Interpretacin de funciones de transferencia con diferentes excitaciones.Juan Alberto LondooJames Vanegas RosFacultad de ingeniera juanlondono151776@correo.itm.edu.cojamesvanegas11@gmail.comInstituto Tecnolgico Metropolitano

Resumen. En este Documento se plantea la simulacin e interpretacin de funciones de transferencia, excitadas con seales de tipo escaln unitario, rampa unitaria, random,delta dirac, entre otras y se llevaran a cabo clculos como factor de amortiguamiento, frecuencia natural, teorema del valor final, tiempos de establecimiento, polos y ceros del sistema. Adems fue implementado en dos etapas, y para cada una de ellas diferentes interfaces del software MATLAB, tales como Script y Simulink para modelar la respuesta del sistema.Palabras claves: Funcin de transferencia, polos del sistema, ceros del sistema, tiempo de establecimiento, factor de amortiguamiento, frecuencia natural, teorema del valor final.

Abstract. In this paper arises the simulation and interpretation of transfer functions, excited with signals of type unit step, unit ramp, random, among others and will take performed calculations such as damping factor, natural frequency, final value theorem, settling time, poles and zeros of the system. Furthermore was implemented in two stages, and for each of them different interfaces of MATLAB software, such as Script and Simulink to model the system response.Keywords: Transfer function, system poles, System zeros, settling time, damping factor, natural frequency, final value theorem.

1) Introduccin.

El siguiente informe se trabajara con los sistemas de control de lazo abierto, utilizado las funciones de transferencia que modelan las ecuaciones de primer y segundo orden. Un sistema de control es una interconexin de componentes que forman una configuracin del sistema, la cual proporcionar una respuesta deseada del mismo.La mayor parte de sistemas de lazo abierto sern automatismos a los que no podremos llamar robots porque, al no tener en cuenta la salida, su capacidad de toma de decisiones inteligentes es muy limitada.Las aplicaciones de control automtico son sinnimos de la tecnologa moderna, se encuentran dentro del mbito de la robtica hasta en un simple tostador. El control moderno aborda el problema de obtener el comportamiento deseado de un sistema que trabaja por s solo.La importancia de este laboratorio proviene de la posibilidad de entender mejor los conceptos del sistema de control en lazo abierto de manera grfica, matemtica y el comportamiento de una seal excitada en el tiempo y la estabilidad de dicho sistema.

2) Objetivos

Objetivo general:Simular la respuesta de un sistema descrito por su funcin de transferencia ante una determinada funcin de excitacin

Objetivos especficos: Identificar los diferentes elementos que forman parte de un sistema de control en lazo abierto. Implementar un algoritmo para calcular los elementos de control y graficar cualquier funcin de transferencia deseada. Crear un diagrama de bloques ayudado de la interfaz Simulink y entender la respuesta grficamente del sistema.

3) Marco TericoFuncin de transferencia: Unafuncin de transferenciaes unmodelo matemticoque a travs de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) con unasealde entrada o excitacin (tambin modelada). En la teora de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.Tambin se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposicin de que las condiciones iniciales son nulas.Uno de los primeros matemticos en describir estos modelos fueLaplace, a travs de su transformacin matemtica.Por definicin una funcin de transferencia se puede determinar segn la expresin (1): (1)

