Integrales por sustitución...

Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I

Integrales por sustitución

Trigonométrica

Los ejercicios que se presentarán en este materialpretenden aclarar las dudas sobre integración por elmétodo de sustitución trigonométrica.

Para hacer uso de este método es necesario hacer uncambio en la expresión algebraica por su equivalenteen una expresión trigonométrica.

Presentación

2

Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII

Índice

Presentación 2

A manera de inicio 4Ejercicio 1 6Ejercicio 2 13Ejercicio 3 21Cierre 27Créditos 28

3


Al calcular integrales de la forma ∫ "# − %# &% esnecesario recordar las identidades trigonométricaspitagóricas:

'()# * + ,-'# * = 1'(,# * = 1 + *")# *

Las cuales nos permiten eliminar la raíz delintegrando.

Además es importante recordar el teorema dePitágoras:

"#+0# = ,#

A manera de inicio

4


De la siguiente forma se hacen las sustituciones:

1. Si tenemos la integral

∫ "# − %# &% % = ( )*+ ,


∫ %# − "# &% % = ( )*- ,


∫ %# + "# &% % = ( ,(+ ,

A manera de inicio

5


Calcule la siguiente integral

! "# − %&% '%

Paso 1 Se hace la sustitución para el caso ∫ )* − +* ,+,para lo que se usa + = ) ./0 1

+ = 4 ./0 1,+ = 4 34. 1 ,1

! 16 − +*+ ,+ = !

16 − 4./0 1 *

4 ./0 1 434. 1 ,1

Ejercicio 1

Recuerde:) = 16 ⇒ ) = 4

6


Paso 2 Simplificando la expresión

!16 − 4&'( ) *

4 &'( ) 4+,& ) -)

= ! 16 − 16 &'(* )4 &'( ) 4+,& ) -)

= !16 1 − &'(* )

4 &'( ) 4+,& ) -)

= !4 +,&* )&'( ) +,& ) -)

= !4+,& )&'( ) +,& ) -) = !4+,&* )

&'( ) -)

Ejercicio 1

Se sustituye+,&* ) = 1 − &'(* )

7


Paso 3 Se cambia la expresión

!"#$ % = 1 − #)*$ %

+4 1 − #)*$ %

#)* % -%

Paso 4 Se separan las fracciones y simplifica

= 4+ 1#)* % − #)*

$ %#)* % -%

= 4+!#! % − #)* % -%

Ejercicio 1

Se sustituye

!#! % = 1#)* %

8


Paso 5 Se separan las integrales por términos

4"#$# % − $'( % )% = 4"#$# % )% − 4"$'( % )%

Paso 6 Se resuelve las integrales

4"#$# % )% − 4"$'( % )%

4+( #$# % − #,% % + 4#,$ % + .

Ejercicio 1

Recuerde:

"#$# % )% = +( #$# % − #,% % + .

9


Paso 7 Ahora para hacer el cambio de la variable a lostérminos originales tomamos ! = 4$%& ' ydespejamos el $%& '

! = 4$%& '$%& ' = (

)

Paso 8Con $%& ' = (

) se construye un triángulorectángulo y el cateto faltante se calcula conPitágoras

Ejercicio 1

Recuerde:

$%& ' = *+'%', -./%$',01.,'%&/$+

10


Paso 9Según el triángulo se sustituyen los valores de lasrazones trigonométricas

4"# $%$ & − $(& & + 4$(% & + *

Ejercicio 1

Recuerde:$%$ & = ,-./012345

65010/ 7.3140/ $(& & = 65010/ 89:5;120165010/ 7.3140/

$(% & = *<&=&( >?@<$=#&=ABC(&=#D%<

11


Continúa el paso 9

4"# $%$ & − $(& & + 4$(% & + *

4"# +4 −

16 − +.+ + 4 / 16 − +.

4 + *

Paso 10Respuesta

Ejercicio 1

4"# +4 −

16 − +.+ + 16 − +. + *

12



! "#$ #$ + $&

'#

Paso 1 Se hace la sustitución para el caso ∫ )* + +* ,),para lo que se usa

) = + .+/ .) = 5 .+/ .

,) = 5 123* . ,.! 1)* )* + 25

,)

= ! 1

5 .+/ . * 25 − 5.+/ . *5123* . ,.

Ejercicio 2

Recuerde:+ = 25 ⇒ + = 5

13



! 1

5 $%& $ ' 25 + 5$%& $ '5*+,' $ -$

= ! 5*+,' $ -$25 $%&' $ 25 + 25 $%&' $

= ! 5*+,' $ -$

25 $%&' $ 25 1 + $%&' $

= ! *+,' $ -$5 $%&' $ 5 1 + $%&' $

= ! *+,' $ -$25 $%&' $ *+,' $

= ! *+,' $ -$25 $%&' $ *+, $

Ejercicio 2

Se sustituye*+,' $ = 1 + $%&' $

14


Continúa paso 2

! "#$ % &%25 %)*+ % = 1

25!"#$ % &%%)*+ % =

Paso 3Se sustituyen las expresiones

%)*+ % = ./01 234.1 2

"#$ % = 1$5" %

125!

