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5/26/2018 Inducci n y Suma.pdf
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Semana06[1/14]
Principio de induccin y Sumatorias
3 de abril de 2007
Principio de induccin y Sumatorias
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Induccin Semana06[2/14]
Principio de induccin: Primera forma
Una categora importante de proposiciones y teoremas es la de las propiedades de los nmeros naturales.Aqu tenemos, por ejemplo
(n )n< 2n
(n ) (nes primo n=2) nes impar
(n 1)32n+1 +2n+2 es divisible por7
En general, sip(n)es una proposicin cuya variable libre npertenece a , las distintas formas delprincipio
de induccinnos proporcionan proposiciones equivalentes a la proposicin
(n n0)p(n)
Estas formas alternativas nos facilitarn en muchos casos obtener una demostracin de la propiedad buscada.
Principio de induccin, primera forma
Consideremos la proposicin(n n0)p(n)
donden0 es un nmero natural fijo.La primera forma del principio de induccin nos dice que esta proposicin es equivalente a
p(n0) [(n n0)p(n) p(n+1)]
Principio de induccin y Sumatorias
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Induccin Semana06[3/14]
Principio de induccin: Ejemplos
Observemos los siguientes ejemplos:
ProposicinDemostrar que
(n ) 32n+1 +2n+2 es divisible por7
Demostracin.El caso base esn= 0. Aqu, tenemos que demostrar que
320+1 +20+2 es divisible por7
Pero esto es verdadero, pues320+1 +20+2 =3 +4= 7.Supongamos ahora que tenemos unn tal que se cumple la propiedad, es decir que32n+1 +2n+2 esdivisible por 7.Con esta informacin, a la cual llamamos hiptesis inductiva, tenemos que demostrar que32(n+1)+1 +2(n+1)+2 es tambin divisible por 7.Gracias a la hiptesis inductiva, tenemos que existe un k
tal que32n+1 +2n+2 =7k. Entonces:
32(n+1)+1 +2(n+1)+2 = 32n+3 +2n+3
= 9 32n+1 +2 2n+2
= (7 32n+1 +2 32n+1) +2 2n+2
donde esta descomposicin la hacemos de modo de poder factorizar el trmino32n+1 +2n+2.Contina...
Principio de induccin y Sumatorias
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Induccin Semana06[4/14]
Principio de induccin: Ejemplos
Continuacin demostracin.As, continuamos desarrollando
32(n+1)+1 +2(n+1)+2 = 7 32n+1 +2 (32n+1 +2n+2)
= 7 32n+1 +2 7k
= 7 (32n+1 +2k)
por lo que concluimos que32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 es divisible por 7. Gracias al principio de induccin, la propiedaden cuestin es cierta.
Principio de induccin y Sumatorias
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Induccin Semana06[5/14]
Principio de induccin: Ejemplos
Proposicin
Demostrar que
(n 1)1 +2+. . .
+n=
n(n+1)
2
Demostracin.El caso base a demostrar en esta ocasin es n= 1.Aqu, tenemos que demostrar que
1=1 (1 +1)
2
lo que es cierto.Supongamos ahora que la propiedad vale para algn n 1(hiptesis inductiva). Debemos demostrar que lapropiedad tambin es cierta paran+1. Es decir, que
1+2 + . . . + (n+1) =(n+1)(n+2)
2
En efecto:
1 +2+ . . . + (n+1) = 1 +2+ . . . +n+ (n+1)
= n(n+1)
2 + (n+1)
= n(n+1) +2(n+1)
2
= (n+1)(n+2)
2
y se concluye la veracidadde la propiedad gracias al
principio de induccin.
Principio de induccin y Sumatorias
S 06[6 ]
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Induccin Semana06[6/14]
Principio de induccin: Segunda forma
La segunda forma del principio de induccin nos dice:
Principio de induccin, segunda forma
La proposicin
(n n0)p(n)
es equivalente a
p(n0) (n>n0) [p(n0) . . . p(n 1) p(n)]
Como ejemplo de la aplicacin de esta forma del principio de induccin,
recordemos que los nmeros compuestos son los nmeros naturales mayores que 1 que poseen un divisor
distinto de 1 y de s mismos, es decir, si n 2:
nes compuesto (d {2, . . . , n 1})d |n
Recordemos tambin que los nmeros primos son los que no son compuestos.
Principio de induccin y Sumatorias
S 06[7/14]
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7/14
Induccin Semana06[7/14]
Principio de induccin: Ejemplo
ProposicinTodo nmero naturaln 2posee al menos un divisor que es un nmero primo. Es decir,
(n 2)(pnmero primo)p| n
Demostracin.Utilizaremos segunda forma de induccin. El caso base esn= 2, para el cual observamos que p= 2 es unnmero primo tal que p| n.
Hagamos ahora el paso inductivo: Sea n> 2, y supongamos que para todo valor k=2, 3, . . . , n 1se tienequekposee un divisor primo. Separamos por casos:
Sines primo, entonces p= nes un nmero primo tal que p| n.
Sinno es primo, entonces existe un natural d {2, . . . , n 1}tal qued |n.Por hiptesis inductiva ynotando qued
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Induccin Semana06[8/14]
Frmulas de recurrencia
Consideremos el siguiente set de igualdades, al cual llamaremos recurrencia:
x0 = axn+1 = f(x0, . . . , xn) (n 0)
Las recurrencias nos permitirn una forma alternativa de definir secuencias de nmeros, como por ejemplo
x0=2
xn+1=2+xn (n 0)
define la secuencia2, 4, 6, 8, 10, . . .de nmeros pares positivos.Una cualidad importante de las frmulas de recurrencia es que son altamente compatibles con lasdemostraciones que utilizan principio de induccin. Por ejemplo, consideremos la frmula de recurrencia
x0 = 1
xn+1 = 1+xn
2
2(n 0)
Demostraremos que(n )xn 2.
