INCERTIDUMBRE CENAM

7/21/2019 INCERTIDUMBRE CENAM

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Gua para estimar la incertidumbre de la medicin / CENAM / WSchmid y RLazos / Mayo 2000 1 / 27

CENTRO NACIONAL DE METROLOGA

GUA PARA ESTIMAR LA

INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIN

Wolfgang A. Schmid y Ruben J. Lazos Martnez

El Marqus, Qro., Mxico, mayo de 2000.

NOTA.ESTE DOCUMENTO SE HA ELABORADO CON RECURSOS DEL GOBIERNO FEDERAL.SLO SE PERMITE SU REPRODUCCIN SIN FINES DE LUCRO Y HACIENDO REFERENCIA A LAFUENTE:W. Schmid y R. Lazos, Gua para Estimar la Incertidumbre de la Medicin, Centro Nacional de Metrologa, , Mxico, mayo 2000.


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PREFACIOEsta Gua tiene el propsito de unificar criterios en la estimacin de las

incertidumbres de las mediciones y est dirigido a los metrlogos del CENAM,en primera instancia, y a los responsables de estimar incertidumbres de medicinen laboratorios de calibracin, laboratorios de pruebas, laboratorios industriales ytodos aquellos interesados en el tema.

La necesidad de este documento tiene su origen en las diversas interpretacionesde Guide to the expression of Uncertainty in Measurement, [1] (GUM), dentro yfuera del CENAM que han dado lugar a confusin, y a veces conflicto, entre sususuarios.

Esta Gua observa los lineamientos establecidos en la GUM, sin embargo nopretende sustituirla como referencia maestra, por lo que se invita al usuario aconsultarla en caso de duda. Se reconoce que la GUM, y por lo tanto esta Gua,adolecen de debilidades todava no resueltas formalmente aun en el mbito

internacional. Sin embargo, por el momento no se encuentran otras opcionesgeneralmente aceptadas.

Se ha procurado que el contenido de esta Gua sea tcnicamente correcto, desdelos puntos de vista matemtico y metrolgico, dentro de los lmites de la GUM,aunque no se asegura que puedan resolverse nicamente con ella todas las dudassobre la estimacin de incertidumbres, por lo que puede ser necesaria la consultade otros documentos ms especficos. Esta Gua se apega estrictamente a lasdefiniciones dadas en el Vocabulario Internacional de Metrologa, [2] (VIM),considerando el propsito de unificacin de criterios.

Varios metrlogos del CENAM han desarrollado ejemplos siguiendo estedocumento, los cuales estn disponibles en publicaciones por separado.

Esta Gua refleja los resultados de un grupo de trabajo sobre incertidumbres en elCENAM, obtenidos despus de aproximadamente dos aos de trabajo. Duranteeste tiempo, han contribuido de manera sistemtica en algn momento:M.C. Roberto Arias Romero, Dr. Carlos David Avils Castro, M.C. Luis OmarBecerra Santiago, Dr. Ren Carranza Lpez Padilla, Dr. Ismael CastelazoSinencio, M.C. Alfredo Esparza Ramrez, M.C. Rubn J. Lazos Martnez. M.C.Carlos Matamoros Garca, Ing. Vctor Martnez Fuentes, M.C. Alejandro PrezCastorena, Dra. Delia Quintana Zavala, M.C. Daniel Ramrez Ahedo, Dr.Wolfgang Schmid, M.C. Guillermo Silva Pineda, M.C. Jaime Valencia Rodrguezy Dr. Miguel R. Viliesid Alonso.

Debe mencionarse el inapreciable valor de las numerosas opiniones de otros

colegas del CENAM y de otros estudiosos de la metrologa, cuyos conceptosseguramente estn incluidos en esta Gua, pero cuya falta de trazabilidad ntida nopermite distinguir a sus autores claramente.

La elaboracin de este documento estuvo a cargo de W. Schmid y de R. Lazosquienes agradecen los valiosos comentarios recibidos.

El Marqus, Qro., abril de 2000.


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GUA PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIN

NDICE : Pgina

1. Propsitos de la Gua 4

2. El Mensurando 4

3. Modelo Fsico 5

4. Modelo Matemtico 6

5. Identificacin de las fuentes de incertidumbre 7

6. Cuantificacin 7

7. Reduccin 11

8. Combinacin 12

9. Correlacin 15

10. Incertidumbre expandida 16

11. Diagrama para la estimacin de incertidumbres de medicin 21

12. Referencias 22

Anexos:

A Clculo de la desviacin estndar para distribuciones especficas 23

B Coeficiente de sensibilidad 24

C Ejemplo de formato para guiar la estimacin de la incertidumbre 26


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1. Propsitos de la Gua

Esta Gua

establece, de forma general, lineamientos para estimar incertidumbres de medicin deacuerdo a la GUM [1]1, la cual es considerada como la referencia maestra;

subraya aspectos crticos en la estimacin de las incertidumbres de medicin;

aclara algunos puntos que pueden dar lugar a confusiones;

incluye posibles desviaciones en la aplicacin de la GUM;

establece un esquema para estimar incertidumbres de la medicin.

