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XXIV ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMTICAS

Introduccin al Mtodo de los

Elementos Finitos: un enfoque

matemtico

Giovanni Caldern

Rodolfo Gallo

MRIDA, VENEZUELA, 4 AL 9 DE SEPTIEMBRE DE 2011


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Introduccin al Mtodo de los Elementos

Finitos: un enfoque matemtico

Giovanni Caldern

Rodolfo Gallo

Departamento de Matemticas

Facultad de Ciencias

Universidad de Los Andes

email [email protected], [email protected]

MRIDA, VENEZUELA, 4 AL 9 DE SEPTIEMBRE DE 2011


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ii


La Escuela Venezolana de Matemticas es una actividad de los postgra-dos en matemticas de las instituciones siguientes: Centro de EstudiosAvanzados del Instituto Venezolano de Investigaciones Cientficas, Fa-cultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela, Facultad deCiencias de la Universidad de Los Andes, Universidad Simn Bolvar,Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado y Universidad de Orien-te, y se realiza bajo el auspicio de la Asociacin Matemtica Venezolana.La XXI ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMTICAS recibi apoyo finan-ciero de: Academia de Ciencias Fsicas, Matemticas y Naturales deVenezuela, Banco Central de Venezuela, Instituto Venezolano de Inves-tigaciones Cientficas (Centro de Estudios Avanzados, Departamento de

Matemticas y Ediciones IVIC), Universidad de Los Andes (CEP, CD-CHT, Departamento de Matemticas de la Facultad de Ciencias, De-canato de Ciencias y Vicerrectorado Administrativo), Fundacite Mrida,Unin Matemtica de Amrica Latina y el Caribe, y CIMPA (CentreInternational de Mathmatiques Pures et Appliques).

2010 Mathematics Subject Classification: 65N30.

cEdiciones IVIC

Instituto Venezolano de Investigaciones Cientficas

RIF: G-20004206-0

Introduccin al Mtodo de los Elementos Finitos: un enfoque mate-

mtico

Giovanni Caldern y Rodolfo Gallo

Diseo y edicin: Escuela Venezolana de Matemticas

Preprensa e impresin: Editorial Texto

Depsito legal If66020115102608

ISBN 978-980-261-129-4Caracas, Venezuela

2011


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iii

Prefacio

El modelado de distintos procesos fsicos, cuya correcta comprensin,prediccin y control son importantes para las ciencias y la ingeniera, sehace a travs de ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Entre tales pro-

cesos se pueden citar: los problemas de la mecnica de fluidos, reaccionesqumicas, deformacin de los cuerpos slidos, campos electromagnticosy muchas ms. En la mayora de los casos, la solucin exacta de estosmodelos es desconocida y a veces ni siquiera se sabe si existe una solu-cin nica. Por estas razones, en general, la nica manera de resolverlas EDP que se plantean en estos modelos es recurriendo a mtodosnumricos para definir una solucin aproximada. Hoy en da, los mto-dos numricos para EDP constituyen una parte indivisible de la cienciay la ingeniera moderna. Resulta comn, debido a su potencial y ver-satilidad, que el mtodo de elementos finitos (MEF) sea frecuentementeel ms utilizado para obtener una solucin aproximada a cualquiera de

estos problemas.La partida de nacimiento del mtodo est fechada en 1956, ver Turner

et al. [1], y surge de la resolucin de problemas estructurales complejos(con mentalidad prctica ingenieril). No obstante, tiene hondas racesmatemticas, en la lnea del procedimiento de Ritz para obtener solu-ciones aproximadas de ecuaciones diferenciales (el mtodo de Ritz datade 1909) o dentro de los llamados mtodos de residuos ponderados (elmtodo de Galerkin). Esta generalidad empez a atraer el inters de losmatemticos, los cuales contribuyeron decisivamente a explicar con rigorlas bases del MEF. Sin embargo, debe hacerse notar que la contribucinde los matemticos al MEF ha ido siempre muy por detrs de las apli-

caciones prcticas. El primer libro importante en que se analiza el MEFdesde un punto de vista matemtico fue publicado en 1973, ver Strangand Fix [2], casi 20 aos despus de la presentacin del mtodo.


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iv G. Caldern y R. Gallo

Hoy en da, dos grandes lneas de investigacin enmarcan el MEF.

Una, como herramienta ingenieril, donde sus reas bsicas de desarrollohan estado muy vinculadas a la presin de la industria por resolverdeterminados problemas. La segunda, de carcter matemtico, buscadar el rigor terico a las distintas tcnicas numricas que envuelven elmtodo, y principalmente desarrollada por grupos de investigacin dendole acadmico. En muchas etapas de su evolucin se ha concebidoy aplicado con xito una determinada tcnica numrica antes de encon-trar su justificacin matemtica rigurosa. Resulta imposible describirexhaustivamente el estado del arte en cualquiera de estas dos lneas deinvestigacin. Por tal motivo, en este texto, solo se har hincapi enalgunas referencias de carcter general, y que han constituido una fuenteprimordial de informacin para el desarrollo del texto.

Es comn que un curso de introduccin al MEF siga una vertientenetamente informtica, dejando de lado los fundamentos matemticos.Este hecho produce un perfil exclusivo de usuario y limita al estudiantea iniciarse en campos de investigacin relacionados con las propiedadesy evolucin del MEF. Ahora bien, la forma ms elegante de explicar losfundamentos matemticos del MEF parte del anlisis funcional; este esel marco en el que hay que situarse si se quiere estudiar con rigor lasbases del MEF e investigar sobre sus propiedades matemticas. Sin em-bargo, desde un punto de vista pedaggico, iniciar el estudio del MEF,situndose en este marco puramente matemtico, tiene serios inconve-

nientes. Pues, se corre el riesgo de desanimar a los estudiantes que seacercan por primera vez al MEF y de fomentar entre ellos la idea de queel mtodo es solo una gran teora matemtica, difcil de entender, y sinrelacin aparente con la forma en que luego se resuelven los problemasreales. Debido a que el objetivo general del texto es el de proporcionar alestudiante (postgraduados, o estudiantes avanzados, en matemticas oingeniera) las bases matemticas e informticas en el uso del MEF parala resolucin de problemas de las ciencias y la ingeniera, el enfoque deltexto se realizar buscando una doble vertiente. Por una parte, se sigueuna descripcin rigurosa en el formalismo matemtico que fundamentael MEF. Por otra, se har nfasis en la implementacin del mtodo y elpostproceso de lo resultados en aplicaciones prcticas.

Se debe destacar que el texto representa, desde el punto de vista de losautores, una introduccin del MEF; el cual ha ido evolucionando en el


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MEF: un enfoque matemtico v

transcurso de varios aos, siendo usado para el dictado de cursos electi-

vos en el postgrado de matemticas. Y, aunque con este enfoque se ganaen rigor y elegancia matemtica, se pierde en la profundidad del tipo deproblema a resolver. Pues, en todo el texto, solo sern tratados proble-mas estacionarios de campo escalar. Dejando los problemas transitoriosy mecnicos fuera del alcance del curso. De esta forma, el material estorganizado de la siguiente manera:

En el primer captulo, se desarrollan los fundamentos del anlisis fun-cional necesarios para emprender la formulacin y anlisis del mtodo,ver, por ejemplo, Adams [3] y Brzis [4]. Sin embargo, y en lnea gen-eral, los texto de carcter matemtico que estudian el MEF, incluyen lasherramientas necesarias del anlisis funcional a medida que desarrollan

el mtodo, entre otros se pueden citas los textos de Brenner y Scott [5],oln [6], Reddy [7], Ciarlet [8], Oden [9].El segundo captulo est dedicado a la formulacin variacional del

problema. En el tercer captulo, se introduce el mtodo de Galerkin ysus propiedades. En estos dos captulos, cualquiera de los textos citadosanteriormente pueden ser usados. Adems, se pueden citar a Johnson[10], Becker et al. [11], Oden y Carey [12].

En el cuarto y ltimo captulo, se formula el MEF junto a todas lasherramientas matemticas necesarias para su implementacin. Nueva-mente, cualquier texto de la literatura citada puede ser til al momentode seguir el captulo. Textos con un enfoque ms ingenieril, pueden es-

tar dados por Zienkiewicz [13], Lewis [14] y Cerrolaza [15]. Estos textos,adems, pueden ser usados para extender los conocimientos al estudiode problemas mecnicos.

Al final de cada apartado, se presenta una lista de ejercicios relaciona-dos con el contenido del captulo. Los cdigos (MATLAB) de ayudapara la implementacin de algunos de los ejercicios, el tutorial del soft-ware propuesto para la generacin de las malla, adems, de material quepuede complementar a este texto, se puede encontrar en la pgina web:http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/giovanni.

Textos, orientados a temas particulares de la ciencia mediante el usodel MEF, son cada da ms abundantes y especficos. Lneas de investi-

gacin, donde en el pasado otros mtodos numricos predominaban, hoyson influenciadas muy satisfactoriamente por el MEF. Por ejemplo, en elcaso de la mecnica de los fluidos, han surgidos nuevos enfoques para el


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vi G. Caldern y R. Gallo

mtodo, que lo han colocado, en muchos caso, por arriba de los mtodos

tradicionales, ver Rivire [16], Li [17], Donea y Huerta [18], y Thome[19], entre otros. Por otro lado, y debido principalmente a la comple-jidad de los problemas tratados, las soluciones aproximadas obtenidaspor el MEF son, o requieren ser, certificadas aceptadas mediante co-tas de error. Estas son impuestas segn las propiedades del problemao exigencias particulares requeridas por el usuario. En el presente, lamayora de los avances realizados dentro del campo del MEF se dan enesta direccin. Debido a esto, existen diversas tcnicas para resolver elproblema de la estimacin y correccin del error. Entre los textos bsicos,en esta direccin, se pueden citar, Ainsworth y Oden [20] y, Bangerth yRannacher [21], entre otros.

Como nota final, queremos agradecer al comit organizador de la XXIVEscuela Venezolana de Matemticas, la oportunidad de dictar este curso,el cual puede contribuir al empuje que necesitan las matemticas apli-cadas en nuestras licenciaturas y postgrados.

Los autores.


