INTEGRAL DEFINIDAIsabel Garca Enma Montes Jos Antonio Virto - Pilar Jimnez

Antifonte (411?a.C 480?a.C.)Defini el rea del circulo mediante una sucesin de polgonos inscritos en l.Eudoxo De Cnido (408?a.C-355?a.C) Autor de mtodo de Exahuscion,que conocemos por Euclides, (lo incluy en sus elementos) y por Arqumedes. El mtodo de Exhauscin trataba de forma rigurosa el clculo de reas y volmenes, realizando demostraciones exhaustivas de los resultados, pero tena la desventaja de la necesidad de conocer el resultado para poder demostrarlo. El problema del clculo de reas planas y de volmenes de slidos se remonta a los tiempos de los griegos. Bsicamente existan dos tipos de mtodos: los mtodos heursticos o atmicos, y los mtodos de exhauscin.Introduccin histrica

DemcritoPrecursoresAntifonteGreciaEudoxoArqumedes

Arqumedes (287a.C. 212 a.C.) Hizo grandes contribuciones en el campo de la GEOMETRIA. Calcul reas y volmenes de figuras limitadas por curvas y superficies. Sus mtodos anticiparon el CALCULO INTEGRAL 2.000 aos antes de ser "inventado" por el Isaac NEWTON y Gottfried Wilhelm von LEIBNIZ. Tambin calcul una aproximacin del nmero pi (entre los valores 310/ 71 y 31/ 7) obtenido por circunscribir e inscribir un crculo con polgonos regulares de 96 lados. Cuenta la tradicin que Arqumedes indic que sobre su tumba se esculpiera un cilindro y en l una esfera inscrita. La relacin entre los volmenes de ambos cuerpos es: V Cilindro = 3/2 V Esfera Para llegar a dicho resultado, Arqumedes compar una semiesfera con un cilindro y un cono recto de bases un crculo mximo de la semiesfera. Obtuvo sobre dichos cuerpos tres secciones al cortar por un plano paralelo a las bases y compar las reas obtenidas.

La obra de Arqumedes sobre el clculo de reas y volmenes no tuvo continuacin, transcurrieron casi 20 siglos sin encontrarse progresos importantes en el estudio de este tema.Kepler, en el siglo XVII, retoma el problema al estudiar el volumen de los toneles de vino (con motivo de una gran cosecha de uva en Austria). En 1615 aparece su famosa Stereometra Doliorum en ella el rea del crculo es el rea de un nmero infinito de tringulos, cada uno con un vrtice en el centro y una base en la circunferencia.De forma anloga consideraba el volumen de la esfera como la suma de los volmenes de pequeos conos cuyos vrtices estn en el centro de la esfera y cuyas bases estn en la superficie de la esfera.

Tabla cronolgica

Siglo XVIISiglo XVIIISiglo XIXCavalieri(1598-1647)Fermat(1601-1665)Wallis(1616-1703)Pascal(1623-1662)Barrow(1630-1677)Newton(1642-1727)Leibnitz(1645-1716)Cauchy(1789-1857)Riemann(1826-1867)

Cavalieri(1598-1647) La teora de lo indivisible de Cavalieri, presentada en su Geometra indivisibilis continuorum nova de 1635 era un desarrollo del mtodo exhaustivo de Arqumides incorporado en la teora infinitesimal y pequeas cantidades geomtricas de Kepler. Esta teora permiti a Cavalieri encontrar simple y rpidamente el rea y volumen de varias figuras geomtricas. Para Cavalieri una superficie est constituida por un nmero indefinido de rectas paralelas equidistantes y un slido por un nmero indefinido de reas planas paralelas. A estos elementos los llama los indivisibles del rea y del volumen.Este mtodo a pesar de haber sido criticado, fue utilizado por muchos matemticos entre ellos Pascal,que adems lo reforz sustituyendo los indivisibles por rectngulos infinitesimales.Se acerca as a la definicin actual de integral definida, donde se aproxima el rea con rectngulos convenientemente elegidos.

Isacc, Barrow (1630-1677)

Descubri que los procesos de clculo de tangentes y cuadraturas son inversos. Es lo que hoy llamamos teorema fundamental del clculo integral, que establece que los procesos de derivacin e integracin son inversos uno del otro. Junto con Newton y Leibnitz fueron los cientficos que ms se acercaron al descubrimiento del clculo.

