1. Determinar si la serie necesita o no alguna(s) diferenciacion(es).

AñoCaudal (m3/s) Xt

ΔXt

1962 14.8 14.8 -0.21963 14.6 14.6 -1.11964 13.5 13.5 1.11965 14.6 14.6 -0.31966 14.3 14.3 -0.11967 14.2 14.2 -0.51968 13.7 13.7 0.21969 13.9 13.9 -0.51970 13.4 13.4 -1.21971 12.2 12.2 -0.21972 12 12 0.71973 12.7 12.7 0.51974 13.2 13.2 0.81975 14 14 0.11976 14.1 14.1 -0.31977 13.8 13.8 -0.21978 13.6 13.6 -0.41979 13.2 13.2 -0.71980 12.5 12.5 1.51981 14 14 0.71982 14.7 14.7 -0.21983 14.5 14.5 -11984 13.5 13.5 -0.81985 12.7 12.7 1.61986 14.3 14.3 -0.21987 14.1 14.1 -0.51988 13.6 13.6 0.21989 13.8 13.8 -0.31990 13.5 13.5 0.31991 13.8 13.8 0.21992 14 14 -0.11993 13.9 13.9 -1.31994 12.6 12.6 1.31995 13.9 13.9 0.11996 14 14 0.11997 14.1 14.1 -0.21998 13.9 13.9 -0.21999 13.7 13.7 -0.92000 12.8 12.8 -0.42001 12.4 12.4  

Luego de aplicar el operador diferencia, como se puede apreciar en las gráficas, los resultados no difirieron significativamente, por lo que se determina que la serie original no necesita diferenciación.

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 3910

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20Xt

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

0

2

4

6

8

10

12

Delta Xt

2. Determinar la función de autocorrelación con sus franjas.Comentar.

AñoCaudal (m3/s) ρ1 ρ2

1962 14.8    1963 14.6 14.8  1964 13.5 14.6 14.81965 14.6 13.5 14.61966 14.3 14.6 13.51967 14.2 14.3 14.61968 13.7 14.2 14.31969 13.9 13.7 14.21970 13.4 13.9 13.71971 12.2 13.4 13.91972 12 12.2 13.41973 12.7 12 12.21974 13.2 12.7 121975 14 13.2 12.71976 14.1 14 13.21977 13.8 14.1 141978 13.6 13.8 14.11979 13.2 13.6 13.81980 12.5 13.2 13.61981 14 12.5 13.21982 14.7 14 12.51983 14.5 14.7 141984 13.5 14.5 14.71985 12.7 13.5 14.51986 14.3 12.7 13.51987 14.1 14.3 12.71988 13.6 14.1 14.31989 13.8 13.6 14.11990 13.5 13.8 13.61991 13.8 13.5 13.8

1992 14 13.8 13.51993 13.9 14 13.81994 12.6 13.9 141995 13.9 12.6 13.91996 14 13.9 12.61997 14.1 14 13.91998 13.9 14.1 141999 13.7 13.9 14.12000 12.8 13.7 13.92001 12.4 12.8 13.7

    12.4 12.8      12.4

ρ1=0.48125 ρ2=−0.00876

Franja de confianza=1.96√n

=1.96√40

=±0.30990

Como se sabe, la función de autocorrelación (Rho), nos permite determinar el modelo MA(q) que mejor se adapte a la serie utilizada, y en este caso, el modelo adecuado es MA(1)., ya que ρ1 se encuentra fuera de la franja de confianza.

0 1 2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 ρ0

ρ1

ρ2

Función de autocorrelación con franjas de con-fianza

Rho(k)

Franjas

3. Determinar la función de autocorrelación parcial con sus franjas. Comentar.

Π 1=ρ1

Π 2=−det|ρ1 1

ρ2 ρ1|det| 1 ρ1

ρ1 1 |Π 1=0.48125

Π 2=−det| 0.48125 1

−0.00876 0.48125|det| 1 0.48125

0.48125 1 |=−0.312808

Como se puede apreciar en la gráfica de la función de autocorrelación parcial, tanto Π1 como Π2 están fuera de la franja de confianza, lo que nos permite determinar el tipo de modelo AR(p) que se acomode mejor a esta situación, entre estos modelos se tiene: AR(1) y AR(2).

4. Definir si es posible la aplicación de un modelo. Cual modelo?

En cuanto ala elección de un modelo adecuado, se tienen varias posibilidades, las cuales son las siguientes :

AR(1), AR(2), MA(1), ARMA(1,1) y ARMA(2,1).

5. Independientemente de lo hallado, generar diez valores de caudal anuan con un modelo AR(1).Pasos intermedios:

a) Generación de números aleatorios U(0 a 1).