"#$ % &%%)*+ % = 1

25!1

$5" %"#*+ %$5"+ %

&%

125!

$5"+ %$5" % "#*+ % &% = 1

25!$5" %"#*+ % &%

Ejercicio 2

15


Paso 4 Se sustituye

! = #$% &'! = ()# & '&

125-

()# &#$%. & '& = 1

25-1!. '! =

125-!

/. '!

Paso 5 Se resuelve la integral por sustitución

125-!

/. '!

= 125 0

!/.12−2 + 1 + 5

= 125 0

!/2−1 + 5

Ejercicio 2

16


Paso 6 Se cambia ! = #$% &

125 *

!+,−1 + /

= 125 *

#$%+, &−1 + /

= 125 *

−1#$% & + /

= 125 * −0#0 & + /

Ejercicio 2

Recuerde:

0#0 & = 1#$% &

17


Paso 7Ahora para hacer el cambio de la variable a lostérminos originales tomamos ! = 5 $%& $ ydespejamos el $%& $

! = 5 $%& $$%& $ = '

(Paso 8Con$%& $ = '

( se construye un triángulo rectánguloy la hipotenusa faltante se calcula con Pitágoras

Ejercicio 2

Recuerde:

$%& $ = )%$*$+ ,-.*/$+)%$*$+ 012%3*&$*

18


Paso 9 Según el triángulo se sustituyen los valores de lasrazones trigonométricas

125 $ −&'& ( + *

Ejercicio 2

Recuerde:

&'& ( = ,-./(012'3*3(0(/ 4.20'(/

19


Continuación paso 9 125 $ −&'& ( + *

125 $ −

+, + 25+ + *

− +, + 2525+ + *

Paso 10Respuesta

Ejercicio 2

− +, + 2525+ + *

20



! "#$ #$ − &

'#

Paso 1 Se hace la sustitución para el caso ∫ )* − +* ,),para lo que se usa ) = + ./0 1

) = 7 ./0 1,) = 7 ./0 1 1+3 1 ,1

! 1)* )* − 7

,) = ! 7 ./0 1 1+3 1 ,1

7 ./0 1*

7 ./0 1*− 7

Ejercicio 3

Recuerde:+ = 7

21



! 7 #$% & &'( & )&

7 #$% &*

7 #$% &*− 7

= ! 7 #$% & &'( & )&7 #$%* & 7#$%* & − 7

= ! 7 #$% & &'( & )&7 #$%* & 7 #$%* & − 1

= ! 7 #$% & &'( & )&7 #$%* & 7 #$%* & − 1

= ! 7 #$% & &'( & )&7 #$%* & 7 &'(* &

= ! &'( & )&7 #$% & &'( &

Ejercicio 3

Se sustituye#$%* & − 1 = &'(* &

22


Continúa Paso 2

! 1#$7 &'( $ = 1

7!1#$&'( $

Paso 3Se sustituye la expresión (*& $ = +

,-. /

17!

1#$&'( $ =

17!(*& $ #$

Paso 4Se calcula la integral

17!(*& $ #$ =

17 &'0 $ + 2

Ejercicio 3

23


Paso 5Ahora para hacer el cambio de la variable a lostérminos originales tomamos ! = 7 $%& ' ydespejamos el $%& '

! = 7 $%& '$%& ' = (

)

Paso 6Con$%& ' = (

)se construye un triángulo rectánguloy el cateto faltante se calcula con Pitágoras

Ejercicio 3

Recuerde:

$%* ' = +,'%'- ./0%$'-12/-'%*0$,

24


Paso 7 Según el triángulo se sustituyen los valores de lasrazones trigonométricas

17 #$% & + (

Ejercicio 3

Recuerde:

#$% & = (*&$&+ ,-.$#&+/0-+&$%.#*

25


Continuación paso 7 17 #$% & + (

17 )

*+ − 7* + (

*+ − 77* + (

Paso 8Respuesta

Ejercicio 3

*+ − 77* + (

26


Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara resolver problemas de Integración porsustitución trigonométrica, con los cuáles puedaconstruir los nuevos conocimientos que vendránen Cálculo I.

A manera de cierre

«Las matemáticas no conocen razas o límites geográficos.

Para las matemáticas, el mundo cultural es un país».

David Hilbert.

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CréditosUniversidad Técnica Nacional

Coordinación de Matemáticas y Estadística

ContenidoAutor: Gerardo Arroyo Brenes

Producción del recurso didáctico:Productora académica: Guadalupe Zúñiga Camacho

Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde

Derecho de AutorQueda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Sustitución Trigonométrica], porcualquier medio o procedimiento, conocido o porconocerse, sin el consentimiento previo de los titularesde los derechos, así como de las obras literarias,artísticas o científicas particulares que contiene.

Tema: Sustitución Trigonométrica Unidad XII

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