Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Introducción a Métodos deMallas Móviles Adaptativas para PDE’s.
Caso de 1D
Isidro A. Abelló Ugalde
Seminario Laboratorio de Cómputo CientíficoFacultad de Ciencias, CU
Febrero 2011
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Esquema de la Presentación
1 Ecuación de Burgers en 1DIntroSolución numérica estándar.
2 Métodos de Malla Adaptativa MovilIdeaAplicación a diferencias finitas
3 Consideraciones finalesComponentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaDiscretización de las PDE sobre mallas móvilesSolución alternada o simultánea
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Intro
Presentación
1 Ecuación de Burgers en 1DIntroSolución numérica estándar.
2 Métodos de Malla Adaptativa MovilIdeaAplicación a diferencias finitas
3 Consideraciones finalesComponentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaDiscretización de las PDE sobre mallas móvilesSolución alternada o simultánea
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Intro
Mallas para qué? Para resolver EPD’sIntroducción
Mallas: Discretizar geometrías complejas en 2D o 3D.Ejemplos:
UnaMalla (Mallas estructuradas)Triangulaciones
Mallas Adaptativas: Aún en caso de regiones simples(a 6 x 6 b) y con la cantidad de nodos fija,es conveniente ubicar los nodos en los lugares másinteresantes.
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Intro
Mallas para qué? Para resolver EPD’sIntroducción
Mallas: Discretizar geometrías complejas en 2D o 3D.Ejemplos:
UnaMalla (Mallas estructuradas)Triangulaciones
Mallas Adaptativas: Aún en caso de regiones simples(a 6 x 6 b) y con la cantidad de nodos fija,es conveniente ubicar los nodos en los lugares másinteresantes.
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Intro
Mallas para qué? Para resolver EPD’sIntroducción
Mallas: Discretizar geometrías complejas en 2D o 3D.Ejemplos:
UnaMalla (Mallas estructuradas)Triangulaciones
Mallas Adaptativas: Aún en caso de regiones simples(a 6 x 6 b) y con la cantidad de nodos fija,es conveniente ubicar los nodos en los lugares másinteresantes.
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Intro
Ecuación de Burgers 1DCondiciones de Frontera y Condición inicial
ut = εuxx −(
u2
2
)x
ε > 0
Condiciones de Frontera:
u(0, t) = u(1, t) ≡ 0
Condición inicial:
u(x ,0) = sin(2πx) +12
sin(πx)
La solución u(x , t) ∈ Ω espacio de SobolevHablar de:
Clasificación de la ecuación.Papel de ε.De donde surgió y que modela.
Nota: ut ≡ ∂u∂t , ux ≡ ∂u
∂x , ut ≡ ∂2u∂x2
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Intro
Ecuación de Burgers 1DCondiciones de Frontera y Condición inicial
ut = εuxx −(
u2
2
)x
ε > 0
Condiciones de Frontera:
u(0, t) = u(1, t) ≡ 0
Condición inicial:
u(x ,0) = sin(2πx) +12
sin(πx)
La solución u(x , t) ∈ Ω espacio de SobolevHablar de:
Clasificación de la ecuación.Papel de ε.De donde surgió y que modela.
Nota: ut ≡ ∂u∂t , ux ≡ ∂u
∂x , ut ≡ ∂2u∂x2
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Intro
Ecuación de Burgers 1DCondiciones de Frontera y Condición inicial
ut = εuxx −(
u2
2
)x
ε > 0
Condiciones de Frontera:
u(0, t) = u(1, t) ≡ 0
Condición inicial:
u(x ,0) = sin(2πx) +12
sin(πx)
La solución u(x , t) ∈ Ω espacio de Sobolev
Hablar de:Clasificación de la ecuación.Papel de ε.De donde surgió y que modela.
Nota: ut ≡ ∂u∂t , ux ≡ ∂u
∂x , ut ≡ ∂2u∂x2
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Intro
Ecuación de Burgers 1DCondiciones de Frontera y Condición inicial
ut = εuxx −(
u2
2
)x
ε > 0
Condiciones de Frontera:
u(0, t) = u(1, t) ≡ 0
Condición inicial:
u(x ,0) = sin(2πx) +12
sin(πx)
La solución u(x , t) ∈ Ω espacio de SobolevHablar de:
Clasificación de la ecuación.Papel de ε.De donde surgió y que modela.
Nota: ut ≡ ∂u∂t , ux ≡ ∂u
∂x , ut ≡ ∂2u∂x2
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Solución numérica estándar.
Presentación
1 Ecuación de Burgers en 1DIntroSolución numérica estándar.
2 Métodos de Malla Adaptativa MovilIdeaAplicación a diferencias finitas
3 Consideraciones finalesComponentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaDiscretización de las PDE sobre mallas móvilesSolución alternada o simultánea
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Solución numérica estándar.
Solución numérica estándar.Aproximación de las derivadas. Semidiscretización de la ecuación
Tomemos N + 1 puntos equiespaciados de tamaño h = 1N en la región
espacial (valga la redundancia ¨ ) 0 6 x 6 1
Th : xj = j h, j = 0, 1, . . . ,N
uj = uj (t) ≈ u(xj , t)
ux =uj+1 − uj−1
2h + O(h2)
uxx =uj+1 −2uj +uj−1
h2 + O(h2)
ut = εuxx −(
u2
2
)x
= εuxx − u ux
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)−
u2j+1 − u2
j−1
4h
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)− uj
uj+1 − uj−1
2hNO
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Solución numérica estándar.
