Hacia el concepto de límite
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Fabián Antonio Arias AmayaProfesor TC
Universidad Tecnológica de BolívarCartagena, septiembre 30 de 2010
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Hacia el concepto de Límite
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Preliminares
Valor absoluto de un número real
Definición. Sea un número real.Llamamos valor absoluto de alnúmero real dado por
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ObservaciónEl valor absoluto de un número es el mismo númerosi éste es no negativo, o el inverso aditivo si elnúmero es negativo, por consiguiente, el valorabsoluto siempre es no negativo. Esto se escribe así
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Ejemplo
El valor absoluto de -1/2 es ½, y el ½ también es ½. El valor absoluto de 0 es 0. Esto es,
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Distancia entre dos números
Llamamos distancia entre dos números reales
e a la distancia entre los puntos que
ellos representan en la recta real. Estadistancia está dada por el valor absoluto de ladiferencia entre dichos números, es decir,
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Comentarios
La distancia entre dos puntos nos permite resolver algunos problemas. Entre estos están:
1. Determinar cuán distante está un punto de otro.
2. Decidir cuál número dentro de un conjunto dado, está más próximo a un número dado.
3. Determinar si un número dado está o no dentro de un intervalo dado.
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Vecindad de un número real
Definición. Dados un número real y un real positivo . Llamamos vecindad con centro en y radio , al conjunto
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Observación
Según la definición tenemos que:
Por tanto,
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Lo anterior nos indica que una vecindad abierta no es más que un intervalo abierto con el mismo centro y radio.
Ejemplos:
a. La vecindad B(-1;1/2) se corresponde con
el intervalo (-3/2, -1/2).
b. El intervalo (1,3) corresponde a la vecindad
B(2;1).
c. El elemento ¼ pertenece a la vecindad
B(1/2;1/2) porque la distancia entre 1/4 y
½ es ¼, la cual es menor que ½.
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Definición de Límite
Definición. Sean c un número real dado y f una
función definida en un intervalo de la forma (c-r, c+r) para algún r>o. Decimos que un número real L, si existe es un límite de f(x)cuando x tiende a c, si para cualquier vecindad
B(L; ϵ) de L, existe una vecindad B(c;δ) tal que para todo x en el dominio de f se cumple
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Esto es equivalente a la siguiente implicación
Teorema. Si una función f tiene límite L en x=c. entonces este límite es único. En tal caso escribimos