introducción al método de los elementos finitos aplicando mathcad ...

José Fernando Olmedo Salazar

INTRODUCCIÓN AL MÉTODODE LOS ELEMENTOS FINITOS

APLICANDO MATHCAD,CAMPO UNIDIMENSIONAL

1

ELEMENTOS FINITOS APLICANDO MATHCAD.

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS APLICANDO

MATHCAD, CAMPO UNIDIMENSIONAL

José Fernando Olmedo Salazar

2

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE

Introducción al método de los elementos finitos aplicando MATHCAD, campo unidimensional Ing. José Fernando Olmedo Salazar

Primera edición electrónica. Junio 2015ISBN: 978-9978-301-74-6 Par revisor: Marcelo Piován Ph.D.; Mgs. Romy Pérez

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPEGrab. Roque Moreira CedeñoRector

Publicación autorizada por:Comisión Editorial de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Edición y producciónDavid Andrade [email protected]

DiseñoPablo Zavala A.

Derechos reservados. Se prohibe la reproducción de esta obra por cualquier medio impreso, reprográfico o electrónico.

El contenido, uso de fotografías, gráficos, cuadros, tablas y referencias es de exclusiva responsabilidad del autor.

Los derechos de esta edición electrónica son de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE, para consulta de profesores y estudiantes de la universidad e investigadores en: htpp//www.repositorio.espe.edu.ec.

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPEAv. General Rumiñahui s/n, Sangolquí, Ecuador.htpp//www.espe.edu.ec

3


Agradecimientos

Agradezco al Dr. David Andrade Aguirre por su ayuda e interés, manifestado en que esta obra se culmine, como también al Dr. Marcelo Tulio Piovan por sus consejos para mejorar la misma y por sus conocimientos entregados sobre el método de elementos finitos, en el curso impartido por él, durante su estancia como Prometeo en el Ecuador. También agradezco al Ing. Romy Pérez Moreno por su tiempo dedicado a la revisión, como también al director del DECEM Ing. Carlos Naranjo G. y a todos los compañeros del departamento.

4


Resumen

El método de elementos finitos es hoy por hoy una técnica sumamente extendida a una innumerable cantidad de aplicaciones de ingeniería. Aplicar los principios a través de programación es trascendental para entender el método. Este es un primer manual que trata de exponer en una forma accesible y pedagógica las complejidades inherentes al método de elementos finitos, considerando que el estudiante que toma el curso de elementos finitos, es un estudiante de último nivel, ávido de poner en práctica los conocimientos teóricos impartidos y deseoso de experimentar con retos de la ingeniería antes que lidiar con matemática.

Para el presente trabajo nos inspiramos en algunas obras recientes como por ejemplo “Finite Element Modeling and Simulation with ANSYS Workbench de Xialin Chen”, que hacen un tránsito por el método de los elementos finitos conjugando el desarrollo teórico con aplicaciones de uno de los programas más potentes del mercado. Existen muchos textos que abordan el método con aplicaciones de Matlab, debido a que en el Departamento de Energía y Mecánica se trabaja en las asignaturas de mecanismos y vibraciones con MathCAD y puesto que los estudiantes están familiarizados con este programa, se lo aplicó con bastante éxito desde el punto de vista pedagógico que es el aspecto que nos motivaba principalmente.

Trabajar con el MathCAD significo priorizar la comprensión del método sobre la efectividad y rapidez de cálculo que podría ofrecer el Matlab, sin embargo en el capítulo I, únicamente para establecer una comparativa, se aplica para el cálculo de armaduras el programa del profesor A. J. M. Ferreira. El presente libro de texto cubre solamente la parte unidimensional a través de la aproximación directa, es decir sistemas de resortes, armaduras, vigas y pórticos planos, en una futura edición o volumen se abordará el campo bidimensional.

GENERALIDADES

1

6


7


Capítulo 1

Generalidades

1.1.- OBJETIVO DE LA ASIGNATURA:

El presente texto fue realizado para brindar a los estudiantes el adecuado apoyo en

la asignatura de Elementos Finitos Aplicados, transparentando los principios que existen

detrás de los programas comerciales que son tan extendidos en la actualidad y de uso

cotidiano en las oficinas de diseño. Básicamente se han buscado tres objetivos:

1.- Que el estudiante entienda y aplique los conceptos fundamentales del

modelamiento por elementos finitos para resolver e implementar soluciones en problemas

simples.

2.- Una vez alcanzado esto, obtener la competencia en el manejo de un software

de propósito general como ANSYS APDL sin perder de vista la teoría.

3.- Modelar problemas ingenieriles de forma profesional con el software de

elementos finitos ANSYS APDL y ANSYS WORKBENCH, licencias adquiridas por la

ESPE en el año 2012.

1.2.- INTRODUCCION:

El método de Análisis por Elementos Finitos (comúnmente llamado FEA, del

inglés Finite Element Analysis), tiene su génesis en el diseño estructural y fue

introducido por Argyris, Turner, Clough y Zienkiewicz1

1 A BRIEF HISTORY OF THE BEGINNING OF THE FINITE ELEMENT METHOD, http://ed.iitm.ac.in/~palramu/ED403_2012/Files/FEHistory_Gupta.pdf

8


Esencialmente es un método numérico que genera soluciones de tipo aproximado

para cualquier tipo de problemas de la ingeniería, incalculables con métodos matemáticos

convencionales.

El método de elementos finitos “FEM” (del inglés Finite Element Method) ha

llegado a ser un paso esencial en el diseño y modelado en varias disciplinas de Ingeniería.

La base del FEM se establece en la descomposición del dominio en un número

finito de subdominios (elementos) a los cuales se aplica leyes constitutivas y se crean un

sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas por medio de aplicar las siguientes

aproximaciones principales para construir una solución basada en el concepto de FEM:

• Aproximación directa: Esta estrategia se utiliza en problemas relativamente

simples, y sirve generalmente como medio para explicar el concepto de FEM y sus pasos

importantes.

• Residuos ponderados: Este es un método versátil, permitiendo el uso de FEM a

los problemas cuyo funcional (energía potencial) no puede ser construido. Esta

aproximación utiliza directamente las ecuaciones diferenciales de gobierno, tales como

trasferencia de calor, mecánica de fluidos y torsión.

• Aproximación variacional: Este acercamiento confía en el cálculo de variaciones,

que implica el extremar un funcional. Este funcional corresponde a la representación

energética del sistema (si es una estructura será energía potencial, si se trata de un

problema de temperatura, Energía calórica, etc)

9


Esencialmente es un método numérico que genera soluciones de tipo aproximado

para cualquier tipo de problemas de la ingeniería, incalculables con métodos matemáticos

convencionales.

El método de elementos finitos “FEM” (del inglés Finite Element Method) ha

llegado a ser un paso esencial en el diseño y modelado en varias disciplinas de Ingeniería.

La base del FEM se establece en la descomposición del dominio en un número

finito de subdominios (elementos) a los cuales se aplica leyes constitutivas y se crean un

sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas por medio de aplicar las siguientes

aproximaciones principales para construir una solución basada en el concepto de FEM:

• Aproximación directa: Esta estrategia se utiliza en problemas relativamente

simples, y sirve generalmente como medio para explicar el concepto de FEM y sus pasos

importantes.

• Residuos ponderados: Este es un método versátil, permitiendo el uso de FEM a

los problemas cuyo funcional (energía potencial) no puede ser construido. Esta

aproximación utiliza directamente las ecuaciones diferenciales de gobierno, tales como

trasferencia de calor, mecánica de fluidos y torsión.

• Aproximación variacional: Este acercamiento confía en el cálculo de variaciones,

que implica el extremar un funcional. Este funcional corresponde a la representación

energética del sistema (si es una estructura será energía potencial, si se trata de un

problema de temperatura, Energía calórica, etc)

1.3.- PROBLEMÁS TÍPICOS:

El método de elementos finitos “FEM” permite resolver problemas de

• Análisis estructural • Transferencia de calor • Fluidos • Acústica • Transporte de masa • Potencial electromagnético

Los siguientes son algunos ejemplos:

Figura 1.1. Visualización de esfuerzos de Von Mises en un modelo Formula SAE Student2.

2 Fuente propia

10


Figura 1.2. Visualización de la velocidad en una camioneta3.

Figura 1.3. Determinación de la estabilidad de un cilindro4 .

3 Fuente propia 4 Fuente propia

11


Figura 1.2. Visualización de la velocidad en una camioneta3.

Figura 1.3. Determinación de la estabilidad de un cilindro4 .


Figura 1.4. Campo Magnético con Flexpde5

1.4.- CONCEPTOS

El método de elementos finitos aborda el problema ingenieril mediante la división de un

dominio complejo en elementos no intersecantes y expresa la variable de campo

desconocida (desplazamientos, temperatura, velocidad) en términos de una función

arbitraria de aproximación (aproximar la solución), que se asume dentro de cada

elemento. Estas variables se reemplazan en la ecuación constitutiva del problema físico

que luego será incorporada a una ecuación de energía potencial que se minimiza

mediante derivación parcial para obtener la ecuación de equilibrio y la matriz de rigidez

de un elemento. La siguiente Fig. 1.5 es un mapa conceptual que ayuda a entender el

método de elementos finitos.

5 Fuente propia

12


Figura 1.5. Mapa Conceptual 6

Esta función de aproximación (también llamada función de interpolación) es definida en

términos de los valores de la variable de campo en puntos específicos referidos como

nodos. Los nodos son usualmente localizados a lo largo de los límites de los elementos y

ellos conectan elementos adyacentes.

La característica que ha hecho al método de los elementos finitos tan popular es que

puede ser dividido en un conjunto de pasos lógicos y puede ser usado para analizar un

amplio rango de problemas solo cambiando los datos de entrada del dominio. Estos

pasos se explicarán en el próximo apartado.

6 Fuente propia

13


Figura 1.5. Mapa Conceptual 6

Esta función de aproximación (también llamada función de interpolación) es definida en

términos de los valores de la variable de campo en puntos específicos referidos como

nodos. Los nodos son usualmente localizados a lo largo de los límites de los elementos y

ellos conectan elementos adyacentes.

La característica que ha hecho al método de los elementos finitos tan popular es que

puede ser dividido en un conjunto de pasos lógicos y puede ser usado para analizar un

amplio rango de problemas solo cambiando los datos de entrada del dominio. Estos

pasos se explicarán en el próximo apartado.

6 Fuente propia

1.5.- PROCEDIMIENTO:

El método de los elementos finitos requiere los siguientes pasos principales:

• Discretización del dominio en un número finito de subdominios (elementos), los

elementos deben ser lo suficientemente pequeños para dar resultados correctos y

lo suficientemente grande para reducir el esfuerzo computacional. Estos

elementos son conectados el uno al otro por sus nodos comunes, Fig. 1.6. Un

nodo especifica la localización coordinada en el espacio donde existen los grados

de libertad (desplazamientos) y las acciones del problema físico. Las incógnitas

nodales en el sistema de la matriz de ecuaciones (desplazamientos) representan

una (o más) de las variables primarias del campo. Las variables nodales asignadas

a un elemento se llaman los grados de libertad del elemento. Dependiendo del

problema se utilizan los siguientes tipos de elementos.

Figura 1.6. Discretización de dominio y de fuerzas7

7 Fuente propia

14



• Selección de las funciones de desplazamiento, para un elemento lineal es función

de una magnitud y si es bidimensional es función de x, y. El campo de

desplazamiento desconocido dentro de un elemento finito puede ser interpolado

por una distribución aproximada. Esta distribución se vuelve más exacta

conforme se consideran más elementos en el modelo y pueden ser expresadas

como funciones polinomiales que pueden ser fácilmente derivadas e integradas.

Por ejemplo, para el caso más simple de elemento finito que es el elemento barra,

los desplazamientos son expresados en términos de los desplazamientos nodales

{u1, u2} por medio del polinomio de primer grado.

! ! = 1− !! !1+ !

! !21 (1.1)

8 Daryl L. Logan, “A First Course in the Finite Element Method”, Pág. 10

15



• Selección de las funciones de desplazamiento, para un elemento lineal es función

de una magnitud y si es bidimensional es función de x, y. El campo de

desplazamiento desconocido dentro de un elemento finito puede ser interpolado

por una distribución aproximada. Esta distribución se vuelve más exacta

conforme se consideran más elementos en el modelo y pueden ser expresadas

como funciones polinomiales que pueden ser fácilmente derivadas e integradas.

Por ejemplo, para el caso más simple de elemento finito que es el elemento barra,

los desplazamientos son expresados en términos de los desplazamientos nodales

{u1, u2} por medio del polinomio de primer grado.

! ! = 1− !! !1+ !

! !21 (1.1)


Donde l es la longitud del elemento finito, x es la variable independiente y las

funciones de interpolación N1 y N2 son:

N1 = 1− xl

N2 = !! (1.2)

La figura 1.8 representa la interpolación lineal del campo de desplazamiento

dentro del elemento barra:

Figura 1.8. Representación de la interpolación lineal9

• Desarrollo de la matriz de elementos para el subdominio, utilizando las ecuaciones constitutivas

• Ensamblaje de la matriz de elementos para cada subdominio para obtener la matriz global del dominio entero

• Imposición de las condiciones de frontera

• Solución de ecuaciones

• Postprocesado

1.6.- NOTACIÓN MATRICIAL

En notación matricial, el sistema de ecuaciones global puede ser definido como

K u = F (1.3)

9 Fuente propia, Mathcad

16


Donde la matriz K representa la matriz de rigidez del sistema, u es el vector del campo

desconocido, y F es el vector de la fuerza. Dependiendo de la naturaleza del problema, K

puede ser dependiente en u, es decir, K = K (u) y F pueden ser dependientes del tiempo,

es decir, F = F (t).

Generalizando se obtiene:

F1!F1!..Fn!

=

K!! K!" . . K!"K!"..

K!!..

....

.

.

.K!" K!" . . K!!

u!v!..w!

(1.4)

Si asumimos que el desplazamiento de u1 es 1 y de v1 hasta wn es 0, se puede resolver

fácilmente el sistema

F1x = K11 F1y = K21;. . .; Fnz = Kn1

17


Donde la matriz K representa la matriz de rigidez del sistema, u es el vector del campo

desconocido, y F es el vector de la fuerza. Dependiendo de la naturaleza del problema, K

puede ser dependiente en u, es decir, K = K (u) y F pueden ser dependientes del tiempo,

es decir, F = F (t).

Generalizando se obtiene:

F1!F1!..Fn!

=

K!! K!" . . K!"K!"..

K!!..

....

.

.

.K!" K!" . . K!!

u!v!..w!

(1.4)

Si asumimos que el desplazamiento de u1 es 1 y de v1 hasta wn es 0, se puede resolver

fácilmente el sistema

F1x = K11 F1y = K21;. . .; Fnz = Kn1

1.7.- SIMPLIFICACIÓN:

Figura 1.9. Simplificaciones geométricas10

La competencia en la teoría de elementos finitos proporciona criterios para

simplificar las geometrías para optimizar recursos computacionales sin perder precisión.

1.8.- APROXIMACIÓN DIRECTA EN BASE DE LAS ECUACIONES DE

EQUILIBRIO

1.8.1.- DETERMINAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO RESORTE.

Usando la aproximación directa en base de las ecuaciones de equilibrio, se define

la matriz de rigidez para un resorte lineal de una dimensión, el resorte Fíg.1.10 obedece

la ley de Hooke y resiste fuerzas únicamente en la dirección axial.

El resorte de la figura está sometido a las fuerzas locales: f1x, f2x y sufre los

desplazamientos locales: u1, u2 por lo tanto existen 2 grados de libertad

10 Fuente propia

18


Figura 1.10. Resorte dos grados de libertad11

1.- Selección del tipo de elemento Elemento resorte lineal con 2 grados de libertad, sujeto a tensiones nodales T y con

longitud L

Figura 1.11. Resortes tensionados 12

Como se puede observar un extremo se deforma U2 y el otro U1 donde U2<U1 y por tanto

la deformación relativa total es U2-U1

2.- Seleccionar una función de desplazamiento Se debe escoger la función matemática que represente el desplazamiento bajo carga del

resorte, se selecciona en forma arbitraria una función lineal de 2 constantes, ya que el

elemento tiene 2 grados de libertad:

u = a1 + a2 x, en forma matricial se obtiene:


19


Figura 1.10. Resorte dos grados de libertad11

1.- Selección del tipo de elemento Elemento resorte lineal con 2 grados de libertad, sujeto a tensiones nodales T y con

longitud L

Figura 1.11. Resortes tensionados 12

Como se puede observar un extremo se deforma U2 y el otro U1 donde U2<U1 y por tanto

la deformación relativa total es U2-U1

2.- Seleccionar una función de desplazamiento Se debe escoger la función matemática que represente el desplazamiento bajo carga del

resorte, se selecciona en forma arbitraria una función lineal de 2 constantes, ya que el

elemento tiene 2 grados de libertad:

u = a1 + a2 x, en forma matricial se obtiene:


1 xa!a! (1.5)

Para determinar u se debe hallar las constantes a1 y a2 utilizando las condiciones de

frontera u1, u2

Cuando x= 0 u= u1; u1 = a1 + a2 (0); por

tanto a1 = u1

Cuando x = L u= u2; u2 = u1 + a2 (L); por

tanto a2 = (u2-u1)/L

u = u1+ u2− u1 !! Reordenando se

tiene

u = u1 1−xL + u2

xL = u1 N1+ u2 N2

En forma matricial

1− x/l x/l ∗ u1u2 = N1 N2 ∗ u1u2 (1.6)

Donde N1 y N2 son las funciones de forma o interpolación

Figura 1.12. Grafica de la función de interpolación13

13 Fuente propia

20


3.- Definir la relación tensión / deformación La fuerza tensora T produce una deformación δ en el resorte:

δ = u (L) – u (0) = u2 – u1

T = k δ = k (u2 – u1) (1.7)

4.- Determinar la matriz de rigidez f1x = - T = k (u1 – u2)

f2x = T = k (-u1 + u2) (1.8)

En forma matricial

k −k−k k ∗ u1

u2 = f1xf2x (1.9)

La matriz de rigidez local es por tanto:

K = k −k−k k (1.10)

5.- Ensamblar las ecuaciones de los elementos para obtener las ecuaciones globales K = k(!) F = !

!!! f (!) !!!! (1.11)

6.- Resuelva para los desplazamientos nodales ! = ! ! (1.12)

Los desplazamientos son determinados imponiéndose condiciones de frontera

7.- Resuelva las fuerzas de los elementos Las fuerzas son determinadas por sustitución inversa aplicando nuevamente (1.12)

21


3.- Definir la relación tensión / deformación La fuerza tensora T produce una deformación δ en el resorte:

δ = u (L) – u (0) = u2 – u1

T = k δ = k (u2 – u1) (1.7)

4.- Determinar la matriz de rigidez f1x = - T = k (u1 – u2)

f2x = T = k (-u1 + u2) (1.8)

En forma matricial

k −k−k k ∗ u1

u2 = f1xf2x (1.9)

La matriz de rigidez local es por tanto:

K = k −k−k k (1.10)

5.- Ensamblar las ecuaciones de los elementos para obtener las ecuaciones globales K = k(!) F = !

!!! f (!) !!!! (1.11)

6.- Resuelva para los desplazamientos nodales ! = ! ! (1.12)


7.- Resuelva las fuerzas de los elementos Las fuerzas son determinadas por sustitución inversa aplicando nuevamente (1.12)

1.9.- EJEMPLOS DE ENSAMBLE

1.9.1.- ENSAMBLAJE POR MEDIO DE ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Los pórticos, puentes y otras estructuras se componen de componentes estructurales

básicos, el primer método para determinar la matriz de rigidez global es mediante el

desarrollo de las ecuaciones de equilibrio a través de generar el diagrama de cuerpo libre

de cada elemento14

Para el elemento 1 y usando (1.9) se tiene:

!1!(!)

!3!(!)= !! −!!

−!! !!!1(!)!3(!)

Donde los superíndices se refieren al elemento

Para el elemento 2:

!3!(!)

!2!(!)= !! −!!

−!! !!!3(!)!2(!)

Debido a que el nodo 3 es común se establece la siguiente ecuación de compatibilidad

!3(!) = !3(!) = !3

Basado en las ecuaciones de equilibrio de los nodos establecemos las siguientes

ecuaciones

!1! = !1!(!) Fuerza global en 1 es igual a fuerza local del nodo 1


22


!2! = !2!(!)

!3! = !3! ! + !3! !

Por lo que

F1x = k1 u1 – k1 u3

F2x = -k2 u3 + k2 u2

F3x = (- k1 u1 + k1 u3) + (k2 u3 – k2 u2)

Re ensamblando nuevamente la matriz se tiene:

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

!1!2!3

Dónde:

!1!!2!!3!

Es el vector de fuerzas nodales globales

!1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

Es la matriz de rigidez del sistema

!1!2!3

Es el vector de desplazamiento global

1.9.2.- ENSAMBLAJE POR SUPERPOSICIÓN

Como se puede inferir si es que se aumentan los elementos, el método anterior es

impráctico. Un método más rápido es el método de superposición donde las ecuaciones

locales matriciales se expanden de la siguiente manera15:

Para el elemento 1 se tiene:


23


!2! = !2!(!)

!3! = !3! ! + !3! !

Por lo que

F1x = k1 u1 – k1 u3

F2x = -k2 u3 + k2 u2

F3x = (- k1 u1 + k1 u3) + (k2 u3 – k2 u2)

Re ensamblando nuevamente la matriz se tiene:

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

!1!2!3

Dónde:

!1!!2!!3!

Es el vector de fuerzas nodales globales

!1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

Es la matriz de rigidez del sistema

!1!2!3

Es el vector de desplazamiento global

1.9.2.- ENSAMBLAJE POR SUPERPOSICIÓN

Como se puede inferir si es que se aumentan los elementos, el método anterior es

impráctico. Un método más rápido es el método de superposición donde las ecuaciones

locales matriciales se expanden de la siguiente manera15:



!1!(!)

!3!(!)= !! −!!

−!! !!!1(!)!3(!)

!1!(!)

!2!(!)

!3!(!)=

!1 0 −!10 0 0−!1 0 !1

!1(!)!2(!)!3(!)


!3!(!)

!2!(!)= !! −!!

−!! !!!3(!)!2(!)

!1!(!)

!2!(!)

!3!(!)=

0 0 00 !2 −!20 −!2 !2

!1(!)!2(!)!3(!)

La sumatoria genera:

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

!1!2!3

1.9.3.- ENSAMBLAJE POR EXPANSIÓN DIRECTA

Un paso más en la automatización es el método de expansión directa donde las

ecuaciones locales matriciales se expanden utilizando un identificador de acuerdo al nodo

correspondiente, de la siguiente manera:

Para el elemento 1 Para el elemento 2

!(!) = 1 3!1 −!1 1−!1 !1 3

!(!) = 2 3!2 −!2 2−!2 !2 3

Luego se genera la matriz de rigidez global llenando las filas y columnas de

acuerdo a lo establecido anteriormente. Lo que se ha hecho es formar fila y columna

numerando los nodos y sumamos

! =1 2 3!10

0!2

−!1−!2

12

−!1 −!2 !1+ !2 3

24


1.9.4.- CONDICIONES DE FRONTERA HOMOGENEAS

Sin condiciones apropiadas la estructura no resistiría las fuerzas aplicadas

Figura 1.13. Condición de frontera homogénea16

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

!1!2!3

Debido a que el resorte esta empotrado en la pared se tiene que u1 = 0

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

0!2!3

Si se resuelve el sistema se obtiene el mismo resultado que eliminar la primera

fila y la primera columna puesto que es cero el primer término del vector:

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

0!2!3

!2!3 = !2 −!2

−!2 !1+ !2!! !2!

!3!

Substituyendo en la ecuación general se obtiene F1x, F2x y F3x

1.9.5.- CONDICIONES DE FRONTERA NO HOMOGENEAS

Uno o más desplazamientos no son cero, la tensión es debida al estiramiento que recibe el resorte para ensamblarlo


25


1.9.4.- CONDICIONES DE FRONTERA HOMOGENEAS

Sin condiciones apropiadas la estructura no resistiría las fuerzas aplicadas

Figura 1.13. Condición de frontera homogénea16

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

!1!2!3

Debido a que el resorte esta empotrado en la pared se tiene que u1 = 0

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

0!2!3

Si se resuelve el sistema se obtiene el mismo resultado que eliminar la primera

fila y la primera columna puesto que es cero el primer término del vector:

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

0!2!3

!2!3 = !2 −!2

−!2 !1+ !2!! !2!

!3!

Substituyendo en la ecuación general se obtiene F1x, F2x y F3x

1.9.5.- CONDICIONES DE FRONTERA NO HOMOGENEAS

Uno o más desplazamientos no son cero, la tensión es debida al estiramiento que recibe el resorte para ensamblarlo


Figura 1.14. Condición de frontera no homogénea17

!1!!2!!3!

= !1 0 −!10 !2 −!2−!1 −!2 !1+ !2

!!2!3

Se resuelve en forma convencional y puesto que F1x es desconocida

!2 −!2−!2 !1+ !2 !2!3 = !2!

!1! + !3!


26


1.10.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1.- Determine la matriz de rigidez global, los desplazamientos de los nodos 2 y 3, las

reacciones en 1 y 4, y las fuerzas en cada resorte. Una fuerza de 5000 N es aplicada en el

nodo 3 en la dirección x.

1.- Definimos las matrices de rigidez individuales

2.- Ensamblamos la matriz de rigidez global y establecemos la ecuación de elasticidad, 4

grados de libertad de los cuatro nodos la matriz es 4x4

La ecuación de rigidez es:

!1!0

5000!3!

= !1 −!1 0 0−!10

!1+ !2−!2

−!2!2+ !3

0−!3

0 0 −!3 !3

0!2!30

1 21

K 1( )k1

k1−

k1−

k1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ 2

3 43

K 3( ) k3

k3−

k3−

k3⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ 4

1 2 3 4

1

2

k1

k1−

k1−

k1 k2+

k2−

k2−

k2 k3+

k3−

k3−

k3

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

34

27


1.10.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1.- Determine la matriz de rigidez global, los desplazamientos de los nodos 2 y 3, las

reacciones en 1 y 4, y las fuerzas en cada resorte. Una fuerza de 5000 N es aplicada en el

nodo 3 en la dirección x.

1.- Definimos las matrices de rigidez individuales

2.- Ensamblamos la matriz de rigidez global y establecemos la ecuación de elasticidad, 4

grados de libertad de los cuatro nodos la matriz es 4x4

La ecuación de rigidez es:

!1!0

5000!3!

= !1 −!1 0 0−!10

!1+ !2−!2

−!2!2+ !3

0−!3

0 0 −!3 !3

0!2!30

1 21

K 1( )k1

k1−

k1−

k1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ 2

3 43

K 3( ) k3

k3−

k3−

k3⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ 4

1 2 3 4

1

2

k1

k1−

k1−

k1 k2+

k2−

k2−

k2 k3+

k3−

k3−

k3

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

34

Debido a que los desplazamientos son cero se puede eliminar la primera fila, primera

columna, así como la cuarta fila y cuarta columna

!1!0

5000!3!

= !1 −!1 0 0−!10

!1+ !2−!2

−!2!2+ !3

0−!3

0 0 −!3 !3

0!2!30

3.- Determinamos los desplazamientos y las fuerzas

!2!3 = 3000 −2000

−2000 5000!! 0

5000 = 0.9091.364

u2 = 0.909, u3 = 1.364

Mediante substitución inversa:

1000 −1000 0 0−10000

3000−2000

−20005000

0−3000

0 0 −3000 3000

00.9091.3640

=−909.091

05000−4091

F1x = -909.091 F2x = 0 F3x = 5000 F4x = -4091

4.- Determinar las fuerzas de cada elemento usando las ecuaciones locales

!1!(!)

!2!(!)= !! −!!

−!! !!!1(!)!2(!)

Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3:

28


2.- Para el ensamblaje de resortes obtenga la matriz de rigidez global, los

desplazamientos de los nodos 2, 3, 4, las fuerzas nodales globales y las fuerzas locales de

cada resorte. El nodo 1 es fijo mientras que al nodo 5 se le da un desplazamiento

conocido de 20 mm. Las constantes de los resortes son todas iguales a k = 200 kN/mm

k1 = k2 = k3 = k4 = k −k−k k = 200 −200

−200 200

La matriz de rigidez global es de 5 x 5 y relaciona fuerzas a desplazamientos como:

0 0 0 200 200 0 0 02 0 0 200 400 200 0 0

0 2 0 0 200 400 200 00 0 2 0 0 200 400 2000 0 0 0 0 0 200 200

k kk k k

k k kk k k

k k

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 200 200 0 0 0 12 200 400 200 0 0 23 0 200 400 200 0 34 0 0 200 400 200 45 0 0 0 200 200 5

F x uF x uF X uF X uF X u

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

Utilizando el formato de solución numérica de MathCAD

29


2.- Para el ensamblaje de resortes obtenga la matriz de rigidez global, los

desplazamientos de los nodos 2, 3, 4, las fuerzas nodales globales y las fuerzas locales de

cada resorte. El nodo 1 es fijo mientras que al nodo 5 se le da un desplazamiento

conocido de 20 mm. Las constantes de los resortes son todas iguales a k = 200 kN/mm

k1 = k2 = k3 = k4 = k −k−k k = 200 −200

−200 200

La matriz de rigidez global es de 5 x 5 y relaciona fuerzas a desplazamientos como:

0 0 0 200 200 0 0 02 0 0 200 400 200 0 0

0 2 0 0 200 400 200 00 0 2 0 0 200 400 2000 0 0 0 0 0 200 200

k kk k k

k k kk k k

k k

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 200 200 0 0 0 12 200 400 200 0 0 23 0 200 400 200 0 34 0 0 200 400 200 45 0 0 0 200 200 5

F x uF x uF X uF X uF X u

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

Utilizando el formato de solución numérica de MathCAD

1.11.- APROXIMACIÓN MEDIANTE ENERGÍA POTENCIAL

Otro método utilizado para obtener la matriz de rigidez es el principio de energía

potencial mínima. Este método general se utiliza para tensión y deformación plana,

tensión axisimétrico, flexión en placas y tensión en elementos sólidos. Este método es

aplicable únicamente a materiales con elasticidad lineal. El principio dice que: “De todas

las formas geométricamente posibles que un cuerpo puede asumir, la que corresponde a

la satisfacción de equilibrio estable del cuerpo, es identificada por un valor mínimo de la

energía potencial total.”18

Por lo tanto si se obtiene la energía potencial total y la minimizamos con respecto

a los desplazamientos obtendremos la matriz de rigidez.

18 David V. Hutton “Fundamentals of FINITE ELEMENT ANALYSIS, Pág. 44

30


La energía potencial total se define como la suma de la energía de deformación interna U

(relacionado a fuerzas internas) y la energía potencial de las fuerzas externas Ω, es decir,

!! = ! + Ω (1.13)

Usando integración

! = !! ! !! (1.14)

La energía potencial de las fuerzas externas que es perdida es representada por:

Ω = −! ! (1.15)

Por lo tanto:

!! =!! ! !! − ! ! (1.16)

Para aplicar el principio de energía potencial mínima debemos minimizar la función !!

!!!!"

= !! ! 2 ! − ! = 0 (1.17)

Ejemplo: Para el resorte dado evalué la energía potencial en función de x y demuestre

que la mínima energía potencial corresponde a la posición de equilibrio

Figura 1.15. Energía Potencial de un resorte19

19 Fuente propia

k 500:= F 1000:= x 50− 49.9−, 50..:= E x( )k x2⋅2

F x⋅−:=

3− 2.1− 1.2− 0.3− 0.6 1.5 2.4 3.3 4.2 5.1 61.5− 103×1.15− 103×

800−450−100−250600950

1.3 103×1.65 103×2 103×

Energía

E x( )

2

x

31


La energía potencial total se define como la suma de la energía de deformación interna U

(relacionado a fuerzas internas) y la energía potencial de las fuerzas externas Ω, es decir,

!! = ! + Ω (1.13)

Usando integración

! = !! ! !! (1.14)

La energía potencial de las fuerzas externas que es perdida es representada por:

Ω = −! ! (1.15)

Por lo tanto:

!! =!! ! !! − ! ! (1.16)

Para aplicar el principio de energía potencial mínima debemos minimizar la función !!

!!!!"

= !! ! 2 ! − ! = 0 (1.17)

Ejemplo: Para el resorte dado evalué la energía potencial en función de x y demuestre

que la mínima energía potencial corresponde a la posición de equilibrio

Figura 1.15. Energía Potencial de un resorte19

19 Fuente propia

k 500:= F 1000:= x 50− 49.9−, 50..:= E x( )k x2⋅2

F x⋅−:=

3− 2.1− 1.2− 0.3− 0.6 1.5 2.4 3.3 4.2 5.1 61.5− 103×1.15− 103×

800−450−100−250600950

1.3 103×1.65 103×2 103×

Energía

E x( )

2

x

La energía potencial mínima es -1000 N mm Usando la expresión (1.17):

!!!!" = ! ! − ! = 500 ! − 1000 = 0

Donde x = 2 mm, este valor es reemplazado en la expresión de la energía (1.16)

!! =12 ! !

! − ! ! =12 500 (2 )

! − 1000 2 = −1000 ! !!

Por lo tanto se demuestra que la energía potencial mínima corresponde con la posición de

equilibrio.

1.11.1.- DERIVACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ EN UN RESORTE

UTILIZANDO EL PRINCIPIO DE MÍNIMA ENERGÍA POTENCIAL

!! =!! ! !2− !1 ! − !1! !1− !2! !2 (1.18)

La minimización de la energía potencial requiere tomar derivadas parciales con respecto

a cada desplazamiento nodal

!!!!"1 =

12 ! −2 !2+ 2!1 − !1! = 0

!!!!"2 =

12 ! 2 !2− 2!1 − !2! = 0

Simplificando se obtiene:

! −!2+ !1 = !1!

! !2− !1 = !2!

32


Y en forma matricial

k −k−k k ∗ u1

u2 = f1xf2x

1.12.- SOLUCIÓN MEDIANTE MATHCAD

Para el ensamblaje de resortes obtenga la matriz de rigidez global, los desplazamientos de

los nodos 2, las fuerzas nodales globales y las fuerzas locales de cada resorte. k1=1000

N/mm, k2=2000 N/mm, k3 = 3000 N/mm

Figura 1.15. Sistema de resortes en serie y en paralelo20

Se ha propuesto el siguiente algoritmo de MathCAD para resolver los problemas de

resortes (utilizar el programa resorte general que acompaña al texto).

20 Fuente propia

ORIGIN 1:=

elementos 3:= nodos 4:=

conectividad

1

2

2

2

3

4

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

K k( ) k1

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:= k

1000

2000

3000

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

33


Y en forma matricial

k −k−k k ∗ u1

u2 = f1xf2x

1.12.- SOLUCIÓN MEDIANTE MATHCAD

Para el ensamblaje de resortes obtenga la matriz de rigidez global, los desplazamientos de

los nodos 2, las fuerzas nodales globales y las fuerzas locales de cada resorte. k1=1000

N/mm, k2=2000 N/mm, k3 = 3000 N/mm

Figura 1.15. Sistema de resortes en serie y en paralelo20

Se ha propuesto el siguiente algoritmo de MathCAD para resolver los problemas de

resortes (utilizar el programa resorte general que acompaña al texto).

20 Fuente propia

ORIGIN 1:=

elementos 3:= nodos 4:=

conectividad

1

2

2

2

3

4

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

K k( ) k1

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:= k

1000

2000

3000

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

La solución indica que el desplazamiento del nodo 2 es de 1/600 mm y las respectivas

fuerzas internas son -5/3,-10/3 y -5

K k1( )1 103×

1− 103×

1− 103×

1 103×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= K k2( )2 103×

2− 103×

2− 103×

2 103×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= K k3( )3 103×

3− 103×

3− 103×

3 103×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Knodos nodos, 0:=

K

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

K

Kconectividadn i, conectividadn j, , Kconectividadn i, conectividadn j, ,

Kin( )i j,

+←

j 1 2..∈for

K

i 1 2..∈for

K

n 1 elementos..∈for

K

:=

u1 0:= u3 0:= u4 0:= f2 10:=

K

u1

u2

u3

u4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

f1

f2

f3

f4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

solve u2, f1, f3, f4, 1600

53

−103

− 5−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

K

1 103×

1− 103×

0

0

1− 103×

6 103×

2− 103×

3− 103×

0

2− 103×

2 103×

0

0

3− 103×

0

3 103×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

34


1.13.- EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Para el ensamblaje de resortes obtenga la matriz de rigidez global. Resuelva con MathCAD, k = 100 N/mm

2.- Resuelva tanto con MathCAD, k = 100 N/mm y F = 1000 N

1.13.- EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Para el ensamblaje de resortes obtenga la matriz de rigidez global. Resuelva con MathCAD, k = 100 N/mm

2.- Resuelva tanto con MathCAD, k = 100 N/mm y F = 1000 N

ARMADURAS PLANAS

2

36


Capítulo 2

Armaduras Planas

2.1.- DEFINICIÓN:

Una armadura es una construcción reticulada conformada generalmente por

triángulos formados por elementos rectos y que se utiliza para soportar cargas. Las

armaduras pueden ser planas o espaciales. El análisis de armaduras dio pie al desarrollo

de la teoría de elementos finitos y su aplicación es amplia, torres, puentes, cubiertas se

fabrican a través de esta conjunción de barras que solo se pueden cargar axialmente. Ver

Fig. 2.1

Figura 2.1. Algunos tipos de armaduras planas21

21 http://es.slideshare.net/guest1f9b03a/cap6r

37


Capítulo 2

Armaduras Planas

2.1.- DEFINICIÓN:

Una armadura es una construcción reticulada conformada generalmente por

triángulos formados por elementos rectos y que se utiliza para soportar cargas. Las

armaduras pueden ser planas o espaciales. El análisis de armaduras dio pie al desarrollo

de la teoría de elementos finitos y su aplicación es amplia, torres, puentes, cubiertas se

fabrican a través de esta conjunción de barras que solo se pueden cargar axialmente. Ver

Fig. 2.1

Figura 2.1. Algunos tipos de armaduras planas21

21 http://es.slideshare.net/guest1f9b03a/cap6r

38


2.2.- DETERMINAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO BARRA:

Para determinar la ecuación de rigidez debemos analizar el elemento barra

Figura 2.2. Elemento barra horizontal22

Que tiene las siguientes características:

Fuerzas locales: f1x, f2x

Desplazamientos locales: u1, u2 por lo tanto existen 2 grados de libertad

De la ley de Hooke se obtiene las ecuaciones constitutivas:

σ! = E ϵ! (2.1)

ϵ! = !"!" (2.2)

De las condiciones de equilibrio se tiene:

A σ! = T = Constante (2.3)

Por lo tanto la derivada será cero:

!(!!!) !"

= !(!" !!) !"

=!(!" !"!")

!"= 0 (2.4)

Y está es la ecuación diferencial que gobierna el sistema y que puede ser utilizada en los

métodos de residuos ponderados. Los pasos a seguir para determinar la matriz de rigidez

son:

1.- Selección del tipo de elemento

22 Fuente propia

39


2.2.- DETERMINAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO BARRA:

Para determinar la ecuación de rigidez debemos analizar el elemento barra

Figura 2.2. Elemento barra horizontal22

Que tiene las siguientes características:

Fuerzas locales: f1x, f2x

Desplazamientos locales: u1, u2 por lo tanto existen 2 grados de libertad

De la ley de Hooke se obtiene las ecuaciones constitutivas:

σ! = E ϵ! (2.1)

ϵ! = !"!" (2.2)

De las condiciones de equilibrio se tiene:

A σ! = T = Constante (2.3)

Por lo tanto la derivada será cero:

!(!!!) !"

= !(!" !!) !"

=!(!" !"!")

!"= 0 (2.4)

Y está es la ecuación diferencial que gobierna el sistema y que puede ser utilizada en los

métodos de residuos ponderados. Los pasos a seguir para determinar la matriz de rigidez

son:


22 Fuente propia

Elemento barra con 2 grados de libertad, sujeto a tensiones nodales T y con longitud L

2.- Seleccionar una función de desplazamiento

Se debe escoger la función matemática que represente la deformada bajo carga del

resorte, se selecciona la función lineal de 2 constantes porque se tiene dos grados de

libertad: u = a1+ a2x 1 x a1a2

Se representa u en función de las condiciones de frontera u1, u2

En x = 0 u = u1;por tanto u1 = a1+ a2 0 ; a1 = u1

En x = L u = u2; por tanto u2 = u1+ a2 L ; a2 = (u2− u1)/L

u = u1+ u2− u1 (x/L)

u = u1 1−xL + u2

xL = u1 N1+ u2 N2

Figura 2.3. Grafico funciones de interpolación23

En forma matricial las funciones de interpolación se representan de la siguiente manera:

N1 N2 u1u2 1− !

! !

!u1u2 . (2.5)

23 Fuente propia

40


N1, N2 son funciones de forma o de interpolación

3.- Definir la relación tensión / deformación

La relación deformación unitaria vs desplazamiento es:

ε! = !!!!= !"!!"

! (2.6)

La relación deformación unitaria vs esfuerzo es:

σ! = E ϵ! (2.7)

4.- Determinar la matriz de rigidez del elemento

De igual manera que se realizó para el resorte

T = A σ! = AEϵ! = AE∆LL =

AEL (u2− u1)

f1x = −T = !"!(u1− u2)

f2x = T = !"!(−u1+ u2)

En forma matricial

fixf2x = AE/L 1 −1

−1 1

La matriz de rigidez local es por tanto: K = AE/L 1 −1−1 1 (2.8)

5.- Ensamblar las ecuaciones de los elementos para obtener las ecuaciones globales

Se efectúan las sumatorias respectivas

K = [k(!)]!!!! F = [f ! ]!

!!! (2.9)

6.- Resuelva para los desplazamientos nodales

F = K [d] (2.10)


41


N1, N2 son funciones de forma o de interpolación

3.- Definir la relación tensión / deformación

La relación deformación unitaria vs desplazamiento es:

ε! = !!!!= !"!!"

! (2.6)

La relación deformación unitaria vs esfuerzo es:

σ! = E ϵ! (2.7)

4.- Determinar la matriz de rigidez del elemento

De igual manera que se realizó para el resorte

T = A σ! = AEϵ! = AE∆LL =

AEL (u2− u1)

f1x = −T = !"!(u1− u2)

f2x = T = !"!(−u1+ u2)

En forma matricial

fixf2x = AE/L 1 −1

−1 1

La matriz de rigidez local es por tanto: K = AE/L 1 −1−1 1 (2.8)

5.- Ensamblar las ecuaciones de los elementos para obtener las ecuaciones globales

Se efectúan las sumatorias respectivas

K = [k(!)]!!!! F = [f ! ]!

!!! (2.9)

6.- Resuelva para los desplazamientos nodales

F = K [d] (2.10)


7.- Resuelva las fuerzas de los elementos

Las fuerzas son determinadas por sustitución inversa usando (2.10)

2.2.1.- EJERCICIO DE ENSAMBLE

Para el ensamblaje siguiente determine a) La matriz de rigidez global, b) los

desplazamientos de los nodos 2 y 3, c) Las reacciones en los nodos 1 y 4, Una fuerza de

15000 N es aplicada en el nodo 2, E = 200000 MPa y D = 25 mm para el elemento 1 y 3

y E = 100000 MPa y D = 50 mm para el elemento 2

K k( ) k1

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

n 1 elementos..:=

K k1( )2.945 105×

2.945− 105×

2.945− 105×

2.945 105×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= K k2( )5.89 105×

5.89− 105×

5.89− 105×

5.89 105×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

E1 200000:= E2 100000:=

A1π

4252⋅ 490.874=:= A2

π

4502⋅ 1.963 103×=:=

l110003

:= l210003

:=

k1E1 A1⋅

l12.945 105×=:= k2

E2 A2⋅

l25.89 105×=:=

k3 k1 2.945 105×=:=

ORIGIN 1:=

elementos 3:=

nodos 4:=

conectividad

1

2

3

2

3

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= k

k1

k2

k3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

2.945 105×

5.89 105×

2.945 105×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=:=

42


A continuación colocamos los datos conocidos y resolvemos simbólicamente

K k3( )2.945 105×

2.945− 105×

2.945− 105×

2.945 105×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Ki1 K k1( ):=

Ki2 K k2( ):=

Ki3 K k3( ):=

Knodos nodos, 0:=

K

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

K


Kin( )i j,

+←

j 1 2..∈for

K

i 1 2..∈for

K


K

:=

K

2.945 105×

2.945− 105×

0

0

2.945− 105×

8.836 105×

5.89− 105×

0

0

5.89− 105×

8.836 105×

2.945− 105×

0

0

2.945− 105×

2.945 105×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

u1 0:= u4 0:= f2 15000:= f3 0:=

43


A continuación colocamos los datos conocidos y resolvemos simbólicamente

K k3( )2.945 105×

2.945− 105×

2.945− 105×

2.945 105×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Ki1 K k1( ):=

Ki2 K k2( ):=

Ki3 K k3( ):=

Knodos nodos, 0:=

K

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

K


Kin( )i j,

+←

j 1 2..∈for

K

i 1 2..∈for

K


K

:=

K

2.945 105×

2.945− 105×

0

0

2.945− 105×

8.836 105×

5.89− 105×

0

0

5.89− 105×

8.836 105×

2.945− 105×

0

0

2.945− 105×

2.945 105×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

u1 0:= u4 0:= f2 15000:= f3 0:=

u2 = 0.03 mm u3 = 0.02 mm

f1 = -9000 N f4 = -6000 N

2.3.- ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN:

Como se puede observar en la Fig. 2.1. Las barras de las armaduras están orientadas en el

plano con un ángulo definido, es conveniente por tanto, transformar coordenadas locales

a lo largo de la barra a coordenadas globales referenciadas a un sistema de coordenadas

absoluto o viceversa. En este caso se va a relacionar los desplazamientos del sistema de

coordenadas d global (x, y) a coordenadas locales ! (x´, y´), fig. 2.4.

Figura 2.4. Barra general24

Las proyecciones del vector d en el nodo i con respecto al sistema global son:

di! = dı!cos θ − dı!sin(θ)

diy = dı!sin θ + dı!cos(θ)

24 Fuente propia

K

u1

u2

u3

u4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

f1

f2

f3

f4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

solve

f1

u2

u3

f4

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

, 9000.0− 0.0305577490736439051010.020371832715762603401 6000.0−( )→

44


Matricialmente

d!d!

= C −SS C

d!d!

(2.11)

Por lo tanto si despejamos d resolviendo el sistema de ecuaciones o invirtiendo la matriz

se obtiene:

d!cosθ + d!sinθ = d!

−d!sinθ+ d!cosθ = d!

Donde d! son los desplazamientos locales y d! son los desplazamientos globales

En forma matricial

d!d!

= C S−S !

d!d!

(2.12)

2.3.1.- RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN PARA EL VECTOR DE

DESPLAZAMIENTOS

Partiendo de la relación demostrada en (2.12) y considerando ambos nodos en una barra,

se debe expandir la matriz

d1!d2!

= C S 0 00 0 C S

d1!d1!d2!d2!

d = T d

d1! = d1! cos θ+ d1! sin θ


c

s

s−

c⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1−c

c2 s2+

s

c2 s2+−

s

c2 s2+

c

c2 s2+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

45


Matricialmente

d!d!

= C −SS C

d!d!

(2.11)

Por lo tanto si despejamos d resolviendo el sistema de ecuaciones o invirtiendo la matriz

se obtiene:

d!cosθ + d!sinθ = d!

−d!sinθ+ d!cosθ = d!

Donde d! son los desplazamientos locales y d! son los desplazamientos globales

En forma matricial

d!d!

= C S−S !

d!d!

(2.12)

2.3.1.- RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN PARA EL VECTOR DE

DESPLAZAMIENTOS

Partiendo de la relación demostrada en (2.12) y considerando ambos nodos en una barra,

se debe expandir la matriz

d1!d2!

= C S 0 00 0 C S

d1!d1!d2!d2!

d = T d



c

s

s−

c⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1−c

c2 s2+

s

c2 s2+−

s

c2 s2+

c

c2 s2+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1!d1!d2!d2!

=C S−S C

0 00 0

0 00 0

C S−S C

d1! d1!d2!d2!

d = T d (2.13)

2.3.2.- RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN PARA EL VECTOR DE FUERZAS:

Las fuerzas se transforman de igual manera que los desplazamientos:

f1!f2!

= C S 0 00 0 C S

f1!f1!f2!f2!

f = T f

f1!f1!f2!f2!

=C S−S C

0 00 0

0 00 0

C S−S C

f1! f1!f2!f2!

(2.14)

2.4.- MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ

Partiendo de la matriz local de un elemento genérico, se ensamblara la matriz global de la

estructura. Para una barra en el sistema local de coordenadas se tiene:

f1!f2!

= !"! 1 −1−1 1

d1!d2!

(2.15)

f = k d

Puesto que la barra solo soporta cargas axiales los componentes en y son nulos por tanto

la matriz local de rigidez se expande también según:

f1!f1!f2!f2!

= !"!

1 00 0

−1 00 0

−1 00 0

1 00 0

d1! d1!d2!d2!

(2.16)

Reemplazando (2.13) y (2.14) en (2.16)

46


C S−S C

0 00 0

0 00 0

C S−S C

f1! f1!f2!f2!

=A EL

1 00 0

−1 00 0

−1 00 0

1 00 0

C S−S C

0 00 0

0 00 0

C S−S C

d1! d1!d2!d2!

O lo que es lo mismo

T ∗ f = k T ∗ d

Despejando:

f = T!!kTd

La matriz global de rigidez es por tanto:

T = C−S

S 0 0C 0 0

00

0 C S0 −S C

K1 = 10

0 −1 00 0 0

−10

0 1 00 0 0

T!!k T =

C!CS

CS −C! −CSS! −CS −S!

−C!−CS

−CS C! CS−S! CS S!

K = ! !! C! CS −C! −CS

S! −CS −S!C! CS

S! Simétrica (2.17)

Se ha obtenido por tanto la relación fuerzas nodales globales con los desplazamientos

nodales globales

f1!f1!f2!f2!

= K

d1!d1!d2!d2!

f = K d (2.18)

47


C S−S C

0 00 0

0 00 0

C S−S C

f1! f1!f2!f2!

=A EL

1 00 0

−1 00 0

−1 00 0

1 00 0

C S−S C

0 00 0

0 00 0

C S−S C

d1! d1!d2!d2!

O lo que es lo mismo

T ∗ f = k T ∗ d

Despejando:

f = T!!kTd

La matriz global de rigidez es por tanto:

T = C−S

S 0 0C 0 0

00

0 C S0 −S C

K1 = 10

0 −1 00 0 0

−10

0 1 00 0 0

T!!k T =

C!CS

CS −C! −CSS! −CS −S!

−C!−CS

−CS C! CS−S! CS S!

K = ! !! C! CS −C! −CS

S! −CS −S!C! CS

S! Simétrica (2.17)

Se ha obtenido por tanto la relación fuerzas nodales globales con los desplazamientos

nodales globales

f1!f1!f2!f2!

= K

d1!d1!d2!d2!

f = K d (2.18)

2.5.- EJEMPLOS

El desplazamiento global fue determinado en d2x = 10 mm y en d2y = 20mm. Determine

el desplazamiento local !2x y !2y

θ = 60.π180

d2!d2!

= cos θ sin θ− sin θ cos θ . 1020

d2!d2!

= 22.313

Determine la matriz de rigidez global con respecto a los ejes x & y de la barra inclinada

! = 30 !!"#

! = 2 ! = 30 ∗ 10! ! = 60

48


! =!"!

cos(!)!cos(!) sin(!)

cos(!) sin(!) − cos(!)! − cos(!) sin(!)sin(!)! −(cos(!) sin(!)) − sin(!)!

− cos(!)!−(cos(!) sin(!))

−(cos(!) sin(!)) cos(!)! cos(!) sin(!)− sin(!)! cos(!) sin(!) sin(!)!

! =

7.5×10!4.33×10!

4.33×10! −7.5×10! −4.33×10!2.5×10! −4.33×10! −2.5×10!

− 7.5×10!−4.33×10!

−4.33×10! 7.5×10! 4.33×10!−2.5×10! 4.33×10! 2.5×10!

2.6.- CALCULO DE TENSIONES:

En una barra los desplazamientos se relacionan con las fuerzas según la expresión

conocida (2.8) de la cual se toma únicamente cualquiera de las dos componentes de la

matriz de rigidez local, en este caso f2!.

f1!f2!

= AE/L[ 1 −1−1 1 ]{

d1!d2!

} f2! = AE/L[−1 1]{d1!d2!

} (2.19)

De la relación siguiente:

d1!d1!d2!d2!

=C S−S C

0 00 0

0 00 0

C S−S C

d1! d1!d2!d2!

Tomando solo las componentes en x

d1!d2!

= C S0 0

0 0C S

d1! d1!d2!d2!

(2.20)

La definición del esfuerzo está dada por:

σ = !!"!

(2.21)

Combinando (2.20) en (2.19)

49


! =!"!

cos(!)!cos(!) sin(!)

cos(!) sin(!) − cos(!)! − cos(!) sin(!)sin(!)! −(cos(!) sin(!)) − sin(!)!

− cos(!)!−(cos(!) sin(!))

−(cos(!) sin(!)) cos(!)! cos(!) sin(!)− sin(!)! cos(!) sin(!) sin(!)!

! =

7.5×10!4.33×10!

4.33×10! −7.5×10! −4.33×10!2.5×10! −4.33×10! −2.5×10!

− 7.5×10!−4.33×10!

−4.33×10! 7.5×10! 4.33×10!−2.5×10! 4.33×10! 2.5×10!

2.6.- CALCULO DE TENSIONES:

En una barra los desplazamientos se relacionan con las fuerzas según la expresión

conocida (2.8) de la cual se toma únicamente cualquiera de las dos componentes de la

matriz de rigidez local, en este caso f2!.

f1!f2!

= AE/L[ 1 −1−1 1 ]{

d1!d2!

} f2! = AE/L[−1 1]{d1!d2!

} (2.19)

De la relación siguiente:

d1!d1!d2!d2!

=C S−S C

0 00 0

0 00 0

C S−S C

d1! d1!d2!d2!

Tomando solo las componentes en x

d1!d2!

= C S0 0

0 0C S

d1! d1!d2!d2!

(2.20)

La definición del esfuerzo está dada por:

σ = !!"!

(2.21)

Combinando (2.20) en (2.19)

σ = !! −1 1 d → σ = !

! −1 1 T ∗ d → σ = C´d( (2.22)

Donde C´ es

C´ = !! −1 1 C S

0 0 0 0C S → C´ = !

![−C −S C S] (2.23)

La operación se la efectúa mediante:

σ = !!− cos θ − sin θ cos θ sin θ

d1!d1!d2!d2!

(2.24)

2.7.- EJERCICIOS:

1.- Para la barra indicada en la figura determine el esfuerzo axial, si A = 4 E-4 m2, E =

210 GPa., L = 2m, Los desplazamientos globales fueron determinados d1x = 0.25 mm, d1y

= 0.0 mm, d2x = 0.50 mm y d2y = 0.75 mm

! = !¨! !¨ = !

![−! − ! ! !]

! = 210 ∗ 10! ! = 2 ! = 60 ∗!180

50


!1! =0.251000 !1! = 0 !2! =

0.51000 !2! =

0.751000

! =!! − cos ! − sin ! cos ! sin !

!1!!1!!2!!2!

! = 8.132 ∗ 10!

2.- Para la estructura plana indicada sujeta a una fuerza de 10000 N aplicada en el nodo 1

determine la matriz de rigidez, las deformaciones, las tensiones

Figura 2.5. Armadura de tres barras25

Ensamblaje Manual

Para cada barra se debe calcular la matriz simétrica

25 A.J.M. Ferreira, “Matlab Codes for Finite Element Analysis”, Pág. 54

51


!1! =0.251000 !1! = 0 !2! =

0.51000 !2! =

0.751000

! =!! − cos ! − sin ! cos ! sin !

!1!!1!!2!!2!

! = 8.132 ∗ 10!

2.- Para la estructura plana indicada sujeta a una fuerza de 10000 N aplicada en el nodo 1



Ensamblaje Manual

Para cada barra se debe calcular la matriz simétrica


k = !"! C! CS −C! −CS

S! −CS −S!C! CS

S!