2. El MensurandoEl propsito de una medicin es determinar el valor de una magnitud, llamada elmensurando, que de acuerdo al VIM [2], es el atributo sujeto a medicin de un fenmeno,cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinadocuantitativamente. La definicin del mensurando es vital para obtener buenos resultados dela medicin. En no pocas ocasiones se mide algo distinto al propsito original.

La imperfeccin natural de la realizacin de las mediciones, hace imposible conocer concerteza absoluta el valor verdadero de una magnitud: Toda medicin lleva implcita unaincertidumbre, que de acuerdo al VIM, es un parmetro que caracteriza la dispersinde los valores que pueden ser atribuidos razonablemente al mensurando.

Una definicin completa del mensurando incluye especificaciones sobre las magnitudes deentrada relevantes.

Por similitud con la GUM, en esta Gua el trmino magnitud de entrada se usa paradenotar tambin magnitudes de influencia.

El resultado de una medicin incluye la mejor estimacin del valor del mensurando y unaestimacin de la incertidumbre sobre ese valor. La incertidumbre se compone decontribuciones de diversas fuentes, algunas de ellas descritas por las magnitudes de entradarespectivas. Algunas contribuciones son inevitables por la definicin del propiomensurando, mientras otras pueden depender del principio de medicin, del mtodo y del

procedimiento seleccionados para la medicin.

Por ejemplo, en la medicin de la longitud de una barra, la temperatura es una magnitudde entrada que afecta directamente al mensurando por expansin o contraccin trmica

del material. Otra magnitud de entrada es la fuerza de contacto, presente cuando se usaninstrumentos que requieren contacto mecnico como los tornillos micromtricos,

calibradores vernier, etc.

Tambin pueden influir en el resultado de la medicin, y por lo tanto en la incertidumbre,algunos atributos no cuantificables en cuyo caso es siempre recomendable reducir en lo

1Los nmeros indicados entre corchetes indican el nmero de la referencia en la seccin 12.


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posible sus efectos, preferentemente haciendo uso de criterios de aceptacin en lasactividades tendientes a reducir tales efectos.

Por ejemplo, la limpieza de las masas es un aspecto crtico en la calibracin de masas de

alta exactitud, lo cual obliga a observar estrictamente criterios para limpiarlasapropiadamente.

El principio de medicin es el fundamento cientfico usado para realizar una medicin. Elconocimiento del principio de medicin permite al metrlogo dominar la medicin, esto es,modificarla, disear otra, evaluar su conveniencia, etc., adems es indispensable paraestimar la incertidumbre de la medicin.

El mtodo de medicin y el procedimiento de medicin son descripciones de la manera dellevar a cabo la medicin, la primera genrica, la segunda especfica.

El principio, el mtodo y el procedimiento de medicin son determinantes en el valor de laincertidumbre de la medicin. Un conocimiento insuficiente de ellos muy probablementeconducir a una estimacin equivocada, o incompleta en el mejor de los casos, de laincertidumbre de la medicin.

Para la aplicacin de este documento se supondr que el principio, el mtodo y elprocedimiento han sido previamente determinados.

La definicin del mensurando usualmente alude, casi siempre de manera implcita, a unaestimacin de la incertidumbre que se requiere. Es notable el alto riesgo que se correcuando la definicin del mensurando no es acorde con la estimacin de la incertidumbrerequerida.

Por ejemplo, si se manifiesta al mensurando simplemente como el dimetro de una monedade un peso, la incertidumbre requerida es mayor que cuando el mensurando se determina

como el dimetro del crculo que circunscribe la moneda.

3. Modelo fsico

Pretender estudiar el proceso de medicin de manera exacta y completa est usualmentefuera de las actividades rutinarias del metrlogo, ms an, es el propsito de la

investigacin cientfica, cuya solucin pocas veces se vislumbra. Por lo tanto, es necesariala simplificacin del fenmeno o de la situacin real conservando las caractersticas msrelevantes para el propsito pretendido, mediante la construccin de un modelo para lamedicin.

Un modelo fsico de la medicin consiste en el conjunto de suposiciones sobre el propiomensurando y las variables fsicas o qumicas relevantes para la medicin. Estassuposiciones usualmente incluyen:

a) relaciones fenomenolgicas entre variables;


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b) consideraciones sobre el fenmeno como conservacin de cantidades, comportamientotemporal, comportamiento espacial, simetras;

c) consideraciones sobre propiedades de la sustancia como homogeneidad e isotropa.

Una medicin fsica, por simple que sea, tiene asociado un modelo que slo aproxima elproceso real.

Por ejemplo, la medicin de viscosidad con viscosmetros capilares usa un modelo que

supone un capilar con longitud infinita, de dimetro constante y que la temperatura es

absolutamente uniforme y constante en todos los puntos del viscosmetro.

4. Modelo matemtico

El modelo fsico se representa por un modelo descrito con lenguaje matemtico. El modelomatemtico supone aproximaciones originadas por la representacin imperfecta o limitadade las relaciones entre las variables involucradas.

Considerando a la medicin como un proceso, se identifican magnitudes de entradadenotadas por el conjunto

{Xi}

expresin en la cual el ndice itoma valores entre 1 y el nmero de magnitudes de entradaN.

