Integrales y funciones resueltas para selectividad
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Y DE LA SADUD / TTtrC[SO]t@@fA ALGOR,ITMO mnaü áüflees o TI tl E__l w solueflonarflo trilS@NAS Dtr DA N$ATURA&trZA ¡ EE BACHILTERATO
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Esto es parte de un solucionario de Matemáticas de 2º de bachiller. Concretamente de los ultimos temas: Integrales y análisis de funciones. Puede ser muy util para selectividad.Pueden descargar el pdf en:http://www.mediafire.com/download.php?mmmy1gxyjrqEspero que sea de ayuda!!
Transcript of Integrales y funciones resueltas para selectividad
Y DE LA SADUD / TTtrC[SO]t@@fA
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trilS@NAS Dtr DA N$ATURA&trZA¡
EEBACHILTERATO
17> I NIEqEA!ES_!XAEfl N I DAS
EJERCICIOS
ca¡"ut., i-4-r(x - rF
r¡po poi,enciar. Basta pasa, a expon6nte nesai¡vo er radica*",/¡l¡ = J C _ ,r "0, =
t-L¡¡cura. Jx\ 1 + ¡ ,d¡
r ipo rarz cuadrada o porsnci"r , I , r , f -= a" =1/zx (1 +f) tdx =l tr n r¡ : * 6
cur"'r", f -{ 0,r vr + ¡¿
r¡po nrz cuad€da o porenc" /r¡ i ; . , _.]_: la¡ = svi-?i + c
cur*r". J !3 o,
ripo potE"crar, i+ dx =
/ c, .r ¿, = ¿t r" * c
carcura, J
I cx
r ipo por.nciár: /Ydr =.11., r* = ] * , _
"
c"r*r'. j -l- c,
r¡po por6nciar de 6xpon6nr6 ""r"r"", J + d" =
/ L , , . I o" = I r " "
* "
"ur"r". i \i-, tei,"I co. : t
t'oo_Ly:1* *o **rada s6 esc,ib€ con qpon€nto nacc@¡ario:
lv**q * = j 1,' + 2 rst)r 2 sec¡x dx - I o + 2 rs r: + c
1
325
17.4.
17.9.
c.rcuhr f- Ldx
rjeo ros*r'mico:/ry-+; = 1/ --9= o, : 1 r **o *c
c"*". /n-i , *
rinoros",rr'i"o, / ¡+0, - iJ ¡?¡* = i. o, _ "
_ "
tzro. carcura, j-f or
tpo "n"," ." , "o, / ¡ . r "L - /* . i * = ur, .
"
tt.tt. c.ro,r". /-i_ c"
/ . ;*=/ , , I ; , " - iH*-¡_L,x_,)rc
12.12. c.r*r.,/ffi c"
/? - i*
- Í* i r ." . / -h* - L(t ' + 1) + s aÍorsx + c
tt.ta. C.'.r,"r/ffi*
Jl ; i* - l ¡1¡*. i .h* =luo. " * t" .s j * c
tz.rr. cur".r., j
-fo
a,,
J,í¡* = i - t-a, '*
= ú/f** = á.árcrs2¡ + c
17.15. catcurar J 3a. ' dr
Tipo expononcial
J 3- ' i dr = BJ3,dx = i ic "o,_l j r .c
carcuta,l -l!
dx
ix t 1I -1I e. d. - J " e ' d' - 2 I
2^ e ' d\ . 2 e : c
como ra derivada de rs x €s sec x - -i- s r¡sne, J "., *c, o" = e", * c
"r I se", .os""o, =l"os' , * c
" I # i*= J *"" -" . ,ü= J-" ." .c
",** Iv*T po logariimico Basia oxpr€sar ta tangonto 6n lunción d6t s€no y 6t cos€no:
lY*=,JH* f t . "=-, , . coe1,& +c
r ¡po etpon.nciar 1," "* = - i 'J6 ' , ( 2x)dx= l6 ' ,+c
"a*r". /].; a-
r ipoe"p-enciar,J le;a"= -J; ( ] )0" :
" r - c
c",.u'u, I u' "o.1',
* "¡
o'
r po seno, J s" coe1," + s¡ a" = iJ"-<* + s) dx - : sénlx. + 3) + c
cr*,u. I --lr------:r Vx co." Vx
"" ""n*", 1ü*;.,E - " J "*.r,r .rft o, = , 'o v; * "327
17.24. catcutar J lsi x dx
17.25. cafcuf.r I t .,
iz.a6. cltcut.r i 3 ,"I4 + 9f -^
rico u,* r"ne""t",/r-!", * = /o _fu*=l*ong_"
17,2A,
17.29.
lp"" " '"e."", /¡ i¡d, =;/ , f¡ ,d" _ J".nf *"
"n*,.' /¡{; *
r¡p" """ r."n*r., /-¡-- o" - ji ffi*= j',,er _ c
c"r*r.. /-t'i,a,
r inoarcotansob:J € ' d,- l i -#d:d"=:"_gf; *c
'z.oo. c"rour../f,;frfo,
i { o '+9,-- i g o¡r r- 0" ,-ro * -J , ;=^. o. - J1=l':_9l=-lo, -_x-arcrg{x_3)+c
328
- - -< ' -
l* - l -- -: _-r I r+(x_f
PROBLEMAS
';.31. L¡ función y = 4x - 6 tlon. ¡ntlnha8 pr¡m¡t¡vas. ¿Cuát de €3tá¡ toma.l v¡tor 4 parax = t?
La integral indelinida do llx) = 4x 6 es F(x) - 2f - 6x + CF(1) =4 9 2 6+C=4
Resolv¡endor C = I
Por tanto, la pnmi va pedida es: F(, = a? 6x + I
__l'32. Hallar una prlml!¡va ds lá lunc¡ón f(x) = J qu€ !e anuté p€ra x = 5
P m¡t¡va de (x) = 1, q') = I * "
seanulaenx=s:1+c=o
Se €relv6: C=l
P miiiva ds la tunción t(x): F(x)
'_J3. Un. tunclón F(x) tom!.n x = l . lvalor2 y¡ . .áb.qu!.u d.dv¡d. .s t (x) = 12¡, + 6. Cátcutár tá runc¡óñ.
Sea F(x) la funclón pimiriva d€ f(x).
Las pdmiiivaa d€ l(x) €on: F(x) = 4ti + 6x + Cco¡dición que v€rílca lá lunción F(x): F(1) - 2
Ecuaciónr 4 +6+C =2
Valor ds Cr C = I
Funclón F(x)r F(x) = 4r! + 6t - 8
-J4. D. ma tuñclón ..b.mo. ..ro. d!to.: y = I, y'(0) = 0, y(o) = s. ¿s. po.d. cátcutár t. tunctón y? F.:onarla r..pu..ta.
o€ y" = L inrogrando, E6 ti6n€: y' - 8x + CPu€8io qus y (0) = 0, t€sl l ta qu6 o = 8 0 + c,d€dondec =o
La lunción d6ivada 6s y' - 8rDé y' - 8x, i¡tog.ando d6 nu€vo, se obtiénéi y = 4f + CPLr€3to qu6 y(0) = 5, Bsllta qu€ 5 = 4 0 + C, de do¡d6 C = 5La luñción p€dida 6: y = 4x" + 5
-35. cálcurar uná prhlltlva dc la tuñc¡ón l(x) = 3-'qu....nut. cuando x = o.
f1l eo.al indsl in idá i3 d¡- e -C
Cálculo d€ lá corclare C: F(or--L3eo'C- L3
C-o
n6solvi€ndo la *uación. s€ t€n6. C = :
-1 1
329
t7.36. Obt n.r ta prtrifitva d. h tu¡ctón r(x) = ..n ¿ cuy. graÍé, p... por .t ortg.n.L¡ ¡nt€g¡át indgfin¡da d€ t(r) = s€n x €s F(x) = cos x + Csi pals por 6t odg€n F(o) = o, to qu6 imprc€ _cos o + c _ oR€€otvt6ndorC = mso - 1Por tanto, ta ptñnivá psdida €s: F(x) _ -ccx + r
17.t7. C.tcut.r ta prtñtüv. d. t. tü¡ctóñ f(4 E rg¡r
rrt€snr indeñn¡da: F(x) - l(r . *,¡1 -F(tr) =0|ñpl¡ca-Lr+C=O
l¡ pdñirlva €3r F(x) = tg )( - L xl _ ! co¡xl + Lr
17.98. O.t ñtnlr (x) ..bt.ndo qu. r,,{x) = 24r, r(o) -
o, f,(o) E r y r(o} = 2.- Si f,fx) - Zo(, enioñc€s ta Int€Eal ¡ndofintda.!: t (x) = 1z(: + C
r,(0) - 2 + c = 2. por lanro: f (4 _ rzx, + z- Sl l'0() = 12x¿ + 2, aitonc.. tá in¡ograt lnd€ n¡da €6r,,(x) = 4x, + 2x + Cl ' (o) -1+ c - L por ra.xor f , (x) -4x¡+2x+l- S¡1,(x) - 4J(" + a( + 1, enronc6! ta lnr€gra/ ¡ndefinlda 6!: (x) = t' + x, + x + Cr(0)-0 ) C - o. por rarto: t(r) - x1 + )(¿ + x
Izee. Eñcomr.run.tu¡ctó¡r" t | tqu.bd.rtv. . t . . rund.| . . f (r)-_a..n(2r)yv.rnqu.(ot=t,r( i )
-o.- S¡ f(x) - _2 len a(, .ntonc€s ta lnt€E€t ¡ndsfnida €s: f(x) _ coá 2l + C-
;J':',= l'; : :' *"nc€' ra intás€/ ind€nnrda €!: r(x) =
; a€n2x + cr + D
_h\, lá/ -o > o=c;+j
Re¡olv¡cnoor c = -3
For tanb:(x) - is€na( _:x + 1
lz4o. H.ttar t(x) .t ..b.mor qü. r(O) _ t, ,,(O) _ 2, r(, r ¡x.
- s¡ 16) * 3\, 6nronc$ ¿u tnresrát ind6tin¡da d: l{, = I x, + Cf(0)=2 g c-2
eo,ano:16¡=!*+a
- si r{x) : ; t' + 2, enlonc€B ¡a int€sÉr ind€rnida eá,,14 =
I x * r,, * c(o)-1> c=1porra¡ro:ro=;t '+a(+r
*r- l
I * tn l*- 'n,- t t "
+ t x qu. p!.. por .r p|¡n¡o A(,, 0).
330
s6a l(x) = a3 + br + cx + d
Función dorivadar f'(x) - 3a'¡ + 2bx + c
Sil'(1) = 0, enloncos 0 = 3a + 2b + c
sir( 1) = 0, enronces 0 = 3a 2b + cqsolviendo: b = 0. c - 3a
Función (x) = a' 3ar + d
'- a2. La p.ndt.nr. de una curvá vi€ñe dada por tá fuoción t(x) = 4x + s_a) Hallár la tunción do ra cuM 3ab¡endo quc pa.a po. er punro de coordcñadE. p{3. o)b) D.rcm¡nar la. coo.d.nad6s det punto A(xj y) 5¡ x = r.
'7.41. Détor¡r¡nar toda3 ra3 tunc¡one. r(x) que véÍriqu€n:
a) f(x) 4 un polinom¡o de t.rcer shdo.b) r(-1) = r(1) = 0
'_ ¡3. La p!¡ábola l(x) = x, - 5r + 6 ü.n. una r.ci. tE.g.nt. cuyo ánguto torma .oñ.t !j. d. ab!ct!¡! 45.. carcutárra. coord.náda. d.¡ punro d. lang..cta.
La función d6¡ivada dé ta parábo a da tas p€ndi€nies <l€ lodas as lañg6nt$ sn cada uno d€ sus puntos.
Función doivadar 1(x) = 2x - 5
Si €l ángllo 6s 45, su p€ndiente €6 l.
Ecuación d6 las p6ndientes 2x 5 = 1
Solución: x = 3
ordenada d6t punto d6 lans6nciá: t(3) = o
Punlo d6 tang€nc¡a: P(3, 0)
'_aa. Lá parátDla l(¡) = x. - ror + 24 t¡cn. llra r.cia tañg.nt. quc.! para¡€tó at c,. de ab6c¡.ac. Catcutar tascoord.nad$ d.l punio de rang.ñc¡a,
Func¡ón p.imillva F(x) de l(x): F(x) = 2x, + 3x + CEcuación .esullanro de pasar por P(3, O)i O = I + 9 + CSolución de la *uación: C = i7Fun.ión que dd6.mina la curua F(x) = x. + 3x 17
coordsnadas dol puñio O(x, y): F(1) = 13Por ianlo. €l Punio es o(1, 13)
Lá función de¡ivada de las parábola da tas pendiéntés de todas laslangonies en cada uno de sus puntos.
Func¡ón de vada: l (x) = 2x - 10
S¡ el ángulo es 0, por s€l parateta al €j€ OX, su pendients es O.
Ecuación de la pendienle: 2x - 10 = O
Ordenada del punto de langencia:l(s) = 1
Punro dé tangencia: P(5, 1)
331
17.45. Lr v.¡ocld.d d. un nóv .n un ñovtmbnro r.cÍlir.o vt.n. dáda por v(r)= a+ La) Hartor ta tu¡ctón dbrlncta. ¿E¡ úntca?b) Harrar ¡. tuncrón d¡¡t.nct¡ ..br.¡do qu. cn ¡n.i¡nt. t = o .r móür ¡. .ncu.nrr¡ a 2 m.'o¡ .r.r orrg.i!c) ¿A qué dt¡llnctá d.t ofg.n .. .ncu.nra .t móv at cábo d. lo..sundo.?
a) Pdmiliva de la lunc¡ón v(t): 6(r) = f + r + CL¡ lunción dbtanc¡a no qu€da d€¡ermiñada, ya qu€ ta constante C puóde lomaf cuatqLj€r núm6ro.
b) Función dlstancia: 6{0) = C = 2La tutrdón dbt¿ncja é3: €(t) - f+t+2
c) Dbrancla ar cabo d6 10s: 6(r) = 1oo+ 10+2 = 112 m
CUESTIONES
17.40. 8ldor tunctoñ.. F(D y c(r.on prtmlÍv.. d. t.,ñttma tunctón f(x), fr:on., qua r.t.ctón h.y.nrr. F(¡)Clxl.
Si do8 tunclones 3on pdmitváB d€ una ml6ña tunctón €n un ¡nt€rvato¡ €á dt€roncian €n una cortstanto,Por €j6rnplor F(x) = x., G(x) - x. -e, H(xi - f + 9, ...son plmltivas do la ñ¡sma tunción: t(x) = s(x) = h(x) - 2<
17.47, 4...b. qua pu.d. ha!.r do¡ tunctonaa con t. mtftr¡ d.tv¡d.. ¿puad. h.b.r do. tundon.. aon |a
S€an do€ tunoion€a f(x) y h(x) que ü€neñ ta mbña pimi va, €s d€ct: I ft) _ g(x) y J h(xt = s(x)
D€¡lvando arnbáa €xp€3lon€3i g,(x) = t(x) y s,(x) - h(x). Lu€gorr(4 - h(x) = s,(x)No pu6d6 habü dos lunclon€s dis nraE con tá mi6ma p.tm¡tiva.
17./t6. l. tunclóñ d. un. r.cra.¡ ltx) = 3x + 6,.) ¿Cuónto v.t. t! plndl.lrt d. ta rct.?b) ¿Cómo .. clr.ct.rtan t.. r.ct.. qu..on paf.t.t.r. r.cr¡ t(x) = 3x + €?c) ¿Cu¿l .. t..cu.ctón !.ñórtc¡ d. ¡r.. r.cti. Da|.t.t..?
a) La lunción ddiwda €3: t'(x) - oPor üanto, ta p€ñd¡€n¡s €€ m = 3
b) La¡ rccia3 parutolas tignsn ta misma p€ndi€ntor f(x) : 3c) LaB r6cta_e paÉl€ta3 a f(x) ü€n€n como €cuaciónr p{x) = 3x + k
t7 49 8r .ror tuncron.. drt nñt ¡ ü.n.n rdóñüc.. d.dvad!., ¿.n cuónto. punro. r. pu.d.n con¡r |u. gráro..?
No s6 coúañ 6n n¡ngún punto, ya qu€ tás glálicás o curus oe oo€pr¡mtlivs 5on FarEt€tas,Por €,€rñpro: F(x) = x?, c(x) = x? - s, H(x) - t' + s, ...Son tundon63 que tisnén ta misms ddivadar (x) - g(x) = h(x) = a(F(x), G(x), H(x) ¡o lionen ningún pun¡o en común. las 6cuacion€6G(x) = F(x), G(x) - H(x), ... soñ incomparibts.
332
17.s0. si F(x) y G(x) €on pÍmiliva3 d€ i(¡) en t¡ñ inlédato, enloncos ñgce3ar¡amenre:
a) F(x)=2 G(x)
b) F(x)=5+G(x)
c) F(x)=c G(x)
d) F(x)=c+G(r)
Razonar la respúést5 corr€cL.
Dos lLnciones que t¡enen a misma derivada en ún inleruato se diierencian én una conslante.
17.51. S¡ t(x) = ,C, 3e pucdé apllcar la regla de la integral dé una poréncia pa.a todo! t@ vator.s dé aj excepto uno,¿Cuál er? ¿Cuál €, en *re ca3o. la ¡ntcaral?
No puede apl¡ca¡se la regla d6 inlegración de polerc¡as para a = - 1.r Tl
En este @o. se l iene xrdx- -dx-L x +CI lx
17.52. s¡ F(x) + c .s la inlegral iñdérin¡da de l(x) y adcmó¿ F(á) = b. enroncca:
17.53. ¿Ec uñ¿ prlmhlv¡ d. f{x) = I l€ lünc¡ó. F(x) = Lr? Fázonar ta coñt..racbn.
a) La con.ranl. d6lñle9r6c¡ón e6 deñpre b,
b) Un. pr¡m¡llva do t(x) pasa por el punto (a,b).
c) No pucd. ocúr¡r qü6 r(o) = r(b).
d) s¡ .mprcc=l(b).
R.zon¡r lr rcap0..la corccla.
La resplesta corecta es la b
En eloctó. F(x) es u¡a prim[iva d€ l(x) y F(a) - b signfica qle ta cutua d6 ta tu¡ción pasa por 6t pu¡lo (á b)
La r€spuosla €s negatva
La lunción logaritmo 8lá d6Íñrda ünicam€nle pa¡a valores positNos de x; sin embargo, t(x) to eslá paa lodo vatorde x dislinlo de 0
La rospúosia corécia es F(x) - L x
'7.54, Una primil¡va d6 uño luóc¡óñ .á F{x) = x", ¿Oué ranslormac¡ón 96ométÍ.a hay qué ápllcar par6 obteñer ioda.la6 curva¡ de la. 6.lanl.. prim¡tivá.? ¿Cuál e6 en ..te caso la Inté9r6t ¡ndetinida?
Lás primilrvs de la iunc¡ón dada son de lá loma G(x) = xr + C, C u. .úñe@ real
Las gráficd de eslas lu¡cionés son parábolas, qúe sé obtrenen a panir de F({ = t! por l¡astac¡ón det vecrorit - (0 C), es decir, rr6ladando hacia arba (C posiliva) o hacia abato (C negariva) tá cútoa d6 F(x) = x!
La inlegra indelnida és G(x) = xr + C
'_ 55. Dada una func¡ón scrila oñ lorña de lracción, ¿cuál $ la prlñ€rr comprcbac¡ón qu¿ éoñv¡.ñ6 h.cer 6ñresde ¡nteg¡ár? ¿cuál 4 en $ré ca3o la inr69r6l? Pone. un ejemplo qu3 6c¡.fe ta re.pué5ra,
La piñ6ra comp.obac¡ón que hay qLe reali2a¡ 6s v€r si e numerador es la d6 vadá det denom¡nador En este caso,la lun.ión és de lipo logarlfio ñepenano.
Po, elempro. ;
-di
= L(3. 1 j + r)
333
17.56, La Int gral d. un prodscto .t tunclon.. ño 6, .ñ g.n.rat, .t producto d. ta. ht grat.r d. dtcha. fu¿E. c¡.rio?
La fsspuela €6 af maiiva,
IPor 6joñelo.
] r{: señ ¡r d, - {2 -rr cos , ' á sen ¡
J id¡=; l$n,dr- c@¡
(2 -x), co€ x + 2x . sen x €€ draünro de 5
. (-cos x)
17.5t. L! tünclón (x) -
4r - 6 tl.ñ. tñrt¡¡l!. prim[tv... ¿Cuát d. .!r.. roma .t vátor 4 p.ru )( = 1?
L¿ iñrsgral Indsllnida d€ (x) - 4x - 6 €3 F(x) = 2 x: - 6x + C.F(1) - 4 implica2 - 6 + C - 4. R€€olvl€ñdo: C * I!á P mitiva pedida €l F(x) = ¿r? - 6x + 8
17.54. O. 1.. prlmltlv¡. po.l¡rt.. d. r(x) = " +.=, ¿hly.tguna q!. pa.. por.t punto p d. coord.nad!. (0,v(r + r¡
La intssml lnder¡nlda de lE) €s: F(x) = \G=l + cEcuaoón: F(0) - 1
Por tañlo, I + C - 1.
Solucióni C - 1
ruego, rtxl - \.G-;1.
334
18 METODOS DE INTEGRACIó¡r
EJERCICIOS
!4dEr l t + ¡ jdx
D,v,drendo tpropiodad o,st'i¡,¡*u, I -!' 0, r
' - 2,- ] t . . " ' ' r ,o i t " , " ,n \2 iLt2
r t c
- . f4+s t6.edcud J 1+16'
dx
Dvidiendo (propiedad distribulNa):
t4 5 16 ¿ 5 4I ' - 16: " ' l ' r ' ,¿- t r - -
rd ' - ár is4 2i-r1 - a1 c
c"r""¡u, l I'* 1¿,
S€ d€scomponé €n dos funcon6s polénciatos:
, r -2t , . , \ . -2, . t 1 ,
, , .D'"- . - i - r - . ,1¡ , , . 'o ' . i , (
urrcurár I -
dtI V9_f
I {+3 | 2t' t -n:- io ' , r i r - o t , .n,o ' t i ' ¡*o* j c
66¡¿s¡¡¡ | - l1L6,
s€ dscompone el int6grando en dos pad6 utiuzañdo et procedimténlo de r€star y sum4 a¡ num6.aoor I y apfcando a cont¡nuación ta pfopiedad d¡stibltiva
,12?I,x.- l r o '_1, , . , , o.- ,
rd ' J, , , ¡ ,o.- , . t , . i "
Halla¡ todas tá. tunctoné. cuya derivad' .6 r(r) = '";1 ; i
tás lunc¡ones vienen dadas por ta siguiente nlegrat indef¡nida:l r ,+\ 2 r 2 ,
- , r . '
] , - - - r ld\-r 2arcrg ' - c
' ¡ l6.
18.7,
18.8.
1¡.9.
1a.to,
18.',t4,
c",",,", jÉ*+;d"
lx¡-6¡+9 1, Il " -0, loo'-J ' , ,u 3)- ld{- \ -a,crgr,-3, c
Mótodo de i¡r€sÉción po, p"n*, I , *, o, =
| " +, I / ""
," - ; , ."" _ * """
.,. "
1,, ,* : f " - l f io,=fL, f .c
= -,' ". * '/ ",, " , ¿,, = . "
, * ,1-,, ".' * J " , oa -
- j ". e. - J " "" a, = I ". "" _ (i, "" _ ; f "". d") = j r "" _ l, *, . I "" . c
i l ^""" , -
x¿e'-2x€-, 2e.+C
16.1r, c l tcu| l r l t . .& dr
t". tr. cr '"ur", /". '*
. ] """ * - , . " -" / """¡dx = re! 3(x: e¡ ,J,"o"r ="," , , "" , " , -
q," -J"d") == x3d - 3x? €¡ + 6x e" - 6e, - d (x3 - ox, + 6Y - 6) + C
,".t.. c''.rru, f'". " *
J , ' " " 0 ' - -1" ' " "
carcurar J arcis (á¡) dx
- lo" " 1." ' "
336
Mélodo de inüesdión por pa're€, ] "nas i*¡
.r : ".ts 1.¡ - - iafl- o, - ,
".e r.) * r¡ * ;*.r _
-t15. c€tcutar .]
x ¿rcrg x dx
I * -"ts" o" - f *as, - j1* ü = f "'"t,, ll (, i;) * = f ",as" n I **e" r * c
. ,u. "u," ,u. J,""o""0"
rt17 carcu¡ú fr, scn x dx
i tr cosx dx = x. senx z I " *"
" o, =
", *", _ zr_" *", * i ".",
*1 =,, senx + a cosx 2 wr + c
*.*"" n z / , - " ,a, _- , .*"" *
fcosx+2xs€nx+2cosx+C
. ¡ "* , /*n" o¡ =
-c -¡.'! carc¡¡rár i ., ¡.n ¡ d¡
Int6grando por pad6s d@ vec€s apa.6c€ nuevamenle ra ¡nt6grat dadal
,e.sen, d¡ .asen, - le ' osra. ._ e s€n\ te.cos{ _ Je.* .^o^¡
o€sp€tando ra int.s€t dada, * t.n., j ",*n,
a, = 1", 1""n, - "o"
*¡ * c
' t ' t cárcubr J. ,co.xd¡
rñl€grando por pan€s dos v€c€s aparéco nuovam€n¡e |a ¡nl6grat dada:
I € . cos ! dx = e . $n x _ I "
. """
, . , = "
. """ "
+ r €.cos, / . .*" ,* ,
Despejando ra ¡nt€srar dada, * ,.*, ] "
, _", a, = ] ",6*,
_"a * c
t¡. carcu¡ar i- L,-lx¡+2x+3-^
ff;;;;:;F::#+: G'*-337
ra.21. Carcurar I -r1*l ¡ '+x+l
Es¡a iniegnl es del l¡po nop€riano-árcolanqent€, una v€z q!6 se ha hecho la división snloE
' r l , I f I 2
J", , ,o, . l t ¡ . r_,_+x_ 1ld¡ -2 ¡_zt¿"-r¡ ,sd*-
, ' 2 2¡-1 -
1a.22. carcur¡r J-_dx
El iñt6sÉñdo 66 d€scompon, asr +:l * x' + x +
P",t""r", l t i ' ld, * f * i*. - * u " - '
18.2e. c.lc!l!r 'l * -
", * ra *
2'r1 __ A _ B _A(r-2) -B(¡-1)Deacompo3¡dón €n racloros srmer€€ ñ- 1) (x_2) - r_ 1-;- t t - - rx_ 1)r(_2r
lgualando: 2r + 1 = A(x - 2) + B(x - l)
- Parax = 1, 3 = -A, ds donds A - -3
- Pa'ax=2, 5 = B,d€dond€B = 5
l ¡ : - ,o- . - ;0"=1t-- : - , ' - - lo '*-3ros ¡ 1 5ro€ ¡-2 -c
c.'.'b. J-+#i
1*l*r
14,24.
