INECUACIONES

INECUACIONESDEFINICIN:Una inecuacin es un enunciado que incluye alguna de las relaciones de orden:mayor que > . 2x + 4 >3x 9 menor que< . 3(x+4) < 2x + 1 4mayor o igual que ..menor o igual que ..

Ejemplo:

-6EJEMPLOCuando en una inecuacinse pasa a multiplicar o adividir un nmero negativoal otro lado, se debe invertirla desigualdad

CUIDADOInecuaciones simultneasSon aquellas en las cuales la variable est entre dos valores a y bEjemplo

-4 7EJEMPLOS:3x < 20 + x3x x < 20 2x < 20 x < 10

6 10 3x+2 > 2x + 13x 2x > 1 2 x > 1

-7 -1

-9 -5INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOI Caso: valor absoluto menor que 0 tiene S = Ejemplos:1.2.

II Caso: valor absoluto menor o igual que 0

Tiene solucin resolviendo la ecuacin igual a cero porque no puede ser negativo.

Ejemplos: 1.

2.

III Caso: valor absoluto mayor o igual que 0

Tiene solucin S = R

Esto significa que cualquier nmero real sirve para su solucin, dado que siempre va a dar un resultado mayor o igual que 0

Ejemplos:8 c) tenemos un sistema formado por una inecuacin y una ecuacin

que ordenada queda

Trazamos primero un par de ejes coordenadosLuego analizamos la inecuacin y 2x - 4 como si se tratara de y = 2x - 4sombreamos todo el semiplano que verifica la condicin y 2x - 4Representamos grficamente

Las soluciones de este sistema deben verificar ambas condiciones:Pertenecer al semiplano sombreadoPertenecer a la recta Verifican ambas condiciones los puntos de la recta que estn en la regin del semiplanoPor ejemplo el punto (6, 5)8 d

IV Caso: valor absoluto mayor que 0

Tiene solucin

Esto significa que para cualquier nmero real se tiene una solucin mayor que 0, pero deben eliminarse los valores donde se hace igual a cero.

Ejemplos: 1.

x + 2 = 0

x = 2

2.

V Caso: valor absoluto menor que o menor o igual que un nmero negativo.

Tiene solucin

Esto significa que ningn nmero hace posible que un valor absoluto sea negativo.

Ejemplos: 1.2.

VI Caso: valor absoluto mayor que o mayor o igual que un nmero negativo.

Tiene solucin S = R

Esto significa que cualquier nmero real siempre tiene valor absoluto que no puede ser negativo. 4x + 2 + 3 < 6 9 + 15x4x 15x < 6 9 2 3 11x < 8 x >

811VII Caso: valor absoluto menor que o menor o igual que un nmero positivo.

Se elimina el valor absoluto y se resuelven las inecuaciones simultneas entre el negativo y el positivo.

La solucin es un intervalo.Ejemplos: 1.

-7/2 -1/2

2.

-1 3

VIII Caso: valor absoluto mayor que o mayor o igual que un nmero positivo.

Se resuelven por aparte dos inecuaciones: una mayor que el positivo y otra menor que el negativo.

La solucin son dos intervalos.Ejemplos: 1.

-2 -1

2.

-5/2 -1/2RESUMEN: < 0 < negativo negativo

0 negativo > negativo

S = nmeros que lo hacen cero

0

S = R nmeros que lo hacen cero

> 0

S = un intervalo

< positivo

positivo

Recuerde: se quita el valor absoluto y se resuelven las inecuaciones simultneas entre el negativo y el positivo.

S = dos intervalos

> positivo

positivo

Recuerde: Se resuelven dos inecuaciones independientes, mayor que el positivo y menor que el negativo.

8 a) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada inecuacin como una ecuacin y la representamos grficamente

Trazamos primero un par de ejes coordenadosLuego analizamos la inecuacin y > x como si se tratar de y = x

Pero con trazos punteados porque no estn incluidos los valores de y = x entre los que buscamos sino los de y > x

sombreamos el semiplano que verifica y > x

luego graficamos la regin que verifica x > 0

Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras:El sombreado verde representa la primera inecuacinEl sombreado claro representa la segunda inecuacinSe verifican ambas condiciones donde hay sombreado dobleNo se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado8 d8 c8 b

37Finalmente representamos la tercera inecuacin y < 3

Queda determinada una regin con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solucin del sistemaTengamos presente que esta es una regin abierta porque las lneas que delimitan la regin no estn incluidas en el conjunto solucinPor ejemplo el punto (1; 2) es una solucin del sistema

Pero (2 ; 6) no es solucin porque verifica solo dos de las condiciones pero no la tercera

Te queda para practicar proponer la ubicacin de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones solo una ningunacomo tambin encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones8 d8 c8 b

8 b) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada inecuacin como una ecuacin y la representamos grficamente

Trazamos primero un par de ejes coordenadosLuego analizamos la inecuacin y < 5 - x como si se tratara de y = 5 - xcon trazos punteados porque no estn incluidos los valores de y = 5 - x entre los que buscamos sino los de y < 5 - xsombreamos el semiplano que verifica y < 5 - xluego graficamos la regin que verifica y x + 3Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras:El sombreado verde representa la primera inecuacinEl sombreado marrn representa la segunda inecuacinSe verifican ambas condiciones donde hay sombreado dobleNo se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado8 d8 c

Finalmente representamos la tercera inecuacin y 1

Queda determinada una regin con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solucin del sistemaPor ejemplo el punto (1; 3) es una solucin del sistema

Pero (2 ; 6) no es solucin porque verifica solo la tercera condicin pero no las otras dos

esta es una regin abierta en la lnea verde pero cerrada en las otras dosTe queda para practicar proponer la ubicacin de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones solo una ningunacomo tambin encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones8 d8 c

8 d) tenemos un sistema formado por dos ecuaciones y una inecuacin

que ordenada queda

Trazamos primero un par de ejes coordenadosRepresentamos grficamente

Representamos grficamente

Luego analizamos la inecuacin x1 7 como si se tratara de x1 = 7sombreamos todo el semiplano que verifica la condicin x1 7Las soluciones de este sistema deben verificar las tres condicionesPero las rectas paralelas no tienen puntos en comn, luego este sistema NO TIENE SOLUCION