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Contenido

Prefacio iii

1 Preliminares del Anlisis Funcional 11.1 Espacios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Espacios Lp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Complementos ortogonales en espacios de Hilbert . 31.1.3 Operadores en espacios lineales normados . . . . . 41.1.4 Operadores en un espacio de Hilbert real . . . . . . 6

1.2 Funcionales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Distribuciones y Espacios de Sobolev Hm() . . . . . . . 10

1.3.1 El espacio de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Formas bilineales continuas . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Formas bilineales H-elpticas . . . . . . . . . . . . . 171.5 El Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Frmula de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Formulacin Variacional para Problemas de Valor de Fron-tera 25

2.1 Problema modelo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . 262.1.1 Formulacin variacional del problema modelo uni-

dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.2 Equivalencia del problema fuerte y variacional . . . 30

2.1.3 Condicin de frontera no homognea . . . . . . . . 312.2 Problema modelo 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 Condicin de frontera Dirichlet homognea . . . . 33

vii


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viii CONTENIDO

2.2.2 Condicin de frontera Dirichlet no homognea . . . 37

2.2.3 Condicin de frontera Neumann . . . . . . . . . . . 382.2.4 Condicin de frontera Robin . . . . . . . . . . . . . 392.2.5 Condicin de frontera esencial y natural . . . . . . 402.2.6 Combinacin de condiciones de frontera naturales

y esenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Mtodo de aproximacin 453.1 El mtodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Propiedades de la aproximacin de Galerkin . . . . . . . . 51

3.2.1 Ortogonalidad del error y Lema de Ca . . . . . . 513.2.2 Convergencia del mtodo de Galerkin . . . . . . . 54

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 El Mtodo de los Elementos Finitos 594.1 El MEF para problemas de segundo orden . . . . . . . . . 60

4.1.1 La malla de elementos finitos . . . . . . . . . . . . 614.1.2 Puntos nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.3 Funciones bases i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.4 La solucin aproximada . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Problema unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.1 Ensamblaje (1D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2.2 La transformacin isoparamtrica . . . . . . . . . . 75

4.2.3 Integracin numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.4 Estimacin del error . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3 Elementos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.1 Elementos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3.2 Derivadas y gradientes en el elemento de referencia 834.3.3 Matriz de rigidez elemental K(e) . . . . . . . . . . 844.3.4 Vector de carga elemental F(e) . . . . . . . . . . . 864.3.5 Coordenadas de rea . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.6 Integracin numrica en elementos triangulares . . 894.3.7 Elementos Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.8 Integracin numrica en elementos rectangulares . 93

4.4 Problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4.1 Ejemplo 1. Malla triangular . . . . . . . . . . . . . 934.4.2 Ejemplo 2. Malla rectangular . . . . . . . . . . . . 98


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CONTENIDO ix

4.5 Condiciones de contorno esenciales . . . . . . . . . . . . . 105

4.5.1 Mtodo 1: Eliminacin de filas y columnas . . . . . 1054.5.2 Mtodo 2: Penalizacin . . . . . . . . . . . . . . . 1064.5.3 Mtodo 3: Multiplicadores de Lagrange . . . . . . 107

4.6 Funciones de forma de orden superior . . . . . . . . . . . . 1084.6.1 Funciones de forma de elementos rectangulares . . 1094.6.2 Funciones de forma de elementos triangulares . . . 111

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Bibliografa 123


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x G. Caldern y R. Gallo


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Captulo 1

Preliminares del Anlisis

Funcional

Antes de considerar los aspectos referentes al Mtodo de los ElementosFinitos (MEF) y su implementacin, se introducen algunos conceptos yresultados de Anlisis Funcional a los que se har referencia con regula-ridad a lo largo del texto.

1.1 Espacios lineales

Sea E un espacio lineal sobre el campo K de los nmeros reales o com-

plejos. Por lo general, siempre se tratar con espacios lineales reales.El espacio E es de dimensin n, si el nmero mximo de vectores li-nealmente independientes que existen en l es n. En cambio, si en E sepuede encontrar cualquier nmero finito de elementos linealmente inde-pendientes, se dice que es de dimensin infinita.

El espacio C[a, b] es el conjunto de todas las funciones reales conti-nuas definidas en el intervalo [a, b]. Se denota por Cn[a, b], al conjuntode todas las funciones reales que poseen n derivadas continuas en [a, b].

En un espacio lineal se puede asignar a cada elementos x la nocinde longitud por medio del nmero real ||x||, llamado norma de x. Unespacio lineal E en el que se ha introducido una norma se llama espacio

normado.Sea E un espacio normado. La sucesin {un}n=1 E se dice acotadaenE, si existe un C > 0 tal que un < C para todo n. La sucesin

1


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2 G. Caldern y R. Gallo

se dice convergente enE, si existe un elemento u E tal que para todo

0 < R

existe un N0 N

tal que u un < para todo n > N0. Elelemento u es el lmite de la sucesin {un}n=1. Usualmente, se escribirde forma indistinta

limn

un = u o ||u un|| 0 , para n

La sucesin {un}n=1 E es una sucesin de Cauchy (o sucesin funda-mental), si para todo > 0 existe un N0 N tal que

un um para todo n, m N0

Un espacio lineal normado E se llama completo (cerrado), cuando todasucesin fundamental de este espacio converge hacia un cierto elementou E. Los espacios lineales normados completos se llaman espacios deBanach. Todo espacio lineal normado de dimensin finita es completo.

Una forma conocida de introducir una norma en un espacio linealconsiste en definir en este el producto escalar o producto interior (, ).

Lema 1.1. SeaE un espacio con producto interno. Entonces la funcinu =

(u, u), con u E, es una norma enE.

Los espacios dotados de un producto interno son llamados espaciosproducto interno. Un espacio lineal real normado E, en el cual la normaest generada por un producto escalar, es decir, ||u|| =

(u, u), se llama

espacio euclidiano. Un espacio euclidiano completo es llamado espaciode HilbertH. Todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach (pero no

viceversa).Lema 1.2. (Regla del paralelogramo) SeaV un espacio real normado.Si la norma satisface la regla del paralelogramo

u + v2 + u v2 = 2u2 + 2v2 u, v V (1.1)

entonces sta induce un producto interno enV. Este producto internoes definido por la relacin

(u, v) =1

4

u + v2 u v2

(1.2)

Demostracin: Ejercicio. Se puede ver la pgina 392 de [6].

1.1.1 Espacios Lp()

Se introducen algunos espacios de Hilbert que resultan naturales para la


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Preliminares del Anlisis Funcional 3

formulacin variacional de los problemas de valor de frontera a conside-

rar. Sea un dominio acotado enRd

, con d = 2 o 3, y p R

conp 1. Una funcin u definida en se dice que pertenece a Lp() si ues medible y la integral (Lebesgue)

|u(x)|

pdx < , esto es:

Lp() =

u : R medible :

|u(x)|pdx <

y

L() =

u : R : supx

|u(x)| <

donde el supremo se toma sobre todos los subconjuntos de con medidadistinta de cero (es decir, se cumple casi en todas parte de excepto enun conjunto de medida cero). Estos espacios se dotan de norma:

up =

|u(x)|pdx

1/p, u = sup

x|u(x)|

Un caso especial de estos espacios, lo representa el espacio

L2() =

u : R tal que

u2d <

dotado del producto escalar y norma

(u, v)L2() =

uvd, vL2() =

(v(x))2d

1/2= (v, v)

1/2L2()

Observacin: Al menos en los aspectos ms prcticos, para tener unaidea deL2(), es suficiente usar la integral de Riemann; desde este puntode vista se puede pensar en una funcin v L2() como una funcincontinua a trozos, posiblemente no acotada, tal que

v

2d < .

1.1.2 Complementos ortogonales en espacios de Hilbert

Sea U un espacio con producto interno yV un subespacio deU; se defineel complemento ortogonalV de V como el conjunto

V = {w U; (w, v) = 0 v V}

esto es, V consiste de todos los elementos de U que son ortogonales a

todo elemento deV. Si w pertenece aV

, se dice que w es ortogonal aVy se escribe wV. Puesto que (v, v) = 0 implica que v = 0, est claro queel nico miembro tanto de V y V es el elemento cero: V V = {0}.


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Teorema 1.1. (El teorema de la proyeccin) SeaV un subespacio ce-

rrado de un espacio de HilbertH. Entonces cadau H se puede escribirnicamente en la forma

u = v + w, v V, w V

esto es, H = VV.

1.1.3 Operadores en espacios lineales normados

Sean E y F dos espacios lineales normados. Se dice que sobre el conjuntoD E se da un operador A con valores en F (A : D E F,operador que acta de E en F), si a cada elemento x D se pone encorrespondencia por una regla determinada un elemento Ax F.

El conjunto D es el dominio de definicin del operador A (Dom(A)).El conjunto de todos los elementos Ax es el campo de valores del operadorA y se denota por R(A) (Rango de A o imagen de A)

R(A) = {v F, A(u) = v para algn u E}

El espacio nulo N(A) de A es el conjunto de todos los elementos deldominio de A cuya imagen es cero:

N(A) = {u E : Au = 0} .

Un operador A : E F es inyectivo (o uno-a-uno), si dos elementosdistintos u1 = u2 de E son aplicados en dos elementos distintos de F.Esto es, A es 1 1 si u1 = u2 implica Au1 = Au2.

Teorema 1.2. Un operador linealA es 11 si, y solo si, el espacio nulode A es N(A) = {0}.

Un operador A se llama lineal, si

A(u + v) = Au + Av

para todos los u, v Dom(A) y , nmeros del campo K. El espaciolineal de todos los operadores lineales A : E F se denota por L(E,F).

Ejemplo 1.1. Uno de los operadores lineales ms importantes del Anli-

sis es el operador de diferenciacin (Dy(x) =d

dxy(x) = y(x)), que

puede ser considerado en diferentes espacios. Este operador no estdefinido sobre todo el espacio de las funciones continuas C[a, b], sino enel espacio ms reducido C1[a, b] de las funciones que tienen primera deri-


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vada continua y su campo de valores es C[a, b]

dndxn

: Cn[a, b] C[a, b]

No resulta muy conveniente considerar el operador que acta de C1[a, b]en C[a, b], ya que no se puede aplicar dos veces a cualquier funcinde C1[a, b]. Si se considera el operador de diferenciacin en el espacioan ms reducido C2[a, b], se puede considerar la ecuacin diferencialy(x) + y(x) = f(x), o en forma de operadores Ly(x) = y(x) + y(x) =f(x), donde L es un operador de C2[a, b] en C[a, b].

Un operador lineal A se llama acotado, si existe una constante M > 0tal que para cualquier x Dom(A) se cumple que

||Ax||F M||x||Edonde ||||E es la norma en E y ||||F es la norma de F. La menor de lasconstantes M, para la que se cumple la desigualdad anterior, se llamanorma del operador y se denota mediante ||A||.

De la definicin de norma se deduce que

||A|| = sup||x||E=1

||Ax||F

es decir, la cota superior mnima de los valores que toma ||Ax||F sobrela bola unitaria del espacio E se llama norma del operador lineal A. Esevidente la siguiente propiedad

||A|| = supx=0

||Ax||F||x||E

En un espacio de dimensin finita, todo operador lineal es acotado.Para resolver las ecuaciones del tipo Ax = y, se introduce el concepto

de operador inverso A1. Sea A un operador de E en F. Si a cada y Fle corresponde uno y solo un x E, para el cual Ax = y, entonces, poresta correspondencia se define el operador A1 inverso de A con dominiode definicin F y campo de valores E.