Solución numérica estándar.Aproximación de las derivadas. Semidiscretización de la ecuación
Tomemos N + 1 puntos equiespaciados de tamaño h = 1N en la región
espacial (valga la redundancia ¨ ) 0 6 x 6 1
Th : xj = j h, j = 0, 1, . . . ,N
uj = uj (t) ≈ u(xj , t)
ux =uj+1 − uj−1
2h + O(h2)
uxx =uj+1 −2uj +uj−1
h2 + O(h2)
ut = εuxx −(
u2
2
)x
=
εuxx − u ux
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)−
u2j+1 − u2
j−1
4h
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)− uj
uj+1 − uj−1
2hNO
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Solución numérica estándar.
Solución numérica estándar.Aproximación de las derivadas. Semidiscretización de la ecuación
Tomemos N + 1 puntos equiespaciados de tamaño h = 1N en la región
espacial (valga la redundancia ¨ ) 0 6 x 6 1
Th : xj = j h, j = 0, 1, . . . ,N
uj = uj (t) ≈ u(xj , t)
ux =uj+1 − uj−1
2h + O(h2)
uxx =uj+1 −2uj +uj−1
h2 + O(h2)
ut = εuxx −(
u2
2
)x
= εuxx − u ux
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)−
u2j+1 − u2
j−1
4h
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)− uj
uj+1 − uj−1
2hNO
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Solución numérica estándar.
Solución numérica estándar.Aproximación de las derivadas. Semidiscretización de la ecuación
Tomemos N + 1 puntos equiespaciados de tamaño h = 1N en la región
espacial (valga la redundancia ¨ ) 0 6 x 6 1
Th : xj = j h, j = 0, 1, . . . ,N
uj = uj (t) ≈ u(xj , t)
ux =uj+1 − uj−1
2h + O(h2)
uxx =uj+1 −2uj +uj−1
h2 + O(h2)
ut = εuxx −(
u2
2
)x
= εuxx − u ux
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)−
u2j+1 − u2
j−1
4h
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)− uj
uj+1 − uj−1
2hNO
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Solución numérica estándar.
Solución numérica estándar.Aproximación de las derivadas. Semidiscretización de la ecuación
Tomemos N + 1 puntos equiespaciados de tamaño h = 1N en la región
espacial (valga la redundancia ¨ ) 0 6 x 6 1
Th : xj = j h, j = 0, 1, . . . ,N
uj = uj (t) ≈ u(xj , t)
ux =uj+1 − uj−1
2h + O(h2)
uxx =uj+1 −2uj +uj−1
h2 + O(h2)
ut = εuxx −(
u2
2
)x
= εuxx − u ux
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)−
u2j+1 − u2
j−1
4h
duj
dt= ε
(uj+1 − 2uj + uj−1
h2
)− uj
uj+1 − uj−1
2hNO
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Solución numérica estándar.
Solución numérica vía ODESolución usando RK45 Fehlberg
dUdt
= F (U) U : RN × R −→ RN
donde
Fj(U) =
ε(
uj+1−2ujh2
)−
u2j+14h j = 1
ε(
uj+1−2uj +uj−1h2
)−
u2j+1−u2
j−14h 2 6 j 6 N − 1
ε(
uj−1−2ujh2
)−
u2j−14h j = N
conUj(0) = sin(2πxj) +
12
sin(πxj)
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Solución numérica estándar.
Solución numérica vía ODEResultados para t = 0.0, 0.1, 0.2, ... 0.9, 1
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Solución numérica estándar.
Solución numérica vía ODEResultados ... continuación
Figure: 240Kb, 168Mb!!
ε x-puntos tiempo de cómputo resultado10−2 20 0.029370 seg ×10−2 80 0.051588 seg X10−4 80 0.028634 seg ×10−4 2000 44.447617 seg X
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Presentación
1 Ecuación de Burgers en 1DIntroSolución numérica estándar.
2 Métodos de Malla Adaptativa MovilIdeaAplicación a diferencias finitas
3 Consideraciones finalesComponentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaDiscretización de las PDE sobre mallas móvilesSolución alternada o simultánea
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Malla Adaptativa MovilCuestión Principal
El ajuste dinámico de los puntos para cada tiempo seconoce como malla movil adaptativa
Se comprende mejor con un cambio de variables.
u(ξ, t) = u(x(ξ, t), t)
La elección es tal que
x = x(ξ, t) x : Ωc ⊂ [0; 1]→ Ω = [0; 1]
es suave y en principio barata o al menos económica apartir de una malla ξj uniforme
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Malla Adaptativa MovilCuestión Principal
El ajuste dinámico de los puntos para cada tiempo seconoce como malla movil adaptativaSe comprende mejor con un cambio de variables.
u(ξ, t) = u(x(ξ, t), t)
La elección es tal que
x = x(ξ, t) x : Ωc ⊂ [0; 1]→ Ω = [0; 1]
es suave y en principio barata o al menos económica apartir de una malla ξj uniforme
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Malla Adaptativa MovilCuestión Principal
El ajuste dinámico de los puntos para cada tiempo seconoce como malla movil adaptativaSe comprende mejor con un cambio de variables.
u(ξ, t) = u(x(ξ, t), t)
La elección es tal que
x = x(ξ, t) x : Ωc ⊂ [0; 1]→ Ω = [0; 1]
es suave y en principio barata o al menos económica apartir de una malla ξj uniforme
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Cambio a las nuevas variables
Aplicando la regla de la cadena
uξ = uxxξ, ut = ut + uxxt
Sustituyendo en ut = εuxx −(
u2
2
)x
Obtenemos
ut −uξxξ
xt =ε
xξ
(uξxξ
)ξ
− 1xξ
(u2
2
)ξ
Cuestión Principal:
¿Cómo determinar la transformación
x = x(ξ, t)?
