Integración de funciones racionales de seno y coseno

1. 2. Integracin de funciones racionales de seno y coseno3. Bibliografa recomendadaMDULO 1INTEGRALES INDEFINIDASUsted est familiarizado con algunas operaciones inversas. La adicin y la sustraccin son operaciones inversas, la multiplicacin y la divisin son tambin operaciones inversas, as como la potenciacin y la extraccin de races. Ahora, conocer la operacin inversa la de derivacin o diferenciacin denominada antiderivacin o antidiferenciacin, la cual implica el clculo de una antiderivada.Antiderivada.Una funcin F se denomina antiderivada de una funcin f en un intervalo I si para todo Ejemplo.Si F es la funcin definida por entonces De modo que si entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f. Si G es la funcin definida por entonces G tambin es una antiderivada de f, porque En realidad, cualquier funcin H definida por donde C es una constante, es una antiderivada de f.Teorema 1.Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que para todo entonces existe una constante K tal que para todo "La antiderivacin o antidiferenciacin es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una funcin dada. El smbolo denota la operacin de antiderivacin, y se escribe donde y En la igualdadx es la variable de integracin, es el integrando y la expresin recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de f. Si es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean tambin es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es Teorema 2.

Teorema 3.donde a es una constante.Teorema 4.Si las funciones f y g estn definidas en el mismo intervalo, entonces Teorema 5.Si las funciones estn definidas en el mismo intervalo, entonces donde son constantes.Teorema 6.Si n es un nmero racional, entonces

Ejemplos.1) Evale Solucin.

2) Calcule Solucin.

3) Determine Solucin.

Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonomtricas seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciacin. A continuacin se presentan tales teoremas.

Teorema 7.

Teorema 8.

Teorema 9.

Teorema 10.

Teorema 11.

Teorema 12.


Las identidades trigonomtricas se emplean con frecuencia cuando se calculan integrales indefinidas que involucran funciones trigonomtricas. Las ocho identidades trigonomtricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.

2) Calcule Solucin.

3) Determine Solucin.

Ejercicios.Calcule las integrales indefinidas:

Teorema 13. Regla de la cadena para antiderivacin.Sea g una funcin diferenciable y sea el contradominio de g algn intervalo I. Suponga que f es una funcin definida en I y que F es una antiderivada de f en I. Entonces Teorema 14.Si g es una funcin diferenciable y n es un nmero racional, entonces Ejemplos.1) Evale Solucin.

y observe que si entonces Por lo tanto, se necesita un factor 3 junto a para obtener En consecuencia, se escribe

2) Calcule Solucin.Observe que si entonces Por lo tanto, necesitamos un factor 6 junto a para obtener Luego, se escribe 3)Evale Solucin.Como se escribe

Ejercicios.Resuelva:

En los teoremas que se presentan a continuacin es una funcin de x, es decir, Teorema 15.

Ejemplo.Evale Solucin.En este caso por lo tanto, luego se necesita un factor 3 junto a para obtener Entonces, se escribe

Teorema 16.

Ejemplo.Calcule Solucin.Consideremos tenemos que luego necesitamos un factor 6 junto a para obtener Por lo tanto,

Teorema 17.

Ejemplo.Calcule Solucin.Como entonces por lo tanto,

Teorema 18.

Ejemplo.Evale Solucin.Siendo entonces luego, podemos escribir

Teorema 19.

Ejemplo.Resuelva Solucin.

Ejercicios.Resuelva las integrales indefinidas:

Teorema 20.

Ejemplo.Evale Solucin.Sea entonces, por lo tanto

Teorema 21.

Ejemplo.Evale Solucin.Como se aplica el teorema 21 con de donde obtenemos, entonces

Ejercicios.En los siguientes ejercicios evale la integral indefinida.

A partir de las frmulas de las derivadas de las funciones trigonomtricas inversas se obtienen algunas frmulas de integrales indefinidas. El teorema siguiente proporciona tres de estas frmulas.Teorema 22.

El teorema siguiente proporciona algunas frmulas ms generales.Teorema 23.


2) Evale Solucin.

Con la finalidad de completar el cuadrado de se suma y como est multiplicado por 3 en realidad se suma es al denominador, de modo que para que la expresin del denominador persista, es decir, no se altere, se resta tambin Por lo tanto, se tiene

3) Evale Solucin.

Las frmulas de integracin indefinida del teorema siguientes son consecuencia inmediata de las frmulas de las derivadas de las funciones hiperblicas.Teorema 24.


2) Evale

Ejercicios.

