UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 1

3.4 Concepto de funcin

OBJETIVOS

Evaluar funciones en nmeros reales y expresiones algebraicas .

Encontrar el dominio de una funcin.

Reconocer si la grfica de una ecuacin es la grfica de una funcin.

Dibujar la grfica de una funcin utilizando una tabla de valores .

Resolver problemas en los cuales la solucin conduce a la construccin de una funcin.

El concepto de funcin es uno de los ms importantes en matemtica, ya que permite establecer una

correspondencia entre dos conjuntos. Histricamente tuvo que pasar mucho tiempo para que los

matemticos encontraran una forma precisa de describir las relaciones que pueden existir entre los

elementos de dos conjuntos. No fue sino hasta el siglo XIX que el matemtico Guastave Dirichlet quin

present la definicin moderna del concepto funcin, como se conoce hoy en da.

Definicin de funcin

Una funcin puede ser definida en diferentes contextos, el cuadro siguiente muestra dos definiciones

equivalentes, en la primera se presenta como una regla entre conjuntos y en la segunda se presenta

como un conjunto de pares ordenados.

D e f i n i c i n d e f u n c i n

Una funcin f de un conjunto D a un conjunto C es una regla por medio de la cual se

asigna a cada elemento x en D, uno y solo un elemento y en C.

Una funcin f de un conjunto D a un conjunto C es un conjunto de pares ordenados

( , )x y tales que a cada elemento x en D uno y solo un elemento y en C.

Al conjunto D se le llama Dominio de la funcin. A la pareja y de un elemento x en D se le llama

imagen de x en la funcin f y se representa como ( )y f x .

Al conjunto formado por todas las imgenes de los elementos x en el dominio de la funcin se le

llama rango o contradominio de la funcin.

Por ejemplo, en la figura

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 2

El dominio es el conjunto 1 2 3 4 5, , , ,D x x x x x y el rango o contradominio es el conjunto

1 2 3 4, , ,C y y y y .

Una funcin se puede representar por medio de una frmula, por medio de una tabla de valores, por

medio de una grfica o por medio de un conjunto de pares ordenados; aunque en ste curso se utilizan

principalmente las primeras 3 formas.

Notacin funcional

Considere la ecuacin 25d t que indica que la distancia d recorrida por un objeto que cae libremente

es igual a al producto de 25t , en donde t es el tiempo transcurrido desde que el objeto comienza a caer.

Como la distancia depende del tiempo transcurrido, se dice que d es una funcin de t y se expresa como

2( ) 5d f t t

En general una funcin se representa por una letra como f, g o h. Algunas funciones tienen

nombres especficos como sen, tan, etc. Si x es un elemento del dominio de una funcin f entonces ( )f x

(se lee f de x) es el elemento del rango de la funcin que corresponde al elemento del dominio x. Observe

entonces que f es el nombre de la funcin y ( )f x es la imagen de x.

Evaluacin de funciones

Para evaluar una funcin expresada por la ecuacin ( )y f x , se sustituye el valor de x en la expresin

dada y se efectan las operaciones resultantes, el un nmero x, debe estar en el dominio. El ejemplo

siguiente muestra cmo se evala una funcin.

Ejemplo 1: Evaluacin de funciones

Dada la funcin 2( ) 2 3f x x x , evale

a. ( 2)f b. (3 )f a c. 3 ( )f a d. ( 2)f a e. 2 ( ) (3)f a f

Solucin

Asumiendo que todos los nmeros en los cuales hay que evaluar la funcin estn en su

dominio se tiene

a. Para calcular ( 2)f se sustituye 2 en la expresin 22 3x x y se efectan las

operaciones resultantes

2( 2) 2( 2) 3( 2) 2(4) 6 8 6 14f

b. Se sustituye 3a por x en la expresin 22 3x x

2 2 2(3 ) 2(3 ) 3(3 ) 2(9 ) 9 18 9f a a a a a a a

c. Observe que en este caso el nmero 3 multiplica a ( )f a

2 23 ( ) 3 2 3 6 9f a a a a a

d. Se sustituye 2a por x en la funcin y luego se simplifica

2 2

2

2

( 2) 2( 2) 3( 2) 2( 4 4) 3 6

2 8 8 3 6

2 11 14

f a a a a a a

a a a

a a

e. Observe que la funcin se evala 2 veces, en x a y en 3x

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 3

2 2

2

2

2 ( ) (3) 2(2 3 ) (2(3) 3(3))

4 6 (18 9)

4 6 9

f a f a a

a a

a a

Ejemplo 2: Evaluacin de funciones

Dadas las funciones 2( ) 4 2f x x x y 2

( )2

xg x

x

, evale y simplifique

a. ( ) ( )f x h f x

h

b.