Si son 4 nodos y dos grados de libertad por nodo, la matriz global es de 8x8 y por lo tanto

debemos expandir las matrices individuales

d1x d1y d2x d2y d1x d1y d3x d3y

d1x d1y d4x d4y

A continuación se procede a sumar las matrices:

Si la armadura está sujeta en los nodos 2,3 y 4 se tiene la siguiente ecuación de

elasticidad:

KtotalE Area⋅

LongK1

K2

2+ K3+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

52


Por lo que se pueden eliminar desde la segunda a la cuarta fila y columna mediante la

sentencia:

Los desplazamientos se los calcula utilizando la matriz inversa:

Ensamblaje con MathCAD

El siguiente es el algoritmo desarrollado en el archivo “armadura2.mcd”

Datos de elementos, nodos y conectividad

ORIGIN 1:= elementos 3:= nodos 4:=

conectividad

1

1

1

2

3

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

Longitud 1200:= Area 1000:= E 200000:=

Grados Longitud

Kr submatrixKtotal 0, 1, 0, 1, ( ):=

Kr2.256 105×

5.893 104×

5.893 104×

2.256 105×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

d Kr 1−0

10000−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:= d0.012

0.048−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

53


Por lo que se pueden eliminar desde la segunda a la cuarta fila y columna mediante la

sentencia:

Los desplazamientos se los calcula utilizando la matriz inversa:

Ensamblaje con MathCAD

El siguiente es el algoritmo desarrollado en el archivo “armadura2.mcd”


ORIGIN 1:= elementos 3:= nodos 4:=

conectividad

1

1

1

2

3

4

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

Longitud 1200:= Area 1000:= E 200000:=

Grados Longitud

Kr submatrixKtotal 0, 1, 0, 1, ( ):=

Kr2.256 105×

5.893 104×

5.893 104×

2.256 105×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

d Kr 1−0

10000−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:= d0.012

0.048−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

Algoritmo de adición matricial

θ

90

45

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

π

180⋅

1.571

0.785

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=:= Lo

1

2

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

Matriz de rigidez

Matriz de ceros

K θ( )

cos θ( )2

cos θ( ) sin θ( )⋅

cos θ( )2−

cos θ( ) sin θ( )⋅( )−


sin θ( )2

cos θ( ) sin θ( )⋅( )−

sin θ( )2−

cos θ( )2−

cos θ( ) sin θ( )⋅( )−

cos θ( )2


cos θ( ) sin θ( )⋅( )−

sin θ( )2−


sin θ( )2

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

:=

n 1 elementos..:=

K θ1( )

0

0

0

0

0

1

0

1−

0

0

0

0

0

1−

0

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= K θ2( )

0.5

0.5

0.5−

0.5−

0.5

0.5

0.5−

0.5−

0.5−

0.5−

0.5

0.5

0.5−

0.5−

0.5

0.5

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= K θ3( )

1

0

1−

0

0

0

0

0

1−

0

1

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

Kt1 2 nodos⋅, 0:= Kt2 nodos⋅ 1, 0:=

Kt

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= fuerza

0

10000−

f2x

f2y

f3x

f3y

f4x

f4y

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

f2x

d

d1x

d1y

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

d1x

54


Kt

p conectividadn 1, ←

q conectividadn 2, ←

r q p−←

Ktp p, Ktp p, K θn( )( )1 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp p 1+, Ktp p 1+,

K θn( )( )1 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp q r+, Ktp q r+,

K θn( )( )1 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp q r+ 1+, Ktp q r+ 1+,

K θn( )( )1 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ p, Ktp 1+ p, K θn( )( )2 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ p 1+, Ktp 1+ p 1+,

K θn( )( )2 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ q r+, Ktp 1+ q r+,

K θn( )( )2 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ q r+ 1+, Ktp 1+ q r+ 1+,

K θn( )( )2 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ p, Ktq r+ p, K θn( )( )3 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ p 1+, Ktq r+ p 1+,

K θn( )( )3 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ q r+, Ktq r+ q r+,

K θn( )( )3 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ q r+ 1+, Ktq r+ q r+ 1+,

K θn( )( )3 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ p, Ktq r+ 1+ p, K θn( )( )4 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ p 1+, Ktq r+ 1+ p 1+,

K θn( )( )4 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ q r+, Ktq r+ 1+ q r+,

K θn( )( )4 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ q r+ 1+, Ktq r+ 1+ q r+ 1+,

K θn( )( )4 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Kt


Kt Kt E⋅AreaLongitud⋅←

:=

55


Kt



r q p−←

Ktp p, Ktp p, K θn( )( )1 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp p 1+, Ktp p 1+,

K θn( )( )1 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp q r+, Ktp q r+,

K θn( )( )1 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


K θn( )( )1 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ p, Ktp 1+ p, K θn( )( )2 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ p 1+, Ktp 1+ p 1+,

K θn( )( )2 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


K θn( )( )2 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ q r+ 1+, Ktp 1+ q r+ 1+,

K θn( )( )2 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


+←


K θn( )( )3 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


K θn( )( )3 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ q r+ 1+, Ktq r+ q r+ 1+,

K θn( )( )3 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


+←

Ktq r+ 1+ p 1+, Ktq r+ 1+ p 1+,

K θn( )( )4 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ q r+, Ktq r+ 1+ q r+,

K θn( )( )4 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ q r+ 1+, Ktq r+ 1+ q r+ 1+,

K θn( )( )4 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Kt



:=

Se despliega la matriz global

Se plantea solución simbólica mediante

Los desplazamientos son:

La substitución inversa se la procesa mediante:

Kt

2.256 105×

5.893 104×

0

1.021− 10 11−×

5.893− 104×

5.893− 104×

1.667− 105×

0

5.893 104×

2.256 105×

1.021− 10 11−×

1.667− 105×

5.893− 104×

5.893− 104×

0

0

0

1.021− 10 11−×

0

1.021 10 11−×

0

0

0

0

1.021− 10 11−×

1.667− 105×

1.021 10 11−×

1.667 105×

0

0

0

0

5.893− 104×

5.893− 104×

0

0

5.893 104×

5.893 104×

0

0

5.893− 104×

5.893− 104×

0

0

5.893 104×

5.893 104×

0

0

1.667− 105×

0

0

0

0

0

1.667 105×

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Kt d⋅ fuerza solve

d1x

d1y

f2x

f2y

f3x

f3y

f4x

f4y

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, 0.012426 0.047574− 1.5248e-13 7928.9 2071.1 2071.1 2071.1− 0( )→

d1x 0.012426:= d1y 0.047574−:=

Kt

d1x

d1y

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

0

10− 103×

0

7.929 103×

2.071 103×

2.071 103×

2.071− 103×

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= dd1x

d1y⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

12.426 10 3−×

47.574− 10 3−×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=

56


Parte del postproceso es graficar la deformada

0 500 1 103×

0

500

1 103×

DEFORMADA DE LA ESTRUCTURA

Ay

By

Cy

A1y

B1y

C1y

Ax Bx, Cx, A1x, B1x, C1x,

Figura 2.6. Deformada26

26 Fuente propia, programa MathCAD

fact 1000:=

df fact d⋅:=

Ax0 df1+

0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= Ay0 df2+

Longitud

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= A1x0

0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= A1y0

Longitud⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Bx0 df1+

Longitud

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= By0 df2+

0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B1x0

Longitud⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B1y0

0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Cx0 df1+

Longitud

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= Cy0 df2+

Longitud

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= C1x0

Longitud⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= C1y0

Longitud⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

57


Parte del postproceso es graficar la deformada

0 500 1 103×

0

500

1 103×

DEFORMADA DE LA ESTRUCTURA

Ay

By

Cy

A1y

B1y

C1y

Ax Bx, Cx, A1x, B1x, C1x,

Figura 2.6. Deformada26


fact 1000:=

df fact d⋅:=

Ax0 df1+

0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= Ay0 df2+

Longitud

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= A1x0

0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= A1y0

Longitud⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Bx0 df1+

Longitud

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= By0 df2+

0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B1x0

Longitud⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B1y0

0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Cx0 df1+

Longitud

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= Cy0 df2+

Longitud

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= C1x0

Longitud⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= C1y0

Longitud⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Calculo de tensiones

Para determinar las tensiones en cada barra utilizamos la expresión (2.24):

! =!! − cos ! − sin ! cos ! sin ! ∗

!1!!1!!2!!2!

θ

90

45

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

π

180⋅

1.571

0.785

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=:= Lo

1

2

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

σ1E

Lo1 Longitud⋅cos θ1( )− sin θ1( )− cos θ1( ) sin θ1( )( )⋅

d1x

d1y

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ 7.929=:=

σ2E


d1x

d1y

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ 2.929=:=

σ3E


d1x

d1y

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ 2.071−=:=

58


3.- Para la estructura plana indicada sujeta a las fuerzas indicadas aplicada en el nodo 3,


Figura 2.7. Armadura, números en negro nodos, números en rojo elementos27

27 Fuente propia

ORIGIN 1:=

elementos 4:=

nodos 4:=

Area 300:= E 200000:= Longitud 1500:=


Grados Longitud

Lo

1

2

1

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=θ

0

45

90

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

π

180⋅

0

0.785

1.571

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=:=

conectividad

1

1

2

4

2

3

3

3

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

59


3.- Para la estructura plana indicada sujeta a las fuerzas indicadas aplicada en el nodo 3,


Figura 2.7. Armadura, números en negro nodos, números en rojo elementos27

27 Fuente propia

ORIGIN 1:=

elementos 4:=

nodos 4:=

Area 300:= E 200000:= Longitud 1500:=


Grados Longitud

Lo

1

2

1

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=θ

0

45

90

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

π

180⋅

0

0.785

1.571

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=:=

conectividad

1

1

2

4

2

3

3

3

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

K θ( )

cos θ( )2


cos θ( )2−

cos θ( ) sin θ( )⋅( )−


sin θ( )2

cos θ( ) sin θ( )⋅( )−

sin θ( )2−

cos θ( )2−

cos θ( ) sin θ( )⋅( )−

cos θ( )2


cos θ( ) sin θ( )⋅( )−

sin θ( )2−


sin θ( )2

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

:=

n 1 elementos..:=

K θ1( )

1

0

1−

0

0

0

0

0

1−

0

1

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= K θ2( )

0.5

0.5

0.5−

0.5−

0.5

0.5

0.5−

0.5−

0.5−

0.5−

0.5

0.5

0.5−

0.5−

0.5

0.5

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= K θ3( )

1

0

1−

0

0

0

0

0

1−

0

1

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

K θ4( )

0

0

0

0

0

1

0

1−

0

0

0

0

0

1−

0

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

Matriz de rigidez

Matriz de ceros

Kt1 2 nodos⋅, 0:= Kt2 nodos⋅ 1, 0:=

Kt

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= fuerza

f1x

f1y

0

0

5000

3000

f4x

f4y

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

f1x

d

0

0

d2x

d2y

d3x

d3y

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

d2x

60


Kt



r q p−←

Ktp p, Ktp p, K θn( )( )1 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp p 1+, Ktp p 1+,

K θn( )( )1 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp q r+, Ktp q r+,

K θn( )( )1 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


K θn( )( )1 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ p, Ktp 1+ p, K θn( )( )2 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ p 1+, Ktp 1+ p 1+,

K θn( )( )2 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


K θn( )( )2 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ q r+ 1+, Ktp 1+ q r+ 1+,

K θn( )( )2 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


+←


K θn( )( )3 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


K θn( )( )3 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ q r+ 1+, Ktq r+ q r+ 1+,

K θn( )( )3 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


+←

Ktq r+ 1+ p 1+, Ktq r+ 1+ p 1+,

K θn( )( )4 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ q r+, Ktq r+ 1+ q r+,

K θn( )( )4 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ q r+ 1+, Ktq r+ 1+ q r+ 1+,

K θn( )( )4 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Kt



:=

61


Kt



r q p−←

Ktp p, Ktp p, K θn( )( )1 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp p 1+, Ktp p 1+,

K θn( )( )1 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp q r+, Ktp q r+,

K θn( )( )1 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


K θn( )( )1 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ p, Ktp 1+ p, K θn( )( )2 1, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ p 1+, Ktp 1+ p 1+,

K θn( )( )2 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


K θn( )( )2 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktp 1+ q r+ 1+, Ktp 1+ q r+ 1+,

K θn( )( )2 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


+←


K θn( )( )3 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


K θn( )( )3 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ q r+ 1+, Ktq r+ q r+ 1+,

K θn( )( )3 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←


+←

Ktq r+ 1+ p 1+, Ktq r+ 1+ p 1+,

K θn( )( )4 2, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ q r+, Ktq r+ 1+ q r+,

K θn( )( )4 3, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Ktq r+ 1+ q r+ 1+, Ktq r+ 1+ q r+ 1+,

K θn( )( )4 4, ⎡⎣ ⎤⎦Lon

+←

Kt



:=

Kt

5.414 104×

1.414 104×

4− 104×

0

1.414− 104×

1.414− 104×

0

0

1.414 104×

5.414 104×

2.449 10 12−×

4− 104×

1.414− 104×

1.414− 104×

0

0

4− 104×

2.449 10 12−×

8 104×

2.449− 10 12−×

4− 104×

0

0

0

0

4− 104×

2.449− 10 12−×

4 104×

2.449 10 12−×

0

0

0

1.414− 104×

1.414− 104×

4− 104×

2.449 10 12−×

5.414 104×

1.414 104×

0

0

1.414− 104×

1.414− 104×

0

0

1.414 104×

1.414 104×

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Kt d⋅ fuerza solve

d2x

d2y

d3x

d3y

f1x

f1y

f4x

f4y

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, 0.049999999999999995558 9.6156608458240956913e-19− 0.099999999999999991117 0.11213203435596427285 5000.0− 3000.0− 0 0( )→

d2x 0.05:= d2y 0:= d3x 0.0999:= d3y 0.11213:=

Kt

0

0

d2x

d2y

d3x

d3y

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

4.999− 103×

2.999− 103×

4

1.222 10 13−×

4.995 103×

2.999 103×

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= d

0

0

d2x

d2y

d3x

d3y

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

0

0

0.05

0

0.1

0.112

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:=

Nodeforx

0

Longitud

Longitud

0

0

Longitud

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:= Nodefory

0

0

Longitud

Longitud

0

Longitud

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

62


Figura 2.7. Deformada de la armadura de la Fig. 2.628

28 Fuente propia

defory

0

0 df4+

Longitud df6+

Longitud

0

Longitud df6+

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=deforx

0

Longitud df3+

Longitud df5+

0

0

Longitud df5+

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

63


Figura 2.7. Deformada de la armadura de la Fig. 2.628

28 Fuente propia

defory

0

0 df4+

Longitud df6+

Longitud

0

Longitud df6+

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=deforx

0

Longitud df3+

Longitud df5+

0

0

Longitud df5+

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

2.8.- RESOLUCIÓN CON MATLAB SEGÚN A.J.M. FERREIRA29

Debido a la opción de evaluación simbólica de MathCAD, problemas con mayor número

de barras requieren una programación más elaborada por lo que se ha optado por la

alternativa presentada por A.J.M. Ferreira, “Matlab Codes for Finite Element Analysis”,

los archivos .m que se necesitan para resolver problemas sencillos de armaduras planas se

presentan. Los archivos se descargan de la página: http://extras.springer.com/2009/978-1-

4020-9199-5/MATLABsoftware



64


Las propiedades físicas se dan con los siguientes comandos:

La generación de coordenadas se obtiene ingresando

Número de elementos = 3

Número de Nodos = 4

Conexiones = [1 2; 1 3; 1 4]

Coordenadas de los nodos = [0 0; 0 1200; 1200 1200; 1200 0];


%................................................................ % MATLAB codes for Finite Element Analysis % problem4.m % Antonio Ferreira 2008 % clear memory clear all clc % E; modulus of elasticity % A: area of cross section % L: length of bar E=200000; A=1000; EA=E*A;

% generation of coordinates and connectivities numberElements=3; numberNodes=4; %conectividad elementNodes=[1 2;1 3;1 4]; nodeCoordinates=[ 0 0;0 1200;1200 1200;1200 0]; xx=nodeCoordinates(:,1); yy=nodeCoordinates(:,2);

xx = 0 0 1200 1200

yy = 0 1200 1200 0

65


Las propiedades físicas se dan con los siguientes comandos:

La generación de coordenadas se obtiene ingresando

Número de elementos = 3

Número de Nodos = 4

Conexiones = [1 2; 1 3; 1 4]

Coordenadas de los nodos = [0 0; 0 1200; 1200 1200; 1200 0];


%................................................................ % MATLAB codes for Finite Element Analysis % problem4.m % Antonio Ferreira 2008 % clear memory clear all clc % E; modulus of elasticity % A: area of cross section % L: length of bar E=200000; A=1000; EA=E*A;

% generation of coordinates and connectivities numberElements=3; numberNodes=4; %conectividad elementNodes=[1 2;1 3;1 4]; nodeCoordinates=[ 0 0;0 1200;1200 1200;1200 0]; xx=nodeCoordinates(:,1); yy=nodeCoordinates(:,2);

xx = 0 0 1200 1200

yy = 0 1200 1200 0

Aplicación de la fuerza según el siguiente esquema

Figura 2.9.Ordenamiento de fuerzas31

Por lo tanto corresponde una fuerza en (2) de -10000

El vector fuerza queda:

force = 0 -10000 0 0 0 0 0 0


% for structure: % displacements: displacement vector % force : force vector % stiffness: stiffness matrix GDof=2*numberNodes; % GDof: total number of degrees of freedom displacements=zeros(GDof,1); force=zeros(GDof,1); % applied load at node 2 force(2)=-10000.0

66


Llamado a subrutina para la evaluación de la matriz de rigidez formStiffness2Dtruss , en

este punto de dan los grados de libertad restringidos y se direcciona a la subrutina

solution

POSTPROCESADO

% drawing displacements us=1:2:2*numberNodes-1; vs=2:2:2*numberNodes; figure L=xx(2)-xx(1); %L=node(2,1)-node(1,1); XX=displacements(us);YY=displacements(vs); dispNorm=max(sqrt(XX.^2+YY.^2)); scaleFact=15000*dispNorm; clf hold on drawingMesh(nodeCoordinates+scaleFact*[XX YY],elementNodes,'L2','k.-'); drawingMesh(nodeCoordinates,elementNodes,'L2','k.--'); % stresses at elements stresses2Dtruss(numberElements,elementNodes,... xx,yy,displacements,E) % output displacements/reactions outputDisplacementsReactions(displacements,stiffness,GDof,prescribedDof)

% computation of the system stiffness matrix [stiffness]=... formStiffness2Dtruss(GDof,numberElements,elementNodes,numberNodes,nodeCoordinates,xx,yy,EA); % boundary conditions and solution prescribedDof= [3 4 5 6 7 8]'; % solution displacements=solution(GDof,prescribedDof,stiffness,force);

67


Llamado a subrutina para la evaluación de la matriz de rigidez formStiffness2Dtruss , en

este punto de dan los grados de libertad restringidos y se direcciona a la subrutina

solution

POSTPROCESADO

% drawing displacements us=1:2:2*numberNodes-1; vs=2:2:2*numberNodes; figure L=xx(2)-xx(1); %L=node(2,1)-node(1,1); XX=displacements(us);YY=displacements(vs); dispNorm=max(sqrt(XX.^2+YY.^2)); scaleFact=15000*dispNorm; clf hold on drawingMesh(nodeCoordinates+scaleFact*[XX YY],elementNodes,'L2','k.-'); drawingMesh(nodeCoordinates,elementNodes,'L2','k.--'); % stresses at elements stresses2Dtruss(numberElements,elementNodes,... xx,yy,displacements,E) % output displacements/reactions outputDisplacementsReactions(displacements,stiffness,GDof,prescribedDof)

% computation of the system stiffness matrix [stiffness]=... formStiffness2Dtruss(GDof,numberElements,elementNodes,numberNodes,nodeCoordinates,xx,yy,EA); % boundary conditions and solution prescribedDof= [3 4 5 6 7 8]'; % solution displacements=solution(GDof,prescribedDof,stiffness,force);

Figura 2.9.Postprocesado32

SUBRUTINAS FORMSTIFFNESS2DTRUSS:

SUBRUTINA SOLUTION:

32 A.J.M. Ferreira, “Postprocesado, (Ferreira,2008)”,

function [stiffness]=... formStiffness2Dtruss(GDof,numberElements,elementNodes,numberNodes,nodeCoordinates,xx,yy,EA); stiffness=zeros(GDof); % computation of the system stiffness matrix for e=1:numberElements; % elementDof: element degrees of freedom (Dof) indice=elementNodes(e,:) ; elementDof=[ indice(1)*2-1 indice(1)*2 indice(2)*2-1 indice(2)*2] ; xa=xx(indice(2))-xx(indice(1)); ya=yy(indice(2))-yy(indice(1)); length_element=sqrt(xa*xa+ya*ya); C=xa/length_element; S=ya/length_element; k1=EA/length_element*... [C*C C*S -C*C -C*S; C*S S*S -C*S -S*S; -C*C -C*S C*C C*S;-C*S -S*S C*S S*S]; stiffness(elementDof,elementDof)=... stiffness(elementDof,elementDof)+k1; end

%................................................................ function displacements=solution(GDof,prescribedDof,stiffness,force) % function to find solution in terms of global displacements activeDof=setdiff([1:GDof]', ... [prescribedDof]); U=stiffness(activeDof,activeDof)\force(activeDof); displacements=zeros(GDof,1); displacements(activeDof)=U;

68


SUBRUTINA TENSIONES

Considere la armadura plana mostrada en la figura dado:

Stresses ans = 7.9289

2.9289

-2.0711

SUBRUTINA DESPLAZAMIENTOS Y REACCIONES

function stresses2Dtruss(numberElements,elementNodes,... xx,yy,displacements,E) % stresses at elements for e=1:numberElements indice=elementNodes(e,:); elementDof=[ indice(1)*2-1 indice(1)*2 indice(2)*2-1 indice(2)*2] ; xa=xx(indice(2))-xx(indice(1)); ya=yy(indice(2))-yy(indice(1)); length_element=sqrt(xa*xa+ya*ya); C=xa/length_element; S=ya/length_element; sigma(e)=E/length_element* ... [-C -S C S]*displacements(elementDof); end disp('stresses') sigma'

69


SUBRUTINA TENSIONES

Considere la armadura plana mostrada en la figura dado:

Stresses ans = 7.9289

2.9289

-2.0711

SUBRUTINA DESPLAZAMIENTOS Y REACCIONES

function stresses2Dtruss(numberElements,elementNodes,... xx,yy,displacements,E) % stresses at elements for e=1:numberElements indice=elementNodes(e,:); elementDof=[ indice(1)*2-1 indice(1)*2 indice(2)*2-1 indice(2)*2] ; xa=xx(indice(2))-xx(indice(1)); ya=yy(indice(2))-yy(indice(1)); length_element=sqrt(xa*xa+ya*ya); C=xa/length_element; S=ya/length_element; sigma(e)=E/length_element* ... [-C -S C S]*displacements(elementDof); end disp('stresses') sigma'

2.9.- RESOLUCIÓN CON ANSYS APDL

%................................................................ function outputDisplacementsReactions... (displacements,stiffness,GDof,prescribedDof) % output of displacements and reactions in % tabular form % GDof: total number of degrees of freedom of % the problem % displacements disp('Displacements') %displacements=displacements1; jj=1:GDof; format [jj' displacements] % reactions F=stiffness*displacements; reactions=F(prescribedDof); disp('reactions') [prescribedDof reactions]

70


Determine las deflexiones nodales, fuerzas de reacción y tensiones para el sistema de

armadura indicado: (E = 200GPa, A = 1021mm2).

Figura 2.10.Ejemplo de Armadura33

Las unidades en que se trabajará son mm y N/mm2

1.- Cambie el título del programa a tutorial de armadura para puente:

En el Utility menu bar seleccione File < Change Title:

Luego ir a Plot < Replot para visualizar el titulo

2. Crear la geometría

Ingresar Keypoints de acuerdo a la tabla siguiente:

33 Fuente propia,

71


Determine las deflexiones nodales, fuerzas de reacción y tensiones para el sistema de

armadura indicado: (E = 200GPa, A = 1021mm2).

Figura 2.10.Ejemplo de Armadura33

Las unidades en que se trabajará son mm y N/mm2

1.- Cambie el título del programa a tutorial de armadura para puente:

En el Utility menu bar seleccione File < Change Title:

Luego ir a Plot < Replot para visualizar el titulo

2. Crear la geometría


33 Fuente propia,

Tabla 2.1. Coordenadas en los nodos. Keypoint x y 1 0 0 2 3650 0 3 7300 0 4 10950 0 5 14600 0 6 0 6000 7 3650 5250 8 7300 4500 9 10950 3750 10 14600 3000

Usar Preprocessor < Modeling < Create < Keypoints < In Active CS

Clic en Apply para aceptar el resultado, El resultado es el siguiente:

Figura 2.11.Visualización de keypoints34

Si se desea cambiar el fondo de pantalla mediante:

34 Software Ansys APDL,

72


Plot Ctrls < Style < Colors < Reverse Video

Para dibujar las líneas se selecciona:

Preprocessor < Modeling < Create < Lines < Lines < In Active Coord

Con el mouse se selecciona señalando los Keypoints hasta obtener la armadura, no se

debe saltar ningún Keypoint:

Figura 2.12.Visualización de la armadura35

En caso de que desaparezcan las líneas las volver a activar con plot < lines


73


Plot Ctrls < Style < Colors < Reverse Video

Para dibujar las líneas se selecciona:


Con el mouse se selecciona señalando los Keypoints hasta obtener la armadura, no se

debe saltar ningún Keypoint:

Figura 2.12.Visualización de la armadura35

En caso de que desaparezcan las líneas las volver a activar con plot < lines


3.- DEFINA EL TIPO DE ELEMENTO

Seleccione: Element Type < Add/Edit/Delete y 3D finit stn 180

Este elemento finito LINK180 puede modelar armaduras bidimensionales o

tridimensionales, cables y resortes.

4.- DEFINIR PROPIEDADES GEOMÉTRICAS

Con: Real Constants < Add/Edit/Delete, En área colocar 1021 mm2 correspondiente a

un miembro estructural rectángulo de 120 x 60 x 3

5.- DEFINIR PROPIEDADES DEL MATERIAL

74


En Preprocessor seleccionar Material Props < Material Models

Seleccionar material elástico, lineal e isotrópico, llenar en el campo de Módulo de

elasticidad el valor de E = 200000 MPa, y coeficiente de Poisson, 0.3.

Ok y Material < Exit

6.- MALLADO

En este caso los elementos finitos son las barras por lo tanto el número de divisiones a

utilizarse es 1

Seleccione Meshing < MeshTool

75


En Preprocessor seleccionar Material Props < Material Models

Seleccionar material elástico, lineal e isotrópico, llenar en el campo de Módulo de

elasticidad el valor de E = 200000 MPa, y coeficiente de Poisson, 0.3.

Ok y Material < Exit

6.- MALLADO

En este caso los elementos finitos son las barras por lo tanto el número de divisiones a

utilizarse es 1

Seleccione Meshing < MeshTool

Lines Set < Pick All

76


Luego Meshing < MeshTool < Mesh

Para numerar los elementos ir a Utility Menu seleccionar PlotCtrls < Numbering...

Y numerar según nodos o elementos

Figura 2.13.Mallado de la armadura36


77


Luego Meshing < MeshTool < Mesh

Para numerar los elementos ir a Utility Menu seleccionar PlotCtrls < Numbering...

Y numerar según nodos o elementos

Figura 2.13.Mallado de la armadura36


7.- FASE DE SOLUCIÓN

Definimos el tipo de análisis

Se selecciona: Solution Menu < Analysis Type < New Analysis < Static.

Y se verifica que este selecciuonada la opción Static

El nodo 2 es totalmente restringido, por lo tanto se selecciona a:

Define Loads < Apply < Structural < Displacement < On Keypoints

78


El nodo 1 está sujeto a un rodillo por lo que no se permite el desplazamiento en x

Las restricciones se observan en la Fig. 2.14

Figura 2.14.Restricciones de la armadura37


79


El nodo 1 está sujeto a un rodillo por lo que no se permite el desplazamiento en x

Las restricciones se observan en la Fig. 2.14

Figura 2.14.Restricciones de la armadura37


8.- APLICAR CARGAS

Aplicar las cargas especificadas en la Fig.2.10 respectivamente.