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Cambio a las nuevas variables
Aplicando la regla de la cadena
uξ = uxxξ, ut = ut + uxxt
Sustituyendo en ut = εuxx −(
u2
2
)x
Obtenemos
ut −uξxξ
xt =ε
xξ
(uξxξ
)ξ
− 1xξ
(u2
2
)ξ
Cuestión Principal:
¿Cómo determinar la transformación
x = x(ξ, t)?
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Cambio a las nuevas variables
Aplicando la regla de la cadena
uξ = uxxξ, ut = ut + uxxt
Sustituyendo en ut = εuxx −(
u2
2
)x
Obtenemos
ut −uξxξ
xt =ε
xξ
(uξxξ
)ξ
− 1xξ
(u2
2
)ξ
Cuestión Principal:
¿Cómo determinar la transformación
x = x(ξ, t)?
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Cambio a las nuevas variables
Aplicando la regla de la cadena
uξ = uxxξ, ut = ut + uxxt
Sustituyendo en ut = εuxx −(
u2
2
)x
Obtenemos
ut −uξxξ
xt =ε
xξ
(uξxξ
)ξ
− 1xξ
(u2
2
)ξ
Cuestión Principal:
¿Cómo determinar la transformación
x = x(ξ, t)?
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
MMPDEEcuación Diferencial Parcial de Malla Móvil
Como se determina la transformación x = x(ξ, t) se sale del marco deesta presentación.
Solo se dirá que una manera de hacerlo es resolviendo la Moving MeshPDE
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ
con condiciones a la frontera
x(0, t) = 0 x(1, t) = 1
donde
ρ(x , t) es la función de densidad de mallaτ parámetro: ajusta el tiempo de respuesta a los cambiosde ρ(x , t)
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
MMPDEEcuación Diferencial Parcial de Malla Móvil
Como se determina la transformación x = x(ξ, t) se sale del marco deesta presentación.
Solo se dirá que una manera de hacerlo es resolviendo la Moving MeshPDE
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ
con condiciones a la frontera
x(0, t) = 0 x(1, t) = 1
donde
ρ(x , t) es la función de densidad de mallaτ parámetro: ajusta el tiempo de respuesta a los cambiosde ρ(x , t)
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
MMPDEEcuación Diferencial Parcial de Malla Móvil
Como se determina la transformación x = x(ξ, t) se sale del marco deesta presentación.
Solo se dirá que una manera de hacerlo es resolviendo la Moving MeshPDE
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ
con condiciones a la frontera
x(0, t) = 0 x(1, t) = 1
donde
ρ(x , t) es la función de densidad de malla
τ parámetro: ajusta el tiempo de respuesta a los cambiosde ρ(x , t)
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
MMPDEEcuación Diferencial Parcial de Malla Móvil
Como se determina la transformación x = x(ξ, t) se sale del marco deesta presentación.
Solo se dirá que una manera de hacerlo es resolviendo la Moving MeshPDE
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ
con condiciones a la frontera
x(0, t) = 0 x(1, t) = 1
donde
ρ(x , t) es la función de densidad de mallaτ parámetro: ajusta el tiempo de respuesta a los cambiosde ρ(x , t)
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Función de densidad de malla ρ(x , t)
La elección apropiada de ρ es la clave para que el movingmesh method sea exitoso
Una elección popular es:
ρ(x , t) = 3
√(1 +
1α|uxx |2
)donde α es un parámetro de intensidad
α = max
1 ;
[∫ 1
0|uxx |
23 dx
]3
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Idea
Función de densidad de malla ρ(x , t)
La elección apropiada de ρ es la clave para que el movingmesh method sea exitoso
Una elección popular es:
ρ(x , t) = 3
√(1 +
1α|uxx |2
)donde α es un parámetro de intensidad
α = max
1 ;