( ) ( )g x h g x

h

Solucin

a. En este caso la funcin es 2( ) 4 2f x x x . Evaluando la funcin en x h se tiene

2( ) 4 2( ) ( )f x h x h x h

Restando las dos expresiones, dividiendo entre h y simplificando

2 2

2 2 2

2

( ) ( ) 4 2( ) ( ) 4 2

4 2 2 2 4 2

( 2 2 )2 2

2 2

f x h f x x h x h x x

h h

x h x xh h x x

h

h x hh xh h

h h

x h

b. Evaluando la funcin g en x y en x h

2

( )2

xg x

x

,

2( )( )

( ) 2

x hg x h

x h

Restando las dos expresiones, dividiendo entre h y simplificando

2 2 2 2 2

2 2 2

3 2 2 2 2 3 2 2

22 2 2

( ) 2( ) ( ) ( ) 2 2 2 2

( 2 )( 2) ( 2)

( 2)( 2)

1

2 2 4 2 2

( 2)( 2)

( 4 2 )4 2

( 2)( 2) ( 2)( 2

x h x x xh h xg x h g x x h x x h x

h h h

x xh h x x x h

x h x

h

x x h h x x xh h x x h x

h x h x

h x hx x hx h h x xh h

h x h x h x h x

2

)

4 2

( 2)( 2)

x hx x h

x h x

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 4

Dominio de una funcin

Una funcin no est completamente determinada si no se da su dominio. El dominio es el conjunto de

elementos que puede tomar la variable independiente x. Este conjunto puede estar formado por

nmeros naturales, enteros, reales o por cualquier conjunto de nmeros que al ser evaluados en la regla

de correspondencia que define la funcin de como resultado un nmero real.

Cuando no se especifica el dominio de una funcin, se asume que ste ser el mayor subconjunto de

nmeros reales en el cual las imgenes obtenidas son nmeros reales. En algunos libros de texto a ste

conjunto se le llama dominio natural de la funcin.

Una vez especificado el dominio y la regla de correspondencia, el rango queda completamente

determinado, y est formado por todos los valores de ( )f x para los cuales x est en el dominio de la

funcin.

D o m i n i o d e u n a f u n c i n

Si no se indica otra cosa, el dominio de una funcin estar formado por el

subconjunto de nmeros reales para el cual la funcin da como resultado un nmero

real.

Ejemplo 3: Dominio de una funcin

Determine el dominio de las siguientes funciones

a. 2( ) 2f x x x b. ( )4

tG t

t

c. ( ) 1 2H x x

d. 2( )A r r , donde ( )A r es el rea de un crculo.

Solucin

a. La funcin 2( ) 2f x x x , solo involucra operaciones de resta, potencias y producto;

estas operaciones se pueden realizar con todos los nmeros reales. Por lo tanto el

dominio de la funcin son todos los nmeros reales, es decir que el dominio es el

intervalo ( , ) .

b. La funcin ( )4

tG t

t

, incluye en sus operaciones una divisin. Como la divisin

entre 0 no est definida, cualquier valor de t, para el cual el denominador se haga cero

no puede estar en el dominio. Cuando 4t el denominador es 0, por lo que (4)G no

est definida. Como 4t es el nico nmero real en el que no se puede evaluar la

funcin se concluye que el dominio est formado por todos los nmeros reales excepto

4. Es decir que el dominio est formado por todos los nmeros en el intervalo

,4 4,

c. La funcin ( ) 1 2H x x , incluye en sus operaciones la raz cuadrada. Para que las

imgenes sean nmeros reales es necesario que la expresin dentro del radical sea

mayor o igual a cero, ya que en otro caso el resultado es un nmero complejo, por lo

tanto

1 2 0x

Al resolver la desigualdad anterior se obtiene que 1

2x . Por lo tanto el dominio de

la funcin est formado por todos los nmeros en el intervalo 1,2

.

