Introducción_a_la_Hidraulica

INTRODUCCIN A LA HIDRAULICA

esta estara contenida en el agua

De existir magia en este mundo

BUSTAMANTE PONCE M.

SEGUNDA EDICIN COCHABAMBA - BOLIVIA

INTRODUCCIN A LA HIDRAULICASegunda Edicin Octubre 2005.

Mauricio Bustamante Ponce, Ing.Ingeniro Civil, Hidraulico Geotecnico Asistencia Tcnica En Ingeniera Municipal S.R.L. Cochabamba, Bolivia

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INTRODUCCION A LA HIDRAULICA

NDICE

NDICE1. CONCEPTOS GENERALES 1.1. MECNICA DE FLUIDOS 1.2. DEFINICIN DE FLUIDO 1.3. SISTEMAS DE UNIDADES 1.4. DENSIDAD DE MASA 1.5. PESO ESPECIFICO 1.6. VISCOSIDAD 1.7. COMPRESIBILIDAD 1.8. TENSIN SUPERFICIAL 1.9. CAPILARIDAD 1.10. PRESIN DE VAPOR EJERCICIOS RESUELTOS 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. ESTTICA DE LOS FLUIDOS PRESIN VARIACIN DE LA PRESIN CON RESPECTO A SU POSICIN PARADOJA DE LA HIDROSTTICA MEDICIN DE LA PRESIN FUERZA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS SUPERFICIE PLANA VERTICAL SUPERFICIE PLANA INCLINADA SUPERFICIE CURVA 2.6. FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD PRINCIPIO DE ARQUIMIDES ESTABILIDAD DE CUEROS SUMERGIDOS ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 2.7. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACIN CONSTANTE ACELERACIN LINEAL CONSTANTE VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE EJERCICIOS RESUELTOS 3. 3.1. CINEMTICA DE FLUIDOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES VELOCIDAD PERMANENCIA Y UNIFORMIDAD DE LAS VELOCIDADES CAMPOS DE FLUJO, LNEAS DE CORRIENTE, TRAYECTORIAS ECUACIN GENERAL DEL VOLUMEN DE CONTROL CONTINUIDAD, VELOCIDAD MEDIA Y CAUDAL PLANTEAMIENTO PARA UN TUBO DE CORRIENTE ECUACIN DE LA CONTINUIDAD PARA FLUJO BIDIMENSIONAL Pgina 1 1 1 2 3 3 3 5 7 7 8 10 18 18 20 22 23 26 26 26 28 29 31 31 32 33 35 37 38 67 67 67 67 68 69 72 72 74

3.2. 3.3.

i


NDICE

3.4. 3.5.

ACELERACIONES DEFORMACIN, ROTACIONALIDAD Y VORTICIDAD TRASLACIN DEFORMACIN LINEAL DEFORMACIN ANGULAR 3.6. FUNCIN DE CORRIENTE 3.7. FLUJO POTENCIAL EJERCICIOS RESUELTOS 4. 4.1. DINMICA DE FLUIDOS DINMICA DE LOS FLUIDOS IDEALES INCOMPRESIBLES ECUACIN DE EULER PLANTEAMIENTO BIDIMENSIONAL ECUACIN DE EULER PARA FLUJO PERMANENTE, ECUACIN DE BERNOULLI 4.2. ECUACIN DE LA ENERGA INTERPRETACIN DE LA ECUACIN DE LA ENERGA POTENCIA 4.3. FLUJO EN ORIFICIOS ECUACIN GENERAL DE LOS ORIFICIOS COEFICIENTE DE VELOCIDAD, CONTRACCIN Y GASTO EN ORIFICIOS DE PARED DELGADA ORIFICIOS CON DESCARGA SUMERGIDA ORIFICIOS DE PARED GRUESA VACIADO DE TANQUES 4.4. ECUACIN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO MTODO DE SOLUCIN DE PROBLEMAS 4.5. DINMICA DE LOS FLUIDOS REALES EFECTO DE LA VISCOSIDAD, ECUACIN DE NAVIER-STOKES FLUJO VISCOSO UNIFORME Y PERMANENTE - Flujo entre placas paralelas - Flujo en tuberas circulares de seccin constante EXPERIENCIA DE REYNOLDS TEORA DE LA CAPA LIMITE TURBULENCIA DISTRIBUCIN DE VELOCIDADES, SUPERFICIES LISAS Y RUGOSAS - Superficies lisas - Superficies rugosas PERDIDAS DE ENERGA EN FLUJO TURBULENTO - Planteamiento general - Planteamiento para tuberas circulares EJERCICIOS RESUELTOS

Pgina 76 77 77 77 78 80 82 83 95 95 95 98 99 101 105 106 109 109 110 114 115 117 119 121 121 122 123 123 123 127 129 130 132 132 136 137 137 138 142ii


NDICE

5. 5.1.