La relacin entre las magnitudes de entrada y el mensurando Ycomo la magnitud de salida

se representa como una funcinY = f({Xi})= f(X1, X2, ... , XN) (4.1)

representada por una tabla de valores correspondientes, una grfica o una ecuacin, en cuyocaso y para los fines de este documento se har referencia a una relacin funcional.

Por ejemplo, la viscosidad es proporcional al tiempo de flujo por un viscosmetro capilarcomo relacin funcional, en contraste al desconocimiento de su relacin funcional con la

temperatura.

Aunque para el propsito de este trabajo se considerar Ycomo un escalar, puede aplicarseel mismo formalismo para elementos matemticos ms complejos como vectores omatrices.

En este trabajo se denota conxial mejor estimado de las magnitudes de entradaXi.

Los valores de las magnitudes de entrada pueden ser resultados de mediciones recientesrealizadas por el usuario o tomados de fuentes como certificados, literatura, manuales, etc.

El mejor estimado del valor del mensurando es el resultado de calcular el valor de lafuncinfevaluada en el mejor estimado de cada magnitud de entrada,

( )Nxxxfy ,..., 21= (4.2)


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En algunas ocasiones se toma el mejor estimado de Ycomo el promedio de varios valoresyjdel mensurando obtenidos a partir de diversos conjuntos de valores {Xi}jde las magnitudesde entrada [1, Sec. 4.1.4].

5. Identificacin de las fuentes de incertidumbre

Una vez determinados el mensurando, el principio, el mtodo y el procedimiento demedicin, se identifican las posibles fuentes de incertidumbre.

stas provienen de los diversos factores involucrados en la medicin, por ejemplo,

los resultados de la calibracin del instrumento;

la incertidumbre del patrn o del material de referencia;

la repetibilidad de las lecturas; la reproducibilidad de las mediciones por cambio de observadores, instrumentos u

otros elementos;

caractersticas del propio instrumento, como resolucin, histresis, deriva, etc.;

variaciones de las condiciones ambientales;

la definicin del propio mensurando;

el modelo particular de la medicin;

variaciones en las magnitudes de influencia.

No es recomendable desechar alguna de las fuentes de incertidumbre por la suposicin deque es poco significativa sin una cuantificacin previa de su contribucin, comparada conlas dems, apoyada en mediciones. Es preferible la inclusin de un exceso de fuentes queignorar algunas entre las cuales pudiera descartarse alguna importante. No obstante,siempre estarn presentes efectos que la experiencia, conocimientos y actitud crtica delmetrlogo permitirn calificar como irrelevantes despus de las debidas consideraciones.

Por ejemplo, en la calibracin de termmetros de mercurio en vidrio aparece una pequea

contribucin de la temperatura ambiente, pero se considera despreciable aquella

contribucin debida a la radiacin electromagntica en el ambiente.

6. Cuantificacin

En la literatura [1] se distinguen dos mtodos principales para cuantificar las fuentes deincertidumbre: ElMtodo de Evaluacin Tipo Aest basado en un anlisis estadstico de


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una serie de mediciones, mientras el Mtodo de Evaluacin Tipo Bcomprende todas lasdems maneras de estimar la incertidumbre.2

Cabe mencionar que esta clasificacin no significa que exista alguna diferencia en lanaturaleza de los componentes que resultan de cada uno de los dos tipos de evaluacin,

puesto que ambos tipos estn basados en distribuciones de probabilidad. La nicadiferencia es que en las evaluaciones tipo A se estima esta distribucin basndose enmediciones repetidas obtenidas del mismo proceso de medicin mientras en el caso de tipoB se supone una distribucin con base en experiencia o informacin externa al metrlogo.En la prctica esta clasificacin no tiene consecuencia alguna en las etapas para obtener unaestimacin de la incertidumbre combinada.

6.1. Evaluacin tipo A

La incertidumbre de una magnitud de entrada Xi obtenida a partir de observacionesrepetidas bajo condiciones de repetibilidad, se estima con base en la dispersin de losresultados individuales.

SiXise determina por nmediciones independientes, resultando en valores q1, q2, ... , qn ,el mejor estimadoxipara el valor deXies la media de los resultados individuales:

=

==n

j

ji qn

qx1

1 (6.1)

La dispersin de los resultados de la medicin q1, q2, ... , qnpara la magnitud de entradaXise expresa por su desviacin estndar experimental:

=

=n

j

j qqn

qs1

2)(1

1)( (6.2)

La incertidumbre estndar u(xi) de Xi se obtiene finalmente mediante el clculo de ladesviacin estndar experimental de la media:

n

qsqsxu i

)()()( == (6.3)

As que resulta para la incertidumbre estndar deXi:

= =n

k

ki qqnn

xu1

2)(111)( (6.4)

Para una medicin que se realiza por un mtodo bien caracterizado y bajo condicionescontroladas, es razonable suponer que la distribucin (dispersin) de los qjno cambia, o sease mantiene prcticamente igual para mediciones realizadas en diferentes das, por distintos

2Por simplicidad del lenguaje, en este documento se llaman incertidumbres tipo A a aqullas evaluadas conel Mtodo de Evaluacin Tipo A y de manera similar para el tipo B.