Antes de estudiar los diferentes mtodos de integracin, se presenta una lista numerada de las frmulas tpicas de integracin indefinida las cuales deben ser memorizadas por el estudiante para un mejor desenvolvimiento.

Emprendamos el estudio de los mtodos de integracin. Uno de los mtodos ms ampliamente usados en la resolucin de integrales es la integracin por partes.INTEGRACIN POR PARTESLa frmula de la integracin por partes es la siguiente:

Esta frmula expresa a la integral en trminos de la integral Mediante una eleccin adecuada de u y dv, puede evaluarse ms fcilmente integral Ejemplos.1) Evaluar Solucin.Tomemos u = ln x y dv = x dx, por lo tanto, y luego, 2) Evaluar Solucin.

Sea y entonces, y por lo tanto, Ejercicios.Evale las integrales indefinidas.

INTEGRALES TRIGONOMTRICASLas integrales trigonomtricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonomtricas.CASO 1.(i) o (ii) donde n es un nmero entero positivo impar.(i) Se hace la transformacin

(ii) Se hace la transformacin

Ejemplos.1) Calcule Solucin.

2) Calcule Solucin.

CASO 2.donde al menos uno de los exponentes es un nmero entero positivo impar. En la solucin de este caso se utiliza un mtodo semejante al empleado en el caso 1.(i) Si n es impar, entonces

(ii) Si m es impar, entonces

Ejemplo.

Cuando ninguno de los exponentes de las potencias seno y coseno es impar, no se pueden seguir los procedimientos expuestos en los casos 1 y 2. En tal caso se deben tomar muy en cuenta las identidades siguientes:

CASO 3.(i) (ii) o (iii) donde m y n son nmeros enteros positivos pares.(i) Se hace la transformacin


(iii) Se hace la transformacin

Ejemplos.

CASO 4.(i) o (ii) donde n es un nmero entero positivo.(i) Se hace la transformacin



2) Evale Solucin.

CASO 5.(i) o (ii) donde n es un nmero entero positivo par.(i) Se hace la transformacin


Ejemplo.Evale Solucin.

CASO 6.(i) o (ii) donde m es un entero positivo par.(i) Se hace la transformacin



CASO 7.(i) o (ii) donde m es un entero positivo impar.i) Se hace la transformacin



CASO 8.(i) o (ii) donde n es un nmero entero positivo impar.Aplique integracin por partes.(i) Considere y (ii) Considere y Ejemplo.Evale Solucin.Sean Aplicando el mtodo de integracin por partes tenemos:

Luego, Evaluemos la integral I aplicando el mtodo de integracin por partes:Sean Entonces, Por lo tanto,

En conclusin,

CASO 9.(i) o (ii) donde n es un entero positivo par y m es un entero positivo impar.Exprese el integrando en trminos de potencias impares de la secante o cosecante y despus siga las sugerencias del caso 8.(i) Se hace la transformacin



Las integrales A y B las resolvimos en el ejemplo del caso 8.La solucin de A es: La solucin de B es: Por lo tanto,

CASO 10.(i) (i) o (iii) m?n.(i) Se hace la transformacin


(iii) Se hace la transformacin

Ejemplo.Evale

Solucin.

Ejercicios.Determine las integrales indefinidas indicadas a continuacin.

INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOMTRICASe mostrar con tres casos cmo el cambio de variable mediante sustitucin trigonomtrica permite con frecuencia evaluar una integral que contiene una expresin de una de las formas siguientes donde a > 0:

CASO 1.El integrando contiene una expresin de la forma donde a > 0.Se introduce una nueva variable considerando dondesi y si x < 0Ejemplos.1) Evale Solucin.Sabemos que:Hagamos el cambio y diferenciemos el primer miembro con respecto de x y al segundo miembro con respecto de entonces, Sustituyendo obtenemos:

Ahora, como y entonces, Otra manera de resolver.Observemos la siguiente figura:

Es evidente por trigonometra que: y luego, despejando x se obtiene: Por lo tanto,

Como hemos indicado anteriormente, yentonces2) Evale Solucin.Comohaciendo el cambio tenemos:Por lo tanto,

Pero, y en conclusin.

