Regresion Ucv Econometria i

Prof. Econ. Rodolfo MedinaUCV-FACES-ECONOMIA-ECONOMETRÍA I

0.1

ANALISIS DEREGRESION LINEAL

Análisis de Regresión Lineal

UCV-Economía

Econometría I


0.2


Análisis de Análisis de Regresión Regresión

Lineal SimpleLineal Simple


0.3


Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple

La correlación nos permite medir la magnitud de una asociación lineal entre dos variables. Sin embargo, las variables son tratadas de forma simétrica. (ES INDIFERENTE HABLAR DE CORRELACIÓN ENTRE X E Y, O ENTRE Y E X) Ahora estamos interesados en darle direccionalidad a esta relación. Nos interesa la dependencia de una variable y otra. Queremos conocer como una variable X incide en una variable Y.


0.4



En algunas circunstancias las decisiones gerenciales se fundamentan en la relación entre dos o más variables...

Ejemplo: revisar la relación entre gastos de publicidad y las ventas, en este sentido un gerente de marketing podría tratar de predecir las ventas para un determinado nivel de publicidad...


0.5



Algunos términos utilizados en el análisis de regresión: Variable dependiente: es la variable cuyo comportamiento se va a predecir.Variable independiente(s): es la variable o variables que se utilizarán para predecir el valor de la variable dependiente.


0.6



Si seguimos con el ejemplo, el gerente de mercadeo desea

predecir el comportamiento de las ventas (variable dependiente),

siendo los gastos en publicidad la variable independiente que utilizará

para predecir las ventas.


0.7



La variable dependiente se suele representar con la letra

Y, mientras que las independientes con la letra X.


0.8



Nuestro punto de arranque será el tipo más sencillo de análisis de regresión, donde sólo interviene una variable independiente, a esto se le llama regresión lineal simple. En aquel donde interviene dos o más variables independientes se le llama análisis de regresión múltiple.


0.9



Regresión lineal simple Tiene como objeto estudiar cómo los cambios en una variable X afectan a una variable aleatoria Y, en el caso de existir una relación funcional entre ambas variables que puede ser establecida por una expresión lineal, es decir, su representación gráfica es una línea recta.

Cuando la relación lineal concierne al valor medio o esperado de la variable aleatoria, estamos ante un modelo de regresión lineal simple.


0.10



El punto de partida de este proceso es establecer o plantear un modelo para esa relación.

Tenemos que establecer una forma funcional que desconocemos. Para muchos problemas es razonable asumir un modelo lineal. Sin embargo, debemos estar preparados para abandonar este supuesto, si los datos lo contradicen.


0.11



Para iniciar la explicación del análisis de Regresión Lineal

Simple utilizaremos un ejemplo


0.12



Los analistas financieros consideran que el rendimiento de las obligaciones gubernamentales a largo plazo se constituye en un elemento marcador de la tasa de rendimiento de las obligaciones corporativas a largo plazo. En este sentido los analistas pretende evaluar qué tanta influencia tiene esta variable en los rendimientos de las obligaciones corporativas de largo plazo, para ello utilizan una muestra histórica que abarca los años 1969 a 1991, a través de la cual pretenden determinar como se relaciona la variable dependiente (rendimiento de las obligaciones corporativas de largo plazo) y la variable independiente (obligaciones gubernamentales de largo plazo).

El análisis de regresión les permite plantear una ecuación que muestra esa relación.


0.13


Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleLos datos…

Período

Obligaciones Corporativas a

largo plazo

Obligaciones gubernamentales

a largo plazo1969 -8.09 -5.071970 18.37 12.111971 11.01 13.231972 7.26 5.691973 1.14 -1.111974 -3.04 4.351975 14.64 9.201976 18.65 16.751977 1.71 -0.691978 -0.07 -1.181979 -4.18 -1.231980 -2.62 -3.951981 -0.96 1.861982 43.79 40.361983 4.70 0.651984 16.39 15.481985 30.90 30.971986 19.85 24.531987 -0.27 -2.711988 10.70 9.671989 16.23 18.111990 6.78 6.181991 19.89 19.30

Fuente: De Stocks, Bonds, Bills and Inflation, 1992 Yearbook.


0.14


Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleLos datos…

Veamos el Diagrama de Dispersión

Diagrama de Dispersión

-20.00

-10.00

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

-10.00 0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00

Rendimiento OGLP

Re

nd

imie

nto

OC

LP


0.15



¿Qué nos dice el diagrama de

dispersión o la nube de puntos?


