VIII. MODELO LINEAL GENERAL O MÚLTIPLE, MLG: REGRESIÓN Y

CORRELACIÓN MÚLTIPLE APLICADA A LA VERIFICACIÓN DE UNA TEORÍA

ECONÓMICA

Con el fin de ilustrar el uso de este instrumental en el desarrollo de una teoría económica a

continuación se presenta un caso. Hasta el momento hemos visto como se construye

matemáticamente la relación entre una variable dependiente (Y) y las independientes: X1,

X2, en esta ocasión, aprovechando la exposición anterior, también aplicaremos la regresión

múltiple considerando el factor tiempo. Este factor es muy importante por que además de

que permite conocer el dinamismo del fenómeno bajo estudio (Y), permite predecirlo, es

decir, estimar su valor futuro.

La predicción es muy importante en economía por que permite visualizar, con cierta

seguridad, cual será el comportamiento de una variable (Y) en el futuro, en función de las

variables independientes: X1, X2 .

VIII.1 Ecuación de Regresión Múltiple

Con base en este enfoque a continuación se expone un ejercicio que permitirá ilustrar:

a) Como se prueba la teoría económica de que el consumo (Y) depende del ingreso

disponible (después de impuestos) (X1) y de la inflación (X2); de X1 en forma positiva y de

X2 en forma negativa.

b) Su comportamiento futuro

Así, para desarrollar el primer punto diremos que los datos en los últimos 10 años están

expresados en millones de pesos para Y, X1 y en porcentajes para X2 . De esta manera la

ecuación de regresión que servirá para probar la teoría económica quedará planteada de la

siguiente manera:

ii uXcXbay 2ˆˆˆˆ

donde:

y = Y calculada o estimada

ui expresa que no hay una relación exacta de Y con respecto a X1 “y” X2

por lo que ui es conocido como el complemento residual

Así, para encontrar y se requiere conocer los valores de , , a b c mismos que se determinan

con las tres ecuaciones normales siguientes: .

Y na b X c X

YX a X b X c X X

YX a X b X X c X

1 2

1 1 1

2

1 2

2 2 1 2 2

2

Cuando se expresan en forma de desviaciones con respecto a la media aritmética se pueden

resolver simultáneamente para b y c , así:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

:

bx y x x y x x

x x x x

cx y x x y x x

x x x x

tal que

a Y bX cX

1 2

2

2 1 2

1

2

2

2

1 2

2

2 1

2

1 1 2

1

2

2

2

1 2

2

1 2

Se dice que b y c son estimadores óptimos lineales insesgados, es decir:

( )b = b parámetro de la población

( c ) = c parámetro de la población

es el símbolo de la esperanza matemática.

En una regresión múltiple , b c son estimadores parciales de y .

Una vez establecidos tanto la teoría económica como la metodología para probarla, con los

datos que aparecen en la tabla 1, hacemos los siguientes cálculos para obtener , , a b c .

Tabla 1: Relación del consumo (Y) con el ingreso (X1) y la inflación (X2) (del año 1 al

10)

Años Y X1 X2 y x1 x2 yx1 x1

2 x2

2 x1 x2 x2 y

1 3 1 8 -3.1 -4.65 +0.9 14.415 21.623 0.81 -4.185 -2.79

2 2 2 15 -4.1 -3.65 +7.9 14.965 13.323 62.41 -28.835 -32.39

3 4 2.5 10 -2.1 -3.15 +2.9 6.615 9.923 8.41 -9.135 -6.09

4 5 3 9 -1.1 -2.65 +1.9 2.915 7.023 3.61 -5.035 -2.09

5 5 4 7 -1.1 -1.65 -0.1 1.815 2.723 0.01 +0.165 +0.11

6 7 5 6 +0.9 -0.65 -1.1 -0.585 0.423 1.21 +0.715 -0.99

7 6 7 8 -0.1 +1.35 +0.9 -0.135 1.823 0.81 +1.215 -0.09

8 8 8 4 +1.9 +2.35 -3.1 4.465 5.523 9.61 -7.285 -5.89

9 9 9 3 +2.9 +3.35 -4.1 9.715 11.223 16.81 -13.735 -11.89

10 12 15 1 +5.9 +9.35 -6.1 55.165 87.423 37.21 -57.035 -35.99

n=10 61 56.5 71 0 0 0 109.349 161.03 140.9 -123.15 -98.10

Nota: Y, X1,X2 son los valores originales, en tanto que y,x1 y x2 son minúsculas e indican las desviaciones

de los términos con respecto a sus medias respectivas.