El operador inverso A1 existe si, y solo si, la ecuacin homogneaAx = 0 posee solo la solucin trivial. El operador inverso A1 existe yes acotado si, y solo si, existe una constante > 0 tal que

||Ax||F ||x||E

para todos los x E.


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1.1.4 Operadores en un espacio de Hilbert real

Sea A un operador lineal acotado que acta en el espacio de Hilbert realH. De acuerdo con la definicin general de norma de un operador, setiene que

||A|| = sup||x||=1

||Ax|| = supx=0

(Ax, Ax)/(x, x) , x H

Por consiguiente, se cumple la desigualdad (Ax, Ax) ||A||2 (x, x) paracualquier x H. Utilizando la desigualdad de Cauchy, se obtiene

(Ax,x) ||Ax|| ||x|| =

(Ax,Ax)/(x, x)

||A||2(x, x)2 = ||A||(x, x)

El operador A se llama operador conjugado de A, si para todos losx, y H se cumple que (Ax,y) = (x, Ay). El operador A se llama autoconjugado (simtrico) en H, si A = A, es decir, (Ax,y) = (x,Ay), paracualesquiera x, y H.

Ejemplo 1.2. Sea el operador A una matriz de orden m n, A =(aij), i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n, y sean x e y dos vectores dedimensiones n y m, respectivamente. Entonces el producto escalar

(Ax,y) =mi=1

nj=1

aij xj

yi =

nj=1

xj

mi=1

aji yi

= (x, Ay)

De aqu se deduce que el operador conjugado de la matriz A es la matriztranspuesta A = (aji).

Si el operador A es una matriz cuadrada de orden n, A = (aij), i, j =1, 2, . . . , n y los vectores x e y son de dimensiones n, entonces, para elproducto escalar se obtiene

(Ax,y) =ni=1

nj=1

aij xj

yi =

nj=1

xj

ni=1

aji yi

= (x, Ay)

De aqu se deduce que para que el operador A sea autoconjugado, lamatriz cuadrada A tiene que ser simtrica (A = A).

El operador A que acta en el espacio de Hilbert H se llama positivo(A > 0) si (Ax,x) > 0 para todos los x H, excepto x = 0. El operadorA es no negativo (A 0), si (Ax,x) 0 para todos los x H.

Ejemplo 1.3. Sea el espacio F = C [0, 1] con producto escalar (f, g) =10 f(t)g(t)dt y considere el operador Ly = y

, definido en el conjunto


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E =

y C2[0, 1]; y(0) = y(1) = 0

; E es un subespacio lineal de F y

Ly F para todo y E ( es decir, y

(t) es una funcin continua). Paratodo y, z E, se tiene que

(Ly,z) =

10

Ly(t) z(t) dt =

10

y(t) z(t) dt

Integrando esta expresin por partes y teniendo en cuenta que y(0) =y(1) = z(0) = z(1) = 0, se obtiene

(Ly,z) =

10

y(t) z(t) dt = z(t) y(t)1

0+

10

y(t) z(t) dt

es decir,

(Ly,z) = 10

y(t) z(t) dt (1.3)

Anlogamente, se obtiene que (Lz,y) =1

0 y(t) z(t) dt. Luego, se puede

concluir que (Ly,z) = (Lz,y) = (y,Lz), Por tanto, el operador L essimtrico.

Por otro lado, de (1.3) se obtiene que (Ly,y) =1

0

y(t)

2dt > 0. Si

se tuviera que (Ly,y) =1

0

y(t)

2dt = 0, esto implicara que y(t) 0,

ya que y(t) es una funcin continua. Entonces y(t) = k, donde k es unaconstante. Por otra parte, se tiene que y(0) = 0, por lo que k = 0 yse obtendra que y(t) = k = 0. Por consiguiente, (Ly,y) > 0 exceptocuando y(t) = 0, y se puede afirmar que L es un operador positivo.

Ahora, se puede utilizar el operador L para definir un nuevo productoescalar en E, es decir, (y, z)L = (Ly,z). A este producto escalar se lellama con frecuencia producto escalar energtico o energa del operadorL. A partir de este ejemplo, se puede enunciar el siguiente teorema.

Teorema 1.3. Todo operador lineal A, simtrico y definido positivo deun espacio lineal E en un espacio lineal F que tiene producto escalar(, ), da lugar a un segundo producto escalar energtico (, )A definidopor(y, z)A = (Ay,z), para cada y, z E, siempre queE F.

Se puede ahora introducir el espacio energtico HA que se componede los elementos y, z , . . . H con producto escalar (y, z)A = (Ay,z) y

norma energtica||y||A =

(Ay,y)


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1.2 Funcionales lineales

Un funcional lineal (o forma lineal) es un caso particular de un operadorlineal, es decir, es un operador lineal que transforma el espacio dado Een valores de R o C. El espacio de todos los funcionales lineales de unespacio normado E sobre su cuerpo, L(E,K), se le llama espacio dualde E, y suele denotarse por E.

Ejemplo 1.4. Algunos ejemplos de funcionales:

Sea E = Rn. El operador F : E R definido como el promedio

de las componentes del vector f(v) =1

n

ni=1

vi, para todo v E,

es un funcional lineal sobre E, es decir, f E.

El operador integral A : C[a, b] R, definido por A(f) =ba f(x)dx,para todo f C[a, b], es un funcional lineal sobre C[a, b].

Teorema 1.4. (Teorema de Representacin de Riesz) SeaH unespacio de Hilbert y sea F un funcional lineal continuo deH. Entoncesexiste un nico elemento u H tal que

F(v) = (u, v) v H

Adems, ||F||H = ||u||H.

Demostracin: Nos restringimos, nuevamente, a espacios de Hilbertreales (vase, por ejemplo, [32] para el caso complejo). En primer lugar,se prueba la unicidad: supongamos que existen dos elementos u, w Htal que

F(v) = (v, u) = (v, w) v H

luego, por la linealidad del producto interno

(v, u w) = 0 v H

Tomando v = u w, se tiene que u = w.A continuacin se prueba la existencia: si el espacio nulo N(F) = H,

entonces F es el funcional lineal cero y se puede definir u = 0. SiN(F) = H, entonces existe un elemento v

0 H tal que F(v

0) = 0. Ya

que N(F) es un subespacio cerrado de H, es posible escribir H comouna suma directa H = N(F) N(F). As, el elemento v0 H puede


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descomponerse en la suma v0 = v1 + v2, (v1, v2) = 0, donde v1 N(F)

y v2 N(F)

. En particular, si F(v2) = 0, para z = vF(v2) F(v)v2se cumple lo siguiente:

F(z) = F(v)F(v2) F(v)F(v2) = 0 v H

as, z N(F) para todo v H. Ahora, ya que v2 N(F), se tiene

(v2, z) = (v2, vF(v2) F(v)v2) = F(v2)(v2, v) F(v)(v2, v2) = 0

lo que implica que

F(v) = F(v2)(v2, v)/v22 v H

Finalmente, se tiene

u =f(v2)

v22

v2 (1.4)

Queda por demostrar que FH = uH. De la desigualdad deCauchy-Schwarz (|(u, v)|2 u2v2), se tiene

F = supv=0

|f(v)|

v= sup

v=0

(u, v)

v sup

v=0

uv

v= u

Adems,F(u)2 = |(u, u)| = u2 Fu

as, F u. Por lo tanto, ||F||H = ||u||H.

El procedimiento que se muestra en la prueba del Teorema de Repre-sentacin de Riesz nos permite construir los representantes de la forma

lineal sobre espacios de Hilbert de forma explcita, a travs de (1.4).Ejemplo 1.5. Sea f un funcional de Rn (f : Rn R), entonces f(x)es un nmero real y, de acuerdo al Teorema de Representacin de Riesz,se puede encontrar un nico punto y Rn tal que f(x) = x y.

Por ejemplo, si f es definida por f(x) = x1 + x2 + . . . + xn parax = (x1, . . . , xn) Rn, entonces se puede encontrar y = (y1, . . . , yn) talque x y = x1 + x2 + + xn. Basta tomar y = (1, 1, . . . , 1).

Ejemplo 1.6. Sea f un funcional lineal de L2(0, 1) definido por f :L2 R tal que v f(v) =

1/20 v(x) dx. De acuerdo al teorema, existe

un nico u L2() con la propiedad que

f(v) = (u, v) o 1/20

v(x) dx = 10

u(x)v(x) dx


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Claramente, u(x) es la funcin

u(x) = 1, 0 < x 1/20, 1/2 < x < 1

1.3 Distribuciones y Espacios de Sobolev Hm()

Notacin multi-ndice: Sea Zn+ el conjunto de todas las n-uplas de enterosno negativos: un miembro de Zn+ es usualmente denotado por o , porejemplo, = (1, 2, . . . , n), donde cada i 0. Se denota por||, la suma || = 1 + 2 + . . . + n y por Du la derivada parcial

Du = ||

ux11 x22 . . . xnn

As, si || = m, entonces Du denota una de las derivada parciales deorden m de u.

Definicin 1.1. Sea Rd un subconjunto abierto y acotado. El espa-cio de distribuciones (funciones infinitamente diferenciables que, juntocon todas sus derivadas, tienen soporte compacto) es definido por

C0 () =

C() : sop () ; sop() es compacto

donde sop () :=

x : (x) = 0

.

Definicin 1.2. Una distribucin en un dominio Rn

, tambin lla-mada funcin generalizada, ser un funcional lineal continuo que actasobreC0 (). Esto es, : C

0 () R.

Ejemplo 1.7. El funcional delta de Dirac, dado por

: C0 (, ) R, (u) =

(x a)u(x)dx = u(a)

con < x < , define una distribucin. La continuidad de se sigue de

|(u)| = |u(a)| supu(x) = u

Si f es una funcin localmente integrable en (K |f|dx < , paracada subconjunto K cerrado de ) entonces se puede definir una dis-tribucin asociada con f por


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F : C0 R, F() = f dx, C0 ()

Una distribucin que es generada por una funcin localmente integrablese llama una distribucin regular, en caso contrario, se dice que es unadistribucin singular.