Dividi6ndo * obtisne como pari€ €nleta x + 1,
Do€composición en laclores simplB d6 lá pade fa€cionaria:
a-3 A +
A _(x 1)(x-2) x 1 x 2
A() 2) + B(r - 1)(x-1)(x-2)
lgualando: 2x 3 : A(x 2) + B(x - 1)
PaEx = 1, 1 = -4, de donde A = 1
- Para x = 2, r : B.d€dondeB = 1
. , 2t-3 , \ ' , t l | 1 t 'l l ' . t -c-1)(" . z, ld '= r ' ^ 'J l ; ,*" 2)dN-;
I r losr-1- losL¡-2 - l
33S
lescomposición en factorgs simpes d6 a pa'te f¡accionaria:
x+2 A B A(x 1) +Bxxg r) x x_1 x(r 1)
guarando:x+ 2=A(x 1) +Bx
Párax=1, 3:B
Parax=0, 2= A,dedondeA= 2
-asJcion./ : . d. , - - - : . ld. 2tog ,3tog ¿ rx( \ r )^r
r )
+c
Er ntogrando se descor¡pono asi
po, rnnro, l_ L¡^_(Y_ v)(r-r)
1111(x ' x)(x 1) (x-x) . x-1 x
1-; : - t+Lx I +L¡ +c
cdr4|.¡ I
Hac¡€ndo la dlvisión 3€ obt¡eñ€ como párte 6nl€.a x - 2.
D6composición 6n láclor66 simpt6 d6 tá part6 lláccDnáaa:
rguarandor 7x +2-a(r 2)(x+ 1) + Bx(x + 1) + cx(x -2)
Parar=0, 2- -2A dedondeA= 1
Pa€x = 2, 16 = 68, d€ donde B = I3
s=oc.a"oono"c= |
\ '2
7\ 2 A I C Ar, ?r(¡ + 1) + Bx(x + 1) + cx(x 2)¡o 2)(¡+ r) I I 2 ¡+1 r (x-2)(xr 1)
a5
¡ )*=f - . J( i . , , - *)*==! z"*r"s
" - ! r"e, z +qros x+1 +c
339
14,28.
14.2t,
r8.30.
c.¡"ur", i , 31+1 a"l r -x ' -x+1
Doscomposición de ¡a parle lraccionaria en laclorcs 6imples:
lsualando 3x+l =A(x 1) (x + 1) + B(x + 1) + c(x 1F
Parax = 1, 4 = 28, d6 dond6 B = 2
Para ' - - r , -? = 4C, d€ doñde C =
-
- Parax=O r= A + B + C, d6 dondó A = l2
3¡ 1 A B C A(¡- 1) (x+1) +B(x+1)+c(x l )?(x 1)"(x+ 1) x-1 (x- 1) : x+1 ( ¡ - r ) ' (x+1)
11I 3x+ll t ' - r r0+ ^d"_ l l - - : - . _,- :_ - : ld¡=:ros "I ) r \ , -1 (¡-1r r+1) 2 -
r - ; f j r "s '+ 1
I* . . , * = JÉ.: -"")o" = i . l *"a,. c
"u,ou,", J ..n, ,. o,
1*"" ,d"=JÉ l*"a,)a,=| l *"2, .c
1a3i c.t.ut., i -." ' **
" o'
Méiodo d€ iranslormacion$ g@mérica
I *" - "*., * - J *" " *", " "*,, * = J *" " r', """, "r """", o" = j -* *",.. j *"."0":1coe""
l "*" ,
18.32. calcula¡ I *" " "oto'r
Utl -
l "* , - ' " " - - f "o" ' " " i " ' " '0. f 1!9! l - "o".1¿,
. -L ""n^ c
340
¡-¡ carcu¡ar /-
L: dx
Se hace et canbio d€ variabte: x _ t2, dx = 2t dtSusriluyendo, se ienej
l .i \ , " . 1, . , l '¿ z, . r , l , *
T r zr 2Lr- iDeshaciendo et cambio, resuha:
j -1""-3\ , / .
'_ \ , { - ' ¿-
\ ?V/ 2!1 \ r -L
"n*'". /Vi=0,
se hace e¡ camb¡o d€ var¡ablei I + 2x = f, 2ó( _ 3| dlSustituy6ndo, se ti6n€:
I r ' rdr-r , : "€r \ r -=-o¡ - l# a¿r= ! l " - - "4l Z- 8, , ¿f - üdt
0eshac¡6¡do et cámbio, r63ula:
/ -:-!- o" = \r;l-: /3\- et 27 ,\ ' -2 l ' -^G so'¡ , ¡ ' C
cárcurar I -= 1...: dlvr +Vx
s6 hace €l cambio de var¡abJ€: x _ f, dx = €tj dt.Sust¡¡ry€ndo, .€ ti€n€l
i -=_d¡= i_:d, I6r I\^ .v( / c . r - - I ¡ - l dr . I I6f 61 6
*)ot=". 3r ,+u,-6Lir+1iDoshaci€ndo 6l cambio, r€sLrtrai
i ¡ ]6*=. t t - 3tr+ 6t ' , 6L 1+t ' r i +c
c.rcr¡ra, / \4_ ,c- dx
Se ha@ d cambio de vanáble x = 2 sen t. po¡ tanto, dr _ 2 cos i dt.\ f wd¡ 4lcos. tdt 21, , ""*r ,o, . ? l _sena _21 _2s€ntcosl
- - , ;_--=¿a¡cs¿n:+". . r_. +c
8\3
u1
't8.37. c€rcu|6l '/(x
+ 2) ro + x) dx
Ss utilizan los método¿ d€ ¡nt€gración po¡ pad€s y do€compos¡ción en fEcdonos €¡mpt€sl
J r" *,r rr, * "r o, = !1:I r r * " -.f !-131 6" - LP r ., ., - j(i . i. #;) * ==,, i , , " r - , ' . " - ( i . f . , ]L r _,) _c
PROBLEMAS
la3E. Comprobrr, lpttc.ñCo ta d.tntctóñ d. prtmlüv!, qu. F(x) - t'(x + 5) .r un. prtñtlm d. t(x) = 9,f + r¿a&f.. .nconrr.r otr. prtmt v. d. n
t¡ tunclón F(x) - x¡(x + s) - x! + 5f 63 una pfmiriva d€ f(x), ya qu€ F,(x) = ox, + 1ox _ hx,Cual_qulélotÉlunciónd6¡afof tñac(x)=x1x+5)+C=xs+sx,+C,Cunacon¡tanr€6sunápnmrNa(bluñcjón l(x), ya qu6 c,(x) - 3x. + 1ox
11.30. tl.rt.r t. tunctón prtmtÍv. d. f(r) - 9x, - f qu. p¡.. po..t punto p(i, r),
rn,.s,"i ino.nnra",.fs,," - ""0* = r - | * c
Pala por 6l pu oP(1, 1): E(1) = 1
Sus{ruyendo: 1 = r - I + c. On r"nao, C - J
Funclóñ pÍmlflva: F(x) x¡ - f + 1
1¡.40. D. una tuñ.¡ón .. ..b!n ..io. drto.r f(x) = 7, l,(t) G t, f(O)a.l, h.tt.rta.
= o. ¿S. pu.d. calc¡¡¡.l ta tunctón (a? S¡ -
O6nvada legundár r(x) = 7
Int6gEndo: l(x) - 7x + C
Por hipóts3is:l'(1) = I
Susi i tuyóndo: 1:7.1+C
R€solvi6ndo: C = -6
D€iv€da primsÉ: r(x) = 7x - 6
ht6glando: l(r) - 7x" - 6x + K
Por hiñtó€is: r(o) = O
Sust i luy€ndo: 0 = 7. O - 6. O + K
Funcióñ p€djda l(x) - 7x. - 6x
342
'r.r1. Obieñer ta tamit¡á dé curvas én tas.il;-#" il; ;.T:ñ":il1i,ir f ":::'il."""":,tr Ji,:TT:*:.".i,:i?"[:T tr, "ji"llffj;: Íi:il:lÍ,jj[Xñj1" 'unc'|ones
F(x) cuva derivada es rE), s decn h! pimir¡vas de r(r) se uiriza er mérodo
Fc) = 1," ."d" =; ," . l f " "a"_1,"" 1". .csi pasa por et punro A(0, 2), se tieno Flo) = 2. luego Ftol =
I * "
= ,
Rosotviendo: C = 94
'¡¡2. Encoñrrar una ru¡c¡ón r(x) ra¡ que ta dodvdda.ea,,(t) = ffi ,
-lno. *
".,oi"ro" r{11 = I.
rnres.r ndernida: l l l?ra,_/ ' o, _ l#;r ._ j* .n,or rJ,r , *o.r , "condición, r (;l = r
i = )*xs. , * ) t , - " _ ; .T r c, a"o*a"c = j f ,
Función pimir¡va:r(x) - I u-ts 1r¡ r ol L¡ . *l - i
_ T
j..¡3 c.rcurar ta tunc¡ón r(¡) qu. cumpt. r(o) = r, r(¡) = c, co. ¡.hr€grando po¡ pa¡tés dos v6c€s apá.sc€ nuovam€nG ra nt€g¡at dada:l lle.@sx dx = 6.cGX + je senx ax = * coer + r" .""" , f " ._""0ao6spéjando ta ini6gra¡ dada, só tieDé:
r t " l = J" -" ,
a, = I6"Gosx + en, + c
r =l*6,¡"¿on¿"s=1
Función pimiiiva: r(x) = ] "
t"*_ _ *"o _ ]
[¡¡. Calcut.r ta pr¡ñftva dé tá fu.cjón ,(r) = x €rclg x, qu. pa.6 por.¡ puñro (1, O),Integral iñdefnidal
] ,*"n,0, = f *on, - ; i - f ;d" = ; . " t , " j * *" t0" * cCond¡ción r(1) = o
romando como recorido de r" r,*io" (_ i, l), * ri"*,
lu 'oer 1n.,*er +c-o,dedond€c=1 i** ,= I ?
Func,ón p¡imir¡va: i(x) = : -",, ; . u,",, , .
; T
343
1a.45. L. grúllc! corr.¡pond. á l. tunclón f(t) Pdm.E d.rlv.d. d. un! cbn¡ tuñclón (x)
¡) E3tudl.r.l cr.clml.nio y d.cr.clirl.ñto d. l. tunolón r(x), Inl.rptsLndo l. grátlc! d. r'(t).
b) E.tudlar lá conc.vldad, convüld.d y puntor .L lnll.xrón d. l€ luñclón t(¡), utllElndo .olah.ntt hd. l'(r).
c) Obb¡.r l! .culc¡ón d. l. tunclón .l.dv.da r'(x).
d) Obl.n.r l¡ .xpr..lón d. l. tunclón r(4 qll pl..por .l punro (2, -4) y dlbu,¡í..
a) Ob8€rando la gdlca de f(¡), 36 t€ne:* hl6rvalo d€ décrscimi€nlo d€ f(x): (- 6, -2)
- Intsrvalo d€ or€cimienlo d6l(x): (-2, + ó)
Punlo mfnimo d€ r(x)r x = -2b) Puesto qu6 la dorlvada l'(x) ss or€oi€nt .€gún €6 ve .n la grétioa, 16lunclón l(x) s3 oonvsxa 3n lodo R
Por ranro, no €¡b¡an punt4 d3 ini€xlón.
c) Ecuaoión d6 la roctá que para por (-2, o) y (0. 1): y - ; + 1
Por lántorr0) =; + 1
d) Pdmltlva.del'E)r lE) - i + x + k
Primiliva que pá8a por €l pu o C(2, -4): (2) = 3 + k r -4B€eolvi€ndo: k - -7
La lunoióñ pa€ slá valor €r: l(x) - ; + x - 7
Punüo mfnlmo: V(-2, -8)Ej€ do sim€tlár x = -2Do8 pL¡ñ16 !lmüdoo3: E(0, -n, O\-4, -7)Con €s¡os dátos, la grállca d€ la paÉbola 63 la .lgol€n!6:
18,46. H.ll¡r uñ pollno|nlo ouya d.lv.d. |.. t' + x -C, y lll qu..lv.lor d. ¡|¡ mtulmo ...1r.. v.c.t
hl6gÉl ind6fnlda d6l polinomlor g(x) = x¿ + x 6
ro = Jr" .+ ' uro"=f ;* f -e '*clvá¡imos y mfnimo3: l'(x) - 0 ) f + x - 6 = 0. R8€olviendo: x = -3, x - 2, f(d = a( + 1
- PáÉx: -3, r(-3) < o, lu€so s€ rata dó un már(imo:r(-3) = l + c P,rnto ma"ir", t(-o, J * ct
- PaE\ - 2, fl2) > o, lusgo É€ trala d€ un m íniño: ll2, = C -2:
er"" 'r"i.",
nr(r, c - f;)R6lación dada: t(-3) = 3 r(2) > f; . c =
"(c - 4") neeorui-ao, c =
|
"o,to.'o p"o,o., ro = f; * f; - u, * |
344
¿¡: r¡¿Íar ta ccuác¡on d6 una curva v = r&rt""g."r" "" "r
p""ü ¿11üi"1'-;jgl :"i'*" *. "a5a
por or punro {r. r) y que ¡a pénrr¡cnre de ra r..ra
,n¡esnr inderinidaj r(x) = / ts, _ r¡ o, _ 9{ r x + c condicó¡: f(1) _ 1 9 1
Función pedidaj r(x) = T - "
_;
f,¡a La ve¡ocidad do uñ ñóvi¡ cn ün ñóvim¡cr6) H¡Íor ra runc¡ón dbbn.'". aa" 0",".]
" ü6ne dada por v(l)
- 2r + I
b) llát¡d ta.íurcióñ d¡lranc¡a !áb¡6ndo que en el iñstañte I = o se .ncucntr. a un. disi¿¡c|a der origcn dec) ¿A qué d¡6rancia det ortq.n ¿e encu.nra ct móvit at cabo dé rO 6caondo.?
al lá tundón sdistancra
s ta ¡nteg@te(t) dela vebcidad: e(r) _ f + t + c, siendo c una cons¡an¡e á determina¡po. ranto. ta lunción espacio no os úñicá.b) Por hipótesis eio) _ c = 2
La runc¡ón 6s e( l ) =f+t+2.c) Dis lanciadeto¡gon:e(10) = jO: + 10 + 2 _ t l2m
CUESTIONES
i¡;L".;il1ff:1iÍ"TT;n tu.b (á, b), ¿quá ¡.,ac,ó,,.x¡.r..nr. F y c?Oos p¡imirivas d€ una iunc¡óh se dilór6nciañ 6ñ rJna coñslante.por 6j6mpb. s ti\, 2. 3 ónbncés dos prmtvás pu€d6. se.F(x) = r . + 3x + 1c(x) =! , + 3x + 2Cómo s€ ve, dil€¡óncja oñ ta constante. por ranto hay ¡nfniias pnm¡livas de una func¡ón dada.
ilJÍi'.",1i,1,illi""Tlli"jJffi,*,";Jrt"n."',.,na por.nc¡a para rodo.,o. va,orés d6a.xc.pro uno,ro puede apiicarse ta ¡egra de int€gEción de pole|,cEs pa¡a a = 1.an *re cmo se tiene:
/ x , ox = rr
;iü:",$:ÍTT:f#.'or¡na d6 'raccróñ
ti.ño por nuñcrádor ra d.rivad6 .ér d€ñom¡nador, ¿cuá¡ !érá .!
Sr se verit¡ca ta condición d€i onunciado, se i.ai¿
- dr = L(x¡ + ,, '
oe ha lunc¡ón de fipo iogariho nep€iano, po¡ ej.mpro
3- t* 1 !
2
345
18.52. ¿Ex¡rc algun.lunclóñ r6c¡on.l qo. t nga por pr¡ñl!¡va una l|¡nclón tr¡gonomética? Si lá.e.pu.5ra.s *.mativa, d¡ cuál .s.
Sl, una de ellas es la funcbn l(r) :
La Inlesfal de 6la tunción 6s F(x) = arclg x + c.
18.53. Lo. mov¡mi.nrG roctllin.o. d. la loma e(t) = al + b pued.n caract.rlars. por la condlc¡ón €'(t) = O, ¿Füquó? ¿Oué inteDctac¡ón lí.¡c¿ puod. darae a la scuaclón árt€rior?
Dorivando dos v6c6s €sulla: e'(r) - ñ, e( i ) =0
La derivada segunda dol *pacio con relación al tiempo es la ac€leración.Si la acol€ración €s nula, sé lrala d6 un ñovimisnto lineal ss d€€i, unlon€.
18.54. Una rañrlla d. tunc¡on.. vi.n. c¡r¡ct.rlzad. por la condlclón f(x) = k {k una con.ianr. no nut¡). ¿Oué tu}c¡ooG |on? Dar una Inrcrpr.l.clóñ g.omórrloo d. ..i.! lunclon... Sl k = 9, coni.nt. d. gEvl¡ctón d. .Tl.rá. ¿au. rómul.! .. obll.ñ.?
Pu€8to qu6 f(x) = r, inlogEndo s€ iién€: l (x) = kl + c
Inl€g?ndo d€ nü6vo r€sulla t(4 - : k^: - k - C
So lrala de una lamllia d€ parábolas d6p€ndi6nt€3 d. lo3 parám€trca C y D.Las tÓmula3 anr€riof€s, cuando k = I 93 ra gravitación, exp¿$an lá acolsfacióñ, votoc¡dad y $paoio de un cu-):
son: acsr6rac¡on: o - g verocrdad: v .'- 9t EBpácJo: € = I 9t:
t4.55. U. duñno ttlrma qu. la lunclon.. F(x) = L r y C(x) -
L(ox) .on prlmltlva. d. lá ml.m€ func¡ón. ¿S. pu.ócomDtobár la a{rñ¡clón .h mc..ldad d. rl. vár?
Aplicándo la prop¡€dad d6l loga lmo de un producio s€ ii€ñer G(x) = L 6 + L x
Como F(r) - L x, 16 fun.¡onss F(x) y c(x) s€ dil6r6nciá 6n uná coBtant6 y, por tanlo, t€ndrán ta ñ¡6ma donvao¿
'i8,s6, La. Enifca. ¡lgu¡.nt.. .oñ tuñc¡oñ.¡ .l.rlv.dE. .1. tunc¡on.. qu. pa.an por.t or¡9.ñ. ¿Cuá¡.¡.on?
a) Ecuaoón de lá @la: r'(x) - ;
Pimrt iva: f ( r=f ;+c
Pasa por el o gen: r({ = t'
b) Ecuación de la rccta:r'(x) - -x - 3y?
P' imi l iva: l (x) =- 3x+c
Pe Por el oigen: l(x) - - + 3x
346
19 INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS
Hallar !l árcá apro¡iñ¡da dll reclnlo llmhado por la lunclón t(4 = xz.n In!.Nalo [0, 1], d¡vldlcndo elt .n 4p€rt6r. Utlli¿ár .l ñórodo d. lo. iroPlcl@.
Si se divid6 el ¡nteNalo I0 1l e¡ 4 pades la longitud ds la panición 6: h
Abscisd de los puntos en os que se d¡vide el iniorvalo:'1 23
x=0,x=¡.x=¡,r =4 x=r
Aproxi ñac¡ón pot lmpéc¡ os:
a,€a =; l ; (o) + r l ¡ l + r l ; l + r1; l
=1/o * 1* 4 * e * tJ _4j 16 16 16 2'
-22 _
- 0 34375
Valor 6xácro d6l áreá: - = 03333..
1
-á(1)l =
1
Hall¿r.l á6a.p.oxlmadá d.l ru.|ñto llmltádo por 16 tunclón f().) = ..n x .d.l In!.rualo [0, ¡], d¡vldl.ñdo.ll..n 4 p6ric., utllla..l ñ&odo d. lo¡ lrat.c¡o.-
Si se divld€ €l inl€rualo I0 rl en 4 parl6s, la long¡lud d€ la pal¡ción 6si h
Abscisas d€ los punros en los que se divide el interuálo:2n 3r
Aprcx¡ mac¡ón por trapéci os:
r , f io l t2n\ ,3rr t {n); ; ' ' ; - t t ' ; ' - t t ; r - " ; ' l -
n2n3r\;0-sen4-sén4
sen4 0l
= 1 896. . = 1,9 unidadas cuadbdas
/alof exacto del área (iea de la s6mionda): 2 unidad6 cuadÉdd
19,3, Calcular aprox¡madamcnló f
x(1 - x) dx med¡ante un maodo nümérlco b$ado €n la dlvl!¡ón d.l ¡rl.rEÉ
[0, l] én cuátro .ub¡nt€rvalo6 iguales y comprobaro coñ.1 varor exacto oblen¡do apl¡cando elteoreñ¡ cBaÍor. ¿Cuánto valo cl .rror oomltldo?
F¡quta delrcctnto: I \x) - x( l -x)-x-x '
Puntos ds corle con los eles: (0, 0), (o 1)
f(x) = - 2 por lo quo la parábola es cóncava
l'(x) - 1 2x
vénrc€: vl;, i)Araa del rec¡nlo pot inleqtales:
Lhitss de int€gración: x - o, x - 1
lx 'Ar€a(B)- l E-x '3)dx=l ;
Aprct¡nac¡ón par tapec¡os:
1'11 ¡¡ ' ,1¡1¡ - r tSr - r9 l , ' t , ' l - 'o42 \4 41 42 4
_ I 10 1
El €ror com€lido 6E por d6l6clo, yá qu€ los tfapocios son inecfiio!.
:l: 6
16 163 \ 10
Expllc¡r por quó .! I I ¿t = l- z.
Evalu€ñdo d. ñan.ra apro,(lmada ..ia Int.gral con .l mlodo d. lo. lrap.clor, h6llrr s. valo. áprox¡ñado ó17. (L = logadtmo nlP.rlano.)
Área eBcta del t&inlo por ¡nlegÉc¡ór: Umile8 d€ inlegracióni x = 1, t = 7
f l ' (L 4- L 7 r .945..l ' ; " '=Aha aprcx¡ñada del rccinto pd el nétoda de los lrapécios:
Se divide el i¡terualo [1, 7] en 6 paniciones iguale6,
Longitud de la parlición: h = 1.
B6es de los suces¡vos lrapsios:
(1) = i, 14 = ;, 13) = l, rror = ], 'r.r : ] , ' r . r=i , 'o-1
111111111111122334455667
222222
Etor coñetido:2,021 1,945 : 0,076
El eror cometido es por exc6o.
348
420 - 2,021..
rg.s. Comprobar qu6 | 2x - r d¡ =: .
El r€cinto limitado po¡ la función y los liñtes de integración €s et srguiente
Por la s¡meLía det mismo, se liene:
f l . f 5I ,x-1dx: l (1 ¿<)dx +] 12\ l rdx=;
Esle r6ultado se puede @mprobar gemétricamente
n l , ' .
"¡ ] 1"-a.o '
d) ]
xV1 + ¡¡dx
, f#*
f -"".- *l , * o-*l - - - lo,
| *
-" ' *
En lá l¡glra s ha r€pr666rnado lá g.áli6a d6l(x) = x .
Por lá sim€lria d6 la func¡ón (luñc¡ón par), se tién€:
¡. l.
J. ^ o ' =,1 td\=21:)a=2,=e
El integrando sslá lorm¿do por dG fhcionos pot€ncial€s:
l r \a { ' ) dx- l : , : - : =: .=.