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metrlogos, etc. (esto es, la medicin est bajo control estadstico). En este caso estacomponente de la incertidumbre puede ser ms confiablemente estimada con la desviacinestndar sp obtenida de un solo experimento anterior, que con la desviacin estndar

experimentals(q)obtenida por un nmero n de mediciones, casi siempre pequeo, segn laec. (6.2).

La incertidumbre estndar de la media se estima en este caso por:

n

sxu

p

i =)( (6.5)

Cabe mencionar que nes el nmero de mediciones repetidas para evaluar qxi = , segn laec. (6.1), mientrasspse determin por un nmero distinto (y grande) de mediciones.

No se puede dar una recomendacin general para el nmero ideal de las repeticiones n, yaque ste depende de las condiciones y exigencias (meta para la incertidumbre) de cadamedicin especfica. Hay que considerar que:

Aumentar el nmero de repeticiones resulta en una reduccin de la incertidumbre tipoA, la cual es proporcional a n1 .

Un nmero grande de repeticiones aumenta el tiempo de medicin, que puede sercontraproducente, si las condiciones ambientales u otras magnitudes de entrada no semantienen constantes en este tiempo.

En pocos casos se recomienda o se requiere nmayor de 10 (ver Secs. 10.1 y 10.2). Porejemplo cuando se caracterizan instrumentos o patrones, o se hacen mediciones o

calibraciones de alta exactitud. Para determinar el impacto que tiene n en la incertidumbre expandida hay que estimar

su influencia en el nmero de grados efectivos de libertad (ver Sec.10.2 ).

Otras fuentes de incertidumbre que se evalan con este mtodo son la reproducibilidad y lasobtenidas al hacer una regresin lineal.

6.2. Evaluacin tipo B

Las fuentes de incertidumbre tipo B son cuantificadas usando informacin externa uobtenida por experiencia. Estas fuentes de informacin pueden ser:

- Certificados de calibracin.

- Manuales del instrumento de medicin, especificaciones del instrumento.

- Normas o literatura.

- Valores de mediciones anteriores.

- Conocimiento sobre las caractersticas o el comportamiento del sistema de medicin.


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6.3. Distribuciones de probabilidad

La cuantificacin de una fuente de incertidumbre incluye la asignacin de un valor y ladeterminacin de la distribucin a la cual se refiere este valor. Las distribuciones queaparecen ms frecuentemente son:

a) Distribucin normal

Los resultados de una medicin repetida afectada por una o ms magnitudes de influenciaque varan aleatoriamente, generalmente siguen en buena aproximacin una distribucinnormal. Tambin la incertidumbre indicada en certificados de calibracin se refieregeneralmente a una distribucin normal.

b) Distribucin rectangular:

En una distribucin rectangular cada valor en un intervalo dado tiene la mismaprobabilidad, o sea la funcin de densidad de probabilidad es constante en este intervalo.Ejemplos tpicos son la resolucin de un instrumento digital o la informacin tcnica sobretolerancias de un instrumento. En general, cuando exclusivamente hay conocimiento de loslmites superior e inferior del intervalo de variabilidad de la magnitud de entrada, lo msconservador es suponer una distribucin rectangular.

c) Distribucin triangular:

Si adems del conocimiento de los lmites superior e inferior hay evidencia de que laprobabilidad es ms alta para valores en el centro del intervalo y se reduce haca los lmites,puede ser ms adecuado basar la estimacin de la incertidumbre en una distribucintriangular.

Por ejemplo, en un bao termosttico, que se utiliza para medir la densidad de un lquido,

la temperatura puede tener una ligera deriva. Si se mide la temperatura antes y despus de

la medicin de la densidad (resultando en T1y T2), se pude suponer para el momento de la

medicin de la densidad una temperatura de (T1+T2)/2 con una distribucin triangular

entre T1y T2.

d) Otras distribuciones

Pueden encontrarse tambin distribuciones como la U, en la cual los extremos del intervalopresentan los valores con probabilidad mxima, tpicamente cuando hay comportamientososcilatorios subyacentes. Tambin se encuentran distribuciones triangulares con el valormximo en un extremo como en las asociadas a errores de coseno.


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7. Reduccin

Antes de comparar y combinar contribuciones de la incertidumbre que tienen distribuciones

diferentes, es necesario representar los valores de las incertidumbres originales comoincertidumbres estndar. Para ello se determina la desviacin estndar de la distribucinasignada a cada fuente.

a) Distribucin normal:

La desviacin estndar experimental de la media calculada a partir de los resultados de unamedicin repetida segn la ec. (6.4) ya representa la incertidumbre estndar.

