

Razón de dos Funciones

x

senxTanx

cos

senx

xCotx

cos

Pitagóricas 1cos22 x xsen xsen x22 1cos 1cos22 x xsen

xsenx 2cos1 / xsen x 21 / cos

1tansec 22 x x

1cotcsc 22 x x

En Función de Seno, Coseno y Tangente

FUNCIÓN Senx Cosx Tanx

Senx

Cosx

Tanx

Cotx

Secx

Cscx

xsen2

1

xsen

senx

21

senx

1

senx

xsen

2

1

xsen2

1

1

x2

cos1 senx

Cosx

x

x

cos

cos12

x

x

2cos1

cos

x2

cos1

1

xcos

1

x

x

2tan1

tan

x2

tan1

1

Tanx

tan

tan12 x

xtan1

x2tan1



Yubert Hurtado M.

5

Los siguientes límites son considerados como CASOS NOTABLES:

1lim0

x

senx

x

2) 1lim0

senx

x

x

3) 0lim0

senx x

4) 1lim0

Kx

senKx

x

1coslim0

x x

6) 0cos1

lim0

x

x

x

7)2

1cos1lim

20

x

x

x

1tan

lim0

x

x

x

9) 1tan

lim0

x

x

x

10) 1tan

lim0

Kx

Kx

x

K, representa una cantidad cualquiera

ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS MÁS USADAS SON:

Identidades Básicas

xsenx

csc

1

x x

sec

1cos

x x

cot

1tan

x

senx x

costan

senx

x x

coscot

Identidades Fundamentales de la Trigonometría o Pitagóricas

sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x

Identidades de la suma de ángulos

Sen(xy)=senx cosycosx seny senxsenycosxcosyy)cos(x

2

2cos12 x xsen

2

2cos1cos2 x

x

Identidades de ángulos Doble

sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x

Identidades de ángulos medio

2

cos1)2 / (

x xsen

2

cos1)2 / cos(

x x



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6

CLAVE GENERAL PARA RESOLVER LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS:

Teniendo en cuenta que cualquier ejercicio matemático, sin importar su forma o estructura, sin tener en cuenta lasoperaciones que lo conforman o las operaciones indicadas en este; todos los planteamientos matemáticos vienenpreestablecidos para dar un resultado matemático implícito o incluido ya en ellos. Esta regla General que deja claroque todo resultado o respuesta de un ejercicio matemático ya está contenido en la expresión matemática misma,

también es aplicable para los ejercicios que corresponden a límites Trigonométricos.Teniendo en cuenta lo anterior y puntualizando con relación a límites Trigonométricos, es necesario decir que todolímite Trigonométricos está planteado incluyendo en el mismo su resultado, es decir, que cualquier ejercicio traeindicado el resultado; por ejemplo si tenemos un límite Trigonométrico que en el numerador contiene un coeficienteo un número indicador de multiplicación, o sea, un número que éste al lado de la identidad trigonométrica, y al igualque en el denominador haya otro término en las misma condición, estos dos números, tanto de del numerador comoel del denominador (forma una fracción ) serán la respuesta.

A continuación lo mostraré a través de un ejemplo:

x

xsen

x 8

5

0

lim

, observemos que en el numerador el coeficiente cinco y en el denominador el coeficiente es ocho,

por lo tanto, la respuesta será la fracción conformada por 5 y 8, en decidir,8

5, ya que el objetivo del caso es dejar a

senx sobre x, sabiendo que esto es igual a 1 y 1 por8

5Es igual a

8

5.

Existen ocasiones en las que no aparece ningún número, en este caso generalmente la respuesta es cero (o).Algunos ejercicios poseen número en el numerado pero no en el denominado o viceversa, cuando el número aparecesólo en enumerado, la respuesta será ese número; en caso de sólo estará en el denominado, la respuesta será unafracción cuyo denominador constante y su denominador el número que aparece en el ejercicio.Veamos una continuación:

xTan

x

x 60

lim

, obsérvese que en el numerador no hay coeficiente, sabemos que es 1, en el denominador aparece

en 6, por lo tanto la respuesta será un sexto (6

1). Ya conocemos que

Tanx

xEs igual a 1, de allí que el objetivo será

llegar a esta expresión y es muy sencillo, simplemente ponemos a multiplicar6

1.

