Inecuaciones
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RECORDATORIO
• El término igualdad se utiliza en aritmética para comparar cantidades iguales u realizar operaciones con esas cantidades desiguales.
• El término ecuación se utiliza en álgebra para comparar variables que toman valores iguales u operaciones con variables.
• El término desigualdad se utiliza en aritmética para comparar cantidades desiguales u realizar operaciones con esas cantidades desiguales.
• El término inecuación se utiliza en álgebra para comparar variables que toman valores desiguales u operaciones con variables.
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La solución no es uno o varios valores puntuales, sino intervalos.
INECUACIONES
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DESIGUALDADUna desigualdad es un enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales. Puede ser el caso que una cantidad sea menor (<), menor o igual (), mayor (>) o mayor o igual () a otra cantidad. Considerar la desigualdad2 𝑥+3>11 representa la variable.
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DESIGUALDADLas siguientes desigualdades muestran que al igual que en las ecuaciones existen tanto proposiciones verdaderas como falsas.
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INECUACIONES• Suponer que y son dos números reales
y • Se usará la notación para decir que x es un número entre y , excluyendo los extremos.
Equivale a b
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INECUACIONES• Se usará la notación para decir que x es un
número entre y , incluyendo a esos extremos.
• Es aceptable escribir aunque es más recomendable invertir los signos colocando el menor de los valores a la izquierda .
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PROPOSICIONES FALSAS• No existe ningún número para el que y .
• No mezclar los símbolos de la siguiente forma .
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INTERVALOSSuponer que y son dos números reales y Intervalo cerrado: denotado por , consiste en todos los
números reales para los cuales .Intervalo abierto: denotado por , consiste en todos los
números reales para los cuales .Intervalos semiabiertos o semicerrados son , consiste
en todos los números reales para los cuales , y que consiste en todos los números reales para los que .
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[𝑎 ;𝑏 ](𝑎 ;𝑏)¿¿
EXTREMO IZQUIERDO DEL
INTERVALO
EXTREMO DERECHO DEL INTERVALO
INTERVALOS
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SÍMBOLO ó • El símbolo (leído como “infinito”) no es un
número real, sino un artificio de notación usado para indicar que no hay límite en la dirección positiva.
• El símbolo (leído como “infinito negativo”) no es un número real, sino también un artificio de notación usado para indicar que no hay límite en la dirección negativa.
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SÍMBOLOS ó Usando los símbolos y , se definen otros cinco tipos de intervalos
• Consiste en todos los números reales para los que .
• Consiste en todos los números reales para los que
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SÍMBOLOS ó Usando los símbolos y , se definen otros cinco tipos de intervalos
• Consiste en todos los números reales para los que .
• Consiste en todos los números reales para los que .
• Consiste en todos los números reales para los que .
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ACLARACIÓNDebe aclararse que y no se incluyen como puntos extremos, ya solo representan símbolos y no NÚMEROS REALES.
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PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
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Análisis Gráfico
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Ejemplo 1
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Ejemplo 2
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La solución no es uno o varios valores puntuales, sino intervalos.
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
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RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
El método para resolver una inecuación es muy similar a los procedimientos que eran aplicados para resolver ecuaciones, la diferencia radica que en el caso de las inecuaciones las soluciones son intervalos, o un rango de valores que la mayoría de las ocasiones es infinito.
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RESOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES
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RES
OLU
CIÓ
N D
E IN
ECU
AC
ION
ES
LIN
EALE
S
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RES
OLU
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EALE
S
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RES
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S
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Para solucionar una inecuación racional se debe analizar los valores que hacen al denominador negativo.
RES
OLU
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RA
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RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
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RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
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RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
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INECUACIONES CUADRÁTICAS Y FACTOR
CERO
* El teorema del factor cero no es aplicable a las Inecuaciones, debido a que no se puede analizar un producto de la misma manera que para una igualdad.