0.16



Nos sugiere que el ajuste es adecuado.

Se evidencia una relación positiva entre ambas

variables, además de que el ajuste lineal luce como

pertinente.


0.17



Diferentes nubes de puntos y modelos de regresión para ellas.


0.18



El modelo de regresión y la ecuación de regresión

La ecuación que describe cómo se relaciona y con x con un término de error se denomina MODELO DE REGRESIÓN:

Y = O + 1 x + Y es una función lineal de X (O + 1 X)

más un término de error. O y 1 son

los parámetros del modelo y es una variable aleatoria.


0.19



¿Qué nos explica el término de

error?


0.20



Explica la variabilidad en Y que no se puede

explicar a través de la relación lineal entre X e Y.


0.21



La ecuación de regresión lineal simple:

E(Y) = O + 1X

Esto será producto de uno de los supuestos del modelo que nos señala que el término de error es una variable aleatoria con media o valor esperado cero.


0.22



En definitiva...Estamos interesados en conocer el valor que toma Y cuando la variable aleatoria X toma un valor específico.

La relación entre las variables no será exacta. Estaríamos interesados en la media o valor esperado.E(Y/ X=x) = o + 1X

Donde o y 1 determinan una línea concreta.

¿Cómo podemos interpretar o y 1?


0.23



o es la ordenada en el origen de la recta (es valor esperado de la variable

dependiente Y, cuando la variable independiente toma el valor 0)

y 1 es la pendiente y nos señala el cambio (incremento/disminución) esperado de Y para un incremento

unitario de X.

E(Y) es el valor esperado o media de y para determinado valor de X

(E(Y/X=Xo)).


0.24



La ecuación estimada de regresión

Cómo los parámetros O y 1 son

desconocidos es necesario estimar los valores de esos parámetros a través de datos muestrales.Los estadísticos bO y b1 que

calcularemos serán los estimadores de O y 1.


0.25



Con esta información podemos indicar que la ecuación estimada de

regresión es la siguiente:

Y = bO + b1 x

Donde:bO es la ordenada en el origen

b1 es la pendiente

Y es el valor estimado de Y para un valor determinado de X

^

^


0.26



Modelo de RegresiónY = O + 1 x +

Ecuación de RegresiónE(Y) = O + 1 x

Parámetros desconocidosO y 1

bO y b1

Arrojan valores estimados de los

Parámetros desconocidosO y 1

Datos de la Muestra

X YX1 Y1

. .

. .

. .Xn Yn

Modelo de Regresión

Y = bO + b1 x

Estadísticos de la muestrabO y b1

^

Resumiendo el procedimiento descrito con anterioridad:


0.27



¿Cuál es el método utilizado para llevar a

cabo la estimación de la recta?


0.28



¿Seríamos capaces de determinar ¿Seríamos capaces de determinar como es exactamente la recta de como es exactamente la recta de

regresión poblacional?regresión poblacional?

Necesitamos obtener una estimación a partir de los datos disponibles.

¿Nos preguntaremos cuál es la recta ¿Nos preguntaremos cuál es la recta que mejor se ajusta a esos datos?que mejor se ajusta a esos datos?

Queremos estimar o y 1


0.29



Podríamos inspeccionar directamente la nube de puntos.

Sin embargo, parece claro que necesitamos un procedimiento

formal.


0.30



Este es:

El MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

ORDINARIOS


0.31



Siguiendo con el ejemplo: Tratamos de estimar a partir de los datos muestrales, la recta poblacional.

X1= rendimiento de las obligaciones gubernamentales a largo plazo.

bo= ordenada en el origen de la línea estimada de regresión.

b1= pendiente de la línea estimada de regresión

yi = valor estimado de los rendimientos de las obligaciones corporativas a largo plazo.

Y = bO + b1 x ^


0.32



¿Qué criterio sigue el Método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios?

Utilizando los datos de la muestra determina los valores bo y b1, tal que se minimicen la SUMA DE LOS CUADRADOS DE LAS DESVIACIONES entre los valores observados de la variable dependiente yi, y los valores estimados de la variable dependiente yi.^


0.33



Este criterio se puede expresar de la siguiente manera:

MIN (Yi – Yi)2

Donde:Yi = valor observado de la variable dependiente para la i-ésima observaciónYi = valor estimado de la variable dependiente para la i-ésima observación.

