Guia Nº3

Profesor: Matas Saavedra A. Ayudante: Andrs Romn E.

GUA N3 GEODESIA I

1) De la figura deduzca analticamente el efecto de curvatura y refraccin en la observacin de un ngulo de elevacin.

B

A aR aR N.m.m g

2) Demuestre que ( )

+

D

+

+-=D 2

21

12 121

211

21

aaa RS

Rh

Rh

ZZtgSh

Si:

( )( )

( )

( )12

12

3

1

21

21

21

32

22

ZZtg

ZZtghR

h--

-

++

=Dq

qqa

; Si:a

qRS

=22

3) Demuestre analticamente la reduccin de una distancia inclinada a una geodsica

4) Calcular la distancia geodsica entre las estaciones A y B. Elipsoide de referencia: Elipsoide internacional 1924 a = 6378388; f = 1/297; e = 0.006722670022 Lnea A-B Estacin A Estacin B

mH A 19,4686= mH B 83,4230= mhi A 40,1= mhi B 45,1=

Distancia inclinada: Di = 21916,98m Azimut de lnea: ABa = 325 37 43 ; latitud media mj = -31 40 20


1) Solucin:

EFECTO DE CURVATURA

B

'a

'b

A g /2 s E H Lnea tangente Al geoide aR aR N.m.m g De la figura se obtiene lo siguiente:

( ) ( )( )( )'cos'

'90' /'90'18090''

agbagbagbagb

+=+-=+-==+++

sen

sensensen

Adems obtenemos que:'

2';

2'' b

ga

gab sen

senSH

sen

Hsen

S

+=

+=

( )ga

ga

b

ga

gab +

+=

+=

+=

'cos

2'

'

2'

2''

senSH

sen

senSH

sen

Hsen

S

( )gagaagga

sensen

sensenSH

+

+=

'cos'cos

'cos22cos' ; Si consideramos que es un ngulo muy

pequeo entonces: 1cos;0 == ggsen ; tras lo cual obtendremos lo siguiente:

'cos

'cos22cos'

a

agga

+=

sensenSH

Como 2g es un ngulo muy pequeo 12cosy 22 \

gggsen

+=

+=

2'

'cos'cos2

'cos' ga

aa

g

aa

tgSHsen

SH


S

De esta figura se tiene: ga = RS

a

ga

gRS

RS

==

222: /

aR aR g

por lo tanto a

aa

aR

StgSH

RS

tgSH

+=

+=

2'

2'

2

EFECTO COMBINADO DE CURVATURA Y REFRACCIN

B

d /2 B a

'a 'b

A g /2 s E H Lnea tangente Al geoide aR aR N.m.m

g R

ag

agdaa

RS

RS

==-=

22 2: / ;

2'

K = Refraccin de la lnea AB; por lo tanto R=K

Ra

add

RKS

RS

=

=

22'22

+

-=

+

-=

+=

212

222't

22

da

da

ada

aa

tgtg

tgtgS

RS

tgSHR

SgSH

El producto de 2da tgtg ; tiende a cero debido al ngulo muy pequeo

2d


Por lo tanto se tiene que:22dada tgtgtg -=

-

2cos2

2tang

d

dd sen= ; al ser muy pequeo 2d

, 22

seny 12

cosddd en radianes

( )a

da

dadadaRKS

RS

tgSHtgtg=

+-=-=-

22 si ;

22S

22

2

aaa

RS

RK

tgSH

+-=

22S 22

; pero K corresponde a la refraccin que afecta en su conjunto

a la lnea, por lo que se puede decir que K = m2 , quedando finalmente:

aaa

RS

RmS

tgSH

+-=2

22

; por lo tanto ( )mR

tgSH -+= 5,0S2

a

2) Solucin:

( )( )

( )

( )12

12

3

1

21

21

21

32

22

ZZtg

ZZtghR

h--

-

++

=Dq

qqa

; Si a

qRS

=22

Reemplazando 2q

en hD se tiene:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )12

123

3

1

12

12

3

1

21

21

21

2422

21

21

21

32

22

ZZtgRS

ZZtgR

SRS

hR

ZZtgRS

ZZtgRS

RS

hR

h

-

-

-

+

+=

-

-

-

+

+

=D

a

aaa

a

aa

a

( ) ( )

( )12

122

2

1

21

21

21

21212

ZZtgRS

ZZtgRS

RS

hR

h-

-

-

++=D

a

aaa


Considerando que el producto ( )1221

2ZZtg

RS -

a, es muy pequeo, consideraremos

que:

( )( )12

1221

21

21

21

1ZZtg

RS

ZZtgRS

-

+@-

- a

a

( ) ( )