El irn6grando es una flncióñ pot€ncia i
l ' I l2-$ ' ' 1 32 31I5)555
t , \ ' ,0,-r ' ' r r ,*a ' ] ! , ' " ' ' 'J" : :. I
i , ¡ - , .* l t ' - ,* | " , , ] 3-3 312
n se rara oe una in l€qratde I 'po porenciat : I ' *" ' *" . o, - | ""1 ' | 'n2t"
', 1'r J'
" i '" i '"r ll'
=13
2\ 2 r 4
349
D
t)
9)
n)
En 6l inl69rando, él num8rador ss la do vada d€l d6nominado., salvo una consldte qué s€ puad6
f ' lBsra muhipr icr y d 'v idtr por 2 €r lad'cando. l
r _ 1. j r -2tLü. - 1) l : - (18 L3r
I @3'€* d\ = t6 ' - 1í - eo - €! - 0
I ¡-* * * = Iárcle rl¡ = ercle 1 =:
El ¡ni€grando €3 una tu¡dón raciona qu€ s€ in¡8gla por pan63.
Fadlorizao¡ón d€l denominadon x' - r - 2 = (r - 2) (x + 1)
O6a.orñposición oñ láclor€s s¡ñpl€3 d€ la pan6 fiaooionüia:
(x-2)(x+1) x-2 x+1 (x-2)(x+1)
lguálandor x = A(x + 1) + B(x - 2)
- P6lax = 2, 2 = 34, d6dond6A = :
- Para x = -1, -l = -38, d€ donde B = :
21| , t l 7 ; \
kr6sÉr ind€ínida: ' l (Fr) ( r _ r)__-*
= l ( i -2 - ; i -1* =; , - x-2 -51r-1
, "* ,n o"n,o", f ¡ -1- , , "*u-L*=3r,-e - lL ' - ,1=lua-tuz=- jLzUna plrñiliva del radicando €3 pu€de hallaf por int glaoión por pan€3:
f r* . r* = tx! !nx + co€ xl l - 36n1 + cosi - 1
Esla Inl6gral 6a la suñá de do8 iÍiag€16a, S€ cálculan primeram€nl€ BUa prlmitiv6e:
u Jro"=f| 1 t l
i i ) J ' :6 -dx- - : r :6 - +: l x6 "dx =
* _ 1x.€ - +? f_ 1x6 * * 1 l " - o, l _ _ 1, ," - _: ," - _ 3 " "a a\ a a]
¡ i i ) Funció¡ pdmniva, F(x) = : -""-*-"-- : "" f
¡!,) Ini€sd dsrnida:l tr€ - - xl dx: F(1) - n" = -; - ? - T -:. ' ;
Esla inl€gral es la suma d€ do8 inl6gml€€. Ss c€lculan pdme€m6¡t6 sus pdmili!€6:
of""*-- i ""r ' r Jr" "0"= ,1o""- , .J, . "*= - ; ' . " - ; ' " " - : . "
iii) Fonción piñitiva: F(x) - - ; ". " " - ; " "
" - : . "
iv) ht.sardenn¡da:f (1 + x,) E:,dx - r¡¡ - r1o¡ = -]". *J
350
_,/ ._d\ . lcos/d. .J. . _s,d.
La p¡imera inlegrat vate oFunción primitiva de la s6gunda:
I rcosx dx=,:senx 2]xsenxdx = x,snx , r_,"* , * l_" ,0, t _=x senx+2xcosx 2sen¡
Intesrar derinrda. 1- r, , ,-r -",
o^ = l" , .. d. 1. . ." . * 2, cos, 2 se1' l _ ¿,ñ) Una p¡im¡riva dot integrando se¡á:
1s"".,c.".,0, = l*", r j - cos¡x).os¡! d¡ = jr"*.,*", _.",.-- _, ̂. .
.1
,n,es¡a,de,nda: I ,"""" ,"" ."" ." =i ; "-" , i ; " . , - j , ; ; '
;*"" ' ; -""
e) Fmc¡ónprimitiva:l;;*;;."= lf""_:#:).,=](;H _ *-"J"_ Lrcosx _L senx
hr.sra'd€rin,od I ;j.* ",
. "...
_. ¡
--,
, '" '
s.a l(¡) una runc¡ó¡ qu. .n cadá puñto x e ta¡ bl .. co¡tnu¿ y (x) o.E¡p¡rcar q!ó .¡en¡flc. ra ¡nt.srct d.rn¡d¡
/ r(4 d¡ y orr.n", r" rnr.e."r
/,,,.,a,_
I
p¡h6rá pad6 6s t€óacÉ La Int6g'or derrnrda s€ carcura uririzando 6t mtodo de intóg¡ac¡ón po¡ pan6s:. ' " o. ¡" 6t : 16 k . 1,1" é. ,b . r s rá r)
calcurar ta ¡¡i.grár r. = / r "o" tn"l a,, aon¿. n
"! un núm.ro ñarur¿t_
Co¡¡prob¡r ct r.óuttádo por d.r¡vac¡ón.
ca*r"' ]" ,,"
-" 1n4 0".
u Inrosracióñ se hac6 po¡ pun"", I,r,r = / ". "o" rn"l a, =
f *" ., J- f'*" ", - ( 3 *" ., - / * *"., *l = f *" r"¡ . # "*Derivando, se Íene: o,"t"1 =
? *" rn¿ * * *" r"¡ * 3 *" t",t Isirnp¡ifcando D r^(r) = x. cos (n¡)
,n,esarder 'da:J . cos,n. ,o. 1, ." ' , , I l :
( ¡ .
- sen (nx) dx =
.2
s€n (n4 -:
cos (n4
351
a = x..n'? x dxt :
C¿lcular a + b y a - b y obrcnor lo! vato.e. d. a y b,
( lnd¡cac¡óñ: carcular pr.üamént ¡+ by.- b.)
¡ l : t rsumando rás nree,a6s:a - o I .0,- l ¡1"-¡
F€siando ras ¡nr€erar.s: b - " -
jj , """
r, ." - l; """., ,
[email protected] er srstsmar a = o ri
o, o = "';; '
t9.10. calcu¡lr I ..n3x dr. ¿4. pu.d. dü dlr.ctán.ni..t r$u[ado? ¿Cuát ..?
El valor d€ ta int€grát dofinida ss o,
Por 6€r unatunción impáf,log rccinto3 sim&lco3 €€p6cto dd on93n tisn€ñ coño ¡nt6gral oc|r,a
Js¡tlllc.r g.oñatrlcam.ñt qu. .l i, gr (a, b) + B .on tunc¡on.. conl¡nu.. y F-¡ -
r f
cumpr. o < r(x) ., s(¡0, .n"**, f rr'r o' " I or'l o*.
o.mo.trárqu.f ' :d ' -1' ¡V2+x-Í V2
061 6nunciado 3e d6duc6 qu6 h(r) - g(x) - l(x) > o para ¡odo x p€d6n@¡6nte ar i€.* ¿ ¡.
t- o"", f tno - t1"¡ a" = f n¡¡ o" = o
r6niendo €n cu€nia ta int6eEr dé una dt6rsncia, rGuna o*, I nt"f o" ,. I u,, *
para iodo x d6r ¡nreryaro [0, 1r, sé risñ6 que] iE=
= V#
. _
apricando er resu¡ado dt€r¡', ,""t*, i' 4 * .. f' 1* = -:¡V2+x x ' . r " \ /2 \ :
l l j l
19.11, .)
b)
19,12. S¡ñ cálcul6r.l wlor d. la. ht grdle., ¡u.ttttcar ct¡át d€ €ltas t¡.ñ. Gt ñáyof vdt
r=J, .* , . ,* r=f '* . . 'o,
El integEndo de J - | en el ¡nteNato [0, 1l €s;
rsen¡x t rs6n:x=x(1 x)sen"x>o
352
-t 13. Fazoñar q!é réración de ord.n.xi¿re énrr€ /"rr"l o, r/,t,(")io"
":t1fffr.'"inff;:T X'l,J""ifl"lÍJTff:.i"Tn,os eua,s (sin ssno) en e, nlerua,o ra, br ya que 6n a. La InregE¡ d€l¡nida de r(x) co¡nc¡de' L¿ hroqra, derinidd d€ rr\, * ,.,.,1 1"" "'
á'* *' -L¡nlo
qLre dolet¡,na.
[:li I **"*f l$#;lli*,i".Ht:il:: ilT:#"':: ;:"¿:t? r,ffi ¿,r1i1:""1"n#ff ::ipo¡ ianro, d6 aquí 6e sisue r" .n""" i /" ,r_; *
i ..
/" i,r"r i *. ir4 o.molrar q!. pára rodo r .
" "" "..",* i i ;., ,!¡",1..,."puesto que cos rxl . 1, para cualqu¡er r y x, se rie¡e que:
l l ' cosni1 ; i * l= I
- i*
= tr( i + ') i ¡ = 12r9 15. Se lopon. qu. tá tdtégrdt de !ñ.lunctó
¿ec pu.d. á..eu,ár qu. p"," ".... ; ;..:j;: : ;;:"::, -" ",e.",, . / r*r c. . ro
¿s. pu.d. ...sr¡raf qu! por to m6no. .Fá:onar h. r..pr¡..r!r.
¡¡'t' un x € 11' 2l tál qu' 4 i f(r)?
a) ., t€o¡sma dor vaiof m.dio¡der cárclro ¡nl€g¡ar so¡o as€gu.a qu€ €xiÉi€ a¡ m€nos un vartár q!6: 4 .: 1 t¡l o" =
J9 _ ,ro io .-.or c d€r inr€ryaro tr, 2l
Por €j€mplo, lá función f(x) = x. 6i
'"'",,,,""," f ";;;- ifi'='r'i";":l'+'l;:'il::H"::ff:fffj::dd.s eñ 11 16, y s!b) !a r€6pir€sla €3 s, Sé d€mLjéstla po¡ ¡€ducción a¡ ábslrdo,
Supoñgamos qu6 r(x) .i 4 pa.a rodo
r.:T 1r ;i ;fi : " """"",," "i ::.:;:1"; jiffi;:: ;l",:" _;i"; ::","r 9 16 Enun'¡ar v d'ho'r€r
'¡ t'or'ña d'r varó. m..r¡o cr.r cá¡cu¡o rrr.g,"r. D.r.rm¡nar .¡ .. pu.o. ¡pr¡.a, .r r.or.,n¿anr.rror ar cá¡cúro d. I rr,) ¿.
"¡¡noo rr"r = Iá :l ; = SFazoñar ¡a ¡c.püó.iá. I t li t o
varor de ta inr€slar d6ri¡ida; /" +Fl¡=2+1=3
,io": l'.*" *'"*, t"",.ma der varo. m6dio, r¡ene q""
""r0'*. n,""",0" Lll
:::j': :1"-', ": "," ,
"aror 1,5, no €€ váiido er reorema d€r vaio. med¡o.rara que se pueda ap[car 6le boroma h tlnción debé ser coniiDua.
za,*/ ro"=tz¡ : ,
32
19.17. Hállar €l mlo¡ c d.l r.oEm. d.l valor m..llo PaE Int gE¡e. i6ntlo la tunclón f(4 = 9C v €l ¡nt rwlo [-a, - ti
Téorenv da ta nad¡a: Sif es continua €ñ €l inl6ryalo [a, b], exbie un númerc tel 6 perteñeci€nie a dicho inletoa:1J.
ta loue:- | l { { d( = l {c l
Pueslo qu€ la tunción l(x) €s coniinua en [0, 1], el leorema €s aplicabr6.
Valor d6 la inr6sÉl I 3x' d¡ = txl I = -1 + 64 = 63
Pu6slo que la longitud del interyalo [ 4, 1] €3 3, s€ tiene l(c) = 21 d6 donde 3c" - 21
Rsolv i6ñdo:c=-\ , t
La olra soluc¡ón no €€ válida, ya qu6 no p6rténecs al inleNalo dado.
19.16. S..l(x) = co.x .n (-r, r). 6. Pld.i
.) ¿E. apl¡ebl! .l Lorcma d. lo. Inér.h.rtor ilnllo. tl. L¡!run8.?
b) ¿E. apllc¡bl. la tórmula d.l v.lor ñ.dlo d.l élcolo lnt grul?
c) Eñ ca.o aikmatlvo, hlll.r.l v¡lor m.Gll6 qü. ap.r.c!.n .l l.or.Íra y .n la lórmul.
a) Gtátlcae:
La lun€ión l(x) no €á d€ vabls sn €l inl¡rvalo dado, por tsn6t dos Punt@ msuloBos: x = ;,
! - -;
En É€lo¿ dos punlos las dsñadar laleral66 aonr -1 y 1
Por lanto, no pueds aplicaFó ol tóoÉrña d6 LágEn96 en €l intofrálo l-', rl
La lunción l(x) 6s coniinua en €l intoryalo dado.
Por tanto, la lu¡cióñ f(x) 6s int€grabl€ en €se int6ryalo y 66 aplicable el ler6ma d6 la m6diar S¡ I es continuá
en 6l ¡n16ryalo [a, bl, etisie un número ¡64¡ c p€n€nsci€nte a dicho ¡nt€rva¡o lalqu€: ;+-; ['tt*l o, = tt"l
" | :Por l¿ smelna d6 h tuñcion {6 una turcion pan. s€ t ien€,
I . - " , o,-41 cos) dr 4ts4;=4 1-¡
Pr ieslo qus la rongi lud dol intérualo [ - r , r ] es2r,5et ié*, f4 = ?,6u0on0. -""
=3
Resolviendo c = arccos : : 0.880... radian4
Por la simerrÍa de la tunción, él probloma tiene 4 soluciones.
Son:x - 0,880..., x = 0,880, x = r -0,480..., x = r + 0,840
Obsé^€s€ que lá €cla v - : corla a la curua en 4 pu¡t@ €n t r '1.
354
:<- 19,19, ¿E3 apl¡cable el leoremE d€l wlor ñed¡o dél cálculo ¡nteqral a la .igu¡snt. funclón en el intérvato ¡0, 1l?
(x)=_:
En ca8o at¡rmal¡vo, coñprobar su ver¡ticaclón.
f@@ña de la nédia: Sil as conlinua en el i¡tetualo [a, b] exisle un número rsalc perleneciente a d¡cho nleryato1J"
la¡ que . I f.) d¡ = (c)
Pu6slo que la lunción l(x) es conlmua en [0, 11, el teorema €s aplcable.i1 2,
Va'orde,¡ n leqr¿l d. ' d^ l \ '
'^ l \ , 1- ' \ r , 2\ r
Puesto q!€ la longilud der inletuato I0
r \ /2 lFsolvendoc:!r : -
19.20. Con6ide¡emo5 la tunción
1141eahanF c
=\ t r
\1< "_
y lca F(¡) = ]'(!
dr, 1 . x -. 2ru=LI I ?. .1. :Hallar una dpr.¿lón cxpllc¡lo pa.a F(x).
La variable x. lrmite sup6rior do intogración, p€nen€ce al inlervalo [1. 2]. Po¡ lanlo, €l p mer tramo de la tunción(primera luncrón parc¡al) no alecla al studio de la l!ñc¡ón inregral F(x) La luñción ¡nlegrar es:
F(,) l ldr Jr l ; : 1
b) En la lisu.a se dibujan las iunciones l(x) - 1 y F(r) = x 1
;21. s¡ F(x) = f "o"r ar,
". nro",
o) calcul.r F'(¡). b) ca¡dlar lim 1 |
@3l" dr.
Por e leorema fundamenral d6l cálculo: F'(x) : cos x.
Apllcando el leoremá de L'Hópila, s€ liené: l¡. 1 l" "o"f
¡" = ,qf =,- f =.ror:o
355
19.22. C¡lcul¡.l¡ d.rlv¡do l'(x) .lo las lunc¡on.¿ slgut.nt.!:
o rr'r - f ¡J¡a "¡ xa = f'. "0,u¡ r(4 = J" .'. or o ,("¡ = f ". o,c) (4=]" . , + r--Ld er rr , r=f" , * f iarolr"r=J'¡ftd, r,r 'r,r=(f
,t-.:*1"
d)
r(x) - F(x) - F(1), aisndo F(x) una p'imitiva d€l integrando.
D€ivando. s€ tr6n6. l {x, = --i-' l+f
l(x) - F(x') - F(1), Bi6ndo F(x) l,lna p mltiva d€l lnt€gEndo.
f(x) - - F ' (x1 .of-€Fr '2x=€¡ 2x
l(x) = F(x':) - F(1), 3iendo F(x) una p mitña d€r inr€s€ndo.
l ' (x) - F ln Dxr=- 2x----i + (x.) . t+r
l(x) = F(x') - F(1), 6l6ndo F(x) una pimitiva d€l irfog€ndo.
flx) = F (x1 Dt'------:-- 3¡: = --::-I + (v1'
La iunción l(x) puád€ g3cnb¡Éé áEli (x) = F(Ai) - F(x) si€ndo F(x) una pimltlva dol int€grando.
r ' (x) -F ' (zx) D2x F'(x) -2€E{¡-6 '
r(x) : F(2x) r(0), dsdo F(x) uña primitiva d6l jnt€gEndo.
l lx) = F'(zt) D A< - é\4' . 2 = 2 e\'.
J(x) = F(x') - F(a), si€ndo F(x) una pimiriva del in!€g€ndo.
Iur F(xl Dx = -----L a^ - t '
1 - ssn ," 1 sen?t'
f(x) : (Flx) F(a))3, s¡endo F(x) una pímitiva del int€gEndo
t (x) : 3(Frx) F(a)) : .Flx l=. l i ' -1-o, l ' . !'1 , 1 sn'r J - áen?x
9)
356
'zJ s4 F(r) = ]
(f - i) dr' h€rár ro3 [email protected] punro" er¡emo. .16 d¡cha tuncio¡.
Cátcuto d6 ta lunción.
F(x) - c(x:) c(1), siendo G(x) una pr¡m,tiva det integ.a¡do.Oeivando se t i€ne: F,(x) _G,(x:) Dx"=(x,_i) .2x=2("_2xTambién puede caicu¡a.se la ,unción integra¡ y rlego de¡ivar:
F,\ , . l , f 1)d.- ' l ,1 . , i . - r l . 1 . " . .2l3 - , J
lráximos y mínimos.
Funciones dorivadas: F,(¡) _ 2x. 2x I..tx) = 1of 2
runcon plahva.Flr) =; , ._;
F,ix) - o implica que 2t(x4 1) _ o.
Fe6otvi6ndo: x = o,x = 1,x= -1
- para x = o, se r¡6n€ que F,(o) .: o, turrso 3€ i.ara d€ un máximo pun,o ñáximo: ¡\4(0, :l
- para x = 1 se t¡6ne que F,(1) I o. tu69o ss rala de un minimo punto mhimor N (1, o)- para x = _ 1, s6 ti€n€ qu€ F"(_ i) : O, tu€go s€ r¡aia d€ un mfnimo punro minrmo: V (_1, ol
't2¿. H€¡tar to. má(tño. y dtn¡mo. r.tat¡vo. d. ¡" ru*rn 16 _ /,!J 6,
L€ lunción d€.ivada p.im€h u", r1r1 - !
l (x) :0 + L x = o. Bosotviendoi x = r
L6 fu¡c¡ón d€ivadá sogundu *, 16¡ _ L:l-l
Pafá r = 1 t(1) = 1 r o, tuógo se iráta d€ un minimo.
-r25. tla¡tar to. máxtño. y ñtn¡no. rotár¡vo. .t. ¡a ,!.c¡oñ l{x) = | !r dt
t(x) = F(x1) - F(1), s¡6ndo F(x) uña prmil¡va der ht€grando.
Derivando. se r ,en€ , . r . , F.r , . , D\. - \ , , - , ! ,
r ' (x) :0+Lf-o>x=:r i
Lq iunc¡ón dorvada segundu "",
11¡ = 1_?1I
- Pa¡a x = -1, r1-l) = 4 :. 0, tL,ego s€ trata de un ñ¡n¡mo
- Pala x = 1, f(1) = 4 > o, ru€go se trata de un mrn¡mo.
357
19.26. Hallar lo! móxlmo. y mln¡moi r.laüvo. d. la luñclón r(r) = ] . " dt
f(x) = F(€' - x - 1) - F11), 3i6trdo F(x) 'rna
pnmitiva d6l inl6grando
oodvando,6€ ü€ns: l ' (x) - F ' (e ' -x 1) D (€ ' - x - 1) - 6 i ' ' ¡ r ' (€¡ - 1)
r ' (x)-0 t er ' ¡ l?.(e¡- ! ) =0
Pu€6to qu€ €l pdms láctor €é d6mpÉ po6itivo, 3e ii€n€ q!€ dnular 61 8€gundo
Portantoid-1-o
n€€olviondo: )( - o
19.2?. H.ll.r.l punto dll tnt.'v.lo fo, 2l .ñ .l qu. l¡ tunclón .lgul.ñtc aléñz. un mln¡mo: r(, = I i* "
l(x) = F(x) - F(0), 3i6rdo F(x) una pfmlliva d€l inlágrando
Dsívando 3€l i€n€:IG) = F(x) =t ' +-
f (x) =0 >;- i=o
Puesto quo 6l d€nominador €a €i€mprc dl.ünlo d€ 0. s€ lián€ quo anllar €l num€rador'
, . ¡ -1-2x(\-1)La d€nvada 8€gunda €3: r (}0 - ----
ur;-r:-
Pa.a r = 1, f(x) = ;,
por ianto, 3€ rala de un mrnlmo.
ftts valor cumplo la condlción p€dida, ya qu€ p€don6€6 al Int€ryalo crrado 10, 2l
PROBLEIVAS
Sú l(x) un¡ lunclón d.llnlda y conllnu! .n [¡, bl, y r|l qu. f(,0 > 0 Püá todo x e ta, bl S. Pld.:l16
a) Expllc.r quó dsnmcá cád! uná d. 1.. do. .xPr..loñ.. .¡gul.nt .¡ .l
r(D cx, J r(,.) dx.
b) ¿Exlrt alguna r.l.clón .ñlr...ir. do. .xpr..lon..? 9l ....f, dpllcar Guál ..
c) obt.n.r .ñb.. .xpru.roñú páÉ r. runcron r{r) = -"
r v .r r,'r.rv.r. lo i].
La pdm6É Éxpro€ión 63 la integral indelinida.
La s€unda sxpr$ión €€ la inl€gtal d6ñnida 6n 6l int6rvalo [a, b].
La r€¡ación qu6 liga á ambas €xpr*ion€6 es el tsEmá do Aarow.
Aolicac¡ón a llx) = s6n x: I sen ^
d¡ - -co6 ¡ + C)
Jt*""*=r*" ' . ' , r l t= '
19.28.
358
19.29, Dada la lunc¡on tlxl = 1x'-5r+5
'i 30. o.l.rm¡nar a y b para qu. la rurclóñ (x) =
dcr¡nldá .n .l Inlo.valo [-2, 2¡.
a) ¡€pr€sontar lá runc¡ón.
b) Cálcurar la ¡niegral del¡nida de (x) 6n €l int€rualo [-1, 1].
c) ¿E5 áplicable la rcgla de Barow para éalcular lá iñtegral det¡nida en él Iniorvalo [-r, 4]?
a) Asiniolas ds la lunción: x = 2. x = 3 y = 0
Minimo relal vo de lá tuncrón: x : 2 5
Eje de s¡meria x = 2,5
La grálica de la función es:
b) D€composición en lactoros simp €s de la parte fÉccionara:
AB A(¡ 3) + Bt 2)(x 2) (x 3)
lsualando: 1=A(x 3) * B(x -2)
Parax = 2, 1 = - A,dedoñdeA = 1
Parát = 3, 1 = B dedondeB = 1
t11Inl69r¿l 'nd€r. id6. 1, , , ,a i ,o ' l ,^ , , "d '
t , . ) | I
h l69ra dd'nda i . , ] . ¡ . i id ' - lL\
2,L¿ 3l r2 .J r¿ L-
Lá fogla d€ Barow no pu€d€ aplrcaB6 €n 6l inlotualo [- 1, 4], ya qu€ la lunción no 6stá dei¡nida 6n
[ 2 '+?.¡ -t. r ' o ¡.a coñtlnua y cdlculár la ¡ñr.gral
Se Irata de unaluncbn a rozos. Lás tlnciones párcial€s son conlinu4 en todo su dominio. Voamos quévator€sliene q!6 iomar la luñción f(x) en ¡os punros de únión para qle la lunción entera sea conlnua
11Pará. 1: n l r
2 a. l im, ro br -á- b rguarando
2 ¿ ¿ D
Pára x - 0: l (0) = b, l im (31 +2) =2 tquatando: b=2
R€solv i€ndo a=:,b=2
Valor de la inlegral deiinida:
l l i . )d.- l l2 : ld ' - l l - 2 ld. 13\ '2rd. ' " : l - =-¿ - t , -?d; l - : : :I ¿ 4 I L2 4t I " A 4t2
359
19,31, Apl¡caf .l teor.má de tá m..lta <tet cátcl¡to ini.grot para dcmo.trar quc lon x _ .on yl < x _ y ,
se et iso ta función r( i ) =*nrenet inr6tualofx,y l : Jcostar_lsent l ;
=sen x seny={x y)cosc
Tomando valores absolulos en €stá út i ima iguatdad, se t ieñe: sent-sny: x y cosc= ¡qu6 cos c =- r.