DondeH(s)es lafuncin de transferencia(tambin notada comoG(s));Y(s)es la transformada de Laplacede la respuesta yX(s)es latransformada de Laplacede la seal de entrada.La funcin de transferencia tambin puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a unimpulsocomo seal de entrada: (2)La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de (3)Y la respuesta como funcin del tiempo se halla con latransformada de Laplaceinversa de Y(s): (4)Cualquier sistema fsico (mecnico, elctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemticos a travs de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos.Por ejemplo, en anlisis de circuitos elctricos, la funcin de transferencia se representa como: (5)Sistema de control: Unsistema de controles un conjunto de dispositivos encargados de administrar, ordenar, dirigir o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de fallo y obtener los resultados deseados. Por lo general, se usan sistemas de control industrial en procesos de produccin industriales para controlar equipos o mquinas.Los sistemas de control deben conseguir los siguientes objetivos:1. Ser estables y robustos frente a perturbaciones y errores en los modelos.2. Ser eficiente segn un criterio preestablecido evitando comportamientos bruscos e irreales.Sistema de control de lazo abierto: Es aquel sistema en que solo acta el proceso sobre la seal de entrada y da como resultado una seal de salida independiente a la seal de entrada, pero basada en la primera. Esto significa que no hay retroalimentacin hacia el controlador para que ste pueda ajustar la accin de control. Es decir, la seal de salida no se convierte en seal de entrada para el controlador. Ejemplo 1: el llenado de un tanque usando una manguera de jardn. Mientras que la llave siga abierta, el agua fluir. La altura del agua en el tanque no puede hacer que la llave se cierre y por tanto no nos sirve para un proceso que necesite de un control de contenido o concentracin. Ejemplo 2: Al hacer una tostada, lo que hacemos es controlar el tiempo de tostado de ella misma entrando una variable (en este caso el grado de tostado que queremos). En definitiva, el que nosotros introducimos como parmetro es el tiempo.Estos sistemas se caracterizan por: Ser sencillos y de fcil concepto. Nada asegura su estabilidad ante una perturbacin. La salida no se compara con la entrada. Ser afectado por las perturbaciones. stas pueden ser tangibles o intangibles. La precisin depende de la previa calibracin del sistema. Este sera el esquema que los define:

Fig 1. Esquema que define un sistema de control.Aproximacin de Pad: Laaproximacin de Pades la "mejor" aproximacin de una funcin por unafuncin racionalde un orden dado. En virtud de esta tcnica, laserie de potenciasde la aproximacin concuerda con la serie de potencias de la funcin que se aproxima. La tcnica fue desarrollada porHenri Pad.La aproximacin de Pad, da una mejor aproximacin de la funcin que truncar su serie de Taylor, y funciona incluso donde la serie de Taylor no es convergente. Por esta razn las aproximaciones de Pad se usan ampliamente en los clculos de ordenadores. Han sido tambin aplicados a las aproximaciones diofantinas, aunque para resultados ntidos, tpicamente son reemplazados por mtodos en cierto sentido inspirados en la teora de Pad.

Ahora, las aproximaciones de Pad para el tiempo muerto, son de las ms populares en los estudios de control por las caractersticas que este mismo estudio permiti confirmar.La transformada de Laplace para el tiempo muerto es , que se puede desarrollar en serie de potencias, a los efectos de tener expresiones exclusivamente polinmicas, que son ms fciles de manejar. As, dependiendo de los trminos de orden superior que despreciemos tendremos:

Aproximacin de Pad de primer orden:

(6)

Aproximacin de Pad de segundo orden:

(7)

Estabilidad de un sistema.Un sistema es estable si la respuesta del sistema al impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.Si el sistema tiende a un valor finito diferente a cero, se puede decir que el sistema es crticamente estable. Una magnitud infinita hace al sistema inestable.Si todos los polos de la funcin de transferencia se encuentras en el lado izquierdo del plano s entonces el sistema es estable.Un sistema se considera crticamente estable si al menos uno de los polos se encuentra en el eje imaginario del plano sLos polos del sistema son las races obtenidas del denominador de la funcin de trasferencia cuando este se iguala a cero. Polinomio caracterstico estabilidad segn la ubicacin de las races de la

Fig 3.Esquemas de sistemas con Fig 4. Caracterizacin de la estabilidad segn las races distintas caractersticas de estabilidad del denominador

Funciones de singularidad.

Las funciones de singularidad son un grupo de funciones que estn relacionadas con la funcin impulso (delta dirac). Aparte de la funcin impulso (delta dirac) estn la funcin escaln unitario y la funcin rampa unitaria.

