INTEGRALES IMPROPIAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTADepartamento Acadmico de Matemtica

SEPARATA

Y

X

Rosa N. Llanos Vargas

Nuevo Chimbote- Per2012

INDICE

INTRODUCCIN

Existen dos condiciones que garantizan la existencia de la integral definida. La funcin que es parte del integrando sea continua y que el intervalo de integracin sea cerrado. Cuando alguna de estas condiciones no se cumplen, se extiende la definicin de integral definida para considerar lmites de integracin infinitos y/o discontinuidades de la funcin sobre el intervalo de integracin; a estas integrales se les llama impropias.

La presente separata presenta un enfoque de las integrales impropias de modo que al finalizar su estudio los estudiantes de ingeniera de la Universidad Nacional del Santa estarn en condiciones de analizar la convergencia y evaluar una integral impropia cualquiera.

Se presentan un marco terico de cada subtema, seguido de algunos ejemplos resueltos, empezando con los ms fciles hasta los de mayor dificultad y se han escogido listas de ejercicios y problemas propuestos para propiciar la transferencia.

La separata contiene la definicin de integrales impropias con lmites infinito e integrales impropias con discontinuidad infinita en algn punto del intervalo de integracin, los criterios de convergencia en cada caso , las funciones beta y gamma y sus aplicaciones.

Se agradece a todas las personas que de una u otra forma han contribudo para hacer realidad la presente publicacin. Cualquier sugerencia ser recibida con gratitud y servir para mejorar futuras ediciones de la presente separata en beneficio de los estudiantes.Rosa N. Llanos Vargas

INTEGRALES IMPROPIAS ( I . I )

La definicin de integral definida exige que la funcin integrando sea continua y definida sobre un intervalo cerrado [ a , b ] : Cuando uno o ambos extremos del intervalo de definicin de la funcin no son finitos o cuando la funcin presenta un nmero finito de puntos de discontinuidad inevitable sobre el intervalo [ a, b] ; es decir :

En 4.La funcin f presenta discontinuidad infinita en alguno puntocdel intervalo[a , b]

Todas ellas son llamadas integrales impropias , para cuyo clculo se emplear un proceso de lmite .Las integrales como 1,2,3, son llamadas integrales impropias con lmite infinito, mientras que las integrales como 4, son integrales impropias con discontinuidad.

DEFINICIN DE INTEGRAL IMPROPIA CON LIMITE SUPERIOR INFINITO

1.-Si f es continua en [ a, + > , y si el lmite existe , entonces

DEFINICIN DE INTEGRAL IMPROPIA CON LIMITE INFERIOR INFINITO2-Si f es continua en < - , b ] , y si el lmite existe , entonces

Si los lmites en cada caso existen, se dice que la integral impropia es convergente y el valor de la integral es el valor del lmite , en caso contrario se dice que la integral impropia es divergente .

DEFINICIN DE INTEGRAL IMPROPIA CON LIMITE SUPERIOR E INFERIOR INFINITO

3.-Si f es continua en < - , + > , entonces

Estas se reducen a los casos 1 y 2, respectivamente .

X

La integral Converge si ambas integrales convergen. Y diverge si alguna de ellas diverge.

Ejemplo 1 . Evaluar la integral, si es convergente SolucinPor definicin 1.

En primer lugar, calculamos la integral

En segundo lugar, calculamos el lmite de la ltima expresin

Por consiguiente

Ejemplo 2.calcular la integral, en caso de ser convergente

Solucin Por la definicin 2., se tiene,

Calculamos la integral Calculamos el lmite de la expresin anterior

Por lo tanto,

Ejemplo 3. Evaluar la integral, si es convergente,

Solucin Por definicin 3.

Calculamos la primera integral

Entonces

Calculamos la segunda integral

Entonces

Reemplazando ( 1 ) y ( 2 ) en (* ) , resulta

DEFINICIN DE INTEGRAL IMPROPIA CON DISCONTINUIDAD INFINITA EN SU LMITE INFERIOR

4.-Si f es continua en < a, b ] y si : entonces Siempre que el lmite existaa b XY

Ejemplo 4. Evaluar la integral, si es convergente Solucin

f (x) = presenta una discontinuidad infinita en el punto x =1, que es el lmite superior de la integral a calcular. Por definicin,

Calculamos la integral definida

Por consiguiente

DEFINICIN DE INTEGRAL IMPROPIA CON DISCONTINUIDAD INFINITA EN SU LMITE SUPERIOR

5.- Si f es continua en [a, b > y si : entonces

DEFINICIN DE INTEGRAL IMPROPIA CON DISCONTINUIDAD INFINITA EN UN PUNTO INTERIOR 6.- Si f es continua en [ a , b ], excepto en c, donde a < c < b y si