Resolvamos teniendo en cuenta la figura siguiente:

Obviamente, y Por lo tanto,

A partir de la figura se tiene: y entonces,

CASO 2.El integrando contiene una expresin de la forma donde a > 0.Introduzca una variable considerando dondesi y si x < 0Ejemplo.Evale Solucin.haciendo el cambio: obtenemos, y Sustituyendo nos queda:

La integral A se evala por partes, as:Sea y sustituyendo:

Luego,

Consecuentemente,

Pero, por lo tanto, sustituyendo resulta:

CASO 3.El integrando contiene una expresin de la forma donde a > 0.Introduzca una variable considerando dondesi y si Ejemplo.Evale Solucin.

Luego debemos hacer el cambio: adems,

Sustituyendo,

Pero, y Sustituyendo nuevamente obtenemos:

Ahora, resolvamos a partir de la siguiente figura.

Evidentemente, y luego,Como y entonces

Ejercicios.Calcule las siguientes integrales indefinidas. (En los ejercicios 2, 3, 6, 7 y 9 resuelva completando cuadrados)

INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALESSi se quiere integrar el cociente de dos funciones polinmicas y el grado del numerador es mayor que el del denominador, primero debe efectuarse la divisin.Ejemplo.

Al efectuar la divisin de dos polinomios, obtenemos un polinomio cociente ms el resto sobre el divisor. En el ejemplo anterior, la expresin: pudo integrarse de inmediato. En otros casos, se la debe descomponer en fracciones simples, como se indicar a continuacin.Sabemos que: y grado grado La integral de q es inmediata, ya que q es un polinomio, y el problema se reduce a integrar el cociente de dos funciones polinmicas cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador.El procedimiento bsico en ste mtodo de integracin, es la descomposicin del cociente en fracciones simples, para lo cual, deben hallarse, primero, las races del polinomio correspondiente al denominador.A continuacin se presentan cuatro casos segn las races sean reales o imaginarias, simples o compuestas.

CASO 1.Las raices del denominador son reales y simples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales diferentes.Ejemplo1.

Las races del denominador son: y luego, por lo tanto, Para calcular el valor de A y B, multiplicamos ambos miembros de la igualdad anterior por as:

Luego, Por lo tanto,

Ejemplo 2.

Las races del denominador son: y luego, y ahora, multiplicando ambos miembros de sta ltima igualdad por el denominador obtenemos:

Luego, Por lo tanto,

CASO 2.Las races del denominador son reales y mltiples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales, algunos repetidos.Ejemplo.

Las races del denominador son: y luego,y multiplicando ambos miembros de sta ltima igualdad por obtenemos:

Luego, como no existe otro valor de x que anule alguno de los sumandos, conviene elegir cualquier valor que facilite los clculos.Por ejemplo, Reemplacemos A y C por los valores obtenidos, y despejemos B: Por lo tanto,

CAS0 3.El denominador tiene races complejas, no reales, simples. En el factoreo del denominador aparecen polinomios cuadrticos irreducibles, todos distintos entre s.Ejemplo.

Las races del denominador son: y Entonces, con lo que Multiplicando ambos miembros de sta ltima igualdad por obtenemos:

De la ltima igualdad se tiene:y Resolviendo el sistema, y Por lo tanto,

CASO 4.El denominador tiene races complejas, no reales, mltiples. En el factoreo aparecen factores cuadrticos irreducibles repetidos.Ejemplo.

El denominador no tiene races reales (no se anula para nmero real alguno), por lo que hacemos el cambio para calcular las races complejas.En efecto,Las races en funcin de son: y (races mltiples).Entonces, con lo que,

Multiplicando ambos miembros de sta ltima igualdad por obtenemos: De sta ltima igualdad se tiene que: y Por lo tanto, Ejercicios.Resuelva las siguientes integrales.

Ahora, veamos como resolver integrales cuando en el integrando aparecen expresiones de la forma: 1.Se efecta el cambio de variable 2.Se efecta el cambio de variable 3.Se efecta el cambio de variable o bien

Ejemplos.1) Calcular Hagamos el cambio luego, y por lo tanto, 2)Calcular Haciendo el cambio tendremos, por lo tanto,

3) Calcular Haciendo el cambio tendremos,y luego,entonces,

3)Calcular Haciendo el cambio tendremos,luego,por lo tanto,

Ejercicios.Resuelva:

INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENOSi el integrando es una funcin racional de y se puede reducir a una funcin racional de z mediante la sustitucin Con la finalidad de obtener la frmula para y en trminos de z se utilizan las identidades siguientes: y Entonces se tiene,

Como entonces por lo tanto, Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema.

Teorema 25.Si entonces:

Ejemplos.1) Evale Haciendo el cambio entonces 2) Calcule Como y entonces

3) Evale Haciendo el cambio entonces Ejercicios.

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