Figura 2.15.Sistema de cargas38

Resolver el sistema de ecuaciones mediante: Solution < Solve < Current LS. Aparecerá

el mensaje: Solution is done 38 Software Ansys APDL,

80


9.- POSTPROCESADO REVISIÓN DE RESULTADOS

General Postproc < List Results < Reaction Solution, escoger All Items

Plot Results < Deformed Shape

Figura 2.16. Deformada del sistema39


81


9.- POSTPROCESADO REVISIÓN DE RESULTADOS

General Postproc < List Results < Reaction Solution, escoger All Items


Figura 2.16. Deformada del sistema39


La deflexión puede ser obtenido también como una lista con: General Postproc < List

Results < Nodal Solution

Figura 2.17.Esfuerzos de Von Mises40


82


10. DETERMINACIÓN DE LATENSIÓN AXIAL

Para definir el comando correspondiente a la tensión axial efectuar el siguiente

procedimiento: Escribir en la línea de comandos HELP LINK180 para obtener la

información del elemento en particular.

Figura 2.17.Help Ansys APDL41

Se despliega la información del elemento y debemos buscar las variables de salida


83


10. DETERMINACIÓN DE LATENSIÓN AXIAL

Para definir el comando correspondiente a la tensión axial efectuar el siguiente

procedimiento: Escribir en la línea de comandos HELP LINK180 para obtener la

información del elemento en particular.

Figura 2.17.Help Ansys APDL41

Se despliega la información del elemento y debemos buscar las variables de salida


La variable Sxx es la que se quiere graficar. Este parámetro está asociado con el Item LS

como se observa en la tabla 180.2

Se selecciona entonces a:

General Postprocessor < Element Table < Define Table

Seleccionar Add y escribir en los cuadros de dialogo Tensión axial, seleccionar

By sequence num y ponga 1 después de LS

84


Grafique las tensiones seleccionando General Postproc < Plot Results < Contour Plot

Element Table < Plot Elem Table

Figura 2.18.Tensiones en las barras42


85


Donde se especifican las tensiones axiales en MPa y los elementos en rojo están en

tensión y los azules en compresión. Con estos datos y el perfil estructural se podría

determinar el diseño de la estructura. Igual se pueden listar las tensiones

General Postproc < List Results < Element Table data < TENSION_AXIAL

86


ANÁLISIS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOSFINITOS ELEMENTOS A FLEXIÓN. VIGAS

3

88


89


Capítulo 3

Análisis por el método de elementos finitos de elementos a flexión. Vigas

Figura 3.1.Viga IPN43

3.1.- DETERMINAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO VIGA

Una viga es un elemento largo y delgado, sujeto a carga transversal que produce

significativos efectos de flexión, esta flexión es medida como un desplazamiento

transversal y una rotación, por lo tanto los grados de libertad por nodo son dos. La viga

es un elemento fundamental en la construcción de edificaciones, máquinas, etc.

Figura 3.2.Elemento viga 44

43 Fuente Propia

90


En un elemento finito para una viga se presentan los siguientes parámetros

Fuerzas locales: f i

Momentos flexores locales: m i, positivo en la dirección anti horaria

Desplazamientos locales: d i

Rotaciones: Фi

3.1.1.- ECUACIONES CONSTITUTIVAS

La ecuación diferencial que gobierna una viga se la obtiene del desarrollo de la viga de

Euler - Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga,

siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez que se ha curvado.

Figura 3.3.Elementodiferencial viga 45

Efectuando el análisis en un elemento diferencial de viga usando las ecuaciones de

equilibrio se obtiene:

!" = 0; ! − ! − !" − ! ! ∗ !" = 0; ! ! = − !"!"

(3.1)

44 Fuente Propia 45 David V. Hutton “Fundamentals of FINITE ELEMENT ANALYSIS, Pág. 92

91


En un elemento finito para una viga se presentan los siguientes parámetros

Fuerzas locales: f i

Momentos flexores locales: m i, positivo en la dirección anti horaria

Desplazamientos locales: d i

Rotaciones: Фi

3.1.1.- ECUACIONES CONSTITUTIVAS

La ecuación diferencial que gobierna una viga se la obtiene del desarrollo de la viga de

Euler - Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga,

siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez que se ha curvado.

Figura 3.3.Elementodiferencial viga 45

Efectuando el análisis en un elemento diferencial de viga usando las ecuaciones de

equilibrio se obtiene:

!" = 0; ! − ! − !" − ! ! ∗ !" = 0; ! ! = − !"!"

(3.1)

44 Fuente Propia 45 David V. Hutton “Fundamentals of FINITE ELEMENT ANALYSIS, Pág. 92

!2 = 0; − ! ∗ !" + !" + ! ! ∗ !" ∗ !"!

= 0 ! ! = !"!"

(3.2)

Figura 3.4. Desplazamiento en una viga 46

De la figura 3.4, ν(x) es la función que representa el desplazamiento transversal de la

viga, por otro lado el ángulo ! o pendiente está dado por:

! = !"(!)!"

(3.3)

Del análisis de la teoría de vigas se tiene que la curvatura de una viga es:

Figura 3.5. Ecuaciones constitutivas 47

De la ley de Hooke, la deformación unitaria en un arco es directamente proporcional a la

variación radial

46 Daryl L. Logan, “A First Course in the Finite Element Method”, Pág. 170 47 http://www.efn.unc.edu.ar/departamentos/estruct/mec1_ic/EC02301C.pdf

92


! = ! ! = ! !!= ! !"

!! = ! !

!

!" = ! !" ; ! = ! !" = ! ! !" =! !! ! !" =

!! !! !" =

!! !

! = !!= !

! ! (3.4)

La curvatura se calcula mediante la expresión conocida:

! = !!!(!) !"!

!! !!(!)!"

! !/! (3.5)

Y para pequeña curvatura se tiene simplemente:

! = !!!(!) !"!

= !! !

(3.6)

Por lo tanto igualando (3.4) con (3.5) el Momento es igual a:

! = ! ! !!!(!) !"!

(3.7)

Puesto que la fuerza cortante es la derivada del momento, según (3.2) se obtiene:

! = !"!"= ! ! !

!!(!) !"!

(3.8)

Y la carga distribuida w(x) la derivada del cortante, según (3.1):

! ! = − !"!"= −! ! !

!!(!) !"!

(3.9)

Si se elige un polinomio arbitrario para v(x) y se lo reemplaza en las ecuaciones

constitutivas se hallaría la matriz del elemento finito:

A continuación se establece los pasos para hallar la matriz que relaciona fuerzas con

desplazamientos


93


! = ! ! = ! !!= ! !"

!! = ! !

!

!" = ! !" ; ! = ! !" = ! ! !" =! !! ! !" =

!! !! !" =

!! !

! = !!= !

! ! (3.4)

La curvatura se calcula mediante la expresión conocida:

! = !!!(!) !"!

!! !!(!)!"

! !/! (3.5)

Y para pequeña curvatura se tiene simplemente:

! = !!!(!) !"!

= !! !

(3.6)

Por lo tanto igualando (3.4) con (3.5) el Momento es igual a:

! = ! ! !!!(!) !"!

(3.7)

Puesto que la fuerza cortante es la derivada del momento, según (3.2) se obtiene:

! = !"!"= ! ! !

!!(!) !"!

(3.8)

Y la carga distribuida w(x) la derivada del cortante, según (3.1):

! ! = − !"!"= −! ! !

!!(!) !"!

(3.9)

Si se elige un polinomio arbitrario para v(x) y se lo reemplaza en las ecuaciones

constitutivas se hallaría la matriz del elemento finito:

A continuación se establece los pasos para hallar la matriz que relaciona fuerzas con

desplazamientos


Elemento viga con 4 grados de libertad, 2 por nodo, sujeto a fuerzas transversales F y

momentos M

2.- Seleccionar una función de desplazamiento

Se debe escoger por lo tanto un polinomio con cuatro constantes y de grado 3 que

satisfaga la ecuación diferencial.

! ! = !1 !! + !2 !! + !3 ! + !4 (3.10)

Figura 3.6.Elemento viga 48

Se precisa determinar a1, a2, a3 y a4 en función de las condiciones de frontera que son:

! = 0; ! 0 = !1! ! = !; ! ! = !2!

! = 0; !! !!"

= Ф1 ! = !; !! !!"

= Ф2

Resolviendo se obtiene la función de desplazamiento:

! ! = !1 !! + !2 !! + !3 ! + !4

! 0 = !1 0! + !2 0! + !3 0+ !4 = !4

! 0 = !1! = !4

48 Fuente Propia

94


!" !!" = 3 !1 !! + 2 !2 !! + !3

!" 0!" = 3 !1 0! + 2 !2 0! + !3 = !3

!" 0!" = !1 = !3

a1 y a2, se obtienen al resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

! ! = !1 !! + !2 !! + !3 ! + !1! = !2!

!" !!"

= 3 !1 !! + 2 !2 !! + !1 = !2 (3.11)

Para resolverlas se utilizara la resolución simbólica de MathCAD.

Por lo tanto ν(x) queda:

υ x( )2 d1y⋅ 2 d2y⋅− L φ1⋅+ L φ2⋅+

L3x3⋅

3 d1y⋅ 3 d2y⋅− 2 L⋅ φ1⋅+ L φ2⋅+

L2−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+

Reagrupando y factorando en función de los desplazamientos o variables de campo

! ! = !!!

2!! − 3!!! + !! !1! + !!!

!!! − 2!!!! + !!! !1+ !!!

−2!! +

3!!! !2! + !!!

!!! − !!!! !2 (3.12)

En forma matricial se obtiene:

Find a1 a2, ( )

2 d1y⋅ 2 d2y⋅− L φ1⋅+ L φ2⋅+

L3

3 d1y⋅ 3 d2y⋅− 2 L⋅ φ1⋅+ L φ2⋅+

L2−

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

Given

a1 L3⋅ a2 L2⋅+ φ1 L⋅+ d1y+ d2y− 0

3 a1⋅ L2⋅ 2 a2⋅ L⋅+ φ1+ φ2− 0

95


!" !!" = 3 !1 !! + 2 !2 !! + !3

!" 0!" = 3 !1 0! + 2 !2 0! + !3 = !3

!" 0!" = !1 = !3

a1 y a2, se obtienen al resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

! ! = !1 !! + !2 !! + !3 ! + !1! = !2!

!" !!"

= 3 !1 !! + 2 !2 !! + !1 = !2 (3.11)

Para resolverlas se utilizara la resolución simbólica de MathCAD.

Por lo tanto ν(x) queda:

υ x( )2 d1y⋅ 2 d2y⋅− L φ1⋅+ L φ2⋅+

L3x3⋅

3 d1y⋅ 3 d2y⋅− 2 L⋅ φ1⋅+ L φ2⋅+

L2−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+

Reagrupando y factorando en función de los desplazamientos o variables de campo

! ! = !!!

2!! − 3!!! + !! !1! + !!!

!!! − 2!!!! + !!! !1+ !!!

−2!! +

3!!! !2! + !!!

!!! − !!!! !2 (3.12)

En forma matricial se obtiene:

Find a1 a2, ( )

2 d1y⋅ 2 d2y⋅− L φ1⋅+ L φ2⋅+

L3

3 d1y⋅ 3 d2y⋅− 2 L⋅ φ1⋅+ L φ2⋅+

L2−

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

→

Given

a1 L3⋅ a2 L2⋅+ φ1 L⋅+ d1y+ d2y− 0

3 a1⋅ L2⋅ 2 a2⋅ L⋅+ φ1+ φ2− 0

! ! = ! ! (3.13)

Donde los términos de la matriz de funciones de forma N están dados por

!1(!) =1!! 2!! − 3!!! + !!

!2(!) =1!! !!! − 2!!!! + !!!

!3(!) =1!! −2!! + 3!!!

!4(!) = !!!

!!! − !!!! (3.14)

En forma matricial queda:

ν x( ) N1 x( ) N2 x( ) N3 x( ) N4 x( )( )

d1y

φ1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:=

(3.15)

N1, N2, N3, N4 son las funciones de forma para elementos viga y se denominan

polinomios de interpolación cúbica de Hermite

3.- Definir las relaciones Deformación/Desplazamiento y Esfuerzo/Deformación

Se utilizan las relaciones anteriores (3.1) y (3.2):

! = ! ! !!!(!) !"!

! = ! ! !!!(!) !"!

4.- Definir la matriz de rigidez

Se deriva la función de forma y se la reemplaza en (3.1) y (3.2) evaluándose en los

extremos del elemento finito viga, a continuación se aprecia las sucesivas derivadas del

vector fila, obtenidas con la herramienta de derivada simbólica de MathCAD (3.15):

96


! = ! !!! 12! − 6! 6!" − 4!! −12! + 6! 6!" − 2!!

!1!!1!2!!2

(3.16)

! = ! !!!

12 6! −12 6!

!1!!1!2!!2

(3.17)

x=0 !1! = ! = ! !!! 12 6! −12 6!

!1!!1!2!!2

!1 = −! =! !!! 6! 4!! −6! 2!!

!1!!1!2!!2

x = L !2! = −! = ! !!!

−12 −6! 12 −6!

!1!!1!2!!2

!2 = ! =! !!! 6! 2!! −6! 4!!

!1!!1!2!!2

Reordenando en forma matricial se obtiene finalmente:

1

L32 x3⋅ 3 L⋅ x2⋅− L3+( )⋅

1

L3x3 L⋅ 3 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅

1

L32− x3⋅ 3 L⋅ x2⋅+( )⋅

1

L3x3 L⋅ L2 x2⋅−( )⋅⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

6 x2⋅ 6 L⋅ x⋅−

L3L3 6 L2⋅ x⋅− 3 L⋅ x2⋅+

L36 x2⋅ 6 L⋅ x⋅−

L3−

2 L2⋅ x⋅ 3 L⋅ x2⋅−

L3−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

6 L⋅ 12 x⋅−

L3−

6 L2⋅ 6 L⋅ x⋅−

L3−

6 L⋅ 12 x⋅−

L32 L2⋅ 6 L⋅ x⋅−

L3−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

97


! = ! !!! 12! − 6! 6!" − 4!! −12! + 6! 6!" − 2!!

!1!!1!2!!2

(3.16)

! = ! !!!

12 6! −12 6!

!1!!1!2!!2

(3.17)

x=0 !1! = ! = ! !!! 12 6! −12 6!

!1!!1!2!!2

!1 = −! =! !!! 6! 4!! −6! 2!!

!1!!1!2!!2

x = L !2! = −! = ! !!!

−12 −6! 12 −6!

!1!!1!2!!2

!2 = ! =! !!! 6! 2!! −6! 4!!

!1!!1!2!!2

Reordenando en forma matricial se obtiene finalmente:

1

L32 x3⋅ 3 L⋅ x2⋅− L3+( )⋅

1

L3x3 L⋅ 3 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅

1

L32− x3⋅ 3 L⋅ x2⋅+( )⋅

1

L3x3 L⋅ L2 x2⋅−( )⋅⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

6 x2⋅ 6 L⋅ x⋅−

L3L3 6 L2⋅ x⋅− 3 L⋅ x2⋅+

L36 x2⋅ 6 L⋅ x⋅−

L3−

2 L2⋅ x⋅ 3 L⋅ x2⋅−

L3−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

6 L⋅ 12 x⋅−

L3−

6 L2⋅ 6 L⋅ x⋅−

L3−

6 L⋅ 12 x⋅−

L32 L2⋅ 6 L⋅ x⋅−

L3−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

!!!!!!!!!!

= ! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

!!!!!!!!!!

! = ! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!! (3.18)

3.2.- EJEMPLOS CARGAS PUNTUALES

3.2.1- Resuelva la deflexión, rotación y momentos de una viga en cantiléver,

compare con la ecuación clásica

Figura 3.7.Elemento viga empotrado en un extremo y cargado en el otro 49

Como se puede apreciar los resultados generados por el método de elementos finitos

coincide con los resultados obtenidos por los métodos de mecánica de materiales, esto es

integrando dos veces la ecuación diferencial de la viga y utilizando las condiciones de

frontera.

49 Fuente Propia

d1y 0:= φ1 0:= m2 0:= f2y P−:= P

f1y

m1

f2y

m2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve d2y, φ2, m1, f1y, L3 P⋅3 E⋅ I⋅

−L2 P⋅2 E⋅ I⋅

− L P⋅ P⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

98


!!!(!) !"! =

!!" = ! ! − !

! ! = !!!"

! !! − !!

! ; !" ! !"#$ = !!!

! ! ! (3.19)

A continuación se grafica la deflexión de los puntos intermedios de la viga obtenida tanto

por la función de interpolación como por la solución de la ecuación diferencial.

Se obtiene la deflexión por el método clásico integrando dos veces la ecuación

diferencial: !!!

!!!= !

! !(! − !)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

2.5−2.25−2−

1.75−1.5−1.25−1−

0.75−0.5−0.25−0

νFEA x( )−

νEDO x( )−

500

x

Figura 3.8.Deflexión viga 50

50 Fuente propia

x 0 0.1, L..:= L 1000:= E 200000:= P 1000:=

d2yL3 P⋅3 E⋅ I⋅

−:= φ2L2 P⋅2 E⋅ I⋅

−:=

b 10:= h 100:= I112b⋅ h3⋅:=

νEDO x( )P− L⋅2 E⋅ I⋅

x2x3

3 L⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

νFEA x( )1

L32 x3⋅ 3 x2⋅ L⋅− L3+( )⋅ d1y⋅

1

L3x3 L⋅ 2 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅ φ1⋅+

1

L32− x3⋅ 3 x2⋅ L⋅+( )⋅ d2y⋅+

1

L3x3 L⋅ x2 L2⋅−( )⋅ φ2⋅+:=

99


!!!(!) !"! =

!!" = ! ! − !

! ! = !!!"

! !! − !!

! ; !" ! !"#$ = !!!

! ! ! (3.19)

A continuación se grafica la deflexión de los puntos intermedios de la viga obtenida tanto

por la función de interpolación como por la solución de la ecuación diferencial.

Se obtiene la deflexión por el método clásico integrando dos veces la ecuación

diferencial: !!!

!!!= !

! !(! − !)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

2.5−2.25−2−

1.75−1.5−1.25−1−

0.75−0.5−0.25−0

νFEA x( )−

νEDO x( )−

500

x

Figura 3.8.Deflexión viga 50

50 Fuente propia

x 0 0.1, L..:= L 1000:= E 200000:= P 1000:=

d2yL3 P⋅3 E⋅ I⋅

−:= φ2L2 P⋅2 E⋅ I⋅

−:=

b 10:= h 100:= I112b⋅ h3⋅:=


x2x3

3 L⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

νFEA x( )1

L32 x3⋅ 3 x2⋅ L⋅− L3+( )⋅ d1y⋅

1

L3x3 L⋅ 2 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅ φ1⋅+

1

L32− x3⋅ 3 x2⋅ L⋅+( )⋅ d2y⋅+

1

L3x3 L⋅ x2 L2⋅−( )⋅ φ2⋅+:=

El método de los elementos finitos coincide perfectamente para los puntos intermedios.

Para hallar el momento aplicamos la ecuación (3.1), ! = ! ! !!!(!) !"!

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

01 105×2 105×3 105×4 105×5 105×6 105×7 105×8 105×9 105×1 106×

Momento x( )

x

Figura 3.9.Momento viga 51

El momento teórico se lo obtiene multiplicando la fuerza en el extremo por la longitud de

la viga: M teórico P (L) = 1000 (1000) = 1 e6

3.2.2- Considere la viga de la figura 3.10 para ilustrar el procedimiento de

ensamblaje, E = 200000 MPa, Sección b = 10mm, L = 1000mm, h = 100mm y un

límite de fluencia de 250 MPa

Figura 310.Viga con dos elementos 52

51 Fuente propia

Momento x( ) E I⋅ 2x

νFEA x( )d

d

2⋅:=

100


Debido a la carga intermedia se precisa discretizar la viga con dos elementos

!1 = ! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!! !2 =

! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

Nodo 1 a 2 Nodo 2 a 3

Expandiendo las matrices se obtiene:

Sumando

(3.20)

52 Fuente propia

d1 φ1 d2 φ2 d3 φ3( ) d1 φ1 d2 φ2 d3 φ3( )

K1E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

0

0

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

0

0

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

0

0

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:=E

K2E I⋅

L3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

0

0

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

0

0

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

0

0

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:=E

K1 K2+

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

101


Debido a la carga intermedia se precisa discretizar la viga con dos elementos

!1 = ! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!! !2 =

! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

Nodo 1 a 2 Nodo 2 a 3

Expandiendo las matrices se obtiene:

Sumando

(3.20)

52 Fuente propia

d1 φ1 d2 φ2 d3 φ3( ) d1 φ1 d2 φ2 d3 φ3( )

K1E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

0

0

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

0

0

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

0

0

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:=E

K2E I⋅

L3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

0

0

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

0

0

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

0

0

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:=E

K1 K2+

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

Una manera de automatizar el ensamblaje es mediante el siguiente algoritmo de

MathCAD

Las ecuaciones de gobierno por lo tanto están dadas por:

k1E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:=E

n 2:=

K2 n⋅ 1+ 2 n⋅ 1+, 0:=

K

K2 i⋅ 2− m+ 2 i⋅ 2− p+, K2 i⋅ 2− m+ 2 i⋅ 2− p+, k1m p, +←

p 0 3..∈for

K

m 0 3..∈for

i 1 n..∈for

K

:=

k1

K

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

102


!1!!1!2!!2!3!!3

= ! !!!

12 6! −12 6! 0 06!−126!0

4!!−6! 2!! 0

−6! 2!!24 00−12

8!!−6!

0−12−6!12

06!2!!−6!

0 0 6! 2!! −6! 4!!

!1!!1!2!!2!3!!3

(3.21)

Las condiciones de frontera son

d1y = 0, Ф1 =0, d3y = 0

Adicionalmente se conoce

F2Y = -1000 N, M2 = + 1000 N mm, M3= 0

Se debe determinar

d2y, F1y, M1 y F3y

En MathCAD esto puede resolverse automáticamente mediante las herramientas de

algebra simbólica. Donde en primer lugar se plantean los parámetros conocidos:

La ecuación que relaciona fuerzas con desplazamientos es:

d1y 0:= φ1 0:= d3y 0:= F2y 1000−:= M2 1000:= M3 0:=

103


Se activan las herramientas de evaluación simbólica

Figura 3.11.Symbolic Keyword toolbar53

Se escoge solve y separadas por coma “,” las incógnitas a encontrarse en formato

matricial

Los resultados son dados automáticamente:

Para evaluar las funciones se utilizan los datos numéricos siguientes:

Módulo de elasticidad

Altura de la viga

Ancho de la viga

Inercia

Longitud del elemento

53 Programa MathCAD

E 200000:=

h 100:=

b 10:=

I112b⋅ h3⋅:=

L 1000:=

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

K

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

d2y

φ2

φ3

F1y

M1

F3y

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, 7 L3⋅ P⋅ 3 L2⋅ M⋅−

96 E⋅ I⋅−

L2 P⋅ 5 L⋅ M⋅−

32 E⋅ I⋅−

L2 P⋅ L M⋅−

8 E⋅ I⋅9 M⋅ 11 L⋅ P⋅+

16 L⋅M8

3 L⋅ P⋅8

+9 M⋅ 5 L⋅ P⋅−

16 L⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

104


Carga

Momento

Para graficar la deformada reemplazando los desplazamientos y rotaciones en las

funciones de interpolación:

d2y7 L3⋅ P⋅ 3 L2⋅ M⋅−

96 E⋅ I⋅−:= φ2

L2 P⋅ 5 L⋅ M⋅−

32 E⋅ I⋅−:=

φ3L2 P⋅ LM⋅−

8 E⋅ I⋅:=

x 0 0.01, 2 L⋅..:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×0.45−0.405−0.36−0.315−0.27−0.225−0.18−0.135−0.09−0.045−

0Deformada

νFEA x( )

x

La deflexión máxima es: -0.45 mm

La rotación es:

P 1000:=

M 1000:=

d2y7 L3⋅ P⋅ 3 L2⋅ M⋅−

96 E⋅ I⋅−:=

νFEA1 x( )1

L32 x3⋅ 3 x2⋅ L⋅− L3+( )⋅ d1y⋅

1

L3x3 L⋅ 2 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅ φ1⋅+

1

L32− x3⋅ 3 x2⋅ L⋅+( )⋅ d2y⋅+

1

L3x3 L⋅ x2 L2⋅−( )⋅ φ2⋅+:=

νFEA2 x( )1

L32 x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅− L3+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d2y⋅

1

L3x L−( )3 L⋅ 2 L2⋅ x L−( )2⋅− x L−( ) L3⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ2⋅+

1

L32− x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d3y⋅+

1

L3x L−( )3 L⋅ x L−( )2 L2⋅−⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ3⋅+:=

νFEA x( ) νFEA1 x( ) 0 x≤ L≤if

νFEA2 x( ) L x≤ 2 L⋅≤if

:=

φ x( )xνFEA x( )d

d:=

105


Carga

Momento

Para graficar la deformada reemplazando los desplazamientos y rotaciones en las

funciones de interpolación:

d2y7 L3⋅ P⋅ 3 L2⋅ M⋅−

96 E⋅ I⋅−:= φ2

L2 P⋅ 5 L⋅ M⋅−

32 E⋅ I⋅−:=

φ3L2 P⋅ LM⋅−

8 E⋅ I⋅:=

x 0 0.01, 2 L⋅..:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×0.45−0.405−0.36−0.315−0.27−0.225−0.18−0.135−0.09−0.045−

0Deformada

νFEA x( )

x

La deflexión máxima es: -0.45 mm

La rotación es:

P 1000:=

M 1000:=

d2y7 L3⋅ P⋅ 3 L2⋅ M⋅−

96 E⋅ I⋅−:=

νFEA1 x( )1

L32 x3⋅ 3 x2⋅ L⋅− L3+( )⋅ d1y⋅

1

L3x3 L⋅ 2 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅ φ1⋅+

1

L32− x3⋅ 3 x2⋅ L⋅+( )⋅ d2y⋅+

1

L3x3 L⋅ x2 L2⋅−( )⋅ φ2⋅+:=

νFEA2 x( )1

L32 x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅− L3+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d2y⋅

1

L3x L−( )3 L⋅ 2 L2⋅ x L−( )2⋅− x L−( ) L3⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ2⋅+

1

L32− x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d3y⋅+

1

L3x L−( )3 L⋅ x L−( )2 L2⋅−⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ3⋅+:=



:=

φ x( )xνFEA x( )d

d:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×8− 10 4−×6.4− 10 4−×4.8− 10 4−×3.2− 10 4−×1.6− 10 4−×

01.6 10 4−×3.2 10 4−×4.8 10 4−×6.4 10 4−×8 10 4−×

Rotación

φ x( )

x

El momento se lo calcula mediante:

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×4− 105×3.2− 105×2.4− 105×1.6− 105×

8− 104×0

8 104×

1.6 105×2.4 105×3.2 105×4 105×

Momento

0M x( )

x

El cortante se lo calcula con:

M x( ) E I⋅ 2xνFEA x( )d

d

2⋅:=

Vcortante x( ) E I⋅ 3xνFEA x( )d

d

3⋅:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×400−280−160−40−80200320440560680800

Cortante

Vcortante x( )

x

106


La tensión se calcula mediante:

σ x( )h−2E⋅ 2x

νFEA x( )d

d

2⋅:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×20−15.5−11−6.5−2−2.57

11.51620.525

Tensión

0σ x( )

x

El factor de seguridad mínimo es:

25022.5

11.111=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×10

14

18

22

26

30

34

38

42

46

50Factor de seguridad

N x( )

x

N x( )Syσ x( )

:=

107


La tensión se calcula mediante:

σ x( )h−2E⋅ 2x

νFEA x( )d

d

2⋅:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×20−15.5−11−6.5−2−2.57

11.51620.525

Tensión

0σ x( )

x

El factor de seguridad mínimo es:

25022.5

11.111=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×10

14

18

22

26

30

34

38

42

46


N x( )

x

N x( )Syσ x( )

:=

3.2.3- Considere la viga de la figura, E = 200000 MPa, Sección b = 10mm, L =

1000mm, h = 100mm y un límite de fluencia de 250 MPa

Figura 3.12.Viga simplemente apoyada 54

54 http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem01/lec01_6.htm

K2 n⋅ 1+ 2 n⋅ 1+, 0:= n 2:=

K

K2 i⋅ 2− m+ 2 i⋅ 2− p+, K2 i⋅ 2− m+ 2 i⋅ 2− p+, km p, +←

p 0 3..∈for

K

m 0 3..∈for

i 1 n..∈for

K

:=

k

K

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

108


Condiciones de frontera:

Solución

Parámetros

φ x( )xνFEA x( )d

d:=

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

K

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

φ1

φ2

φ3

d2y

F1y

F3y

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, L2 P⋅4 E⋅ I⋅

− 0L2 P⋅4 E⋅ I⋅

L3 P⋅6 E⋅ I⋅

−P2P2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

L 1000:= b 10:= h 100:= P 1000:= I112b⋅ h3⋅:= E 200000:=

x 0 0.01 L⋅, 2 L⋅..:=

φ1L2 P⋅4 E⋅ I⋅

−:= φ3L2 P⋅4 E⋅ I⋅

:= φ2 0:= d2yL3 P⋅6 E⋅ I⋅

−:=

νFEA1 x( )1

L32 x3⋅ 3 x2⋅ L⋅− L3+( )⋅ d1y⋅

1

L3x3 L⋅ 2 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅ φ1⋅+

1

L32− x3⋅ 3 x2⋅ L⋅+( )⋅ d2y⋅+

1

L3x3 L⋅ x2 L2⋅−( )⋅ φ2⋅+:=

νFEA2 x( )1

L32 x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅− L3+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d2y⋅

1

L3x L−( )3 L⋅ 2 L2⋅ x L−( )2⋅− x L−( ) L3⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ2⋅+

1

L32− x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d3y⋅+

1

L3x L−( )3 L⋅ x L−( )2 L2⋅−⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ3⋅+:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×1.2−1.08−0.96−0.84−0.72−0.6−0.48−0.36−0.24−0.12−0

Deformada

νFEA x( )

x

d1y 0:= d3y 0:= M1 0:= F2y P−:= P M2 0:= M3 0:=

109



Solución

Parámetros

φ x( )xνFEA x( )d

d:=

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

K

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

φ1

φ2

φ3

d2y

F1y

F3y

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, L2 P⋅4 E⋅ I⋅

− 0L2 P⋅4 E⋅ I⋅

L3 P⋅6 E⋅ I⋅

−P2P2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

L 1000:= b 10:= h 100:= P 1000:= I112b⋅ h3⋅:= E 200000:=

x 0 0.01 L⋅, 2 L⋅..:=

φ1L2 P⋅4 E⋅ I⋅

−:= φ3L2 P⋅4 E⋅ I⋅

:= φ2 0:= d2yL3 P⋅6 E⋅ I⋅

−:=

νFEA1 x( )1

L32 x3⋅ 3 x2⋅ L⋅− L3+( )⋅ d1y⋅

1

L3x3 L⋅ 2 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅ φ1⋅+

1

L32− x3⋅ 3 x2⋅ L⋅+( )⋅ d2y⋅+

1

L3x3 L⋅ x2 L2⋅−( )⋅ φ2⋅+:=

νFEA2 x( )1

L32 x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅− L3+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d2y⋅

1

L3x L−( )3 L⋅ 2 L2⋅ x L−( )2⋅− x L−( ) L3⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ2⋅+

1

L32− x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d3y⋅+

1

L3x L−( )3 L⋅ x L−( )2 L2⋅−⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ3⋅+:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×1.2−1.08−0.96−0.84−0.72−0.6−0.48−0.36−0.24−0.12−0

Deformada

νFEA x( )

x

d1y 0:= d3y 0:= M1 0:= F2y P−:= P M2 0:= M3 0:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×1.5− 10 3−×1.2− 10 3−×9− 10 4−×6− 10 4−×3− 10 4−×

03 10 4−×6 10 4−×9 10 4−×1.2 10 3−×1.5 10 3−×

Rotación

φ x( )

x

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×0

5 104×1 105×1.5 105×2 105×2.5 105×3 105×3.5 105×4 105×4.5 105×5 105×

Momento

0

M x( )

x


d

3⋅:=

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×600−480−360−240−120−0

120240360480600

Cortante

Vcortante x( )

x


d

2⋅:=

110


0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×30−27−24−21−18−15−12−9−6−3−0

Tensión0

σ x( )

x

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×5

9.5

14

18.5

23

27.5

32

36.5

41

45.5


N x( )

x

σ x( )h−2E⋅ 2x

νFEA x( )d

d

2⋅:=

Sy 250:=

N x( )Syσ x( )

:=

111


0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×30−27−24−21−18−15−12−9−6−3−0

Tensión0

σ x( )

x

0 200 400 600 800 1 103× 1.2 103× 1.4 103× 1.6 103× 1.8 103× 2 103×5

9.5

14

18.5

23

27.5

32

36.5

41

45.5


N x( )

x

σ x( )h−2E⋅ 2x

νFEA x( )d

d

2⋅:=

Sy 250:=

N x( )Syσ x( )

:=

3.2.4.- Determinar los desplazamientos nodales y las rotaciones, las fuerzas globales

nodales, de la siguiente viga:

Figura 3.13.Viga empotrada tres elementos 55

En este caso se utilizaran tres elementos y la matriz de rigidez queda:

55 Fuente propia

K

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

112



Solución:

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

F4y

M4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

K

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

d4y

φ4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

F1y

M1

d2y

φ2

d3y

φ3

F4y

M4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, 20 P⋅27

−4 L⋅ P⋅9

−8 L3⋅ P⋅81 E⋅ I⋅

2 L2⋅ P⋅27 E⋅ I⋅

11 L3⋅ P⋅162 E⋅ I⋅

5 L2⋅ P⋅54 E⋅ I⋅

−7 P⋅27

−2 L⋅ P⋅9

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→



νFEA3 x( ) 2 L⋅ x≤ 3 L⋅≤if

:=

d1y 0:= d4y 0:= F2y P:= P F3y 0:=

φ1 0:= φ4 0:= M2 0:= M3 0:=

L 1000:= b 10:= h 100:= P 1000−:= E 200000:= I112b⋅ h3⋅:=

d2y8 L3⋅ P⋅81 E⋅ I⋅

:= d3y11 L3⋅ P⋅162 E⋅ I⋅

:=

φ22 L2⋅ P⋅27 E⋅ I⋅

:= φ35 L2⋅ P⋅54 E⋅ I⋅

−:=

113



Solución:

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

F4y

M4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

K

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

d4y

φ4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

F1y

M1

d2y

φ2

d3y

φ3

F4y

M4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, 20 P⋅27

−4 L⋅ P⋅9

−8 L3⋅ P⋅81 E⋅ I⋅

2 L2⋅ P⋅27 E⋅ I⋅

11 L3⋅ P⋅162 E⋅ I⋅

5 L2⋅ P⋅54 E⋅ I⋅

−7 P⋅27

−2 L⋅ P⋅9

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→



νFEA3 x( ) 2 L⋅ x≤ 3 L⋅≤if

:=

d1y 0:= d4y 0:= F2y P:= P F3y 0:=

φ1 0:= φ4 0:= M2 0:= M3 0:=

L 1000:= b 10:= h 100:= P 1000−:= E 200000:= I112b⋅ h3⋅:=

d2y8 L3⋅ P⋅81 E⋅ I⋅

:= d3y11 L3⋅ P⋅162 E⋅ I⋅

:=

φ22 L2⋅ P⋅27 E⋅ I⋅

:= φ35 L2⋅ P⋅54 E⋅ I⋅

−:=

0 300 600 900 1.2 103× 1.5 103× 1.8 103× 2.1 103× 2.4 103× 2.7 103× 3 103×0.7−0.63−0.56−0.49−0.42−0.35−0.28−0.21−0.14−0.07−0

Deformada

νFEA x( )

x

3.3.- EJEMPLOS CARGAS PUNTUALES LONGITUD Y AREAS DE INERCIA

VARIABLES

3.3.1.- Determinar los desplazamientos nodales y las rotaciones, del siguiente eje:

Figura 3.13.Eje de máquina 56

56 Fuente propia

Número de elementos finitos

II1

I2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=I2

LL1

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=L1

k I L, ( )E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:=E

114


La matriz de rigidez toma la siguiente forma:


Solución

n 2:=

K2 n⋅ 1+ 2 n⋅ 1+, 0:=

K

K2 i⋅ 2− m+ 2 i⋅ 2− p+, K2 i⋅ 2− m+ 2 i⋅ 2− p+, k Ii 1− Li 1−, ( )m p, +←

p 0 3..∈for

K

m 0 3..∈for

i 1 n..∈for

K

:=

k

K

12 E⋅ I1⋅

L13

6 E⋅ I1⋅

L12

12 E⋅ I1⋅

L13−

6 E⋅ I1⋅

L12

0

0

6 E⋅ I1⋅

L12

4 E⋅ I1⋅L1

6 E⋅ I1⋅

L12−

2 E⋅ I1⋅L1

0

0

12 E⋅ I1⋅

L13−

6 E⋅ I1⋅

L12−

12 E⋅ I1⋅

L1312 E⋅ I2⋅

L23+

6 E⋅ I2⋅

L226 E⋅ I1⋅

L12−

12 E⋅ I2⋅

L23−

6 E⋅ I2⋅

L22

6 E⋅ I1⋅

L12

2 E⋅ I1⋅L1

6 E⋅ I2⋅

L226 E⋅ I1⋅

L12−

4 E⋅ I1⋅L1

4 E⋅ I2⋅L2

+

6 E⋅ I2⋅

L22−

2 E⋅ I2⋅L2

0

0

12 E⋅ I2⋅

L23−

6 E⋅ I2⋅

L22−

12 E⋅ I2⋅

L23

6 E⋅ I2⋅

L22−

0

0

6 E⋅ I2⋅

L22

2 E⋅ I2⋅L2

6 E⋅ I2⋅

L22−

4 E⋅ I2⋅L2

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1y 0:= M1 0:=

F2y P−:= P M2 0:=

M3 0:= d3y 0:=

115


La matriz de rigidez toma la siguiente forma:


Solución

n 2:=

K2 n⋅ 1+ 2 n⋅ 1+, 0:=

K

K2 i⋅ 2− m+ 2 i⋅ 2− p+, K2 i⋅ 2− m+ 2 i⋅ 2− p+, k Ii 1− Li 1−, ( )m p, +←

p 0 3..∈for

K

m 0 3..∈for

i 1 n..∈for

K

:=

k

K

12 E⋅ I1⋅

L13

6 E⋅ I1⋅

L12

12 E⋅ I1⋅

L13−

6 E⋅ I1⋅

L12

0

0

6 E⋅ I1⋅

L12

4 E⋅ I1⋅L1

6 E⋅ I1⋅

L12−

2 E⋅ I1⋅L1

0

0

12 E⋅ I1⋅

L13−

6 E⋅ I1⋅

L12−

12 E⋅ I1⋅

L1312 E⋅ I2⋅

L23+

6 E⋅ I2⋅

L226 E⋅ I1⋅

L12−

12 E⋅ I2⋅

L23−

6 E⋅ I2⋅

L22

6 E⋅ I1⋅

L12

2 E⋅ I1⋅L1

6 E⋅ I2⋅

L226 E⋅ I1⋅

L12−

4 E⋅ I1⋅L1

4 E⋅ I2⋅L2

+

6 E⋅ I2⋅

L22−

2 E⋅ I2⋅L2

0

0

12 E⋅ I2⋅

L23−

6 E⋅ I2⋅

L22−

12 E⋅ I2⋅

L23

6 E⋅ I2⋅

L22−

0

0

6 E⋅ I2⋅

L22

2 E⋅ I2⋅L2

6 E⋅ I2⋅

L22−

4 E⋅ I2⋅L2

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1y 0:= M1 0:=

F2y P−:= P M2 0:=

M3 0:= d3y 0:=

Datos:

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

K

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

F1y

φ1

d2y

φ2

F3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, L2 P⋅L1 L2+

I2 P⋅ L13⋅ L2⋅ 3 I2⋅ P⋅ L12⋅ L22⋅+ 2 I1⋅ P⋅ L1⋅ L23⋅+

6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L12⋅ 12 E⋅ I1⋅ I2⋅ L1⋅ L2⋅+ 6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L22⋅+−

I2 P⋅ L13⋅ L22⋅ I1 P⋅ L12⋅ L23⋅+

3 E⋅ I1⋅ I2⋅ L12⋅ 6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L1⋅ L2⋅+ 3 E⋅ I1⋅ I2⋅ L22⋅+−

I1 L1⋅ L23⋅ P⋅ I2 L13⋅ L2⋅ P⋅−

3 E⋅ I1⋅ I2⋅ L12⋅ 6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L1⋅ L2⋅+ 3 E⋅ I1⋅ I2⋅ L22⋅+−

L1 P⋅L1 L2+

2 I2⋅ P⋅ L13⋅ L2⋅ 3 I1⋅ P⋅ L12⋅ L22⋅+ I1 P⋅ L1⋅ L23⋅+

6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L12⋅ 12 E⋅ I1⋅ I2⋅ L1⋅ L2⋅+ 6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L22⋅+

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

→

L L1 L2+:=

x 0 0.01 L⋅, L..:=

d2yI2 P⋅ L13⋅ L22⋅ I1 P⋅ L12⋅ L23⋅+

3 E⋅ I1⋅ I2⋅ L12⋅ 6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L1⋅ L2⋅+ 3 E⋅ I1⋅ I2⋅ L22⋅+−:=

φ1I2 P⋅ L13⋅ L2⋅ 3 I2⋅ P⋅ L12⋅ L22⋅+ 2 I1⋅ P⋅ L1⋅ L23⋅+

6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L12⋅ 12 E⋅ I1⋅ I2⋅ L1⋅ L2⋅+ 6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L22⋅+−:=

φ2I1 L1⋅ L23⋅ P⋅ I2 L13⋅ L2⋅ P⋅−

3 E⋅ I1⋅ I2⋅ L12⋅ 6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L1⋅ L2⋅+ 3 E⋅ I1⋅ I2⋅ L22⋅+−:=

φ32 I2⋅ P⋅ L13⋅ L2⋅ 3 I1⋅ P⋅ L12⋅ L22⋅+ I1 P⋅ L1⋅ L23⋅+

6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L12⋅ 12 E⋅ I1⋅ I2⋅ L1⋅ L2⋅+ 6 E⋅ I1⋅ I2⋅ L22⋅+:=

νFEA x( ) νFEA1 x( ) 0 x≤ L1≤if

νFEA2 x( ) L1 x≤ L≤if

:=

0 27 54 81 108 135 162 189 216 243 2701.8−1.62−1.44−1.26−1.08−0.9−0.72−0.54−0.36−0.18−0

Deformada

νFEA x( )

x

E 20000:= P 1000:=

L1 120:= D1 35:= I1 πD14

64⋅ 7.366 104×=:=

L2 150:= D2 20:= I2 πD24

64⋅ 7.854 103×=:=

116


0 27 54 81 108 135 162 189 216 243 2700.015−0.011−

7− 10 3−×3− 10 3−×1 10 3−×5 10 3−×9 10 3−×0.0130.0170.0210.025

Rotación

φ x( )

x

0 27 54 81 108 135 162 189 216 243 2700

7 103×1.4 104×2.1 104×2.8 104×3.5 104×4.2 104×4.9 104×5.6 104×6.3 104×7 104×

Momento

0

M x( )

x

3.4.- PROBLEMAS PROPUESTOS

Efectuar el diseño de un eje que debe transmitir 2.5 hp a 1725 rpm, el factor de seguridad

mínimo es 2.5, considere mínimo 4 elementos finitos, se debe trabajar en 2 planos.

Las medidas tentativas del eje son:


57 Fuente propia

117


0 27 54 81 108 135 162 189 216 243 2700.015−0.011−

7− 10 3−×3− 10 3−×1 10 3−×5 10 3−×9 10 3−×0.0130.0170.0210.025

Rotación

φ x( )

x

0 27 54 81 108 135 162 189 216 243 2700

7 103×1.4 104×2.1 104×2.8 104×3.5 104×4.2 104×4.9 104×5.6 104×6.3 104×7 104×

Momento

0

M x( )

x

3.4.- PROBLEMAS PROPUESTOS

Efectuar el diseño de un eje que debe transmitir 2.5 hp a 1725 rpm, el factor de seguridad

mínimo es 2.5, considere mínimo 4 elementos finitos, se debe trabajar en 2 planos.

Las medidas tentativas del eje son:


57 Fuente propia

118


3.5.- CARGA DISTRIBUIDA

Si se observa en las edificaciones constataremos que las vigas a diferencia de los ejes

deben soportar carga distribuida así como cargas concentradas. La estrategia que se

emplea es discretizar la carga distribuida reemplazándola por cargas y momentos en los

extremos que generen el mismo desplazamiento que el producido por la carga distribuida.

Figura 3.15.Discretización de cargas 58

Se puede utilizar el método del trabajo equivalente para reemplazar una carga distribuida

por un grupo de cargas concentradas

! !"#$%"&'"!( = ! ! ! ! !"!! (3.22)

Donde w(x) es la función de carga distribuida y ν(x) es el desplazamiento transversal. El

trabajo debido a las fuerzas discretas nodales está dado por:

! !"#$%&'( = !!!! +!!!! + !!!!! + !!!!! (3.23)

Se puede determinar los momentos y fuerzas nodales igualando

! !"#$%"&'"!( =! !"#$%&'( (3.24)

En el caso de la viga con carga uniformemente distribuida se evalúa la integral que

equipara los trabajos según (3.24)

58 Fuente propia

119


3.5.- CARGA DISTRIBUIDA

Si se observa en las edificaciones constataremos que las vigas a diferencia de los ejes

deben soportar carga distribuida así como cargas concentradas. La estrategia que se

emplea es discretizar la carga distribuida reemplazándola por cargas y momentos en los

extremos que generen el mismo desplazamiento que el producido por la carga distribuida.

Figura 3.15.Discretización de cargas 58

Se puede utilizar el método del trabajo equivalente para reemplazar una carga distribuida

por un grupo de cargas concentradas

! !"#$%"&'"!( = ! ! ! ! !"!! (3.22)

Donde w(x) es la función de carga distribuida y ν(x) es el desplazamiento transversal. El

trabajo debido a las fuerzas discretas nodales está dado por:

! !"#$%&'( = !!!! +!!!! + !!!!! + !!!!! (3.23)

Se puede determinar los momentos y fuerzas nodales igualando

! !"#$%"&'"!( =! !"#$%&'( (3.24)

En el caso de la viga con carga uniformemente distribuida se evalúa la integral que

equipara los trabajos según (3.24)

58 Fuente propia

!!!! +!!!! + !!!!! + !!!!! = −! ! ! !"!! (3.25)

Donde ν(x) ya fue desarrollado anteriormente según (3.12)

υ x( )2 d1y⋅ 2 d2y⋅− L φ1⋅+ L φ2⋅+

L3x3⋅

3 d1y⋅ 3 d2y⋅− 2 L⋅ φ1⋅+ L φ2⋅+

L2−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+

�

Para hallar m1 se reemplaza en la integral los siguientes valores, note que F1 es uno

!1 = −!!!

!" (3.26)

Para hallar m2 se reemplaza en la integral los siguientes valores, note ahora que F2 es

uno:

!2 = !!!

!" (3.27)

φ1 1:= φ2 0:= d1y 0:= d2y 0:=

0

L

xw−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⎮⌡

dL2 w⋅12

−→

φ1 0:= φ2 1:= d1y 0:= d2y 0:=

0

L

xw−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⎮⌡

dL2 w⋅12

→

φ1 0:= φ2 0:= d1y 1:= d2y 0:=

0

L

xw−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⎮⌡

dL w⋅2

−→

120


!1! = − !"!

(3.28)

!2! = − !"!

(3.29)

Por la tanto de esta manera se hallaron las fuerzas nodales equivalentes:

Figura 3.15.Fuerzas equivalentes 59

En formato matricial las fuerzas quedan de esta manera

!! =

− !"!

!!!!

!"

− !"!

!!!

!"

( 3.30)

A continuación se presentan una serie de problemas resueltos que involucran carga

distribuida

3.5.1.- Para la viga en cantiléver sujeta a la carga distribuida determinar los

desplazamientos y rotaciones involucrados

59 Fuente propia

φ1 0:= φ2 0:= d1y 0:= d2y 1:=

0

L

xw−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⎮⌡

dL w⋅2

−→

121


!1! = − !"!

(3.28)

!2! = − !"!

(3.29)

Por la tanto de esta manera se hallaron las fuerzas nodales equivalentes:

Figura 3.15.Fuerzas equivalentes 59

En formato matricial las fuerzas quedan de esta manera

!! =

− !"!

!!!!

!"

− !"!

!!!

!"

( 3.30)

A continuación se presentan una serie de problemas resueltos que involucran carga

distribuida

3.5.1.- Para la viga en cantiléver sujeta a la carga distribuida determinar los

desplazamientos y rotaciones involucrados

59 Fuente propia

φ1 0:= φ2 0:= d1y 0:= d2y 1:=

0

L

xw−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⎮⌡

dL w⋅2

−→

Figura 3.15.Viga carga distribuida 60

La ecuación general que se utiliza para calcular vigas concentradas o distribuida es la

siguiente61:

! = ! ! − !! (3.31)

Donde F0 son las fuerzas nodales equivalentes:

Para determinar los desplazamientos nodales, se parte de la ecuación general:

!!!!!!!!!!

= ! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

!!!!!!!!!!

Donde en la matriz de fuerzas se colocan las fuerzas equivalentes:

!1!!1

−!"2

!!!

12

=! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

00!!!!!

La solución se la hace por el método conocido 60 Fuente propia 61 Daryl L. Logan, “A First Course in the Finite Element Method”, Pág. 195

122


La solución coincide con la solución analítica que se tiene para la viga empotrada

!!"# = −! !!

! ! ! (3.32)

A continuación se halla las fuerzas globales nodales efectivas que es el producto de la

matriz de rigidez por el vector desplazamiento, proceso conocido como substitución

inversa.

! ! =! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

00!!!!!

Las fuerzas reales se las encuentra restando las obtenidas menos las equivalentes:

! = ! ! − !! (3.33)

E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

0

0

L4 w⋅8 E⋅ I⋅

−

L3 w⋅6 E⋅ I⋅

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

L w⋅2

5 L2⋅ w⋅12

L w⋅2

−

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1y 0:= φ1 0:= f2yw− L⋅2

:=w

m2w L2⋅12

:=w

f1y

m1

f2y

m2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

f1y

m1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

, L w⋅2

5 L2⋅ w⋅12

L4 w⋅8 E⋅ I⋅

−L3 w⋅6 E⋅ I⋅

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

123


La solución coincide con la solución analítica que se tiene para la viga empotrada

!!"# = −! !!

! ! ! (3.32)

A continuación se halla las fuerzas globales nodales efectivas que es el producto de la

matriz de rigidez por el vector desplazamiento, proceso conocido como substitución

inversa.

! ! =! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

00!!!!!

Las fuerzas reales se las encuentra restando las obtenidas menos las equivalentes:

! = ! ! − !! (3.33)

E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

0

0

L4 w⋅8 E⋅ I⋅

−

L3 w⋅6 E⋅ I⋅

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

L w⋅2

5 L2⋅ w⋅12

L w⋅2

−

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1y 0:= φ1 0:= f2yw− L⋅2

:=w

m2w L2⋅12

:=w

f1y

m1

f2y

m2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

f1y

m1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

, L w⋅2

5 L2⋅ w⋅12

L4 w⋅8 E⋅ I⋅

−L3 w⋅6 E⋅ I⋅

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

!1!!1!2!!2

=

! !! !!

!00

La deformada se la determina utilizando las funciones de interpolación y los datos

siguientes:

El desplazamiento obtenido resolviendo la ecuación diferencial corresponde a la

fórmula:

L w⋅2

5 L2⋅ w⋅12

L w⋅2

−

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

L w⋅2

−

w− L2⋅12

L− w⋅2

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

−

L w⋅

L2 w⋅2

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

νFEA x( )1

L32 x3⋅ 3 x2⋅ L⋅− L3+( )⋅ d1y⋅

1

L3x3 L⋅ 2 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅ φ1⋅+

1

L32− x3⋅ 3 x2⋅ L⋅+( )⋅ d2y⋅+

1

L3x3 L⋅ x2 L2⋅−( )⋅ φ2⋅+:=

L 1000:= w 100−:= E 200000:= x 0 0.1, L..:=

b 10:= h 100:= I112b⋅ h3⋅:= I 8.333 105×=

d2yL4 w⋅8 E⋅ I⋅

−:= φ2L3 w⋅6 E⋅ I⋅

−:=

ymax x( )1E I⋅

w− x4⋅24

w L⋅ x3⋅6

+w L2⋅ x2⋅4

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

124


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×80−72−64−56−48−40−32−24−16−8−0

Deformada ambos métodos

νFEA x( )

ymax x( )

500

x

Figura 3.16.Deformada 62

Como se puede notar el desplazamiento es exacto en los nodos, pero existe un error en la

parte intermedia. Ahora graficamos el momento.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×4.5− 107×3.95− 107×3.4− 107×2.85− 107×2.3− 107×1.75− 107×1.2− 107×6.5− 106×1− 106×4.5 106×1 107×

Momento

0

Momento x( )

x


62 Fuente propia, programa MathCAD 63 Fuente propia, programa MathCAD

Momento x( ) E I⋅ 2xνFEA x( )d

d

2⋅:=

125


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×80−72−64−56−48−40−32−24−16−8−0

Deformada ambos métodos

νFEA x( )

ymax x( )

500

x


Como se puede notar el desplazamiento es exacto en los nodos, pero existe un error en la

parte intermedia. Ahora graficamos el momento.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×4.5− 107×3.95− 107×3.4− 107×2.85− 107×2.3− 107×1.75− 107×1.2− 107×6.5− 106×1− 106×4.5 106×1 107×

Momento

0

Momento x( )

x


62 Fuente propia, programa MathCAD 63 Fuente propia, programa MathCAD

Momento x( ) E I⋅ 2xνFEA x( )d

d

2⋅:=

Con un elemento finito la solución claramente no converge para el momento, y

adicionalmente es una función parabólica. En un extremo debe ser cero y en el otro debe

dar – 5 e7. Porque sucede esto?, Este es un aspecto intrínseco del método de los

elementos finitos, puesto que si la siguiente ecuación de interpolación seleccionada es de

grado 3.

! ! = !1 !! + !2 !! + !3 ! + !4

No sería compatible con la siguiente ecuación diferencial

! ! = − !"!" = −! !

!!!(!) !"!

Si queremos por tanto que coincida el momento debemos incrementar el grado del

polinomio o aumentar el número de elementos.

3.5.2.- Efectuar el mismo análisis para 2 elementos.

Las fuerzas equivalentes se las construyen bajo el siguiente esquema:

Figura 3.17.Fuerzas equivalentes para 2 elementos 64

La matriz de rigidez es por tanto:


126


Las condiciones de frontera son:

Las fuerzas equivalentes de los nodos 2 y 3 son:

Resolviendo simbólicamente se obtiene:

d 0 0 d2y φ2 d3y φ3( ):= d2y F F1y M1 w− L⋅ 0w− L⋅2

w L2⋅12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= F1y

K1 K2+

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1y 0:= φ1 0:=

F2yw− L⋅2

w L⋅2

−:=www

M2 0:=

F3yw− L⋅2

:=w

M3w L2⋅12

:=w

FT K dT⋅ solve

F1y

M1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, 3 L⋅ w⋅2

23 L2⋅ w⋅12

17 L4⋅ w⋅24 E⋅ I⋅

−7 L3⋅ w⋅6 E⋅ I⋅

−2 L4⋅ w⋅E I⋅

−4 L3⋅ w⋅3 E⋅ I⋅

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

127


Las condiciones de frontera son:

Las fuerzas equivalentes de los nodos 2 y 3 son:

Resolviendo simbólicamente se obtiene:

d 0 0 d2y φ2 d3y φ3( ):= d2y F F1y M1 w− L⋅ 0w− L⋅2

w L2⋅12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= F1y

K1 K2+

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1y 0:= φ1 0:=

F2yw− L⋅2

w L⋅2

−:=www

M2 0:=

F3yw− L⋅2

:=w

M3w L2⋅12

:=w

FT K dT⋅ solve

F1y

M1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, 3 L⋅ w⋅2

23 L2⋅ w⋅12

17 L4⋅ w⋅24 E⋅ I⋅

−7 L3⋅ w⋅6 E⋅ I⋅

−2 L4⋅ w⋅E I⋅

−4 L3⋅ w⋅3 E⋅ I⋅

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

La substitución inversa y las fuerzas reales se obtienen restando lo siguiente:

Los datos para graficar son los siguientes:

Y las variables de campo se las toma de la solución

K

0

0

17 L4⋅ w⋅24 E⋅ I⋅

−

7 L3⋅ w⋅6 E⋅ I⋅

−

2 L4⋅ w⋅E I⋅

−

4 L3⋅ w⋅3 E⋅ I⋅

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

w− L⋅2

w− L2⋅12

w− L⋅

0

w− L⋅2

w L2⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

− simplify

2 L⋅ w⋅

2 L2⋅ w⋅

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d2y17 L4⋅ w⋅24 E⋅ I⋅

−:= φ27 L3⋅ w⋅6 E⋅ I⋅

−:=

d3y2 L4⋅ w⋅E I⋅

−:= φ34 L3⋅ w⋅3 E⋅ I⋅

−:=

νFEA1 x( )1

L32 x3⋅ 3 x2⋅ L⋅− L3+( )⋅ d1y⋅

1

L3x3 L⋅ 2 L2⋅ x2⋅− x L3⋅+( )⋅ φ1⋅+

1

L32− x3⋅ 3 x2⋅ L⋅+( )⋅ d2y⋅+

1

L3x3 L⋅ x2 L2⋅−( )⋅ φ2⋅+:=

νFEA2 x( )1

L32 x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅− L3+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d2y⋅

1

L3x L−( )3 L⋅ 2 L2⋅ x L−( )2⋅− x L−( ) L3⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ2⋅+

1

L32− x L−( )3⋅ 3 x L−( )2⋅ L⋅+⎡⎣ ⎤⎦⋅ d3y⋅+

1

L3x L−( )3 L⋅ x L−( )2 L2⋅−⎡⎣ ⎤⎦⋅ φ3⋅+:=

E 200000:= b 10:= h 100:= I112b⋅ h3⋅:= L 500:= w 100:=

x 0 0.01, 2 L⋅..:=



:= ymax x( )1E I⋅

w− x4⋅24

w 2⋅ L⋅ x3⋅6

+w 2 L⋅( )2⋅ x2⋅

4−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

128


Figura 3.18. Deformada de la viga 65

Como se constata en la Figura la diferencia entre las curvas es imperceptible.