Cuyas medias son:

Y

X

X

61

5 65

7 1

1

2

.

.

.

Sustituyendo tenemos:

8638.52379.24741.21.6)1.7)(3152.0()65.5)(4379.0(1.6ˆ

3152.077.392,7

71.330,2

92.165,1569.558,22

33.466,1304.797,15

)15.123()09.140)(03.161(

)15.123)(349.109()03.161)(1.98(ˆ

4379.077.392,7

69.237,3

93.165,1569.558,22

01.081,127.318.15

)15.123()09.140)(03.161(

)15.123)(10.98()09.140)(349.109(ˆ

2

2

a

c

b

Observamos que b = 0.4379 tiene signo positivo y c = -0.3152 tiene signo negativo. Estos

resultados confirman la teoría económica, motivo por el cual podemos continuar probando

la relación que tiene el consumo (Y) con el ingreso (X1) y la inflación (X2). Por

consiguiente, la ecuación de regresión múltiple es:

y = 5.8638 + 0.4379X1- 0.3152X2

Con Eviews file/new/workfile/workfile Range/Undated or irregular/ escribimos en start

date 1 y en end date 10/ok vamos al menu de Quick Empty Group (edit series)/click y

escribimos los datos de Y, X1, X2 /name group 01/ok/ salimos haciendo clic en la “celda

roja” /Quick/Estimate Equation aparece la pantalla y escribimos Y C X1 X2/ok/ y aparece

la ecuación de regresión Y=5.8+.4X1-0.39X2/name/eq01/ok.

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1993 2002 Included observations: 10

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 5.800837 0.976443 5.940785 0.0006 X1 0.442193 0.076017 5.817014 0.0007 X2 -0.309751 0.081265 -3.811615 0.0066

R-squared 0.973305 Mean dependent var 6.100000 Adjusted R-squared 0.965678 S.D. dependent var 2.998148 S.E. of regression 0.555441 Akaike info criterion 1.905216 Sum squared resid 2.159601 Schwarz criterion 1.995991 Log likelihood -6.526078 F-statistic 127.6122 Durbin-Watson stat 2.464587 Prob(F-statistic) 0.000003

Ahora bien en virtud de que no hay una relación lineal exacta de Y con X1 y X2,

necesitamos calcular la relación residual que se expresa con ui; misma que no conocemos

porque pertenece al universo, razón por la cual es estimada mediante ei , cuyo

cuadrado ei

2 , minimiza la suma de cuadrados de todos los residuos: ei

2

Para obtener ei (donde (i) = 1,2,3... ...8,9,10), antes necesitamos determinar yi para cada

uno de los 10 años. Así:

1170.12)1(3152.0)15(4379.08637.5ˆ

8592.8)3(3152.0)9(4379.08637.5ˆ

1061.8)4(3152.0)8(4379.08637.5ˆ

4074.6)8(3152.0)7(4379.08637.5ˆ

1620.6)6(3152.0)5(4379.08637.5ˆ

4089.5)7(3152.0)4(4379.08637.5ˆ

3406.4)9(3152.0)3(4379.08637.5ˆ

8065.3)10(3152.0)5.2(4379.08637.5ˆ

0115.2)15(3152.0)2(4379.08637.5ˆ

7800.3)8(3152.0)1(4379.08637.5ˆ

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

Nota: estos resultados están ”redondeados”; la computadora ofrece más decimales; por ello las cifras

no coinciden exactamente con las que se obtienen al correr los datos en computadora

Estos resultados aparecen en la continuación de la tabla 1 en la columna integrada por iY .

Continuación... ...Tabla 1:

Relación del consumo (Y) con el ingreso (X1) y la inflación (X2) (del año 1 al 10)

Años yi e =Y - yi e2 2

y

1 3.7800 -0.7800 0.6084 9.61

2 2.0115 -0.0115 0.0001 16.81

3 3.8065 0.1936 0.0375 4.41

4 4.3406 0.6594 0.4348 1.21

5 5.4089 -0.4089 0.1672 1.21

6 6.1620 0.8380 0.7022 0.81

7 6.4074 -0.4074 0.1660 0.01

8 8.1061 -0.1061 0.0113 3.61

9 8.8592 0.1408 0.0198 8.41

10 12.1170 -0.1170 0.0137 34.81

61.0000 0.0000* 2.1610 80.9 * Existen pequeñas diferencias debido a la magnitud de los decimales. La suma técnicamente da cero

Observe que la suma de yi 61es la misma que Y = 61 y por ello la suma de

0ˆ yYe ; sin embargo, para probar que su suma es un mínimo elevados al

cuadrado: e2 = 2.1610, que en cuadro de arriba de EVIEWS se le llama Sum squared

residuals .