CUESTIONES
19.32. Exl¡l.n luncton.. conÍñua. qu. it.ñ.n t. propt.ct.d .t. qu. toda .uñ. Inbtor.. tguát a loda ¡um¡¿Cuá¡.r ton? Dtbul.r uña d..Ía¡.ñ.I Int.Náto Io, 4t. -
Las tunc¡o¡$ qu€ ti€n€n ta propi€dad d6sodta 6n 6t enunctádo son .onEtantss, yá qle €n esr6 oaso 6l6r mrn¡mo coincid€n y, por tá¡to¡ ta3 sumas 6!pedor€6 e intetof€s son iguat6,Po. €Fmplor l(x) - 2, l(x) = -5 ..
19.33. El ár.a d. un tr.p.cro mtx t¡n.o dcr.ir n.do po, uñ. lunctón !n .t tñr.v.to Iá, b¡ ño .t.mp¡. co|nc|d.lá rdt.srat .l.r¡ntda .n ... ¡nr.rv.¡o. ¿E¡ ct.rro? Dtbui.r un. runc¡ón p.la .cb;;;" .,..,.".
En algunos cas€ pu€d€n coincidi v 6n orc no.El áJ6a dol irap€cio mixtitfn@ coincido @n ta inr6grat d€finida si ta tunción detinidá 6n €t int€ruáto Ia, bl os
El á16á de u¡ trap€cio mixtilínso s€ comid€ra si6mpr6 posit¡va (a nivet etomenrat) Lá int€grát dotinida pu6d€pos¡lrva, n69ativa o nuta.un ojsmplor r(x) = €enx
La tunoión s€nx nóns como áea € ¡ntegrat dsfinida 6¡trs O y r etvator 2.La lunción senx lieno como ini€grat datinida 6ntre n y Zr et vator _2.
El ár€a ss¡á: -2 : 2.
360
19,34. Dos luñc¡oncs opue€lás e.lán défin¡da3 en el m¡smo ¡nt.rvalo [a, b]. ¿Cóño son 3us ¡nregrat$ dctin¡da3? ¿Y
Las inlegrale€ delin¡das son opu6tas.
En electo, ios valores má¡mos o min mos que roman as lunciones son opueslos, tuego t6 som6 superiores einferiores lomán valors opueslos y, por ranro rambión sus liñ1es, que son t6 inlegrates delinidascoño los trapecios mixl¡lin@s son iguales po¡ ser simétricos respecto det eje de abscisas, sus á€as (en vatorabsoluro) rambién lo son
19.35, Al calcular una Integral .leliridr .e uiil¡za una pr¡m¡r¡va dd ¡nrograñdo. ¿Oepénde et vator de.!ra tntegraldel¡ da de la Dr¡m¡r¡va quo .. rome? ¿Por oué?
La integra deliñrda 6s ind€p€ndionte de la primiliva €legida.
En ere. lo. I f ' , d. | t , . , Cl Fror c E,a ' c F,ót1..
Pueslo qu6 la inl€gral d€linida no depende de la pnmtiva €l69idacoñslañte ds iñtegBc¡ón 6 nula, es decir, C = 0.
lF(x)l:
práctca se suele eregi aquella .úyá
'e.36. ¿cuál .. l. d.rlvád. d. lá iuncrón l^ tí) dr.n tos poñro. d. ta,bl ¡t f.r coni¡nua .n tat tñt.rvaro?
La rln.ión d€rvada 6s la runcrón ¡nrogrando, es dec r, F'(x) = l(!)
Eslé reslllado se conoce .omo loorema tundam6ntal de¡ .á1.!lo integÉ|.
'137. s¡ t.. una iunc¡on contrñud .n tá. bl, ¿pu6dc .ér j'r1r¡ a" = or ron., ,n .i.mpto .ctaratorio.
Por ejemplo, lá luición ¡mpar,lE) = sen x, veirca la reacio" [
*", ar = I cos xli" : o
361
1e.3s. s¡ ./'
(x) dx = o, ¿.e vcr c6 .monca6 qu. J'
, rf,l * = o? st t!6¡é s¡.mpro c¡€rro, pruébe..; .t pud¡i.6.r lár.o, pónga.e un conrE.,.mpto qu. ro contirmr.
La respu€sia es no.
s€a (¡) ¡. onro¡cos s€ ii€n. f" " ¿, - "'1", " .
lzl ". z , 0 obssrua qu6 €s u¡a tu¡cioñ rmpar.
1". ,* i ' "* l ' "1 ' . a , a. ea'L3l. 3 3 2
Por tanto, ya que ambos f€suttados son dist¡nios, la ¡6€puesta 6s n€gativa.
1s.39. S¡bl.ndo qu.I f(x) dr = o, ¿podcño. ¡..gurá. qu. . = b? st t6 ro.pu..ra.. n.g.Ívá, pon.r un .j.mpro
La rsspuéata es no,
co¡srd6r6mos ta Int€sre d6nn,¿a I sen .r o^l"
Et vator d€ ásta ini€g.at €3 O,Por 8sf una runclón impar, tos lecinros ¿imátncos r€specro d6r or¡g€n ri€n€n como lnrBgfat d6tiñ,os vaD6 0pu6sr6lu€go su .uma e! 0,
1e.40. ¿E¡ c¡.rto qu. .t i r0() dx = J f(x) d,.ntonc.. b = c?
Lá €spuesiá s6 no.
Por 6,€mpto €i á. b. c ta tuñcró4 d( r" h "nnda porr(h) =I
o- ; iembaDo, tos tím[68 d€ intoglación son dFrnros.
il lil *'or" r" *"or"ión dada y. '
1e.41. s¡ F,(x) = (x) pará todo x.t. Io, bl, .nroñc!. | (x) dx = F(b). ¿E. cl.ño?
apl¡cando €l teorema de Bdro* ""
0""., j' xr¡ o" = F(b) F(o), y, €videntemenle F(o) no tisn6 por que se¡ 9€ao ' l "
Por ejemplo, s¡ se etige ta tunción r(x) - senx €n st inrerua¡o Io, rl, s€ liene:
I senxdx - t -cosxt í : cf _( @so)=1+1=2
362
20 APLICACIONES DE LA TNTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS
a) F€pr.s.ntar sráf.amenié tá tuñción r(a = x + rx _ Ib) ¿En qué punro. dtch. tunciótr no e. d¡tercñc¡obts? Fazona, ta rc.pu..ta,c) Cdlculo¡ 6l árca d.t r.c¡nto dcr.¡ñtñado por to grál¡ca d. ta func¡ón antério¡ y ta récta y = 2. ¿S. podrí,
obién.r .l r..ultado .¡n ¡. ayuda d.t étcuto inr.gr¡l? ¿por qué?
La lunción dada se e€cribe, sin vator absotuto, ds la sigr'unt" rorr", ,t¡ = I o,*
'
rá runc¡ón 6 coniinua sn ta recta .6at I ¿' - I
Lá tunción €6 dsrivable €n toda ta rsciá
ol 1... . ,¡¡6ar sarvo sn r@ püntoE anguiosog (punro3 dé unióñ) de ábscisas
Enx=0rl ' (0)= 2f(0)=o
- Enx= 1: l (1 ) = 0, f ' (1 ' ) = 2En la llgura d€l apartado á sá muéltrá €l r€cinto cuyá ársa háy qu€ catcut* utitizando ñftodo3 g€omárrcos y
punroá dá con6 d€ ¡6 eror'""", I . ] ,) c(i ,
El r66into e6 El trap€cio ABCD cuyas ba!6E son 2 y 1 y ta atiura j.
l,"u leecol - |
J" o ,-," * '¡r o" n {' r.
F.pr..tnlar .l r.c¡nto d. la r.gión d.t ptaño t¡m¡t¡da por ta fuñctón (x) = - x, + x + 2 y.t .¡. OX, Catcutar
Función:f(x) = \ .+x+2= ( !+ 1)(x 2)cod6s con los ej6s: A{-1, o) B(2, o), C(0, 2)
Aréa(R)=l ( - \ :+¡+2) d{=l -
É"1)d, + (2 {2x- 1ld¡=:
1,2
- r**1,- t363
2O,3. Calcul.r 6t ár.a d. ta reg¡óñ det ptáno ¡imit.da por ta curya (x) = x? _ 4r + 3 y.¡ ej. OX,Fuñción: f(x) = if 4x + 3i = l(x 1) (¡ _ 3).codes con el eje Ox: A(1 o), B(3,0)vériic6: V(2, 1) s¡métnco de V,(2, l)
t t r .a€a(A) = - l ( ' ¿¡+3)d.=_111 ¡3
Calcu¡ar .¡ ár.a d. ¡a rog¡óñ .t.t ptáno r¡m¡tod€ por ra ,unc¡ón (¡) = x, _ 4x y ct .J. OX.
Fún€ión: l(x) = x¡ - ax = x(x a)corles con tos ej€si A(0, o) qa,o)
Area rql = | r., o,r ¿^ = - ll63
Hálrar lo.válor. .d.a.byc.n.rDolnoñr.-pt¡)-=¡x, ig". !d: tomaqu.pf l )_a.p.(r)=6,
Í'l,..ot; ""' = 0 F'pr"'nl"r r' run;ron v carcura' .¡ á¡.a d. ¡á r.g¡.' r¡r"
".nr]l-ii¡i" .;. ,. .,*",
Func¡ón d6ivada: p (x) = aá¡ r. bPl) =4, 4=a+b.¡cP'(1) = 8 8-2a+bP(2) + 15 P(O) = O O=4a+2b1. 16.
F€6olvi€ndo: á = O, b - 2, c = -1Pol¡nomio:P(x) =3x?+2t 1
,* * ." l "=1t , 3
" ' l l"= t i *t- i
32n
20,5.
20.6,
364
A( 1, o), B(l, o)
- f
a*" inr : J' pr +, 1) dx = tx3 + x: _ xl! , =
D¡bular_la.gr. l i@!d. la¡ .cráy=2¡+rybpar¿botáy=r:_4x+tycoñprob.rqu€.mb¿.dexm¡irñun ¡.chro cénádo. Con ayudá d.t ca¡cu¡o iñt.grat, ha 6, .t ar.a de ..e rc;¡nb
Puntos de ide.sección de tas cuna€: A(0, 1), 8(6, r3)
Arca(R) I { ,2, - j ) \ , 4, , , , , "^- l - -
I '3
_ 3f lo_16
-
27:e
Hallár el área de la l¡gura l|mnada por l. cuNa y = 2¡ - x" y la r.cta y =
Puntos d€ .orl€ d€ la pdábola y la rsla:
Ecuacióni 2x ¡': = -x.
Resolv iendo;x:0,x=3
Hallar.l ár.a d. la ligura l¡m¡lada Por It cuM y = xtr y las r.cloe y = x, x = O, x = 2,
/ r 3r a ' l 'ñea(B)= | (¿ , '+4dr=
- - l
Punros de cole de la parábola y la rc.ta y = x
R@lvi6ndo:x=O,x=l
Oe x - 0 a x = 1, la r€cta queda por encima d€ la paÉbola
06 x = 1 a x = 2, la Écta qusda por debajo d6 la paÉbola
4@ dél ruc,nto F Area (F,) (" \) d' = i : l - 1n123lo6
at@ d.t rcc¡nto R,: Área 1R") - I (x" ") ",
= : {l' = :' r , t321.6
A€a: (8, + R¡) = 1 unidad cuadBda
Hallar.l ár.. d.l r.chlo llÍill.do por ls curuay = x¡ - 5 y lá r .c l .y = 2x + 3,
Puntos de cone d3 |a párábola y ¡a r6clá:
Ecua. ión:x ' -s=2x+3.
F€8olv i€ndo:x = 2x=4
Araa del Ec¡nto: ta g¡áñca d6 lá r6cta quoda por €ncrmad6 la parábola €n 6l iñlorvalo d€ ini€g€ción.
' ' I r l 'Ar6a{R) -
. r¿ 3 ' 5r d. r - : - 8"1 . 36
i'
:4- l
20,9.
2O,lO. Hállar.l ár.6.1.1 ¡lclñro limhado por ta cuda y = t' - 4xyla r.¡ia y = 2x - 5.
Punros d6 con6 de la parábo a y la recla
Ecuaciónr x" 4x - 2x 5
Résolv i€ndo:x-1,x=5
A¡e del recinto: la gtíica de la rocla queda por encima
323
I3
de la parábola en €l int€Nalo de inreqhción:
r*.1n¡ = J'12, s - x'+ 44 dx =
13tr -^1,
365
20,11, Hállar.l árca de la r.g¡ón l¡m¡lada por ¡a curu6 y = x': - 3¡ - iO y lá recta y = 2x - 4.
La parábolá es convexa.
. 13 49rveí'@: \r' rrcone con elele oX: c( 2, 0), D(5 0)
Puñlos de corte de la pa.ábola y la r6cta: A(-1 -6) 8(6, 8)
Áraa det rccin¡o: La qüi).a de la r€cta qu€da por encima de la pa¡ábo¡a 6n €l Int€rualo de int€g€ción
, t' 3,r3Ár€á,R, , I t2 i .at
t { 3. r0Id,-L; . ; u^] . - ;
20.t2, Háll€r.l ár.á d.l r.clnto llmhádo por lá curya y = x(6 - x) y la r.cla y = r.
Árca det rcc¡nto: La Eática d6 la .sctá qu6da por dóbajo d6 la parábola 6n 6l int€rualo d€ inr€gráción:
A/€a (F, ' ¡qu' . ¡ ¡o^- l t ' l - : [ - t : tL L2 Jlo
20.13. La ¡.Pr...nl.clón grállco d. lá l¡sqE .. ur¡ luñcróñ pol¡ñómlca d. gr.do 2, con un ñáx¡ño .ñ (1, 2).
¿Cuól .. .l valor rb la .¡pr..lón y d.l r.clnlo .ombr.!do?
Lá parábolá 66 cóñ6áva.
védica: (3. 9)
cod€ coñ 61 6j€ ox: o(0, o), D(6, o)
Punto€ d6 cori6 d6 la párábola y la Bcla: O(0, 0), B(5, 5)
Pu6to qu€ €s una lunción polinómlca cuyas raíces son 0 y 2, se riene: l(x)
Por pasar por 6l punro (1, 2), s€ ü6ñe: 2 = k
La {unción polinónica es; f(x:) = 2x' + 4x
La ocuacióñ de la recta Otl €: y = 2x
= k(xlx 2)) = k( x' + 2x)
13
: l ' , ̂ ' ** " r . -=1f;366
-'*l:=
20.14- calcular el áre. dél t€clñlo plafro d.iermlnsdo por l8 recta'
Y = x ' Y = 2xY la P.rábolaY = f '
Puntos de inter€ección de las curuasr A(0, 0), B(1, 1)' C(2, 4)
' t Iarea (8, | {2, ' ' d> | '2 ' '1d' - ;1, l "
-
20.15. Catcutar €t Ár@ del r.c¡nio liñtado Por la parábola 'c
= 2y, .l .¡e d. o.der6d$ y la lang.nto a la pa.ábola
d. F€ndbnr. -1 H¿c.t un .l¡bu¡o ds 6té r*hto'
Función donvadar t'(x) = x
f ' (x) = 19 x= r
Punlo de lansoncia: T1-1, ; ]
Ecuación d€ la recta lan96ñis y = r - 0,5
Grál¡ca de¡ rcc¡nto:
Punros d6 intsFeclón dB las **", t(-, ;)
Á@ del Bc¡nto B:r l ix 'Ar€a (R) l ,Lt- ' ' -á '1" l 'u
20.16. Encoñtr.?.1 árcá llmltldá por la Párát'olt dt 'cu¡clón
v = x" +
r=-1 yx- I
Función d6dvadar t'(x) - 2x
Punto d€ táng€nc¡a: f,(-1, 5)
P€ndi6nt6: t ' ( -1) = -2
Ecuación d€ la t€ctarv - 5 - 2(t + 1) = -2x + 3
Puñto de tangsncla: T:(1, s)
Ecuao¡ón d€ la teclary - 5 + 2(x - 1) = 2t + 3
PuntoE de inioÉ€cción d6 las rccta.r A(0, 3)
¡ fx:Á€a (R) - rJ t(x: + 4) - {2x + 3)l dx =
15 -
20,17. tlallar.l ár.a d.l reclñto llnlt¡do por la. curyat v = 6x _ t'ty - 'f
- ác
La pimera Patábola €. cóncava
tá segunoa 6 conv€xá.
Puntos de cort€ de las parábolás: O(0, o)' B{4 8)
Area det rcc¡ñ¡o: la gta\li. d€ b Pnmefa Parábola queda por 6ncimade la sogunda en el intervalo de integhcióni
,tr]" *aré¿ rRl = | lr6i tJ (t_ - 2x)l d) - l4l -"-- " _t" . - | 31" 3
LI '=Z3, 6
,o 2).
2 21 , 6
4 y .u. r.cl!. langlnl.¡ .n lor punb.
20.14. D.da3 las runc¡oné6 l(x) = 2x - f yg(x) = x, - x - 2
a) EnconlEr Gl valor dét ár4 comprerd¡da enÍ6 ta. do! tunc¡on4.b) Enconirur.l ángu¡o que lorman ta. rccr$ tang€nt66 a cada tunctóñ en et punto dc obsc¡.a 2,c) Encontrcr .l ároa .tet rr¡ángoto qu. ti.n! por todo. et .¡. d. tas X, tá recta i.ng.nt€ o t6 función n(
-6lpuntox=2ylarectapcrp.ndicut€rataant.r toryquee. iañg.ntoatatunc¡óntr¡ , .
a) Plntos de cone de las parábot6
Eclació¡ x ' - \ - 2:2x- x,
Fesoleendo^-- : . ¡=2
Área dei rcc¡nlo: La qafica d€ la pr¡mBra parábota qusda po. oncima de ¡a segunda €n ót inteeato de nregrú
I zx 3{ 125Ar€arFr- I . f2¡ t t t^ ' ._ o ' "*_l ;
- ; ^) ._; ;
b, PeñdE1r6 d6 tas r€cis hn;€ntss
'... f'(x) - 2 -. 2x, d€donde n = l 12) - -2
9 (x) = 2x 1, dó dond€ m' = r(2) = 3
Tans€nto d€t ánsuto qu€ forman tas récrs tang6nr33: is (., p) - ]q!.'J|! = .3 -( 2)
- -1 - lg. lgd 1 - 3 ( 2/Por lanio, 6l á¡gulo qu€ forma 6 135" (ánguto mayor) o ¡t5 (ánguto mno4
c) Ecuación do la rccta langéntB a f(x) €n x = 2:Punto d6 rangÉneiar (2, o)
P6ndi6nt€ d€ la f€ctá táng€niel
m=l ' (2)--2
La r6cta tang€¡l€ 3€¡ái y 0 - -2(x 2), d€ doñde y = 2x + 4Punro corr€ dé ra tang6nt6 con st €J€ OX: A{2, OrEcuación d€ la r6cta .orñar a la r6cta rangeñie y que 6 rangsnts a su v6z a i(x):Punro d€ tan96ncia: T'(a, b)
Pof tar to: f (a) -2-2a=a
-3
Por tarno, las mordenada6 det eunto son: T,{:,
Ecuación de la rocta tangone o r': y 1! -
Punto de cort€ d€ ta tangente con et eje oxr B(
El vérlrce c $ obtiene .esolviéndo et sisréma tormado pd tas sisDr€nies €cras: lv
Fosorv¡endo er sisi€ma! se obri."", c(+, :)
Arca de t¡ángula ABC:
- L¡ b6e es: AB:2 l - : j=: :\a/a
La allurá 6: h : :
125
t5 l16/
l t 3\
15 1 /16 2\
! ,
25.!84
368
El área e6: Árca (aBc) =
20,19. Hallar elárd @mprcnd¡da.nlr€ los parábol€. y = x': - 2x + 3e y = 2x: - 4r + 3,
Puntos de intérsección de las curyas: A(0, 3), B(2, 3)
A¡s rFr L t r ( ' 2 ' 3t tz i 4^ 3 ' l ov. l . ' " ,
20.20, Calcular.l ár@ d. 16 r.gión del¡m¡t¿da por la3 cuda3 y = x
Punlos de InleBección de las cutoas: A(-1, 0), B(1, 0)
o"",n,-r f l . { \ j . rd. , l ; ; , l
€y = r ' - 1 y lá3 recra€x = - l yx = 1.
63
j
v
¿!.21 , l.falfar .f ár.a d. fa llgura lim¡táda po. ¡$ curya. y -
2 - x2 . y = t ,
La parábola cóncava y = 2 x' liene como 6j€ oY.
Vérlice: O(0, 2)
tá tecta y = x liene el punto anguloso €n {0,0).Arnbas curyas son simérric6 r€speto dsl eje OY (son lunoones pa€s).
Punlos de code:A(1, 1) , B( 1, l )Área d€l r€c¡nlo l6ni6ndo 6n cu€nta qu€ €s simético:
La grálica de esla lunción os muy s€ncilla ds corctruú, ya que estárormadá po. trozos de parábolas y de recias.
a) LÁ funcón es coniinua 6n iodá la r6ctá .€al. Lá tuncón es denvabloen toda la ¡6cra Éal menos en los plnros anguloso€ de ábscisa x= 1, t = 2, ya que ls de vadó lalerales no $n iguales
b) Ti€ne un má¡rmo absolúo y ¡e¡arivo en x - 2.
63{3
Á."ot -z] ¡ r - , ' -4 o ' =zlz, ; l : - ,f x x
D.d. la lunc¡ón l(x) r.al d.l¡nldá por l{r) = j x .¡ 1 r 2t4 - r a l 2 x
a) Hállár lo. punro..n lo. qo. r(x) .. d.dvabl..b) E.rud¡ar .l .x¡¡!.n lo.
'náxt¡¡o. y mfñ¡mo. rohtlvo. d. i(x) y, ¡l .xt.t n, d.t.m¡n.rto..
c) Calculár I 3 r(x) dx
Es una lunción a lrozos. L6 tuncionos parcial€s son contiñua6 y de¡ivabtes en sus domintos. S€ trala anora oe6tud ar 6l compodamEnto dé la tunción en los punros d6 onlac€ y v€r s¡ on 6¡tos s continua y derivabte.
[ - ' " ,=oLá tunción dada, d€scompo¡i6ñdo 6l vator absotulo, se puede escibtr as,: r(r) = I 1' :l 9 ' "
t| ' si 1 ' 2L¿ ^ s,2
369
C¿lcular Gl ó@ de la reg¡ón del plano llm¡lada por la curvá t(x) = 13 - 6C + 8x y el e¡e OX.
20.24, H. l lár . l ár . . d. l r .c lnto pl .no l lml tado po¡ l¿ curyá y =x3- 3x + 0yla.r .c la.y= -3x,¡= -3, !=0
Función: r(x) = ¡3 - 6f + 8x = x(x - 2) lx 4)
Corle con los €j€s o(0, o), A(2 0), B(4,0)
Puesto qu€ los r€cintos R, y F: son simétr¡cos respecto d€lpunro a(2, 0), $ lien€ que:
: t ! ¡ l?AEa(R,{ FJ-21(¡ 6. 8x)d' 21. -2? 4l -2 4 a
GÉt¡ca y téc¡nto: lligurc a)
Lá prim€ra curva 33 una cúbica, Las olrál t 63 8on récia6,
Punros d€ con€ d6 la cúb¡cá y ld r€ctaer A(-3, - 10), B(-3, 9), c( 2, 6)
¡éíñlota€ v6rticálssrx - 1,x - 4 A€inlota ho.ircntál:y = 0
o€8ds x - 2 hastax = 3 la gÉl¡ca p€.ñan€.6 négativa
tuea det racinb: aátcuto d6 lá pimiltá F(x).
1
Áre 1n¡ = ¡12¡ F(3) = L2 + L2 = 2 L2 - 1,386.. .
H¡ll¿r .l árca .lé 16 r.glón llmltada por la lunc¡ón y r.ct€. .¡gul.nt .:
(x)=-,y=o,x=2,x=2V3
Gñfica y reclrto: la gñtica es posiliE en lodo el dominio
Por tanlo, la inl€gral delin¡da coindice con el árca dsl r€cinto.
| - j l r
' l r
Arc¿ det rcciñto: a¡ea tqt = J o *d ' | t . " ie,L
=
=1".n. .¿ ;*"n. : I - I - ;
D€skmD43|ciór ladonal:5x ¡4 r-4
Pimi i iva: F(x)=L x 4 L x 1
D(0, 8), O(0, o)
- R€cinlo ABC: A(8,) - f'
- Rocinro cDoi a(8,) = f"
- ,ór6a totál: ?
unidad€o cuadadas
20.25. Calcular.l ár.a d. l. r.g¡ón d.l pl¡no.nc.rt.dá por 1.. curv¡! y r.str..lgul.nt .:
f (x) = ¡ _*=-, y = o,x=2,x=3
I-3x - (x' - 3x + 8)r dx =l-Í -'l " -? -,,
¡.- ." *.r *."r* -[f * r]". = ,,
20.26.
370
20,27. Hallár ol área t¡mitáda por ta cqda y = Lxy ta. rccla! y = oyx = zs.(Lr to96rirmo nep€r¡ano.)