0 1 2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Π0

Π1

Π2

Función de autocorrelación parcial con franjas de confianza

PI (k)

Franjas

b) Generación de números aleatorios N(0 , 12).c) Generación de números Zt N(0 , STDz

2).d) Generación de 10 caudales.a) Generación de números aleatorios U (0 a 1)

La fórmula que se utilizó para obtener los 120 valores aleatorios de U fue la siguiente:

Ui=(a∗U (i−1 )+c )módulom

Los valores que se adoptaron para a,Uo,c y m son los siguientes:

a=12 , c=14 , m=19910 , Uo=91Los resultados obtenidos de Ui son los que se muestran a continuación:

U0-U9 U10-U19 U20-U29 U30-U39

U40-U49

U50-U59 U60-U69

U70-U79 U80-U89

U90-U99 U100-U109

U110-U119

91 17666 10766 14976 14456 8656 15946 16086 16116 11856 19476 125761106 12906 9746 536 14206 4336 12176 13856 14216 2916 14716 1155613286 15516 17416 6446 11206 1222

66756 7006 11326 15096 17326 19226

166 7016 9906 17636 15026 7356 1446 4446 16466 1976 8826 117162006 4566 19336 12546 1136 8646 17366 13546 18416 3816 6376 12364176 14986 13036 11196 13646 4216 9306 3286 1996 5986 16796 1484610306 656 17076 14906 4486 1078

612136 19536 4056 12116 2466 18886

4226 7886 5826 19606 14026 9986 6276 15436 8866 6036 9696 763610906 15006 10196 16276 9046 386 15596 6056 6856 12716 16816 1200611426 896 2906 16136 9016 4646 7976 12956 2646 13236 2706 4716

A los todos los resultados anteriores, se los divide entre m (19910) y se obtiene los verdaderos valores de Ui, que serán utilizados para generar los números ti.

b) Generación de números aleatorios ti N(0,12 ).

A partir del teorema del Límite Central, se pueden obtener valores que estén normalmente distribuidos haciendo uso de los números Ui previamente calculados, para ello se utiliza la siguiente fórmula:

t 1=Uo+U 1+U 2+…U 11−6

t 2=U 12+U 13+U 14+…U 23−6

Los resultados de haber remplazado los valores de Ui en la fórmula correspondiente, son los presentados a continuación:

t1 = 4.433299849 – 6 = -1.566700151t2 = 5.743947765 – 6 = -0.256052235t3 = 6.615369161 – 6 = 0.615369161t4 = 7.790657961 – 6 = 1.790657961t5 = 4.485283777 – 6 = -1.514716223t6 = 6.776594676 – 6 = 0.776594676t7 = 7.051330989 – 6 = 1.051330989t8 = 4.243194375 – 6 = -1.756805625t9 = 7.020693119 – 6 = 1.020693119t10 = 6.726368659 – 6 =0.726368659

Los números ti presentados anteriormente tienen una media alrededor de 0 y una varianza aproximada a 1.

c) Generación de números Zt N(0, STDz2).

La generación de números Zt, se da a partir de lso valores ti que se encontraron previamente, para esto se debe seguir la siguiente ecuación:

Zt=µo+ ti∗σz2

Con   µo = 0σz

2 = σx2 (1-ρ12)

σx2= 0.497429487ρ1 = 0.48125

σz2 = 0.38222404

Con el resultado de σx2, se procede a calcular los números 10 números Zt que se 

necesitan para la generación de los 10 caudales.

Los números Zt obtenidos se los muestra a continuación: 

Z1 = -0.598830461Z2 = -0.097869319Z3 = 0.235208886Z4 = 0.68443252

Z5 = -0.578960954Z6 = 0.296833154Z7 = 0.401843978Z8 = -0.671493343Z9 = 0.390133447

Z10 = 0.277635563

La media y la varianza de este conjunto de números aleatorios, está dentro de lo establecido para la generación de números aleatorios Zt.

d) Generación de 10 caudales.

Para la generación de los 10 caudales, se toman los 10 valores de Zt encontrados previamente, y haciendo uso de la media, Xt-1 y rho1 de la serie original, se procede a obtener los caudales.

Xt−µ=a1∗(X ( t−1 )−µ)+Zt

Los 10 caudales calculados son los siguientes:

Q1 = 12.45 (m3/s).Q2 = 12.98 (m3/s).Q3 = 13.56 (m3/s).Q4 = 14.29 (m3/s).Q5 = 13.38 (m3/s).Q6 = 13.82 (m3/s).Q7 = 14.13 (m3/s).Q8 = 13.21 (m3/s).Q9 = 13.83 (m3/s).

Q10 = 14.01 (m3/s).

Como se puede apreciar, todos los caudales generados están dentro lo esperado, es decir, no hay ningún valor que haya sido anómalo tomando en cuenta todos los valores de la serie histórica.