Integrales 2015
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UNIVERSIDAD PARTICULAR SAN MARTIN
TEMA : INTEGRALES 2015
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INTEGRALES
Definición de Antiderivada
F(x) es la antiderivada de la función f,
F´ (x) = f (x)
Nota: una vez que se haya encontrado la antiderivada de una función, la respuesta siempre puede comprobarse mediante la derivación para obtenerse la función original
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INTEGRALES¿Cuál es la función que dio origen a la siguiente derivada:
f ´ (x) = 3 ?
Respuesta: F(x) =
Por que:
F ´(x) =
f ’ (x) = 3 También se cumple:
F(x) = k
f ’(x) = 3 En general, si F es una antiderivada de f, toda función obtenida al agregar una constante a F será también una antiderivada de f, luego tendremos que: F(x) + k es la solución general, donde k es una constante
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INTEGRALES
2x
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INTEGRALES INDEFINIDASSe denomina así a la antiderivada general de la función. Es decir, si: f(x) es F´(x) ; , entonces: G(x) = F(x) + C ; De la notación se lee:
Sign
o in
tegr
al
Inte
gran
do
Varia
ble
resp
ecto
a la
cua
l se
inte
gra
Antid
eriv
ada
o d
eriv
ada
de f(
x)
Cons
tant
e de
Inte
grac
ion
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INTEGRAL INDEFINIDATambién se cumple:
Es decir, la derivada y la integral son operaciones inversas. Ejemplo: P = P = P =
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INTEGRALES INDEFINIDASPropiedades elementales de la integral indefinida:
a) = x + c
b) = ax + c
c) (n n
d) = + c
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INTEGRALES indefinidase)
f)
g) =
h) (
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INTEGRALES INDEFINIDASHallar las siguientes integrales:
Solución
2) Solución = =
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INTEGRALES INDEFINIDAS
3) Solución
4) Solución
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INTEGRALES INDEFINIDAS
5) Solución
6)
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INTEGRALES INDEFINIDAS7) Solución
8) Solución =
9) Solución
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INTEGRALES INDEFINIDAS
10) Solución
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INTEGRALES INDEFINIDAS
11) Solución : Si entonces se divide: = x +1 + Ahora integramos: dx =
dx = + x +
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INTEGRAL INDEFINIDA
METODO DEL CAMBIO DE VARIABLE =
EJEMPLO 1. Hallar: Hacemos: u = du= 2xdx = = = + K
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INTEGRAL INDEFINIDA2. Hallar: Solución
Hacemos: u = x – 2 du= dx u + 2 = x
= =
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INTEGRAL INDEFINIDAINTEGRALES POR PARTES
Ejemplo 1. Hacemos: u = x dv = du = dx v= = x. = x - + K
u
dv
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INTEGRAL INDEFINIDA2. Hallar: Solución
u = x dv = dx du = dx v = = x. -
= + c
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INTEGRAL INDEFINIDA3.Hallar : Solución u = ln x du = dv = dx v = x = x = x = x
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INTEGRAL DEFINIDA
Integral Definida Sea f(x) una función continua definida en el intervalo [a; b]. Supongamos que la función F es continua en [a; b] y con derivada F´(x) = f(x) para todo x [a: b]. ∈ La integral definida de f en [a; b] es: (Teorema Fundamental del Cálculo)
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INTEGRALES DEFINIDASPROPIEDADES IMPORTANTES:
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INTEGRALES DEFINIDASEJERCICIOS DE APLICACIÓN.En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la integral:
Solución = = =
= 4 - =
1 1
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INTEGRAL DEFINIDA
Solución = =
= = u dv u = dv = du = 2x dx v = Integrando por partes: = - = [ - =
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INTEGRAL DEFINIDA
3.
Solución
= = = = - 3 =
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INTEGRALES DEFINIDAS4. Solución = x + Entonces: = - = - [ - 2 ]
= - [ - 2(] = - [
00
1 1
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INTEGRAL DEFINIDASuponga que el tamaño de una población, denominado N(t), cumple la ecuaciónpara t0.Determine N(t) si N(0)=10.Solución:N(t)=dt u= dv= du= 1/35 v= Integramos por partes: = uv - = - +c N(0)=10 c= - 7,14 = - - 7,14