Aáíca y rcc¡nb:
co¡1e con er eje: A(1, o)Área det recintt:
P¡imnrva: F(x) = x Lx xÁrea (F) = F(2e) - Fl1) = 2eL2 ( 1) = 2eL2 + 1
20,23- Sallar €l á¡óa de ta rogión det ptano t¡ñitada por ¡66 c!rvas y = Lx, y = 2 y tG €jq coodenado.,
Et ¡ecinlo tir¡rlado por tas curyas está señatado en ta stguenle iigura:t\¡ea del rcc¡ñtó:
- Area del fectánguto oBcD. 2e¡- Área bajo ta curva de Lr
Límites de int€gración: x _ 1, x = e"
a¡ea (F,) = ]
rx dx = fx Lx _ xli = 2 e" e. + 1 = ú + 1
Ár€a d€l recinio pedido: 2e. e: 1 = e. 1
20.29. HaIar ét áf.. d. ta r.gtón .,.t ptano t¡m¡rodd por ta tunctón t(¡)x = o há.ta r = b, .¡.ndo b t¿ ablctso d.t ñtntmo d. t6 functón.
Función y denvada: t(x) , x Lx, t,(x) = r + Lrf(x) = 0 ? l r l j_o
Sesolven¿o: x = 1
punto m¡n¡mo. ri¡ll 1l\e ' é/
corl6 con tos €t€s: O(0, o). A0, o)La tunción 6s continua 6n x _ O.Grática y rccinb:
Árca det rccinto:
0,1015
¡t3o. Cálcu¡ar.t á.ea ¡¡miiada por t¡6 grót¡ca. y = 2¡ _ x¡, y =.r, x = O. r = 2.
Lá parábota coña at ete OX en tos p!ñtos O(O o) y A(2, o)
a,* rnr - f p' (rx x, dx =
le,
= 1, t : l i
-
: vd. jc ox. do.dé
¡-
l ' " , ,*=- l { , r l r= 1=+, 12 4k 4é!
, : " i"-". :
20.31. Hallar e¡ á16¿ dé la rég¡ón del plano l¡ñ¡radá por t. función f(x) = t e, y ta6 rectas y = O,¡= o.r =
20.32. Hrllar e¡ área de la rogión del plano limitada por lá cuNo t(x) = x o , et Gjé de ab3c¡sa
Cone con el eje ox: O(0. 0)
Pímtiva F(x) = x e ' e '= (x 1) e
Área (F) = F(1) F(o) o ( 1) = 1
x = 0, y l¡ ordenada cn el mÁx¡ño.
Funcon y d6rivada: r(x) x e' r'(x) (r 2xr) e ,
f ( ¡ ) 0 ) 1 2x 0
BesolM.,P¡do: x -\ '2
cone co¡ lós €ies o(0 0)
Are¡ lRl . e d^ | 12 lr , '-)
. o.ro'
20.33. H¡llor el área dé l¿ r€gión l¡m¡radá por lss tuncioncs y rcclas siguiGnloB:
l(¡) = 1 +e .. , y = o, x = o, x = L \ 3
La gralica es posilrva e¡ lodo el domrnro Por lanto, a nlégrá delinda concrde con e áre¿ dsr recrnro
Átú det rec¡nta: Ñea (a)¡1. a" = t".u etl I = arcts 1
-
arcrs r
H6ll.r el área de la régión dél plano limitada por ra tu¡c¡ón t(x) = rg ¡ y tás r€clas y = O, x =
=1 ! !3412i"
Gálica y tec¡nla: Ca.t'e cor el éj€ OX O(0 0)Area det rcc¡nto: Pr¡mirua F(x) = L cos x
r."1n,¡= fr lo¡ .1 ; l ] = +e." 6.¡ = r(l l 1q : Ll
Árca totat : Á,ea(n,+RJ= , f { - ,*n.
372
i(x) =5eñt 3i O : : ¡ =I
4
co.x s¡ a< r . :1
La tunción es continua en su domiñio, ya que en x = ;
ambas runciones ioman 6t m¡smo vator.
20.36. Hallar.l á@ d.la. regiotr.s t¡n¡lád.s por t6r cuNa. y = &nr¡ y = corxy ta r.ci. x = O.
20.35, C.¡cula. el área dé la rcg¡óñ del ptano encerhdá por ¡a recta y = O y ta curya
ra oor coseno qusda por sñc[ñá d€ € gráfcá dst séno 6n €t inléNato ds intogración.
a,€a (Fr =.] rcos, sn¡r o ' = ls€ñ) , - . , t :
. \ ,6 - .
Hall.r.l áf.a d. l. r.glón d.r pt.no.nc.rad. por tá parábota x = a - t' y .t .1. d. ord.ñ..ta..
56 lrala d€ una párábola d6 6j6 horizontat OX.
Puntos do corl€ con los qes: A(o, 2), B(0, 2), V(4, o)
Árca del recinto: Se catcuta et recinto superior y se muttiptica por 2i
12 '4
¡)"ar@(Fr-21 V{ "0. , l . l "
=
323
373
20.38. Hallar el áca d. la tlgura l¡mitadá Por 16. curv.! y'¿ = 4x, y = 2x - 4.
G@lica y rccinto: la Paébda y' = 4x lisne como eje OX
Vút¡ce: O(0, 0)
Puntos de co^€ de la pdábola y la .ecla: 4x = (2x 4)?
R6olviendo: x = 1, x - 4. Punlos de corte: B\1. -2), C\4 4)
Á@ det rec¡nto:
a r ' t IBe€inio aoB: Area (Ri) = 2 L
2Vx dx - ' l=1, =
¿
. ' 4 " . ' .9
- RecinroaB( A'ea,R.) I t2V\ 12\ 4r ldx-13 " '*1.- ,=
Ár6a roral: 9 uñidad€s cuadrad6.
cálcul.r .l ár.a d.l rcchro llmlt¡do por la paÉbola 2t' = x - 2, .l .1. dc ab.cl.at y la l.ng.nt a la Par¿bó.páral.l6 a la ructá 2y = x - 3, Hac.r un dlbulo dcl r.clnlo d..cr¡lo
Punlo d€ lang€nciá: r(4, Y(a))
Pondi€nlo:m=y(a)- t
Función dorivadai 4 y y'- 1
o€rivada e¡ x = ar 4 y (a) y(a) =1
suslituy6ndo 2 y(a) - 1, d€ dond6 4 y'(a) - 1
Por lanloi0,5=a-2
Punio d6 rang€nciá: T(2,5, t(2,5)) - T12,5, 0,5)
Feclatan9€ni6iy = 0,5x - 0,75
Punro d6 @d6 con el eje Ox: A(1,5, 0)
¡ . - . i . , 3. \¿ - L r 3{ l ¡ 3 ' \aAr€álR,
Jt2 io, ) t ; -o l , \^ 2 ldr-
a i , - 'o-o - tx-2t1. e
Hacl.ndo u.o d.l cál.ulo ¡¡t.grul, d.mo.rE qu. .l ár.a d. un circulo d. radlo 3 oñ¡dad.. .¡' Pnc¡.¿mGnl.
Gtáfiú y rac¡nto: ta ecuación de la circurl€r€ncia de cenlro O(0,0) y Edio 3 €s: i! + vt - I
Primitiva F(x): se háce el cambio de variable x = 3 sent. Por tanlo, dx = 3 cost dt.
Jre-,a.-s '*" ,0, l fu " ."o,o ' - ' j l *"" I l *" ' *" ',\6 - "'
Á,6a (R) - 4rF(s) - rur : " l: -** '] =^.| i= s.
2
20,41. Hallor el área de la l¡gura limltada por t.5 parábotas y, = 4x y x, = 4y,
12, 3
Eñconlr.r él área d¿lcm¡nada po. la cuda do ecuaclón f = x¡ y tá reck quc po¡a por et origGn y et pun,
Ecuación de la recta: y - 4x
Puntos de iñleFeción d€ las cury6 O(0, 0), 4(16, 64)
2" t! 1 r¡,a¡ea (R J 14, ¡ ,o, l rL 51"- i ;
4r t3
20.43, S.bi.ndo q!. .l ár.€ d. ta ..9¡ón coñpr€ndida .nÍ. ta cutud y = Vx y ta feck y = bx.. r, c.tcs¡.r.t votor
Ctél¡ca y rccinto: la paébola es horizontat conv€xa hacia ta d6r€cha.
Punios ds co16 d€ ra parabot¿ y ra €cla: olo or, B' L l
Árct dél recinto: ta gtática de la rslá qu6da por dsbajo de ta parábota
Pu€6io q¡r6 6l ároa 6 1, 3e tiene: *-L
= 1 ) o, = : ) " - - !- t/6
Oo. h.rmáño. h.r.dan un€ párc.la qu. han d. r.p.rth.. .n párt.. tgu!t.!. t-¡ plrc.h .. tá r.gtón p|!n!.nc.rrsdá.ntr . | lFrábol .y=x"ylaroct !y=l ,D.cld.ndtvtdtr t .párc. tañ.dt .nt . t /nár.ctEy=.parat . t !a l¡ r.cla y = L Hollar .l valor d. a.
El .@into qu6 s6 va a rgpartn és 6t indicado e¡ ta s¡gu¡6nt6 tigura:
Áreadérrc.inroquesevaa.epa,ti.Á€a(R) = rf o - "r *: rf" - i: l ' =
iPunios d€ corl€ de la parábola y la r6cla y = a: 1 1,á, a¡, 11,á, a¡
Área derreinro rimiüado por ra pdáboia y ra recra y = a, l*u 6.¡ = zj" r" - ""t " =,l*
f]"'
" .,"u 1".¡ = !, *** o* u = $
3-
375
s. con.ldcra la parábola de ecuác¡ón y = f como .e Indlco €n la flgun, Enconirar .l valor de m pa¡a qÉlas áre6 de la3 supe.licie6 ráyadar .e€n iguolog
Arca del primet rccintol
r.urn,r = J-,,0"= lfl=T :Area del segundo ecinto:
Area (Rr) =(5-. f r"- f**=,r . - r t . l : ] '==,ra ,a.- f -+
rOrurunUo,""rru .=f ,
C.lculár.l válor d. a p€rE qu..l á..a dc 16 r.glóñ l¡ñ¡la.la porlacuM l{x) = -x" + a ylt r.crá y = 0..¿20.46.
y - x: + a 6 una €s pa.ábola cóncava
Para Bimplil¡car los cálculo6 pondromo3 y = -x' + b'
Ralc€s: x= b,x=b
Por la simérrlá d6 la ligura, $ t¡6n6
l . r ! +b)d,=l
5 +br¡ lq=
Resolviendo: b - \i'3, d6 dond6 a -
20.47. Sabl.ndo quc .¡la grál¡ca @r6pond. a oná tunclón pollíó¡¡lcá tb grado 2 y qu. .l átóa Dmbr.ada m¡d.
: unld¡d6. cuadrad!., calcular la .rpr..lón alg.brai¿. dc la lonción,
Pu€to que € una tunción pollñomica cuyas rarc€6 son 1 y 3 * lime: l(x) = k(x 1)(x 3)=k( x?+4x 3)
Área (B) =
la lúnción 6 l(x) = x? + 4x 3
- [ ,0"=?{=.33
\16
376
20,4a.:-::-"lg::*
., f.c¡nro cqhdo rim ado por rá parábora de écuación y = _x, + 1 y ra recra honzonlar de.éuacbñ y = .. donde a es un nuñero monor que r (quc pued€ .er p;.i vo o n.g",i"i l"ü._r, "
*".dé a p6rá quo er área der recinro urg¿ !\!.
Absosas de tos puntos de co¡ie de ta parábota y ra recla x ' !,i--; x = 1. r _El áre del recinto es pof s¡meria, ta sigu¡ente ¡ntogEt derinidá:
areJ{q, 2/ , 1 ¿,d. .¿r ;
- ' - \ "si6sta área ha de s€r t" ? .",o""."
" ,
PROBLEMAS
2049. La cur. v = 1-. o"d* ox y oy, y ra r.cta ¡ = 4, r¡mrian !,. ¿up.lrc¡. s. c.rcur.r.¡ ár.a.,. s.c¿rcurar.r voruh.ñ dé ra ígura g.n.rada por s ar dar uñd vu.¡ia éompr.ta arr.d.dor d.r .¡c ox.L¡ giélica dé ta luñción dada es uná h¡pérbota.asrnlota verlcal:x = 4
aarntola ho¡izontat: y = O
Ar€á (s) I .-111 d\ - 14 Lrr + 4 r ¿ r,
votuñon .tel cúerpo éngend@da:
vor,mm 's, 1.1-0. 'a, ,0", ' f , ,t¿4
20.50. E¡ ta t¡gum .. ha repr6.ntado uñ 'ón6
.te cono. Con t@ daro. de t6 f¡gura, ha,a¡ por |nr.gr.r* ra fórmutaquc dá ét votumén d6¡ troñco dé cono_
Lá rela gen€ralriz det cono pasa por tos puñtos
Lá ecuación de ra g€ne¡akiz e: y - (R __- r) x
Votum.n del tonco de coho:
v =I ^"(R ;r I " .d, -" ,Lr . f .^=
= j"rn ,r t l!l-"'
377
20.51'ca|cuta 'e|vo|uñendé|cuérpodgrévo|uciónqUééngondráe|rec|nto| imitadopor|acuruaf l t )= ' '.l eje OX al g¡rar alrededor del m¡3mo
cod6 con el eie ox: o(0, 0), B(1 o)
Voluñen engendado por el recinlo R al grar ahede'lÓr do oX:
volLmÉn (H) L
20.52,c¡ |culare|vo|Úmenéngondr.doalg¡ 'ara|redodo¡dc| . ieoxe|r .c intoptaro| in¡ tádopor|agf,{¡y = 2x - r2 y lá recta y = -x + 2.
Inrorsección de la parábÓlá v lá roclo A(l 1). B(2 0)
volúmen ongéndrado por €l recnlo R á gúáf alrédedof de ox
La padbola eslá Por encima de la recta en el nl€ryalÓ de rñteqracion
Volumon (R) rt(2x r) ( x ' 2)'l dx
] . t "" +" ' ' 3x r 4x 4) dx
" l : ' ' t ' - ' ' * l ;
2o.$. Calculsr 6l áréa .lel r.cinro compr'nd¡do 6nlré la Parábola v = ¡ v la ¡'cla v = x-
calcular as|m¡3ño el volumcn qañ¿rado Por dicho recinlo al g¡raf 36(f alréd6dor dél e¡' ox'
La priñera lúncún ie¡e por gráfca Úna parábÓla 'o¡vexa
de vónice O(0 O)'
Lá segúncla iunción lene por gráfca !a bisecliz del pr¡
Punlos dé intersdciÓn d€ las c!d6: O(0, 0), B(4' 4)
130" l ; : -:1.
5 / 15
I
Árca det rcc¡ño: Liñirs de integrac¡óñ i = 0, x = 4:
r ' . l ' " t !
Ared,q, I ,d. I ¿d p p, " "
Lá recta quda por enc¡ma de la parábola en el iñlewalo de inteqracon:
' .1 -e1Volunen rB l?Ldr o:16oY
r l3 SOl"- " 3
a
378
tt la.r .s¡ónr¡mrradaporrar.cr.y=x-3.r€p€¡áboray=(x-9)?y.re¡.oxshaarroGr.*r .d.rei .ox.Har¡ar.r vorr¡m.n d.r cu.rpo de r.votucron que .. s€ñen. Hu".. r" ,"pü.."ü"¡¿, i.¿t¡*.
---,. --. -,-
- Lá pimela función tjem po¡ g¡áfca una fecla.La segunda luñcion ü6ne por gÉfcs una parábota envexacuyo venrce 6 v(9, 0).
Puntos de ¡ntsÉócción de tas curvs: A(7, a), B(12, e)
La recta qu6da pof €ncima de ta paébo¡a e¡ 6l ¡nt6ruab de ¡ñt€gracjón:
voruñen,F) -J "o r ,o, J " ,^ sr .a". , [1.-3) 6 - ef l i : _
- /66s . .1 5oo ¡5 l ' \3 " ' /_ 3
Cdcullr .t votum.r d.t cu.rpo .¡g.rdr.do !t q¡rq. y
- 6x - )a. v = ,. - a¡ ¡rr..l..,or d.l .lc ox.l ¡.clnto ttmttado por ta. gür¡ca.
- La prlmda tu¡dón ri€ñ6 por gúfica uñá paébotá cóncá!€ d6 !étice v(3, 9).- L-e 8€gunda tunctón t6ñ€ por g¡áfca ta bl!6ctd2 d€t pñm€r coadrant€.Punto¿ dÉ itri€fB€crló¡ d€ ta! curvaq A(o O), B(5, S/L¿ Éota queda por dsbajo d6 ta parábola 6n st int€rvao o€ ¡nr€g¡actón:
vorum€n,R, - J "(& - ,,r,d,( r l '",.¿" _ "l{
_ .". _ !!f l '-¡ Jo 15 - 3 ¡-
H.ll¡r .l votum.n qu. .! obü.n. !t h.c.| qtrur.tl1
r,rxr.dor.t.t .,. OX.¡ r.ctñto Iñh!.to por t.¡ !rát¡c.. .,! t..rundon..yE-;r=l¡ i r=4,
- La p|lm€ra tunción Í€n€ por glá|ica (lna hipórbota €qutáte€.- Le.€gunda tuncrón r,€n€ por g¡áfca una paÉbota
* v{o, o), I d€ éi6 horEontal y = o¡ convaxá hacia ta d€r€cha, cuyo v€n¡6€
Punto d€ iDr€r€€cción d€ ras cu¡!€s: A(j,
L¿ pdábo¡a queda por 6mima d6 ta hipórbota €n ólUm¡16 d6 int€gación: x- I , r =4
nl6ryalo d€ int€gración.
vor,.* 1a1 = J' ",, o, ="ifl, "l ,J,:j"
-
f-TtrEll'-
3 27i
-!x l
379
20.57. F.pr..Gnlar la. curua. y = V16 - x':, x': = 12(y - r) y delermlnar el volurn€n d.l ¡ól¡.lo d. r€volución qu..ng.ndr.n al g¡Er alred.dor d.l .ic OX.
La prim€ra lunción li6ne por grlica una sémicncunlerencia de centro el orig€n de coofdenadas y radro r = 4
La s€gunda función li6ne por gdica una pa!ábola convexa de védice V(0, 1).
Ambas lunciones 6on simélrics ¡especto dereje oY (son lun.ions pa¡es).
Punlo€ de iñte€ec.ión de las curyasr A( 2\.6, 4, B(2\./¡, 2)
Por simetria, s€ slig€n como llmitss d€ ¡nl€gÉción x = o x = 2\,/5. Elvolum€n €s €l dobl6:
vorum.n (R) = 2 [ . " " (16' , , r * - . f " "1,r{ * rJ ' a, = z" l ro, - f *n18
20,58.
ooe r,/5= "-16..
= 220558 '
cal¿ular .l volum.n d.l cu.eo qs. .. obtl.n. al h¡c.r ghár ta .sdá t{x) =
''+
.ñ to.nó ál .¡. ox,
¡¡¡¡¡=6yx=16
Llmiiss d6 inlegrac¡ón:x = o,x - V¡.Volum€n d€t€minado al ginr €l r€cinio alrododor d6r €je OXI
20¡
20t
1 1 ' - l 'votumon rFl - I n2 , .d, " iEarcrs-21
20.59. Uñ tr¡ángulo tl.n..lo. lodo. lgual.¡ d€ loñgltud .. Hállar .l ángulo qu. h.n d6 tomár ..o¡ dos lado. paraqu. .l ár.a .1. d¡cho lr¡ángulo ... má{lñs.
El lr¡ángulo hall.do g¡¡¡ lobr€ la altura cor..pondi€nto ál lado d€6isua! Doño6tEr, o.ándo 6l cálculo Inbgrul,
qu. .l voluñ.n d. la figuro d. r.volucloñ qu€ .ns€¡u- ".
v = " ,) '¿ u'.
El área de un triángulo en lunción d€ dos lados y el ángulo comprend¡do viend€ dado por la lórmuia
r=] .0*""
si Ios lados son isual€s, la ló'."r. *, a = ] "'
*" "
Es evidents qus eláreass má¡ima cuando señx = l, * a."r, , = l
El volumen d6l cono sngendrado por el lriánsulo de ¡a fgu¡a es:
. \/5 "12"
380
" . f ¡ t=- - ' " - -" a|" :
CUESTIONES
Razonar ¡4 !¡gu¡.nlo! cu..llon€.|
a) ¿Pu.d...r.l áf€a dé ün rec¡nto nura?
b) ¿L¡ lñLgral d€r¡ñ¡da pu€de 6ér ñulE .¡n qué lo .@ la lunclón?
a) El d@ d6 un rccinio, por deliñición, es eiempre un núm€rc f€al
b) La ¡nlegrar delinida pu6de ser nula sin qu€ lo séa la función.
Por ejemplo: I sdxd¡- l -co8i* - l - I - oylarunción
l(x) = s6n x €s distinta de ¡a tunción cero.
20.61. Do. funcloñ.| opu..la. ..tán d.nnE€r .n .l ñ¡¡ño ¡nt.N¡lo [a, b]. ¿CóDo.on ü. Inr.grát.. dsr¡n¡dá.? ¿y.u¡ volúm.n.¡?
Las ¡nt€grál€s d6linida 3on opua3ias.
En €l€clo, 106 vdoB má¡mos o mfnimG qu€ toman las lundon$ son opu€sros, tu69o tB sL,mas 3upsno,es ei¡f€ or€€ toman valof€s opu€gtoa y, por lánto, rámbién €3 opu$to 6l tlmit6, que ss ta inieg|at d6tinida.Los volúmen€€ son lgual€8, ya qué on él cálculo d€l volumon intervlsn€ ta tuñción at cuad€do v, at E€r opu6staslaá tuñcion€3, 3w cuadrad$ son igual6e,
ixt.62, Al c.lcul.r .l árca d. un r.olnto .. ütllL. unr prlmltlv. d.l lri.gr.ndo. ¿D.püd. .t cátc¡ito d. tá t.ri.gr.ld.llnrd. d. l¡ p¡|mlllv. qo. .. lom.? ¿Por quó?
L¡ ¡nleg€l delinida €6lnd€póndi6nlÉ d€ la pnñ va €l€gidal
= F(b) - F(a) = tF(x)l:
práolic€ 3€ suslé €l€glr aqu6llá cuya
20.63, Olbul.r b gráflc¡ C. l. lunclóñ |.no .tlif. o y 2'. ¿E. ¡lñldc. t. grlto. r..p.cto d.t punro {r, O)? ¿Ouóv¡lor tl.n. .l ár.. d.l ..clnto llñtt¡do por l. g¡állc. d. la functóh y .t .1. hofzodr¡t?
Lá glálica d6l 6Éñ0 €n 6¡ intsryalo t0, 2'l €3tá dlbujada on lá sigui€ñt€ tigu¡al
En €l€€lo I r{x) d¡ = tF({l - CI: - Ftb, + C . F(a} -
Pu$to qu€ la inisglal d€llnlda no d6p6ñdá d€ la pñmiliva el€glda, €nconalánt€ d€ in¡3glación s3 nula, €€ ó€clr, C = 0.
Lá ghlica d6 la lunción €3 simóiica l63p6cio dol punto (r, 0).
Los r€cintos F, y R, $n simétri.os y, por lanto, ¡gusl6€,
El ár€a podida 6s 2 vo@s €l d6a d€l r€.into R,:
Arca(F, + B") = 2 | sénxdx = 2 t -cosr l í = 2 2= 4
La intégral dolinida del seno 6nhe 0 y 2T €s 0.
c
o
381
D¡bujar la gÉllca d6 la lonc¡ón co..no cnrrc 0 y 26. ¿Cuánl@ rec¡nto5 ¡guales 5e pueden coneiderar paracalcular ¿l área de la reg¡ón limilada por la gnál¡ca de lá función y €l ei€ hod¿onlol?
La giíica del coseno en el inleNalo [0, 2r] eslá dbujada en la sigui€nle ligura:
Los rec ntos F, y F.son srméricos .espslo derpunb{; o I v po' ranro Lsu6re5. Lo ñrsmo suced€ con los r€cinlos
R. v R. resoéclo del oúnlo l - . o l .
Ademl¡, los .ec¡ñtos R: y F" son s¡méiricos respecto ds la recla x = r
El aGa p€d da es 4 veces el ár€a d6l €c¡nlo F,:
area iF F n r ,1 nlcos¿dy ¿lsen¡ l ¿ 1.4
La nt69ral dólnida dól coseno 6nlr€ 0 y ztr 6s 0.
20.65. S. coná|d..án la. luñclon.! l(r) = 3.n x y s{x) - ..ñ x . Olbulár¡a.. ¿El ár.6 d.l r.clnto qu. d.t.r,nln6í .u3
g.ál¡ca. @n .l 6j€ ho.lzontál .ñtr. 0 y 2¡ .¡ ¡guál párá la. do¡ tunclon..? ¿Y la. Inl.g¡a|.. .l.lln¡da..n...ht d€lo? Bazonar 16. r..puo¡16.-
Las gÉlicas de f(x) y g(x) 6slán roprosónladas on las sisu¡6n14 rgu¡as:
El área de los recinlos, en valor absolulo, es la misma, ya que 30ñ s¡méincos respeclo del eje de absc¡3s.
Lá inlogral delinida de ¡a iunción t(x) - s6n x 6 nula.
Lá iniegral delinida de la runción g(x) = sen t es igual á 4.