Veámoslo más claramente:

xTan

x

x 60

lim

Si reemplazamos directamente a x por cero nos dará una indeterminación, ya que Tan de cero es

cero (0), por lo tanto, es necesario aplicar los procedimientos que me permitan resolver el límite Trigonométrico:1

xTan

x

x 60

lim

Tanx

x

x

6

1

0

lim

6

1

Tanx

x

x 0

lim

6

1(1) =

6

1



Yubert Hurtado M.

7

Otras claves importantes son:

Todas las funciones TRIGONOMÉTRICAS se pueden reemplazar pero no es recomendable reemplazar al seno ocoseno, en otras palabras, se puede sustituir por su equivalente cualquier función menos seno y coseno. Habránocasiones en que seno y coseno darán forma a las identidades Pitagóricas, en estos casos sí se deberá sustituir.Cuando en un ejercicio aparezca sólo una función trigonométrica no es necesario reemplazarla por su equivalente,

sólo se debe aplicar la clave general que mencioné anteriormente, en la que explicaba que la respuesta a un límiteTrigonométrico es el número o números que aparecen indicados en el planteamiento. Como se muestra en elejemplo anterior.

A continuación algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular:

Ejemplos:

1. x

xSen Lim X 6

6

0= 1

2.

x

xSen

Lim X

3

0 = x

xSen

Lim X

3

3

3

0 = x

xSen

Lim X 3

3

30 = x

xSen

Lim X 3

3

3 0

= 313

3. )11(

)1(

1

xSen Lim X

=1

Supongamos que x-1 = y entonces tendremos: 1lim1

y

seny

y

)(3

1

)63(

)2(

2inspecciónsimple por

x

xSen Lim X

Es decir, es sencillo, el resultado es el uno (1) como numerador, ya que este es el coeficiente de seno y el tres como

denominador, este es el coeficiente de la X

)63(

)2(

2 x

xSen Lim X

)2(3

)2(

2 x

xSen Lim X

)2(

)2(

3

1

2 x

xSen Lim X

)2(

)2(

3

1

2 x

xSen Lim X

3

11

3

1

De igual manera

4. x

xSen

Lim X

20

22

20 x

xSen

Lim X

2

2

2

1

0 x

xSen

Lim X

2

11

2

1

5. 00

)0(30

32lim

0 sen

x xsen

x 32

22lim2

312lim

31

32lim

000 x xsen

x xsen

x xsen

x x x

6. 0

0

2cot

2cos

cot

coslim

2

ananx

x

x

12

limcos

coslim

cos

coslim

222

sensenx

x

xsenx

senx

x

x

x x x



Yubert Hurtado M.

8

7. y

Cosy LimY

1

0

y

Cosy LimY

1

0

)cos1

cos11(

0 y

y

y

Cosy LimY

)cos1(

1 2

0 y y

yCos LimY

)cos1(

2

0 y y

ySen LimY

y

ySen LimY 0

)cos1(0 y

ySen LimY

011

01

Recordando que sen2x + cos2x=1 sen2x= 1-cos2x sen2x= 1+cos2x sen2x-1=cos2x

Para resolverlo utilizaremos un procedimiento común en algunos límites

trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una

expresión. Multiplicamos por el conjugado de Cosy1 que es Cosy1



Yubert Hurtado M.