^

^


0.34



Gráficamente

Xi, Yi

Y = a +bx

Error i=Yi-(a+bXi)


0.35



Utilizando el cálculo diferencial se pueden Utilizando el cálculo diferencial se pueden derivar los valores de bo y b1 que minimizan la derivar los valores de bo y b1 que minimizan la

expresión señalada en láminas precedentes:expresión señalada en láminas precedentes:

1 01

^^


0.36


Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleHaciendo los cálculos para el ejemplo:

Período

Obligaciones Corporativas a

largo plazo

Obligaciones gubernamentales

a largo plazo (X-Ux)^2 (x-Ux) (y-Uy)

1969 -8.09 -5.07 204.75 254.361970 18.37 12.11 8.24 24.931971 11.01 13.23 15.93 5.281972 7.26 5.69 12.60 8.611973 1.14 -1.11 107.10 88.441974 -3.04 4.35 23.90 62.221975 14.64 9.20 0.00 -0.191976 18.65 16.75 56.41 67.331977 1.71 -0.69 98.59 79.201978 -0.07 -1.18 108.56 101.651979 -4.18 -1.23 109.60 145.171980 -2.62 -3.95 173.95 162.311981 -0.96 1.86 54.45 78.561982 43.79 40.36 968.51 1061.341983 4.70 0.65 73.77 42.831984 16.39 15.48 38.95 41.841985 30.90 30.97 472.23 461.001986 19.85 24.53 233.81 155.421987 -0.27 -2.71 142.78 118.971988 10.70 9.67 0.19 0.441989 16.23 18.11 78.69 58.051990 6.78 6.18 9.36 8.891991 19.89 19.30 101.22 102.66

Fuente: De Stocks, Bonds, Bills and Inflation, 1992 Yearbook. 3093.60 3129.28 Sumas

Promedio de y 9.69Promedio de X 9.24

bo 0.3404b1 3129.28 3093.60 1.011533198

Numerador Denominador


0.37


Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleUsando el ExcelUsando el Excel

SUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsMultiple R 0.965373184R Square 0.931945385Adjusted R Square 0.928704689Standard Error 3.317694211Observations 23

ANOVAdf SS MS F Significance F

Regression 1 3165.372955 3165.373 287.5757 9.87649E-14Residual 21 231.1489924 11.007095Total 22 3396.521948

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Lower 95.0% Upper 95.0%Intercept 0.340399798 0.88447 0.384863 0.704209 -1.498956579 2.179756 -1.49895658 2.179756174X Variable 1 1.011533198 0.059649122 16.958057 9.88E-14 0.887486038 1.13558 0.887486038 1.135580359


0.38



Gráficamente, veamos el ajusteGráficamente, veamos el ajuste

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-10 0 10 20 30 40 50

rendimiento OGLP

ren

dim

ien

to O

CL

P

Predicción

Real


0.39



La ecuación estimada para el ejemplo Y:

Y = 0,340399798 + 1.011533198XEsta ecuación estimada la podemos utilizar para predecir el rendimiento de las obligaciones corporativas a largo plazo, si el rendimiento de las obligaciones gubernamentales a largo plazo fuera el 3%.

En este caso sería:

Y = 0,340399798 + 1,011533198 (3)= 3,374999%

^

^


0.40



¿Cómo evaluamos la calidad de estimación

de esta recta?


0.41



Para responder esta pregunta, lo primero que tenemos que saber es que la

desviación entre el valor observado de la variable dependiente, yi, y el valor

estimado de la variable dependiente, yi, se llama i-ésimo RESIDUAL.

Estos valores representan el error que se comete por utilizar yi estimado para

estimar yi. Estamos hablando de yi-yi.

^

^^


0.42



La suma de los cuadrados de esos errores es la cantidad que minimiza el método de los mínimos cuadrados ordinarios. Esta cantidad también se le llama SSE= (siglas en inglés de la suma del cuadrado de los errores):

SSE= (yi-yi)2^


0.43



En el ejemplo que utilizamos:

Para el año 1969, el rendimiento de las obligaciones gubernamentales a LP es de –5,07 (X), mientras que el rendimiento de las obligaciones de las corporaciones a LP es de –8,09 (Y). El valor estimado para ese año es –4,7880, siendo el residual -3,30192, y su cuadrado 10,90271.