Demostracin.Lo haremos utilizando primera forma de induccin. El caso base resulta ser cierto pues corresponde ademostrar quex0 2(recordemos quex0= 1).Supongamos ahora que para algnn se tiene quexn 2. Se tiene, entonces, que
xn+1= 1+xn
2
2=1 +
x2n4
1+22
4 =2
con lo quexn+1 2, y se concluye la demostracin.Principio de induccin y Sumatorias
Semana06[9/14]
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Induccin Semana06[9/14]
Frmulas de recurrencia
Consideremos la secuencia de nmeros definida por la recurrencia
f1 = 1
f2 = 1
fn+2 = fn+1+fn (n )
la cual se llama secuencia denmeros de Fibonacci. Sus primeros trminos son
f1 = 1
f2 = 1f3= f2+f1= 1 +1 = 2
f4= f3+f2= 2 +1 = 3
f5= f4+f3= 3 +2 = 5
f6= f5+f4= 5 +3 = 8...
ObservacinLos nmeros de Fibonacci estn relacionados con muchos elementos de la naturaleza. Visitahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci, para ms detalles.
Principio de induccin y Sumatorias
I d i Semana06[10/14]
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci -
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Induccin Semana06[10/14]
Frmulas de recurrencia: Nmeros de Fibonacci
Entre muchas propiedades que cumplen, demostraremos la siguiente:
Propiedad
(n 1)f4nes divisible por3
Demostracin.La demostraremos usando primera forma de induccin. El caso base es n= 1, en el cual tenemos que probarquef4 es divisible por 3. Esto es directo, pues como ya vimos, f4=3.Para el paso inductivo, supongamos que f4nes divisible por 3 para algn n 1. Existe, entonces, unk tal
quef4n=3k. Debemos demostrar que f4(n+1) es divisible por3
Desarrollemos este trmino, utilizando la frmula de recurrencia que cumplen los nmeros de Fibonacci:
f4(n+1) = f4n+4
= f4n+3+f4n+2
= (f4n+2+f4n+1) + (f4n+1+f4n)= f4n+2+2f4n+1+f4n
= (f4n+1+f4n) +2f4n+1+f4n
= 3f4n+1+2f4n
= 3f4n+1+2 3k
= 3(f4n+1+2k)
con lo quef4(n+1tambin es divisible por 3, que era lo que desebamos.
Principio de induccin y Sumatorias
S t i Semana06[11/14]
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11/14
Sumatorias Semana06[11/14]
Introduccin
Seaa0, a1, a2, . . . , anuna secuencia de nmeros reales. En esta seccin estudiaremos propiedades y mtodos
de clculo para su suma a0+a1+a2+ . . . +an
Introduciremos para este efecto una notacin especial:
a0+a1+a2+ . . . +an=n
k=0
ak
Al smbolo le llamaremossumatoria.Ms generalmente:
SumatoriaSiaM, aM+1, . . . ,aNes una secuencia de nmeros reales, definimos su sumatoria por recurrencia:
Mk=M
ak = aM
nk=M
ak = an+n1k=M
ak (n= M+ 1, . . . ,N)
En este captulo estudiaremos propiedades y mtodos de clculo para sumatorias de diversos tipos.
Principio de induccin y Sumatorias
Sumatorias Semana06[12/14]
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5/26/2018 Inducci n y Suma.pdf
12/14
Sumatorias Semana06[12/14]
Sumatorias: Propiedades
La sumatoria cumple la siguiente lista de propiedades:
Propiedades1 Suma de la secuencia constante igual a 1.
Jk=I
1= (J I+1)
2
Sea
, y sean(ak)
n
k=1,(bk)
n
k=1 dos secuencias.2.1 Factorizacin de constantes.J
k=I
ak = J
k=I
ak
2.2 Separacin de una suma.J
k=I
(ak+ bk) =J
k=I
ak+J
k=I
bk
3 Traslacin del ndice, sis .J
k=I
ak=J+s
k=I+s
aks
Principio de induccin y Sumatorias
Sumatorias Semana06[13/14]
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5/26/2018 Inducci n y Suma.pdf
13/14
Sumatorias Semana06[13/14]
Sumatorias: Propiedades
5 Separacin en dos sumas, siI L < J.
J
k=I
ak =L
k=I
ak+J
k=L+1
ak
6 Propiedad telescpica.J
k=I
(ak ak+1) =aI aJ+1
Demostracin.Demostraremos (1) y (6).Para (1): Lo haremos por induccin sobre JI.Caso baseJ=I: debemos demostrar que
Ik=I
1= (I I+1)
lo cual es directo, pues ambos lados valen 1.Supongamos ahora que
Jk=I1 = (J I+1). Entonces
J+1k=I
1= 1 +J
k=I
1= 1+ (J I+1) = (J+1) I+1
Contina...Principio de induccin y Sumatorias
Sumatorias Semana06[14/14]
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5/26/2018 Inducci n y Suma.pdf
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Sumatorias Semana06[14/14]
Sumatorias: Propiedades
Continuacin demostracin.Para (6): Nuevamente por induccin sobre JI.SiJ=I, el resultado se reduce a demostrar que
Ik=I
(ak ak+1) =aI aI+1
lo cual es directo gracias a la definicin de sumatoria.Supongamos ahora que
Jk=I(ak ak+1) =aI aJ+1. Entonces
J+1k=I
(ak ak+1) = (aJ+1 aJ+2) +J
k=I
(ak ak+1) = (aJ+1 aJ+2) + (aI aJ+1) =aI aJ+2
Principio de induccin y Sumatorias