El ár.a llñllada por una cuNa ño s¡cnpr. co¡nc¡dc ¿on él válor de la inréghl dcfini.la, ¿Y el volumen de uncu.rpo d. révolución?
La respuesta s alúmalva.
E volumen engendrado por un .ec¡nto R d gnar ak€d€dor d€ Ox vi€ne dado por la sigui6nl6 lórmula
vorumentB) = 1 -
f fk) l 'dx
Pueslo que tf(x)l'€s sieñpre posiliva, €l vorum€n vien€ dado por la inlegral delinida, que es también postiva
20.66.
382
funciones
Catcu¡a I.m I - co3¡ + x¿
2x'
Para catcutar 6te timile se ap¡ica ta regta de L.Hópmr:
l l#=tra+3-: ' lq i !
C.¡ct¡ta Iñ €a - e" - 2x
Para calcltar €ste timite so aptica varias veces ta r6gta d€ LHópitat:
l , - " - o_.2¡ Lm6.e, 2-
r,,,, ;". 1,, ;.., 2
Coñ.ld.h t€ tuncroñ '(¡)
= j! . D.r.rñr¡á .u dom¡nro.
Dlbujá .u srár¡ca v r@ona .r .. pu.rd. a.rg.!r uñ v.ror á t(o) pára qu. ¡a iuñc¡ón ..a coñ nua !n rodo F_
La función no está dofñida €n r = o. Et dor¡¡nto es F {o}.
Para los r€sianbs vatorg€ esla lunc¡ón pued6 detinrs€ ss¡ (4
La gÉl¡ca d€ ta t¡rnción es:
No se pu€de comp¡etar ta flnción con ¡iñgún vatora,€,ures son diÉtiñios: po, r.r}il; ;;;";::ff
que sea commua 6n er punio x - o' va qu€ ios rimires
383
a) Reprcsoñla ta sráfica d6 ¡a tuñc¡óñ (x) = x + 2 - x.b) Eslud¡a la coniinu¡dad de r(x).
c) Hall¡ to3 ¡im¡los de r(x) cuando ¡ l¡endé á +r y _-.
La runción r(x) puede d€fnnse asi:
' .o={ (x i :)
La grálica de esta tunción es la sigliente:
2
Los dos rramos dé que constá ta g¡ál¡ca d6 la luncio¡ s
Los llmites atóralss €n x = 2 son quatos a ?.
La g¡álica 6s continua 6n ta r€da r€át R
El limil6 dó lá lunc¡ón duando x lr6nd6 á +3 6s 2.
El lin¡16 de la luncióñ cuando r l¡end6 a 4 6s +a
5, ¿s6 pucdé a..su¡ar qu€ ¡á runctón r(x) = x" , 3 ..¡ x + 4 toña 6llo I-2, 2l? Ra2oña tá ro¡pu.6ra ind¡cando.t f..u[ado r.ó.tco ut¡¡¡26do,
váror 0 .n €lgún puñto dét iñtérua-
Como s6n x peneñ4e at interyato I r, 11, 3 sen t €sta¡á enlonces 6n 6t ¡ntetoalo I 3 3l po¡ lanto,
t ( 2) = I 3sen(_2)+4.: o
t(2):B 3sen2+4rO
La runción l(x) es continua pof ser suma de funciones continuas.
Por curñpliBe las hrpótesi6 det toorema de Botzano, ex¡sre uñ número .eai c e i 2, 2l tat que l(c) = O
6. Hatt6 ¡a a¡írtota ob¡¡cua .le t6 tonc¡óñ 'c - * + I
.giñrol¡ obt¡cu¿? v =
2,c - x + 3 ¿Qué cond¡c¡ón d'be cumplirs€ para qus ex¡'16
Hac¡endo ¡a división entera, se tiene: v = x-: r +r =I I + ¡qL- 2x. x+3 2 4 2x? \+3donde R(!) es el ¡6sto de ra d¡v¡són ente¡a y su grado es 1
cuandoxl iendeal- , ta iunciónseaproximaalarecrav=i-1,*u,*"*r"sínroraobr¡cuadetalunción
Po¡ tanro en ras llnciones racionares, para que exisla asíñrota obricLra, er gfado der numerador debe ser una un¡oadmayor que et g¡ado det denominador.
384
Yr7. Dada la lünción v = .
-.
.. Dlde:{x+rra) E.tud¡ar ra2oñadañente 3u conltñr¡id.d.
b) EdrJdiar r¿zonadam.ñle sus a¡inrota3.
l ¡ñ (3x+5)=2 11ñ 2=2
Lá tunción 63 conlinua 6n x = -1.
Domnio de la lunción: F { 1} .Enelpuntox= 1 ta función no eslá del in ida.
Conl¡nlidad La función es continua en todo et dom¡nio por ser cociente de tunciones conlinus.
x = 1 ya que se anula e¡ denoñinador para ese valor
Haciendo la drvisión enlera, s€ liene:
' , -2, | ¡ ,2r | 1
y = x 2 6la aslnrota oblicua.
E.ludlár l. contlnulda.l y d.rlv.b¡t¡dád d. t¡ iuñctón
f 3¡+5 . t ' - - i
( ¡ )=J 2 . t -1 r- 1lx ' -3¡+t . l x :1
Lá lunción €3 continua 6n lodos tos punio3 diailnto8 dá x = 1yr = J, por esiar dslinlda po¡ runconee
S€ irala ahora ds v€r qué suc€d€ 6n 6sios puntos. Para €tto varños a ver cuátes son sus tíñits lat€rat€s y sico¡ncid6¡ con €l vaior ds la luñción.
l iñ 2=2
f( 1) =2
f(1) = 2l im (x ' -3x+1)=-1
L¡ lunción no és connnua ón r = 1.
f 3 s i x: : lFunción deivada: l(x) = j 0 si -1 < x .: 1
L2x 3 s x>1
La función es d6rivable en todos los purnos disl¡nios d€ x = 1 y x = 1, po¡ sq punlos detuncionos deivabt6s.
Se t¡aia ahora de ve¡ qué suc6d€ eñ €étos puntos. Para €tto vamos a ver .uátss son sus derivad6 lai€ratos y
f(-1 )=3 r( r - ) =0
La tunción no es derivablo €n x = 1.
En r = 1 la tunción no es coniinuai por consiguiente, tampo.o es de¡ivabt€.
385
s. detln.la tunclón I del .¡gul.nt ñodo:
-- . I Inx-1 ! l x 1r lx ' =
2x'+u+b si ¡ 1
Encu.nrra b. voloro. d€ a y b para quc lá tunclón .ea contlñua v ¡u grálica pat' Por 'l
o'¡gén d' c@ra
nad$, E.tüdlo ¡u dorlvabll¡dád
Lá tunción es conlinua €n todos los punlos d¡siinios de x = 1, Por ssiar definida por tuncionG coñtiñÚe
Se irata ahora do ver qué suc€de 6n €sle puñ1o. Pata €llo vañc a ver cuál€s son sus limit6 lat€ralss y t
lambién la condición para que soan ¡gual6s
I
l
l im (2x"+at+b)=2+a+b
Por tanto, 1=2+a+b.
r im {Lx - 1) = -1
La grálica pa6a por €l orig€n d€ coord€nadas lusgo f(0) - b - 0
D6 €stas dos condicion$ 3s d€duc€ que a = 3, b - o
. . lL¡ 1 s¡ { 1tá tuncon daoa e3: t(rl =
iz; _ ¡, ot * .. I
t !Función d6 vada l'(x) = I x
[¡x-g s¡ x ' . : l
La lunció¡ é6 d€ivablo €n todo€ los puntos distinto3 d6 x = l por s€r Punl6 de luncionea dÓr¡vablss
56 llala ahora d€ v€r qué suc€d€ 6n €sl€ Punlo. Para 6110 vamos a v6l cuál€s €on su3 d€ivada3 lalEral€3 v s
l ( l )= 1, f (1 )=1 > latunción s3 d6Ñabl6 €n x = l
I r . ¡ x.1a. con¡id.ra r. ru¡dón e(¡) =
i , i ' | : i i = i " ". " icron.. r,(x) = I - r) s(x)vr"(x)=(t-1)¿ !(x) '
E.!ud¡. l. d.rlvabllltl6.l d. la. tunolon.¡ I' v l, .n x = 1.
La lunción t. s€ escr¡be asf:
. \ r { -1) sr ' 1 -
. . . . . - I " ^ " " t
' " ' l r ' ' , r r*-1) s, ) 1f r . - i
" r , - 1
Func,ón dér iváda: lG) -1 ' -" " i
, . i
Veamos cómo son sus dedvadas laterales €n x - 1:
i1(1 ) = 1, t i (1 ' ) =2 > por tañlo, la funcióñ l no6sdeEble6ñx= 1
- La tunción r, se 66ctibe 4í:
- | r* l f sr I r . , . iY _2! ^
s i ' lt r " ' -1r* r l t . l f s i , .1,L '" , - l '
' - { r ls i ¡ |
f3, 4x I s i . lTuncion denvada.1r:r -
l ¡ , _¿ , s¡ , I
V€amos cómo son sLis derivadas laierals en x - 1:
ú1 ) = o,l;(1) = o + por tanto, la runción ! ss derivable en x : 1
386
t1, c¡rcr¡¡á r¡m 11 - -Ll¡_rrmx x_f/
p/ca van¿s vftes ,a reE¿r de LHópitatpara etiminaf tas indebrminac¡ones que aparecen
tr (-a-it='-;ry=,-
De lá runc¡ón r(x) dér¡ni.,a.n f_3,31, .e coñoce so srár¡c6 <t.da por:
a) E¿ludia ta conrhu¡<lad d. ta,unctón.b) E üd¡á ta d.rtv¿b¡t¡.t.d d. ta fuñc¡ón,c) Orbui¡ ¡a2on.d¡m.ñr. ¡a srár¡ca d. f,(x).
"' "T',1:Xlo:
:"¡""''"'" "n rodos ros puntos d6 su dominio.
llr.¡. r(!) =, l,T, ,(x) = , r(j) _ 2
La tunc¡ón no €s cont¡nua €n ¡ = 1.
'' "?J:H'l
:"."í'J;?" "n rodos ros púnios de su doñ¡nio.
Eñ x = I no ós d€nvabte por no s6r cont¡núá.En x = 0 hay un punto anqutoso.t(0)=1 /{0.)=o
r¡' - l- ]- ri. -- -l_- l
' ;[il"Xil""1',:if:J$!"[1"""*. - cu€n,a ,os aparrados an,erioros, ,a ,unción d.nvada ,,(r) pu6de se¡
:::i:]: 1- 3. 0): f(!) = 1. qu6 es ra pendionr€ oe ,a récta aaIntetoab (0, 1) r,(x) loma varo@s q!6 van desdÉrn,erua,oo,z):¡r , ) romaua,o; ; ; ; ; f f i : ; : : : : , ' :116oe¡/-ohaÉiabpend¡en,6-¡en¡=,
,nr€toaio (2, 3): r(x) ,oma va,","" ;; ;;; ;; j::::11:"1' ' * " = , hasia ,a pénd,en,e o 6n ¡ = 2
La srá'¡ca de ra runc¡ón r'(x) "" ili^|#i" 1T,.".
o en ! - 2 hasta ia pendienre .¡ en t = 3
387
Con6iden la tunc¡ón r(x) = )C + p¡, .londe p e6 un c¡eno númcro r€ot. E.cribe (en runc¡ón do p) ta ecuaciod. la t ñgénte a la grállca ile t(x) .n .t punto.te ab.c¡.a x = i. oct rñtna deopués p, dc mañ€ra que hrang.n!3 antéf¡or pá* por or purto a(2, 0).
Función d6 vada: l'(x) = 3x'2 + p
Pendienro d€ la tangente: m-t(1)=3+p
Punlo de tangencia T(1, (10 = T(1, 1 + p)
Ecuación de la langenle:y 1-p=(3+p)(x 1)
Op€fando:y=(3+p)x-2
fa recta pasa por e punto a(2,0):0 = (3+ d.2 - 2
Ecuación de ¡a r6cta lang6nt€: y = I 2
slo I l. lunc¡ón dcflnlda por (x) = r, - 3x + a.a) H6lla la.cüaclón d. la r.st. i.ng.nt! á tá tunctóñ .n r¡n purto cultqut.ra r = 6.b) Háll..l válor o v.lor.¡ d. a p.rc qu. dlchá r.cra p... por .t punro (.r.tor a t¡ curya) p(0, o).
a) Función de¡vada: f'(x) = 2x - 3P6ndiente ds rá lán96nrer m = t (a) = 2a - 3Punto de lanqencia: T(a, t(a)) = T(a, a: 3á + 4)
Ecuación dá ¡a lang€niery - a l +3a-4=(2a-3){x-a)
Op€rando: y - (2a - 3)x - a. + 4
b) Lá r6cla pasa pof €l punto P(0,0): 0= a:+4
Op€rando á'= 4
Rálc6E cuadfadasr a = 2, a = -2Pafa a = 2, la scuación d6 la r6cta Gngente €s; y = xPara a = 2, lá 6cuación d€ lá reta tang€nl€ e3: y = 7r
Eñunc¡a .l l.ordr. d. Foll.. ¿Pod.mo. apt¡clr ..!. t.or!ñá a h runc¡óñ l(4 = ..n r .¡ .¡ ¡nt.rvato
2 21
El léorema de Bolle dice:
Si una lunc¡ón l(x) es continua en et int€ruato c€rado [a, b], deivabt€ en 6t iñt6ruato abisno (a, b) y toma vatores¡guar€s 6n ¡os en€mos, l(a) = (b), entoncos 6xist6 un número r@r . d€ (a, b) tat que f,{c) - 0.Vdos a vq si la lunción dada cumpte 6st6 tr6s condicioñss.La gráfca de la luñcióñ vaio¡ absoluto de seno de x es:
En al punlo x = O la lunción t¡ene un punto añgutoso, ta tuñción no es dsrivabte en 6te punio. En elsto,r ' (0)= cos0 = 1 l (0 ' )=ms0-=l
388
se co¡s¡dera ra rünción f(x) = {,c + * "i
* - -za) D.rrm¡namyn p*aq,. ; ; ; , " i j ; .
*
b, Há'¡a,o. pun,os de, in,._"; ;il;""ilili:::::ilTj;:. ** "n e, intena,o r_a, 2r
' i;:flf""?"it1:,r#*;iiii?tii,ní*,:,xnj,",:?ffrjrrri"t,15.Éj","?3i:J;"""J"rj 'm,, n. , ¿ 2n ñ- r"
" , . ,
Luego: a 2n= S+m f)La tuncion u*vaaa es: r.1x) =
fz* n
i:,i::flx"'::f i"":ilx:.,:[fl il", =t \ 2)= 4+n 2l=12Luegat 4+ñ=12 12)
t6 son tJs deildds rare.dr€s
' var c,
De ras ecuaciones (i) y (2) se dedlce qlo m _ zo, n - J6.Po¡ ranto ra tunción r(x) /x' + 16x si x .' ' I x. 20
", ,
- -l "u'0,"
,* "ono,ciones dei va¡o¡ ñed¡o.
l') Sise cump¡e €tt€orema det vator medio. eNislé
, ,,(c) g#=jsl'l '"'.,0rn,'""Como rtxr . i 2x + t6 s i x_ 2' ' I 3Í si x 2 se liene qu€:r(c) 2c + t6=6 d6dondoc= 5queno| (c, 3c 6 de dónde c = .
'' , ;;:;.J:"::: "r
inreryo'o Esre númeb no v€nlca €, teor6ha.roc€ at Interválo Estos núne¡os v6ritcán el teoremá
".-;iT* :,,i!!ü: ;i,i'l'TiH::Ín*:""::::: ::.::3 .a, y qü. .ü do,vaoa v.n,¡ca:.'jL.t"3r"':i:':.:",:#.iTffi;lii;Ti,"T,;#l;,il.j,{,üijll.Til."il.,Trí:lT;;::.:"# ::."lljT j:.::j:.:.lfl : ;,ji:iff .::,:;,rT:ff 1.,,:"j,Í¡,"-Íi/adtcrc,óD: s. pu.d. u.¡12", ., ,..r.""
".; ;,:; .".,..
ra runcióñ l(x) es d6ivabte sn toda ta recta reat. I
por lanio, 6x¡st6 un número c de dicho ¡ntetoato lat q!e:Ferac¡on dér varo, ñed,o. !l?l !r-rr = , ,^,
21 |operando.
\¿t)=1+2Alk
:oñorrc, , , . , ; , . ; ;
" ,ro¡ Énb (2r l 6rLaJuDcion f(x) es continua y derjvabto en d intorva|o lo, 4olpo. rañb, exisié un número c de dicho Intetuaio ¡a¡ qu€:Bé¡acbn de¡ va,or medio. r(4o) rl1)
= r,^,40 1
t(40)=1+ssf(c)
f (40): '1+09.3=11g
389
18. a)
b)
¿Pu.d. .üc.d.r qu. .rra .r Im r(x) y q!. tá tuñc|Ó¡ ro ..a contñüa .r r = .? B!.oDa ¡a ¿{ps..r..Ctllct¡lá .t tfmtb t|'n (.¡ _ r),i
f"Ti:ñr.r,ji,::,iT jiTnrinuidádos €v¡rabr63 roa fmir€s rárs€r€s €n x _ a son isüaró€ p6ro no cohcrde
En la ruñc¡ón d€Íñrda por l(d - Ix !r { - 1l¿ 3¡ x=1
511¡:;t *
-" o"
'",6cra y - x asujársada €n x - 1. Esra tuñcióh s€ pu€d6 hac€r c$nrinua román-
Supoñgamo3 qu€ A = l¡m (e, - 1),1
Tomando togárilmo¿ nop€r¡anos €n tos dos miombros, !s r¡en6:
LA' Lltr¡ (e, - t) i , l im r"(a _ x)l = m !.9: l _Por tarlo, d€ L A = O s€ sigu€ que A = i, ru€go t¡m (€, - 1)i _ i.
19. Or l. tuñclón t: F + F d.ñntd. por (4 = .),¡ +unpunroorrnrrorónrn1q;;;: jt i ;;:f-. '+d¡'¡ 'D'qu'ü'n',"m¿idmor'htrvo.n¡'r,
C.lcuta !, b, c y d.
Funclón y d€fiv€dá!: (x) - €x' + bx" + o( + d
t ' (x)-3od+2bx+crk)=6€¡+2b
Lá¡ condicion€! d6¡ €nun ¡ado dot probteña 6€ tradqcú €n ¡a! sbu¡€nts! €cuaclonsr:Pa!á por el punro (0, O)l f (0) -0 + d=oMáx|rho f€taüvo €n x = i : t , ( t )_O > 3a+zo+c=OPunto d€ ¡¡flexló¡ en x = o: r{O) = o + 2b = oD€ aqulsed€ducequ€r d = o, b = o, 3á + c = (,La tunción dada €n€ ta oxprgstónr f(, = ax3 + .x
Sustitüy€ndo o¡ vator d6 €€la tunc¡on o f r,,, ., s
con 6sra clndición y ra aniiorio|, * o*. " ",".,., {"; i ," : !
Lasoruc¡ón€sr a = _1, c _ 3.ta lunc¡ón p€d¡da 63 (x) = -r3 + 3x.
l ' t '
I r ¡ )ü - I rat '_e)dr= lar . Tl _e- 9=9t4 2lo 4 2 4
390
20. sea(x)=ar3+b)C+cx+düñPol inoñ¡oquecuñpler(1)=0,f(o)=2,vr¡enedoBeltremo're|ár¡vo3
a) Dererminar a, b, c Y d.
b) ¿son m¡tiños o ñinim@ lo5 erlr6m@ relativor?
Función y d€r ivadas f(x) =a¡3+bx' :+cx+d > f ' (x) = 3a' '2 + 2bx + c ) f (x)=6ax+2b
L6 condicion€ del enunciado del probl€ma se raducen én las siguienles ecuacionesl
21.
Pasa por € punlo (1. 0): r (1) =0 j a+b+c+d=o
La de.¡vada pasa por (0, 2), l la) - 2 ) c = 2
Exlremo relalrvo on x - 1: f ' (1) = 0 i 3a+2b+c=0
Exlremo r€lár ivo en x = 2: r (4=0 J 12á+4b+c=0
135De aqLl cp deoule que d 1. b ' - . c 2. d
ó
t ' ,o. 5u tuncon d¿d¿ tene a erpresión lr.' .
I ,
2 6
Derivada sesuñda r(x) :á 3
Parax-1. f (1) = -1. O, luego la lunción es cóncava en s€ punlo y. por tanto se l ra la de !n maÍmo
Pa-ax = 2,fl2l - 1 . O, lu€go la Junción es convexa en se punlo y por lanlo, se lrala do un min¡mo.
Dada la lunclón l: 11 , 6l + R .lel¡nlda por (, = : + L x (dondc ! r .s 'l
losá'ltmo ncPsrlano dc x). d'térñ¡ñ5
cuál d. la. r.cras ldng.ñi.. a la gtálica d. l{r) l¡.n. l€ máx¡ñá P.ñdl.nl.
Las pendienlG de la r€ct6 langeñ16 vi€non dadd por los valo¡6s de funcrón derivaaa 11,¡ = L ]
Los valoros de x que hacon má¡¡ma la lunción d€¡¡vada i'(x) son los valores qué anúlan a la der¡vsdá s€gunda:
t(^t : - o-r 2
V6¿nos er é6 r&mo o nnrro t ¡d6tad¿délr¡ ,€st , ' ' =9
l l2r l . lu€ooen" = 2lalunoonl(^) 6s concava Por lanlo. €n x = 2la lunoón f(x) a lcanza un máxrmo
Ecuación de la recla tañgonte
Punto,P12.¡+L2l - P(2i 12)
Pondiente f ' (2) =; . Ecuáción d€ la lansenle:y 1.2=t(x 2) t ¡ 4y + 2,8=0
Deñu*lra que l¡ lunc¡óñ l(x) = x' + t' + x + 1 ti.ñ€ uñ ún¡co Punlo de Inll'x¡óñ P'
Halla lá écuac¡ón dé la recls langcnté a la cutua quc rcpre¡6fria .sla lunc¡ón é¡ €l punlo dé inllexión P-
Denvadas de i (x) r ' (x) = 5x1 +3Í+1 > r1t)-20x3+6x ) r"(x)=60x'+6
Posibles punlos do inllexión f(x) = 0, llego 20x3 + 6.t = 0 > 2x(10x'+ 3) - 0
solución realúnica x = o. Puslo que f (o) = 6, en x = 0 exsté !n ponlo de inll€ión
b) Tangente en x = o
Punto: P(0, 1) Pendiente: m=l(O) =l Ecuación de la recta tangent€ en x = 0: v - 1 = x luegov=xI1
391
L¡cutuay=x"+d'+br+ccortáatejeOXenx=l,y l ieneuñpuntode¡ñf lex¡ónenp(3,2)_Cotc! :qpuntos do la cutuá qué lengan rectá tangente parale¡a al e¡e OX.
Hallar lo3 iniervalos de cr.ciñ¡éñto de ta función tttt =
Función y der ivadas: y:xr+d: Ibx+c ) y -3f +2ar+b;y =6x+2a
Las condic óñes de enuncrado:
(3):2 f (3) =0
se lraducen en el siguenle sisl€ma de eclac¡ones:
l+ al b+c=027r9a+3b+c 2l8+2a
Soluciones de sislema a - 9. b = 24.c - ..16. La cutua ped¡da s y - xr 9x? + 24x 16
Si la ¡ect¡ t¡ngente es pa¡alela á eje OX, su pendienle 6s decn, la derivada prmera es nuta
La der¡vada prmera es y - 3x_ 1ax I 24
y'-0 + 3!_ r8xr 24=0
SolLció. x = 2. x 4 Puntos P(2 4). O(4 0)
Oclórmrn¡r lo. Intcrvalos d6 crecimrenro d. ta lunc¡on Ítx, - ' -.
La tuncon es continLa en toda la rsla reál
Pará 6l éstudio de la monolonia y de tos ortlemos se ultti2a tá d€rivad¿ primera y s€gunda
Dervada p'rmer¿. f (,) =
-Como 6l dgnominador és si€mpre pos¡l¡vo para cuatqui€f vator d6 ! 6¡s¡gno d6 ta d6riváda d€p6nd€.je numerádo,
t¡ d6rivada se anula en x 1, x - 1
Se tfala de ver el sgno de la dervada en tos nleryaos
( ' - . r). ( r, r), (r ' +-)Parax rseverfcaque1 x! . 0 luego ta de¡ ivada t ( r ) es negat iva en et ¡n letoato ( . - . t ) por lantolá tlncor es d6cf6cEnte en este hleryalo.
Para 1. x l se venlica qle l x: 0, tuego ta derivada l (x) es positiva en etinleryao ( 1 1). portañloa lunc¡ón es cre.ienlé €ñ esle nletualo.
Para i 1 se verúrca qLe 1 x: O uego la derivada I (x) é.s ñegat¡va en et inlevato (r, r.,) Por ¡an¡o, ¿lunción es decrec€nte eñ ese lnt6tuato
Segun esló, €n x .- 1 ex¡sle un miniño y en x 1 un mitimo.
25.