VIII.2 Significación Estadística de b y c

Con base en los cálculos anteriores es posible obtener yYei ˆ y la

1610.2)( 22

ˆ yYe en la forma que aparecen en las columnas correspondientes en

la continuación de la tabla 1.

Como se observa la 0)( ˆ yY , mientras que 1610.2)(

2

ˆ yY esto proviene de la

solución de:

0137.0;1170.01170.1212

0198.0;1408.08592.89

0113.0;10160.01016.88

1660.0;4074.04074.66

7022.0;8380.01620.67

1672.0;4089.04089.55

4348.0;6594.03406.45

0375.0;1936.08065.34

0001.0;0115.00115.22

6084.0;7800.07800.33

2

110

2

19

2

18

2

17

2

16

2

15

2

14

2

13

2

12

2

11

ee

ee

ee

ee

ee

ee

ee

ee

ee

ee

1610.22e

Con estos valores podemos probar la significación estadística de los parámetros

poblacionales b, c, calculando primero las varianzas de los estimadores. Las fórmulas de las

varianzas son:

Var bx

x x x x

Var cx

x x x x

u

u

( )

( )

2 2

2

1

2

2

2

1 2

2

2 1

2

1

2

2

2

1 2

2

No se acostumbra calcular la varianza de a (pendiente al origen) por que no ayuda a probar

la teoría económica, ya que yi = a cuando X1 = 0; X2 = 0 puesto que lo que se desea es

probar las variaciones de yi en función de las variaciones de X1 , X2 .

Por otra parte, como u

2 es desconocida por que es del universo, se estima con S2

, como

una estimación insesgada, es decir, E (S2) = u

2 .

Su formula es: Se

n ku

i2 2

2

donde:

n = número de términos (10 en este ejemplo)

k = número de parámetros estimados (3 en este ejemplo)

Por lo que el numero de los grados de libertad es de: 10 - 3 = 7

Con estas referencias, las estimaciones insesgadas de las varianzas de c,b tendrán las

siguientes fórmulas:

S Var be

n k

x

x x x xS S

S Var ce

n k

x

x x x xS S

b

i

b b

c

i

c c

( )( )

;

( )( )

;

2

2

2

2

1

2

2

2

1 2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1 2

2

2

Sb2 , Sc

2 son los errores estándar de , b c con los que se pueden probar las hipótesis sobre b,

c, relativos a que hay o no hay relación de Y con respecto a X1, X2, con la estadística t de

Student porque n 30 términos:

Para b: Para c:

Ho: b = 0 Ho: c = 0

Ha: b 0 Ha: c 0

tb b

Sb

b

tc c

Sc

c

Estas t`s “empíricas” u observadas se confrontan con las t`s ”teóricas” o de tablas. Estas

últimas se denotan con las literales t , donde = nivel de significación que junto con los

grados de libertad (n-k) determinan los puntos “críticos” donde se toma la decisión de

aceptar o rechazar Ho.

Así, para probar Ho primero calculamos Sb2 , Sc

2 ; sustituyendo los valores de las tablas en

las fórmulas originales:

0761.00058.0;0058.0;

0058.0)0187.0(3087.05.522,7

9.140

9225.165,154225.688,22

9.1403087.0

)15.123()9.140)(0250.161(

9.140

310

1610.2

)()ˆ(

ˆ2ˆ

22

21

2

2

2

1

2

2

2

2ˆ

bb

i

b

SS

xxxx

x

kn

ebVarS

también

0812.00066.0;0066.0;

0066.0)0214.0(3087.05.522,7

03.161

9225.165,154225.688,22

03.1613087.0

)15.123()9.140)(0250.161(

0250.161

310

1610.2

)()ˆ(

ˆ

2

ˆ

22

21

2

2

2

1

2

1

2

2

ˆ

cc

i

c

SS

xxxx

x

kn

ecVarS

Por lo tanto las t`s empíricas serán:

7542.50761.0

04379.0ˆ

ˆ

b

bS

bbt 8017.3

0812.0

03087.0ˆ

ˆ

ˆ

c

cS

cct

Ahora se determina con = 5% y 7 grados de libertad (n-k), el valor en tablas de

t 2 365. . Vemos que b, y c estadísticamente son significativamente diferentes de cero.