^


0.44






SSE

El producto que arroja el Excel nos proporciona:


0.45


Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleEl producto que arroja el Excel nos proporciona:

RESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted Y Residuals1 -4.788073518 -3.3019264822 12.59006683 5.779933173 13.72298401 -2.7129840124 6.096023696 1.1639763045 -0.782402052 1.9224020526 4.740569211 -7.7805692117 9.646505223 4.9934947778 17.28358087 1.366419139 -0.357558109 2.067558109

10 -0.853209376 0.78320937611 -0.903786036 -3.27621396412 -3.655156336 1.03515633613 2.221851547 -3.18185154714 41.16587968 2.62412031715 0.997896377 3.70210362316 15.99893371 0.39106629217 31.66758295 -0.76758295118 25.15330915 -5.30330915319 -2.40085517 2.1308551720 10.12192583 0.57807417421 18.65926602 -2.4292660222 6.591674964 0.18832503623 19.86299053 0.027009474


0.46



Otros cálculos que tenemos que llevar a cabo, involucran otras sumas de cuadrados.

El primero de ellos, tiene que ver con la diferencia entre el valor observado de Y y su valor promedio.

Esta suma de cuadrados se denomina como SST (cifras en inglés de suma total de cuadrados)

SST = (yi-yi)2

También tenemos que realizar un cálculo similar utilizando el valor estimado de Yi. En este caso, este se denominará SSR (cifras en inglés de la suma de los cuadrados de la regresión):

SSR = (yi-yi)2^


0.47


Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleGráficamente:

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-10 0 10 20 30 40 50

rendimiento OGLP

rend

imie

nto

OC

LP

Predicción

Real

Promedio Y

ResidualYi-y

Yi-y^


0.48



Con toda la información anterior podemos establecer una relación entre

las tres sumas de cuadrados:

SST = SSR + SSE

SST= suma total de cuadrados.

SSR= suma de cuadrados debida a la regresión.

SSE= suma de cuadrados debida al error.


0.49



A partir de esta relación podemos calcular un indicador de la bondad de ajuste para la ecuación de la regresión: COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN.

R2 = SSR

SST


0.50



También lo puedo expresar de la siguiente forma:

R2 = 1- (SSE/SST)

Este es la proporción de variabilidad de la variable dependiente explicada por su relación lineal con la variable independiente.


0.51



El COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN se ubica entre

cero y uno.

Un coeficiente de determinación cercano a cero señala ajustes menos adecuados, mientras que cercanos a uno muestra un ajuste de calidad.


0.52



El COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN para el ejemplo:

SUMMARY OUTPUT


Coeficiente de

correlación


0.53



El COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN para el ejemplo:

ANOVA

df SS MS F Significance FRegression 1 3165.372955 3165.372955 287.5757 9.87649E-14Residual 21 231.1489924 11.00709487Total 22 3396.521948


0.54



¿Cómo interpretamos al Coeficiente de Determinación?

El 93,1945 % de la variación en los rendimientos de las obligaciones corporativas de LP se puede explicar por el rendimiento de las obligaciones gubernamentales de LP.


0.55



Relación entre el coeficiente de correlación y el coeficiente de

determinación:

r x,y = (signo de b1) * R2


0.56



Pruebas de Significancia

Estimado de 2

A partir de los supuestos del modelo, podemos concluir que la varianza del término de error, , también representa la varianza de los valores de y respecto a la línea de regresión. Esta diferencia, la habíamos definido antes como RESIDUALES.

Por ende SSE, es una medida de la variabilidad de las observaciones reales respecto a la línea de regresión.


0.57



Pruebas de Significancia

Estimado de 2

El estimado de 2 (S2) está relacionado con esa suma de

cuadrados de la siguiente manera:

S2 = SSE/n-2


0.58


Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleEn la hoja de calculo la

identificamos:

SUMMARY OUTPUT



0.59



Prueba t

Si X e Y tienen relación lineal, debe suceder que 1 0. Necesitamos entonces una prueba

que nos permita verificar si esta afirmación es válida.

Ho: 1 = 0

H1: 1 0

Si se rechaza Ho, podríamos señalar que existe una relación estadísticamente significativa entre las dos variables.


0.60



Las propiedades de b1, es decir, el estimador de 1 por el

método de los mínimos cuadrados ordinarios, son la base de esta prueba de hipótesis.

Debe quedar claro que bo y b1, son estadístico de la muestra que tienen sus propias distribuciones muestrales.

Distribución muestral de b1.