Dénvada o'rmera: i r¡r( t +2 +2) '
Se trala de ver el sgno de la derivada en tos inteNatG:
( i 2), ( 2, 0), (0, +")
El signo de la der¡vada depende de 2x(x: + 2), ya qu6 tos otros lérm¡nos son siempre posit vos para lodo x.Pa¡a r ': 2, se veiiica que l (x) : O. La iun.ión es decrecienle en este inreruato.
Para x del ntetoalo ( 2 0), se verilica que f'(x) : 0. Lá tun.ión es d6crec¡ente en esle interyáto.
Para x :- 0, se ver¡iica que l'(x) r O La tunción es décreciente e¡ esle mteruato.
392
La asínlola oblicua es y - x
Dervada p meE:f ' (x)
Delérminar las asinlotas d6l(¡l = - v osludiar 6l creciñl€ñlo de la tuncion.
Asinlolas verlica es: x : 2. x: 2
As ñtola oblicua: Ex¡sle, pueslo que e g.ado de nume@dor es una unrdad superior ál grádo dé núm€rador Paralas lunciones raciona¡es un ñétodo rápdo pala hallar la 6iñlola s hacer la dv¡s¡ón entera.
r ' R(^)
x lx+ !12)(x \ ' ,12)
Se lrala d6 ver el signo dé a derivada en os intetoa¡ós:
( - \,IA ( r,7, r,ra, 6,7. +,1El sgno de la derivada depende de x' 12. ya que los ol¡os lém¡nos son siempre positivos para todo
Para x . \'l2-. se verfca que l (x) . O. La lunc¡ón es decreciente en esle i¡t6walo.
Para x del lñleruaro ( t,?. t/i¿). se ue'¡trca que r'(x) . o La lunción es derec¡ente en esre intorvaro.
Pah x : \,12. se ver¡fca qúe l lx) . o. La lunción es cr€c 6nt6 en €sle interualo
Dáda lá tun.ion l(¡) = ,¡ .¡,, dondé . y b .on .to6 núh.ros poritivos t¡jos, !c p¡dó d.r.rm¡nar los valorcstr _ o)'
d6 a y b para quc t l.ñga un .xlrcmo .n 10, -¡1, E¿ludlar rl .eo .xtroño é6 ñáxiñó o ñin¡mo.
como f ¡ene un oxtemo €n io. ll '. t,-'0. n" o" o"saf pof d cho punrol
(o) l> 'o- . or l l=*= i r"=? rr l
Ln dérivada d€ f €n el punlo d6 abscrsa x
r'(x) G bf 2(x a) (x b) (x
r1o1 =23.. b =?ua.o=o9 ru-o
oe [1] y I2l obtenemos los valores posibos de ay b: b - 0, a = 0
Sr!=0,b=0J()=-"=-ynolF¡esenldohabla.deunextremodelaiunciónenx=0,yaqleno
eslá delnida en dicho punlo
sia:r ,b:2+r(¡) :(x 2f
rt,) = t, :1"1
Pr,r l , 2) + 31 2( + 1)( . 2f ( , 2f
rrol = $
= 1 ' o I 16 t*' -
p*to 'r".. -
(0, JJ
I21
393
2|l. s. con.¡d.re ta tuncion t(x) = i 'r¿
+ ;
.) ¿E3 corrlnua .ñ.1 punlo x = 0?
b) ¿E3 d.lvabl..ñ.1 punlo,( = 0?
c) ¿Arcanzo algún .xtr.mo?
] I l. c-r.u" .-*a"m.nr. a ra. !¡su¡.nt.! prcsunias:
a) Límile3 lalerales: lim (e ' 1) : 0 rim (x' + x) = 0
Los limit€s lal6ral6 coinc¡den, luogo la lunción €s conlinua €n x - 0.
I . " , , -^Función dorivada: f (^r = I - ' -: _:
L2r+r s Y o
l(0 ) = lil (0 ) = 1. Las d6 vads lar6ral6 Bon distinras,luógo lá función no 6s dsrivabl€ €n x = 0
f (x) = 6 ' .. 0, lu€o i(x) 6s d€crei6¡l€ paE x .: 0
r'{x) = 2x + 1 r: 0, lu€go l(x) 6s.rscionle para x > 0
Por tanlo, €n x = 0 6xÉte un mfnimo, aunqu€ la lunción no €s d6nvabl6 6n €E6 punlo.
a.á b tuñclón l(r) = j +,C-.
a) O.l.mlna lo. oorl.. con lo. .¡...
b) C!l.ul. lo. domlnlo. d. monolon¡a,
o) Añ¡llzr lo. mádrño. y m¡nlmol
d) c.lcola llm. f(x) y llm, t(x).
.) E.bozr la gÉfloa d. la tunclón.
Dominio de la lunc¡ónr B. La lunclón 6s continuá y d6rivabl6 6n EU domlnlo.
á) Cod6 con 6l €j€ OX: No l¡€ñ6, vá qu6 - - 0 Por lanto, la g.álca áEtá en €l pnrñ6r y a€glndo cuád.ánt$.
cod6 @n 61 6j€ OY: x = 0 I (0 1)
b) Deirvada p ñ€rá: l (¡) =
-* S" mtu O" u",
"' sgno de ta d€nvada en ros ¡nieruaros ( ,, o), (o, +€).
(r + 11'
El signo ds la de vada d€pende d€ x, ya qu6 (1 + x¡)¡ > 0 paÉ todo x.
Para x < 0, so vsritcá qué f'(x) :' 0. La tunción 6 c¡6ciénte en 6t6 inisruaro.
Para x > 0, s€ verilicá que f(x) .. 0. la lunción es decrcciente en esle ¡nleNálo
c) D6 aqli se d€due que x - 0 6 un mAimo. Es el ¡¡nico €ftomo
d) asfnroias v€rücal€€ v 0, va que l|m - - 0
La cutua €stá por encima d€ la asíntota.
Dénvad¿ ssunda: rrrr = "_ _- o +x')
Pm'cde nfdó*(-f ) , (+ :)
La gÉlica de la tunc¡ón e3:
394
Dada la runción l{x) = +, 3. pide:Vx'+r
a) Dom¡nlo, a.inlotas y Po¡¡clón de la curua r*pécto de ettal.
b) Inr.MlG de crec¡ml.nro y d.croc¡m¡ento, E tremo. r.l.llrc.,
c) [email protected] y convoidad.
d) Dlbu¡ar la grli€ a p.rtlr do lo¡ r..ultado. art€riore..
Oominio F, ya que el denominador siemP.6 es mayor que 0. La lunción es coniinua en lodo su dominio.
¡€fniotas v€rti€l6s: No existen, yá qu€ ol dominio es todo R,
Asinrors ho.izontales
hm + 1 La asinloh hon¿ontal es y - 1
tim -=--:
- | L-a cutoa €srá por €ñcrma de la asiniola
Para el sstudio d6 la monolonla y de los €xtróños 36 utilia lá derÑada primen y 3€gunda.
Osrivada pnm€€: l'(¡) = _-v (x' + r)'
Punto dond€ 3€ anL¡la la d6rivadá: 1 - x = 0. SoluciÓn: x = 1
lil6rvalo dé crccimi€nlo: ( ,, 1), ya qus r{x) > 0
Intsrvalo d€ decreoimis o: (1¡ +o), ya qu€ rilx) < 0
Punlo€ po8iblas de márimo o ñln¡mo: I - 1
Comoporlaizqui6rdadox=1latunción€¿cráciént€ypor ladorc.nad€c€cierf€,x=1€3uñmá¡¡mo
Punto máximo (1, \,4).
. . . . ¿C-3(-1uenvaoa 3€gunoa: r tx) -
----v ( t ' + r)_
Punto doñdo 6é anula la de váda: 2x' - 3x - 1 - 0
1- \ /1 'sotucrón I = :________:___ r _03 3 + \,4?
"=------ t , "
Para €srud¡ar la ourvatura basia hallaf 106 inlorvalo8 dond6 la dgivada 3€gunda €3 Po3¡tiva, inlorvalog d6 con_v€xidad y ñ€gátlva, intsrvalos d6 €oncávidad.
Intervá¡o d6 convoxidad: (-ó, ¡), yd qu6 t'(x) > 0
Inloryalo d6 concavldad: (r, 3), ya qu€ f(x) < o
Inr6Nalo d6 coñv€¡idad: (s, +6), ya qu6 r'(x) > 0
Punt@ d6 inll6xión r - f,x = s
d) GÉfrca d€ la lunción.
Con€ con lo€ €i6s: ( 1,0),(0, 1)
395
F.p¡. . .nragrál lc¿m.nr. l€runc¡ónp(x)- l .+;x"+2x'-2. l tudiandol@m¡íü¡mosyminimo..
¿Cuónt¿6 rai..6 Ml4 l¡ené el pol¡noñ¡o?
El dominio de la tunción 6 F.
La lunción 6 continua y derivable eñ su dominio.
Función v d€r ivadas p(r) - /+-x!+ 2x¡- 2
p'(x) - 4x3 + 4x¡ + 4x - 4x(* + x + 1)
P"(x) = 12x'2 + 8x + 4 = 4(3x' + 2x + 1)
l4áximo y mlniños:
p ' (0)=0 ) x=0
p"(0) = 4 :L o, lL¡€go la llnoión €3 oonvda en €€t€ punlo y 3€ lratá d€ un mínimo
Punro minlmo: (0, -2)
S€ lruls d€ vsl €l signo ds la dglvada sn lo! int€rvaloa (-", 0) (0, +").
El 3i9no ds la derivada d€p€nde d€ x, ya qu€ x' + x + 1 ), 0 para lodo x.
PaÉ x {: 0, s6 v6ilica qus J (x) .r 0. La tunción 63 d€c€ci6nt6 €n €ale Intorvalo.
Para x > 0, se verilica que l(x) > 0. La runción €3 crcci€nl€ €n asl€ ¡nr€dalo
- PuntG dé inl€xiónl
p'(x) - o ¡o ii€n€ solución, ya qu€ 3x? + t + 1 : 0 pda todo x.
Oos ounlos d€ la oráfica son: | 1. L l1. -\313/
La glalica corta al €j€ OX 6n dos punios.
El polinoñio solo tiéno dos raícss r6al€s.
396
se con3idera |a cqtua y = (x - 3){x - s)
a) se p¡<le:
r) Do,nin¡o dé defin¡c¡ón y cort$ con ¡o. 6'es,2) Feg¡o¡es de ex¡sreñc¡a, asintotae y corres co¡ rd3 as¡ntotds.3) Una répr*ernác¡ón aprox¡ma.ta <te ¡a cu
b) Dererminar cuáñia5 so,r",.""" ,a* " "*".,u",u6ando
¡o3 apartado. anreriorés.
: :ueq: l l=16_{4
-v'r, ,ro .é p¡den cu.té3 6on tas sotuc¡oñés. 6ino cüantas son.
a) r) Dominio de la tunc¡ón: R t2,2lcone con e¡€je ox: y _ o g (3.0).(s,u)
co¡r€ con ereje oy:! = . + lo Tj2) Asiñtotas venicates: x 2x=2 posición
rh (x) = +. ¡im r¡) ., a de lá curya óon reracrón a estas as¡ñrolsl
Asintolas hüEonlales: y - 1 pos¡cióñ de la curya.
l. rt"l - ,. 1,. lr,r ,
- joñ ¡ebción a ra ashroh
conoc'endo,Las¡stnrotas J/ ra posioón de ra c!ryá isspedo de e,¡as se pu6de con*ln ia gdíca de u|a
3) R6gionss de érsténc¡a
htotuató ( ,,. 2) posrtiva
hreruab ( 2, 2). negal¡va
Inretualo (2 3): positrva
Inretua¡ó (3 s): n€galrva
¡ntetoa/o 15, +z): posilva
La asínrora horizonra¡ y - r _n" "
r" *". * "r
p_t ff, r lBasla reso¡ver ia ecuación f(r) j
En la Ígura se r€preseñtan ta fu¡ción ,(x) y ra parábora y =
La pa¡áboia es cóncava
coñes cón ereje oX: ( s o) (s ol
ru{
Po¡ tanto, la paráboia y ,a curya lienen clat¡o punlos de corleEn dos puntos ta abscisa es positiva y eñ oi¡os negarva.
397
33.::fl'il:fii'J;llil"1;$;,:j."Lijl""::,T1",':."fl:*".j. ó,!¿ ror.,,sua, ! 54¡n¿. Ebr.nnh.r.,..rb
- Función qu€ s€ ha ds máximizÁr.
Aqur áparec.n doÉ vatiabres h, alura, v r, radro 06 ," ba.€, ,"rácioradas por sr áréá der ci¡indro,2rr" + 2'rrh
- 54 m:. por ianlo ,6 _ 27 - n,
LÁ tu'dón qu€ s6 h6 d€ ma¡imtra/ e3r v,(l) - fl¿h = tr'¡ !_J! =
"r, _ ,c
- Ooriváda ptrn€ra V,(¡) _ 27 _ 9rr:Sl e¡sia un máxlmo o mfnho, ta doivada p¡imola !e anura €n €€€ punlo.
v'(4=o > ¿z - g"r - o. po¡ rarL, , _ _a
\/C- Dorivada s€gundaj V,(r) -
_6rr
v(fi) . o, ,,"eo r" r.,n"ión 6ó cónc€va €n €r€ punro y r/6ns un máximo en ér.
- LAl drmen.roná. der ci[ñd. "o", ,
= ¡frn v r, _
fitn
;lf#,r.#,ih;*:ü#l1i:li{:#i?_:1:rrn j,is¿?H:r;ri,.Hx1i:ff :r.'jir.,il- Fuñctón quo.€ ha d€ max;irar.
Lft longitud€! d6 €!t!! l¡gura! !on: Oa y 2rr, por tado , gá + 2ir - 2¡," ¿on¿6, 6 -
3:-33. ¡¡ á,ea dot t¡iánguto equitár€ro 6!: {14
La tuncióñ quo so ha ds m¡ñimiza, €sj s(¡) = (3:!1ll + . ",
D€rvada pdm€ral s.(¡) = , e 1r"r +
F? + 2,, = zn _.(2__1si Exirrá un málmo o m¡ñimo, ra de¡ivada p¡im6. €s anru _ .u" o_""t's1D=o 9 ,= \ , '5 =s+rV3
flililada "€s'nda' 3d-}/t + 2r. como s'(4 > o, ra tunciij" en s!6 punro as clnvára, ru€so s€ trara d€ un
ir4.
398
- L¡s dim€nsioñec dsr rado " v a"r , ro¡o ,
"on , =
-- \6 __,-oV5 - z, \3 18
e+'Vs ,¿-27 "-- i -2r-
^ 10000
Con un hilo de 6¡t cm tom6 un r.ctánsllo qu€, ál sirár alr€d.dor do uno d. 5u! lado!, .ng.ñdru un clllñdrod. ár.. rotal mál|m..
pquf aparcc€n dos vanablG 9, dtuE' y r, radio de lss ba8€s, relacionadas por la longitud d€l Péímáro.
2r + 29 = 60. Po. tánlo, g = 30 - r . L€ luncióo que se ha de máx¡mizar e€r S(r) :2r f+2r(30-r)-60rr
S'(d : 60r. Si sn3t€ un máxiño o níñimo, la d€rivada ptimeE se anula en €s€ Punto.
v'(4 = 0 ) 60r = o, lo cual€€ lmpo3ibl6.
Si s6 ob€€rva, la tunción S(r) = 60d €3 una tunción lin€al d€linida .n €l inl€rvalo (0, 30).
Po.l6nto, ño ti€n6 máximo. No gxisls €l oilindro dó á.€á lolal máxlma qu€ cumpla las condlcion$ dadas.
D. todo. to. r.ctlntulo¡ d. á..á 1lo, h.ll.r la. dlm.n.lon.. d.l qu. t ñga lr dl.gon.l nilnlnr..
Aqul apü€€€n do8 variabls b, la bá6e, y a, b anura, Elacionadas por 6l á.6a d6l r€clángulo: ab = 100.
, / " _ 10 000)
L! tunción qu€ .€ ha d€ marlmlzaf 6l: D(a) - + o'(4
sl exl.r6 un máxlmo o mlnimo, la d€Ívada pfháfa a6 anu¡a en .!€ Punto.
D(á) = 0 > 2á - : - 0,usgoa' = 10000.dódond€a- 10
f--;;;Lá dlasona, pafa a = 10 mld€: D(a) =
\a - l!!!9 -
"6- )0.'4.- flta
Lá flguÉ obionlda para €d€ valor €6 un cuádrado,
SÉ puodo domo.lff con la dsriv¿da €€günda que 3e trala ds un mlnlmo, P€ro !€ pusd€ hac€r mဠtácilmenl6vlendo qu€ pala oiru lado8 la diagonal o¿ mayor,
Sl la base mide 50 y lá altura 2, €a ovlósnb qu€ la dlagoñal mid€ rñ& d€ 50. Por lanlo, el cuadrado ll€ne dlagonal
O. todo. lo¡ nctángulo. d. dl.gon.llgual . I, h¡ll. 1.. dlm.ñ.lon.. d.l qu.l.ng.á|ta m.Ilmr,
Aqufaparec.n do€ variabl..: b, la bar6, y a, la altura, El.oionada! por €l ál€a d€l rcclángulo: a¡ + t': = 1
La lunción qus s6 ha dÉ max'ñizar 6€: S{4 - a b - a \ 1 - s' = \ á' _ d-
51"¡ - -314. st ."ta6 un má'imo o mln'mo, la d€nvada ph.ra !. snura sn €!€ punlo.
D'(a)-0 + 2a-¡ ta¡=24(1 - 241 -0\/á
La! soluoion63 8on: á = 0, a = ;,
Pará á = o, el ár6a d6l r€cúnouro eo oe,o. ea'a a = f,
d á€a d6l rccránsulo €. :.
cooméljoün€nt€ s6 ve qu€ cuando los lqlol€3 d€ a €3 ap.oxlrñán a 6ero €l ár€a ü€ndo tamblón a c€rc, lu€go PaE
a = +- €r a@ 6 rnülma, ya qu€ mfnima ó3 para a = 0. Para el oko lado d6l rcctángulo .€ ü€i€:
b = V1 - a'= \1 t
-;. Lá lisu'E obl.nida par6 6€r€ valof €a un cuádrado
" 10000
399
99.
Un ?unto B.téná¡ r.cor. t¡ párábo¡a y = x, - 7. D.duc¡r razonádomente ta po.ic¡ón, o po.tcione, en qera d¡at¿ñc¡a d.t punro at or¡g.ñ (0, o) o. mínha.
La gÉlica ds ta tunc¡ón es una parábora convexa.
Ej€ de simelria: x = o
Puntos simé|licos: A(2, -3), A'(-2, -s)B(3, 2), B (_3, 2)
Punto genórico de ta parábota: p(r, x, 4Función qu6 s€ ha d6 muimi,aÍ d(r) = V¡ + GL ry = \4--"r + 4,
Dorivada p m6E: d'lx) = _$Vx'-13x?+49
si la lunciÓn árca¡za m máxrfño sn árgún punro, ra dénvada primera s6 anura 6¡ la abecisá c[fr€spondrént€ a e.epunlo, 63 d€cn, d (r) =0
Por ianto, 2x3 - l3x = O
Fesolvi€ndo, x - o,x - \,6.5, x = -V.,6¡PaÉ x - \,G5, x = -\6¡ b distanciá 6s
- 26
Pará x = 0, lá distancia e! 7
Por tanlo, para x = o se iría d€ un márlmo rctalvo.v para r = /d5, "
= -1/6s- se rrara oe mrnimo".Pu€d€ comprcba|ls tambián coñ ta d€¡ivada s€gunda p6rc es d€mariado largo.
X.llá r. long¡tud d. to. tado! d. uñ rrtánguto t.ó¡..t.. d. ár.a ñártma cuyo p.tñ.!ro ..á OO m.
LEñamoE y a lo3 tados iguat63 d€t iriáñguto isóEc€tes y 2x at tado d€3¡guát.Roláción €nfl€ tas variabt€s: 2\ + 2y = @
Pofiantoy-30-x
La altura d€t ir¡ánglto, h, mide: h = lvGt: {r. f - V/góo _ 6oxLa runción qu6 se ha d6 ña¡m¡zar 66 ta tunción á16á détin¡da por:
srY) _xh ¡v900 60¡ v900{ 60)r
La de¡ivada p m€ra es: s,(x) - -l!L199{2 V900tr _ 60x3
Si la iunción atcanza m máximo 6n algúñ pu¡ro, ta dérivada prim€ra * anutá en ta ab&isa corespond¡eni€ a 6epunro, 6 d€c¡r, s'(x) = 0.
Por ranb, 1 SOor 180x1 = O
Factorizddo, loox(1o - x) = O
Resolv iendo, x-O,x=10
Para x - 0, se tlata do un mín¡mo po¡ ser et área o.Para x = 10, se irata de un mlíximo, ya que et á€a m¡nima e3 para x = O.D¡mensjones d€l t¡i¿ingLrto: 20 m, 20 m y 20 m,
Se trata de un riánguto squitátero.
400
El barco,a aban.rda un pucrto a ras o hora6 y ñsvega drecrañenrá h¿cia et norte a 16 veroc¡d.d coñ6ranréde 6 nudo.. El bárco B 6e encuentra a tas 0 hold¡cho puerto a ra veroc¡da., consr'nie de s nudost :-:.40
ñilla3 al *le de¡ Puerto v navega dh'ctam.ñte auno at oiro?
, ¿uuándo .e ña 6rán €6to5 b.rms to ma3 proximo p@tbte
ñ-
i
PUERTO
En la ligura se ha dibutado ta posicó¡ del pueno y ras r¡ayec¡oras perpendicútares de tos barcosEl espacio que recoren es 6t y Bt. respect¡vamenle, sieñdo I et €mpo en ho.as.
Función que se ha de ña¡m¡zarlLa d¡slancia enre los barcos s6 cá¡cuta po¡ €t toorema de pitágoras.Ld ¡Lrcron 6 Dflr I .¡o-el. . iol, \ roor_ o&r r ooo
Dó.ivad¿ pnmera D (r 2ool 640 . -2 V100f &rot + 1 600Si óxiste un má¡mo o minino ta derivada priñ6ra se anura en ur punto.010 0 > 2ool 640 - O tuego I = 3,2 horas = 3 rr l2 ñin
Dor¡vada s€glnda O, (l)
o'(32) . 0, uégo 6n r
57 600(v 100t 640l r 1600f
Hacr.ndo .t cáñb¡o dc vártábt. | = ., catcu¡a i 6
, " -
* ¡" , . .¿ dt
s | - e¡ron(6s o, e d. . sBr i ruv€roo €n ,a ,nr6q¡ar daoa. s6 r ,6np i , . ,
j , . , " ,
Puesto que f + 3l + 2 = (r + 1)(t + 2), et intog,ando se pu6de descompoñer en lraccoñs simptesr = a
+ B a(r+2) + B(r+ 1)
( l+ l ) ( t+ 2) l+1 l+2 ¡+ t ;1r+z¡lg la lando 1=A(t+2) + B(r+ 1)Paral= 1 1=AParat= 2, 1= B de donde B= 1
r -¡ i . -d l l , , , , , j ldr- . r I I I 2
l - 3-* = r . "* ,
L d+2l l=L(€+1) Lie+2) -12+13
T
¡ r '+ lcatcuta. ta t.t€aht _ dx- lx ' -4¡+13
La lracción dada pu6d€ lraslomarse en una lÉcción m¡xta que coGta de una parle enle.a y otÉ lracciona a be-s:ha@r la divis¡ón enleh:
4r+12," 4r*13-1+x' 4x+19
La expr63rón fraccionana se puedo €xpresd como suma d€ una erpresión que va a ser una mlegral logarílmie ,de oira pane que será una ¡nlegral lipo a.e tangonre.
. I t t 4, t? _1-c 2, 6 - , - ,__3:_L-",2t 4, '3 \ ' 4r-13
' . 4y-13 ¡ 4^ 13 - i 4¡113
,^21 4- ' ' " - ¿^- 1J ' \ - r ) - ,
Hecho *le prcceso, cada una de las pari€s es una int€gral inm€drata. Por lanlo, la ¡nl6gral pedida es:
¡ ¡ r ll=--d¡-^,2LK 4^.13 I dcto - ,CIr_ 4/¡ t3 3 - 3
cálcula ráañ¡d¡m.nl. la .xpr..lón d. lá tunclóñ l{x) rál qu.: r'(¡) -
x. I y
P¡im¡iNá dé r ' (x) : (s=. i*¿d"-- l . l . . . . "" .o"- ,1" t r c
po,tanfo, r (o) =-;-"=! de dond€ c = 1 . La runción 6s: r r"r=-t . "+r
D.t.rñ¡n¡r la tunolón t(d .ábl.ñdo q!. r'(x) -
x L(x), r'(1) = o v l(o) = !.
Pala calculár la lunción f(x) hay qu6 intsgrar dos v€c€s ra tunción Í(x). Lás comiant€€ dé ¡nt6gÉc¡óñ pda d6t6rmiñara vienen dadas por los dos valorcs pad¡cular$ de l(x) y l (x).
