HIPERBOLA

Oswaldo Camacho Flores CECYTEM CHIMALHUACÁN 1

HIPÉRBOLAEjercicios de recuperación para los que reprobaron el

Tercer examen parcial de geometría analítica.

2

LA HIPÉRBOLA• LA HIPÉRBOLA

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante.

• PF – PF’ = 2a

• Elementos

• Semieje mayor o real: a• Semieje tranversal o imaginario: b• Semidistancia focal: c• Focos: F(0, c) , F(0, -c)• Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0), • B(0, b), B’(0, -b)

X

Y

2a

2c

F A’

P(x, y)

A F’

B

Oswaldo Camacho Flores CECYTEM CHIMALHUACÁN

3

RELACIÓN FUNDAMENTAL• RELACIÓN FUNDAMENTAL

• Por definición, la diferencia de distancias de cualquier punto a los focos F y F’ es 2a.

• PF – PF’ = 2.a• Tomamos el vértice derecho A(a, 0)

y vemos que se nos forma un triángulo rectángulo.

• Por Pitágoras:

• Excentricidad

• Se define como la relación:• e = c / a• Como siempre c > a• e > 1 en una hipérbola

X

Y

a

c F A’

P(x, y)

A F’ b

2 2 2c a b

Asíntotas: y = (b/a).x e y = -(b/a).x


4

Ejercicios• Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos datos conocidos son:

• 1º.- Vértices: A(3,0), A’(-3,0), B(0, 4) y B’(0, - 4)• El centro de la elipse es C((3+(-3))/2, (4+(-4))/2) ,, C(0,0)• Eje real: 2.a = 6 ,, a =3 ,, Eje imaginario: 2b = 8 ,, b = 4• Ecuación: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 16x2 – 9y2 = 144

• 2º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0),, Excentricidad: e = 1,2• El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0) ,, C(0,0)• Semieje mayor: a = 5 ,, e = c / a c =e.a = 1,2.5 = 6 • Semieje imaginario: b = √ (c2 – a2 ) = √ (62 – 52 ) = √11 • Ecuación: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 11x2 – 25y2 = 275

• 3º.- Centro: C(0,0),, Focos: F(10, 0), F’(-10, 0) y P(- 6, 0)• Ecuación: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 36.b2 – 0.a2 = a2.b2

• Relación: c2 = a2 + b2 100 = a2 + b2

• Resolviendo el sistema: a2 = 36 ,, a = 6 y b2 = 64 ,, b = 8


5

ECUACIÓN GENERAL• ECUACIÓN REDUCIDA• Teníamos: x2b2 – y2a2 = a2b2 • Dividiendo todo entre a2b2 • Queda: x2 y2 • --- – --- = 1• a2 b2

• ECUACIÓN GENERAL• Lo normal es que el centro de la hipérbola• no sea el origen de coordenadas:• Resultando: (x – k)2 (y – h)2 • --------- – ---------- = 1• a2 b2

• ECUACIÓN DESARROLLADA• Operando en la ecuación general:• x2b2 – y2a2 – 2kb2x + 2ha2y + (b2k2 – a2h2 – a2b2) = 0• Que es la ecuación general desarrollada.

X

Y

F A’

P(x, y)

A F’

O


6

Ejercicios• Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos datos conocidos son:

• 4º.- Vértices: A(5,3), A’(-7,3), e = 1,5

• El centro de la hipérbola es C((5+(-7))/2, 3) ,, C(-1,3)• Eje real: 2.a = 12 ,, a =6 ,, e = c/a c = e.a = 1,5.6 = 9• Eje imaginario: b = √ (c2 – a2 ) = √ (92 – 62 ) = √45 = 3√5 • Ecuación: b2 (x + 1)2 – a2 (y – 3)2 = a2 b2

45x2 – 36y2 + 90x + 216y – 1899 = 0

• 5º.- Vértices: B(2, -2), B’(2, - 6),, Distancia focal: 2c=10

• El centro de la hipérbola es C(2, (-6 – (-2))/2) ,, C(2, – 4)• Semieje imaginario: b = (-2 – (– 6))/2 = 4/2 = 2 • Semieje real: a = √ (c2 – b2 ) = √ (52 – 22 ) = √21 • Ecuación: b2 (x – k)2 – a2 (y – h)2 = a2 b2 • 4 (x – 2)2 – 21 (y + 4)2 = 4.21 • 4x2 – 21y2 – 16x – 168y – 404 = 0Oswaldo Camacho Flores CECYTEM CHIMALHUACÁN

7

Ejercicios• Hallar el centro, focos y semiejes de las hipérbolas siguientes:• Ecuación general: b2x2 – a2 y2– 2b2kx + 2a2hy + b2k2 – a2h2 – a2b2 = 0

• 6º.- P: 9x2 – y2 – 6x + 4y – 12 = 0• Identificando términos, tenemos:• b2 = 9 b=3 ,, a2 = 1 a= 1• 2b2k = 6 18k = 6 k = 1/3 ,, 2a2h = 4 2h = 4 h = 2 • C(1/3, 2) ,, c =√(a2 + b2) = √1+9 = √10 ,, F(1/3+√10, 2) y F’(1/3 - √10, 2)• Comprobando: b2k2 – a2h2 – a2b2 = – 12 9.1/9 – 1.4 – 9.1 = – 12

• 7º.- P: 4x2 – 4y2 – 8x – 20 = 0 • Identificando términos, tenemos:• b2 = 4 b= 2 ,, a2 = 4 a= 2• 2b2k = 0 8k = 0 k = 0 ,, 2a2h = – 8 8h =– 8 h = – 1 • C(0 , – 1) ,, c =√(a2 + b2) = √8 = 2√2 ,, F(2√2 , –1) y F’(- 2√2 , –1)• Comprobando: b2k2 – a2h2 – a2b2 = – 20 4.0 – 4.1 – 4.4 = – 20


HIPERBOLA

Documents

Transcript of HIPERBOLA