Aos ms tarde, cuando se publicaron los trabajos de Newton, hubo ciertas dudas acerca de si el matemtico alemn Leibnitz era considerado el creador del clculo diferencial. Al parecer ambos independientemente y simultneamente hicieron este notable descubrimientoEl smbolo , aparece por primera vez en un manuscrito fechado el 29 de octubre de 1675, es una estilizacin de la letra inicial de la palabra summa, para denotar la operacin suma de infinitsimos.

Gottfried Von Liebnitz (1645-1716)

En lo conceptual, el clculo de Leibnitz, est ms alejado del nuestro que el de Newton, si embargo la notacin de Leibnitz fue muy acertada, de ella somos herederos directos. Trabaj intensamente el concepto de integral, llegando a la idea de sumar rectngulos, sin embargo el paso de la suma de un nmero finito de rectngulos a otro infinito lo haca de forma ambigua.Isaac Newton (1642-1727)

Descubri unos elementos del clculo diferencial a los que llamo fluxiones. Poco despus dijo que haba encontrado el mtodo inverso de las fluxiones, es decir, el clculo integral y el mtodo para calcular superficies encerradas en curvas y volmenes de slidos

El Clculo Integral fue asentado de forma rigurosa a partir de la nocin de lmite de Cauchy. Pero la integral de Cauchy slo era vlida para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados. Esto dejaba fuera muchas funciones, as que fue Riemann quien defini la integral que lleva su nombre, ampliando la clase de funciones integrables a las funciones continuas salvo en un nmero numerable de discontinuidades; pero la relacin entre derivacin e integracin deja de ser vlida en los puntos de discontinuidad.

Aproximacin al clculo del rea bajo una curva Se divide en intervalo [a, b] en n iguales La figura inscrita est formada por rectngulos cuya altura es el nfimo de f(x) sobre su base. Llamaremos a la suma de todas las reas sn(f) La figura circunscrita est formada por rectngulos cuya altura es el supremo de f(x) sobre su base. Llamaremos a la suma de todas las reas Sn(f)El error de aproximacin del rea R(f; [a, b] por uno cualquiera de los valores es inferior a la diferencia Sn(f) sn(f)

rea bajo una curvaSi la funcin es continua, al ir aumentando el nmero de puntos que se toman en el intervalo [a, b], se obtienen aproximaciones cada vez ms precisas. Al hacer que n tienda a infinito las aproximaciones tienden al valor del rea Funcin reaA(x) asigna a valor x el rea de la regin comprendida entre los ejes, la grfica, y la recta vertical de abcisa x. Se cumple por tanto que A(0) = 0Para una funcin continua, la derivada de la funcin rea A(x) para una abcisa x es igual al valor de la funcin f(x) en x.Por tanto el problema de calcular el rea bajo una funcin positiva f(x) se resuelve buscando funciones cuya derivada sea f(x)

Regin limitada por una curva y el eje OX

rea de R(f; [a, b]) = rea de R(f; [a, b]) = EC \i\in(a;b; [f(x)] dx) = EC \i\in(a;b; f(x) dx)

Signo de la superficie bajo una curva+-

Regin limitada por una funcin con valores positivos y negativos

rea de R(f; [a, b]) = EC \i\in(a;b; |f(x)| dx) = EC \i\in(a;c1; f(x) dx) + EC \i\in(c1;c2;[ f(x)] dx) + EC \i\in(c2;b; f(x) dx)

rea del recinto limitado por una funcin, el eje X y las abscisas x = a, x = b

rea (R) = EC \i\in(a;c; f(x) dx) - \i\in(c;d; f(x) dx) + \i\in(d;e; f(x) dx) - \i\in(e;b; f(x) dx)

Regin limitada por las grficas de dos funciones

rea del recinto entre dos funciones que se cortan

rea (R) = EC \i\in(a;b; [f(x) - g(x)] dx) + \i\in(b;c; [g(x) - f(x)] dx)

Regla de Barrow (I)

rea (R) = EC \i\in(a;b; f(x) dx = [F(x)]\s(b;a) = F(b) - F(a))

Regla de Barrow (II)Si G es otra primitiva de f(x) en [a, b], entonces G(x) = A(x) + C y por tanto:

EC \i\in(a;b; f(x) dx) = A(b) A(a)

EC \i\in(a;b; f(x) dx) = A(b) A(a) = [A(b) + C] [A(a) + C] = G(b) G(a)

que es la regla de Barrow