Interpretación económica: Sí hay relación del consumo (Y) con el ingreso (X1) y la

inflación (X2); luego entonces se sigue confirmando nuestra teoría.

VIII.3 Determinación del Grado (o porcentaje) de la Relación que Existe entre Y y las

Variables Explicativas X1, X2

Para llevar a cabo la determinación del grado de la relación que existe entre la variable

dependiente o explicada y las variables independientes o explicativas primero se determina

el Coeficiente de Determinación Múltiple.

La formula y el cálculo del coeficiente puede plantearse de la siguiente manera:

%33.973973.0

0267.019.80

1610.211

2

2

2

2

oR

y

eR

i

i

Interpretación: El ingreso y la inflación determinan el 97.33% de los cambios que

experimenta el consumo.

Si tomamos en cuenta la reducción en los grados de libertad conforme aumenta el número

de variables independientes (aquí se supone que antes el consumo sólo era función del

ingreso -regresión simple y ahora hemos agregado la inflación como variable explicativa

adicional), entonces se debe calcular el R2 ajustado o R 2 , cuya formula es:

9656.0

0343.01)2857.1)(0267.0(1

)2857.1)(9733.01(1

310

110)9733.01(1

1)1(1

2

22

R

kn

nRR

Interpretación: R 2 es un indicador más exacto que R2

VIII.4 Prueba de la Significación Global de la Regresión Múltiple9

En este caso la hipótesis nula se prueba con F, estadística que se refiere al análisis de

varianza que es el cociente de dividir la varianza explicada entre la varianza no explicada.

Su formula es:

F

yk

en k

Rk

Rn k

k n k

i

i

1

2

2

2

2

1 11

,

( )

( )

( )( )

donde:

(k-1) son los grados de libertad de la varianza explicada

(n-k) los grados de libertad de la varianza no explicada

(ya es conocido el significado de n y k)

Como en el caso anterior - cuando usamos t - se requiere encontrar en tablas la “F teórica”

con un cierto valor de para confrontarla con la “F empírica”. Así, primero calculamos la

F empírica:

0526.1280038.0

4866.0

79733.01

29733.0

7,2

F

Si decimos que = 1%, buscamos F en tablas con 2 grados de libertad para el numerador

(varianza explicada) y 7 grados de libertad para el denominador, vemos que F = 9.55.

Como F2,7 = 128.0526 F = 9.55 decimos que se acepta la hipótesis alternativa (se

rechaza la hipótesis nula) de que b y c, y R2 son significativamente diferentes de cero.

Lo anterior indica que a través de una sola estadística se confirma la hipótesis que hemos

venido desarrollando de que: Y = f(X1,X2).

VIII.5 Coeficiente de Correlación Parcial

Este coeficiente es útil por que mide la correlación neta entre la variable dependiente (Y) y

una variable independiente (sea X1 o X2) después de excluir la influencia que sobre ellas

ejerce la(s) otra(s) variable(s) independiente(s) en el modelo uniecuacional.

Notación: ry x x1 2, es la correlación parcial entre X1 e Y después de eliminar el impacto de X2

sobre Y e X1. Sus fórmulas son:

rr r r

r ry x x

y x y x x x

x x y x

1 2

1 2 1 2

1 22

1 12 2,

,

,

En forma análoga:

rr r r

r ry x x

y x y x x x

x x y x

2 1

2 1 1 2

1 22

1 12 2,

,

,

Para ello necesitamos hacer los siguientes cálculos a partir de la tabla 1:

ryx

x y

ryx

x y

rx x

x x

y x

y x

x x

1

2

1 2

1

1

2 2

2

2

2 2

1 2

2

2

1

2

109 35

16103 80 9

109 35

12 68 8 99

109 35

113990 959

981

140 9 80 9

981

1187 8 99

981

106 710 919

12315

140 9 16103

12315

1187 12 68

12315

150510818

.

. .

.

( . )( . )

.

..

.

. .

.

( . )( . )

.

..

.

. .

.

( . )( . )

.