FLUJO EN TUBERAS RESISTENCIA AL FLUJO EN TUBERAS CIRCULARES TUBERAS CIRCULARES FACTOR DE FRICCIN FORMULA DE HAZEN-WILLIANS FORMULA DE MANNING PERDIDAS LOCALIZADAS a) Formula general b) Entradas c) Expansin d) Contraccin e) Cambios de direccin f) Vlvulas g) Bifurcaciones 5.2. FLUJO PERMANENTE ECUACIONES BSICAS TIPOS DE PROBLEMAS 5.3. TUBERAS SIMPLES 5.4. TUBERAS MLTIPLES 5.5. PLANTEAMIENTO GENERAL PARA REDES SISTEMA Q SISTEMA H SISTEMA Q MTODOS DE SOLUCIN DE REDES - Mtodo de Cross - Mtodo de Newton-Raphson EJERCICIOS RESUELTOS

Pgina 164 164 164 165 167 169 170 170 171 171 173 173 175 176 179 179 183 184 187 189 190 191 191 192 192 192 194

iii


CONCEPTOS GENERALES

1CONCEPTOS GENERALES1. MECNICA DE FLUIDOS

La mecnica de fluidos es la ciencia en la cual los principios de la mecnica general se emplean en el estudio del comportamiento de los fluidos, tanto lquidos como gases, en lo referente a la esttica, cinemtica y dinmica. El anlisis del comportamiento de los fluidos se basa en las leyes fundamentales de la mecnica aplicada, las cuales relacionan la conservacin de la masa, energa y cantidad de movimiento. La hidromecnica es la rama de la mecnica de fluidos que estudia las leyes de equilibrio y movimiento de fluidos incompresibles, especialmente los lquidos. Cuando las leyes y principios de la hidromecnica se aplican al estudio del flujo de agua en estructuras que interesan directamente al ingeniero civil, surge la disciplina conocida como hidromecnica tcnica o hidrulica. 2. DEFINICIN DE FLUIDO

De acuerdo con el aspecto fsico que se tiene en la naturaleza, la materia se puede clasificar en tres estados: slido, lquido y gaseoso, de los cuales los dos ltimos se conocen como fluidos. A diferencia de los slidos, por su constitucin molecular, los fluidos pueden cambiar continuamente la posicin relativa de sus molculas, sin ofrecer gran resistencia al desplazamiento entre ellas, aun cuando ste sea muy grande o muy pequeo. La definicin anterior implica que si el fluido se encuentra en reposo en su interior no pueden existir fuerzas tangenciales a superficie alguna, cualquiera que sea su orientacin y que dichas fuerzas se presentan slo cuando el fluido est en movimiento. Por el contrario, un slido en reposo s admite fuerzas tangenciales a las superficies (en igualdad de condiciones), las cuales producen desplazamientos relativos entre sus partculas con una magnitud perfectamente definida. El anlisis riguroso del comportamiento de los fluido debe considerar la accin individual de las molculas; sin embargo, en las aplicaciones propias de la ingeniera el centro de inters reside sobre las condiciones medias de velocidad, presin, temperatura, densidad, etc., de ah que en lugar de estudiar por separado la conglomeracin real de molculas, se supone que el flujo es un medio continuo, es decir, una distribucin continua de materia sin espacios vacos. 3. SISTEMAS DE UNIDADES

Todo problema relacionado con el movimiento de los fluidos puede ser definido en trminos de: longitud (L), tiempo (T), y fuerza (F) o bien de longitud, tiempo y masa (M). La equivalencia entre ambos sistemas viene establecida por la ecuacin de Newton, que dimensionalmente puede expresarse:

1


CONCEPTOS GENERALES

F=

d

ML T2

;

M=

d

F T2 L

(1)

Donde la letra d sobre el signo igual, significa igualdad dimensional. Se puede decir en funcin de lo mencionado previamente que 1 N es la fuerza requerida para acelerar 1 kg masa a 1 m/s2, dado que la relacin entre pes|o (W) y masa (M) viene dado por la ecuacin de Newton:

W=Mg

(2)

Donde la variable g es la aceleracin de la gravedad. De esto resulta que un Newton es equivalente a un kgf dividido por la aceleracin de gravedad, o sea, 1 N es aproximadamente igual a 0.1019 kgf o 1 kgf es 9.807 N. De la misma manera se aplica a cualquier sistema de unidades, que uno use, por ejemplo el sistema ingles, o el sistema tcnico de unidades. Lo importante es que no se mezcle unidades de un sistema a otro, todo el sistema debe ser consecuente. En la Tabla 1.1 se presenta las unidades para tres sistemas diferentes.Tabla 1.1 Smbolos y unidades usuales.