( )12

122

2

1

21

21

21

121

ZZtgRS

ZZtgRS

RS

hR

h-

-

-

++=D

a

aaa

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

-+-

++=D

-

+-

++=D

aaaa

aaaa

RS

ZZtgZZtgR

SRS

hRh

ZZtgRS

ZZtgRS

RS

hRh

221

121

121

21

21

21

121

12122

2

1

12122

2

1

( ) ( )

( ) ( )

-+

+

+-=D

-+-

+

+=D

aaa

aaa

RS

ZZtgR

SRh

ZZtgSh

RS

ZZtgZZtgR

SRh

Sh

221

112

1121

221

121

1211

122

21

12

12122

21

( )1221

' Pero ZZtgSh -=D

Quedando finalmente:

( )

D

+

+

+-=D

aaa Rh

RS

Rh

ZZtgSh2

'1

1211

21

2

21

12

3) Solucin: Reduccin al horizonte B A N.m.m aR aR

AH S

h

dh

Di

BH


aarra

22 cos+=Nsen

NR

Dela figura se tiene que:

( )2

1

2

22

12222 1

D-=D+=D+=Dih

DidhhDidhhDidh

Desarrollando por medio de la serie ( ) ........361

41

21

41

21

21

11 2221

xxxx +-+=+

21

2

2

1

D-+=Di

hDidh ; Si

D--

D-+= .....

41

21

21

1 ;02

2

2

2

2

Dih

Dih

Didhx

......81

2.....

81

21

14

4

2

2

4

4

2

2

Dih

Dih

DidhDi

hDih

DidhD+

D-=

D+D-=

Por lo tanto la correccin al horizonte es:2

2

2Dih

ChD-=

Reduccin al nivel del mar dh

aR N.m.m aR aR

2BA HHhm

+=

( ) ( )

DnmmdhRhm

Dnmm

Rhm

R

RdhDnmm

hmRRdh

RDnmm

Rhmdh

=

+

=

+

=+=

+

-1

1

1

a

aa

aa

aaa

hm


Desarrollando por medio de la serie ( ) ........11 4321 xxxxx +-+-=+ -

2

2

3

3

2

2

........1aaaaa Rhmdh

Rhmdh

dhDnmmRhm

Rhm

Rhm

dhDnmm

+

-=

-+-=

aRhmdh

dhDnmm-=

Por lo tanto la correccin al nivel del mar es: aRhmdh

Cnmm-=

Paso de la cuerda al arco:

Dnmm A1 B1

aR q N.m.m

2q

DnmmsenRDnmm

senRR

DnmmsenRBarcoA ====

22

222

2 ; 11qaqa

aqqa

Desarrollando por medio de la serie ........!7!5!3

753 xxxxsenx -+-=

( ) ( )....

123452

1232

22

53

+

-=

qqqqsen

4822

3qqq -= sen

DnmmRDnmmRsenR =

-=

-=

244822

22

33 qqaqqaqa

pero DnmmR

SSDnmm

RS

RS

RRS

=

-=

-= 23

3

3

2424 aaaa

aq

DnmmR

SS +

=

2

3

24 a

Por lo tanto la correccin del paso de la cuerda al arco es: 2

3

24 aRS

Cc

=

En resumen 232

242 aa RDnmm

Rhmh

Dih

DiS

Dnmm

+D-

D-=

444 3444 21

0


4) Elipsoide de referencia: Elipsoide internacional 1924 a = 6378388; f = 1/297; e = 0.006722670022 Lnea A-B Estacin A Estacin B

mH A 19,4686= mH B 83,4230= mhi A 40,1= mhi B 45,1=

Distancia inclinada: Di = 21916,98m Azimut de lnea: ABa = 325 37 43 ; latitud media mj = -31 40 20 Solucin: Reduccin a la horizontal:

m59,468740,1

19,4686

+ m28,4232

45,1

83,4230

+

31,455=Dh

mdhhDidh 25,2191222 =D-= Reduccin al nivel del mar:

mhmhm 51,44582

83,423019,4686 =+=

( )( )

( )085,6362828

cos

90,63529341

1 ; 72,6384078

1

22

23

22

2

21

22

=+

=

=-

-==-

=

aaar

ra

rj

rj

RNsen

NR

msene

eamN

sene

aN

mDnmmCnmmdhDnmmmCnmm 91,2189634,1525,2191234,15 =-=-=-=

Reduccin de la cuerda al arco:

Cc 0108,024 2

3

+

=aR

Dnmm

Por lo tanto la distancia geodsica es: mSCcDnmmS 921,21896=+=

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