Ppt limites
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1
MATEMATICAS 2SEGUNDO SEMESTRE DE
2010Carreras empresariales
M.B.A –MG Nelson Córdova
1
22
LIMITES DE FUNCIONES
Concepto de límite
( Intuitivo) EL límite de una función ( cuando existe) es un valor numérico L y es el resultado de la evaluación de valores “muy”cercanos a un número “a” en el dominio de f.
Ejemplo: calcular
2
2
3lim
1x
x
x→
++
2
1
1lim
1x
x
x→
−− 3
2lim
3x x→ −
2
2
2 1lim3 3 4x
x x
x x→∞
+ +− +
(Tipo 1) (Tipo 2) (Tipo 3) (Tipo 4)
FORMA EVALUAR FORMA AL INFINITO0
N
0
0
33
EXISTENCIA DEL LIMITE
TIPO (1) TIPO (2)
TIPO (3) (TIPO 4)
NO EXISTE
EXISTE EXISTE
NO EXISTE
•EL LIMITE ESUNICO •EL LIMITE ES UN VALOR NUMERICO•SE VE EN EL EJE DE LAS Y•LA X TIENDE A UN NRO Y LA F(X) TIENDE AL LIMITE
OBSERVACIONES
4
TIPO 1EVALUARDIRECTAMENTE
5
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS LIMITES
6
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS LIMITES
1.-
2.-
3.-
7
TIPO 2F S E
FACTORIZAR- SIMPLIFICAR -EVALUAR
FORMA 0
0
8
( )22
2 1
ax
axaxlim
ax −++−
→
xx
xlimx 5
252
2
5 −−
→
TALLER 1 = DEBER 1
12
22
2
1 +−−+
→ xx
xxlimx
12
22
2
1 +−−+
−→ xx
xxlimx
ax
axlim
ax −−
→
1.-
2.-
3.-
4.-
234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx ++
++++−→
13
20 −+
+→ x
xlimx
2114
2223
34
2 −−+−+−
→ xxx
xxxlimx
5.-
6.-
7.-
8.-
FORMA 0
0
9
x F (x)
2.110
2
2
1lim
2x x−→= ∞
−
TIPO 3FORMA 0
Ν
10
3
1lim
3x x+→ −x F (x)
3.1 -10
3
3
1lim
3x x+→= −∞
−
TIPO 3FORMA
0
Ν
11
3
1lim
3x x−→ −x F (x)
-3.1 10
-3
3
1lim
3x x−→= ∞
−
TIPO 3FORMA
0
Ν
12
x F (x)
1.9 -10
2
1lim
2x x−→ −
2
2
1lim
2x x−→= −∞
−
TIPO 3FORMA
0
Ν
13
TALLER 2 = DEBER 2
FORMA 0Ν
14
LIMITES EN EL INFINITOTIPO 4
>∞<=
=++
∞→mn
mn
mnba
bx
axm
n
x0
/
...
...lim
TRES PASOS•FACTORIZAR MAXIMA POTENCIA•SIMPLIFICAR•EVALUAR EN EL INFINITO
FÓRMULA GENERAL
CASO ∞
15
>∞<=
=++
−∞→mn
mn
mnba
bx
axm
n
x0
/
...
...lim
CASO - ∞
TIPO 4
16
RESOLVER TIPO 4
17
TIPO 4RESOLVERPOR SIMPLE INSPECCIÓN
18
TALLER 3 = DEBER 3
1
2
3
4
510
6
8
7
9
11 CASO ∞±
TIPO 4
19
LIMITES LATERALES TIPO 5
20
LIMITES LATERALES TIPO 5
21
EJEMPLOTIPO 5
22
EJEMPLOTIPO 5
23
EJEMPLOTIPO 5
24
EJEMPLO
TIPO 5
25
TIPO 5
26
TALLER 4 = DEBER 4
1.- CALCULAR LOS LIMITES LATERALES EN LOS PUNTOS INDICADOS
TIPO 5
27
2.- CALCULAR LOS LIMITES
TALLER 4 = DEBER 4
TIPO 5
28
LIMITES TRIGONOMETRICOS
0lim 1x
senkx
kx→=
1lim0
=→ u
senuu
1lim0
=→ senu
uu
1) Límite trigonométrico es aquel que admite funciones como seno , coseno tangente, secante cosecante y funciones inversas como arco tangente
2) Estos límites se resuelven usando la propiedad
3) Existen variaciones de la propiedad
y
EJEMPLOS
(1)
x
xsenx
3lim
0→(2)
xsen
xx 3
2lim
0→(3)
(TEOREMA 1)
TIPO 6
29
TALLER5 = DEBER 5
CALCULAR EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A CERO
TIPO 6
30
TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
El cambio de variable para límites trigonométricos se usa cuando queremos hacer que el límite tienda a cero de modo que podamos aplicar el teorema 1.
1lim0
=→ u
senuu
(teorema 1)
TIPO 6
•Se cambia la variable actual por una de nuestra elección•Si x tiende a c el cambio sugerido es u = x – c•Se reemplazan todas las variables x por la fórmula x = u+c•En el nuevo límite ahora u tiende a 0
31
Por otro lado
CAMBIO DE VARIABLETIPO 6
32
CAMBIO DE VARIABLE
Además
TIPO 6
33
TALLER 6 =DEBER 6
xsen
xx π
2
1
1−→lim
0)
p)
TIPO 6
x
xsen
x 32
1
−
−
→ ππlim
q)
r)x
x
x 3
21
3−
−→ ππ
coslim
34
TEOREMA DEL EMPAREDADO TIPO 7
35
RESOLVER TIPO 7
36
RESOLVER
MULTIPLICANDO POR
TIPO 7
37
TALLER = DEBER 7
4
5
TIPO 7
38
DEBER
39
GUIA DE REFUERZO
40
GUIA DE REFUERZO