Prim6ra int€gracióñl
fu, , .o.__; t l : * . f "0, .Valor d€ la constan€ fr l ) 0 J l t1, - 4
C=0, dé donde C-¿
PnmeE funcdi ml6Eal: f ( ' \ = i ¡ t ¡
S€gunda ¡nt€gÉción:
f l t ro {* l lo,- t) \ .2 4 4l
La int€grald€ la pnmeralunción se hace por ¡a regla de la ini€gral del producto, comúnmente llamada por partes.Las otras dos 6on ¡nñed¡alas.
l ,ú 1j- 1,¡r I , ¡L j I) 2 2: 2 3 :3 | 6 t8
por ranro. r rx)- ' 'Lr ¡
' ' , r -c ig 5J I c614 124 6 364
vator de ta @nstanta: t (6) ! : t ,er ' 3e e
c -e ¿" oon¿"' ' 4 - 6 36 4 -
i 'L¡ 5a 1 er
(o)=;
402
45. Encuentra tos vatore6 de la3 con3tanles a¡ b, c y dj ..b¡cndo que:
1"..J C"_l + 1)é,di = (af + b,? + ct + d)6,
Por er ier€ma tundamenrar der cárcuro sábemos que e ¡nregrando es ¡guar á ra derivada de ra tuncrón inr€grar.Por tañlo de F,(x) = (x) se sique:
13d, +2bx+ c)e, + (dr+bf +cx+ d)e,= (r3 x,1)e,Simptiticando y ¡educiendo téminos semetants se obti€ne:
d3 + (3ai b) f r (2b+c)x +c+d . xr x r 1ldentficando coetic¡entes:
a .1 3a+b=0 2b+c_ j c+d 1R*otviondor a=l ,b= 3,c=sd= 4
sea I una tunción conr¡nuo p@¡ vá tat que r -: i l{x) dxrodo x € p, 1l? ta
La ¡espuesra es no. Basla 6t6gtr u¡a lunción como en ra rcuraaqui se ha dibujado ra tunoón r(x) = 2x + o.s.La grál¡ca loña valores menores qu€ 1 su iñleg.ates.
L rE) dx =
] 12x + 0.5) dx = fxi + o.sxll = 1 r o 5 _ 1 ,5
. 2, ¿So puedé á3e9ur6r quo t(x) : 1 para
a, uarcur. ra Int.grat I cor r
d¡ r.a¡t:ándo ot cdmbto de var¡áb¡e r . co¡ x.
D' uarcura to Inr.grat I co. , x
dx rcá ando .t cañb¡o d. várr¡bta I - 19 x.
c) ¿S. obr¡.n. cl mt.mo ro.utrado.n ¡mbo. cá.oó? Ju.tíca tu r.!pu.!ra.
a) Si t . cos x, óntoncG dl = sen r dx
sustiruy6ndo én ta tnr€srat dada. $ lFre: I -'gif dx ..
b) S¡ I - tg x. entonces dt = secrx dx
suslitlyendo en ta inlegrat daoa se rere I
:!| ¿, =
c) La lunc¡ón inleg¡atd6 b plede transto,marse as,.ts.x =19[] i .os.x 1 1z pco¡. i= lcos- ,cos"-¡
Las r6sultados oblenidos en a y b s6 d¡fe¡enciañ eñ ona constañle, tu€go ambas son p,imilivas
Calcul6r, 6¡mpt¡t¡@ndo todo ¡o pos¡bté et rssutt.do, t. der¡vad¡ dc t.6 s¡gu¡onr* ,uñc¡oñ.s:
a) l(¡) = ¡og 1]]]:
(tog: togarilmo nep.f6no).
b) q{x)=le¡(1 + f )dr .
DL -- - D.t t . ) DLr l | - r , - l 2
t , ! ! t^
Dor el leor€ra lundame-bt de' L¿tcuto sp ¡ene:9 r.r e . ¡r .)
l l ' 2cós' t "
l ,a ' . ! ' rc.=9rrc
Y:2x + 0,5
403
á) obtcn.r una lunc¡óñ l(x) quc v.rflqlo:
¡) t'(x) = {x - l)c.
¡¡) t(x) l¡.n. un cnromo .n.l .,o Ox.
Oelerm¡ná. 3i .E .¡rr.mo * uñ ñáx¡ño o uñ m¡nlño,
l(x) es una pimitiva de r'(x).
I t tf (x) = l (x 1)e 'dx= xe¡dx- e¡dx-x€¡-€f -€ '+c=x€'-2€¡+c
Si la tunc¡ón llx) ti€ne un 6r.oñ0 6n x - 4 entonces la dsivada prim€ra s€ anula sn 93s punlo.
Encu.nt¡a.l ár.. dd.mlnada por la. corva¡ y = x' . y = x .
El |€cinlo limilado por 6ias do8 qrrvas ét¡t r€pr€$ntado 6ñ lá siguiÉr't6 f'guE
Lás curuar pasan por roa punioE (0, 0), (1, 1), (-1, 1).
El rcclnlo 63 8imético ré¿p€clo d6l ól€ OY
El áf6a vi€ns dadá por la rigui€nl6 ¡nl€g,al d€rinida:
aG, = 2] . {^ i idr=r l t ' á]o=
26 - i ur id6d6 cu6drád6
A(R) -2f s,+, -,")d" = l t ' . ' " , ] '=z]=t*."o*.*o.o*
6.¡ y = x" + a. q.bula .l valo¡ d. . para quc 1.. lang.rl.. a lá curva .n lo. púñto. rl. .b.cl.a .1. valor€b¡oluto uno, p6¡.n por .l origln d. coord.ñ¡d... Hallo .l ór.a .l.l r.chlo llm¡l..lo por la curva y la. dor
- P€ndi€nle €ñ x = 1: m=2
Tangenle én elpunlo (1 1+a):y 1-a-2(x-1)
Lá recla pasa por elo gen(0,0): -1 -a=-2, d€ donde a=1
- Pendi6nte en x = 1: m- 2
Tange¡re en el punro (-1, 1+a) y-1 a=-2(x+1)
La r€cla pasa por erorigen (0, 0): 1 a = 2, de donde a = 1
Ecuación d€ la parábola: y = f + 1
Ecuación de las ta¡genüee: y = *, y : 2x
El rsinlo fomado por la paÉbola y ld ldgenl€s es el r€cinio sombroado:
r ' (a) - (a-1)€'-0, de dondé a-1
El punlo dond€ €xi{e énrcmo $ A(1 , O) Conocido €sl6 punto pu6d€ d6teminaF6 la lunción qu€ paa por
l (1) -€ 2€+C=0, d€ dondé C=6
La tunción ss: l(x) - x 6' - 2d + €
b) Pá.a dot6rmiñá. Ei €l puñlo A(1 0) €3 ñáximo o mlnimo 3€ halla la derivada segundal
f(x) - x s'. t (1 ) " € :, 0, lu6go la lunción €3 oonv€xa €n €ste punto y, por ianto, se trata d€ un mlnimo. 53.
50.
4U
Cafculá e¡ áraa de la regióñ t¡mitada por tás grát¡c.5 dc t.6 func¡one. y = _x, + 4x _ 4 e y =Zx _ 7.
T
La ¡eprosentación de ta parábota y de la recta viene dada eñ ta
Vé¡t¡ce de la paÉbota: V(2, o)
Los punlos de code de parábota y recta se obt¡enen r6orv¡enoo er
lY= x"+ax aty=2x-7
r-a solucrón es: P(3, 1) O( 1, -9)
El ¡€cinlo sombreado 6s et determinado por ts dos gráficas. Á@a d6t recinto
o1^1 =i"q.*" , " ro, l , ( , , nd"=f i " .* . "*"r0,=l f -*rr l ,
o-f ' r . - -"r* { ' lz " .
32
53. á)
b)
Dfbuja¡ar€g¡óntrmladdportacurvad3.cuac¡óny=r(s_x)ytaúcr.d. .cuació¡y=2x_2.
Hal¡á .l ár.a d. ta rogión d..crña .n .t ápa.rado an¡lnoi
Lá lulcrón y sus denvadas son v - 43 - , - 3r 'Y =3 2t
La grálica ás una parábota cóncava.
Vér i ¡ce: y =3 2x=0, tu€go x=1.5y - 2,25
véri¡c€ vf ,5i 2.25)
Phlos s¡métricos A(1 2). A,(2, 2). B(0, o) B (3 o)
Lá bcla y = 21 2 cota a ta parábota én dos puntos dóreminados por 6t si6i€ma d6 €cuacion€s:
lu 3 ' 'lv=2x 2
So ución d€ls¡st6ma: P( 1, -4) , O(2,2)
Lá región l¡mitada po¡ t6 grát€s de la parábota y dé la r€ctá 6s ta sombroáda en tá siglieñte ligura:
92
t2^ 2td^ = - -! llL 2 3t ,
405
Comld.re la lunc¡ón l: B + R d.flñlda cn la loña l(x) = 1+x x,
a) Halla la de.¡vada de L
b) D.l.rm¡na lG ¡nr.ry¿¡o. d6 cr.clmbnro y d. dccr.clm¡.nto d¿ t(x).
c) Colculo la Inr.gr.l d.tlñlda d. 9(r) = rl{x) on €l ¡nt.rv.lo I-1, 21.
Lá tunc'on l(x) se pu6de esc¡¡bir de la si9ui6nl6loma:
- l1+^ sr ¡ -0r l r =11_"- s, { o
En x = 0, lá lunción loma el valor l(0) = 1.
Po. ranro, t(x) €s conrinua 6ñ F.
La do5 tuncion€B parcial$ qu6 d€linon r(x) son d6ivabl€€ 6n p.incipio €n B - {o}.
La tunción denladá 6
. . l2^s¡ x 0r (Yr =l- .2r $, o
Véárñor c!áñlo vál€n lae d€ivádas lat€El6s €n x = 0: l (0 ) = 0r (0)=0
Por tanio ia lunción d6 vada €6
r¡ , r - l 2r s¡ r '0' ' ' l -2¡ s i ) 0
Esta expr€€ió¡ s€ puéd€ s6cribú lambión así 1l\) = 2x = 2 ,
La lunoón l'{x) és pG¡liva s¡ x r 0 lu69o es crecienle en (0, +d)
La runción l'(x) 6s posilva si x .: 0, lu€go ss cre.iente en ( -,0).
En €l punlo x = 0 d€ s6paración d6 ámbás Émas, la lunció¡ es creciente por s6lo por la izquierda y por laderecha como consecuoncia, es cr€cionle al ser lc l¡mites lateEl6 igual6: f(x) = 1.
Por tanio, r(r) €€ cr€cienl€ 6n B.
c) La lunción x l(x) v¡ene dada por ra expresión: g(x) =
Lá inl€gral en ei inletualo [- 1 , 2] es:
l ' , 'ur*=J"o "r* . { o ' 'o*=l f f l ,
5d
* l r , { l ' : 1,1, , ,^=231241,24-4
406
Calculaélár.a. tetareg¡ónt¡miradaportacuNay=(¡_1),(r+1)ytas¡edásy=o¡x=-2jx=r.
La g¡áfca es Lna cúbi.a.
Basla conocer tas raies o cones con tos ejes para .eprcsenrarh aproimadamenle, que es to que se trara aqur.
Raices lx = 1, punlo dobte, ta cuwa 6s langonle en esle punro, punto minimo.
La curya 6s cóncava convera. Coñ estos datos, ta g¡álica es ta siguieñle:
Los recintos limtados por ia cutoa y tas reclas esláh somD.eaaos
Pa¡a inlegrar se expresa tá lunción en forha po¡inómica: y = x3 x¡ . x + 1
A(F,) = i f ' (" . x, x. 1)dxi = l l f f ; . ,1 ' .1 = l #l = #¡ r" . r=1,r , , x. x+,)dx: l i : : . " i . :#El área do todo 6t recinlo es
t2e un¡dades cuadEdas
cálculá.1ár.a d.t.rñtn¿da por tá cotuá d. ccu.c¡ón y =;=. et.jc Oxytas racra. r = 3 y x = 4_
t¡ gral¡ca d€ 6sta tuncrón sé d¡butá rápidañento ha ando ls asinlol6 y ta posrcion de ta cutua ¡€speclo de et6.Aslnrotas vélrcales \ 2,x 2 Asinrotas horizon¡arés: y _ 0
ss li6ne qu6 catcltar et á¡@ d6 ta ¡egion somb¡eadá.
su válo' es a(Fl = I 3 o^
PLeslo quo r: 2 = (x + 2)(x 2), et int€sando 3e puee o€scomponeren l¡acc¡onos smptos
B Al. +2) +B(\ 2)r '¿)¡ \ 2t \ 2 \ 2 t . 1t t<.21
guarando, x 1-A(x f 2)+B(x 2)
Pa'a. 2
-
1 ¡a oe doroe a I
-Pa¡ax- 2 J 3- -48, de aon¿e er-9
einr- f* , " !a,=f
(*-¿) d '=1"1"n,- ,
=1iosz + 9bso - :1o95- o,a1 unidades cuadradas
3r+ rog x+2 =
4Q7
Calcula €l áre¿ det rñ¡n.d. por ta3 curvá6 de ecuactóñ y = )l - 2x,
El árca que ss pide es el do la región smbreada.
Eslas dos tunc¡ons sn par€e, luego t6 grái¡cas son simárica€ respecro
Para halla/ el área solo s€ necesita conocer tos punlos d6 ¡nlerseción
y = x1 2x¡ = x¡ de donde x¡ 3f - x?(x. 3) = o
sotuciones: x = o,x = V5," = r,/.
Cood€nadas de stos punios: O(0, o), p(\,€, 3), p ( \6,3)
€ y = x'repr.lcnrad. en e¡ dibu,o
Por la srm€lría d6l recinto, s€ r¡6n€:
e6t=,1 t"' 1*' ,".¡0" = , j '-r.'. , rro" = , f", l:l] '=,rui =!#,nidad€scuadradd
oa.lá tá to.ctóñ tt¡l = r - 4 + _lLx+4
a) E.ludld .u contlnuldá.t.
b) E.ludla lo. lñt.N.to. d. cr.c¡mr.nro y dccr.ctmt.nto, y to. ñáxtmo. y m{ntmo! toc.l...
c) Calcül€ .1 ár.. llmltads por t. grátcá d. t¡ tunotón,.t.1. Ox y ta. r.cr!. v.r cat.. x -
o y I = 2.
a) El dominio d6 lá función €6 B {4).
La función 6s continua 6n todo su dominio.
b) Función d€¡ivada:r'(t) =
l (x)=0 + xL+8x=0
Soluclonsg x=0,x- -8
56 trara do v€r €l sqno de ta derivada €n tos ¡niervatos (--, -s), ( s a) l-a, o), (0. +¿)
El signo de la derivada dependé ds f + 8x, ya qu€ ot d6nominador €s positivo.
- Paa x < -8 se verifÉ qus f + 8x > O !á func¡ón 6s cr6ci6nte en 6si€ int€ryato.
Para I < x < -4, se veñica que f + Bx - O. Lá tunción s d€cre¡ente sn €sl€ intefralo.
- Para -4 < x i 0, se v€llica qle f + 8x < O. La tunción es dereci6nle en ste intetuao.
Para x :' 0, se verilica que x? + ax > O La tuncióñ 6 crecient€ €n €te intoryato
Según esto €n x = A oxisle uñ máiño y sn x: O un minimo,
c) Lá func¡ón 6s conrinua en el ¡ntewato [0, 2], po. ranro €s integrabte.
, 16 f rA(R) - l l , 4+r+4:Jd-=lZ-*.161 x+4i
"= 6+1616 16 L4 - 0,4s7 un¡dades cuad¡adas
404
59, sean las luñciones r(x) = x, y 9(x) = x3.
Determ¡ñar et área éncerhda por tas gráfica. de ambas ,u¡cione. y ta recta ¡ = 2.
t¡s lunciones vienen dadas en ta s¡guienle tgura:
El ároa de recinto s€ obtiene asil
a(Fr = 1 ¡ d¡ f ' , . * = l { l i l l =| 4 l 3
:
l"-;) (: i)=ii j=fi"".",""","",".""
Dlbul.ndo le grai¡c@ d6 l.! runcionG. íi¡) = e, 9(x) = €",, h(r) = e,, ca¡cuto et ároa dé¡ ..ctñto t¡m¡rádo por
Las tuncon63 t(x) y q(x) són runción6s dpononciarés
Eslas grár¡cas s€ dol6ninañ rápidamenl6 dando átgunos vator6s, ya que son ñ!y conocrdas
Lo rmpoña¡G 6s delormiña¡ ot r6cinlo
El área del rsinlo se obt¡ene sumando t6 int€g¡ales g(x) en €r ¡nretoato Io, 1 I y h(x) en et nleryato It , 2l y feslándotela inlegrall(x) en et Inletuato Io 2l
a,R, Ied. , , . "* i " . . / ; ] . r " . r , r . r" , , ; , *" " ,
,u , " _.1
¡(n) = ajl un,¿a¿es cua¡¡a¿c
409
61. Teoieodo €n cue¡{a que ls tunc¡ón (x) = 2t' - 3t' + a loña v6loÉ3 po.ll¡vo¡ y n.gsttuos, hall¿.1 Elor .¡r 6d€lom¡quselárcalrmnadaporel . loOx, lo l lc tex=-r ,bFc¡ar=2ylacuMy=l(x)=á3-3x'?+aqu.d. dlv¡d¡da po¡ cl .je OX .n do¿ p¿rlú 19u.1..,
La grálica de una lunción cúbica que loma valo€s posilivos y n€galivospuodo sd similar a la indicada en la siguienl€ liguh:
El d6a dél recinto limilado por la cuNa enke 1 y 2 queda dividdo endos parl€s isuales por el eie Ox. Esto indrca que la ¡ntegrai delinidá enel inletualo I-1, 2l €€ 0, es d€ct,
J'rr . - . " .*ul*=oO€sarollando, se tienel
i ' i,* - "o * n'= i: " -l ', - -"" 'F6solvi6ndo: a = 0,5
La cuNa p€dida €s y = 2x" 3x" + 0,5
S.! t (x)=r¡+ar 'z+bx+5.Hal laaybparaqo. lacurvay=l(x) ! .ñga.nx=runpunrod. ln l ¡ .x¡óncon láng.nL horlzontal,
Calcular. lár .a. l . l ! r .g lón.col€dad. lp lanopor l .ourvay=xr-3x¿+¡,(y lar .c iay=*
Función y d€. ivadas: y= x3+d:+ bx+sy'=3x'+2á¡+by =6t+2a
Las oondic ion$ del€nuñciado: l ' (1)-0, r (1) =0
tuta8 cond¡c¡on$ ss traduc6n 6n 6l s¡gui6ni6 Bisl€ma d6 6cua6¡onos: 3 + 2á + b = 06+2a=0
Solucioñss d€ls is lema a=-3, b=3
La cuNa pedida 4: y - x! - 3x; + 3x + 5
Repr66nlación d6l reinlo.
Func¡ón y denvadas: l(x) = x3 3x: + '\
* x(f 3x + 3)l ' (x) = 3x' 6x+3=3(x 1)" > f (x)=6x 6> r ' (x)=6
: , -o
a)62.
Cod€ con los ejes: (0, 0)
Punlos crjiicos:f'(x) = 0 de donde x=
Punto de inllexón: r(x) = O de donde
PuntG de co.te con lá recta y : x:
1. Como f(1) = O no exislen má¡im@ ni minimos.
x = 1. como f'(l) > 0 se rrata de un punto có
x3 3x: + 3x = x, dé donde x(x" 3x + 2) = 0
Solucionesr x = 0, x : 1, x = 2
Punro€ de code: o(0,0), A(1, 1), a(2, 2)
El r€ciñ1o F la región sombreada en la l¡gura.
Las dos reqiones s€paradas por el punto de inllexión son simétric6
r1n¡ = zf 1". - s". * s' -'r o' = z f r. - r,, * z"r * =, lÍ -. .,i" -, I = l
! . . .
i : ;
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Estud¡a sl .lomitrio de d€l¡nición, tas posibt* a5íntotae y to5 ¡nteruatoó de cre.¡m¡enio v docr.cirÍ¡enro dela iuñcion y = L, D¡buja primé.o ta graf¡ca .té t. func¡ón y, despu&, ét recinto torñado por to. puñtos,
las coordénad.s (x, y) que ve¡¡r¡can tas deeisuardades x := o, L : v .,: 1.
Expl¡ca Ezonadaménre por qué et rec¡nto que ha3 dibúiado * et que 5e ha p6d¡do.
Hrrla el área de €te ..cinto.
a) Oominó de la tuncióñ: F { 1} A6íntola ve¡ticat: x= l. Asntota horzontat:y = 1
Oenva¡a pnmera v = L( r | / )
La func¡on s crecienle en lodo su domrnio, yá que y , o en ét sempre
D.rivada seoun.ra ".
= L(1 + x)'
La fú.ción es cónvexa en er ¡nleealo ( . t).
La lunción es concava en et inleryato ( t, rl)
En la siguenle igua so representa ¡a c!tua de ta tunción y e ¡ecintoque cumpe 16 condrcion6 d6las desguádades dádas:
Recinló OAp = Renló OAPO Fecintó OpO
A,R, ,
I .1, , . , , t t , t t t
1¿ 1. .2 ú
I
F.Pr.&nra grátlcárn.nt la tlEurá pram t¡mhadá por r. rc.ra r = Oyta p.rábot¡ d. euáctó¡ x = (y _ t)? 1.
56 trata d6 una parábola dé eto hor¡zontd Vénice: V( 1. 1)
Eie d6 simelía: y - r. Punlos simékcos: O(0, o), A(0. ?)
Se p¡de €l área de r6cinlo OACO sombf6ado Este re ñro es sméi¡ico y se pú€de catcutar primero e áréá der
Áea(ocD) = Área(oDcB) Áleá(ocB)
¡ i - i . ¡ o*=r I , a ' : r ¡ ¡ =, 1 j , , )a(F) = 1
Area dé recinlo pedido: ?
2a1,,
243a
411
Dlbu¡a. l@¡ñtopl6nonñ[.doportá¡, . rábot. t ' - ¡=lyport . r6crapárat . taay=xqu.pe.rpor. lpunlo (1, 0). c¿lcul.r et ár.a do €6re roctnro.
56 rala de una parábola de 6je hoi¿oñtat. La ecuación es x = f 1
Eie de simeirlar y = 0
Punlos simétricG: C(1, 1), A(l -1)
como la r*la es paralsla a y - x, 6s de ta ioma y - t + k.
Si paa por el punto (1, o) €l vátor d€ k = 1, lu€go ta r6cra 6s y = x 1.
Lo3 punlos de corl6 d6 la paúbota con tá r6cta vien€n dadc por 6t sist6ma:
I '
¡ 1 F€oolvEndo 6e oblrsnon los punl6 C{0. -r, D(3. 2)
s6 pid6 6l ár€a det r€c¡nto sombrBado Daac.
Árca(DBAC) = 2 Ár6a(OAB) + A.6a(cBD)
arR) " 2 f ' V{ - 1 d, - |
l \4- l - - r , 1) ld,-
= l3o -',*]".4 19 9= 3_
+ ;
= ¡ un¡dad$ cuadradas
voruñ.ñ d.l cu.rpo l|mttádo por lo .llP|. : + f = I
Lo3 valofgs d6 los sémi6j€3 sonr a = 5, b - 1.
C6nlrc de la siFe: étoÍg6n {o,O).
volumen engendrado at girar sobre et ej€ OX:
v-2lo¡t t4d¿ = 2r I l ' - .Jd" -
^r f - ,1 ' /_ 12s, 2or- , ¿ L. ¡rl" "lr zs r - 3 un|dad6 cuadradas
- [ i r , . , r - f - ,1"=
66, .l d.r una vu.lt. compltá ¡tr.d.dor d.t .,. OX.
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Cons¡dera la suportic¡e lim¡tada por:
. La 3eñ¡circu ereñc¡ay = s + Vt¡-:;.
. El éie ox.
. El s.gñenlo que un6 los véri¡ces (5, o) y (5, 5).
. El segneoto quc une 106 vértic4 (-5, o) y (,s. 5).
Hslla el volom6ñ dé la ligura obt6ñtda át g¡rar 6a .up€rt¡c¡e una vú6ttá atred.dor dét eje OX.
Lá semicncu¡le¡encia y = 5 + V5-:tr ti6ne @mo Édio r = 5 y como.entro (o s).
En realidad se rara de la circunterencia f + y: = 25 rrGtadada hacia ariba 5 un¡dades
La g¡áfca de la ligu¡a que gira al¡€dedor deleje OX €s ta s¡guiente:
Volumon engendadol
l -v 2l ' ( i \25 ,1 'o 2 '1,50 10\2s- , ,d.
De las tres tunclones de que consta €sia ntegratdos son mmedrar4.
i_ l
1(50 ' )d\ - l5o' ; : r5o
;
La tunc¡ón dslinida por la raíz cuad€da se hace por sustituc¡ón trigoñomélrica
Función radical: \/'25 f dx
Cambio ds vaiable: x - 5 sen t, dx = 5 cos I dl
cambio de llmir6 d€ inr€qfación:
$ r = 0. €ntoñcés 0 - 5 s6n r. tu6go s€n I = O por ramo: r
S¡x = s 6nlonc€6 5 - 5 sen I,luego s6n t = L Por ranto r =
Hac¡ondo 6ios cambios $ tisñ6:
0
!2
v t=iVolum€n de¡ cuérpo €ngondrado
251 sen 2t l- t l ' t , l "=
v -, . lzso, f f * '" . T) = ":0" r 125r '
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