Entonces

Si las dos integrales son convergentes.Ejemplo 5.Calcular la integral, si es convergente, x=3 Solucin

La funcin f( x ) = Es discontinua en x = 3, como se

observa en la grfica, por lo que

Analizamos la primera integral

Calculamos primero la integral Calculamos el lmite

Por consiguiente la integral divergeEn conclusin diverge

Resolucin de ejercicios , cuando los lmites son infinitos

Ejemplo 6.Calcular la siguiente integral, si existen Solucin

El problema , en este caso es el lmite superior ( +), entonces por definicin

Primero calculamos la integral , utilizando el mtodo de integracin por partes , donde u = x du = dxdv = e-xdx v = - e-x

En segundo lugar calculamos el lmite de la ltima expresin

Toda vez que

Aplicamos la regla de LHospital ,

Adems es obvio que

Entonces

En consecuencia

Ejemplo 7. Evaluar la integral Solucin

Evaluamos la primera integral

Pero ) no existe , por lo que es divergente, y por lo tanto la integral es divergenteAlgunas integrales impropias con lmite infinito

1.- La integral p: para a > 0 y p un nmero real, converge si p > 1 y diverge en otros casos calculamos la integral:

El lmite es infinito si 1 - p y su valor es cuando 1- p < 0 ; es decir la integral p converge si p > 1.

2.- La integral exponencial ,FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

EJEMPLOS.- Calcular, en caso de existir :

CRITERIOS DE CONVERGENCIA : I.I con lmites infinitos

1.- Criterio de comparacin :_ Sean f y g dos funciones tales que f ( x ) > 0 , g (x) > 0 y f (x) < g (x) para todo x > a ; entonces :

2.- Criterio del Cociente .- Si f y g son funciones no negativas sobre [ a , + oo > y si :

3.- Teorema.- Sea xp f (x) = A , si f ( x ) 0 y si A es un nmero real no nulo

4.-Convergencia Absoluta y Condicional .- La integral :

La transformada de Laplace .- Si f es una funcin definida para todos los valores positivos de t , la transformada de Laplace de la funcin f se define por :Si esa integral existe . A continuacin halle la transformada de Laplace de :1.- f ( t ) = 1, 2.- f ( t ) = t , 3.- f ( t ) = t , 4.- f ( t ) = Cos a t ,5.- f ( t ) = ea t

ALGUNAS INTEGRALES CON INTEGRANDO DISCONTINUO

CRITERIOS DE CONVERGENCIA : I . I. Con integrando discontinuo Para los criterios a continuacin, se ha considerado el caso en que f(x) no es acotada en el punto a del intervalo [a , b] 1.- Criterio de comparacin :_ Sean f y g dos funciones tales que f ( x ) > 0 , g (x) > 0 y f (x) < g (x) para todo elemento de < a , b ] ; entonces :

2.- Criterio del Cociente .- Si f y g son funciones no negativas sobre < a , b ] y si :

3.- Teorema.- Sea (x a )p f (x) = A , si f(x) 0 y A es un nmero real no nulo, Si f n o es acotada en x = b , se tiene :

4.-Teorema.- Sea (b x )p f (x) = A , f(x) 0 y A es un nmero real no nulo, entoncesSi f n o es acotada en el punto x = c donde c es un elemento de < a , b ] se emplear una combinacin de estos teoremas

5.-Convergencia Absoluta y Condicional .- La integral :

FUNCION GAMMA

DEFINICIN .- La funcin Gamma , est definida para todo nmero real positivo y su regla de correspondencia es la siguiente ,

, converge para x > 0

La funcin f(t) = ; es continua en < 0, +oo > . f es discontinua en t = 0 si x - 1 < 0 ; es decir si x < 1. Si a < 0 , +oo > , entonces :

donde f(t) =

Para (1) , si t 0 , entonces e-t 1 , lo cual implica que , converge si 1-x < 1 x > 0 .Es decir la integral ( 1) converge si x > 0

Al analizar (2) llegars a una conclusin similar

PROPIEDADES :

OBSEVACION .- Si en la regla de correspondencia de la funcin gamma , se hace :

u = e - t entonces t = ln ( u 1 ) = - lnu ; luego dt = -u 1 du en consecuencia

FUNCIN BETA

Definicin.- la funcin beta es definida para valores positivos de m y n por :

y converge si m > 0 y n > 0

La funcin f( x ) = x m - 1 ( 1 x ) n - 1 es continua en < 0 , 1 > .

f ( x ) es discontinua en x = 0 si m -1 < 0 en x = 1 cuando n 1 < 0 ; en estos casos , si se elige un nmero A < 0 , 1 >

Si x = 0 , f (x ) ; la integral converge si 1 m < 1 ; es decir si m > 0

Si x = 1 , f (x ) ; la integral converge si 1 n < 1 ; es decir si m > 0

PROPIEDADES :

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