El momento se lo construye mediante:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×5− 107×4.4− 107×3.8− 107×3.2− 107×2.6− 107×2− 107×1.4− 107×8− 106×2− 106×4 106×1 107×

Momento

0

5− 107⋅

M x( )

Mreal x( )

x

65 Fuente propia programa MathCAD


d

2⋅:= Mreal x( ) E I⋅ 2x

ymax x( )d

d

2⋅:=

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×80−72−64−56−48−40−32−24−16−8−0

Deformada ambos métodos0

νFEA x( )

ymax x( )

x

129


Figura 3.18. Deformada de la viga 65

Como se constata en la Figura la diferencia entre las curvas es imperceptible.

El momento se lo construye mediante:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×5− 107×4.4− 107×3.8− 107×3.2− 107×2.6− 107×2− 107×1.4− 107×8− 106×2− 106×4 106×1 107×

Momento

0

5− 107⋅

M x( )

Mreal x( )

x

65 Fuente propia programa MathCAD


d

2⋅:= Mreal x( ) E I⋅ 2x

ymax x( )d

d

2⋅:=

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×80−72−64−56−48−40−32−24−16−8−0

Deformada ambos métodos0

νFEA x( )

ymax x( )

x

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×0

1.2 104×2.4 104×3.6 104×4.8 104×6 104×7.2 104×8.4 104×9.6 104×1.08 105×1.2 105×

Cortante

Vcortante x( )

Vreal x( )

x

Como se ve existe una discrepancia entre las funciones. El esfuerzo es:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×500−150−200550900

1.25 103×1.6 103×1.95 103×2.3 103×2.65 103×3 103×

Tensión

σ x( )

x

El factor de seguridad en este caso usando la relación es 0.08 por lo tanto

el área de inercia es insuficiente, se propone a los alumnos hallar la Inercia adecuada.


d

3⋅:= Vreal x( ) E I⋅ 3x

ymax x( )d

d

3⋅:=

σ x( )h−2E⋅ 2x

νFEA x( )d

d

2⋅:= Sy 250:=

N x( )Syσ x( )

:=

130


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×02468

101214161820

Factor de seguridad

N x( )

x

3.5.3.- Para la viga en cantiléver sujeta a la carga distribuida y carga concentrada

en el extremo resolver los desplazamientos y rotaciones involucrados


Nuevamente se utiliza

!1!!1

−!"2 − !

!!!

12

=! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

00!!!!!

66 Fuente propia

131


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×02468

101214161820

Factor de seguridad

N x( )

x

3.5.3.- Para la viga en cantiléver sujeta a la carga distribuida y carga concentrada

en el extremo resolver los desplazamientos y rotaciones involucrados


Nuevamente se utiliza

!1!!1

−!"2 − !

!!!

12

=! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

00!!!!!

66 Fuente propia

A continuación se hallan las fuerzas globales nodales efectivas que es el producto

! ! =! !!!

12 6! −12 6!6!−12

4!!−6!

−6!12

2!!−6!

6! 2!! −6! 4!!

00!!!!!

Finalmente se restan la fuerza nodal equivalente

La deformada se obtiene:

E I⋅

L3

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 L2⋅

6− L⋅

2 L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 L2⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

0

0

3 w⋅ L4⋅ 8 P⋅ L3⋅+

24 E⋅ I⋅−

w L3⋅ 3 P⋅ L2⋅+

6 E⋅ I⋅−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

3 w⋅ L4⋅ 8 P⋅ L3⋅+

2 L3⋅

w L3⋅ 3 P⋅ L2⋅+

L2−

3 w⋅ L4⋅ 8 P⋅ L3⋅+

4 L2⋅

w L3⋅ 3 P⋅ L2⋅+

3 L⋅−

w L3⋅ 3 P⋅ L2⋅+

L23 w⋅ L4⋅ 8 P⋅ L3⋅+

2 L3⋅−

3 w⋅ L4⋅ 8 P⋅ L3⋅+

4 L2⋅

2 w L3⋅ 3 P⋅ L2⋅+( )⋅

3 L⋅−

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

→ simplify

PL w⋅2

+

5 w⋅ L2⋅12

P L⋅+

P−L w⋅2

−

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

E I⋅

L3

12

6− L⋅

6− L⋅

4 L2⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅d2y

φ2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

w−L2⋅ P−

wL2

12⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

solve d2y, φ2, 3 w⋅ L4⋅ 8 P⋅ L3⋅+

24 E⋅ I⋅−

w L3⋅ 3 P⋅ L2⋅+

6 E⋅ I⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

PL w⋅2

+

5 w⋅ L2⋅12

P L⋅+

P−L w⋅2

−

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

L w⋅2

−

w− L2⋅12

L− w⋅2

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

−

P L w⋅+

w L2⋅2

P L⋅+

P−

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

132


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

6−5.4−4.8−4.2−3.6−3−2.4−1.8−1.2−0.6−0

νFEA x( )

500

x

3.5.4.- Para la viga en cantiléver sujeta a la carga distribuida y empotrada en los dos

extremos


En este caso se utilizarán dos elementos finitos, sería imposible resolver con uno solo. La

matriz de rigidez con las condiciones son las siguientes.

67 Fuente propia

133


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

6−5.4−4.8−4.2−3.6−3−2.4−1.8−1.2−0.6−0

νFEA x( )

500

x

3.5.4.- Para la viga en cantiléver sujeta a la carga distribuida y empotrada en los dos

extremos


En este caso se utilizarán dos elementos finitos, sería imposible resolver con uno solo. La

matriz de rigidez con las condiciones son las siguientes.

67 Fuente propia

f1y

m1

w L⋅

0

f3y

m3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

0

0

d2y

φ2

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

Se eliminan las filas y columnas correspondientes y se calcula la deflexión

A continuación se halla las fuerzas globales nodales efectivas que es el producto

! !

w− L⋅

0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

24 E⋅ I⋅

L3

0

0

8 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

d2y

φ2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ solve d2y, φ2, L4 w⋅24 E⋅ I⋅

− 0⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

f1y

m1

f2y

m2

f3y

m3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

0

0

L4 w⋅24 E⋅ I⋅

−

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

f1y

m1

f2y

m2

f3y

m3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

L w⋅2

L2 w⋅4

L w⋅−

0

L w⋅2

L2 w⋅4

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

134


Las fuerzas reales se obtiene restando K d – F0:

Con las condiciones se valora:

Obteniéndose los siguientes gráficos de la deformada:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

1.6−1.44−1.28−1.12−0.96−0.8−0.64−0.48−0.32−0.16−0 0

νFEA x( )

x

Momento:

f1y

m1

f2y

0m3

f3y

m3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

L w⋅2

L2 w⋅4

L− w⋅

0

L w⋅2

L2 w⋅4

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

w− L⋅2

L2 w⋅12

−

L− w⋅

0

w− L⋅2

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

−

f1y

m1

f2y

0

f3y

m3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

L w⋅

L2 w⋅3

0

0

L w⋅

L2 w⋅3

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d2yL4 w⋅24 E⋅ I⋅

−:= φ2 0:= d3y 0:= φ3 0:=

135


Las fuerzas reales se obtiene restando K d – F0:

Con las condiciones se valora:

Obteniéndose los siguientes gráficos de la deformada:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

1.6−1.44−1.28−1.12−0.96−0.8−0.64−0.48−0.32−0.16−0 0

νFEA x( )

x

Momento:

f1y

m1

f2y

0m3

f3y

m3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

L w⋅2

L2 w⋅4

L− w⋅

0

L w⋅2

L2 w⋅4

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

w− L⋅2

L2 w⋅12

−

L− w⋅

0

w− L⋅2

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

−

f1y

m1

f2y

0

f3y

m3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

L w⋅

L2 w⋅3

0

0

L w⋅

L2 w⋅3

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d2yL4 w⋅24 E⋅ I⋅

−:= φ2 0:= d3y 0:= φ3 0:=

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

8− 106×6.4− 106×

4.8− 106×

3.2− 106×

1.6− 106×

01.6 106×

3.2 106×

4.8 106×

6.4 106×

8 106×

0M x( )

x

Cortante:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

3− 104×2.4− 104×1.8− 104×1.2− 104×6− 103×

06 103×1.2 104×1.8 104×2.4 104×3 104×

Vcortante x( )

x

136


3.5.5.- Para la misma viga en cantiléver sujeta a la carga distribuida y empotrada en

los dos extremos, hacer el cálculo para tres elementos


68 Fuente propia

K1 K2+ K3+

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

137


3.5.5.- Para la misma viga en cantiléver sujeta a la carga distribuida y empotrada en

los dos extremos, hacer el cálculo para tres elementos


68 Fuente propia

K1 K2+ K3+

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

La substitución inversa se obtiene de:

La deflexión es por tanto

d1y 0:= φ1 0:= F2yw− L⋅2

w L⋅2

−:=w

m2 0:=

d4y 0:= φ4 0:= F3yw− L⋅2

w L⋅2

−:=w

m3 0:=

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

F4y

M4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

K

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

d4y

φ4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

F1y

M1

d2y

φ2

d3y

φ3

F4y

M4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, L w⋅2 L2⋅ w⋅3

L4 w⋅6 E⋅ I⋅

−L3 w⋅6 E⋅ I⋅

−L4 w⋅6 E⋅ I⋅

−L3 w⋅6 E⋅ I⋅

L w⋅2 L2⋅ w⋅3

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

K

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

d4y

φ4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

L− w⋅2

L2− w⋅12

L− w⋅

0

L− w⋅

0

L− w⋅2

L2 w⋅12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

− simplify

3 L⋅ w⋅2

3 L2⋅ w⋅4

0

0

0

0

3 L⋅ w⋅2

3 L2⋅ w⋅4

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→



νFEA3 x( ) 2 L⋅ x≤ 3 L⋅≤if

:=

138


0 300 600 900 1.2 103× 1.5 103× 1.8 103× 2.1 103× 2.4 103× 2.7 103× 3 103×140−126−112−98−84−70−56−42−28−14−0

Deformada

νFEA x( )

x

0 300 600 900 1.2 103× 1.5 103× 1.8 103× 2.1 103× 2.4 103× 2.7 103× 3 103×8− 107×6.8− 107×5.6− 107×4.4− 107×3.2− 107×2− 107×8− 106×4 106×1.6 107×2.8 107×4 107×

Momento

0M x( )

MAB x( )

x


d

3⋅:=

De igual manera se puede proceder con más elementos

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×8− 106×

6.4− 106×

4.8− 106×

3.2− 106×

1.6− 106×

0

1.6 106×

3.2 106×

4.8 106×

6.4 106×

8 106×

POLINÓMIO CÚBICO: 2, 3 y 4 ELEMENTOS

0

M2 x1( )

M3 x( )

M4 x4( )

x1 x, x4,

139


0 300 600 900 1.2 103× 1.5 103× 1.8 103× 2.1 103× 2.4 103× 2.7 103× 3 103×140−126−112−98−84−70−56−42−28−14−0

Deformada

νFEA x( )

x

0 300 600 900 1.2 103× 1.5 103× 1.8 103× 2.1 103× 2.4 103× 2.7 103× 3 103×8− 107×6.8− 107×5.6− 107×4.4− 107×3.2− 107×2− 107×8− 106×4 106×1.6 107×2.8 107×4 107×

Momento

0M x( )

MAB x( )

x


d

3⋅:=

De igual manera se puede proceder con más elementos

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×8− 106×

6.4− 106×

4.8− 106×

3.2− 106×

1.6− 106×

0

1.6 106×

3.2 106×

4.8 106×

6.4 106×

8 106×

POLINÓMIO CÚBICO: 2, 3 y 4 ELEMENTOS

0

M2 x1( )

M3 x( )

M4 x4( )

x1 x, x4,

3.6.- CARGA DISTRIBUIDA TRIANGULAR

En este punto se va a revisar cómo tratar un problema que presente carga distribuida

triangular, esta distribución de carga se lo encuentra en los elementos sometidos a presión

hidrostática como por ejemplo en puertas de exclusa.

Figura 3.18.Viga carga distribuida triangular 69

La estrategia que se sigue es utilizar las integrales de igualación de trabajo y empezamos

calculando las fuerzas y momentos para el elemento finito 1

La carga distribuida es: ! ! = !"/! (3.34)

!1 = −!!!/60 (3.35)

69 Fuente propia

φ2 0:= d2y 0:= φ1 1:= d1y 0:=

0

L

xwx2 L⋅⋅⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

dL2 w⋅60

−→

140


!2 = !!!/40 (3.36)

!1 = −3 ! !/40 (3.37)

!2 = −7 ! !/40 (3.38)

Calculo de las fuerzas y momentos para el elemento finito 2

La carga distribuida para el tramo 2 es: ! ! = !"!!+ !/2 (3.39)

!1 = −7!!!/120 (3.40)

!2 = !!!/15 (3.41)

φ1 0:= φ2 1:= d1y 0:= d2y 0:=

d1y 1:= φ2 0:= d2y 0:= φ1 0:=

φ1 0:= φ2 0:= d1y 0:= d2y 1:=

φ1 1:= φ2 0:= d1y 0:= d2y 0:=

0

L

xwx2 L⋅⋅

w2

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

d7 L2⋅ w⋅120

−→

φ1 0:= φ2 1:= d1y 0:= d2y 0:=

0

L

xwx2 L⋅⋅⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

dL2 w⋅40

→

0

L

xwx2 L⋅⋅⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

d3 L⋅ w⋅40

−→

0

L

xwx2 L⋅⋅⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

d7 L⋅ w⋅40

−→

0

L

xwx2 L⋅⋅

w2

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

dL2 w⋅15

→

141


!2 = !!!/40 (3.36)

!1 = −3 ! !/40 (3.37)

!2 = −7 ! !/40 (3.38)

Calculo de las fuerzas y momentos para el elemento finito 2

La carga distribuida para el tramo 2 es: ! ! = !"!!+ !/2 (3.39)

!1 = −7!!!/120 (3.40)

!2 = !!!/15 (3.41)

φ1 0:= φ2 1:= d1y 0:= d2y 0:=

d1y 1:= φ2 0:= d2y 0:= φ1 0:=

φ1 0:= φ2 0:= d1y 0:= d2y 1:=

φ1 1:= φ2 0:= d1y 0:= d2y 0:=

0

L

xwx2 L⋅⋅

w2

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

d7 L2⋅ w⋅120

−→

φ1 0:= φ2 1:= d1y 0:= d2y 0:=

0

L

xwx2 L⋅⋅⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

dL2 w⋅40

→

0

L

xwx2 L⋅⋅⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

d3 L⋅ w⋅40

−→

0

L

xwx2 L⋅⋅⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

d7 L⋅ w⋅40

−→

0

L

xwx2 L⋅⋅

w2

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

dL2 w⋅15

→

!1 = −13 ! !/40 (3.42)

!2 = −17 ! !/40 (3.43)

En base del siguiente diagrama se adicionaran las fuerzas y momentos equivalentes por

tanto:

•_________________L/2________________•______________L/2_________________•

!" = −! ! !/!" !" = −! ! !/!"

!" = −!!!/!" !" = !!!/!"

!" = −!" !! !" !! = −!" ! !/!"

!" = −!!!!/!"# !" = !!!/!"

Efectuando la suma correspondiente se obtiene:

•_________________L/2________________•______________L/2_________________•

!" = −! ! !/!" !" = −! !/! !" = −!" ! !/!"

!" = −!!!/!" !" = −!!!/!" !" = !!!/!"

Para dos elementos iguales se genera la matriz de rigidez:

φ1 0:= φ2 0:= d1y 1:= d2y 0:=

φ1 0:= φ2 0:= d1y 0:= d2y 1:=

0

L

xwx2 L⋅⋅

w2

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

d13 L⋅ w⋅40

−→

0

L

xwx2 L⋅⋅

w2

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−2

L3d1y d2y−( )⋅

1

L2φ1 φ2+( )⋅+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x3⋅

3−

L2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠d1y d2y−( )⋅

1L2 φ1⋅ φ2+( )⋅−⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦x2⋅+ φ1 x⋅+ d1y+⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅⌠⎮⎮⌡

d17 L⋅ w⋅40

−→

142


Las condiciones de frontera son por lo tanto:

La ecuación a resolver

La sustitución inversa da los verdaderos valores de la reacción:

d 0 0 d2y φ2 d3y φ3( ):= d2y

K

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

F F1y M1 w−L2⋅

w− L2⋅30

17− w⋅ L⋅40

w L2⋅15

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= F1yF1y

FT K dT⋅ solve

F1y

M1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, 37 L⋅ w⋅40

79 L2⋅ w⋅60

121 L4⋅ w⋅240 E⋅ I⋅

−41 L3⋅ w⋅48 E⋅ I⋅

−22 L4⋅ w⋅15 E⋅ I⋅

−L3 w⋅E I⋅

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

143


Las condiciones de frontera son por lo tanto:

La ecuación a resolver

La sustitución inversa da los verdaderos valores de la reacción:

d 0 0 d2y φ2 d3y φ3( ):= d2y

K

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

24 E⋅ I⋅

L3

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

0

8 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

0

0

12 E⋅ I⋅

L3−

6 E⋅ I⋅

L2−

12 E⋅ I⋅

L3

6 E⋅ I⋅

L2−

0

0

6 E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

F F1y M1 w−L2⋅

w− L2⋅30

17− w⋅ L⋅40

w L2⋅15

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= F1yF1y

FT K dT⋅ solve

F1y

M1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, 37 L⋅ w⋅40

79 L2⋅ w⋅60

121 L4⋅ w⋅240 E⋅ I⋅

−41 L3⋅ w⋅48 E⋅ I⋅

−22 L4⋅ w⋅15 E⋅ I⋅

−L3 w⋅E I⋅

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

La deformada se la efectúa con las condiciones conocidas:

Figura 3.18.Deformada carga distribuida triangular 70

En la deformada se expresa una coincidencia total


K

0

0

121 L4⋅ w⋅240 E⋅ I⋅

−

41 L3⋅ w⋅48 E⋅ I⋅

−

22 L4⋅ w⋅15 E⋅ I⋅

−

L3 w⋅E I⋅

−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

3− w⋅ L⋅40

w− L2⋅60

w− L⋅2

w− L2⋅30

17− w⋅ L⋅40

w L2⋅15

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

− simplify

L w⋅

4 L2⋅ w⋅3

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1y 0:= φ1 0:= d2y121 L4⋅ w⋅240 E⋅ I⋅

−:= φ241 L3⋅ w⋅48 E⋅ I⋅

−:= φ3L3 w⋅E I⋅

−:= d3y22 L4⋅ w⋅15 E⋅ I⋅

−:=



:= ymax x( )1E I⋅

w− x5⋅240 L⋅

w L⋅ x3⋅6

+2 w⋅ L( )2⋅ x2⋅

3−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×60−54−48−42−36−30−24−18−12−6−0

Deformada0

νFEA x( )

ymax x( )

x

144


3.7.- CALCULO DE VIGAS CON ELEMENTOS DE ALTO ORDEN (hP-FEM)71

Los textos que abordan la teoría de elementos finitos en el apartado correspondiente a

vigas, utiliza una función cúbica para describir el desplazamiento. Esta función genera

resultados exactos cuando las cargas son puntuales, pero cuando la carga es distribuida

existe una incompatibilidad en el momento ya que al ser este igual a la segunda derivada

del desplazamiento se generara una representación lineal del mismo. Esta dificultad es

solventada conforme se aumentan el número de nodos o lo que es lo mismo discretizando

la viga, conforme se incremente el número de elementos finitos los resultados obtenidos

serán más cercanos a los resultados que predice la teoría de vigas. La alternativa que se

propone es incrementar el orden de la función de desplazamiento mediante la inclusión

de un nodo interno. Por lo tanto la propuesta es desarrollar una función de alto orden de

modo que con apenas uno o dos elementos finitos dependiendo del problema, se alcance

mejor exactitud que con el método tradicional de solución (polinomio cúbico). Los pasos

a seguir serán básicamente proponer una nueva función de desplazamiento

incrementando el grado del polinomio, derivar las funciones de interpolación !! ,

desarrollando una matriz de rigidez que incrementará la exactitud de cualquier problema

de vigas. Adicionalmente estos problemas se pueden resolver ventajosamente con las

herramientas de cálculo simbólico del software MathCAD proporcionando un contexto

pedagógico muy amplio para la explicación conceptual del método de los elementos

finitos.

71 José F. Olmedo, ANÁLISIS DE VIGAS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS CON ELEMENTOS DE ALTO ORDEN PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CARGA DISTRIBUIDA, Congreso COLIM 2014.

145


3.7.- CALCULO DE VIGAS CON ELEMENTOS DE ALTO ORDEN (hP-FEM)71

Los textos que abordan la teoría de elementos finitos en el apartado correspondiente a

vigas, utiliza una función cúbica para describir el desplazamiento. Esta función genera

resultados exactos cuando las cargas son puntuales, pero cuando la carga es distribuida

existe una incompatibilidad en el momento ya que al ser este igual a la segunda derivada

del desplazamiento se generara una representación lineal del mismo. Esta dificultad es

solventada conforme se aumentan el número de nodos o lo que es lo mismo discretizando

la viga, conforme se incremente el número de elementos finitos los resultados obtenidos

serán más cercanos a los resultados que predice la teoría de vigas. La alternativa que se

propone es incrementar el orden de la función de desplazamiento mediante la inclusión

de un nodo interno. Por lo tanto la propuesta es desarrollar una función de alto orden de

modo que con apenas uno o dos elementos finitos dependiendo del problema, se alcance

mejor exactitud que con el método tradicional de solución (polinomio cúbico). Los pasos

a seguir serán básicamente proponer una nueva función de desplazamiento

incrementando el grado del polinomio, derivar las funciones de interpolación !! ,

desarrollando una matriz de rigidez que incrementará la exactitud de cualquier problema

de vigas. Adicionalmente estos problemas se pueden resolver ventajosamente con las

herramientas de cálculo simbólico del software MathCAD proporcionando un contexto

pedagógico muy amplio para la explicación conceptual del método de los elementos

finitos.

71 José F. Olmedo, ANÁLISIS DE VIGAS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS CON ELEMENTOS DE ALTO ORDEN PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CARGA DISTRIBUIDA, Congreso COLIM 2014.

3.7.1 OBTENCIÓN DE LAS FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN N!

Se propone ahora utilizar un elemento de alto orden con un nodo interno. Cuando se

incrementa el orden del polinomio se dice que el método de refinamiento es “p-

refinement”. Se sabe por lo tanto que el elemento finito tendrá 6 grados de libertad, 2 por

nodo, sujeto a fuerzas transversales y momentos (Figura 4) y que el nodo interno no se

conecta con ningún elemento.

Figura 3.19.Elemento finito propuesto 72

Si se tienen 6 grados de libertad el polinomio de interpolación deberá ser de grado 5 de la

forma siguiente:

ν x = a1 x! + a2 x! + a3 x! + a4x! + a5 x! + a6 (3.44)

!! !!"

= 5 a1 x! + 4 a2 x! + 3 a3 x! + 2 a4 x+ a5 (3.45)

Las condiciones de frontera de acuerdo a la Figura 4 son:

x = 0; ν 0 = d1y

x = L/2; ν L/2 = d2y

x = L; ν L = d3y

x = 0; dν 0dx = Ф1

72 Fuente propia

146


x = L/2; dν L/2dx = Ф2

x = L; dν Ldx = Ф3

Y reemplazando y ordenando en forma matricial se obtiene:

(3.46)

Se logra obtener el vector columna de incógnitas [a!] mediante:

K ∗ a = d → a = K !! ∗ [d] (3.47)

El polinomio de interpolación se puede ensamblar multiplicando el vector fila

x! x! x! x! x 1 Por el resultado anterior a

0

0

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

5

5−L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4⋅

L5

5− L4⋅

0

0

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4

4−L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3⋅

L4

4− L3⋅

0

0

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3

3−L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2⋅

L3

3− L2⋅

0

0

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2

2−L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

⋅

L2

2− L⋅

0

1−

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

1−

L

1−

1

0

1

0

1

0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

a1

a2

a3

a4

a5

a6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

24

L5

68

L4−

66

L3

23

L2−

0

1

4

L4−

12

L3

13

L2−

6L

1−

0

0

16

L4

32

L3−

16

L2

0

0

16

L4−

40

L3

32

L2−

8L

0

0

24

L5−

52

L4

34

L3−

7

L2

0

0

4

L4−

8

L3

5

L2−

1L

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

24 d1y⋅

L524 d3y⋅

L5−

4 φ1⋅

L4−

16 φ2⋅

L4−

4 φ3⋅

L4−

16 d2y⋅

L468 d1y⋅

L4−

52 d3y⋅

L4+

12 φ1⋅

L3+

40 φ2⋅

L3+

8 φ3⋅

L3+

66 d1y⋅

L332 d2y⋅

L3−

34 d3y⋅

L3−

13 φ1⋅

L2−

32 φ2⋅

L2−

5 φ3⋅

L2−

16 d2y⋅

L223 d1y⋅

L2−

7 d3y⋅

L2+

6 φ1⋅L

+8 φ2⋅L

+φ3L

+

φ1−

d1y

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

147


x = L/2; dν L/2dx = Ф2

x = L; dν Ldx = Ф3

Y reemplazando y ordenando en forma matricial se obtiene:

(3.46)

Se logra obtener el vector columna de incógnitas [a!] mediante:

K ∗ a = d → a = K !! ∗ [d] (3.47)

El polinomio de interpolación se puede ensamblar multiplicando el vector fila

x! x! x! x! x 1 Por el resultado anterior a

0

0

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

5

5−L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4⋅

L5

5− L4⋅

0

0

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4

4−L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3⋅

L4

4− L3⋅

0

0

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3

3−L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2⋅

L3

3− L2⋅

0

0

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2

2−L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

⋅

L2

2− L⋅

0

1−

L2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

1−

L

1−

1

0

1

0

1

0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

a1

a2

a3

a4

a5

a6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

24

L5

68

L4−

66

L3

23

L2−

0

1

4

L4−

12

L3

13

L2−

6L

1−

0

0

16

L4

32

L3−

16

L2

0

0

16

L4−

40

L3

32

L2−

8L

0

0

24

L5−

52

L4

34

L3−

7

L2

0

0

4

L4−

8

L3

5

L2−

1L

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

24 d1y⋅

L524 d3y⋅

L5−

4 φ1⋅

L4−

16 φ2⋅

L4−

4 φ3⋅

L4−

16 d2y⋅

L468 d1y⋅

L4−

52 d3y⋅

L4+

12 φ1⋅

L3+

40 φ2⋅

L3+

8 φ3⋅

L3+

66 d1y⋅

L332 d2y⋅

L3−

34 d3y⋅

L3−

13 φ1⋅

L2−

32 φ2⋅

L2−

5 φ3⋅

L2−

16 d2y⋅

L223 d1y⋅

L2−

7 d3y⋅

L2+

6 φ1⋅L

+8 φ2⋅L

+φ3L

+

φ1−

d1y

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

x! x! x! x! x 1

!" !"#!!