..

Sustituyendo:

%8.83838.0

838.0161.0

135.0

)282.0)(574.0(

784.0919.0

08.033.0

)818.0)(959.0()919.0(

11

%6.93936.0

222.0

208.0

)387.0)(574.0(

)751.0()959.0(

15.033.0

)818.0)(919.0()959.0(

11

12

221

2112

12

21

221

2121

21

,

2,

2

,

,

,

2,

2

,

,

orluego

rr

rrrr

énibmat

or

rr

rrrr

xxy

xyxx

xxxyxy

xxy

xxy

xyxx

xxxyxy

xxy

Como r y ry x x y x x1 2 2 10 936 0838, ,. " " .

Se dice que el ingreso (X1) es más importante explicando las variaciones del consumo (Y)

que la inflación (X2); obviamente en sentido inverso, como lo indica la teoría económica.

Con Wviews: Vamos a Quick/Group Statistics/Correlations/ aparece en pantalla “Series

List” y escibimos Y X1 X2/ ok aparecen coeficienten de correlación parcial name/Group

02/ok. Para graficar: Quick/graph/line graph/ series list: Y X1 X2/ok y aparece la gráfica.

Se acostumbra presentar en forma resumida los resultados estadísticos, mismos que en

computadora suelen aparecer así:

bo = 5.80083749 Sb2 = 0.005779 S

b = 0.076

b1 = 0.44219342 Sc2 = 0.006604 Sc = 0.081

b2 =-0.3097507

R2 = 0.97330500

R2ajus

= 0.965678

calculado tablas

t1 = 5.817014 2.36

t2 = -3.811620 2.36

F = 124.7400 6.54

Por otra parte, si deseamos conocer gráfica y numéricamente las relaciones de Y con X1,

X2, se expresan así:

Actual Ajustado Residual

Gráficamente

1.0986122886 1.0289711374 0.0696411512 | . | * . |

0.6931471805 1.12658750472 -0.433440324 |* . | . |

1.3862943611 1.32569568282 0.0605986783 | . | * . |

1.6094379124 1.42605193427 0.1833859781 | . | *. |

1.6094379124 1.60787004333 0.0015678691 | . * . |

1.9459101490 1.7376480515 0.2082620975 | . | * |

1.7917594692 1.78985074501 0.0019087242 | . * . |

2.0794415416 2.03328216598 0.0461593757 | . |* . |

2.1972245773 2.15869999287 0.0385245844 | . |* . |

2.4849066497 2.66151478441 -0.176608134 | .* | . |

VIII.6 Predicción

Usando Eviews 5, suponga que se desea proyectar a los años 2011 y 2012, para ello se

requiere de los siguientes pasos:

1.- Nos colocamos en el Workfile (archivo) que muestra el RANGE y SAMPLE con datos

de 2001 a 2010 y por eso dice 10 obs. Necesitamos modificarlos haciendo clic en

RANGE y SAMPLE/ aparece “ workfile structure, ahí cambiamos el RANGE y el SMPL/

ahora escribimos en “Dated-regular frequency”: start date: 2001 y en end date:

2012/aparece la leyenda: “Resize involves inserting 2 observatios Continue?/yes. Aparece

la siguiente tabla con las dos observaciones adicionales:

2.- En la línea de comando se escribe: DATA X1 X2. Aparecerán las dos celdas en

blanco, mismas que hay que llenar con los datos de X1 y X2 para los años 11 y 12

respectivamente.

3. Regresamos a goup01 que muestra los 10 datos originales de Y,X1,X2 con las celdas de

los años 2011 y 2012 en blanco. Las llenamos escribiendo para el año 2011 para X1= 15.5,

X2= 1.3 y para el 2012: X1= 16, X2= 1.5

4.- Nuevamente vamos a workfile y localizamos el cuadro que contiene la ecuación de

regresión, mismo que contiene la ventana Forecast/clic/ por default aparecen y los

conservamos : a).- forecast name:yf; b).- forecast simple: 2001-2012; en output c).-

forecast graph y d).- forecast evaluation/ok/aparece la grafica con su “banda de confianza”(

para los 12 años) y las estadísticas que evalúan la predicción.

5.- Se regresa a workfile/show/ escribimos en la caja: y yf/ok/ aparecen las dos variables,

la primera con datos de 2001 a 2010 y la segunda ( la pronosticada) de 2001 a 2012.