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INECUACIONES CUADRÁTICAS: PASOS
PARA RESOLVERLA𝟐 𝒙𝟐−𝒙−𝟑<𝟎Para resolver una desigualdad cuadrática1. Factorizar el
trinomio 2. Seleccionar los intervalos, limitados por los
factores encontrados
( 𝒙+𝟏 ) (𝟐𝒙 −𝟑 )<𝟎
( 𝒙+𝟏 )=𝟎 (𝟐 𝒙−𝟑 )=𝟎𝒙=−𝟏 𝒙=
𝟑𝟐
EJEMPLO 1
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INECUACIONES CUADRÁTICAS: PASOS
PARA RESOLVERLA𝟐 𝒙𝟐−𝒙−𝟑<𝟎Para resolver una desigualdad cuadrática3. Seleccionar un
valor de 𝒙=𝒌 donde k es un número
arbitrariopara cada intervalo.
4. El valor de
𝒙=𝒌 debe ser sustituido para cada una de lassoluciones.
5. Esto debe ser tabla de signos o diagrama de signos.
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TABLA DE SIGNOS𝒌=−𝟏𝟎
𝒙+𝟏
𝟐 𝒙−𝟑−𝟏𝟎+𝟏=−𝟗
𝟐 (−𝟏𝟎 )−𝟑=−𝟐𝟑
𝟏
𝟐
𝒌=𝟎𝒙+𝟏
𝟐 𝒙−𝟑1
𝟐 (𝟎 )−𝟑=−𝟑
𝟏
𝟐
𝒌=𝟏𝟎𝒙+𝟏
𝟐 𝒙−𝟑𝟏𝟎+𝟏=𝟏𝟏
17
𝟏
𝟐
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DIAGRAMAS DE SIGNOS𝒌=−𝟏𝟎
𝒙+𝟏
𝟐 𝒙−𝟑−𝟏𝟎+𝟏=−𝟗
𝟐 (−𝟏𝟎 )−𝟑=−𝟐𝟑
𝟏
𝟐
𝒌=𝟎𝒙+𝟏
𝟐 𝒙−𝟑1
𝟐 (𝟎 )−𝟑=−𝟑
𝟏
𝟐
𝒌=𝟏𝟎𝒙+𝟏
𝟐 𝒙−𝟑𝟏𝟎+𝟏=𝟏𝟏
17
𝟏
𝟐
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RESOLUCIÓN DE
INECUACIONES
CUADRÁTICASEJEMPLO 2
![Page 35: Inecuaciones](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022081605/5883b3c61a28ab3b488b7977/html5/thumbnails/35.jpg)
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES FRACCIONARIAS
DIAGRAMAS DE SIGNOS
SOLUCIÓN
EJEMPLO 3
![Page 36: Inecuaciones](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022081605/5883b3c61a28ab3b488b7977/html5/thumbnails/36.jpg)
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES FRACCIONARIAS
Puede ser cancelado tomando el valor de , e incluido en la solución.
EJEMPLO 5
![Page 37: Inecuaciones](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022081605/5883b3c61a28ab3b488b7977/html5/thumbnails/37.jpg)
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES FRACCIONARIAS(𝟐 𝒙+𝟏 )𝟐 Este factor doble cumple siempre con
la condición , debido a que presenta exponente par.𝟐 𝒙+𝟏=𝟎
𝒙=𝟏𝟐
es solución de la desigualdad
![Page 38: Inecuaciones](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022081605/5883b3c61a28ab3b488b7977/html5/thumbnails/38.jpg)
El factor no debe ser llevado hacia el lado izquierdo multiplicando, pues se pierden soluciones, debido a que puede ser positivo; pero también puede ser negativo.
EJEMPLO 6
![Page 39: Inecuaciones](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022081605/5883b3c61a28ab3b488b7977/html5/thumbnails/39.jpg)
DIAGRAMA DE SIGNOS