− !" !"#!!

− ! !!!!

− !" !!!!

− ! !!!!

!" !"#!!

− !" !"#!!

+ !" !"#!!

+ !" !!!!

+ !" !!!!

+ ! !!!!

!! !"#!!

− !" !"#!!

− !" !"#!!

− !" !!!!

− !" !!!!

− ! !!!!

!" !"#!!

− !" !"#!!

+ ! !"#!!

+ ! !!!+ ! !!

!+ !!

!−ϕ1d1y

(3.48)

El resultado de esta operación genera un polinomio sumamente grande para ser

desplegadas en el documento. Este polinomio se reagrupa de tal manera que las funciones

de interpolación Ni puedan mostrarse en forma explícita y por tanto la función de

desplazamiento se representara en la siguiente forma:

v x = N! x d1y + N! x ϕ! + N! x d2y + N! x ϕ! + N! x d3y + N! x ϕ! (3.49)

Obteniendo el siguiente resultado para cada función de interpolación N!:

N1 x = 24 xL

!− 68

xL

!+ 66

xL

!− 23

xL

!+ 1

N2 x = −4 x xL

!+ 12 x

xL

!− 13 x

xL

!+ 6 x

xL − x

N3 x = 16 xL

!− 32

xL

!+ 16

xL

!

N4 x = −16 x xL

!+ 40 x

xL

!− 32 x

xL

!+ 8 x

xL

N5 x = −24 xL

!+ 52

xL

!− 34

xL

!+ 7

xL

!

N6 x = −4 x !!

!+ 8 x !

!

!− 5 x !

!

!+ x !

! (3.50)

148


Para L=1 se pueden graficar las funciones de interpolación para verificar que tenga el

valor de 1 en su nodo asociado y cero en los otros nodos, ver figura 3.20 y 3.21.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.11

0.22

0.33

0.44

0.55

0.66

0.77

0.88

0.99

1.1Funciones de Interpolación de alto orden asociadas a los desplazamientos

1

N1 x( )

N3 x( )

N5 x( )

x

Figura 3.20. Funciones de interpolación de alto orden N1, N3, N5 73

Figura 3.21: Derivadas de las funciones de interpolación de alto orden N2, N4, N674


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.2−

1−

0.8−

0.6−

0.4−

0.2−

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Derivas de las funciones de interpolación asociadas a las rotaciones

xN2 x( )d

d

xN4 x( )d

d

xN6 x( )d

d

x

149


Para L=1 se pueden graficar las funciones de interpolación para verificar que tenga el

valor de 1 en su nodo asociado y cero en los otros nodos, ver figura 3.20 y 3.21.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.11

0.22

0.33

0.44

0.55

0.66

0.77

0.88

0.99

1.1Funciones de Interpolación de alto orden asociadas a los desplazamientos

1

N1 x( )

N3 x( )

N5 x( )

x

Figura 3.20. Funciones de interpolación de alto orden N1, N3, N5 73

Figura 3.21: Derivadas de las funciones de interpolación de alto orden N2, N4, N674


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.2−

1−

0.8−

0.6−

0.4−

0.2−

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Derivas de las funciones de interpolación asociadas a las rotaciones

xN2 x( )d

d

xN4 x( )d

d

xN6 x( )d

d

x

3.7.2 OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

El paso más importante del procedimiento es determinar la matriz de rigidez para lo cual

se seguirá la formulación dada por el método de Galerkin para vigas donde:

K!" = E I! !!!!!!!

!!!!!!!

dx!!!!

(3.51)

Para N! Para N! Para N!…

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

!!!! !!!!

∗ !!!! !!!!

dx!!

(3.52)

150


Afortunadamente el programa MathCAD posee herramientas de cálculo simbólico que

permite obtener fácilmente estas integrales, como ejemplo se despliega k11 y k12

Obteniendo finalmente la matriz de rigidez y con ella la formulación de elemento finito

dada por:

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅−

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅−

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅−

1138

35 L2⋅−

332

35 L⋅

128

5 L2⋅

64

7 L⋅

242

35 L2⋅

38

35 L⋅

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅

1024

5 L3⋅

0

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅−

384

7 L2⋅−

64

7 L⋅

0

256

7 L⋅

384

7 L2⋅

64

7 L⋅

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅

242

35 L2⋅−

38

35 L⋅

128

5 L2⋅−

64

7 L⋅

1138

35 L2⋅

332

35 L⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅=

3.7.3 CARGA DISTRIBUIDA

Como anteriormente se manifestó, los efectos de las cargas puntuales son exactamente

evaluados cuando se utiliza la función de desplazamiento cúbica, mientras que cuando se

utiliza carga distribuida necesariamente se debe discretizar la viga, por tal razón el

enfoque será con respecto a esta carga. Las restricciones y las cargas son aplicadas

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅− +

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅− +

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅

⌠⎮⎮⎮⌡ ⋅

→

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅− +

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

− ⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ ⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+ ⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅− ⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+ −

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅

⌠⎮⎮⎮⌡ ⋅

−→

151


Afortunadamente el programa MathCAD posee herramientas de cálculo simbólico que

permite obtener fácilmente estas integrales, como ejemplo se despliega k11 y k12

Obteniendo finalmente la matriz de rigidez y con ella la formulación de elemento finito

dada por:

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅−

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅−

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅−

1138

35 L2⋅−

332

35 L⋅

128

5 L2⋅

64

7 L⋅

242

35 L2⋅

38

35 L⋅

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅

1024

5 L3⋅

0

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅−

384

7 L2⋅−

64

7 L⋅

0

256

7 L⋅

384

7 L2⋅

64

7 L⋅

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅

242

35 L2⋅−

38

35 L⋅

128

5 L2⋅−

64

7 L⋅

1138

35 L2⋅

332

35 L⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅=

3.7.3 CARGA DISTRIBUIDA

Como anteriormente se manifestó, los efectos de las cargas puntuales son exactamente

evaluados cuando se utiliza la función de desplazamiento cúbica, mientras que cuando se

utiliza carga distribuida necesariamente se debe discretizar la viga, por tal razón el

enfoque será con respecto a esta carga. Las restricciones y las cargas son aplicadas

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅− +

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅− +

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅

⌠⎮⎮⎮⌡ ⋅

→

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅− +

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

− ⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ ⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+ ⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅− ⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+ −

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅

⌠⎮⎮⎮⌡ ⋅

−→

únicamente en los nodos. La aproximación usual es reemplazar la carga distribuida con

fuerzas nodales y momentos tal que el trabajo mecánico efectuado por las cargas nodales

(19) sea igual al generado por la carga distribuida (18). El trabajo mecánico debido a la

carga distribuida w está dado por:

W!"#$%"&'"!( = −w ∗ ν x dx!! (3.53)

Donde ν x es la función desplazamiento. El trabajo generado por fuerzas discretas para

tres nodos estaría dado por:

W!"#$%&'( = m1 ϕ1+m2 ϕ2+m3 ϕ3+ f1 d1y+ f2 d2y+ f3 d3y (3.54)

Se igualan ambos trabajos según la expresión:

−w ∗ N! x d1y + N! x ϕ! + N! x d2y + N! x ϕ! + N! x d3y + N! x ϕ! dx!! =

m1 ϕ1 +m2 ϕ2 +m3 ϕ3 + f1 d1y + f2 d2y + f3 d3y (3.55)

Y se evalúa la integral para cada desplazamiento arbitrario

1.- d1y = 1,ϕ1 = 0,d2y = 0,ϕ2 = 0,d3y = 0,ϕ3 = 0

−w ∗ N! x d1y + N! x ϕ! + N! x d2y + N! x ϕ! + N! x d3y + N! x ϕ! dx!! = f1 =

− ! ! !!"

(3.56)

2.- d1y = 0,ϕ1 = 1,d2y = 0,ϕ2 = 0,d3y = 0,ϕ3 = 0


m1 = !! !!"

(3.57)

3.- d1y = 0,ϕ1 = 0,d2y = 1,ϕ2 = 0,d3y = 0,ϕ3 = 0


− ! ! !!"

(3.58)

152


4.- d1y = 0,ϕ1 = 0,d2y = 0,ϕ2 = 1,d3y = 0,ϕ3 = 0


m2 = 0 (3.59)

5.- d1y = 0,ϕ1 = 0,d2y = 0,ϕ2 = 0,d3y = 1,ϕ3 = 0


− ! ! !!"

(3.60)

6.- d1y = 0,ϕ1 = 0,d2y = 0,ϕ2 = 0,d3y = 0,ϕ3 = 1


m3 = − !! !!"

(3.61)

Las fuerzas nodales equivalentes obtenidas están representadas en la siguiente figura 3.22.

Figura 3.22: Fuerzas discretizadas equivalentes 75

3.7.4 EJEMPLO DE IMPLEMENTACIÓN EN MATHCAD

Seguidamente se realiza un ejemplo con el fin obtener la solución por el método de

elementos finitos en base a la nueva matriz obtenida, así como comparar la solución tanto

con la teoría de vigas como con los resultados obtenidos en base del polinomio cúbico.

75 Fuente propia

153


4.- d1y = 0,ϕ1 = 0,d2y = 0,ϕ2 = 1,d3y = 0,ϕ3 = 0


m2 = 0 (3.59)

5.- d1y = 0,ϕ1 = 0,d2y = 0,ϕ2 = 0,d3y = 1,ϕ3 = 0


− ! ! !!"

(3.60)

6.- d1y = 0,ϕ1 = 0,d2y = 0,ϕ2 = 0,d3y = 0,ϕ3 = 1


m3 = − !! !!"

(3.61)

Las fuerzas nodales equivalentes obtenidas están representadas en la siguiente figura 3.22.


3.7.4 EJEMPLO DE IMPLEMENTACIÓN EN MATHCAD

Seguidamente se realiza un ejemplo con el fin obtener la solución por el método de

elementos finitos en base a la nueva matriz obtenida, así como comparar la solución tanto

con la teoría de vigas como con los resultados obtenidos en base del polinomio cúbico.

75 Fuente propia

Se realiza por lo tanto el cálculo de una viga de acero biempotrada con un solo elemento

finito, sometida a una carga distribuida w= −100 N/mm, con una longitud L = 1 m, de

medidas 100 mm x 10 mm. Las propiedades físicas son: E = 200000 MPa, b=10, h=100,

I = !!" b h!, ver figura 3.23

Figura 3.23: Viga biempotrada sometida a carga distribuida76

Donde las condiciones de contorno son:

d1y = 0 ϕ1 = 0 m2 = 0 f2y = −8 ! !!" d3y = 0 ϕ3 = 0

Como se puede observar la deflexión en el nodo 2 coincide con el valor teórico

y!"# = −! !!

!"# ! ! para la viga biempotrada. Se efectúa la substitución inversa.

76 Fuente propia

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅−

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅−

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅−

1138

35 L2⋅−

33235 L⋅

128

5 L2⋅

647 L⋅

242

35 L2⋅

3835 L⋅

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅

1024

5 L3⋅

0

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅−

384

7 L2⋅−

647 L⋅

0

2567 L⋅

384

7 L2⋅

647 L⋅

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅

242

35 L2⋅−

3835 L⋅

128

5 L2⋅−

647 L⋅

1138

35 L2⋅

33235 L⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1d2y

φ2d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅= solve d2y, φ2, F1y, M1, F3y, M3, L4 w⋅384 E⋅ I⋅

− 04 L⋅ w⋅15

L2 w⋅15

−4 L⋅ w⋅15

L2 w⋅15

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

154


Para determinar las fuerzas y momentos se resta del producto de la substitución inversa

las fuerzas equivalentes obtenidas en el punto. ! = ! ! − !!

La deformada se la obtiene a través de la función de desplazamiento transversal con las

condiciones siguientes:

d2y = −w L!

384 E I , d1y = 0, ϕ1 = 0, d3y = 0, ϕ3 = 0

E I⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅−

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅−

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅−

1138

35 L2⋅−

332

35 L⋅

128

5 L2⋅

64

7 L⋅

242

35 L2⋅

38

35 L⋅

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅

1024

5 L3⋅

0

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅−

384

7 L2⋅−

64

7 L⋅

0

256

7 L⋅

384

7 L2⋅

64

7 L⋅

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅

242

35 L2⋅−

38

35 L⋅

128

5 L2⋅−

64

7 L⋅

1138

35 L2⋅

332

35 L⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

0

0

L4 w⋅

384 E⋅ I⋅−

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15−

8 L⋅ w⋅

15−

0

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15−

8 L⋅ w⋅

15−

0

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

7 L⋅ w⋅

30−

L2 w⋅

60

8 L⋅ w⋅

15−

0

7 L⋅ w⋅

30−

L2 w⋅

60−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

−

L w⋅

2

L2 w⋅

12−

0

0

L w⋅

2

L2 w⋅

12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

x 0 0.01, L..:=

155



las fuerzas equivalentes obtenidas en el punto. ! = ! ! − !!

La deformada se la obtiene a través de la función de desplazamiento transversal con las

condiciones siguientes:

d2y = −w L!

384 E I , d1y = 0, ϕ1 = 0, d3y = 0, ϕ3 = 0

E I⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅−

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅−

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅−

1138

35 L2⋅−

332

35 L⋅

128

5 L2⋅

64

7 L⋅

242

35 L2⋅

38

35 L⋅

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅

1024

5 L3⋅

0

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅−

384

7 L2⋅−

64

7 L⋅

0

256

7 L⋅

384

7 L2⋅

64

7 L⋅

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅

242

35 L2⋅−

38

35 L⋅

128

5 L2⋅−

64

7 L⋅

1138

35 L2⋅

332

35 L⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

0

0

L4 w⋅

384 E⋅ I⋅−

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15−

8 L⋅ w⋅

15−

0

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15−

8 L⋅ w⋅

15−

0

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

7 L⋅ w⋅

30−

L2 w⋅

60

8 L⋅ w⋅

15−

0

7 L⋅ w⋅

30−

L2 w⋅

60−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

−

L w⋅

2

L2 w⋅

12−

0

0

L w⋅

2

L2 w⋅

12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

x 0 0.01, L..:=

νFEA x = N! x d1y + N! x ϕ! + N! x d2y + N! x ϕ! + N! x d3y + N! x ϕ!

Adicionalmente en el mismo gráfico se dibujara la curva elástica obtenida de la ecuación

general de vigas: yED x = !!" ! !

(−w x!)(L− x)! (3.62)

Pudiendo observarse en la figura 3.24 la total concordancia de ambas curvas

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

1.6−1.44−1.28−1.12−0.96−0.8−

0.64−0.48−0.32−0.16−

0

CURVA ELÁSTICA, VIGA BIEMPOTRADA CARGA DISTRIBUIDA0

νFEA x( )

yED x( )

x

Figura 3.24: Comparativa curvas77

Igualmente se obtiene el Momento, figura 3.25 a lo largo del eje mediante: 77 Fuente propia

N1 x( ) 24x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

5⋅ 68

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4⋅− 66

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3⋅+ 23

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2⋅− 1+:=

N2 x( ) 4− x⋅x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4⋅ 12 x⋅

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3⋅+ 13 x⋅

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2⋅− 6 x⋅

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

⋅+ x−:=

N3 x( ) 16x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4⋅ 32

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3⋅− 16

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2⋅+:=

N4 x( ) 16− x⋅x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4⋅ 40 x⋅

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3⋅+ 32 x⋅

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2⋅− 8 x⋅

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

⋅+:=

N5 x( ) 24−x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

5⋅ 52

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4⋅+ 34

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3⋅− 7

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2⋅+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

:=

N6 x( ) 4− x⋅x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

4⋅ 8 x⋅

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

3⋅+ 5 x⋅

x

L⎛⎜⎝⎞⎟⎠

2⋅−

x2

L+:=

156


M x = E I d!vFEA x

dx!

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

1− 107×

8.4− 106×

6.8− 106×

5.2− 106×

3.6− 106×

2− 106×

4− 105×

1.2 106×

2.8 106×

4.4 106×

6 106×

MOMENTO

0

M x( )

x

Figura 3.25: Momento obtenido para la teoría propuesta78

Y el diagrama de cortante figura 3.26 con

V x = E I !!!"#$ !!!!

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

6− 104×

4.8− 104×

3.6− 104×

2.4− 104×

1.2− 104×

01.2 104×

2.4 104×

3.6 104×

4.8 104×

6 104×

CORTANTE

0Vcortante x( )

x

Figura 3.26: Cortante obtenido para la teoría propuesta79


157


M x = E I d!vFEA x

dx!

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

1− 107×

8.4− 106×

6.8− 106×

5.2− 106×

3.6− 106×

2− 106×

4− 105×

1.2 106×

2.8 106×

4.4 106×

6 106×

MOMENTO

0

M x( )

x

Figura 3.25: Momento obtenido para la teoría propuesta78

Y el diagrama de cortante figura 3.26 con

V x = E I !!!"#$ !!!!

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

6− 104×

4.8− 104×

3.6− 104×

2.4− 104×

1.2− 104×

01.2 104×

2.4 104×

3.6 104×

4.8 104×

6 104×

CORTANTE

0Vcortante x( )

x

Figura 3.26: Cortante obtenido para la teoría propuesta79


3.7.5 EJEMPLO DE IMPLEMENTACIÓN II

El segundo ejemplo, figura 3.27 consistirá en calcular una viga de acero biempotrada con

un elemento finito, sometida a una carga distribuida w= −100N/mm hasta la mitad de la

longitud de la viga, de una longitud L = 1 m, de medidas 100 mm x 10 mm. Las

propiedades físicas son: E = 200000 MPa, b=10mm, h=100 mm, I = !!" b h!. Este

problema puede realizarse de dos formas, utilizando 2 elementos finitos, en ese caso la

matriz de rigidez será de 10 x 10 o determinar por el método de igualación del trabajo

generado por las cargas y utilizar un solo elemento finito, se va a optar por este último

método

Figura 3.27: Viga biempotrada sometida a carga distribuida hasta la mitad de la viga 80

Efectuando la igualación del trabajo mecánico según el punto se obtienen las fuerzas

equivalentes siguientes según la figura 3.28

80 Fuente propia

158



Donde las condiciones de contorno son: d1y = 0 ϕ1 = 0 m2 = ! !!

!" f2y =

−4 ! !!" d3y = 0 ϕ3 = 0

Como se puede observar la deflexión en el nodo 2 en este caso es y!"# = −! !!

!"# ! !

81 Fuente propia

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅−

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅−

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅−

1138

35 L2⋅−

332

35 L⋅

128

5 L2⋅

64

7 L⋅

242

35 L2⋅

38

35 L⋅

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅

1024

5 L3⋅

0

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅−

384

7 L2⋅−

64

7 L⋅

0

256

7 L⋅

384

7 L2⋅

64

7 L⋅

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅

242

35 L2⋅−

38

35 L⋅

128

5 L2⋅−

64

7 L⋅

1138

35 L2⋅

332

35 L⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅= solve d2y, φ2, F1y, M1, F3y, M3, L4 w⋅

768 E⋅ I⋅−

7 L3⋅ w⋅

6144 E⋅ I⋅−

47 L⋅ w⋅

240

7 L2⋅ w⋅

160−

17 L⋅ w⋅

240

11 L2⋅ w⋅

480

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

159



Donde las condiciones de contorno son: d1y = 0 ϕ1 = 0 m2 = ! !!

!" f2y =

−4 ! !!" d3y = 0 ϕ3 = 0

Como se puede observar la deflexión en el nodo 2 en este caso es y!"# = −! !!

!"# ! !

81 Fuente propia

F1y

M1

F2y

M2

F3y

M3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅−

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅−

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅−

1138

35 L2⋅−

332

35 L⋅

128

5 L2⋅

64

7 L⋅

242

35 L2⋅

38

35 L⋅

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅

1024

5 L3⋅

0

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅−

384

7 L2⋅−

64

7 L⋅

0

256

7 L⋅

384

7 L2⋅

64

7 L⋅

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅

242

35 L2⋅−

38

35 L⋅

128

5 L2⋅−

64

7 L⋅

1138

35 L2⋅

332

35 L⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

d3y

φ3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅= solve d2y, φ2, F1y, M1, F3y, M3, L4 w⋅

768 E⋅ I⋅−

7 L3⋅ w⋅

6144 E⋅ I⋅−

47 L⋅ w⋅

240

7 L2⋅ w⋅

160−

17 L⋅ w⋅

240

11 L2⋅ w⋅

480

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→


las fuerzas equivalentes obtenidas en el punto . f = K d − f!

Finalmente generamos las curvas figura 3.29 mediante:

!FEA x = N! x d1y+ N! x ϕ! + N! x d2y+ N! x ϕ! + N! x d3y+ N! x ϕ!

E I⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅−

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅−

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅−

1138

35 L2⋅−

332

35 L⋅

128

5 L2⋅

64

7 L⋅

242

35 L2⋅

38

35 L⋅

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅

1024

5 L3⋅

0

512

5 L3⋅−

128

5 L2⋅−

384

7 L2⋅−

64

7 L⋅

0

256

7 L⋅

384

7 L2⋅

64

7 L⋅

1508

35 L3⋅−

242

35 L2⋅

512

5 L3⋅−

384

7 L2⋅

5092

35 L3⋅

1138

35 L2⋅

242

35 L2⋅−

38

35 L⋅

128

5 L2⋅−

64

7 L⋅

1138

35 L2⋅

332

35 L⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

0

0

L4 w⋅

768 E⋅ I⋅−

7 L3⋅ w⋅

6144 E⋅ I⋅−

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅

47 L⋅ w⋅

240

7 L2⋅ w⋅

160−

4 L⋅ w⋅

15−

L2 w⋅

24−

17 L⋅ w⋅

240

11 L2⋅ w⋅

480

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15−

8 L⋅ w⋅

15−

0

4 L⋅ w⋅

15

L2 w⋅

15

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

7 L⋅ w⋅

30−

L2 w⋅

60

8 L⋅ w⋅

15−

0

7 L⋅ w⋅

30−

L2 w⋅

60−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

−

L w⋅

2

L2 w⋅

12−

0

0

L w⋅

2

L2 w⋅

12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

160


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

0.8−0.72−0.64−0.56−0.48−0.4−

0.32−0.24−0.16−0.08−

0

CURVA ELÁSTICA, VIGA BIEMPOTRADA CARGA DISTRIBUIDA HASTA 1/2L0

νFEA x( )

x

Figura 3.28: Curva elástica 82

Igualmente se obtiene el Momento a lo largo del eje mediante: M x = E I !!!"#$ !!!!

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

6− 106×

5.1− 106×

4.2− 106×

3.3− 106×

2.4− 106×

1.5− 106×

6− 105×

3 105×

1.2 106×

2.1 106×

3 106×

MOMENTO

0

M x( )

x

Figura 3.29: Momento 83

Y el diagrama de cortante con V x = E I !!!"#$ !!!!

, Figura 3.30


161


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

0.8−0.72−0.64−0.56−0.48−0.4−

0.32−0.24−0.16−0.08−

0

CURVA ELÁSTICA, VIGA BIEMPOTRADA CARGA DISTRIBUIDA HASTA 1/2L0

νFEA x( )

x

Figura 3.28: Curva elástica 82

Igualmente se obtiene el Momento a lo largo del eje mediante: M x = E I !!!"#$ !!!!

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

6− 106×

5.1− 106×

4.2− 106×

3.3− 106×

2.4− 106×

1.5− 106×

6− 105×

3 105×

1.2 106×

2.1 106×

3 106×

MOMENTO

0

M x( )

x

Figura 3.29: Momento 83

Y el diagrama de cortante con V x = E I !!!"#$ !!!!

, Figura 3.30


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 103×

2− 104×

1.3− 104×

6− 103×

1 103×

8 103×

1.5 104×

2.2 104×

2.9 104×

3.6 104×

4.3 104×

5 104×

CORTANTE

0

Vcortante x( )

x

Figura 3.30: Cortante 84

84 Fuente propia

162


3.8.- VIGA DE TIMOSHENKO

A medio camino entre una viga y una placa, existen un tipo de viga corta, ver Figura 3.31

en las cuales la teoría de Bernoulli genera resultados inexactos ya que en este caso no se

pueden despreciar las deformaciones debida al cortante. Se considera principalmente que

las secciones transversales normales permanecen planas pero no necesariamente

perpendiculares al eje de la viga.85

Figura 3.31: Viga corta 86

Para ejemplificar la resolución de este tipo de viga se procederá de la siguiente manera:

Datos:

La matriz de rigidez para viga de Timoshenko es:

Donde F en la matriz de rigidez es el término de corrección por corte. Los parámetros de

la viga son: 85 Marcelo Tulio Piovan, TENSIONES Y DEFORMACIONES REVISIÓN DE PRINCIPIOS FÍSICOS 86 Fuente propia

d1y 0:= φ1 0:= m2 0:= f2y P−:= P

f1y

m1

f2y

m2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

L3 1 φ+( )⋅

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 φ+( ) L2⋅

6− L⋅

2 φ−( ) L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 φ−( ) L2⋅

6− L⋅

4 φ+( ) L2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

f1y

m1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

, P L P⋅4 L3⋅ P⋅ L3 P⋅ φ⋅+

12 E⋅ I⋅−

L2 P⋅2 E⋅ I⋅

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

163


3.8.- VIGA DE TIMOSHENKO

A medio camino entre una viga y una placa, existen un tipo de viga corta, ver Figura 3.31

en las cuales la teoría de Bernoulli genera resultados inexactos ya que en este caso no se

pueden despreciar las deformaciones debida al cortante. Se considera principalmente que

las secciones transversales normales permanecen planas pero no necesariamente

perpendiculares al eje de la viga.85

Figura 3.31: Viga corta 86

Para ejemplificar la resolución de este tipo de viga se procederá de la siguiente manera:

Datos:

La matriz de rigidez para viga de Timoshenko es:

Donde F en la matriz de rigidez es el término de corrección por corte. Los parámetros de

la viga son: 85 Marcelo Tulio Piovan, TENSIONES Y DEFORMACIONES REVISIÓN DE PRINCIPIOS FÍSICOS 86 Fuente propia

d1y 0:= φ1 0:= m2 0:= f2y P−:= P

f1y

m1

f2y

m2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

E I⋅

L3 1 φ+( )⋅

12

6 L⋅

12−

6 L⋅

6 L⋅

4 φ+( ) L2⋅

6− L⋅

2 φ−( ) L2⋅

12−

6− L⋅

12

6− L⋅

6 L⋅

2 φ−( ) L2⋅

6− L⋅

4 φ+( ) L2⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅

d1y

φ1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⋅ solve

f1y

m1

d2y

φ2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

, P L P⋅4 L3⋅ P⋅ L3 P⋅ φ⋅+

12 E⋅ I⋅−

L2 P⋅2 E⋅ I⋅

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→

Siendo ks el factor de corrección de Área.