Funcin escaln unitario.Es una funcin matemtica que tiene como principal caracterstica el tener valor de 0 (cero) para todos los valores negativos de su argumento y de 1 (uno) para todo el valor positivo de este mismo.

Fig 5. Expresin matemticas funcin escaln unitario. Fig 4. Comportamiento de la funcin escaln unitario

Funcin rampa unitariaLa funcin rampa es la integral de la funcin escaln. Si consideramos que estamos sumando toda el rea bajo la funcin escaln a hasta un tiempo t. Si t < 0 (cero), el valor de la integral ser 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero), entonces el valor ser igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t, la cual tambin tiene el valor t, es decir:

Fig 6. Grafica de la funcin rampa unitaria

Funcin delta diracLa delta de Dirac es una funcin generalizada que viene definida por la siguiente frmula integral:

Fig 7. Expresin matemtica de la funcin del dirac.

La delta de Dirac no es una funcin estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requerira tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el lmite de una sucesin de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergira hacia infinito; de ah la "definicin convencional" dada por la tambin convencional frmula aplicada a las funciones definidas a trozos.

Fig 8. Funcin delta dirac definida a trozos.

4) Modelos matemticos y Desarrollo :

Cuando hablamos de sistemas de control de lazo abierto debemos tener en cuenta que hay dos tipos de sistemas, unos de orden 1(uno) y otros de orden 2(dos).

Orden 1(uno): En este caso tenemos dos tipos de entradas, la seal escaln y la seal rampa, ahora debemos tener presente que:

Funcin de transferencia para orden 1(uno):

(8)O (9)

Dnde:K = Ganancia (tau) = Constante de Tiempo; Tiempo que transcurre hasta que la salida alcanza el 63.2% del valor de la salida en estado estable. = RetardoTs = Tiempo de establecimiento = 4Teorema del valor final (Yee) =

Orden 2(dos): En este caso tenemos en cuenta la seal escaln:

Funcin de transferencia para orden 2(dos):Forma Normalizada:

; (10)

Dnde:K = GananciaWn = Frecuencia naturalE = Factor de amortiguamiento:Aqu debemos tener en cuenta que hay 4(cuatro) casos particulares:

1) Si E = 0, el sistema es oscilatorio

2) Si E esta entre 0 y 1 (00 disp('El Sistema es Inestable'); elseif polos0 && E1 disp('El Sistema es Sobreamortiguado') Te = (2*E)/Wn %Constante de tiempo equivalente Ts = 4*Te %Tiempo de Establecimiento en segundos end %Proceso para calcular el teorema del valor final syms s; if (length(N1)==2) disp ('Teorema del valor final') nt = N1(1,1)*s + N1(1,2); dt = (D1(1,1)*s^2)+(D1(1,2))*s+D1(1,3); Yee= vpa(limit((nt/dt),'s',0)) elseif(length(N1)==1) disp ('Teorema del valor final') nt = N1; dt = (D1(1,1)*s^2)+(D1(1,2))*s+D1(1,3); Yee= vpa(limit((nt/dt),'s',0)) end %Graficacin %Inicializacin del Vector Tiempo t = [0:0.1:50]; %Aplicacin de la Entrada Tipo Escaln figure(1) sys2 = step(N1,D1,t); step(sys,t) grid on title('Respuesta Ante Escalon Unitario'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura[c]');

%Aplicacin de la Entrada Tipo Impulso figure(2) impulse(sys) grid on title('Respuesta Ante una Entrada Tipo Impulso'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura[c]');

%Aplicacin de la Entrada Tipo Rampa Unitaria figure(3) ramp = t; lsim(sys,ramp,t) grid on title('Respuesta Ante una Entrada Tipo Rampa Unitaria'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura[c]');

%Graficacion de los Polos y Ceros del Sistema figure(4) K = length(D1); r = rlocus(N1,D1,K); rlocus(N1,D1) grid on title('Polos y Ceros del Sistema'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Theta'); elsedisp('El Sistema es Incorrecto')end

