Universidad Nacional Autónoma de Honduras

Facultad de CienciasEscuela de Física

Electricidad y Magnetismo I

TemasLas funciones de onda para el hidrógeno

Interpretación física de los números cuánticosEl principio de exclusión y la tabla periódica

CatedráticoIng. Jonnathan López

Sección1700

IntegrantesAndrea Esperanza Martínez Macedo 20111000425

Cecia Marisa Flores Sánchez 20111006134

Gustavo José López Sánchez 20112001570

Katherine Gabriela Álvarez Álvarez 20111004626

Mario Alejandro Bonilla Castro 20111010765

Nancy Paola Ordoñez Velásquez 20061005559

Vibian Maria Bonilla Castro 20111005681

Ciudad Universitaria 30 de abril de 2014

Introducción

En el presente informe veremos que además de ser una comprobación de la Mecánica Cuántica, el estudio teórico del átomo de hidrógeno es importante ya que sirve de base para el estudio y predicción del comportamiento del electrón en sistemas más complejos; y ya que la energía potencial del átomo de hidrógeno depende solamente de la distancia radial r entre el núcleo y el electrón, algunos de los estados permitidos para este átomo pueden ser representados mediante funciones de onda que sólo dependen de r.Se identificaran los estados del átomo con un conjunto de números cuánticos. Se dará a conocer que el electrón presenta cierta cantidad de movimiento angular ‘espín’, además de la cantidad de movimiento angular asociada con su movimiento.Se presentara el Principio de exclusión de Pauli que indica que no puede haber 2 electrones en un átomo que tengan el mismo estado mecánico – cuántico.

Objetivos

Se describirán las funciones de onda para el átomo de hidrogeno y la densidad de probabilidad para el hidrogeno.

Describir los estados de un átomo en términos de números cuánticos.

Representar la configuración electrónica de los átomos utilizando los números cuánticos de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli y utilizando la tabla periódica los elementos.

Desarrollar ejercicios para una mejor comprensión de los temas.

Las funciones de onda para el hidrógeno

En el modelo de Bohr los electrones se mueven en orbitas circulares, como partículas newtonianas, pero con valores cuantizados de la cantidad de movimiento angular. Si bien este modelo determino los niveles de energía correctos en el átomo de hidrógeno, los deducidos de los espectros, tenían muchas dificultades conceptuales. Se mezclaba la física clásica con conceptos

nuevos y aparentemente contradictorios. No permitía entender el proceso por el cual se emiten y absorben fotones. No se podían generalizar a los átomos con más de un electrón. Para el átomo de hidrogeno predecía propiedades magnéticas incorrectas y quizás lo más importante era que su imagen del electrón, como partícula de materia localizada en un punto, era inconsistente. Ahora se puede ir más allá del modelo de Bohr y aplicar la ecuación de Schrödinger para determinar las funciones de onda del átomo de hidrógeno.

Ya que la energía potencial del átomo de hidrógeno depende solamente de la distancia radial r entre el núcleo y el electrón, algunos de los estados permitidos para este átomo pueden ser representados mediante funciones de onda que sólo dependen de r. Para estos estados, ƒ(Θ) y g(φ) son constantes. La más simple de las funciones de onda para el hidrógeno es la que describe el estado 1s y se conoce como Ψ1s(r):

En donde a0 es el radio de Bohr se Observa que Ψ1s tiende a cero conforme r

tiende a ∞ y se normaliza con la siguiente:

Además, Ψ1s depende sólo de r, es esféricamente simétrico, esta simetría existe para todos los estados s.La probabilidad de encontrar una partícula en cualquier región es igual a la integral de la densidad de probabilidad IΨ1sI 2 para la partícula en toda la región. La densidad de probabilidad para el estado 1s es:

Ya que en la posición r = 0 se supone que el núcleo está fijo en el espacio, se asigna esta densidad de probabilidad a la cuestión de ubicar el electrón.

De acuerdo con la siguiente ecuación La probabilidad de encontrarlo en un elemento de volumen dV es de IΨ1sI 2 dV.