(3.63)

De la solución los desplazamientos son:

(3.64)

Las funciones de forma son

(3.65)

Y el desplazamiento por tanto es:

L 500:= P 1000:= E 200000:= x 0 0.1, L..:=

b 10:= h 160:= ν 0.3:=

I112b⋅ h3⋅:= ks 0.83:= A b h⋅:= G

E2 1 ν+( )⋅

:=

gE I⋅

ks A⋅ G⋅6.683 103×=:= φ

12 g⋅

L20.321=:=

φ2L2 P⋅2 E⋅ I⋅

−:= d2y4 L3⋅ P⋅ L3 P⋅ φ⋅+

12 E⋅ I⋅−:=

N1 x( ) 2 x3⋅ 3 x2⋅ L⋅− L3+ 12 g⋅−:=

N2 x( ) x3 L⋅ 2 L2⋅ 6 g⋅+( ) x2⋅− x L3 6 g⋅ L⋅+( )⋅+:=

N3 x( ) 2− x3⋅ 3 x2⋅ L⋅+ 12 g⋅+:=

N4 x( ) x3 L⋅ x2 L2− 6 g⋅+( )⋅+ 6 g⋅ L⋅ x⋅−:=

νFEA x( )1

L L2 12 g⋅+( )⋅N1 x( )⋅ d1y⋅

1

L L2 12 g⋅+( )⋅N2 x( )⋅ φ1⋅+

1

L L2 12 g⋅+( )⋅N3 x( )⋅ d2y⋅+

1

L L2 12 g⋅+( )⋅N4 x( )⋅ φ2⋅+:=


x2x3

3 L⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

164


0 100 200 300 400 5000.08−

0.06−

0.04−

0.02−

0

0.02Viga Timoshenko

νFEA x( )

νEDO x( )

500

x

Figura 3.32: Comparativa viga Timoshenko vs Bernoulli 87

3.9.- RESOLUCIÓN DE VIGAS CON ANSYS APDL

Determine las deflexiones y tensiones

Figura 3.33: Viga continúa 88

1. EN PREFERENCES seleccione STRUCTURAL

87 Fuente propia 88 Amar Khennane, Introduction to Finite Element Analysis Using MATLAB® and Abaqus, pág. 90

165


0 100 200 300 400 5000.08−

0.06−

0.04−

0.02−

0

0.02Viga Timoshenko

νFEA x( )

νEDO x( )

500

x

Figura 3.32: Comparativa viga Timoshenko vs Bernoulli 87

3.9.- RESOLUCIÓN DE VIGAS CON ANSYS APDL

Determine las deflexiones y tensiones

Figura 3.33: Viga continúa 88

1. EN PREFERENCES seleccione STRUCTURAL

87 Fuente propia 88 Amar Khennane, Introduction to Finite Element Analysis Using MATLAB® and Abaqus, pág. 90

2. CREAR LA GEOMETRIA

USAR: Preprocessor < Modeling < Create < Keypoints < In Active CS


Tabla 3.2. Coordenadas keypoints

Keypoints x y

1 0 0

2 2000 0

3 4000 0

4 9000 0

5 16000 0

166


3. Clic en Apply para aceptar el resultado, El resultado es el siguiente:

Para dibujar las líneas vamos a:


Con el mouse vamos señalando los Keypoints hasta obtener el siguiente dibujo:

4. DEFINA EL TIPO DE ELEMENTO

167


3. Clic en Apply para aceptar el resultado, El resultado es el siguiente:

Para dibujar las líneas vamos a:


Con el mouse vamos señalando los Keypoints hasta obtener el siguiente dibujo:

4. DEFINA EL TIPO DE ELEMENTO

Seleccione: Element Type < Add/Edit/Delete

Y seleccione Beam, 3node 189, correspondiente a una viga con elemento de alto orden

Definir la sección de la viga mediante: Sections < Beam < Common Sections

168


5. DEFINIR PROPIEDADES DEL MATERIAL

En Preprocessor seleccionar Material Props < Material Models. Seleccionar material

elástico, lineal e isotrópico, llenar en el campo de Módulo de elasticidad el valor de E =

200000 MPa y 0.3 para Poisson que corresponde al acero.

6. MALLADO

Seleccionar Meshing < Mesh Tool < Size Controls < Lines < Set

169


5. DEFINIR PROPIEDADES DEL MATERIAL

En Preprocessor seleccionar Material Props < Material Models. Seleccionar material

elástico, lineal e isotrópico, llenar en el campo de Módulo de elasticidad el valor de E =

200000 MPa y 0.3 para Poisson que corresponde al acero.

6. MALLADO

Seleccionar Meshing < Mesh Tool < Size Controls < Lines < Set

Seleccionar Meshing < Mesh Tool < Mesh < Pick All

Para verificar la dirección de las fuerzas en el command prompt escribir eshape,1

Luego con Plot < Elements

170


7. Se observa que la dirección de las fuerzas debe ser en z, y se activan los

Keypoints para localizar las fuerzas

En las líneas entre el Keypoints 3 y 4 colocamos una presión de -4 N/mm

171


7. Se observa que la dirección de las fuerzas debe ser en z, y se activan los

Keypoints para localizar las fuerzas

En las líneas entre el Keypoints 3 y 4 colocamos una presión de -4 N/mm

Igualmente entre los keypoints de 5 a 6 colocamos -10 N/mm

El nodo 1 es totalmente restringido, por lo tanto vamos a:

Define Loads < Apply < Structural < Displacement < On Keypoints

172


En los Keypoints 3,4,5 se colocan restricciones en Z

173


En los Keypoints 3,4,5 se colocan restricciones en Z

Resolver el sistema de ecuaciones mediante:

Solution < Solve < Current LS

Aparecerá el mensaje: Solution is done

8. POSTPROCESADO REVISIÓN DE RESULTADOS

General Postproc < Plot Results < Deformed Shape


La deformación es de 5.7444 mm y las tensiones son:

174


51.5 MPa

175


51.5 MPa

ANÁLISIS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOSFINITOS, PÓRTICOS PLANOS

4

176


Capítulo 4

Análisis por el método de elementos finitos, Pórticos planos

Figura 4.1: Pórtico de taller 89

4.1.- DETERMINAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL PORTICO

Las estructuras más complejas que involucran elementos a flexión se denominan pórticos.

Los cuales al igual que las armaduras se resuelven utilizando matrices de transformación,

en este caso se debe hallar la matriz de rigidez del elemento viga orientada en el plano

89 http://www.directindustry.es/prod/carl-stahl-gmbh/product-9317-1179245.html

177


Capítulo 4

Análisis por el método de elementos finitos, Pórticos planos

Figura 4.1: Pórtico de taller 89

4.1.- DETERMINAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL PORTICO

Las estructuras más complejas que involucran elementos a flexión se denominan pórticos.

Los cuales al igual que las armaduras se resuelven utilizando matrices de transformación,

en este caso se debe hallar la matriz de rigidez del elemento viga orientada en el plano

89 http://www.directindustry.es/prod/carl-stahl-gmbh/product-9317-1179245.html

178


con un ángulo arbitrario. Luego se incluye el grado de desplazamiento axial en la matriz

de rigidez local.

En este caso el elemento finito corresponde a una viga de inclinación arbitraria con tres

grados de libertad por nodo, ver figura 4.2.

Figura 4.2: Elemento finito viga inclinada 90

Dada la ecuación de transformación conocida:

!!!!

= ! !−! !

!!!!

En las ecuaciones de transformación se integra el término correspondiente a la rotación,

el cual no es influenciado por la orientación de la viga.

!1!!1!!1!2!!2!!2

=

!−!

!!

00

0 0

0 0 00

00

00

10

0 !

0 !

00

00

00

0 −! ! 00 0 0 1

!!!!!!!!!!!!!!!!

(4.1)

Donde la matriz de transformación T es por tanto 90 Daryl L. Logan, “A First Course in the Finite Element Method”, Pág. 236

179


con un ángulo arbitrario. Luego se incluye el grado de desplazamiento axial en la matriz

de rigidez local.

En este caso el elemento finito corresponde a una viga de inclinación arbitraria con tres

grados de libertad por nodo, ver figura 4.2.


Dada la ecuación de transformación conocida:

!!!!

= ! !−! !

!!!!

En las ecuaciones de transformación se integra el término correspondiente a la rotación,

el cual no es influenciado por la orientación de la viga.

!1!!1!!1!2!!2!!2

=

!−!

!!

00

0 0

0 0 00

00

00

10

0 !

0 !

00

00

00

0 −! ! 00 0 0 1

!!!!!!!!!!!!!!!!

(4.1)

Donde la matriz de transformación T es por tanto 90 Daryl L. Logan, “A First Course in the Finite Element Method”, Pág. 236

! =

!−!

!!

00

0 0

0 0 00

00

00

10

0 !

0 !

00

00

00

0 −! ! 00 0 0 1

(4.2)

La matriz local de rigidez correspondiente a la viga se expande según la expresión

!!!!!!!!

!!!!!!!!

= ! !!!

0 0 0 0 0 0 0 12 6! 0 −12 6!0000

6!0−126!

4!! 0 −6! 2!!0−6! 2!!

0 0 0

012−6!

0−6!4!!

!!!!!!!!!!!!!!!!

(4.3)

Esta matriz se debe combinar con la matriz de efectos axiales:

!1!!1!!2!!2!

= !"!

1 00 0

−1 00 0

−1 00 0

1 00 0

!1! !1!!2!!2!

(4.4)

Cuya combinación genera el siguiente arreglo matricial:

(4.5)

Donde C1 = A E/L y C2 = E I/L3. Utilizando la fórmula conocida:

! = !!!!!" (4.6)

Se obtiene la matriz de rigidez global:

k

C1

0

0

C1−

0

0

0

12 C2⋅

6 C2⋅ L⋅

0

12 C2⋅

6 C2⋅ L⋅

0

6 C2⋅ L⋅

4 C2⋅ L2⋅

0

6− C2⋅ L⋅

2 C2⋅ L2⋅

C1−

0

0

C1

0

0

0

12− C2⋅

6− C2⋅ L⋅

0

12 C2⋅

6− C2⋅ L⋅

0

6 C2⋅ L⋅

2 C2⋅ L2⋅

0

6− C2⋅ L⋅

4 C2⋅ L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

C1C1

K TT k⋅ T⋅:= T

180


(4.7)

4.2.- EJERCICIOS CON MATHCAD

4.2.1.- Para el pórtico mostrado resolver los desplazamientos y rotaciones

involucrados


91 Fuente propia

K simplify

E A C2⋅ L2⋅ 12 I⋅ S2⋅+( )⋅

L3

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3−

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2−

E 12 I⋅ S2⋅ A C2⋅ L2⋅−( )⋅

L3

C E⋅ S⋅ A L2⋅ 12 I⋅+( )⋅

L3−

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2−

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3−

E 12 I⋅ C2⋅ A L2⋅ S2⋅+( )⋅

L3

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2

C E⋅ S⋅ A L2⋅ 12 I⋅+( )⋅

L3−

E A L2⋅ S2⋅ 12 C2⋅ I⋅−( )⋅

L3−

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2−

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

E A C2⋅ L2⋅ 12 I⋅ S2⋅+( )⋅

L3−

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2

E A C2⋅ L2⋅ 12 I⋅ S2⋅+( )⋅

L3

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3−

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3

E 12 I⋅ C2⋅ A L2⋅ S2⋅+( )⋅

L3−

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2−

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3−

E 12 I⋅ C2⋅ A L2⋅ S2⋅+( )⋅

L3

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2−

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2−

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

→

181


(4.7)

4.2.- EJERCICIOS CON MATHCAD

4.2.1.- Para el pórtico mostrado resolver los desplazamientos y rotaciones

involucrados


91 Fuente propia

K simplify

E A C2⋅ L2⋅ 12 I⋅ S2⋅+( )⋅

L3

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3−

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2−

E 12 I⋅ S2⋅ A C2⋅ L2⋅−( )⋅

L3

C E⋅ S⋅ A L2⋅ 12 I⋅+( )⋅

L3−

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2−

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3−

E 12 I⋅ C2⋅ A L2⋅ S2⋅+( )⋅

L3

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2

C E⋅ S⋅ A L2⋅ 12 I⋅+( )⋅

L3−

E A L2⋅ S2⋅ 12 C2⋅ I⋅−( )⋅

L3−

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2−

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2

4 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2−

2 E⋅ I⋅L

E A C2⋅ L2⋅ 12 I⋅ S2⋅+( )⋅

L3−

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2

E A C2⋅ L2⋅ 12 I⋅ S2⋅+( )⋅

L3

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3−

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3

E 12 I⋅ C2⋅ A L2⋅ S2⋅+( )⋅

L3−

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2−

C E⋅ S⋅ 12 I⋅ A L2⋅−( )⋅

L3−

E 12 I⋅ C2⋅ A L2⋅ S2⋅+( )⋅

L3

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2−

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2−

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2

2 E⋅ I⋅L

6 E⋅ I⋅ S⋅

L2

6 C⋅ E⋅ I⋅

L2−

4 E⋅ I⋅L

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

→

Donde la longitud es igual para todas las barras y mide 1000 mm, módulo de elasticidad

200000 MPa, A = 1000 mm2, I = 100000 mm4.

Elemento 1: La matriz de rigidez del elemento vertical Θ= 90

Con las siguientes sentencias augment y stack se expande la matriz de rigidez

R1A E⋅L

:= R2E I⋅

L3:=

T

C

S−

0

0

0

0

S

C

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

C

S−

0

0

0

0

S

C

0

0

0

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

S−S−

k

R1

0

0

R1−

0

0

0

12 R2⋅

6 R2⋅ L⋅

0

12− R2⋅

6 R2⋅ L⋅

0

6 R2⋅ L⋅

4 R2⋅ L2⋅

0

6− R2⋅ L⋅

2 R2⋅ L2⋅

R1−

0

0

R1

0

0

0

12− R2⋅

6− R2⋅ L⋅

0

12 R2⋅

6− R2⋅ L⋅

0

6 R2⋅ L⋅

2 R2⋅ L2⋅

0

6− R2⋅ L⋅

4 R2⋅ L2⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

K TT k⋅ T⋅:= T

K simplify

200000 C2⋅ 240 S2⋅+

199760 C⋅ S⋅

120000− S⋅

200000 C2⋅− 240 S2⋅−

199760− C⋅ S⋅

120000− S⋅

199760 C⋅ S⋅

240 C2⋅ 200000 S2⋅+

120000 C⋅

199760− C⋅ S⋅

240 C2⋅− 200000 S2⋅−

120000 C⋅

120000− S⋅

120000 C⋅

80000000

120000 S⋅

120000− C⋅

40000000

200000 C2⋅− 240 S2⋅−

199760− C⋅ S⋅

120000 S⋅

200000 C2⋅ 240 S2⋅+

199760 C⋅ S⋅

120000 S⋅

199760− C⋅ S⋅

240 C2⋅− 200000 S2⋅−

120000− C⋅

199760 C⋅ S⋅

240 C2⋅ 200000 S2⋅+

120000− C⋅

120000− S⋅

120000 C⋅

40000000

120000 S⋅

120000− C⋅

80000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

θ 90π

180⋅:= C cos θ( ):= S sin θ( ):=

K1

400000 C2⋅ 1200 S2⋅+

398800 C⋅ S⋅

600000− S⋅

400000 C2⋅− 1200 S2⋅−

398800− C⋅ S⋅

600000− S⋅

398800 C⋅ S⋅

1200 C2⋅ 400000 S2⋅+

600000 C⋅

398800− C⋅ S⋅

1200 C2⋅− 400000 S2⋅−

600000 C⋅

600000− S⋅

600000 C⋅

400000000

600000 S⋅

600000− C⋅

200000000

400000 C2⋅− 1200 S2⋅−

398800− C⋅ S⋅

600000 S⋅

400000 C2⋅ 1200 S2⋅+

398800 C⋅ S⋅

600000 S⋅

398800− C⋅ S⋅

1200 C2⋅− 400000 S2⋅−

600000− C⋅

398800 C⋅ S⋅

1200 C2⋅ 400000 S2⋅+

600000− C⋅

600000− S⋅

600000 C⋅

200000000

600000 S⋅

600000− C⋅

400000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

182


Elemento 2: La matriz de rigidez del elemento horizontal Θ= 0

zeros

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

z1 augment zerosT zerosT, ( ):= z2 augment z1 z1, ( ):=

K1 stack K1 z2, ( ):= K1 augmentK1 z1, ( ):=

K1

1200

0

600000−

1200−

0

600000−

0

0

0

0

0

0

0

400000

0

0

400000−

0

0

0

0

0

0

0

600000−

0

400000000

600000

0

200000000

0

0

0

0

0

0

1200−

0

600000

1200

0

600000

0

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

400000

0

0

0

0

0

0

0

600000−

0

200000000

600000

0

400000000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

θ 0π

180⋅:= C cos θ( ):= S sin θ( ):=

K2

400000 C2⋅ 1200 S2⋅+

398800 C⋅ S⋅

600000− S⋅

400000 C2⋅− 1200 S2⋅−

398800− C⋅ S⋅

600000− S⋅

398800 C⋅ S⋅

1200 C2⋅ 400000 S2⋅+

600000 C⋅

398800− C⋅ S⋅

1200 C2⋅− 400000 S2⋅−

600000 C⋅

600000− S⋅

600000 C⋅

400000000

600000 S⋅

600000− C⋅

200000000

400000 C2⋅− 1200 S2⋅−

398800− C⋅ S⋅

600000 S⋅

400000 C2⋅ 1200 S2⋅+

398800 C⋅ S⋅

600000 S⋅

398800− C⋅ S⋅

1200 C2⋅− 400000 S2⋅−

600000− C⋅

398800 C⋅ S⋅

1200 C2⋅ 400000 S2⋅+

600000− C⋅

600000− S⋅

600000 C⋅

200000000

600000 S⋅

600000− C⋅

400000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

zeros

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= z1 augment zeros zeros, ( ):=

K2 augment zerosT K2, zerosT, ( ):= K2 stack z1 K2, z1, ( ):=

183



zeros

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

z1 augment zerosT zerosT, ( ):= z2 augment z1 z1, ( ):=

K1 stack K1 z2, ( ):= K1 augmentK1 z1, ( ):=

K1

1200

0

600000−

1200−

0

600000−

0

0

0

0

0

0

0

400000

0

0

400000−

0

0

0

0

0

0

0

600000−

0

400000000

600000

0

200000000

0

0

0

0

0

0

1200−

0

600000

1200

0

600000

0

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

400000

0

0

0

0

0

0

0

600000−

0

200000000

600000

0

400000000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

θ 0π

180⋅:= C cos θ( ):= S sin θ( ):=

K2

400000 C2⋅ 1200 S2⋅+

398800 C⋅ S⋅

600000− S⋅

400000 C2⋅− 1200 S2⋅−

398800− C⋅ S⋅

600000− S⋅

398800 C⋅ S⋅

1200 C2⋅ 400000 S2⋅+

600000 C⋅

398800− C⋅ S⋅

1200 C2⋅− 400000 S2⋅−

600000 C⋅

600000− S⋅

600000 C⋅

400000000

600000 S⋅

600000− C⋅

200000000

400000 C2⋅− 1200 S2⋅−

398800− C⋅ S⋅

600000 S⋅

400000 C2⋅ 1200 S2⋅+

398800 C⋅ S⋅

600000 S⋅

398800− C⋅ S⋅

1200 C2⋅− 400000 S2⋅−

600000− C⋅

398800 C⋅ S⋅

1200 C2⋅ 400000 S2⋅+

600000− C⋅

600000− S⋅

600000 C⋅

200000000

600000 S⋅

600000− C⋅

400000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

zeros

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= z1 augment zeros zeros, ( ):=

K2 augment zerosT K2, zerosT, ( ):= K2 stack z1 K2, z1, ( ):=


K2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

400000

0

0

400000−

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1200

600000

0

1200−

600000

0

0

0

0

0

0

0

600000

400000000

0

600000−

200000000

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

400000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1200−

600000−

0

1200

600000−

0

0

0

0

0

0

0

600000

200000000

0

600000−

400000000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

θ 270π

180⋅:= S sin θ( ):= C cos θ( ):=

K3

400000 C2⋅ 1200 S2⋅+

398800 C⋅ S⋅

600000− S⋅

400000 C2⋅− 1200 S2⋅−

398800− C⋅ S⋅

600000− S⋅

398800 C⋅ S⋅

1200 C2⋅ 400000 S2⋅+

600000 C⋅

398800− C⋅ S⋅

1200 C2⋅− 400000 S2⋅−

600000 C⋅

600000− S⋅

600000 C⋅

400000000

600000 S⋅

600000− C⋅

200000000

400000 C2⋅− 1200 S2⋅−

398800− C⋅ S⋅

600000 S⋅

400000 C2⋅ 1200 S2⋅+

398800 C⋅ S⋅

600000 S⋅

398800− C⋅ S⋅

1200 C2⋅− 400000 S2⋅−

600000− C⋅

398800 C⋅ S⋅

1200 C2⋅ 400000 S2⋅+

600000− C⋅

600000− S⋅

600000 C⋅

200000000

600000 S⋅

600000− C⋅

400000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

zeros

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= z1 augment zerosT zerosT, ( ):= z2 augment z1 z1, ( ):=

K3 augment z1 K3, ( ):=

K3 stack z2 K3, ( ):=

184


La suma de las matrices individuales da:

Condiciones de Frontera

La submatriz se extrae

K3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1200

0

600000

1200−

0

600000

0

0

0

0

0

0

0

400000

0

0

400000−

0

0

0

0

0

0

0

600000

0

400000000

600000−

0

200000000

0

0

0

0

0

0

1200−

0

600000−

1200

0

600000−

0

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

400000

0

0

0

0

0

0

0

600000

0

200000000

600000−

0

400000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

K

1200

0

600000−

1200−

0

600000−

0

0

0

0

0

0

0

400000

0

0

400000−

0

0

0

0

0

0

0

600000−

0

400000000

600000

0

200000000

0

0

0

0

0

0

1200−

0

600000

401200

0

600000

400000−

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

401200

600000

0

1200−

600000

0

0

0

600000−

0

200000000

600000

600000

800000000

0

600000−

200000000

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

401200

0

600000

1200−

0

600000

0

0

0

0

1200−

600000−

0

401200

600000−

0

400000−

0

0

0

0

0

600000

200000000

600000

600000−

800000000

600000−

0

200000000

0

0

0

0

0

0

1200−

0

600000−

1200

0

600000−

0

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

400000

0

0

0

0

0

0

0

600000

0

200000000

600000−

0

400000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1x 0:= d1y 0:= φ1 0:=

d4x 0:= d4y 0:= φ4 0:=

f2x 10000:= f2y 0:= m2 0:=

f3x 0:= f3y 0:= m3 5000:=

KS submatrixK 3, 8, 3, 8, ( ):=

185


La suma de las matrices individuales da:

Condiciones de Frontera

La submatriz se extrae

K3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1200

0

600000

1200−

0

600000

0

0

0

0

0

0

0

400000

0

0

400000−

0

0

0

0

0

0

0

600000

0

400000000

600000−

0

200000000

0

0

0

0

0

0

1200−

0

600000−

1200

0

600000−

0

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

400000

0

0

0

0

0

0

0

600000

0

200000000

600000−

0

400000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

K

1200

0

600000−

1200−

0

600000−

0

0

0

0

0

0

0

400000

0

0

400000−

0

0

0

0

0

0

0

600000−

0

400000000

600000

0

200000000

0

0

0

0

0

0

1200−

0

600000

401200

0

600000

400000−

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

401200

600000

0

1200−

600000

0

0

0

600000−

0

200000000

600000

600000

800000000

0

600000−

200000000

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

401200

0

600000

1200−

0

600000

0

0

0

0

1200−

600000−

0

401200

600000−

0

400000−

0

0

0

0

0

600000

200000000

600000

600000−

800000000

600000−

0

200000000

0

0

0

0

0

0

1200−

0

600000−

1200

0

600000−

0

0

0

0

0

0

0

400000−

0

0

400000

0

0

0

0

0

0

0

600000

0

200000000

600000−

0

400000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d1x 0:= d1y 0:= φ1 0:=

d4x 0:= d4y 0:= φ4 0:=

f2x 10000:= f2y 0:= m2 0:=

f3x 0:= f3y 0:= m3 5000:=

KS submatrixK 3, 8, 3, 8, ( ):=

Los desplazamientos se determinan de acuerdo a la siguiente expresión:

Se extraen las soluciones mediante:

Postprocesado: Las fuerzas se obtienen mediante la sustitución inversa

Obteniéndose los siguientes resultados:

d KS 1−

f2x

f2y

m2

f3x

f3y

m3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:= d

5.966

0.011

3.597− 10 3−×

5.954

0.011−

3.576− 10 3−×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

KS

401200

0

600000

400000−

0

0

0

401200

600000

0

1200−

600000

600000

600000

800000000

0

600000−

200000000

400000−

0

0

401200

0

600000

0

1200−

600000−

0

401200

600000−

0

600000

200000000

600000

600000−

800000000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

→

d2x d0:= d3x d3:=

d2y d1:= d3y d4:=

φ2 d2:= φ3 d5:=

FTOTAL K

d1x

d1y

φ1

d2x

d2y

φ2

d3x

d3y

φ3

d4x

d4y

φ4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⋅:=

f1x FTOTAL0:= f2x FTOTAL3:= f3x FTOTAL6:= f4x FTOTAL9:=

f1y FTOTAL1:= f3y FTOTAL4:= f3y FTOTAL7:= f4y FTOTAL10:=

m1 FTOTAL2:= m2 FTOTAL5:= m3 FTOTAL8:= m4 FTOTAL11:=

186


Los desplazamientos se los determina mediante:

100− 60 220 380 540 700 860 1.02 103× 1.18 103

× 1.34 103× 1.5 103

×100−

60

220

380

540

700

860

1.02 103×

1.18 103×

1.34 103×

1.5 103×

Desplazamiento

Ly

Lyc

Lx Lxc,


92 Fuente propia

f1x 5.001− 103×= f1y 4.278− 103×= m1 2.86 106×=

f2x 10 103×= f2y 0= m2 6.985− 10 10−×=

f3x 3.756 10 10−×= f3y 1.364− 10 12−

×= m3 5 103×=

f4x 4.999− 103×= f4y 4.278 103×= m4 2.857 106×=

factor 30:=

Lx

0

0

1000

1000

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= Ly

0

1000

1000

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Lxc

0 d1x factor⋅+

0 d2x factor⋅+

1000 d3x factor⋅+

1000 d4x factor⋅+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= Lyc

0 d1y factor⋅+

1000 d2y factor⋅+

1000 d3y factor⋅+

0 d4y factor⋅+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

187


Los desplazamientos se los determina mediante:

100− 60 220 380 540 700 860 1.02 103× 1.18 103

× 1.34 103× 1.5 103

×100−

60

220

380

540

700

860

1.02 103×

1.18 103×

1.34 103×

1.5 103×

Desplazamiento

Ly

Lyc

Lx Lxc,


92 Fuente propia

f1x 5.001− 103×= f1y 4.278− 103×= m1 2.86 106×=

f2x 10 103×= f2y 0= m2 6.985− 10 10−×=

f3x 3.756 10 10−×= f3y 1.364− 10 12−

×= m3 5 103×=

f4x 4.999− 103×= f4y 4.278 103×= m4 2.857 106×=

factor 30:=

Lx

0

0

1000

1000

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= Ly

0

1000

1000

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Lxc

0 d1x factor⋅+

0 d2x factor⋅+

1000 d3x factor⋅+

1000 d4x factor⋅+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:= Lyc

0 d1y factor⋅+

1000 d2y factor⋅+

1000 d3y factor⋅+

0 d4y factor⋅+

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

:=

4.3.- RESOLUCIÓN DE PÓRTICOS CON ANSYS APDL

DISEÑE UNA GRUA DE PORTICO PARA 10 TONELADAS Y UNA LUZ DE

6000 mm

Grua de pórtico93

Crear Keypoints en 0,0 y 6000,0

Crear la linea respectiva

Seleccionar una primera alternativa

93 http://pro-grua.blogspot.com/2010/05/gruas-portico.html

188


Que podría ser la viga IPN 450

Cuyas medidas seria h= 450, b= 170, tw = 16,2 y tf = 24.3 mm

Escogemos Elemento beam 188 con options k3 = cuadratic

189


Que podría ser la viga IPN 450

Cuyas medidas seria h= 450, b= 170, tw = 16,2 y tf = 24.3 mm

Escogemos Elemento beam 188 con options k3 = cuadratic

Propiedades del acero

190


Se malla con una magnitud de 250 mm

191


Se malla con una magnitud de 250 mm

En la línea de comandos ponemos /ESHAPE,1 y plot elements

Se puede ver la orientación para los otros Keypoints.

192


Dibujar las lineas

193


Dibujar las lineas

Dibujar los refuerzos

194


Dibujar las 8 lineas restantes

195


Dibujar las 8 lineas restantes

Para los miembros inferiores se escoge tubo sin costura de 4 plg ( 114.3 x 8.56 mm)

196


CARGAS:

10 tons = 100000 N

RESTRICCIONES

Un apoyo fijo y los 3 restantes solo restricción en

197


CARGAS:

10 tons = 100000 N

RESTRICCIONES

Un apoyo fijo y los 3 restantes solo restricción en

198


17 mm de desplazamiento

Tensiones da: 71.9 MPa, N = 210/71.9 = 3

199


17 mm de desplazamiento

Tensiones da: 71.9 MPa, N = 210/71.9 = 3

Lista de referencias

1. Logan, Daryl, (2012), Fifth Edition, CENGAGE LEARNING, Stamford. A FIRST

COURSE IN THE FINITE ELEMENT METHOD, [UN PRIMER CURSO EN EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS].

2. Hutton, David, (2002), Second. Edition, McGraw-Hill, New York. FUNDAMENTAL OF FINITE ELEMENT ANALYSIS, ,[FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS]

3. Reedy, J, (2005), Third. Edition, McGraw-Hill, New York, AN INTRODUCTION TO THE FINITE ELEMENT METHOD, [INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS].

4. Amar Khennane, (2013), CRC Press, INTRODUCTION TO FINITE ELEMENT

ANALYSIS USING MATLAB® AND ABAQUS

Publicaciones Científicas

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