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 5

d. La funcin 2( )A r r est definida para todos los nmeros reales, sim embargo como

A representa el rea de un crculo de radio r, es claro que el radio no puede tomar

valores negativos. Por lo tanto el dominio de sta funcin de uso prctico es 0, .

Ejemplo 4: Dominio de una funcin

Determine el dominio de las siguientes funciones

a. 2

( )2

xg x

x

b.

2

3 2( )

6

xh x

x x

Solucin

a. El dominio de la funcin 2

( )2

xg x

x

est formado por todos los nmeros reales para

los cuales ( )g x es un nmero real. Observe que si 2x , el denominador de la

funcin se hace cero, por lo tanto 2x no pertenece al domino de la funcin. De

donde se concluye que el dominio de la funcin es

2R o bien ( ,2) (2, )

b. Para obtener el dominio de la funcin 2

3 2( )

6

xh x

x x

, primero observe que la

expresin dentro de un radical no puede ser negativa, es decir que 3 2 0x . Al

resolver sta desigualdad se tiene

3 2 0

2 3

3

2

x

x

x

Por otro lado, el denominador no puede ser cero ya que la divisin entre cero no est

definida, resolviendo la ecuacin 2 6 0x x se obtienen los valores que hacen

indefinida la funcin

2 6 0

( 3)( 2) 0

x x

x x

3x y 2x

Se concluye entonces que el dominio de la funcin est formado por todos los nmeros

menores o iguales a 3/2, excluyendo a 3 y 2, por lo que el dominio de la funcin h es

3( , 2) 2,2

Grfica de una funcin

Si un elemento a est en el dominio de una funcin, entonces el punto , ( )a f a est en la representacin

grfica de la funcin cuya ecuacin es ( )y f x , para todos los valores de x en el dominio de la funcin,

es decir es la grfica de todos los puntos de la forma ( , )x y , donde x est en el dominio de la funcin y y

est en el rango de la misma. La figura siguiente muestra algunos elementos de la grfica de una

funcin

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 6

Prueba de la recta vertical

Para establecer si una representacin grfica en el plano representa la grfica de una funcin

( )y f x se utiliza la prueba de la recta vertical. Si bien sta no es una prueba formal se puede utilizar

para establecer cuando una grfica corresponde a una funcin y cuando no

P r u e b a d e l a r e c t a v e r t i c a l

Una grfica en el plano es la grfica de una funcin si y solo si no existe recta

vertical que la intercepte en ms de un punto.

La figura siguiente muestra una grfica que no corresponde a una funcin pues hay rectas

verticales que interceptan la grfica en 3 puntos

Ejemplo 5: Grfica de una funcin

Dada la funcin ( ) 2f x x

a. Encuentre su dominio.

b. Dibuje su representacin grfica.

c. Encuentre el rango de la funcin.

Solucin

a. El dominio est dado por todos los nmeros reales tales que 2 0x . Al resolver la

desigualdad se obtiene que 2x , es decir que el dominio es el intervalo ( ,2]

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 7

b. Para dibujar la grfica se puede construir una tabla de valores asignando a x algunos

valores en el dominio de la funcin. Por ejemplo al calcular la imagen de 2x se

tiene

( 2) 2 ( 2) 4 2f

La tabla que sigue muestra otros valores para los cuales se ha evaluado la funcin,

note que los valores de x se han elegido de tal forma que las races son exactas.

x 2 1 2 7 14

y 0 1 2 3 4

Al dibujar los puntos de la tabla se obtiene la grfica de la funcin

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-1

1

2

3

4

5

x

y

c. Al observar la grfica se tiene que todas las imgenes se localizan de 0 hacia arriba,

por lo que el rango de la funcin es el intervalo [0, )

Funcin lineal

La ecuacin de una recta puede ser expresada como una funcin, llamada funcin lineal

D e f i n i c i n d e f u n c i n l i n e a l

Una funcin de la forma

( )f x mx b

donde m y b son nmeros reales, se llama funcin lineal de variable x.