Resulta conveniente definir la función de densidad de probabilidad radial P(r) como la probabilidad por unidad de distancia radial de encontrar el electrón en una capa esférica de radio r y de espesor dr. Por lo tanto, P(r)dr es la probabilidad de encontrar al electrón en esta capa. El volumen dV de esta capa, infinitesimalmente delgada, es igual a su área superficial 4πr2, multiplicada por el espesor de la capa dr, de manera que la expresión de esta probabilidad es:

Por lo tanto, la función de densidad de probabilidad radial es:

Al sustituir la ecuación:

En la ecuación:

Se obtiene la función de densidad de probabilidad radial para el átomo del hidrógeno en su estado fundamental:

En la siguiente figura aparece una gráfica de la función P1s(r) con r. El pico de la curva corresponde al valor más probable de r para este estado en particular.De acuerdo con la mecánica cuántica, el átomo no tiene una frontera definida con precisión, como lo sugiere la teoría de Bohr. La distribución de probabilidades de la figura 42.11a sugiere que la carga del electrón puede ser modelada como si se extendiera a través de una región del espacio, conocida comúnmente como nube electrónica.La fi gura 42.11b muestra la densidad de probabilidad del electrón en un átomo de hidrógeno en el estado 1s como una función de la posición en el plano xy. La parte más oscura de color azul de la distribución aparece en la posición r = a0, lo cual corresponde al valor más probable de r para el electrón.

La siguiente función de onda más sencilla del átomo de hidrógeno que sigue es la que corresponde al estado 2s (n =2, l = 0). La función de onda normalizada para este estado es:

De nuevo, Ψ2s depende sólo de r y es esféricamente simétrica. La energía que corresponde a este estado es E2 = -(13.606/4) eV = -3.401 eV. Este nivel de energía representa el primer estado excitado del hidrógeno. En la figura 42.12 aparece una gráfica de la función de densidad de probabilidad radial para este estado, en comparación con el estado 1s. El trazo correspondiente al estado 2s tiene dos picos. En este caso, el valor más probable corresponde a aquel valor de r que tenga el valor más elevado de P (≈5 a0). Un electrón en el estado 2s se encontrará a una distancia mucho mayor (en promedio) del núcleo que un electrón en el estado 1s.

Ejercicio 1

A) Calcule el valor más probable de r para un electrón en el estado fundamental del átomo de hidrógeno.

B) la probabilidad de que el electrón en el estado fundamental del hidrógeno se encontrará fuera del primer radio de Bohr.

A)

B)

Ejercicio 2

La función de onda para un electrón en el estado 2p del hidrógeno es igual a:

¿Cuál es la distancia más probable desde el núcleo para poder encontrar un electrón en el estado 2p?

Ejercicio 3

En un experimento, los electrones son disparados hacia una muestra de átomos de hidrógeno neutros y se observa la forma en que las partículas incidentes se dispersan. Se puede pensar en un gran conjunto de pruebas si éstas contienen 1000 observaciones del electrón en el estado fundamental de un átomo de hidrógeno que está momentáneamente a una distancia a0/2 del núcleo. En este conjunto de pruebas, ¿cuántas veces será observado el electrón del átomo a una distancia 2a0 del núcleo?

Interpretación física de los números cuánticos

Las funciones de onda para el átomo de hidrogeno se determinan con los valores

de tres números cuánticos n,l,ml. la energía se determina por el numero

cuántico principal n. la cantidad de movimiento angular orbital se determina con el numero cuántico orbital l . La componente de la cantidad de movimiento angular orbital en dirección de un eje determinado se determina con el numero cuántico

magnético ml . La energía no depende de estos números por lo que para cada

nivel de energía hay más de un estado distinto con la misma energía pero distintos números cuánticos. La existencia de más de un estado distinto con la misma energía se llama “degeneración”, no tiene contraparte con el modelo de Bohr.

El número cuántico orbital lRecordando el modelo atómico de Bohr:

Si el electrón se mueve en un círculo con radio r, la magnitud de su cantidad de movimiento angular respecto al centro del círculo es igual a L=mevr. La dirección de L es perpendicular al plano del círculo y está definida por la regla de la mano derecha.

El modelo de Bohr del hidrógeno postula que la magnitud de la cantidad de movimiento angular del electrón está restringida a múltiplos de ħ ;es decir, L= nħ .Es necesario modificar este modelo, ya que predice que el estado fundamental del hidrógeno tiene una cantidad de movimiento angular igual a 1. Además, si en el modelo de Bohr se considera a L como cero, el electrón debe mostrarse como una partícula que oscila en línea recta a través del núcleo, lo cual es una situación físicamente imposible.