Cuando se dispone de valores de una incertidumbre expandida U, como los presentados porejemplo en certificados de calibracin, se divide Uentre el factor de cobertura k, obtenidoya sea directamente o a partir de un nivel de confianza dado (ver Sec.10.1):

k

Uxu i =)( (7.1)

b) Distribucin rectangular:

Si la magnitud de entradaXitiene una distribucin rectangular con el lmite superior a+y ellmite inferior a-, el mejor estimado para el valor deXiest dado por:

xa a

i =++ 2

(7.2)

y la incertidumbre estndar se calcula por (ver Anexo A ):

u xa a

i( ) =+ 12

(7.3)

o por

3

2)(

axu i = (7.4)

donde a/2es el semiancho del intervalo acon

+ = aaa (7.5)

Una aplicacin tpica es la resolucin de un instrumento digital. Tambin la incertidumbrerelacionada con el nmero finito de cifras significativas de datos tomados de la literatura

puede ser tratada con esta distribucin (siempre y cuando no haya indicios que laincertidumbre en realidad es mayor que la incertidumbre relacionada con la ltima cifrasignificativa). Si se aplica a la resolucin o a datos tomados de la literatura, acorrespondeal ltimo dgito significativo o a la ltima cifra significativa respectivamente.


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c) Distribucin triangular:

Como en una distribucin rectangular, para una magnitud de entrada Xi que tiene unadistribucin triangular con los lmites a+y a-, el mejor estimado para el valor de Xiestdado por:

xa a

i =++ 2

(7.6)

La incertidumbre estndar se calcula en este caso por:

6

2

24)(

aaaxu i =

= + (7.7)

con adefinido por la ec. (7.5).

8. Combinacin

El resultado de la combinacin de las contribuciones de todas las fuentes es laincertidumbre estndar combinada uc(y), la cual contiene toda la informacin esencial sobrela incertidumbre del mensurando Y.

La contribucin ui(y) de cada fuente a la incertidumbre combinada depende de laincertidumbre estndar u(xi) de la propia fuente y del impacto de la fuente sobre elmensurando. Es posible encontrar que una pequea variacin de alguna de las magnitudesde influencia tenga un impacto importante en el mensurando, y viceversa.

Se determinaui(y)por el producto de u(xi) y su coeficiente de sensibilidad ci(o factor desensibilidad):

u y c u xi i i( ) ( )= (8.1)

8.1. Coeficiente de sensibilidad

El coeficiente de sensibilidad describe, qu tan sensible es el mensurando con respecto avariaciones de la magnitud de entrada correspondiente (ver Anexo B). Para sudeterminacin existen dos mtodos:

a) Determinacin a partir de una relacin funcional

Si el modelo matemtico para el mensurando Y=f(X1, X2, ... , XN) describe la influenciade la magnitud de entrada Xi suficientemente bien mediante una relacin funcional, elcoeficiente de sensibilidad cise calcula por la derivada parcial defcon respecto aXi :

cf X X

Xi

N

i X x X xN N

== =

( , . . . , )

...

1

1 1

(8.2)


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b) Otros mtodos de determinacin:

Si la influencia de la magnitud de entradaXien el mensurando Yno est representada poruna relacin funcional, se determina el coeficiente de sensibilidad cipor una estimacin delimpacto de una variacin deXien Ysegn:

i

iX

Yc

= (8.3)

Esto es, manteniendo constantes las dems magnitudes de entrada, se determina el cambiode Y producido por un cambio en Xi por una medicin o a partir de la informacindisponible (como una grfica o una tabla).

8.2. Propagacin de la incertidumbre para magnitudes de entrada no correlacionadas

En el caso de magnitudes de entrada no correlacionadas, la incertidumbre combinada uc(y)se calcula por la suma geomtrica de las contribuciones particulares:

u y u yc ii

N2 2

1

( ) ( )== (8.4)

Considerando (8.1) y (8.2) resulta finalmente:

[ ] ==

==

N

i

i

i

N

i

iic xuX

fxucyu

1

2

1

2 )()()(

(8.5)

La regla presentada en ec. (8.5) es llamada ley de propagacin de incertidumbre. Note quela ltima expresin en esta ecuacin se aplica cuando se dispone de la relacin funcionalentre Yy {Xi}.

8.3. Magnitudes de entrada relacionadas con ms de una fuente de incertidumbre

En la mayora de los casos una magnitud de entrada Xies afectada por varias fuentes deincertidumbre, que pueden ser por ejemplo la resolucin del instrumento, la dispersin dedatos obtenidas por mediciones repetidas y la incertidumbre de la calibracin delinstrumento. En este caso hay dos maneras (equivalentes) de calcular la incertidumbrecombinada.


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a) Como primera alternativa, se calcula la incertidumbre total (combinada) relacionadacon cada magnitud de entrada Xi por la suma geomtrica de las incertidumbresindividuales:

[ ]=

=iM

j

iji xuxu1

2)()( (8.6)

donde uj(xi)es la incertidumbre estndar de la fuente de incertidumbre nmero jde lasMi fuentes relacionadas con la magnitud de entrada Xi . Despus se introducen losvalores de u(xi)la ec. (8.5).

b) Si uno est interesado en ver el efecto particular que tiene cada una de las fuentes en laincertidumbre combinada uc(y), cada fuente puede entrar individualmente en la ec.(8.5), sustituyendo el nmero de magnitudes de entrada Nen la suma por el nmero

total de fuentes de incertidumbre. Cabe mencionar que el coeficiente de sensibilidad cies igual para todas las fuentes de incertidumbre relacionadas con la misma magnitud deentradaXi.