Ejemplo 1.8. La funcin H(x), definida en [1, 1] por

H(x) =

0, 1 x < 01 0 x 1

es localmente integrable y genera la distribucin H que satisface

H() =

11H(x) (x) dx o H() =

10

(x) dx

Teorema 1.5. Sea Rd abierto, u Cm() y un multi-ndice talque || m. Entonces

Du(x)(x)dx = (1)||

u(x)D(x)dx, C0 () (1.5)

Ya que u Cm() esta genera una distribucin, denotada por u, talque u() =

udx, o ya que D

tambin pertenece a C0 (),

u(D) =

uD dx

Adems,Du es continua as que puede generar una distribucin regular(denotada por Du) que satisface

Du() =

(Du) dx

De esto se tiene que (1.5) puede escribirse como

Du() = (1)|| u(D) C0 () (1.6)

Se toma (1.6) como la base para definir la derivada de cualquier dis-tribucin f, como sigue: la derivada parcial generalizada (o la -simaderivada de distribucin) de una distribucin f es definida por la dis-tribucin, denotada por Df, que satisface

Df() = (1)|| f(D), C0 () (1.7)As, se usa la misma notacin para la derivada generalizada de una dis-


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tribucin como la usada para la derivada convencional de una funcin.

De hecho, si la funcin pertenece a C

0 () entonces la derivada generali-zada coincide con la -sima derivada parcial convencional para || m.

Ejemplo 1.9. La primera derivada generalizada de la funcin H(x) esla distribucin H que satisface

H() = (1)1Hd

dx

=

11H(x)

d

dxdx (H es loc. integrable)

=

10

d

dxdx = (x)

10

= (0) = (), C0 ()

as, H = , esto es, la derivada H de la funcin H es el delta de Dirac.

Una funcin u localmente integrable genera una distribucin, tambindenotada por u, que satisface

u() =

u dx Co ()

Adems, la distribucin u tiene derivada de distribucin de todo orden,en particular, la derivada Du es definida por (1.7). Por supuesto, Dupuede o no puede ser una distribucin regular; si es una distribucin regu-lar, entonces naturalmente esta es generada por una funcin localmenteintegrable Du(x), as que

Du() = Du (x) (x) dx (1.8)Se sigue en este caso de (1.7) y (1.8) que las funciones u y Du estnrelacionados por

Du(x) (x) dx = (1)m

u(x)D(x) dx (1.9)

para || = m. La funcin Du, obtenida de esta manera, es llamada la-sima derivada dbil de la funcin u. Por supuesto, si u es suficiente-mente suave para pertenecer a Cm(), entonces estas derivadas dbilescoinciden con sus derivadas clsicas para || m.

Ejemplo 1.10. La funcin u(x) = |x| pertenece a C [1, 1], pero laderivada clsica u no existe en el origen. Sin embargo, la derivada dbilexiste:


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Du(x) = (1)m u(x)D(x) dx = |x|

(x) dx

=

01

x

(x)dx +

10

x

(x)dx =

01

(x)dx+

10

(x)dx

=

11

H(x) (x) dx

donde

H(x) =

1 si 1 x < 0

1 si 0 x < 1

Por tanto, Du = Du = u = H(x). Ntese adems que u L2(1, 1),la cual es, por supuesto, localmente integrable.

El ejemplo anterior ilustra una diferencia fundamental entre las deriva-das dbil y clsica. La derivada clsica, si existe, debe ser por lo menoscontinua. Una derivada dbil, por otra parte, necesita solamente serlocalmente integrable.

1.3.1 El espacio de Sobolev

Los espacios de Sobolev son definidos como sigue:

Definicin 1.3. (Espacio de Sobolev) Sea Rd un conjuntoabierto, k 1 un entero positivo y p [1, +). Se define

Wk,p() =

f Lp() : Df existe y pertenece aLp() , || k

Para 1 p < la norma k,p es definida comofk,p =

||k

|Df|pdx1/p

= ||k

Dfpp

1/pPara p = , se tiene

fk, = max||k

Df

En el caso especial p = 2 se abreviaWk,p() = Hk().

En el espacio Wk,p() se usa la siguiente seminorma estndar:

|f|k,p = ||=k |Df|pdx1/p

= ||=k Dfpp1/p

para 1 p < , y


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|f|k, = max||=k

Df

Teorema 1.6. Sea Rd abierto, k 1 un entero positivo yp [1, +].Entonces el espacio de SobolevWk,p() es un espacio de Banach.

Teorema 1.7. Sea Rd abierto, k 1 un entero positivo. Entoncesel espacio de SobolevHk() = Wk,2(), dotado del producto interno,

(f, g)k,2 =

||k

Df Dgdx =||k

(Df, Dg)L2()

es un espacio de Hilbert.

Un subespacio de Hk() de uso frecuente en el resto del texto es

H10() = v H1(); v = 0 sobre donde, H1(a, b) = u : u y u L2(a, b) representa el espacio lineal defunciones que junto con su primera derivada son de cuadrado integrable,y denota el contorno del dominio. La formulacin dbil de una EDPde segundo orden con condiciones de contorno Dirichlet, por lo general,se lleva acabo en este espacio.

La desigualdad de Poincar-Friedrichs dice que la Hk-seminorma

|u|k,2 =

||=k

|Du|2dx1/2

es una norma en el espacio Hk0() en todo dominio acotado Rd.

Esta norma, adems, es equivalente a la Hk-norma

uk,2 =

||k

|Du|2dx1/2

La equivalencia de | |k,2 y k,2 en el espacio Hk0() encuentra aplica-ciones en el anlisis de unicidad de soluciones de EDP as como tambinen la prctica computacional.

Teorema 1.8. (Desigualdad bsica de Poincar-Friedrichs en Hk0())Supongamos que el dominio acotado Rd est contenido en un cubod-dimensional con longitud en sus aristas C > 0. Entonces

uL2() C|u|1,2 u H10()

Teorema 1.9. (Desigualdad general de Poincar-Friedrichs enHk0())Sea Rd un dominio acotado. Entonces la seminorma | |k,2 es una


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norma en el espacio H10(), equivalente a la norma k,2. Si est

contenido en un cubo d-dimensional con longitud en sus aristas C > 0.Entonces

|u|k,2 uk,2 (1 + C)k|u|k,2 u H

10()

Ejemplo 1.11. Considere la funcin u(x) definida sobre = (0, 2) por

u(x) =

x2, 0 < x 12x2 2x + 1, 1 < x < 2

Se tiene entonces que

v(x) = u(x) =

2x, si 0 x 14x 2, si 1 < x < 2

la cual es una funcin continua. La derivada (dbil) de esta funcin esw(x) = u(x) =

2, 0 < x 14, 1 < x < 2

Por inspeccin se ve que u, u y u perteneces a L2(0, 2); sin embargo,la derivada (generalizada) de u es u = 2 L2(0, 2). De esto se tieneque u es un miembro de H2(0, 2), la funcin v pertenece a H1(0, 2) y wpertenece a L2(0, 2) = H0(0, 2). Las respectivas normas son:

||u||2H2 = (u, u)H2 =

||2

(Du)2 dx =

2=0

(Du)2 dx

= u2 + (u)2 + (u)2 dx = 71.37

||v||2H1 =

||1

(Dv)2 dx =

v2 + (v)2

dx = 39,

||w||2L2 =

w2 dx =

10

4 dx +

21

16 dx = 4x1

0+ 16x

21

= 20

1.4 Formas bilineales

Otro tipo especial de operador que pueden ocurrir muy frecuentementeen el estudio de problemas de valor de frontera es uno que mapea un parde elementos a los nmeros reales, y que es lineal en cada uno de estos.


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B es una forma bilineal si

B : UV R (U,V espacios lineales),

B(u + w,v) = B(u, v) + B(w, v), u, w U, v V

B(u,v + w) = B(u, v) + B(u, w), u U, v, w V

Ejemplo 1.12. Sea U=V=C1 [a, b], entonces el operador definido por

B : C1[a, b] Cn[a, b] R con B(u, v) =ba

(uv + uv) dx

es una forma bilineal.

Ejemplo 1.13. Sean U = V = R3; el operador B(x, y) = x y, es unaforma bilineal. Un ejemplo de una forma no lineal es:

B : R3 R3 R, B(x, y) = |x| + |y|

aqu B(x + z,y) = |x + z | + |y| = B(x, y) + B(z, y).

1.4.1 Formas bilineales continuas

Consideremos una forma bilineal B : U V R, donde U y V sonespacios lineales normados. Si existe una constante k > 0 tal que

|B(u, v)| k ||u||||v|| para todo u U, v V (1.10)

entonces B es llamada una forma bilineal continua (esta definicin debe

ser comparada con la del operador acotado, o funcional lineal acotado).A continuacin, se discute un ejemplo que es tpico de una clase deproblemas que aparecern ms adelantes.

Ejemplo 1.14. Se puede mostrar que H1(a, b) es un espacio normadocompleto con la norma definida por

||u||21 =

ba

[u2 + (u)2] dx

A partir de este espacio, se define la forma bilineal

B : H1(a, b) H1(a, b) R tal que B(u, v) =

b

a[uv + cuv] dx

donde c(x) es una funcin positiva acotada con c1 c(x) c2 > 0 parax (a, b). Para mostrar que B es continua considere


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|B(u, v)| = b

a

[uv + cuv] dx b

a

[uv + c1uv]dx=

(u, v) + c1(u, v) (u, v)| + c1|(u, v) ||u||||v|| + c1||u||||v|| (Se usa desigualdad de Schwarz)

Por lo tanto,

|B(u, v)|2

||u||||v|| + c1||u||||v||2

(1.11)

Utilizando la desigualdad de Schwarz para Rn:aibi

2

ai2

bi2

para a, b Rn

Asumiendo que n = 2, a = (c1||u||, ||u

||) y b = (||v||, ||v

||), de (1.11) setiene que

|B(u, v)|2

c21||u||2 + ||u||2

||v||2 + ||v||2

=

c21||u||

2 + ||u||2

||v||21

k2

||u||2 + ||u||2

||v||21 = k2||u||21||v||

21

con k = max(1, c1). Tomando el cuadrado a ambos lados de la igualdad,se tiene que B es continua.

1.4.2 Formas bilineales H-elpticasDada una forma bilineal B : HH R, dondeH es un espacio productointerno, se dice que B es H-elptica, si existe una constante > 0 tal que

B(v, v) ||v||2H v H. (1.12)

As una forma H-elptica es acotada inferiormente.

Ejemplo 1.15. Del ejemplo previo

|B(v, v)| = b

a

(v)2 + cv2

dx b

a

(v)2 + c2v

2

dx

b

a (v)2 + v2dx = ||v||21con = min(1, c2), y as B es H1-elptica.


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El teorema de representacin de Riesz para funcionales lineales tiene

una contraparte para formas bilineales. Supongamos que se tiene unespacio producto interno H, un funcional lineal F de H y un miembro ude H; entonces se puede definir una forma bilineal B continua, H-elpticaen H de acuerdo a la regla

B : HH R, B(u, v) = F(v) v H (1.13)

De la H-elptica de B y continuidad de F se tiene

||u||2 B(u, u) = F(u) ||F||||u||

y as

||u||1

1||F||H (1.14)En el sentido anterior, entonces, u y F generan la forma bilineal B.Ahora se prueba en sentido inverso: dada una forma bilineal B y un fun-cional lineal con las propiedades convenientes, entonces existe un nicou H satisfaciendo (1.13) y (1.14). Este es el teorema de Lax-Milgram.