[∫ 1
0|uxx |
23 dx
]3
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Presentación
1 Ecuación de Burgers en 1DIntroSolución numérica estándar.
2 Métodos de Malla Adaptativa MovilIdeaAplicación a diferencias finitas
3 Consideraciones finalesComponentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaDiscretización de las PDE sobre mallas móvilesSolución alternada o simultánea
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Esquemas en diferencias finitas de la nueva ecuaciónSemidiscretización espacial
ut −uξxξ
xt =ε
xξ
(uξxξ
)ξ
− 1xξ
(u2
2
)ξ
Ahora la tenemos dos discretizaciones espaciales
Th(t) : xj (t) = x(ξj , t) j = 0, 1, . . . ,N T cte∆ξ : ξj = j ∆ξ, j = 0, 1, . . . ,N
Utilizando diferencias centrales sobre T cteh tenemos:
duj
dt− (uj+1 − uj−1)
(xj+1 − xj−1)
dxj
dt=
2ε(xj+1 − xj−1)
[(uj+1 − uj )
(xj+1 − xj )− (uj − uj−1)
(xj − xj−1)
]−1
2
(u2
j+1 − u2j−1)
(xj+1 − xj−1)
j = 1, . . . ,N − 1uj (t) ≈ u(ξj , t) = u(xj (t), t)
![Page 36: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/36.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Esquemas en diferencias finitas de la nueva ecuaciónSemidiscretización espacial
ut −uξxξ
xt =ε
xξ
(uξxξ
)ξ
− 1xξ
(u2
2
)ξ
Ahora la tenemos dos discretizaciones espaciales
Th(t) : xj (t) = x(ξj , t) j = 0, 1, . . . ,N T cte∆ξ : ξj = j ∆ξ, j = 0, 1, . . . ,N
Utilizando diferencias centrales sobre T cteh tenemos:
duj
dt− (uj+1 − uj−1)
(xj+1 − xj−1)
dxj
dt=
2ε(xj+1 − xj−1)
[(uj+1 − uj )
(xj+1 − xj )− (uj − uj−1)
(xj − xj−1)
]−1
2
(u2
j+1 − u2j−1)
(xj+1 − xj−1)
j = 1, . . . ,N − 1uj (t) ≈ u(ξj , t) = u(xj (t), t)
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Esquemas en diferencias finitas de la nueva ecuaciónSemidiscretización espacial
ut −uξxξ
xt =ε
xξ
(uξxξ
)ξ
− 1xξ
(u2
2
)ξ
Ahora la tenemos dos discretizaciones espaciales
Th(t) : xj (t) = x(ξj , t) j = 0, 1, . . . ,N T cte∆ξ : ξj = j ∆ξ, j = 0, 1, . . . ,N
Utilizando diferencias centrales sobre T cteh tenemos:
duj
dt− (uj+1 − uj−1)
(xj+1 − xj−1)
dxj
dt=
2ε(xj+1 − xj−1)
[(uj+1 − uj )
(xj+1 − xj )− (uj − uj−1)
(xj − xj−1)
]−1
2
(u2
j+1 − u2j−1)
(xj+1 − xj−1)
j = 1, . . . ,N − 1uj (t) ≈ u(ξj , t) = u(xj (t), t)
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Semidiscretización de la MMPDESobre la malla uniforme T cte
∆ξ
utilizando la identidad
ddx
(p(x)
dudx
)≈ 1
h
((p(x + h) + p(x))
2(u(x + h)− u(x))
h−
− (p(x) + p(x − h))
2(u(x)− u(x − h))
h
)Discretizamos
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ
y tenemos
dxj
dt=
1ρjτ∆ξ2
[ρj+1 − ρj
2(xj+1 − xj )−
ρj − ρj−1
2(xj − xj−1)
]con las condiciones de frontera
dx1
dt= 0
dxN
dt= 0
![Page 39: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/39.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Semidiscretización de la MMPDESobre la malla uniforme T cte
∆ξ
utilizando la identidad
ddx
(p(x)
dudx
)≈ 1
h
((p(x + h) + p(x))
2(u(x + h)− u(x))
h−
− (p(x) + p(x − h))
2(u(x)− u(x − h))
h
)Discretizamos
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ
y tenemos
dxj
dt=
1ρjτ∆ξ2
[ρj+1 − ρj
2(xj+1 − xj )−
ρj − ρj−1
2(xj − xj−1)
]con las condiciones de frontera
dx1
dt= 0
dxN
dt= 0
![Page 40: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/40.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Discretización del resto de los actoresLa función de densidad y el parámetro de intensidad
ρ(x , t) = 3
√(1 +
1α|uxx |2
)=⇒ ρj = 3
√1 +
1αh|uxx,j |2
α = max
1 ;
[∫ 1
0|uxx |
23 dx
]3
⇓
αh = max
1 ;
12
N∑j=2
(xj − xj−1)(|uxx,j |
23 + |uxx,j−1|
23
)3
uxx,j =
2[(x2−x1)(u3−u1)−(x3−x1)(u2−u1)]
(x3−x1)(x2−x1)(x3−x2)j = 1
2(xj+1−xj )
[(uj+1−uj )(xj+1−xj )
− (uj−uj−1)(xj−xj−1)
]2 6 j 6 N − 1
2[(xN−1−xN )(uN−2−uN )−(xN−2−xN )(uN−1−uN )](xN−2−xN )(xN−1−xN )(xN−2−xN−1)
j = N
![Page 41: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/41.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Discretización del resto de los actoresLa función de densidad y el parámetro de intensidad
ρ(x , t) = 3
√(1 +
1α|uxx |2
)=⇒ ρj = 3
√1 +
1αh|uxx,j |2
α = max
1 ;
[∫ 1
0|uxx |
23 dx
]3
⇓
αh = max
1 ;
12
N∑j=2
(xj − xj−1)(|uxx,j |
23 + |uxx,j−1|
23
)3
uxx,j =
2[(x2−x1)(u3−u1)−(x3−x1)(u2−u1)]
(x3−x1)(x2−x1)(x3−x2)j = 1
2(xj+1−xj )
[(uj+1−uj )(xj+1−xj )
− (uj−uj−1)(xj−xj−1)
]2 6 j 6 N − 1
2[(xN−1−xN )(uN−2−uN )−(xN−2−xN )(uN−1−uN )](xN−2−xN )(xN−1−xN )(xN−2−xN−1)
j = N
![Page 42: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/42.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Discretización del resto de los actoresLa función de densidad y el parámetro de intensidad
ρ(x , t) = 3
√(1 +
1α|uxx |2
)=⇒ ρj = 3
√1 +
1αh|uxx,j |2
α = max
1 ;
[∫ 1
0|uxx |
23 dx
]3
⇓
αh = max
1 ;
12
N∑j=2
(xj − xj−1)(|uxx,j |
23 + |uxx,j−1|
23
)3
uxx,j =
2[(x2−x1)(u3−u1)−(x3−x1)(u2−u1)]
(x3−x1)(x2−x1)(x3−x2)j = 1
2(xj+1−xj )
[(uj+1−uj )(xj+1−xj )
− (uj−uj−1)(xj−xj−1)
]2 6 j 6 N − 1
2[(xN−1−xN )(uN−2−uN )−(xN−2−xN )(uN−1−uN )](xN−2−xN )(xN−1−xN )(xN−2−xN−1)
j = N
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Suavisamiento de la función de densidadÚtil si la función u no es suave
Si la función u no es suave la discretización de la función dedensidad, puede cambiar abruptamente y hacerinecesariamente lento el proceso de cálculo. Por esto espráctica común suavisar la función de densidad con mediasmoviles ponderadas.