El cdigo anterior lo pusimos a prueba con tres ecuaciones, las cuales respondieron de la siguiente manera:

1)

Calculo de Parmetros de un Sistema de ControlIngrese los Datos de la FTLA

Digite los Datos del Numerador: [1,2.28]Digite los Datos del Denominador: [1,3.75]Digite el Valor del Retardo: 0

Orden 1Ecuacin Normalizada

sys = 0.2667 s + 0.608 ---------------- 0.2667 s + 1 Continuous-time transfer function.

Expansion de Padsys1 = 0.2667 s + 0.608 ---------------- 0.2667 s + 1Continuous-time transfer function.

Tiempo de EstablecimientoTs =1.0667ceros = -2.2800polos =-3.7500gan =1El Sistema es Estable

Teorema del Valor FinalYee =0.608

Fig 9. Respuesta ante escaln unitario

Fig 10. Respuesta ante una Entrada Tipo Impulso

Fig 11. Respuesta ante Rampa unitaria

Fig 12. Polos y Ceros del Sistema

2)

Calculo de Parmetros de un Sistema de ControlIngrese los Datos de la FTLA

Digite los Datos del Numerador: [1.2]Digite los Datos del Denominador: [1,1.2,9]Digite el Valor del Retardo: 0.6

Orden 2Ecuacin Normalizadasys = 1.2 exp(-0.6*s) * -------------------- s^2 + 1.2 s + 9Continuous-time transfer function.

Expansion de Padsys1 = -1.2 s + 4 ---------------------------------- s^3 + 4.533 s^2 + 13 s + 30 Continuous-time transfer function.

ceros =Empty matrix: 0-by-1

polos =-0.6000 + 2.9394i -0.6000 - 2.9394i

gan =1.2000

El Sistema es Estable

El Sistema es Subamortiguado

Td =2.1376

Tp =1.0688

Mp =52.6621

Ts =6.6667

Teorema del valor finalYee =0.1333

Fig 13. Respuesta ante un Escaln Unitario.

Fig 14. Respuesta ante una Entrada Tipo Impulso

Fig 15. Respuesta ante Rampa Unitaria

Fig 16. Polos y Ceros del Sistema.

3)

Calculo de Parmetros de un Sistema de ControlIngrese los Datos de la FTLA

Digite los Datos del Numerador: [3,2]Digite los Datos del Denominador: [7,2.23, 0.01]Digite el Valor del Retardo: 0.15

Orden 2Ecuacin Normalizadasys = 0.4286 s + 0.2857 exp(-0.15*s) * --------------------------------- s^2 + 0.3186 s + 0.001429

Continuous-time transfer function.

Expansion de Padsys1 =-0.4286 s^2 + 5.429 s + 3.81 --------------------------------------------- s^3 + 13.65 s^2 + 4.249 s + 0.01905 Continuous-time transfer function. ceros =-0.6667polos =-0.3140, -0.0045gan =0.4286El Sistema es EstableEl Sistema es SobreamortiguadoTe = 223.0000 Ts = 892.0000 Teorema del valor finalYee =200.0

Fig 17. Respuesta ante Escaln Unitario

Fig 18. Respuesta ante una Entrada Tipo Impulso

Fig 19. Respuesta ante Rampa Unitaria

Fig 20. Polos y Ceros del Sistema.

Etapa 2: Simulink

Despus de entender todo el proceso anterior hacemos unos anlisis similares pero ayudados de la opcin en Matlab Simulink, para esto tenemos las siguientes ecuaciones y sus respectivas respuestas ante un escaln unitario, rampa unitaria, generador de pulsos con amplitud 2, y random:

1)

Fig 21. Proceso en Simulink frente a un escaln unitario (step), rampa unitaria (ramp), generador de pulsos de amplitud 2 (pulse generator) y random (random number).