Estas dificultades se resuelven con el modelo mecánico cuántico del átomo.¨se representa el núcleo central como una carga positiva, sobre el cual giran los electrones, pero ya no como partículas concretas, sino que se representan como una "nube" electrónica difuminada alrededor donde resulta imposible asegurar donde está el electrón y que tiene toda ella la carga negativa.¨

De acuerdo con la mecánica cuántica, un átomo en un estado cuyo número cuántico principal es n puede tomar los siguientes valores discretos de la magnitud de la cantidad de movimiento angular orbital:

A los estados con diversos valores del número cuántico orbital l se les representa

mediante letras:

L=0 estado s

L=1 estado p

L=2 estado d

L=3 estado f

El Número Cuántico Magnético “ml”

Puesto que la cantidad de movimiento angular es un vector, su dirección debe especificarse. El momento magnético de una espira de corriente se En la teoría de Bohr, el electrón que circula representa una espira de corriente. En el planteamiento mecánico cuántico del átomo de hidrógeno, se abandona el modelo de una órbita circular de la teoría de Bohr, aunque el átomo aún posee una cantidad de movimiento angular orbital. Por lo tanto, hay cierta sensación de que existe rotación del electrón alrededor del núcleo, para que éste presente un momento magnético debido a esta cantidad de movimiento angular.

El número cuántico orbital magnético ml defi ne los valores permitidos de la componente z de la cantidad de movimiento angular orbital, de acuerdo con la expresión siguiente

ml puede tener valores que van desde -l hasta l. Si l = 0, entonces m l = 0 y Lz = 0. Si l = 1, después los valores posibles de m l son -1, 0 y 1, así que Lz puede ser - ħ, 0 o ħ. Si l = 2, entonces ml puede ser -2, -1, 0, 1 o 2, correspondientes a los valores Lz de -2 ħ, -ħ, 0, ħ o 2 ħ, y así en adelante.

El número cuántico magnético de espín “ms”

Los tres números cuánticos n, l y ml explicados hasta ahora se generan al aplicar las condiciones de frontera a las soluciones de la ecuación de Schrödinger, y se les asigna una interpretación física a cada uno de ellos. Ahora considere el espín del electrón, el cual no viene de la ecuación de Schrödinger. Este es el número cuántico magnético del espín ms. Para describir este nuevo número cuántico, es conveniente (pero técnicamente incorrecto) pensar en el electrón como si estuviera girando alrededor de su eje mientras orbita alrededor del núcleo. Sólo existen dos direcciones para el espín del electrón.La descripción clásica del espín electrónico —como resultado de un electrón que gira— es incorrecta. La teoría más reciente indica que el electrón es una partícula puntual, sin amplitud espacial. Debido a eso no se puede considerar que el electrón esté girando. A pesar de esta dificultad conceptual, toda la evidencia experimental apoya la idea de que el electrón sí posee un cierto momentum angular intrínseco que puede describirse como el número cuántico magnético del espín. Paul Dirac (1902-1984) demostró que este cuarto número cuántico se origina en las propiedades relativistas del electrón.Puesto que el espín es una forma de cantidad de movimiento angular, debe seguir las mismas reglas cuánticas que la cantidad de movimiento angular orbital. La magnitud del momentum angular del espín de un Electrón:

Ejercicio 4.

Considere al átomo de hidrógeno en el estado l=3. Calcule la magnitud de = los

valores permitidos de Lv y los correspondientes ángulos que forma con el eje z.

Solución:

La cantidad de movimiento angular orbital se puede resolver como

Calcule los valores de Lz con la fórmula de LZ = ml ħ y con ml =-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Lz = -3ħ, -2ħ, -1ħ, ħ, 2ħ, 3ħ

Los valores permitidos de cos se pueden encontrar con esta fórmula:

Con se tiene:

Y despejando se tiene:

Ejercicio 5.

Un átomo de hidrógeno está en su quinto estado excitado, cuyo número cuántico principal es 6. El átomo emite un fotón con una longitud de onda de 1090 nm. Determine la cantidad de movimiento angular orbital máxima posible del átomo después de la emisión.