La grfica de una funcin lineal es una lnea recta con pendiente m e intercepto con el eje y en el

punto (0, )b

Ejemplo 6: Grfica de una funcin lineal

Encuentre una funcin lineal con intercepto en el eje y en el punto (0,4) y que ( 3) 5f . Dibuje su

representacin grfica.

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 8

Solucin

Se busca una funcin lineal de la forma ( ) ,f x mx b como intercepta al eje y en el

punto (0,4) , se tiene que 4b . Por otro lado, si ( 3) 5f se tiene que

5 ( 3)

5 ( 3) 4

1 3

1

3

m b

m

m

m

Por lo que la funcin lineal buscada es

1( ) 4

3f x x

La representacin grfica se muestra en la siguiente figura

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2

4

6

y

x

Aplicaciones de las funciones

Muchas de las frmulas utilizadas en matemtica estn expresadas como una funcin, por ejemplo la

frmula

2A( ) 4r r

Es una funcin llamada A, que expresa que el rea de una esfera depende de la variable r, donde r es la

variable independiente y representa al radio de la esfera. El dominio de la funcin est dado por todos

los valores que puede tomar r, en el contexto del problema.

As como la funcin anterior, se pueden construir muchas funciones que permitan modelar alguna

situacin en particular como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7: Aplicaciones de las funciones

Un cono regular recto invertido tiene 10 pulgadas de radio y 20 pulgadas

de altura, como se muestra en la figura. El cono contiene una sustancia

qumica que est saliendo del mismo, de tal forma que el volumen dentro

del cono est cambiando continuamente.

a. Escriba el radio r del volumen de la sustancia en trminos de la altura

h

b. Escriba el volumen V del volumen lquido como funcin de la altura h.

c. Obtenga el dominio de la funcin.

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 9

d. Calcule la altura para la cual el volumen del lquido es la mitad del volumen total del recipiente.

Solucin

a. Para expresar el radio r como en trminos de la altura se

debe utilizar una relacin de semejanza entre tringulos.

De la figura a la derecha se tiene

10 20

10

20 2

r h

h hr

b. El volumen del lquido es el volumen de un cono de radio

r y altura h, es decir

21

3V r h

Sustituyendo 2

hr se obtiene la funcin para el volumen en trminos de h

2 2

2 31 1 1

3 3 2 3 4 12

h hV r h h h h

Es decir que la funcin que expresa el volumen en funcin de la altura es

3( )12

V h h

c. Puesto que la altura del lquido depende de las dimensiones del recipiente donde est

colocado, el cual tiene una altura de 20 pul, se tiene que 0 20h . Por lo tanto el

dominio de la funcin es el intervalo 0, 20

d. Para responder sta ltima pregunta primero se calcula el volumen total del

recipiente

21 2000(10) (20)3 3

TV

La mitad del volumen total es 2000 1000

2 6 3

TV

Sustituyendo este volumen en la funcin y despejando h

3

3

3

1000

3 12

12(1000 )

3

4000

15.87

h

h

h

h

Cuando el lquido tiene un volumen igual a la mitad de la capacidad del recipiente la

altura es 15.87 pulgadas.