Ejemplo 1.16. (Producto interno energtico, norma energtica) Sea Hun espacio de Hilbert y B : H H R una forma bilineal acotada,simtrica y H-elptica. La forma bilineal define el producto interno(u, v)e = B(u, v) en H, llamado producto interno energtico. La normainducida por el producto interno energtico, ue =

(u, u)e es llamada

norma energtica.

1.5 El Teorema de Lax-Milgram

En este apartado, se presenta y analiza el conocido Teorema de Lax-Milgram, el cual ser aplicado, en los siguientes apartados, al estudiodel buen comportamiento de las formulaciones variacionales de variosProblemas de Valor de Frontera lineales elpticos.

Teorema 1.10. (El Teorema de Lax-Milgram) SeaH un espaciode Hilbert y sea B : HH R una forma bilineal, H-elptica, continuadefinida enH. Entonces, dado cualquier funcional lineal F definido en

H, existe un nico elemento u H tal que

B(u, v) = F(v) v H (1.15)


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adems,

||u||1 1

||F||H

(1.16)La prueba de este teorema es bastante larga, para hacerla ms digerible

ser partida en una serie de cinco lemas.

Lema 1.3. Dado cualquier u H existe un nico elemento w H tal que

B(u, v) = (w, v) v H (1.17)

Demostracin: Dado cualquier u H, B(u, ) es un funcional linealacotado definido en H ya que

B(u, ) : H R, B(u, v) K||v||

donde K = K||u||. Ahora, de acuerdo al Teorema de Representacin de

Riesz, existe un nico elemento w en H tal que B(u, v) = (w, v).Lema 1.4. SeaA el operador que asocia u conw:

A : H H, Au = w (1.18)

Entonces A es un operador lineal acotado.Demostracin: Sea w1, w2 H, del lema anterior se tiene asociadoelementos u1, u2 en H definidos por

B(u1, v) = (w1, v), B(u2, v) = (w2, v) v H

Ya que B es bilineal,

B(u1 + u2, v) = B(u1, v) + B(u2, v) = (w1 + w2, v) (1.19)

Adems, de la definicin de A se tieneAu1 = w1, Au2 = w2, as Au1 + Au2 = w1 + w2 (1.20)

A partir de (1.17) - (1.19), se ve que A mapea u1 + u2 en w1 + w2 :

A(u1 + u2) = w1 + w2 (1.21)

La linealidad de A se sigue de (1.20) y (1.21). A es acotado, puestomando v = Au en (1.17) y usando la continuidad de B y (1.18),

K||u||||Au|| B(u,Au) = (w,Au) = ||Au||2

Entonces, ||Au|| K||u||.

Lema 1.5. A es uno-uno con inversa A

1

acotada.Demostracin: Sea R(A) el rango de A (por supuesto, R(A) H). Sedebe mostrar que Az = 0 solo para z=0 y usar el Teorema 1.2 para mos-


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trar que A es 1 1. Sea z tal que Az = 0. Entonces, ya que A por

definicin mapea z en un miembro Az de H tal que B(z, v) = (Az,v),se tieneB(z, v) = (0, v) = 0 v H

En particular, para v = z,

0 = B(z, z) ||z||2

de manera que ||z|| = 0 o z = 0. De aqu A es 1 1, y su inversaA1 : R(A) H existe. Adems, A1 es lineal ya que A es lineal(ejercicio), y A1 es acotado pues

||u||2 B(u, u) = (w, u) ||w||||u||, (usando la des. de Schawarz)

de donde ||u|| = ||A1w|| 1||w||.

Lema 1.6. R(A) es un espacio completo.Demostracin: Sea {wk} una sucesin de Cauchy en R(A). Ya que elR(A) es un subconjunto de H, {wk} tambin es una sucesin de Cauchyen H, y as esta es convergente en H:

limk

||wk w|| = 0 en H

Se tiene que demostrar que w est en el R(A). Para hacer esto, se defineuk tal que Auk = wk. Entonces

||uk u|| = ||A1wk A

1w|| = ||A1(wk w)|| ||A

1||||wk w||

de modo que

limk,

||uk u|| ||A1|| lim

k,||wk w|| = 0

(pues {wk} es una sucesin de Cauchy en H). De esto, {uk} es unasucesin de Cauchy en H, con lmite u H. Adems, ya que Auk = wkse tiene

limk

Auk = limk

wk = w o w = A

limk

uk

= Au

(recuerde que: Un operador T : U V, con U y V espacios normados,es continuo si, y solo, si es acotado). Por lo tanto, w est en el rango deA, y ya que w es el lmite de una sucesin arbitraria de Cauchy, el R(A)es completo.

Lema 1.7. R(A) = H, esto es, A es biyectivo.Demostracin: Supongamos que R(A) es un subespacio de H, por lo


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tanto existe un elemento u0 = 0 en R(A) tal que

(u0, t) = 0 t R(A)

Adems, de los lemas anteriores se tiene:

Au0 = w0 w0 R(A)

B(u0, v) = (w0, v) v H

En particular, si se define v = u0, entonces

||u0||2 B(u0, u0) = (w0, u0) = 0, pues w0 R(A) y u0 R(A)

Por lo tanto, u0 = 0, lo cual es una contradiccin. As, R(A) = {0} yR(A) = H.

Finalmente, se recopila toda la informacin dada para dar la pruebadel Teorema de Lax-Milgram:Demostracin: El Lema 1.3 muestra que para cualquier u H existeun nico w H definido a partir de (1.17). Sin embargo, este lema noprueba el inverso: de hecho, se define el operador A por (1.18), y paraprobar que el inverso es cierto es necesario demostrar que A es biyectivo.Esto se hace en los Lemas 1.5, 1.6 y 1.7. Por tanto, se concluye que dadocualquier w H existe un nico u H tal que

B(u, v) = (w, v) (1.22)

Por el Teorema de Representacin de Riesz, todo funcional lineal acotadoF puede ser expresado en la forma

F(v) = (w, v) v H (1.23)

con ||F|| = ||w||. As, (1.22) y (1.23) implican (1.15), y (1.16) se siguede la H-elpticidad de B y la continuidad de F, como en (1.13) y (1.14).Esto prueba el teorema.

1.6 Frmula de Green

Antes de continuar, resulta apropiado recordar una frmula de Green queser de importancia fundamental en todos los apartados subsiguientes.Se empieza desde el Teorema de la divergencia (en dos dimensiones) o

tambin llamado Teorema de Gauss.Teorema 1.11. (Teorema de la divergencia) Sea R2 un domi-


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nio acotado con frontera continua Lipschitz1. Todo campo vectorial suave

A = (A1, A2) C1() C( )2 satisface2

divAd =

A nds

donde divA = A1x1 +A2x2

, y n = (n1, n2) la norma exterior unitaria a.

Aqu d denota el elemento de rea en R2 y ds es el elemento de lon-gitud de arco a lo largo de . Si se aplica el Teorema de la divergenciaa A = (vw, 0) y A = (0, vw), se tiene que

vxiwd + v wxid = vwnids, i = 1, 2 (1.24)Denotando por v el gradiente de v, es decir, v := ( vx1 ,

vx2

), seobtiene de (1.24) la siguiente frmula de Green:

v wd

vx1

w

x1+

v

x2

w

x2

d

=

v

w

x1n1 + v

w

x2n2

ds

v2w

x21+

2w

x22

d

=

vw

nds

vwd

As,

v wd =

vw

nds

vwd (1.25)

y wn =wx1

n1 +wx2

n2 es la derivada normal, es decir, la derivada en ladireccin del vector normal exterior sobre la frontera .

Ejercicios

1.1 Cul de los siguientes operadores es lineal?1Un dominio de Lipschitz (frontera Lipschitz) es un dominio en el espacio eu-

clidiano cuya frontera es suficientemente regular en el sentido que esta puede serconsiderada como si fuera la grfica de una funcin continua de Lipschitz.

2De aqu en adelante, se utiliza la notacin

d =

dxdy.


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(i) T : L2(1, 1) L2(1, 1), T(u) =

11 K(x, y)u(y) dy;

(ii) T : C1[a, b] C1[a, b], T(u) = x2u/x + 2u;(iii) M : R2 R, M(x) = xy.

1.2 Si T : U V es un operador lineal invertible de U a V, donde U yV son espacios lineales, muestre que T1 es lineal.

1.3 Muestre que el operador identidad I : U U es continuo, donde Ues cualquier espacio normado. Si V es el espacio normado C1[a, b]con la norma ||u||v = ||u|| + ||u||, y W es el espacio C1[a, b]con la norma del supremo, encuentre un ejemplo que muestre queI : V W no es continuo.

1.4 Si T : U V y S : V W son operadores lineales acotados,muestre que ST : U W es acotado con ||ST|| ||S||||T||.

1.5 Muestre que el espacio nulo N(T) de un operador T : U V escerrado si T es un operador lineal acotado.

1.6 Muestre que el N(P) = R(P) y R(P) = N(P) si P es una proyec-cin ortogonal en un espacio con producto interno.

1.7 Sea T una transformacin definida por

T : L2(R) L2(R), T(u) = u(x), si |x| < 1,

0 en los otros casos

Muestre que T es una proyeccin ortogonal. Cul es el rango yespacio nulo de T?

1.8 Sea A una matriz nn simtrica y definida positiva, es decir xTAx> 0para todo vector x = 0. Entonces, el espacio Rn es un espacio deHilbert dotado del producto interno (x, y) =

ni,j=1 Aijxiyj. Dada

una funcin F : Rn R, encuentre el elemento x tal que F(y) =(x, y) donde F es definida por: (i) F(y) = y1 + y2 + . . . + yn; (ii)F(y) = y1.

1.9 Para cada F L2(0, 1) sea u(x) la solucin de u + u 2u = F conu(0) = u(1) = 0. Definir el funcional por : L2(0, 1) R, tal que


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(F) =

1

0 u(x) dx. Mostrar que este funcional es lineal acotado, y

encontrar la funcin u, el valor de (F), y el elemento g tal que(F) = (g, F), cuando F(x) = 2x.

1.10 Repita el ejercicio anterior para la ecuacin diferencial u2u+u = F.

1.11 Si U es un espacio normado (no necesariamente completo), pruebeque U es un espacio de Banach.

1.12 Si B : U U R es una forma bilineal de un espacio U conproducto interno, mostrar que limn B(un, un) = B(u, v) si un u y vn v.