ρj ←
12 (ρ1 + ρ2) j = 1
14ρj−1 + 1
2ρj + 14ρj+1 2 6 j 6 N − 1
12 (ρN−1 + ρN) j = N
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Sistema ODE ImplícitoLos últimos ingredientes
duj
dt− (uj+1 − uj−1)
(xj+1 − xj−1)
dxj
dt=
2ε(xj+1 − xj−1)
[(uj+1 − uj )
(xj+1 − xj )− (uj − uj−1)
(xj − xj−1)
]−1
2
(u2
j+1 − u2j−1)
(xj+1 − xj−1)
dxj
dt=
1ρjτ∆ξ2
[ρj+1 − ρj
2(xj+1 − xj )−
ρj − ρj−1
2(xj − xj−1)
]
Sea z = [u1(t), . . . uN(t), x1(t), . . . xN(t)]t y z′ = dzdt
Podemos escribir el sistema ODE implícito de 2N ecuaciones
F(t, z, z′) = 0
con z(0) y z′(0) dadas.
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Las matrices jacobianasSolución del sistema ODE Implícito por ode15i de MatLab
La solución se mostrará utilizando el solver ode15i deMatLab,ode15i utiliza backward diferentiation formulas BDF de unpaso y orden 5.Los métodos implícitos deben resolver sistemas deecuaciones no lineales en cada paso.Es importante tener los jacobianos
∂F∂z
∂F∂z ′
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Patrones de las matrices jacobianas∂F∂z Para Diferencias Finitas
∂F∂z
=
∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . .∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗...
......
......
......
...∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗
![Page 47: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/47.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Patrones de las matrices jacobianas∂F∂z′ Para Diferencias Finitas
∂F∂z ′
=
∗ ∗∗ ∗
. . . . . .∗ ∗∗ ∗∗∗
. . .∗∗
![Page 48: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/48.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Patrones de las matrices jacobianas∂F∂z′ Para Elemento Finito
∂F∂z ′
=
∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . .∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗∗∗
. . .∗∗
![Page 49: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/49.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Solución numérica MMPDEResultados con odei15 de MatLab
ε x-puntos τ tiempo de cómputo resultado10−4 40 0.01 4.4710 seg X
Otros datos de interés de odei15pasos útiles intentos fallidos eval función der parciales fact LU Sol. S.L.
564 112 6622 63 344 1267
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Solución numérica MMPDEResultados con odei15 de MatLab
ε x-puntos τ tiempo de cómputo resultado10−4 40 0.01 4.4710 seg X
Otros datos de interés de odei15pasos útiles intentos fallidos eval función der parciales fact LU Sol. S.L.
564 112 6622 63 344 1267
![Page 51: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/51.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Aplicación a diferencias finitas
Comparación con solución exactaSe mide la semi norma H1 en el tiempo t = 1
Número de puntos tiempo de uso de CPU
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Presentación
1 Ecuación de Burgers en 1DIntroSolución numérica estándar.
2 Métodos de Malla Adaptativa MovilIdeaAplicación a diferencias finitas
3 Consideraciones finalesComponentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaDiscretización de las PDE sobre mallas móvilesSolución alternada o simultánea
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategia para el movimiento de malla.
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ + ρ + α
Método para discretizar la PDEDiferencias Finitas (Elemento Finito)
Mecanismo para resolver el par de sistemas acoplados deecuacionesode15i (implícito) de MatLab
![Page 54: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/54.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategia para el movimiento de malla.
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ + ρ + α
Método para discretizar la PDEDiferencias Finitas (Elemento Finito)
Mecanismo para resolver el par de sistemas acoplados deecuacionesode15i (implícito) de MatLab
![Page 55: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/55.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategia para el movimiento de malla.
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ + ρ + α
Método para discretizar la PDE
Diferencias Finitas (Elemento Finito)
Mecanismo para resolver el par de sistemas acoplados deecuacionesode15i (implícito) de MatLab
![Page 56: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/56.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategia para el movimiento de malla.
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ + ρ + α
Método para discretizar la PDEDiferencias Finitas (Elemento Finito)
Mecanismo para resolver el par de sistemas acoplados deecuacionesode15i (implícito) de MatLab
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategia para el movimiento de malla.
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ + ρ + α
Método para discretizar la PDEDiferencias Finitas (Elemento Finito)
Mecanismo para resolver el par de sistemas acoplados deecuaciones
ode15i (implícito) de MatLab
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategia para el movimiento de malla.
xt =1ρ τ
(ρxξ)ξ + ρ + α
Método para discretizar la PDEDiferencias Finitas (Elemento Finito)
Mecanismo para resolver el par de sistemas acoplados deecuacionesode15i (implícito) de MatLab
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaMétodos usuales: basados en localización y basados en velocidad
Las estrategias de movimiento de malla típicamente laspodemos dividir en dos grupos:
Las basadas en localización. (métodos variacionales)
Controlan directamente la ubicación de los puntos.Estimaciones anteriores del error.Consideraciones geométricas.