Valor esperado E(b1) = 1

Desviación estándar :

Sb1 = S

Xi2 –( Xi)2 /n

Forma de la distribución: Normal

Como no conocemos


0.61



Intervalos de confianza para la pendiente Intervalos de confianza para la pendiente de la recta de regresiónde la recta de regresión

Un intervalo de confianza de 100(1-)% para la pendiente de la recta de regresión poblacional es el siguiente:

b – (t n-2, /2) Sb1 < 1 < b + (t n-2, /2) Sb1

Por su parte, el contraste bilateral correspondiente será:

Ho: 1 = o

H1: 1 o

Regla de Decisión:Rechazar Ho si [(b1-o) /Sb] > t n-2,

Rechazar Ho si [(b1-o) /Sb] < - t n-2,


0.62



Realice el contraste Realice el contraste para el ejemplo que para el ejemplo que venimos trabajandovenimos trabajando

Use un Use un =0,05 =0,05


0.63



Ejemplo:Ejemplo:

Coefficients Standard Error t StatIntercept 0.340399798 0.88447 0.384863023X Variable 1 1.011533198 0.059649122 16.95805693

Observe estos valores

Qué concluye


0.64



Obtenga los Obtenga los intervalos de intervalos de

confianza (95%)confianza (95%)


0.65



Ejemplo:Ejemplo:

Observe estos valores

Qué concluye

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 0.340399798 0.88447 0.384863023 0.704209 -1.498956579 2.179756X Variable 1 1.0115 0.059649122 16.95805693 9.88E-14 0.887486038 1.13558


0.66


Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleLos contrastes unilaterales serán los siguientes:

Ho: 1 = 0 o Ho: 1 0

H1: 1 > 0

Regla de Decisión:

Rechazar Ho si [(b-1) /Sb1] > t n-2,

Ho 1= 0 o Ho: 1 0

H1: 1 < 0

Regla de Decisión:

Rechazar Ho si [(b-o) /Sb1] < -tn-2,


0.67


¿Qué es la prueba F?

Es una prueba que también nos permite probar si la regresión es significativa. Para ello utiliza la Distribución F de probabilidades.Esta prueba será de mayor utilidad en el caso de la regresión múltiple, ya que en el caso de la regresión lineal simple sólo existe una variable independiente.



0.68


La lógica que está detrás de esta prueba es la determinación de dos estimados independientes de 2. Una de las formas de estimar 2 involucraba a la SSE dividida entre n-2 grados de libertad.

Otra forma sería involucrar a la SSR con sus respectivos grados de libertad, que en este caso vienen representados por el número de variables independientes (En este caso 1, excluyendo al término independiente)



0.69



Sólo para recordar

Estimado de 2

El estimado de 2 (S2) está relacionado con esa suma de

cuadrados de la siguiente manera:

S2 = SSE/n-2


0.70



A continuación presentamos el Contraste:

Ho: 1 = 0

H1: 1 0

Estadístico experimental:

SSR

Número de Variables independientes

SSE

n-2

F =Numerador

Denominador


0.71



Regla de rechazo:

Rechazar Ho, si F > F

Donde F, se basa en una distribución F con 1 grado de libertad en el numerador (EN ESTE CASO) y n-2 grados de libertad en el denominador.


0.72



Apliquemos, la prueba al ejemplo que venimos

trabajando.

Así aprendemos a usar la tabla correspondiente...


0.73



En la hoja de calculo la identificamos:



¿Qué es esto?

¿y esto?

¿y esto?


0.74



Estimaciones

Una vez que se ha obtenido una relación estadísticamente significativa entre X e Y, y el ajuste que proporciona la regresión parece bueno...podríamos usar la ecuación estimada para hacer predicciones.


0.75



Estimación PuntualA partir de la recta de regresión estimada en este caso la siguiente:

Y = 0,340399798 + 1.011533198X

Podemos determinar el valor puntual de y estimado para un determinado valor de X, es decir, podemos predecir el rendimiento de las obligaciones corporativas a LP, para un rendimiento de las obligaciones gubernamentales a LP.

^


0.76


Análisis de Análisis de Regresión Regresión Múltiple.Múltiple.


0.77


El Modelo de Regresión Múltiple

Hasta ahora habíamos estudiado el comportamiento de una única variable independiente para explicar el comportamiento de una variable dependiente.

Regresión MúltipleRegresión Múltiple


0.78



A partir de ahora el objetivo sigue siendo el mismo, construir un modelo que explique lo mejor posible la variabilidad de una variable dependiente. Sin embargo, ahora admitimos la posibilidad de que hayan diversas variables independientes (múltiples influencias).



0.79



y = o+ 1X1+ 2X2+ 3X3+...+nXn+

o,1,2,3,....,n son los parámetros y es una variable

aleatoria.

El modelo tal y como está planteado señala que “y” es una función lineal de X1,X2, ...Xn.