1.13 Sea F : H10(0, 1) R y B : H10(0, 1) H

10(0, 1) R definidos por

F(v) =

10

(1 4x)v dx, B(u, v) =

10

(x + 1)uv dx,

donde H10(0, 1) =

v L2(0, 1) : v L2(0, 1), v(0) = v(1) = 0

es un espacio de Hilbert con el producto interno

(u, v)H10 =

10

(uv + uv) dx = (u, v) + (u, v).

Mostrar que F es continuo, que B es continuo y H10-elptica y veri-fique que el nico elemento u que satisface B(u, v) = F(v) es u(x) =

x2 x. Sugerencia: puede ser necesario usar integracin porpartes. Se puede asumir que existe una constante C > 0 tal que||v|| C||v||.

1.14 Sea B : U U R una forma bilineal continua, U-elptica, ydefinida por la forma bilineal B : U U R tal que B(u, v) =B(u, v)+ (u,cv). Si U = H10(0, 1) y c(x) satisface 0 < c1 c(x) c2,muestra que B es continua y U-elptica.


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Captulo 2

Formulacin Variacional para

Problemas de Valor de

Frontera

Desde un punto de vista matemtico, el MEF es una tcnica generalpara construir soluciones aproximadas de problemas de valor de frontera(PVF)1. El mtodo implica dividir el dominio de la solucin en un nmerofinito de subdominios simples, los elementos finitos, y usando conceptosvariacionales se construye una aproximacin de la solucin sobre la co-leccin de elementos finitos.

El mtodo variacional constituye una herramienta fundamental parael estudio cualitativo de ecuaciones diferenciales parciales y el eje funda-mental del MEF. Por esto, el objetivo esencial del captulo consiste endefinir la formulacin variacional o forma dbil de algunos PVF de tipoelptico y estudiar el buen planteamiento de esta formulacin variacional.Para seguir los resultados variacionales que se presentan en los siguientesapartados, es apropiado que el lector tenga presente los resultados delanlisis funcional dados en el captulo anterior.

Debido a la simplicidad tcnica que presentan los problemas unidimen-sionales, resulta apropiado presentar en estos las ideas fundamentalesque involucran este tema. Con este fin, se limita nuestra atencin por elmomento a lo ms simple, un PVF en una dimensin (problema de fron-

1Estos problemas de la fsica matemtica son conocidos tambin como problemasde valores de contorno (PVC)

25


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tera en dos puntos) caracterizado por una ecuacin diferencial ordinaria

(EDO) de segundo orden, junto a un par de condiciones de frontera. Sehar referencia a este ejemplo como nuestro problema modelo. Aunqueel problema modelo no represente ninguna dificultad ni mucho intersprctico, tanto su estructura matemtica y su enfoque en la formulacinde su aproximacin son esencialmente las mismas que en los problemasms complejos. Posteriormente, se analiza la forma dbil para PVF elp-tico en 2D y las distintas posibilidades en sus condiciones de frontera:Dirichlet, Neumann y Robin. Adems, se presentan resultados sobre laexistencia y unicidad de la solucin de estos nuevos problemas.

2.1 Problema modelo unidimensional

Se considera el problema de encontrar una funcin u = u(x), 0 x 1,la cual satisface la siguiente EDO y condiciones de frontera:

u(x) + u = f(x), para 0 < x < 1,

u(0) = u(1) = 0(C)

donde f es una funcin conocida y suficientemente suave (continua). Unproblema de este tipo puede surgir como modelo, en particular, en elestudio de la vibracin de una barra elstica, una cuerda elstica o en ladistribucin de temperatura en una barra.

Los datos del problema consisten en: el dominio de la solucin (en

este caso, el dominio es simplemente el intervalo unitario 0 x 1),la parte no homognea de la ecuacin diferencial (representada por lafuncin f(x)), los coeficientes de las derivadas de u (las constantes -1 y1) y los valores de frontera que demanda la solucin obtenida (en esteproblema, u = 0 en x = 0 y x = 1).

El problema modelo planteado en (C) (ecuacin diferencial junto a lascondiciones de frontera) recibe el nombre de forma fuerte o clsica delproblema, porque impone las condiciones ms exigentes a la funcin quese trata de obtener, en cuanto al orden de derivabilidad, cumplimiento dela ecuacin y condiciones de frontera punto a punto dentro del dominiode clculo.

Los datos del problema modelo son suaves, como consecuencia de estasuavidad, existe una nica funcin u la cual satisface el problema en todopunto del dominio. Sin embargo, en la mayora de las aplicaciones, una


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Formulacin Variacional para PVF 27

o varias de estas caractersticas apropiadas del problema fallan o bien,

no existe una solucin a la declaracin clsica del problema debido a quealguno de los datos no son suaves, o si una solucin suave existe, estano puede ser encontrada en el sentido usual debido a la complejidad deldominio, los coeficientes, y las condiciones de frontera.

Como ejemplo a este tipo de dificultad, se considera en lugar de f(x)(suave) en (C), el problema

u(x) + u = (x 1/2), 0 < x < 1, u(0) = u(1) = 0 (2.1)

donde (x 1/2) es el delta de Dirac2 (un impulso unitario o fuerza

puntual concentrada en x = 1/2). Resulta as, que cualquier funcin uque satisfaga (2.1) debe tener una discontinuidad en su primera derivadau en x = 1/2; su segunda derivada u no existe en x = 1/2 (en unsentido tradicional) (ver Ejercicios 2.1 y 2.2).

Algo parece estar mal! Cmo puede una funcin u satisfacer (2.1) entodo el intervalo 0 < x < 1 cuando su segunda derivada no puede existiren x = 1/2 debido a los datos muy irregulares que presenta el problema?

La dificultad proviene de requerir que la solucin u de (2.1) satisfagala forma fuerte del problema. Para superar esta dificultad, se reformulael PVF de modo que se exija a la funcin incgnita un orden menor dederivabilidad y, en vez del cumplimiento punto a punto, un cumplimiento

en promedio de la ecuacin diferencial y de las condiciones de frontera.Por contraste con la forma fuerte del problema, tales reformulaciones sonllamadas formulacin dbil o variacionaldel problema y estn diseadaspara dar cabida a datos o soluciones irregulares del problema (2.1), ascomo a soluciones muy suaves, como la del problema modelo (C).

Cada vez que que una solucin suave clsica de un problema existe,es tambin la solucin del problema dbil. Por tanto, no se pierde nadapor la reformulacin de un problema a una forma ms dbil y a cambioobtener la ventaja de ser capaz de considerar problemas con solucionesbastante irregulares.

2Se debe recordar que (x 1/2) es una distribucin; un funcional sobre C0definido por (x 1/2)(x) = (1/2), para cualquier funcin C0 . La operacin(x 1/2)(x) es algunas veces escrita como

10

(x 1/2)(x)dx = (1/2).


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2.1.1 Formulacin variacional del problema modelo uni-

dimensionalUna declaracin dbil del problema modelo es dada como sigue: Encon-trar u tal que (C) se cumpla en un sentido de promedios ponderados, esdecir, se quiere que 1

0(u + u)vdx =

10

f(x)vdx (2.2)

para todo miembro v de una clase apropiada de funciones. La funcinde peso o funcin de prueba, v, es cualquier funcin de x tal que lasintegrales dadas en (2.2) tengan sentido3. Se denota el conjunto de talesfunciones, que son cero en x = 0 y x = 1, con la letra V

v.

En esta etapa, hay dos puntos que deben ser bien apreciados:

La formulacin dbil (2.2) es tan vlida y significativa como laforma clsica (C); de hecho, se probar que la solucin de (C),adems, satisface (2.2) y, en efecto, es la nica solucin de (2.2).

La especificacin del conjunto Vv de funciones de peso es un in-grediente esencial de una formulacin dbil aceptable.

Aunque puede que no sea inmediatamente obvio, las funciones de pruebaen el problema variacional (2.2) pueden no pertenecer al conjunto Vupara las cuales la solucin pertenece (ver Ejercicio 2.3). El conjuntoVu, para el cual la solucin pertenece, es llamado la clase de funcionesadmisibles para este tipo de problemas. La suavidad depende de losrequisitos que se consideren para el par de conjuntos de funciones, Vv yVu. Por ejemplo, u puede ser seleccionada de una clase de funciones Vula cual tiene la propiedad que su segunda derivada, cuando se multiplicapor una funcin de peso v, produce una funcin uv que es integrablesobre el intervalo 0 < x < 1. Por otra parte, no es necesario que lasfunciones de peso que aparecen en (2.2) sean derivables. De esta forma,

3Es fcil encontrar funciones que no son lo suficientemente suaves para servir comofunciones de peso. Por ejemplo, para f(x) = x, u(x) = x sinh(x), y v(x) = x3,entonces ni

10

(u + u)vdx o10

xvdx tiene valores finitos y (2.2) no tiene sentido.

Hay, sin embargo, una multitud de funciones las cuales son perfectamente aceptablescomo funciones de peso. La especificacin exacta de tales funciones es central en lateora del MEF y ser discutida en detalle posteriormente.


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a pesar de que (2.2) es una forma dbil perfectamente valida de (C), el

hecho queVv yVu no sean los mismos conduce a una falta de simetra enla formulacin que normalmente se prefiere evitar. En otras palabras, laforma dbil (2.2) no es la ms adecuada para propsitos computacionaleso tericos.

Para obtener una formulacin dbil simtrica de (C), se observa quesi u y v son funciones suficientemente suaves, entonces integrando porpartes el primer trmino del lado izquierdo de (2.2) y pidiendo que lasfunciones de peso se anulen en la frontera, v(0) = v(1) = 0, se tiene

10

uvdx =

10

uvdx uv

1

0=

10

uvdx

Por tanto, (2.2) puede ser reemplazado por el siguiente problema varia-cional: encontrar u V tal que1

0(uv + uv)dx =

10

f(x)vdx, v V (2.3)

donde,

V =

v : v C[0, 1], v es continua y acotada a trozos en [0, 1], y

v(0) = v(1) = 0

Ahora existe una simetra en la formulacin: el mismo orden de deriva-da tanto de las funciones de peso como de las funciones de ensayo y setiene Vv = Vu = V. Adems, ya que (2.2) contiene segundas derivadasde la solucin u mientras que (2.3) solo tiene primeras derivadas, se tieneque pasando de (C) a (2.2) y a (2.3) se ha debilitado progresivamentelos requerimientos sobre la solucin y, de tal modo, progresivamenteampliado la clase de datos para los cuales esta declaracin del problematiene sentido.