Concepto Longitud Tiempo Velocidad Aceleracin Masa Fuerza Presin Trabajo4.

Smbolo L T V A M, m F P T

Internacional Metro, m Segundo, s m/s m/s2 Kilogramo, kg Newton, N Pascal, Pa Nm

Sistema de medicin Ingles Pulgada, Plg Segundo, s Plg/s Plg/s Slug Libra, lbf lbf/plg2 lbf plg

Tcnico Metro, m Segundo, s m/s m/s2 kg s-2/m Kilogramo, kg Kg/m2 Kg m

DENSIDAD DE MASA

La densidad de una sustancia es la cantidad de materia contenido en una unidad de volumen de la misma. La densidad de masa en un punto es determinada por consideracin de la masa m de un volumen pequeo V alrededor de un punto. Para preservar el concepto de fluido como continuo, decimos que el V no es ms pequeo que 3x, donde x es una dimensin lineal la cual es mas grande comparada con la distancia entre las molculas. La densidad: = Para agua a 4 C = 1000 Kg/m3. Para aire a 20 C y presin estndar = 1.2 Kg/m3. M V (3)

2


CONCEPTOS GENERALES

5.

PESO ESPECFICO

El peso especfico es el peso de una sustancia por unidad de volumen de la misma. Donde el peso de la sustancia esta influenciada por la fuerza gravitacional. = W V (4)

Donde W es el peso del fluido de volumen V. Existe una relacin entre el peso especfico y la densidad, esta puede ser deducida desde la segunda ley de newton, esta relacin es: =g (5)6. DENSIDAD RELATIVA

La densidad relativa gravedad especifica, es el ndice entre los pesos especficos o densidades de una sustancia cualquiera con el agua. El peso especifico y la densidad del agua debe ser a 4 C de temperatura. La ecuacin aplicada para determinar este parmetro se presenta a continuacin: Dr =7. VISCOSIDAD

sust = sust agua agua

(6)

La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la interaccin y cohesin de sus molculas. Los fluidos en reposo no ofrecen resistencia a los esfuerzos de corte, si estos esfuerzos actan directamente sobre el fluido. Pero si el fluido esta en contacto con una superficie rgida y a esta se le induce una fuerza que hace que la superficie se mueva con una velocidad, entonces el fluido tambin se mover a las misma velocidad que esta superficie. Se tiene dos placas paralelas, una esttica y la otra mvil, separadas una distancia dy. Cuando a la placa superior mvil, no se le aplica ninguna fuerza la seccin AB se mantiene inalterado, pero al inducirle una fuerza dF, se producir una velocidad en direccin v, por lo que las partculas de fluido en contacto con la placa mvil adquieren la velocidad de la placa y las partculas en contacto con la placa fija se mantienen con velocidad cero. Ver esquema de la figura 1.1. Se producir un gradiente de velocidades, que en el caso de un fluido real tendr una forma parablica y en caso de un fluido ideal tendr una distribucin lineal. El esfuerzo de corte que se produce entre las partculas es proporcional a la pendiente de la recta del segundo caso: dv dy (7)

Donde dv/dy es el gradiente de velocidades del sistema que mencionamos con anterioridad o la pendiente de la recta. Para hacer que esta relacin de proporcionalidad sea una igualdad, se incluye un coeficiente: = dv dy (8)

Donde se conoce como el coeficiente de viscosidad dinmica de un fluido.

3


CONCEPTOS GENERALES

y dv dF B Caso Ideal dy Caso real AFig. 1.1. Fluido entre placas paralelas.

B'

v

Si experimentalmente se midiera la velocidad de deformacin y el esfuerzo de corte, se obtiene una recta que pasa por el origen, a la pendiente de esta recta se le llama viscosidad dinmica. Este coeficiente es funcin del tipo de fluido. Mientras el fluido es ms viscoso la placa superior tendr un movimiento ms lento. La relacin presentada para la viscosidad dinmica en la ecuacin 8 se denomina ley de la viscosidad de Newton. Los fluidos que cumplan con esta ley, se los denomina fluidos newtonianos y los que no la cumplan se los denomina fluidos no-newtonianos. Las unidades de la viscosidad dinmica son: N s/m2 o Lb s/Pie2. Se denomina viscosidad cinemtica () a la relacin entre la viscosidad dinmica y la densidad del fluido. = (9)

Las unidades de la viscosidad cinemtica son: m2/s o pie2/s.8. COMPRESIBILIDAD

La compresibilidad de un fluido es una medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su densidad) cuando se somete a diversas presiones. Cuando un volumen V de un lquido de densidad y presin p se somete a compresin por efecto de una fuerza F, como se muestra en la figura 1.2 la masa total del fluido V permanece constante, es decir:d ( V ) = dV + V d = 0

(10)

Ordenando se obtiene la siguiente expresin: V = dV d (11)

Al multiplicar ambos miembros por el diferencial de presin (dp), se obtiene:

4


CONCEPTOS GENERALES

EV =

dp dV V

=+

dp d

(12)

La variable EV se conoce como mdulo de elasticidad volumtrico y es anlogo al mdulo de la elasticidad lineal empleado para caracterizar la elasticidad de los slidos.