El término explica la variabilidad en Y que no puede explicar el efecto lineal de las n variables independientes.



0.80


La ecuación de regresión múltiple

E(y) = o+ 1X1+ 2X2+ 3X3+...+nXn

La ecuación estimada de regresión múltiple

Y = bo+ b1X1+ b2X2+ b3X3+...+bnXn

Donde: b0, b1, ...bn son los parámetros

estimados de los betas, e Y es el valor estimado de la variable dependiente.


^

^


0.81


Para estimar esta ecuación utilizaremos el método de los mínimos cuadrados.

Este método como vimos en regresión simple, hace que la suma de los residuos elevados al cuadrado, es decir, las desviaciones entre los valores observados de la variable dependiente y los valores estimados sea mínima.



0.82


La deducción de las fórmulas de los distintos parámetros

estimados requiere álgebra matricial, lo cual sale de los

propósitos del curso.



0.83


Para explicar el análisis de regresión

múltiple utilizaremos el siguiente ejemplo:

Los datos que se presentan a continuación están referidos a entidades de ahorro y crédito en los Estados Unidos en los últimos 25 años. Un grupo de analistas financieros de este sector está interesado en establecer una posible relación entre el margen de beneficio porcentual obtenido por estas instituciones y el número de oficinas y los ingresos netos por dólar depositado.



0.84


Los datos:Regresión MúltipleRegresión Múltiple

Año

Margen de beneficio

porcentual de las entidades de

ahorro y préstamoIngresos Netos por dólar depósitado

Número de oficinas

1 0.75 3.92 72982 0.71 3.61 68553 0.66 3.32 66364 0.61 3.07 65065 0.7 3.06 64506 0.72 3.11 64027 0.77 3.21 63688 0.74 3.26 63409 0.9 3.42 634910 0.82 3.42 635211 0.75 3.45 636112 0.77 3.58 636913 0.78 3.66 654614 0.84 3.78 667215 0.79 3.82 689016 0.7 3.97 711517 0.68 4.07 732718 0.72 4.25 754619 0.55 4.41 793120 0.63 4.49 809721 0.56 4.7 846822 0.41 4.58 871723 0.51 4.69 899124 0.47 4.71 917925 0.32 4.78 9318


0.85


Lo primero que

haremos será obtener la regresión estimada...



0.86


¿Cómo lo hacemos?

Vaya al comando análisis, luego presione regresión y aparecerá una ventana…trabajemos con ella…



0.87


Detengámonos por un momento a

analizar la cuarta tabla obtenida en el reporte...La tabla relacionada con los

coeficientes


Coefficientsa

1.564 .079 19.705 .000 1.400 1.729

.237 .056 .987 4.269 .000 .122 .352

-2.49E-04 .000 -1.797 -7.772 .000 .000 .000

(Constant)

INGRESOS

OFICINAS

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

Standardized

Coefficients

t Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval for B

Dependent Variable: MARGENa.


0.88


Tenemos que preguntarnos como se

interpreta estos coeficientes:

Estos coeficientes estimados de las betas se interpretan con el impacto (positivo o negativo) que se espera en la variable dependiente, al incrementar la variable Xi respectiva en una unidad, MIENTRAS EL RESTO DE LAS VARIABLES PERMANECEN CONSTANTES.



0.89


En el ejercicio que estamos trabajando:

El coeficiente correspondiente a X1, es decir, b1, señala que al incrementar en una unidad los ingresos netos (en 1$) se produciría un aumento de 0.237 en el margen porcentual de beneficio de las entidades de ahorro y crédito, siempre que el número de oficinas permanezca constante.



0.90



El coeficiente correspondiente a X2, es decir, b2, indica que manteniendo los ingresos netos fijos, un incremento de una oficina de ahorro y crédito, produciría una reducción esperada en el margen porcentual de beneficio de 0,000249.



0.91


Estos coeficientes reciben el nombre de COEFICIENTES DE

REGRESIÓN PARCIAL. Las razones por lo cual reciben este

nombre tiene que ver con que los mismos proporcionan medidas separadas de influencias de las variables independientes en la

variable dependiente.



0.92


La capacidad explicativa de una ecuación de regresión múltiple.

Recordemos lo que habíamos visto para la regresión lineal simple:

SST = SSR + SSE

Variabilidad Total de la muestra = Variabilidad explicada + Variabilidad

No explicada



0.93


La capacidad explicativa de una ecuación de regresión múltiple.