[ ] = =

=N

i

M

j

ijic

i

xucyu1 1

22 )()( (8.7)

Cuando el coeficiente de sensibilidad ci es cero o cuando la funcin no admite unarepresentacin lineal adecuada (nicamente con la primera derivada) en el intervalo u(xi)es conveniente y aun indispensable considerar trminos de segundo orden (que dependen delas segundas derivadas) (ver 5.1.2.Nota de [1]).

Por ejemplo, si y = x^2 con el valor de x=0, como un detector de nulos con curva de

respuesta cuadrtica, la contribucin de primer orden es nula.

Es posible mejorar la aproximacin anterior y realizar el clculo riguroso para combinar lascontribuciones, el cual, sin embargo, puede ser ms o menos laborioso dependiendo delmodelo matemtico [7].

8.4. Clculo con incertidumbres relativas

Si el modelo matemtico se compone de productos de las magnitudes de entradaXi:

( )=

=N

i

p

iNiXconstXXf

11 ),...,( (8.8)

donde const es una constante y los exponentes pi son constantes reales (positivas onegativas), el clculo (numrico) de la incertidumbre combinada se facilita utilizandoincertidumbres relativas. Los coeficientes de sensibilidad en este caso son pi, y la ley de

propagacin de incertidumbre (8.5) para calcular la incertidumbre combinada relativauc,rel(y)se simplifica:


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[ ] ==

===

N

i i

ii

N

i

irelic

relcx

xupxup

y

yuyu

1

2

1

2,

)()(

)()( (8.9)

Un caso particular muy comn es que todos los exponentes pison +1 o -1, o sea Yes unproducto o cociente de las magnitudes de entrada, puesto que en este caso las coeficientesde sensibilidad son 1 y la incertidumbre combinada relativa uc,rel(y)es la suma geomtricade las incertidumbres relativas de las magnitudes de entrada:

[ ]=

=N

i

irelrelc xuyu1

2, )()( (8.10)

8.5. Propagacin de la incertidumbre para magnitudes de entrada correlacionadas

Si algunas de las magnitudes de entrada estn correlacionadas, hay que considerar lascovarianzas entre las magnitudes correlacionadas y ec. (8.5) se modifica a

=

=

+

=

N

i

N

jiji

jiji

ji

i

i

c XXrxuxuX

f

X

fxu

X

fyu

1 1,

2

),()()()()(

(8.11)

donde r(Xi, Xj)es el factor de correlacin entre las magnitudes de entradaXiyXj.

9. Correlacin

A menudo los resultados de mediciones de dos magnitudes de entrada estn ligados, ya seaporque existe una tercera magnitud que influye sobre ambas, porque se usa el mismoinstrumento para medir o el mismo patrn para calibrar [3], o por alguna otra razn.

Por ejemplo, en la calibracin gravimtrica de medidores de volumen son magnitudes de

entrada las temperaturas del agua y del ambiente. Estas temperaturas estn relacionadas

aun cuando sus valores puedan ser diferentes. La temperatura del agua ser ms alta

cuando la temperatura ambiente lo sea y bajar cuando lo haga la temperatura ambiente,

es decir existe una correlacin entre estas magnitudes.

Desde el punto de vista estadstico, dos variables son independientes cuando laprobabilidad asociada a una de ellas no depende de la otra, esto es, si q y w son dosvariables aleatorias independientes, la probabilidad conjunta se expresa como el productode las probabilidades de las variables respectivas

( ) ( ) ( )wpqpwqp =, (9.1)


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La incertidumbre expandida Uindica entonces un intervalo que representa una fraccin pde los valores que puede probablemente tomar el mensurando. El valor de pes llamado elnivel de confianza y puede ser elegido a conveniencia.

En el medio industrial, a menudo se elige el nivel de confianza de manera tal quecorresponda a un factor de cobertura como un nmero entero de desviaciones estndar enuna distribucin normal.

Por ejemplo, en una distribucin normal, k=1 corresponde a p=68,27%, k=2 a p=95,45%.

En una distribucin rectangular p=57,7% si k=1.

Cuando es necesaria una estimacin ms rigurosa de la incertidumbre expandida seconsideran las Secs. 10.2 hasta 10.4; cuando no son necesarias estimaciones muy rigurosasde la incertidumbre, como en mediciones de baja exactitud, entonces es suficiente seguircon la Sec. 10.4.

10.2. Distribucin t de Student

Frecuentemente, los valores del mensurando siguen una distribucin normal. Sin embargo,el mejor estimado del mensurando, la media (obtenida por muestreos de nmedicionesrepetidas) dividida entre su desviacin estndar, sigue una distribucin llamada t de Student[5], la cual refleja las limitaciones de la informacin disponible debidas al nmero finito demediciones. Esta distribucin coincide con la distribucin normal en el lmite cuando ntiende a infinito, pero difiere considerablemente de ella cuando nes pequeo.

La distribucin t de Student es caracterizada por un parmetrollamado nmero de gradosde libertad.

Considerando lo anterior, es necesario ampliar el intervalo correspondiente al nivel deconfianzap, por lo que la ec. 10.1 se transforma a

( )cp utU = (10.2)

El factor tp(v)indica los lmites del intervalo correspondiente al nivel de confianzapde ladistribucin y su valor siempre es mayor o igual que el factor k(tomado de la distribucinnormal). Sus valores se encuentran en tablas.

