RESOLVER TRIÁNGULOS USANDO LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS

G.FG.11.5.1J. Pomales / febrero 2010

¿QUÉ ES TRIGONOMETRÍA?

• Significado etimológico:– “la medición de los triángulos”

• Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

• Es el estudio de las funciones fundamentales: seno, coseno, tangente y sus respectivas inversas: cosecante, secante y cotangente.

¿QUÉ HAREMOS HOY?

• Repasaremos las partes del triángulo rectángulo y el Teorema de Pitágoras.

• Resolveremos triángulos rectángulos usando las funciones básicas del seno (sen) y coseno (cos).

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

900

hipo

tenus

a

(a,b)Recuerden que

el ángulo de referencia

determina los lados opuesto y adyacente llamados catetos

La hipotenusa siempre será el lado más

largo.

Los ángulos distintos del ángulo recto son agudos.

adyacente

opuesto

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

β

900

opuesto

adyacentehipo

tenus

a

(a,b)

Los catetos cambian de

posición.

Observa lo que ocurre al

cambiar el ángulo de referencia.

TEOREMA DE PITÁGORAS

900

hipo

tenus

a

(a,b)Ejemplo:

TEOREMA DE PITÁGORAS

Utilizado para calcular

lados desconocidos

a2 + b2

= c2 a

adyacente

opuesto

bc

Sia = 3, b = 4calcula c

c

c

c

c

cba

5

25

169

43

2

2

222

222

Solamente usamos la medida positiva

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

sen cos

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

• En esta presentación nos limitaremos a conocer las razones trigonométricas del seno y coseno.

• Para esto, utilizaremos un triángulo rectángulo ubicado en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas rectangulares.

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

• Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo.

• Las tres razones trigonométricas básicas son: seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan).

VÍDEO: Razones trigonométricas en un

triángulo a partir de los lados Tiempo: 5.49 min

Español

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Relaciones Trigonométricas

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

900

a

bc

(a,b)

cbsen

cacos

abtan

bccsc

acsec

bacot

Inversas

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

900

adyacente

opuestohipo

tenus

a

(a,b)

HipOpsen

HipAdycos

AdyOptan

OpHipcsc

AdyHipsec

OpAdycot

Sus InversasRelaciones Trigonométricas

SOH CAH TOA

RESOLVER TRIÁNGULOS

55º

hb

12 cm

x

VIDEOS EXPLICATIVOS(INGLÉS)

BASIC TRIGONOMETRY REVIEW

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Tiempo: 2.31 minTiempo: 5.27 min

RESOLVER TRIÁNGULOS

• Cuando decimos que vamos a resolver triángulos lo que haremos será hallar todas las medidas de sus tres lados y tres ángulos.

• Obviamente, si tenemos un triángulo rectángulo ya conocemos uno de sus ángulos. ¿Cuál es?

• No olvidemos que al utilizar las funciones trigonométricas debemos conocer la medida de uno de sus ángulos agudos y la de uno de sus lados.

RESOLVER TRIÁNGULOS

• Como tenemos dos de los tres ángulos será fácil calcular x

• Sabemos que la suma de los tres ángulos en un triángulo es 180º.

• Si uno de ellos es 90º, la suma de los otros dos será 90º. Así que:

• Por lo tanto, x = 35º

55º

hb

12 cm

x

35

5590

x

x

RESOLVER TRIÁNGULOS

• Como solamente tenemos la medida de uno de sus lados no podremos utilizar el Teorema de Pitágoras.

• Así que debemos utilizar una de las funciones trigonométricas para las cuales tengamos todos sus valores.

• Si utilizas:– Seno, ¿cuál tiene que ser el ángulo

de referencia ? ¿Por qué?– Coseno, ¿cuál tiene que ser el

ángulo de referencia ? ¿Por qué?

55º

hb

12 cm

35º

RESOLVER TRIÁNGULOS

55º

hb

12 cm

35º

HipOpsen

HipAdycos

= 35º = 55º

cmh

hh

sensenh

h

h

92.20

35sen

35sen

3512

3535sen

12

12

cmh

hh

h

h

h

92.20

5cos5

55cos

55cos12

55cos5cos5

12

12

Hacemos una aproximación a la centésima (dos lugares decimales)

¿Cuál prefieres usar? ¿Por qué?

RESOLVER TRIÁNGULOS

55º

≈20.92b

12 cm

35º

• Ahora nos falta calcular b.• Si lo deseas podremos utilizar el

Teorema de Pitágoras:

cm 14.17

6464.293

1446464.437

6464.437144

92.2012

2

2

2

222

222

b

b

b

b

b

cba

Aunque este valor se pudo haber calculadocon la tangente preferimos usar Pitágoras.

≈17.14

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

b

βc

a

CALCULA LOS VALORES DEL SENO Y COSENO

De ser necesario aproxima tu contestación a la centésima más cercana.

1) = 30º

2) = 60º

3) = 90º

4) = 18º

5) = 25º

6) = 57º

7)

8)

12

5

3.1

8.3

CALCULA EL VALOR X EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES

De ser necesario aproxima tu contestación a la centésima más cercana.

9) 10)

11)

15

8

x62

32ºx

43ºx

9 cm

Resuelve las partes que falten en cada

uno de ellos.

RESUELVE CADA TRIÁNGULO

Utiliza la información dada y el triángulo marcado de la izquierda

b

βc

a

12) = 17.8º c = 3.45

13) = 33.7º b = 22.4

14) β = 54º c = 4.3

15) β = 53.21º b = 23.82

16) a = 6.00 c = 8.46

17) b = 10.0 c = 12.6ASIGNACIÓNSi estás conectado a la Internet

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REFERENCIAS

• PRECÁLCULO, Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas

• PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

Vídeos:• Razones trigonométricas en un triángulo a partir de los

lados http://matematicasies.com/spip.php?article933 • Watch Video on Sine Cosine Tangent – SOHCAHTOA

http://www.youtube.com/watch?v=_S35Ht4imhs • Trigonometry Functions http://www.youtube.com/watch?

v=KiKAJ-JUV14&feature=related • Basic trigonometry review

http://www.youtube.com/watch?v=zU02b72cv6E ASIGNACIÓN:• SOHCAHTOA WORKSHEET.

www.mathwarehouse.com/trigonometry/activities-worksheets/SOHCAHTOA_worksheet_lesson.pdf

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Juan A. Pomales ReyesEsc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel

Distrito Escolar de Naguabo

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