9

8. Primero sustituyo Tangente (tany=seny/cosy)

30 y

SenyTany LimY

30

cos

y

seny y

seny

LimY

y y

cysenyseny LimY cos

cos30

y y

cyseny LimY cos

)cos1(30

Aplico factor Común (senx)Resuelvo fracc Aplic Ley de Oreja o Divis de Fracc; Y está sobre uno Así:

)

1

1cos(

3 y

seny

y

seny

)

1

cos

cos

(3 y

y

ysenxseny

)cos

cos(

3 y y

ysenxseny

Recordando que x

senx x

costan

Multiplico por la conjugada de 1-cosx que es 1+cosx, complificando, es decir, multipl tanto numeradr como denomin.Sustituyo y2cos1 por ysen2 , que al multiplicar por el seny= ysen3

y

y

y y

cyseny LimY cos1

cos1

cos

)cos1(3

0

)cos1(cos

)cos1(3

2

0 y y y

yseny LimY

)cos1(cos3

3

0 y y y

ysen LimY

xsen22cos1

Multiplico senx por xsen2 = xsen3

Separo ysen3 buscando dar forma a )(

3

3

y

senyque es =1, aplico propiedad: Límite de un Producto, reemplazo a

x por cero y resuelvo así:

1

0

3

0 )cos1(cos

1

Y

Y y y Lim

y

seny Lim

2

1

)11(

113

EJERCICIO RESUELTOS PASO A PASO CON EXPLICACIÓN (algorítmicamente) SENCILLOS:

A continuación resolveré algunos ejercicios usando un algoritmo que te permita obtener herramientas para

solucionar límites trigonométricos. Obviaré la evaluación de estos, ya que todos son indeterminados. Por simpleinspección puedes notarlo.

1. Senx

TanxlIM X

Sustituyo Tanx, recordemos que nos recomendable sustituir las funciones Seno y Coseno:



Yubert Hurtado M.

10

1

coslimsenx

x

senx

X

Multiplico los extremos entre sí (ley de oreja) xSenx

senx

X coslim

Reescribiendo la expresión sin cambiar su resultado, separó la fracción creando un producto entre dos

fracciones, buscando dar forma a Senx

Senx

que es =1

xSenx

senx

X cos

1lim

Anulo seno sobre seno que es=1 y sustituyo a Pi en cosx

cos

11 1

1

11

2. x

xsen

X

4lim

0 Nótese que en el numerador como coeficiente está el número 4 y en el denominador la

constante 1, por lo tanto, por simple inspección este límite será igual a1

4 o simplemente 4. (es

importante saber por simple inspección el resultado de un límite Trigonométrico, lo demás sencillamentees saber que operaciones y que procesos utilizar)

x

xsen

X

4lim

0 Multiplico y divido por 4 así:

x

xsen

X

4

4

4lim

0 Multiplico los denominadores, es decir,

a 4 por x, buscando dar forma a límite notable x

xsen

4

4

x

xsen

X 4

44lim

0 Aplico límite especial

x

xsen

X 4

4lim4

0 414

3. x

x

X 5

cos1lim

0

Aquí podríamos suponer por simple inspección que el resultado es un quinto pero es

importante agregar que se haya implícito un límite notable

x

xcos1, el cual equivale a cero y

recordemos que todo lo que se multiplica por cero es igual a cero, en este caso 005

1

Multiplico por un quinto5

1, recordando que puedo extraer la fracción completa de expresión y pasarla a

multiplicar así:

x

x

X

cos1

5

1lim

0 Aplicó límite notable 00

5

1

4. x

x xsen

X

2cos13lim

0

El resultado de este ejercicio es sencillamente 3, ya que el coeficiente de

seno es 3, te preguntarás y qué pasa con el 2, que es el coeficiente de coseno; obsérvese que siseparamos la expresión creando una suma de fracciones homogéneas, la segunda fracción será el límite



Yubert Hurtado M.