Aplicando el mismo concepto tenemos que el Coeficiente de Determinación Múltiple:

R2 = SSR/SST = 1- (SSE/SST)0 R2 1



0.94



Model Summaryb

.930a .865 .853 5.330E-02Model1

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

Predictors: (Constant), OFICINAS, INGRESOSa.

Dependent Variable: MARGENb.

Verifiquemos este valor en los resultados obtenidos, busquen la tabla No.2 del reporte

Este resultado señala que en esta muestra, el 86,5% de la variabilidad en los márgenes de beneficio de las EAYC, se explica por su asociación lineal con los ingresos netos y

el número de oficinas


0.95



Todavía en esta tabla nos falta por identificar dos valores...

Model Summaryb

.930a .865 .853 5.330E-02Model1






0.96



Empecemos con el error estándar de la estimación, como vimos en REGRESIÓN LINEAL SIMPLE éste tiene que ver con la estimación de la varianza del error.

S2 = SSE n-K-1

Donde K es el número de variables independientes, excluyendo el intercepto.


0.97



¿Qué pasa con el otro valor?

El llamado Coeficiente de Determinación Ajustado o

Corregido.

¿Para qué sirve?


0.98



La utilidad principal del coeficiente de

determinación, R2, es como estadístico descriptivo del

éxito de las variables independientes, para

explicar el comportamiento de la variable dependiente.


0.99



Su uso puede criticarse, cuando el número de variables explicativas no

es una porción pequeña de n (número de observaciones).

En efecto cuando esto sucede, el modelo podría sugerir que se ajusta bien a los datos, y sin embargo las variables independientes, no tienen

un vínculo fuerte con la variable dependiente.


0.100



Aquí surge la necesidad de tener un indicador que me indique la vinculación entre las variables independientes y la

dependiente de una manera más adecuada, es decir, una medida

modificada de la fuerza de la relación de la regresión.

Se está tratando de incluir una compensación por la inclusión en el

modelo de más variables independientes (relevantes o no).


0.101



Para ello utilizamos el llamado Coeficiente de Determinación Ajustado o Corregido: R2 = 1

En nuestro ejercicio este valor es 0.853. Es muy parecido al Coeficiente de Determinación.En este caso particular, el ajuste es muy pequeño, debido que el número de variables independientes es un número pequeño en relación con el tamaño de la muestra.

SSE/(n-k-1)

SST/(n-1)


0.102



Otro aspecto que tenemos que evaluar se encuentra en la tabla No.2

Model Summaryb

.930a .865 .853 5.330E-02Model1





Este es el coeficiente de Correlación Múltiple y nos proporciona una medida de la potencia total de la regresión, recuerden que es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación


0.103



Intervalos de Confianza y Contrastes de hipótesis para parámetros individuales de la

regresión

Como ya habíamos dicho en regresión simple, estos

estadísticos tendrán validez si se mantienen los supuestos del

modelo...


0.104



Intervalos de Confianza para los coeficientes de regresión parcial

Si se cumplen los supuestos asumidos por el modelo, los intervalos de confianza del 100(1-)% para los coeficientes de regresión parcial son de la forma:

bi – (t n-K-1;/2) Sbi < i < bi + (t n-K-1;/2) Sbi

La variable t n-K-1 tiene una distribución t de

student con n-k-1 grados de libertad


0.105



Verifiquemos en los productos arrojados por el programa

Coefficientsa

1.564 .079 19.705 .000 1.400 1.729

.237 .056 .987 4.269 .000 .122 .352

-2.49E-04 .000 -1.797 -7.772 .000 .000 .000

(Constant)

INGRESOS

OFICINAS

Model1

B Std. Error


Beta

Standardized

Coefficients




Están calculados para el 95% de confianza


0.106


Regresión MúltipleRegresión MúltipleInterpretación de los intervalos de

confianza:

Para 1El intervalo de confianza del 95% para el incremento esperado de los márgenes de beneficios resultante de un aumento en los ingresos netos, DADO UN NÚMERO FIJO DE OFICINAS, va desde 0.122 a 0.352.


0.107



Interpretación de los intervalos de confianza:

Para 2

El intervalo de confianza del 95% para la reducción esperada en los márgenes de beneficios resultante de un aumento en mil oficinas, para un nivel fijo de ingresos netos va desde 0,1826 a 0,3155.


0.108


Regresión MúltipleRegresión MúltipleContrastes de Hipótesis sobre los coeficientes de regresión parcial.