Solución

El quinto estado excitado tiene n=6

La energía es:

La cantidad de energía que pierde el átomo es:

Al restarle la pérdida de energía a la energía que tenía originalmente:

Al compararlo con el nivel de energía del estado 3, se puede ver que es casi la misma ya que con n=3 es:

En el estado n=3,

= n-1 = 2

Teniendo un momentum angular

Principio de exclusión de Pauli y la Tabla Periódica

Principio de Exclusión de Pauli

El principio de exclusion fue descubierto por Wolfgang Pauili en 1924 al analizar los hechos empiricos de la fisica atomica tal como se conocian en aquel tiempo.El trabajo de Pauili se caracterizo por una profunda penetracion fisica, al igual que por una gran hailidad matematica. Su descubrimiento del principio de exclusion y de la conexión entre spin y estadistica son, acaso, sus mas famosos logros .

Regla de exclusión de Pauli

Esta regla nos dice que en un estado cuántico solo puede haber un electrón. De aquí salen los valores del espín o giro de los electrones que es 1/2  y con

proyecciones   .

También que en una orientación deben caber dos electrones excepto cuando el número de electrones se ha acabado, por lo cual el orden que debe seguir este ordenamiento en cada nivel es primero los de espín positivo (+1/2) y luego los negativos.

Establece que no puede haber dos fermiones con todos sus números cuánticos idénticos (esto es, en el mismo estado cuántico de partícula individual). Perdió la categoría de principio, pues deriva de supuestos más generales: de hecho, es una consecuencia del teorema de la estadística del spin. El principio de exclusión de Pauli sólo se aplica a fermiones, esto es, partículas que forman estados cuánticos antisimétricos y que tienen espín semientero. Son fermiones, por ejemplo, los protones, los neutrones y los electrones, los tres tipos de partículas subatómicas que constituyen la materia ordinaria. El principio de exclusión de Pauli rige, así pues, muchas de las características distintivas de la materia. En cambio, partículas como el fotón y el (hipotético) gravitón no obedecen a este principio, ya que son

bosones, esto es, forman estados cuánticos simétricos y tienen espín entero. Como consecuencia, una multitud de fotones puede estar en un mismo estado cuántico de partícula, como en los láseres. "Dos electrones en la corteza de un átomo no pueden tener al mismo tiempo los mismos números cuánticos". Es sencillo derivar el principio de Pauli, basándonos en el artículo de partículas idénticas.

La tabla periódica

El principio de exclusión se puede aplicar para deducir las propiedades más importantes de la estructura y comportamiento químico de átomos con varios electrones, incluyendo la tabla periódica de los elementos. Imaginemos la construcción de un átomo neutro, comenzando con un núcleo desnudo con Z protones, y agregándole Z electrones, uno por uno. Para obtener el estado fundamental del átomo en su totalidad, primero se llenan los estados electrónicos de mínima energía (los más cercanos al núcleo, con los valores mínimos de n y l), y se usan estados sucesivamente más altos, hasta que todos los electrones se hayan acomodado. Las propiedades químicas de un átomo se determinan principalmente por interacciones donde intervienen los electrones más externos, o de valencia, por lo que en especial debemos aprender cómo están arreglados esos electrones.Veamos las configuraciones electrónicas de estado fundamental de los primeros átomos (en orden de Z creciente). Para el hidrógeno, el estado fundamental es ls; el único electrón está en un estado n= 5, l= 0, ml= 5 y ms = -1/2, +1/2. En el átomo de helio (Z= 2), ambos electrones están en estados ls, con espines opuestos; uno tiene ms = -1/2 y el otro tiene ms = +1/2. Al estado fundamental del helio lo representaremos por 1s^2.Para el helio, la capa K está totalmente llena, y todas las demás están vacías. El helio es un gas noble; no tiene tendencia a ganar ni a perder un electrón, y no forma compuestos. El litio (Z=3) tiene tres electrones. En su estado fundamental, dos de ellos están en estados 1s y uno en estado 2s, por lo que el estado fundamental del litio se representa por 1s^2 2s. En promedio, el electrón 2s está bastante más alejado del núcleo que los electrones 1s. De acuerdo con la ley de Gauss, la carga neta Qenc que atrae al electrón 2s se acerca más a +e que al valor +3e que tendría sin los dos electrones 1s. El resultado es que el electrón 2s está débilmente enlazado.