11

notable x

x

2

2cos1Y éste es igual a cero (0) y al sumar cero con el límite notable

x

xsen

3

3, que se

forma al poner a 3 a multiplicar y dividir

3

3, sobra el 3 que multiplica en el denominador, el resultado

será entonces 3. Veamos:

x

x xsen

X

2cos13lim

0

Reescribiendo la expresión como suma de fracciones homogéneas:

x

xsen

X

3lim

0 x

x2cos1Aplicó propiedad de los límites (adición de límites) así:

x

xsen

X

3lim

0 x

x

X

2cos1lim

0

Sacó los coeficientes 3 y 2, tanto de seno como de Coseno a multiplicar

y dividir, buscando la forma a límites notables para finalmente aplicar límites especiales así:

x

xsen

X

3

3

3

lim0

x

x

X

2cos1

2

2

lim0 x

xsen

X 3

3

lim3 0

x

x

X 2

2cos1

lim2 0

Aplicó límites notables:

3030213

5.

2

2

0 4

cos1lim

x

x

X Apliquemos identidades fundamentales Pitagóricas:

2

2

0 4

cos1lim

x

x

X

2

2

0 4lim

x

xsen

X Como el coeficiente en el numerador es 1 y el denominador es 4,

puedo entonces formar una fracción con estos buscando la forma a un límite notable así:

2

2

0 4

1lim

x

xsen

X Aplicó límite especial entonces:

2

2

0lim

4

1

x

xsen

X Si deseo puedo elevar ambas

cantidades² (esto no es más que una arandela que le da elegancia y extensión el al ejercicio), refiriéndome

límite especial así:

2

0lim

4

1

x

senx

X Reescribiéndola entonces:

2

0lim

4

1

x

senx

x Aplicó límite

notable: 411

41 2

6. Cotx

Tanx

X 0lim

Como las dos funciones relacionadas no son ni seno, ni coseno entonces puedo sustituirlas por su equivalente así:



Yubert Hurtado M.

12

Cotx

Tanx

X 0lim

senx x

xsenx

X coscoslim

0Multiplico los extremos entre sí

x

xsen

X 2

2

0 coslim sustituyo

x X

2

0tanlim aplico tangente de cero 00tan

2

7. Cotx

Tanx

X 0lim

Cotx

Tanx

X 0lim Sustituyo:

1

coslim0 senx

x

senx

X aplico ley de oreja:

xsenx

senx

X coslim

0anulo senx:

Cosx X

1lim

0

Hallo coseno de cero:

0

1

Cos1

1

1

Otra forma de llegar al mismo resultado pero con un poco más de arandelas procedimentales:

Cotx

Tanx

X 0lim Sustituyo:

1

coslim0 senx

x

senx

X aplico ley de oreja:

xsenx

senx

X coslim

0reescribo el producto y aplico

Propiedad límite de un Producto: senx

senx

X 0lim

xcos

1

senx

senx

X 0lim

x X cos

1lim

0

x X cos

1lim

0sustituyo

X:

0cos

11

1

1

8. Cotx

Cosx

X 2

lim

Cotx

Cosx

X 2

lim

Sustituyo Cotx:

senx

Cosx

Cosx

X

1lim

2

multiplico los extremos:

Cosx

xsenx

X

coslim

2

anulo coseno:

1lim

2

senx

X

senx x

2

lim

2

sen

2

180sen 190 sen



Yubert Hurtado M.

13

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS MÁS COMPLEJOS:

1.

x

xSen

Lim X cos21

3

3

x

xSen

Lim X cos21

3

3

Al evaluar resulta:

3cos21

)33

(

sen=

0

0

11

0

2

121

)0(

sen

Desarrollemos

3

xsen : recordando la identidad: sen(xy)= senx cosy cosx seny

2

cos3cos

2

3

2

1cos

33cos

3

xsenx xsenx xsensenx xsen

Son fracc. Homogéneas: resto numeradores sobre común denominadorLuego: uso la conjugada xsenx cos3 que es xsenx cos3 , recordando que cuando tengo unproducto indicado de dos cantidades iguales con signos distintos así: y x y x sólo se multiplican los

extremos entre sí, resultando 22 y x

Resolviendo produc indic, aplico propiedad: product de raíces de igual índice en el numerador:

xsenx

xsenx

x

xsenx

X cos3

cos3

)cos21(2

cos3lim

3

)cos3)(cos21(2

cos3lim

22

3 xsenx x

x xsen

X

La Raíz desaparece al aplicar propiedad: Producto Raíces igual índice así:

3 3 3933

Aplico uniformidad de operación matemática y propiedad Límite de un producto creando dos limites separados, así:

)cos3(2

1lim

3 xsenx X

)cos21(

cos3lim

22

3 x

x xsen

X

Reemplazo xsen2 por x2cos1 teniendo en cuenta que en el denominador está x2cos21

)cos3(2

1lim

3 xsenx X

)cos21(

cos3cos1lim

22

3 x

x x

X



Yubert Hurtado M.

14

Hallo Seno y Coseno de3

en la primera fracción, en la segunda reduzco a x2cos con x2cos3 que es

= x2cos4 , aplico caso 4 de Fact.: Dif. de Cuadrado y reduzco las raíces que están en la primera fracción

)2132

3(2

1

x X cos21

cos41lim

2

3

32

1

x

x

X cos21

)cos21cos)(21(lim

3

Simplifico (1-2cosx)

32

1

x X

cos21lim

3

32

1

3cos21

32

1

2

121

32

1

Suma de fracciones radicales Homogéneas

Observemos lo que sucedió con las raíces:

]2

1

3[2

3

2

2

3

2

32

2

332

2

322 32 32

2.

0

1

0

0coscoslim

)cos1(

coscos1lim

cos

coscos1lim

cos

cos1lim

tan

cos1lim

00000 sensenx

x

xsenx

x x

xsenxsenx

x x

senx x

senx

x

senx x

x

x x x x x

Por lo anterior, que vemos es una indeterminación, es preferible sustituir a xsenx cos por Tanx y luego hallar

Tan de cero (0) así: 00tantancos

lim0

x x

senx

x

3. 0

0

)11(

0

0cos1

0tan

cos1

tanlim

22

0

x

x

x

x

x

x x

x

x x

xsen

x

x

senx

x

x

x x x x x 202

2

02

2

0

2

0

2

0 coscos1

co1cos1lim

coscos1

cos1lim

coscos1lim

cos1

coslim

cos1

tanlim

21

11

0cos

0cos1

cos

cos1lim

2220

x

x

x



Yubert Hurtado M.

15

senx )0(sen

4. 1

tan

0

lim

senx

xsenx

xSi evaluamos notamos que el resultado efectivamente es cero (0) pero lo vamos

a resolver suponiendo que fuera un límite Indeterminado, lo cual permitirá demostrar que las claves pararesolver Límites son correctas.

Evaluemos, es decir, reemplacemos a x por cero:

1)0(

)0tan()0(

0

lim

sen

sen

x=

10

00

=1

0= 0

Analizando podemos observar que no existen coeficientes, ni en el numerador ni el denominador, por lo tanto, elresultado será cero (0)

RESOLVIENDO:

Utilizo identidades fundamentales, recordemos que se reemplazan todas las funciones menos seno y coseno:

1cos

1cos

x

x

senxsenx

Se realizan las operaciones fraccionarias, tanto en numerador como denominador:

x

x x

senx xsenx

cos

1coscos

cos

Obsérvese que en el numerador el seno está repetido en los dos miembros de la suma, por lo tanto esta expresióncalifica para factor comúnAplico factor común en el numerador (Factorizo):

x

x x

xsenx

cos

1coscos

)1(cos

Por tener una expresión que es fracción de fracción o división fraccionaria, podemos aplicar lo que vulgarmenteconocemos como ley de orejaMultiplicamos extremos y medios entre sí, es decir, cambio de denominador:

)1)(cos(cos

))(cos1)(cos(

x x

x xsenx

Observemos que hay coseno y cos + 1 dividiendo y multiplicando (cosx) y como la división y la multiplicación soninversas, puedo anular, en este caso simplificar como se muestra arribaSimplifico:

Sustituyo X = 0



Yubert Hurtado M.