Cuando se combinan varias fuentes de incertidumbre con sus respectivas distribucionespara obtener la incertidumbre combinada ucdel mensurando, el Teorema del Lmite Central([4], Sec. G2.3 de [1]) permite aproximar la distribucin resultante por una distribucinnormal. La aproximacin ser mejor mientras ms grande sea el nmero de fuentes y suscontribuciones sean similares, independientemente de la forma particular de susdistribuciones.

Nuevamente, la disponibilidad limitada de informacin hace necesario el uso de ladistribucin t de Student para determinar la incertidumbre expandida de manera rigurosa


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(con la suposicin de que los valores del mensurando obedecen una distribucin normal).El nmero efectivo de grados de libertad vefpara esta situacin se discute en la Sec. 10.3.

Cuando slo es relevante la contribucin de una fuente cuya distribucin no sea normal, loms conveniente es estimar la incertidumbre expandida directamente de los parmetros dela distribucin.

Por ejemplo, cuando las lecturas obtenidas con un instrumento de baja exactitud sonidnticas debido a la resolucin del instrumento y las otras fuentes de incertidumbre soninsignificantes, es plausible suponer que los valores razonables del mensurando siguen unadistribucin rectangular cuyos lmites estn determinados por el valor de la escala delinstrumento, al que se le ha asignado una cierta incertidumbre, entonces puede estimarsedirectamente el ancho del intervalo que contiene la fraccin p de los valores que puedenatribuirse razonablemente al mensurando.

Por ejemplo, si se considera una medicin tomada con un instrumento analgico conresolucin de 2 unidades, con incertidumbre del 10% en la resolucin, el 95% de los

valores est contenido en un intervalo de ancho 2(1+0,1) 0,95 2,1 unidades.

10.3. Grados de libertad

De cierta manera el nmero de grados de libertad asociado a una distribucin de unamagnitud (XioY) puede considerarse una medida de incertidumbre de la incertidumbre deesa magnitud. Entre mayor seala estimacin de la incertidumbre ser ms confiable.

El nmero efectivo de grados de libertadefdel mensurando considera el nmero de gradosde libertadide cada fuente de incertidumbre.

En las incertidumbres tipo A,idepende directamente del nmero de datos considerados ydisminuye conforme el nmero de parmetros estimados a partir de los mismos datos. Larepetibilidad de una medicin, estimada por la desviacin estndar experimental de nlecturas tiene n-1 grados de libertad. Una regresin lineal de M puntos mediante unaecuacin de m parmetros tieneM-mgrados de libertad.

La determinacin del nmero de grados de libertad de una incertidumbre tipo B implica el

criterio del metrlogo soportado por su experiencia, aun cuando sea subjetiva, paradeterminar la incertidumbre relativa de la propia incertidumbre, y calcular el nmero degrados de libertad para esa fuente especfica icon la ecuacin (ec. G.3 de [1]):

22

)(

)(

2

1

)(

)(

2

1

=

i

i

i

ii

xu

xu

xu

xu (10.3)

La cantidad u(xi) es una estimacin de la incertidumbre de la incertidumbre u(xi)de lafuente i cuantificada por el metrlogo. Es recomendable aproximar el resultado del clculocon la ecuacin anterior al entero cercano ms bajo.


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Por ejemplo, si u(xi) es cero, es decir, el metrlogo est completamente seguro del valor

de u(xi) , el nmero de grados de libertad asociado a esa fuente es infinito. Si el metrlogoconsidera que u(xi) tiene una incertidumbre del 50%, el nmero de grados de libertad es de

slo 2, y si la considera del 20% el nmero de grados de libertad asciende a 12.

Se observa tambin que un valor mayor de u(xi) , al ser una estimacin ms conservadora,puede traer consigo un menor valor de u(xi) y por consiguiente un mayor nmero degrados de libertad.

Siguiendo [1], el nmero efectivo de grados de libertad se calcula segn la ecuacin deWelch-Satterthwaite, aun cuando existan observaciones sobre su validez merecedoras deatencin [6], la cual puede escribirse en trminos de la relacin entre la contribucin de lafuente iy la incertidumbre combinada como:

( )

( )

=

=N

i i

c

i

ef

yu

yu

1

4

1

(10.4)

Si el valor de ef resultante no es entero, generalmente se considera ef como el enteromenor ms prximo.

Un anlisis de la ecuacin anterior muestra el dominio de las fuentes con pocos grados delibertad en el clculo de ef, sobre todo de aquellas cuyas contribuciones son grandes a la

incertidumbre combinada. De hecho una fuente cuya contribucin es alta y con pocosgrados de libertad, es determinante del valor deef.

Por ejemplo, si la repetibilidad es el 80% de la incertidumbre combinada y se estima con 3

grados de libertad, y cada una de las otras fuentes tiene un nmero infinito de grados de

libertad, el nmero efectivo de grados de libertad ser aproximadamente de 7. Si fuera del

60%, se obtendran 23 grados de libertad.