Sigue el berilio (Z = 4); su configuración de estado fundamental es 1s^2 2s^2, y sus dos electrones de valencia llenan la subcapa s de la capa L. El berilio es el primero de los elementos alcalinotérreos, que forman compuestos iónicos en los que la valencia de los átomos es +2.La tabla 41.3 muestra las configuraciones electrónicas de estado fundamental de los 30 primeros elementos. La capa L puede contener ocho electrones. Cuando Z =10, las capas K y L están llenas, y no hay electrones en la capa M. Cabe esperar que esa sea una configuración bastante estable, con poca tendencia a ganar o perder electrones. Este elemento es el neón, un gas noble, sin compuestos conocidos. Después del neón, el siguiente elemento es el sodio (Z=11), con capas K y L llenas, y un electrón en la capa M. Su estructura de “gas noble más un electrón” se parece a la del litio; ambos son metales alcalinos. El elemento anterior al neón es el flúor, con Z=9. Tiene un lugar libre en la capa L, y tiene afinidad para ganar un electrón y llenar la capa. El flúor forma compuestos iónicos en los que tiene una valencia de 21. Este comportamiento es característico de los halógenos (flúor, cloro, bromo, yodo y ástato), todos los cuales tienen configuraciones de “gas noble menos uno”.

Todos los gases nobles (helio, neón, argón, kriptón, xenón y radón) tienen configuraciones de capa llena o capa llena más subcapa p llena. Todos los metales alcalinos (litio, sodio, potasio, rubidio, cesio y francio) tienen configuraciones de “gas noble más uno”. Todos los metales alcalinotérreos (berilio, magnesio, calcio, estroncio, bario y radio) tienen configuraciones de “gas noble más dos” y todos los halógenos (flúor, cloro, bromo, yodo y ástato) tienen estructuras de “gas noble menos uno”.

Se presenta una ligera complicación con las capas M y N, porque los niveles de subcapa 3d y 4s (n=3, l=2 y n =4, l=0, respectivamente) tienen energías parecidas (en el siguiente apartado describiremos por qué sucede así). El argón (Z = 18) tiene llenas todas las subcapas 1s, 2s, 2p, 3s y 3p, pero en el potasio (Z = 19), el electrón adicional pasa a un estado de energía 4s, en vez de a uno 3d (porque el estado 4s tiene una energía un poco menor).Los siguientes elementos tienen uno o dos electrones en la subcapa 4s, y cantidades cada vez mayores en la subcapa 3d. Todos esos elementos son metales con propiedades químicas y físicas bastante parecidas; forman la primera serie de transición, que comienza con el escandio (Z = 21) y termina con el zinc (Z = 30), para el cual todas las subcapas 3d y 4s están llenas.Algo parecido sucede con Z = 57 hasta Z = 71, que tienen uno o dos electrones en la subcapa 6s, pero con las subcapas 4f y 5d parcialmente llenas. Son los elementos de tierras raras; todos ellos tienen propiedades físicas y químicas muy parecidas. Y todavía hay otra serie, llamada de actínidos, que comienza con Z = 91.

Conclusiones

Ψ1s depende sólo de r, es esféricamente simétrico, esta simetría existe para todos los estados s y la probabilidad de encontrar una partícula en cualquier región es igual a la integral de la densidad de probabilidad IΨ1sI 2 para la partícula en toda la región.

De acuerdo con la mecánica cuántica, el átomo no tiene una frontera definida con precisión, como lo sugiere la teoría de Bohr.

Los números cuánticos son números asociados a magnitudes físicas conservadas en ciertos sistemas cuánticos. Los números cuánticos permiten caracterizar los estados estacionarios, es decir los estados propios del sistema.

El principio de exclusión de Pauli nos dice que en un estado cuántico solo puede haber un electrón. También que en una orientación deben caber dos electrones excepto cuando el número de electrones se ha acabado, por lo cual el orden que debe seguir este ordenamiento en cada nivel es primero los de espín positivo y luego los negativos.

Bibliografía

Serway-Jewett. Física para ciencias e ingeniería con física moderna. Volumen 2, séptima edición. Capítulo 42.

Sears-Zemansky. Física Universitaria con física moderna. Volumen 2, Decimosegunda edición. Capítulo 42.

http://es.wikipedia.org/wiki/Configuraci%C3%B3n_electr%C3%B3nica

http://youtube.com/watch?vNLsOWEnG-oE