16

senx

x

x

senx

X 1

cos

cos

lim2

2

4

A continuación desarrollaré ejercicios que en su apariencia expresada parecen tener un grado de dificultad muy altopero son simplemente una estructura que asusta (aquí está uno de los límites Trigonométricos que más me agradó

crear ):

5. Resuelvo suma fraccionaria:

)1(cos

coslim

22

2

4 2 senx x

x xsensenx

X

Reemplazo 22 cossen por 1, recordemos que esta equivalencia hace parte de las pitagóricas1

)1(cos

coslim

22

2

42 senx x

x xsensenx

X

)1(cos

1lim

2

2

4 senx x

senx

X

Reescribiendo el numerador, aplico

1

Propiedad conmutativa de la suma, entonces: senxsenx 11

)1(cos

1lim

2

24 senx x

senx

X

simplifico senx1

x X

cos

1lim

2

2

4

sustituyo X:

2

2

4cos

1

2

4cos

1

Simplifico

2

4 2 por lo tanto:

2

2cos

1

aplico relación inversa entre Radicación y Potenciación, por la cual

puedo decir que si una cantidad subradical cuadrada está elevada al cuadrado, queda solo el subradical o la

cantidad radical así: 2

2 anulo radical y exponente, entonces:

1802cos

1

360cos

11

1

1 Recordemos que x

xsec

cos

1 pero las calculadoras científicas

que normalmente utilizamos sólo trae las tres principales funciones, por lo tanto es mejor trabajar con xcos

1

Por sustitución de variable:

6. Tanx x X

2lim

2

Tanx x X 2lim

2

Sustitución de variable, entonces sea xV

2

v X

2

si

02

V X

Por lo tanto sustituyendo:



Yubert Hurtado M.

17

Tanx x X 2lim

2

vv

2tan

Sustituyo tanv ó vtan:

v

vsen

vV

2cos

2lim

0

aplico fórmula de

diferencia de ángulos:

senvsenv

senvvsen

vV

2cos

2cos

2

coscos

2lim0

simplifico quedando en numerador coseno menos

seno y en el denominador coseno más seno, entonces puedo dar forma a una resta así:senv

senv

v

vv cos

cosque al

resolverse:vsenv

vsenvvsenvv

cos

coscos simplifico y reduzco senv:

senv

vvcos

entonces:

senv

vv

V

coslim

0Transpongo pasando coseno a multiplicar buscando dar origen a un límite notable así:

senv

vv

V coslim

0aplico límite notable: 1cosv reemplazo v y hallo coseno de 0:

10cos 111

7.

xsen

xsenx

X 2

tan11

lim0 Multiplico por la conjugada (Binomio con signo transpuesto)

xsen

xsenx

X 2

tan11lim

0

xsenx

xsenx

tan11

tan11Aplico Propiedad Producto de Raíces

semejantes, en el numerador y el denominador dejo producto indicado así:

xsenx xsen

x xsenxsenx

X tan112

tan1tan111lim

0

Resuelvo productos subradicales y como estos

quedan al cuadrado, simplemente hallo raíz cuadrada (Raíz n de un término a la n=el mismo término o subradical:

223 3 x xnn

)

xsenx xsen

xsenx

X tan112

tan1122

0lim

xsenx xsen

xsenx

X tan112

tan11lim

0

Rompamos

paréntesis:

Reduzco

Cada vez que tengas algo parecido

a:senx x

senx x

cos

cosSerá igual a:

senx

xcos



Yubert Hurtado M.