El conjunto V es llamado la clase de funciones admisibles para elproblema (2.3), ya que este contiene solo las funciones que satisfacenlas condiciones de frontera y son suficientemente regulares para que las

integrales en (2.3) tengan sentido. Dado que v puede ser una funcin en elconjunto de funciones admisibles, se debe tomar la posibilidad que v = u.As, ser necesario que (v)2 sea lo suficientemente suave para que su


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integral pueda ser calculado. Por lo tanto, se debe definir el conjunto de

funciones admisiblesV = H1

0(0, 1). Aqu, H1

0() es el espacio de Sobolevdefinido anteriormente: H10() =v H1() : v(0) = v(1) = 0, con

H1() =

v : v, v L2()

. As, el PVF (C) puede tener la siguienteformulacin variacional: encontrar u H10() tal que1

0(uv + uv)dx =

10

f(x)vdx, v H10() (2.4)

Si se compara el problema de valor de frontera variacional (PVFV)(2.4) con la formulacin variacional (2.3) se nota que el espacio H10()es ms grande que el espacio V usado en la formulacin (2.3). El espa-cio H10() est especialmente adaptado para la formulacin variacional

de (C) y es, de hecho, el espacio ms grande para el cual la formu-lacin variacional dada en (2.4) se cumple. Desde un punto de vistamatemtico, la eleccin correcta del espacio de funciones es esencial, yaque esto puede hacer que sea ms fcil de probar la existencia de unasolucin para el problema continuo. Desde el punto de vista de ele-mentos finitos, la formulacin (2.4) frente a (2.3) es de inters debidoprincipalmente a la estima del error en la norma indicada por (2.4).

2.1.2 Equivalencia del problema fuerte y variacional

Ahora se demuestra que la solucin u del PVF o ecuacin diferencial (C)tambin es solucin del problema variacional (2.4). Usando la notacin

de producto interno, se tiene que el problema (2.4) se puede formularcomo: encontrar u H10() tal que

(u, v) + (u, v) = (f, v) v H10() (V)

donde, (v, w) =1

0 v(x)w(x)dx.Que la solucin de (C) sea solucin de (V) qued justificado en el

apartado anterior donde se fue deduciendo paso a paso esta implicacin.Se demuestra ahora, que una solucin de (V) es determinada de formanica. Supongamos para esto que u1 y u2 son soluciones de (V), es decir,u1, u2 H10() y

(u1, v

) + (u1, v) = (f, v), (u2, v

) + (u2, v) = (f, v) v H10()

Restando las ecuaciones y seleccionando v = u1 u2 H10(), se tiene


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10

(u1 u2)2dx + 10

(u1 u2)2dx = 0

lo cual muestra que u1 u2 = 0 y u1 u2 = 0, x [0, 1], y la unicidad

queda probada.Finalmente, se prueba que si u es la solucin de (V) entonces u adems

satisface (C). Sea u H10() tal que10

uvdx +

10

uvdx

10

fvdx = 0 v H10()

Si se supone adems, que u existe y es continua, entonces se puedeintegrar por partes y usando el hecho que v(0) = v(1) = 0,

10

uvdx+10

uvdx10

fvdx = 10

(uu+f)vdx = 0, v H10()

Pero con la suposicin que (u u + f) es continua, la cual se cumplesolo si (ejercicio)

(u u + f)(x) = 0 0 < x < 1

se puede probar que u es solucin de (C).As, se tiene visto que, si u es la solucin de (V) y adems satisface

la hiptesis de regularidad (u es continua), entonces u es solucin de(C). Entonces se tiene mostrado que los dos problemas (C) y (V) sonequivalentes.

La formulacin (V) se dice que es una formulacin dbil de (C) yla solucin de (V) se dice que es una solucin dbil de (C). Si u es unasolucin dbil de (C) entonces no es claro de inmediato que u sea tambinuna solucin clsica de (C), ya que este requiere que u sea suficientementeregular para que u quede definida en un sentido clsico.

2.1.3 Condicin de frontera no homognea

Se considera = (a, b) R y una funcin de carga f L2(). Se va aresolver la ecuacin de Poisson

u(x) = f(x) en (2.5)

provista de condiciones de contorno Dirichlet no homogneasu(a) = ga, u(b) = gb (2.6)


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Se debe notar que las funciones que satisfacen las condiciones dadas en

(2.6) no pueden constituir un espacio vectorial. Este sera el caso concondiciones de contorno Dirichlet iguales a cero; sin embargo, en el casono homogneo, la suma de dos funciones que cumplen (2.6) no satisfacenla condicin. Por tanto, se tiene que descomponer la funcin u buscadaen

u(x) = u(x) + u(x) (2.7)

donde u H1(a, b), llamada el levantamiento Dirichlet, es una funcinconocida que satisface las condiciones de contorno

u(a) = ga, u(b) = gb (2.8)

y la funcin u, satisface la condicin de frontera Dirichlet homognea

u(a) = u(b) = 0 (2.9)representa la parte desconocida de la solucin u. La funcin u ya puedebuscarse en un espacio de funciones lineales, normalmente, V = H10(a, b).

Por lo tanto, la tarea consiste en encontrar u V satisfaciendo laformulacin variacional1

0u(x)v(x)dx =

10

[f(x)v(x) (u)(x)v(x)]dx, v V

En la prctica, suele escogerse u tan simple como sea posible, es decir,como una funcin lineal continua por partes que se anula en todos lospuntos interiores (ver Figura 2.1).

xa b

ga gb

x x xM=

Figura 2.1: Ejemplo de una funcin levantamiento Dirichlet para problemas 1D.

2.2 Problema modelo 2D

Se va a considerar el PVF en un dominio R2 abierto y acotado confrontera Lipschitz. La frontera se divide en dos partes d y n, tal


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que = d n, donde se aplicarn distintos tipos de condiciones de

contorno. El problema modelo en su forma fuerte se define por (a1u) + a0u = f en , (2.10)

u = g1(x) sobre d

c1u + c2u

n= g2(x) sobre n

Dirichlet y Neumann (2.11)De forma indistinta, se usar o para definir el contorno del pro-

blema. Adems, para asegurar la existencia y la unicidad de la solucinse aaden las condiciones

a1 Cmin > 0 y a0 0 en (2.12)

d

n

n

Figura 2.2: Dominio y sus fronteras para problemas 2D.

El problema (2.10) es bastante general; incluso con a0 0, se puedenmodelar una serie de problemas de fsica y mecnica, por ejemplo: trans-ferencia de calor en estado estacionario, desplazamiento de un membra-na elstica, deflexin transversal de un cable, deformacin axial de unabarra, flujo laminar, flujo en tuberas y flujos en medios porosos.

2.2.1 Condicin de frontera Dirichlet homognea

Para empezar, se considera a (2.10) solo con condiciones de contorno

Dirichlet homogneas en todo el contorno, n = , es decir,

u(x) = 0 sobre (2.13)


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La solucin clsica del problema (2.10), (2.13) es una funcin u

C2

() C() que satisface la ecuacin (2.10) en todo y cumple lacondicin de contorno (2.13) para todo x . Naturalmente, se debeasumir que f C(). Sin embargo, ni el requerimiento ms fuertef C() garantizan la resolucin del problema, para el cual se requierenan ms condiciones de suavidad.

Para reducir las restricciones de regularidad antes dicha, se introducela formulacin variacional del problema (2.10), (2.13). La derivacinde la formulacin variacional de (2.10) consiste en los siguientes cuatropasos:

1. Se Multiplica (2.10) con una funcin test v C0 () (conjunto defunciones infinitamente suaves que se anulan en la frontera de )

(a1u)v + a0uv = f v

2. Integrar sobre

(a1u)vd +

a0uvd =

f vd (2.14)

3. Se usa la frmula de Green (1.25) para reducir el mximo orden dela derivada presente en la ecuacin. Adems, del hecho que v seanule sobre la frontera permite anular la integral en la frontera.As, de la primera integral de (2.14) se tiene

(a1u)vd = [a1 u]vd a1uvd=

[a1 u]vd +

u (a1v)d +

a1vu

nds

=

[a1 u]vd +

u [a1v + a1v]d

Agrupando con el resto de la ecuacin (2.14) resulta

a1u vd +

a0uvd =

f vd (2.15)

4. Encontrar el espacio de funciones ms grande posible para u, v ylas otras funciones en (2.15) donde todas las integrales son finitas.Originalmente, (2.15) fue derivada bajo la suposicin de regulari-dad de que u C2() C() y v C0 . Toda integral de (2.15)


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permanece finita cuando estas hiptesis se debilitan a

u, v H10(), f L2() (2.16)Similarmente, las hiptesis de regularidad para los coeficientes a1y a0 se pueden reducir a a1, a0 L().

La formulacin variacionalpara el problema (2.10), (2.13) se define comosigue: Dado f L2(), encontrar una funcin u H10() tal que

B(u, v) = l(v), v H10() (2.17)

donde

B(u, v) =

a1uv+a0uv

d l(v) =

f vd v H10()

Nuevamente, la formulacin variacional (2.17) se dice que es una for-mulacin dbil o forma dbil de (2.10), (2.13) y la solucin de (2.17) sedice que es una solucin dbilde (2.10), (2.13). Nuevamente, si u es unasolucin dbil de (2.10), (2.13), entonces no es claro de inmediato que usea tambin una solucin clsica de (2.10), (2.13), ya que este requiereque u sea suficientemente regular para que (a1u) quede definido enun sentido clsico, que en este caso significa que u C2() C(). Laventaja matemtica de la forma dbil (2.17) es que es fcil de probar laexistencia de una solucin dbil de (2.10), (2.13), mientras que es rela-tivamente difcil probar la existencia de una solucin clsica de (2.10),(2.13). Para probar la existencia de una solucin clsica de (2.10), (2.13)

se inicia usualmente con la solucin dbil de (2.10), (2.13) y se muestra,a menudo con un considerable esfuerzo, que en realidad esta solucines lo suficientemente regular para ser tambin una solucin clsica. Enproblemas no lineales las complicaciones aumentan, pues suele ser muydifcil o prcticamente imposible demostrar la existencia de solucionesclsicas mientras que la existencia de soluciones dbiles puede seguir alalcance.

Unicidad de la solucin

La existencia y unicidad de la solucin del problema modelo (2.17) puedeser probada usando el Teorema de Lax-Milgram (Teorema 1.10) bajo las

siguientes hiptesis.Lema 2.1. Se asume que a1 Cmin > 0 y a0 0 en (condicin


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(2.12)). Entonces la forma variacional (2.17) tiene una nica solucin

u H1

0().Demostracin: Si se puede mostrar que l es continuo y que B escontinua y H10()-elptica, entonces se consigue garantizar la existenciade una nica solucin de (2.17).

Primero, si f L2() entonces l es continuo ya que

|l(v)| =

f vd

fL2vL2 (desigualdad de Schwarz) fL2vH2 (pues vL2 vHk)

Fijando fL2 = K, entonces |l(v)| KvH2 y as l es acotado y, porlo tanto, continuo.