Evaluación de la capacidad predictiva del modelo. Son cuatro las estadísticas que el programa Eviews proporciona para evaluar dicha capacidad predictiva: 1.- La raíz del error cuadrático medio( Root mean squared error); 2.- error absoluto medio( Mean absolute error); 3.- Error absoluto medio del porcentaje de error( Mean absolute percent error) y 4.- el coeficiente de desigualdad de Theil( Theil inequality coeficiente).Todos ellos aparecen a un lado de la gráfica que muestra yf con su “banda de confianza” ( construida con yf mas y menos dos errores estándar) asociada. Mientras más se acerque su valor a cero, mejor es la capacidad de predicción del modelo. En este sentido vale decir que el valor del coeficiente de desigualdad de Theil oscila entre 0 y 1, por lo que mientras más se acerque a 0, mejor será la predicciónrealizada con la ecuación de regresión.

VIII.7 Cálculo de la Elasticidad

Con base en la información anterior se puede obtener:

VIII.7.1La Elasticidad Ingreso del Consumo: Mide el cambio porcentual en los niveles

del consumo como consecuencia de un cambio porcentual en el ingreso disponible

(después de impuestos). Es importante señalar que la elasticidad no es constante, es

decir, cambia en cada uno de los puntos de la función de regresión. Su cálculo puede

hacerse con la formula:

E bX

Yib .

.

.. ( . ) . 1 0 44

565

610 44 0 92 0 40

VIII.7.2 De manera similar se puede obtener la Elasticidad Precio de la Demanda Cuya

interpretación es similar a la elasticidad ingreso, pero ahora referida a los precios.

Como no hay datos, conceptualmente se mide con:

Ep = Parámetro estimado multiplicado por el cociente que resulta de dividir la media

de los precios entre la media de la demanda o consumo

VIII.7.3 Con base en lo anterior podemos obtener la Elasticidad Inflación del Consumo así:

E cX

Yic

..

.. ( . ) . 2 0 31

71

610 31 116 0 36

Curso de introducción a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM

Dr. Genaro Sánchez Barajas : Tercer examen parcial.

Nombre del alumno………………………………………………………calif_______

Tema: Marco teórico de la expresión matemática de una teoría económica y de su verificación estadística.

I.-Conteste con una “X” en SI cuando la afirmación sea verdadera y también con una “X” en NO cuando la

afirmación sea falsa:

1.- Una variable cualitativa no se puede expresar cuantitativamente: Si___; No____.

2.-Una variable dicotómica puede tomar más de dos valores: Si_____; No________

3.-Para predecir la variable dependiente es necesario que antes se conozcan los valores proyectados de las

variables explicativas en el tiempo: SI:_______; NO:___________

4.- Cuando se verifica la hipótesis de la relación entre la variable dependiente con las independientes, se

espera que idealmente el valor del coeficientes de correlación múltiple no sea semejante a los valores de los

coeficientes de correlación parcial: SI:__; NO__.

5.- Cuando se verifica con la estadística F que las variables independientes si explican a la variable

dependiente, teóricamente se debe de verificar con la prueba t de Student que cada una de las variables

independientes también explican a la dependiente: SI___; NO____.

6.- Al correr la regresión, cuando los signos de los coeficientes obtenidos de las variables regresoras no

coinciden con la concepción teórica de su relación con la variable regresada, se debe cambiar de variable

regresora: SI____; NO______:

7.- Al probar una hipótesis nula con la t de Student, si la t real o calculada es mayor que la t teórica o de

tablas, se acepta dicha hipótesis nula: SI____;NO_____.

8.- Cuando F real o calculada es menor que F teórica o de tablas rechazamos la hipótesis nula: SI_____;

NO____.

:

9.- en una regresión múltiple si al probar una hipótesis nula con ciertos grados de libertad y nivel de

significación, cuando los valores de t no son estadísticamente significativos pero F si lo es, se dice que

posiblemente se violó algún de los supuestos del modelo de estimación: SI____; NO______.

10.-Conocido el valor del coeficiente de la variable explicativa X, su media aritmética como la de la variable

explicada Y, la elasticidad se calcula asX

YbE ˆ : SI__;NO___.

Observaciones: Cada una de las respuestas correctas vale 10 puntos en escala de 0 a 100. No se puede usar la

calculadora, ni las tablas estadísticas ni la bibliografía correspondiente a cada tema.