Las basadas en velocidad.
Se concentran en la velocidad de cambio de la malla yencuentran la posición integrando el campo de velocidades.Están basados en métodos Lagrangianos de dinámica defluidos.Las coordenadas son partículas en un fluido
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaMétodos usuales: basados en localización y basados en velocidad
Las estrategias de movimiento de malla típicamente laspodemos dividir en dos grupos:
Las basadas en localización. (métodos variacionales)
Controlan directamente la ubicación de los puntos.Estimaciones anteriores del error.Consideraciones geométricas.
Las basadas en velocidad.
Se concentran en la velocidad de cambio de la malla yencuentran la posición integrando el campo de velocidades.Están basados en métodos Lagrangianos de dinámica defluidos.Las coordenadas son partículas en un fluido
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaMétodos usuales: basados en localización y basados en velocidad
Las estrategias de movimiento de malla típicamente laspodemos dividir en dos grupos:
Las basadas en localización. (métodos variacionales)
Controlan directamente la ubicación de los puntos.
Estimaciones anteriores del error.Consideraciones geométricas.
Las basadas en velocidad.
Se concentran en la velocidad de cambio de la malla yencuentran la posición integrando el campo de velocidades.Están basados en métodos Lagrangianos de dinámica defluidos.Las coordenadas son partículas en un fluido
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Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaMétodos usuales: basados en localización y basados en velocidad
Las estrategias de movimiento de malla típicamente laspodemos dividir en dos grupos:
Las basadas en localización. (métodos variacionales)
Controlan directamente la ubicación de los puntos.Estimaciones anteriores del error.
Consideraciones geométricas.
Las basadas en velocidad.
Se concentran en la velocidad de cambio de la malla yencuentran la posición integrando el campo de velocidades.Están basados en métodos Lagrangianos de dinámica defluidos.Las coordenadas son partículas en un fluido
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Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaMétodos usuales: basados en localización y basados en velocidad
Las estrategias de movimiento de malla típicamente laspodemos dividir en dos grupos:
Las basadas en localización. (métodos variacionales)
Controlan directamente la ubicación de los puntos.Estimaciones anteriores del error.Consideraciones geométricas.
Las basadas en velocidad.
Se concentran en la velocidad de cambio de la malla yencuentran la posición integrando el campo de velocidades.Están basados en métodos Lagrangianos de dinámica defluidos.Las coordenadas son partículas en un fluido
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Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaMétodos usuales: basados en localización y basados en velocidad
Las estrategias de movimiento de malla típicamente laspodemos dividir en dos grupos:
Las basadas en localización. (métodos variacionales)
Controlan directamente la ubicación de los puntos.Estimaciones anteriores del error.Consideraciones geométricas.
Las basadas en velocidad.
Se concentran en la velocidad de cambio de la malla yencuentran la posición integrando el campo de velocidades.
Están basados en métodos Lagrangianos de dinámica defluidos.Las coordenadas son partículas en un fluido
![Page 65: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/65.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Estrategias de movimiento de mallaMétodos usuales: basados en localización y basados en velocidad
Las estrategias de movimiento de malla típicamente laspodemos dividir en dos grupos:
Las basadas en localización. (métodos variacionales)
Controlan directamente la ubicación de los puntos.Estimaciones anteriores del error.Consideraciones geométricas.
Las basadas en velocidad.
Se concentran en la velocidad de cambio de la malla yencuentran la posición integrando el campo de velocidades.Están basados en métodos Lagrangianos de dinámica defluidos.Las coordenadas son partículas en un fluido
![Page 66: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/66.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Métodos de localizaciónPrincipio de Equidistribución:
Las MMPDE son ecuaciones elípticas o parabólicas.
Involucran una transformación de coordenada de malla.Involucran algún proceso de minimización de errores.
Es usual que se construyan basados en elPrincipio de Equidistribución:Dado N > 1, ρ(x) > 0 continua sobre [a; b] encontrar unapartición
Th : a = x1 < x2 < · · · < xN = b
tal que∫ x2
x1
ρ(x)dx =
∫ x3
x2
ρ(x)dx = · · · =
∫ xN
xN−1
ρ(x)dx
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Métodos de localizaciónPrincipio de Equidistribución:
Las MMPDE son ecuaciones elípticas o parabólicas.
Involucran una transformación de coordenada de malla.Involucran algún proceso de minimización de errores.
Es usual que se construyan basados en elPrincipio de Equidistribución:Dado N > 1, ρ(x) > 0 continua sobre [a; b] encontrar unapartición
Th : a = x1 < x2 < · · · < xN = b
tal que∫ x2
x1
ρ(x)dx =
∫ x3
x2
ρ(x)dx = · · · =
∫ xN
xN−1
ρ(x)dx
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Métodos de localizaciónPrincipio de Equidistribución:
Las MMPDE son ecuaciones elípticas o parabólicas.Involucran una transformación de coordenada de malla.
Involucran algún proceso de minimización de errores.
Es usual que se construyan basados en elPrincipio de Equidistribución:Dado N > 1, ρ(x) > 0 continua sobre [a; b] encontrar unapartición
Th : a = x1 < x2 < · · · < xN = b
tal que∫ x2
x1
ρ(x)dx =
∫ x3
x2
ρ(x)dx = · · · =
∫ xN
xN−1
ρ(x)dx
![Page 69: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/69.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Métodos de localizaciónPrincipio de Equidistribución:
Las MMPDE son ecuaciones elípticas o parabólicas.Involucran una transformación de coordenada de malla.Involucran algún proceso de minimización de errores.