Contraste Bilateral:

Ho: i = i0

H1: i i0

Regla de Decisión:

Rechazar Ho si [(bi-io) /Sbi] > t n-k-1, /2

Rechazar Ho si [(bi-io) /Sbi] < - t n-k-1, /2

Ud. puede derivar el resto de los contrastes


0.109



Un caso especial es aquel en que el valor que se quiere contrastar para un parámetro

es cero.

Con esta conjetura Ud. estaría señalando que el valor esperado de la variable dependiente no se verá afectado por un cambio en la correspondiente variable independiente.Recuerden lo que les había mencionado en regresión simple con respecto a los signos

esperados.


0.110



Esto implicaría que la si el resto de las variables explicativas va a ser utilizado en el modelo, la que se

esta considerando, por ejemplo X1, no aporta nueva información, en un

contexto lineal, para explicar el comportamiento de la variable

dependiente.


0.111




Una conjetura válida para el coeficiente vinculado al incremento en los ingresos netos

provoque un aumento de los márgenes de beneficio. Por ello, la hipótesis que estaríamos

interesados en contrastar sería la siguiente:

Ho: 1 = 0

H1: 1 >0

Regla de Decisión:

Rechazar Ho si [(b1-0) /Sb1] > t n-k-1,


0.112



En el ejercicio que estamos trabajando:Regla de Decisión:

[(b1-0) /Sb1]={(0,237-0)/ 0,055} =4,27

t n-k-1, =t 22;0,05 = 2,819

Por ende, se rechaza Ho, es decir, rechazamos la hipótesis nula de que los ingresos netos no contribuyen a

la explicación del comportamiento de los márgenes de beneficio, dado que el número de oficinas se utiliza

también como variable explicativa.


0.113



Veamos que nos proporciona el programa

Coefficientsa

1.564 .079 19.705 .000 1.400 1.729

.237 .056 .987 4.269 .000 .122 .352

-2.49E-04 .000 -1.797 -7.772 .000 -.0003155 -.00018261

(Constant)

INGRESOS

OFICINAS

Model1

B Std. Error


Beta

Standardized

Coefficients




¿Qué significa esto?


0.114



RECUERDEN LA HIPÓTESIS QUE

PLANTEA EL PROGRAMA ES LA

BILATERAL…


0.115


Regresión MúltipleRegresión MúltipleEn el ejercicio que estamos trabajando, también podríamos plantear la siguiente

conjetura:

Otra conjetura que podríamos hacer está relacionada con que

si todo lo demás permanece constante, un incremento en el

número de oficinas debería provocar una caída en el margen

de beneficio (al aumentar la competencia)

En este caso, lo que estaríamos contrastando sería lo

siguiente:

Ho: 2 = 0

H1: 2 <0

Regla de Decisión:

Rechazar Ho si [(b1-0) /Sb1] < t n-k-1,


0.116


Regresión MúltipleRegresión MúltipleHo: 2 = 0

H1: 2 <0

Regla de Decisión:

Rechazar Ho si [(b1-0) /Sb1] < t n-k-1,

b2-0/Sb2 = -0,000249-0/0,000032 = -7.78

Si se compara este valor con el T teórico =

-2,819, vemos que rechazamos Ho, con lo cual estaríamos señalando que el número de oficinas

si contribuye a explicar el comportamiento de los márgenes de beneficios, suponiendo que los

ingresos netos también son utilizados como variable explicativa.


0.117


Regresión MúltipleRegresión MúltipleUn contraste sobre todos los parámetros de la regresión

Ho:1=2=....=n = 0H1: al menos un i0Se rechaza Ho si:

SSR/k > Fk,n-k-1,

SSE/(n-k-1)

y la variable Fk,n-k-1,

Sigue una distribución F con K grados de libertad en el numerador y (n-k-1) en el denominador.


0.118



El contraste anterior puede basarse directamente en R2,

dado que: SSR/K = n-k-1 R2 SSE/(n-k-1) K 1- R2


0.119



ANOVAb

.402 2 .201 70.661 .000a

6.250E-02 22 2.841E-03

.464 24

Regression

Residual

Total

Model1

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.



Realicemos este contraste para el ejercicio que venimos trabajando

¿Qué concluye al respecto?


0.120



Se rechaza la hipótesis nula tanto al 1% como al 5% de significancia. Con ello,

estamos señalando que tanto los ingresos netos y el número de oficinas

tienen una influencia lineal en el margen porcentual de beneficios de las entidades

de ahorro y crédito.

Este contraste, será de mucha importancia para detectar problemas de multicolinealidad en Econometria.

Regresion Ucv Econometria i

Documents

Transcript of Regresion Ucv Econometria i