18

xsenx xsen

xsenx

X tan112

tan11lim

0

Reduciendo:

xsenx xsen

xsenx

X tan112

tanlim

0

Sustituyamos Tanx y reescribamos sen2x, buscando poder simplificar senx:

xsenxsenx

x

senxsenx

X tan112

cos

lim0 Resuelvo suma Fracc.:

xsenxsenx

x

senx xsenx

X tan112

cos

cos

lim0

Factorizo en el numerador y aplico ley de oreja, pasando cosx al

denominador:

1

tan112

cos

cos

lim0 xsenxsenx

x

senx xsenx

X

xsenxsenx x

xsenx

X tan112cos

1coslim

0

simplifico:

xsenx x

x

X tan112cos

1coslim

0

Reemplazo x por cero, teniendo en cuenta que el denominador

hay una suma interna de radicales y sus subradicales son reductibles y radicables:

0tan10120cos

10cos

sen

010121

11

1121

11

1121

11

221

11

41

2

4

2

2

1

8. xsen

x

X 2

0

cos12lim

Multiplico por la conjugada:

xsen

x

X 2

0

cos12lim

x

x

cos12

cos12

x xsen

x

X cos12

cos142

2

0lim

x xsen

x

X cos12

cos122

0lim Rompo paréntesis y multiplico por

conjugada:

x xsen

x

X cos12

cos122

0lim

x xsen

x

X cos12

cos12

0lim

x

x

cos1

cos1

x x xsen x

X cos1cos12cos1

2

2

0lim Recordemos: xsen x 22cos1

x x xsen

xsen

X cos1cos122

2

0lim Puedo entonces:

xsen

xsen

X 2

2

0lim

x x X cos1cos12

1lim

0

x x X cos1cos12

1lim

0

intentem

os reemplazar x por cero:



Yubert Hurtado M.

19

x x X cos1cos12

1lim

0

11112

1

222

1Reduzco Raíces:

222

1Resuelvo producto indicado:

24

1Racionalizo, es decir, elimino el radical del denominador

complificando la fracción por una raíz que tenga lo que le hace falta a 2 para tener raíz cuadrada exacta; es este

caso ser 4, o sea, 422 entonces uso 2 :

2

2

24

1

)2(24

21

44

21

24

21

8

21

8

2

Resolvamos algunos donde el coeficiente de las funciones es literal:

9. nx

mxsen

X lim

0

Analicemos que m y n son los coeficientes (n

m), si recordamos al principio de esta

temática se presentan unas claves, pues apliquémoslas: nx

mxsen

X lim0 m y n formando una fracción salen a multiplicar, conservándose la uniformidad de la expresión:1

n

m

x

senx

X lim

0

x

senx

n

m

X

lim

0

n

m

n

m1

10.

qy

pysen

ylim

0

y

seny

q

p

y

lim0

y

seny

q

p

y

lim

0

11 q

p

Veamos este:

11. 1

1tan2

2

1lim

a

a

a

Podemos aplicar sencillamente cambio de variable, entonces:

12a y sustituyendo:

y

y

y

tanlim

1

Es un límite notable, por lo tanto:

1tan

lim1

y

y

y

Profe, buenas:Estos dos son los límites que me parecen muy extraños:

20

5cos2coslim x

x x

X

y el numeral 6 de los límites que denominado Complejos



Yubert Hurtado M.

20

EJERCICIOS PROPUESTOS CON SU RESPUESTA

Analiza las respuestas y verás que se aplica la clave general a la que hice referencia al iniciar, demás, se aplican lasotras claves puntuales relacionadas con la forma y condición del ejercicio.

2

1

2lim

0

xsen

x

x

2

3

2

3lim

0

xsen

xsen

x

2cos

2lim

20

x

xsen

x

senx

x

x

tanlim

2

93lim2

2

0

x

xsen

X

0cos1

tanlim

0

x

xsenx

x

2

2

tan1

coslim

4

x

xsenx

x

0cos1

tanlim

0

x

senx x

x

0tan

lim0

x

xsenx

x

211lim1 x xsen X

2tan1

tan1lim

2

4

x

x

x

4

1cos1lim

20

x

x

x

2

1cos1lim

20

xsen

x

x

2

cos1

lim0

x

xsenx

x

5

3

5

3tan2seclim

0

111

lim0

x

senxsenx

x

3

1

23

2cos1lim

4

x xsen

x

x

Guía Limites trigonomtricos. YUBERTH HURTADO

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