Es usual que se construyan basados en elPrincipio de Equidistribución:Dado N > 1, ρ(x) > 0 continua sobre [a; b] encontrar unapartición
Th : a = x1 < x2 < · · · < xN = b
tal que∫ x2
x1
ρ(x)dx =
∫ x3
x2
ρ(x)dx = · · · =
∫ xN
xN−1
ρ(x)dx
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Discretización de las PDEEsquemas
Diferencias finitas
Parten del dominio computacionalSon más frecuentes en regiones regulares(intervalos, rectángulos, cubos, etc.)Conduce a transformaciones de coordenadas que puedencomplicar el asunto.
Elemento finito
Parten del dominio físicoSon más frecuentes en regiones irregularesNo tiene las complicaciones de cambios de coordenadasraras.
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Discretización de las PDEEsquemas
Diferencias finitasParten del dominio computacional
Son más frecuentes en regiones regulares(intervalos, rectángulos, cubos, etc.)Conduce a transformaciones de coordenadas que puedencomplicar el asunto.
Elemento finito
Parten del dominio físicoSon más frecuentes en regiones irregularesNo tiene las complicaciones de cambios de coordenadasraras.
![Page 72: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/72.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Discretización de las PDEEsquemas
Diferencias finitasParten del dominio computacionalSon más frecuentes en regiones regulares(intervalos, rectángulos, cubos, etc.)
Conduce a transformaciones de coordenadas que puedencomplicar el asunto.
Elemento finito
Parten del dominio físicoSon más frecuentes en regiones irregularesNo tiene las complicaciones de cambios de coordenadasraras.
![Page 73: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/73.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Discretización de las PDEEsquemas
Diferencias finitasParten del dominio computacionalSon más frecuentes en regiones regulares(intervalos, rectángulos, cubos, etc.)Conduce a transformaciones de coordenadas que puedencomplicar el asunto.
Elemento finito
Parten del dominio físicoSon más frecuentes en regiones irregularesNo tiene las complicaciones de cambios de coordenadasraras.
![Page 74: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/74.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Discretización de las PDEEsquemas
Diferencias finitasParten del dominio computacionalSon más frecuentes en regiones regulares(intervalos, rectángulos, cubos, etc.)Conduce a transformaciones de coordenadas que puedencomplicar el asunto.
Elemento finitoParten del dominio físico
Son más frecuentes en regiones irregularesNo tiene las complicaciones de cambios de coordenadasraras.
![Page 75: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/75.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Discretización de las PDEEsquemas
Diferencias finitasParten del dominio computacionalSon más frecuentes en regiones regulares(intervalos, rectángulos, cubos, etc.)Conduce a transformaciones de coordenadas que puedencomplicar el asunto.
Elemento finitoParten del dominio físicoSon más frecuentes en regiones irregulares
No tiene las complicaciones de cambios de coordenadasraras.
![Page 76: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/76.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Discretización de las PDEEsquemas
Diferencias finitasParten del dominio computacionalSon más frecuentes en regiones regulares(intervalos, rectángulos, cubos, etc.)Conduce a transformaciones de coordenadas que puedencomplicar el asunto.
Elemento finitoParten del dominio físicoSon más frecuentes en regiones irregularesNo tiene las complicaciones de cambios de coordenadasraras.
![Page 77: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/77.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Movimientos de malla en el tiempoMétodos tipo cuasi-Lagrange y rezonificación
Quasi-Lagrange (que se desarrolló aquí)
Los puntos de la malla son continuos en el tiempo.La ut 7−→ ut (a lo largo de las trayectorias de la malla) + untérmino que refleja el movimiento convectivo de malla.
Rezonificación
Los puntos son considerados intermitentes en el tiempo.Cada nivel temporal es actualizado, a partir de (xn; un) seinterpola para xn+1 y se discretiza la PDE en xn+1
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Movimientos de malla en el tiempoMétodos tipo cuasi-Lagrange y rezonificación
Quasi-Lagrange (que se desarrolló aquí)Los puntos de la malla son continuos en el tiempo.
La ut 7−→ ut (a lo largo de las trayectorias de la malla) + untérmino que refleja el movimiento convectivo de malla.
Rezonificación
Los puntos son considerados intermitentes en el tiempo.Cada nivel temporal es actualizado, a partir de (xn; un) seinterpola para xn+1 y se discretiza la PDE en xn+1
![Page 79: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/79.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Movimientos de malla en el tiempoMétodos tipo cuasi-Lagrange y rezonificación
Quasi-Lagrange (que se desarrolló aquí)Los puntos de la malla son continuos en el tiempo.La ut 7−→ ut (a lo largo de las trayectorias de la malla) + untérmino que refleja el movimiento convectivo de malla.
Rezonificación
Los puntos son considerados intermitentes en el tiempo.Cada nivel temporal es actualizado, a partir de (xn; un) seinterpola para xn+1 y se discretiza la PDE en xn+1
![Page 80: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/80.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Movimientos de malla en el tiempoMétodos tipo cuasi-Lagrange y rezonificación
Quasi-Lagrange (que se desarrolló aquí)Los puntos de la malla son continuos en el tiempo.La ut 7−→ ut (a lo largo de las trayectorias de la malla) + untérmino que refleja el movimiento convectivo de malla.
RezonificaciónLos puntos son considerados intermitentes en el tiempo.