Ahora, ya que a1, a0 L

(), entonces existe un Cmax < tal que|a1(x)| Cmax y |a0(x)| Cmax en . Por lo tanto,

|B(u, v)|

a1|u v| + a0|uv|

d Cmax

|u v| + |uv|

d

(2.18)Ya que u, v [L2()]2, entonces usando la desigualdad de Hlder(ver A.50 de [6]) se tiene

u vd

u2d1/2

v2d1/2 = |u|1,2|v|1,2(2.19)

Anlogamente, para el producto |uv| se obtiene

|uv|d

u2d

1/2

v2d1/2

= uL2vL2 (2.20)

La norma 1,2 se obtiene sumando un trmino no negativo a la semi-norma | |1,2,

|u|1,2|v|1,2 u1,2v1,2 (2.21)

Similarmente, para la norma L2,

uL2vL2 u1,2v1,2 (2.22)

Finalmente, relacionando (2.18)-(2.22) se obtiene

|B(u, v)| 2Cmaxu1,2v1,2

lo que significa que la forma bilineal est acotada por la constate Ca =2Cmax. A continuacin, se prueba la H10()-elpticidad de B(u, v). Usan-


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do la desigualdad bsica de Poincar-Friedrichs (Teorema 1.8) en el es-

pacio H1

0(), junto con la condicin (2.12) se obtiene que existe unaconstante Cb > 0 tal que

B(v, v) =

a1v2 + a0v2d

a1v2d

Cmin

v2d = Cmin|v|21,2 CminC2b v21,2 v H10()As, la forma bilineal B(, ) es acotada y H10()-elptica, y usando elTeorema de Lax-Milgram se tiene la existencia y unicidad de la solucinpara todo f L2().

2.2.2 Condicin de frontera Dirichlet no homognea

En este apartado se considera la ecuacin modelo (2.10) junto a unacondicin de contorno ms general, la condicin de contorno de Dirichlet(sobre todo el contorno del dominio) de la forma

u(x) = g(x) sobre (2.23)

donde g C(). A los efectos de la formulacin dbil, se considerauna funcin G C2() C() tal que G = g sobre (la llamadafuncin de levantamiento Dirichlet de g). Observe que G no es nica,pero se ver ms adelante que la solucin es invariante en su eleccin.Escribiendo u = G + U, el problema (2.10), (2.23) puede ser reformuladoen: encontrar U C2

0tal que

a1(U + G)

+ a0(U + G) = f en ,

(U + G) = g sobre

o, equivalentemente,

a1U

+ a0U = f + (a1G) a0G en , (2.24)

U = 0 sobre (2.25)

Excepto por el ajuste hecho al lado derecho, este problema es idnticoal problema modelo (2.10), (2.13). Por lo tanto, se procede de formaanloga para obtener su formulacin variacional: encontrar U V =H1

0

() tal queB(U, v) = l(v) v V (2.26)

con


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B(U, v) = a1U v + a0U vd,

l(v) =

f v a1G v a0Gv

d

Esta formulacin dbil se puede definir con criterios ms dbiles en f, gy G. En particular, se puede asumir que f L2() y G H1() con latraza de g H1/2().

Se tiene visto que la forma bilineal B(, ) es acotada y Velptica (verLema 2.1 del apartado anterior). En otras palabras, El Teorema de Lax-Milgram asegura la existencia y unicidad de la solucin en (2.26) paratoda funcin de levantamiento G.

Para justificar la independencia de la solucin u = U+ G de la funcinde levantamiento Dirichlet G, supongamos que U1 + G1 = u1 H1() yU2 +G2 = u2 H1() son dos soluciones dbiles. Por (2.26) la diferenciau1 u2 V = H10(), lo cual satisface

B(u1 u2, v) = 0 v V

Tomando u1 u2 por v y usando la propiedad V-elptica de la formabilineal B, se obtiene

0 = B(u1 u2, u1 u2) Cu1 u22V

Esto significa que u1 u2V = 0, es decir que u1 = u2 en .

2.2.3 Condicin de frontera Neumann

Se considera ahora el modelo (2.10) junto a la condicin de fronteraNeumann (nuevamente en todo el contorno )

u

n= g sobre (2.27)

donde g C() y n representa el vector unitario exterior a (VerFigura 2.2) y u/n = un. En este caso se debe fortalecer la hiptesisde positividad del coeficiente a0

a0(x) Cmin > 0 en (2.28)La formulacin dbil del problema (2.10), (2.27) se deriva de la si-guiente manera: suponga que u C2() C1(). Multiplique (2.10)


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por una funcin test v C() C1(), integrar sobre , y usando

la frmula de Green para reducir el mximo orden de las derivadas par-ciales. Las integrales de frontera no desaparecen como ocurri en el casode condiciones de frontera Dirichlet homogneas, surgiendo un integralen la frontera,

a1u v + a0uv

d

a1u

nvds =

f vd

Al sustituir la condicin de frontera (2.27) en la integral de frontera, seobtiene la formulacin dbil siguiente: dada f L2() y g L2()encontrar u V = H1() tal que

B(u, v) = l(v) v V (2.29)

donde

B(u, v) =

a1u v + a0uv

d, l(v) =

f vd +

a1gvds

Observe que, aunque la forma bilineal B(, ) est dada por la mis-ma frmula que en el caso de las condiciones de contorno Dirichlet, esdiferente ya que el espacio V ha cambiado.

La acotacin de la forma bilineal B(, ) en VV se puede demostrarde forma anloga a la prueba del Lema 2.1. Ntese, sin embargo, queno se puede utilizar la desigualdad de Poincar-Friedrichs para probar lapropiedad V-elptica de B(, ), ya que ahora la solucin no es cero en la

frontera. Aqu la hiptesis adicional (2.28) entra en juego y se obtieneB(v, v) min{Cmin, Cmin}v2V

El Teorema de Lax-Milgram garantiza que el problema (2.29) tiene unanica solucin u V.

2.2.4 Condicin de frontera Robin

Existen casos donde la condicin de contorno implica una combinacinde valores de la funcin y su derivada normal. Considere la ecuacinmodelo (2.10) junto a las condiciones de frontera

c1u + c2 un

= g sobre (2.30)


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donde f C(), g C(), y c1, c2 C() son tales que c1c2 > 0 y

0 < |c2| sobre . Las hiptesis (2.12) y (2.28) sobre los coeficientesa0, a1 se siguen cumpliendo.Para una funcin suficientemente regular u C2() C1() la forma

dbil

a1u v + a0uv

d

a1u

nvds =

f vd

es derivada anlogamente al caso de condiciones de frontera Neumann.Usando la condicin de frontera (2.30), se obtiene la siguiente formadbil: dada f L2(), g L2(), y a0, a1 L(), encontraru V = H1() tal que

B(u, v) = l(v) v V

donde

B(u, v) =

a1u v + a0uv

d +

a1c1c2

uvds,

l(v) =

f vd +

a1g

c2vds

Se puede probar que la forma bilineal B(, ) es acotada y V-elptica(usar para esto el Teorema A.28 de [6]), entonces a partir del Teoremade Lax-Milgram se tiene la unicidad de la solucin.

2.2.5 Condicin de frontera esencial y natural

Las condiciones de contorno Dirichlet son llamadas esenciales, ya quebsicamente influyen en la formulacin dbil: estas determinan el espaciode funciones en que la solucin es determinada. Por otra parte, lascondiciones de frontera Neumann no influyen en el espacio funcional ypueden ser incorporadas en la integral de contorno de forma natural. Portanto, se les llama naturales. En general, si se tiene el siguiente PVF

Au = f en ,

A0u = g0A1u = g1

...Am1u = gm1

sobre


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con A un operador diferencial de orden 2m, entonces las condiciones de

frontera se dividen en dos subconjuntos (segn el orden de Ai):1. Si el orden < m, son llamadas condiciones de frontera esenciales.

2. Si el orden m, son llamadas condiciones de frontera naturales.

Habitualmente, el espacio V, conocido como el espacio de funcionesadmisibles, es definido por

V =

v Hm() : v satisface toda condicin de frontera esencial

2.2.6 Combinacin de condiciones de frontera naturales

y esencialesLo que resta por discutir es la combinacin de condiciones de contornoesenciales y naturales. Elijamos, por ejemplo, las condiciones de Dirichlety Neumann para este propsito. Por consiguiente, supongamos que lafrontera se divide en dos partes abiertas, disjuntas y no vacas n yd (ver Figura 2.2), y consideremos el problema

(a1u) + a0u = f en , (2.31)

u = gD sobre d, (2.32)u

n= gN sobre n (2.33)

La forma dbil es derivada como sigue: en primer lugar se extiendela funcin gD C(d) al resto de la frontera introduciendo unafuncin gD C() tal que gD gD sobre d. La no unicidad de estaextensin no va a causar ningn problema. Despus se define la funcinlevantamiento Dirichlet G C2() C1() de gD (es decir, G gDsobre ). La solucin u se busca en la forma u = U + G anlogo alcaso Dirichlet puro. Las ecuaciones

a1(U + G)

+ a0(U + G) = f en ,

(U + G) = gD sobre d,(U + G)

n = gN sobre n

se convierten


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a1U+ a0U = f + (a1G) a0G en , (2.34)U = 0 sobre d, (2.35)

(U + G)

n= gN sobre n (2.36)

El espacio apropiado para la funcin U es

V =

u H1() : u = 0 sobre d

Aplicando el procedimiento estndar, que ya se ha aplicado varias veces,se llega a la forma dbil

a1U v + a0U v

d =

f v a1G v a0Gv

d

+

N

a1

(U + G)

n

ds, v V

Usando la condicin de frontera Neumann (2.36) sobre n, se obtienefinalmente el siguiente problema dbil: encontrar una funcin U en elespacio V tal que

B(U, v) = l(v) v V (2.37)

donde

B(U, v) =

a1U v + a0U v

d,

l(v) =

f v a1G v a0Gv

d +

N

a1gNvds

La forma bilineal es acotada y V-elptica (la prueba resulta anloga ala del Lema 2.1). La desigualdad de Poincar-Friedrichs se cumple enV debido a que la condicin de contorno es cero para U sobre d (verObservacin A.8 de oln [6]). Por tanto, el Teorema de Lax-Milgram

implica que el problema (2.37) tiene una nica solucin U V. Como decostumbre, la solucin final que satisface tanto la condicin de fronteranatural como la esencial es u = U + G.


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Ejercicios

2.1 Considere el PVF, u(x) = (x 1/2), 0 < x < 1, con u(0) =u(1) = 0, donde (x 1/2) es el delta de Dirac correspondiente auna fuerza puntual en x = 1/2. Construya la solucin exacta u deeste problema y bosqueje la grfica de u y u como funcin de x.Cmo es la grfica de u? Tiene sentido la forma clsica de esteproblema en x = 1/2?

2.2 Encuentre la solucin u del PVF (2.1) y bosqueje la grfica de u y u

como funcin de x. Comente sobre u y el sentido de la declaracinclsica del PVF.

2.3 (a) Considere el siguiente

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