10.4. Incertidumbre expandida

Resumiendo, de manera rigurosa la incertidumbre expandida se calcula de acuerdo a la ec.(10.2) como

efpc tuU =

donde tp(vef) es el factor derivado de la distribucin t de Student a un nivel de confianza pyefgrados de libertad y obtenido de tablas [1]. Comparando la ec. (10.1) con la ec. (10.2)es evidente que el factor de cobertura kde la ec. (10.1) corresponde al valor de tp(vef).


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Frecuentemente, cuando ? ef es suficientemente grande, no se encuentra diferenciasignificativa en los resultados numricos obtenidos con la ec. (10.2) a un p dado deaqullos obtenidos con la ec. (10.1) tomando k de la distribucin normal para el mismo p.

Una buena prctica es realizar el clculo riguroso con la ec. (10.2) y entonces decidir sobrela conveniencia de usar simplemente la ec. (10.1).

10.5. Expresin de la incertidumbre

En el CENAM, la poltica [8] es expresar los resultados de sus mediciones con un nivel deconfianza no menor al 95%, en vista de la costumbre en laboratorios similares.

Es difcil asegurar un valor preciso de la incertidumbre debido a las mltiples

aproximaciones realizadas durante su estimacin. Una consecuencia es la posibilidad desustituir los valores correspondientes a p= 95% con los valores correspondientes a p=95,45%, con el fin de obtener un valor de k= 2,00 correspondiente a una distribucinnormal.

Los valores de tp(vef)para p=95,45% se muestran en la siguiente tabla 3:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100

tp(vef) 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28 2,13 2,05 2,025 2,000

La expresin de la incertidumbre expandida Uincluye su indicacin como un intervalocentrado en el mejor estimado ydel mensurando, la afirmacin de quepes del 95% (o elvalor elegido) aproximadamente y el nmero efectivo de grados de libertad, cuando searequerido. Una manera de expresar el resultado de la medicin es

UyY = (10.5)

El nmero de cifras significativas en la expresin de la incertidumbre es generalmente uno,o dos cuando la exactitud es alta (si la primera cifra significativa es uno o dos, cabe la

posibilidad de usar un dgito ms para evitar la prdida de informacin til). Adems debe

asegurarse que el nmero de cifras significativas del valor del mensurando sea consistentecon el de la incertidumbre.

3Valores tomados de [1]


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11. Diagrama para la estimacin de incertidumbres de medicin

Los numerales en cada bloque indicanla seccin relevante de este documento.

Definir el mensurando Y

Establecer el modelo fsicoIdentificar las magnitudes de entradaXi

Establecer el modelo matemtico

Cuantificar la variabilidad de cada fuentey asociarle una distribucin

Reducir: Obtener la incertidumbre estndar u(xi)

Identificar las fuentes de incertidumbre

Estimar correlaciones

Calcular la incertidumbre estndar combinadauc

Elegir el nivel de confianzap

2

3,4

5

6

7

9

8

10.4

Determinar tp(ef)

Calcular el nmero efectivode rados de libertadef

Calcular la incertidumbre ex andida U

Determinar elfactor de cobertura k

FIN

S NOCuantificarel nmero de

grados

Estimar los rados de libertadi

10.1, 10.5

10.3

10.3

10.1

10.4


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12. Referencias

[1] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, BIPM, IEC, IFCC, ISO,IUPAP, IUPAC, OIML (1995).

[2] International Vocabulary of Fundamental and General Terms in Metrology, BIPM,IEC, IFCC, ISO, IUPAP, IUPAC, OIML (1993).

[3] dSaverio, E. et al, XIV IMEKO World Congress, Tampere, Fin., Vol V, (Jun 1997)

[4] Papoulis, A., Probability, Random Variables and Stochastic Processes, Mc Graw HillCo. (1965)

[5] Hoel, P. G., Introduction to Mathematical Statistics , J. Wiley & Sons (1971).[6] Eberhardt, Memorias de Workshop on Statistics in Intercomparisons, Londres,

(1999).

[7] Castelazo, I, Comunicacin personal.

[8] Poltica para la Declaracin de Incertidumbres en el CENAM. No. 100-AC-P.013(octubre de 1999).


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Anexo A: Clculo de la desviacin estndar para distribuciones especficas

Como ejemplo se presenta el clculo de la desviacin estndar de una distribucin

rectangular. Para obtener la desviacin estndar de otra distribucin, hay que aplicar elmismo esquema de clculo con esa distribucin.

Segn ec. (6.2) la desviacin estndar (experimental) de una serie de datos x 1, x2, ... , xn,se calcula por:

sn

x xkk

n

=

=

11

2

1

( )

El cuadrado de la desviacin estndar s2, es llamado varianza. Si el nmero de datos nesmuy grande y si los datos estn distribuidos de manera continua, la suma puede sersustituida por una integral, y se obtiene la varianza como:

= dxxpxxs )()( 22

dondep(x)es la funcin de densidad de probabilidad deXiy es la media de los datos

= dxxpxx )(

Para una distri bucin rectangular cada valor de x dentro del intervalo [a- , a+] tiene lamisma probabilidad, o sea la de densidad de probabilidadp(x)es constante:

>

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