Fig 22. Respuesta ante Step

Fig 23. Respuesta ante Ramp

Fig 24. Respuesta ante Pulse Generator

Fig 25. Respuesta ante Random.

2)

Para poder trabajar con ecuacin debemos llevarla a la forma estndar:

(15)

Entonces:

Fig 26. Proceso en Simulink frente a un escaln unitario (step), rampa unitaria (ramp), generador de pulsos de amplitud 2 (pulse generator) y random (random number).

Fig 27. Respuesta ante Step

Fig 28. Respuesta ante Ramp

Fig 29. Respuesta ante Pulse Generator

Fig 30. Respuesta ante Random

Como podemos ver cada una de estas respuestas en vez de llegar a un punto estable lo que sucede es que empiezan a oscilar de forma indeterminada y podemos decir que estn errneas.Ya que nuestra respuesta anterior es inadecuada segn los estudios previamente realizados, debemos asumir una nueva forma para esta funcin, ahora veremos esta misma ecuacin pero normalizada:

Fig 31. Proceso en Simulink frente a un escaln unitario (step), rampa unitaria (ramp), generador de pulsos de amplitud 2 (pulse generator) y random (random number).

Fig 32. Respuesta ante Step

Fig 33. Respuesta ante Ramp

Fig 34. Respuesta ante Pulse Generator

Fig 35. Respuesta ante Random

5) Conclusiones

1) Se identificaron los diferentes elementos que forman parte de un sistema de control en lazo abierto.2) Se implement un algoritmo para calcular los elementos y modelos matemticos del control y para graficar cualquier funcin de transferencia deseada.3) se crearon diversos diagramas de bloques ayudados de la interfaz Simulink y entendimos cada una de las respuestas graficas de cada sistema. 4) Para poder llegar a una buena interpretacin de una grfica es necesario ingresar la ecuacin normalizada.5) Al ser el grado del numerador inferior que el del denominador es ms probable que el sistema responda de manera adecuada y se estabilice rpidamente.

6) Referencias

[1] SMITH J. R. et al. 1993. Transfer Function Identification in Power Systems Applications. IEEE Transactions on Power Systems, Ago 1993. [2] FELTES J. W. et al. Deriving Model Parameters from Field Test Measurements. IEEE Computer Applications in Power, Oct 2002. [3] IEEE Std 421.5. Recommended Practice for Excitation System Models for Power System Stability Studies. 1992. [4] BOTERO, H; RAMREZ, J.M. Identification of excitation systems Methodology and Results. International Conference on Industrial Electronics and Control Application. Quito (2005[5] RAMIREZ, J. M. et al. Modelos Matemticos para los Reguladores de Velocidad y los Sistemas de Excitacin de la Planta de Salvajina. Energa y Computacin. No 2, 2000. [6] SAAVEDRA, A. J. Modelado Para Estudios de Estabilidad de los Sistemas de Control Velocidad y Excitacin de la Central de Salvajina. Tesis de Maestra, Universidad del Valle, 2002. [7] SODERSTROM, TORSTEN. System Identification. Prentice Hall. 1989. [8] DAVIS, W.D.T. System Identification for Self Adaptive Control. Wiley Interscience. 1970. [9] LANDAU, IOAN DORE. . Identification et Commande des Systemes. Edition Herms. 1993[10] LJUNG, L. System Identification: Theory for the User. Prentice Hall 1987. [11] SMITH C AND CORRIPIO C. Principles and Practice of Automatic Process Control. John Wiley and Sons, 2 ed, 1997. [12] OROZCO, MARTHA. Diseo e Implementacin de un Regulador de Voltaje para un Generador Sincrnico. Tesis de Maestra en Ingeniera - Automtica. Universidad del Valle. 2005. [13] IEEE Committee Report. (Digital Excitation Applications Task Force of the Excitation Systems Subcommittee). Computer Models for Representation of Digital - Based Excitation Systems. IEEE Transactions on Energy Conversion, Sep 1996.