Cada nivel temporal es actualizado, a partir de (xn; un) seinterpola para xn+1 y se discretiza la PDE en xn+1
![Page 81: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/81.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Movimientos de malla en el tiempoMétodos tipo cuasi-Lagrange y rezonificación
Quasi-Lagrange (que se desarrolló aquí)Los puntos de la malla son continuos en el tiempo.La ut 7−→ ut (a lo largo de las trayectorias de la malla) + untérmino que refleja el movimiento convectivo de malla.
RezonificaciónLos puntos son considerados intermitentes en el tiempo.Cada nivel temporal es actualizado, a partir de (xn; un) seinterpola para xn+1 y se discretiza la PDE en xn+1
![Page 82: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/82.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Solución del par de sistemas acopladosSegún el método de movimiento en el tiempo
Se debe resolver un par de sistemas acoplados
La ecuación física (PDE)La ecuación de malla.
Si el movimiento de la malla temporal se da porrezonificación.
Se resuelven siempre alternadamente (por su diseño)Si el movimiento de la malla temporal es quasi-Lagrangese puede resolver:
Simultáneamente (un gran sistema)Alternadamente
![Page 83: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/83.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Solución del par de sistemas acopladosSegún el método de movimiento en el tiempo
Se debe resolver un par de sistemas acopladosLa ecuación física (PDE)La ecuación de malla.
Si el movimiento de la malla temporal se da porrezonificación.
Se resuelven siempre alternadamente (por su diseño)Si el movimiento de la malla temporal es quasi-Lagrangese puede resolver:
Simultáneamente (un gran sistema)Alternadamente
![Page 84: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/84.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Solución del par de sistemas acopladosSegún el método de movimiento en el tiempo
Se debe resolver un par de sistemas acopladosLa ecuación física (PDE)La ecuación de malla.
Si el movimiento de la malla temporal se da porrezonificación.
Se resuelven siempre alternadamente (por su diseño)
Si el movimiento de la malla temporal es quasi-Lagrangese puede resolver:
Simultáneamente (un gran sistema)Alternadamente
![Page 85: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/85.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Solución del par de sistemas acopladosSegún el método de movimiento en el tiempo
Se debe resolver un par de sistemas acopladosLa ecuación física (PDE)La ecuación de malla.
Si el movimiento de la malla temporal se da porrezonificación.
Se resuelven siempre alternadamente (por su diseño)Si el movimiento de la malla temporal es quasi-Lagrangese puede resolver:
Simultáneamente (un gran sistema)Alternadamente
![Page 86: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/86.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Esquemas de soluciones del par de sistemasacopladosSimultáneo - Alternado
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Solución simultáneaVentajas - Desventajas
Ventajas
Relativamente más cómodo.Se pueden usar directamente solvers ODE (confiables).Mejores propiedades globales de convergencia.Se tiene en cuenta la relación entre la malla y la solución del PDE.
Desventajas
El sistema acoplado puede ser feamente no lineal.Generalmente reservados a 1D.Se pierden propiedades de los sistemas desacoplados como lasparcidad, simetría, definición positiva.
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Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Solución simultáneaVentajas - Desventajas
Ventajas
Relativamente más cómodo.Se pueden usar directamente solvers ODE (confiables).Mejores propiedades globales de convergencia.Se tiene en cuenta la relación entre la malla y la solución del PDE.
Desventajas
El sistema acoplado puede ser feamente no lineal.Generalmente reservados a 1D.Se pierden propiedades de los sistemas desacoplados como lasparcidad, simetría, definición positiva.
![Page 89: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/89.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Solución simultáneaVentajas - Desventajas
Ventajas
Relativamente más cómodo.Se pueden usar directamente solvers ODE (confiables).Mejores propiedades globales de convergencia.Se tiene en cuenta la relación entre la malla y la solución del PDE.
Desventajas
El sistema acoplado puede ser feamente no lineal.Generalmente reservados a 1D.Se pierden propiedades de los sistemas desacoplados como lasparcidad, simetría, definición positiva.
![Page 90: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/90.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Solución alternadaVentajas - Desventajas
Ventajas
Funcionan bien si el paso temporal es razonablemente pequeño o lafunción u no tiene fuertes cambios en el tiempo.
Más flexibilidad: el código de la malla puede ser programadoindependientemente y luego incorporarse a un PDE solver.
Más eficiente en cada paso (las matrices tienen mejores propiedades)
Al no estar vinculada la malla a la PDE, esta no tiene que tener formade PDE, puede ser un proceso de minimización de errores.
Desventajas
Si el lag de tiempo no es el adecuado puede que se necesiten muchasiteraciones para la solución del sistema PDE físico.
![Page 91: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/91.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
Solución alternadaVentajas - Desventajas
Ventajas
Funcionan bien si el paso temporal es razonablemente pequeño o lafunción u no tiene fuertes cambios en el tiempo.
Más flexibilidad: el código de la malla puede ser programadoindependientemente y luego incorporarse a un PDE solver.
Más eficiente en cada paso (las matrices tienen mejores propiedades)
Al no estar vinculada la malla a la PDE, esta no tiene que tener formade PDE, puede ser un proceso de minimización de errores.
Desventajas
Si el lag de tiempo no es el adecuado puede que se necesiten muchasiteraciones para la solución del sistema PDE físico.
![Page 92: Introducción a Métodos de Mallas Móviles Adaptativas para ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022072814/62e178832e354673d10e337b/html5/thumbnails/92.jpg)
Ecuación de Burgers en 1D Métodos de Malla Adaptativa Movil Consideraciones finales
Componentes básicos del método de malla móvil
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