r

20

10

h

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 10

Ejercicios de la seccin 3.4

En los ejercicios 1 a 6 evale la funcin en los

valores indicados y simplifique la respuesta

1. ( ) 3 2f x x

a. (2)f b. ( 1)f c. (0)f

d. 23

f e. ( )f k f. ( 2)f k

2. 2( ) 3 5g x x

a. (3)g b. ( 1)g c. (0)g

d. 32

g e. ( )g a f. ( 2)g a

3. 2( ) 3 5g x x

a. (3)g b. ( 1)g c. (0)g

d. 32

g e. ( )g a f. ( 2)g a

4. 2 5A r r

a. (0)A b. (2)A c. (10)A

d. 32

A e. ( 1)A r f. ( )A r h

5. ( )x

f xx

a. (2)f b. ( 1)f c. (0)f

d. 23

f e. ( ), 0f k k f. ( ), 0f k k

6. ( )4

xf x

x

a. (2)f b. ( 1)f c. (0)f

d. 23

f e. ( 1)f k f. ( )f a h

En los ejercicios 7 a 10 si a y h son nmeros reales

calcule ( )f a , ( )f a h , ( ) ( )f a h f a

h

y

simplifique la respuesta

7. ( ) 2 5f x x

8. 2( ) 3 2f x x x

9. ( )3

xf x

x

10. ( ) 1f x x

En los ejercicios 11 a 20 encuentre el dominio de

la funcin

11. 4

( )3

f xx

12. ( )2 5

xg x

x

13. ( ) 4h x x

14. ( ) 7 3f x x

15. 2( ) 9f x x

16. 2

( )4

xg x

x

17. 2

2 3( )

3

xf x

x x

18. 5 2

( )5 2

xg x

x

19. 2

4 3( )

4

xf x

x

20. 2

2( )

2 5 3

xh x

x x

En los ejercicios 21 a 30 trace la grfica de la

funcin. Encuentre el dominio y el rango de f

21. ( ) 2 3f x x

22. ( ) 5 3f x x

23. 2( ) 1f x x

24. 2( ) 9 3f x x

25. ( ) 2f x x

26. ( ) 3f x x

27. ( ) 1f x x

28. ( ) 2f x x

29. ( ) 2f x

30. 2( ) 9f x x

31. 2( ) 4f x x

32. 2( ) 25f x x

33. Un rectngulo tiene longitud x cm y un

permetro de 50 cm.

a. Escriba el ancho y en funcin de x.

b. Escriba el rea A del rectngulo como

funcin de x. Cul es el dominio de sta

funcin?

34. La suma de dos nmeros es 20. Si x

representa a uno de los nmeros.

UNIDAD 3 Funciones y grficas 3.4 Concepto de funcin 11

a. Escriba el segundo nmero en trminos de

x.

b. Escriba el producto P de los nmeros como

funcin de x. Indique el dominio de la

funcin.

35. Un automvil nuevo tiene un valor de

Q220,000. Suponiendo que el auto se

deprecia a razn de Q20,000 por ao durante

los primeros 8 aos. Escriba el valor V del

auto en funcin del tiempo t expresado en

aos.

36. De una lmina cuadrada de 30 por 30

pulgadas, se va a construir una caja

rectangular cortando cuadrados iguales en

cada una de las esquinas de x pulgadas por

lado. Exprese el volumen de la caja como

funcin de x y establezca el dominio de la

funcin.

30

x

37. Un tanque de acero para almacenar gas

propano ser construido en forma de cilindro

circular recto de 5 metros de largo y con una

semiesfera en cada extremo. Exprese el

volumen del tanque en funcin del radio r del

cilindro.

38. En un terreno rectangular de 100 m2, se

desea construir dos corrales iguales para

aves, como se muestra en la figura.

a. Exprese el ancho del corral y en trminos

del largo x.

b. Escriba la longitud total del material de

cercado como una funcin de x.

c. Si el material de cercado tiene un costo de

Q25 por metro lineal. Exprese el costo

total de cercar los corrales en trminos de

x.

x

y

39. Se quiere construir una pecera en forma de

caja rectangular con una capacidad de 1

metro cbico de agua. Si la pecera debe tener

una altura de 40cm.

a. Exprese el ancho y de la pecera en

trminos de su largo x.

b. Exprese la cantidad total de vidrio que se

necesita para construir la pecera como

funcin de x. Cul es el dominio de sta

funcin?

40. Se inscribe un tringulo rectngulo dentro de

un semicrculo de radio 8 cm. Si las

longitudes de los catetos del tringulo

rectngulo miden x cm y y cm.

a. Exprese y en trminos de x.

b. Exprese el rea que queda dentro del

semicrculo y fuera del tringulo

rectngulo como una funcin de x. Cul

es el dominio de sta funcin?

41. Se inscribe un cilindro circular recto dentro

de un cono de 3 cm de radio y 15 cm de

altura.

a. Exprese la altura h del cilindro en

trminos de su radio r.

b. Exprese el volumen del cilindro como una

funcin de r. Cul es el dominio de sta

funcin?