Fig. 1.2. Esquema de fluido comprimido.

El mdulo de elasticidad volumtrico se define como el cambio de presin divido al cambio asociado en el volumen o densidad, por unidad de volumen o densidad respectivamente, siendo una medida directa de la compresibilidad del fluido. Sus dimensiones son las de esfuerzo F/L2. El signo negativo de la ecuacin indica una relacin inversa entre el volumen del fluido y la presin aplicada a este, es decir, a un aumento de la presin disminuye en el volumen. El mdulo de elasticidad volumtrico del agua vara principalmente con la temperatura, como se muestra en la Figura 1.3 donde el valor de las condiciones estndar es 2.09 108 Kg m 2 es decir, aproximadamente 100 veces ms compresible que el acero.

Fig. 1.3. Mdulo de elasticidad volumtrico del agua en funcin a la temperatura.

Es comn designar la compresibilidad como el recproco del mdulo de elasticidad volumtrico:

=

1 EV

(13)

5


CONCEPTOS GENERALES

9.

TENSIN SUPERFICIAL

Una molcula sumergida dentro un fluido, es atrada en todas las direcciones por molculas que se encuentran a su alrededor y ejercen sobre ella una fuerza cohesiva. Cuando las molculas estn por debajo la superficie del lquido, estas ejercern fuerzas en todas las direcciones haciendo que estas fuerzas alcancen un equilibrio. Pero las molculas que se encuentran justamente en la superficie del fluido tendrn un desbalance entre las fuerzas cohesivas, como se muestra en la figura 1.4. Esto provocara una tensin en la superficie entre las componentes horizontales de estas fuerzas. Esta tensin es conocida como tensin superficial.

Fig. 1.4. Esquema de fuerzas en puntos de un fluido dentro y en la superficie del mismo.

El caso de la gota de agua:

Fi FT

Fig. 1.5. Esquema de fuerzas en media gota de agua.

Fuerza debido a la presin interna se determina mediante la siguiente expresin: Fi = p r 2 Y la fuerza debido a la tensin superficial se presenta en la siguiente ecuacin:FT = 2 r

(14) (15) (16) (17)

Para lograr el equilibrio entre ambas fuerzas estas deben ser iguales:Fi = FT

pr = 2r2

Despejando P se obtiene la siguiente ecuacin: p= 2 r (18)

Donde la variable p es la presin al interior de la burbuja, es la componente de tensin superficial y r el radio de la gota.6


CONCEPTOS GENERALES

10. CAPILARIDAD

Si sumergimos un pequeo tubo dentro de un fluido, el lquido se elevara dentro del tubo, es decir que las fuerzas de cohesin que existe entre las partculas del lquido con las del tubo son ms grandes que las fuerzas de atraccin entre las partculas del lquido solamente. Por otro lado, cuando las fuerzas de atraccin son ms fuertes que las de cohesin, Ej. Mercurio, la columna de lquido descender. A este fenmeno se denomina efecto capilar, este es un efecto causado por la tensin superficial. Las fuerzas de cohesin son aquellas que existen entre dos partculas de naturaleza diferente, y las fuerzas de atraccin son las que existen entre dos partculas de la misma naturaleza.

Fig. 1.5 Esquema de ascenso capilar en un conducto delgado

De la figura 1.5 el peso del lquido que asciende en el tubo es igual a: WLiq = V WLiq D2 = g H 4 (19)

La tensin superficial que produce el ascenso es igual a la componente de tensin que produce ascenso por el permetro del tubo, es decir: FTS = cos D (20)

La nica fuerza que se opone al ascenso es el peso propio del bloque lquido de altura H ecuacin 19. Para el sistema este en equilibrio el peso del bloque de lquido que asciende debe ser igual a la fuerza debido a la tensin superficial: cos D = g D2 H 4 4 cos H= gD

(21)

Donde la variable H es la altura la que sube el fluido dentro del tubo capilar.11. PRESIN DE VAPOR

Para ciertas condiciones de temperatura y presin, los lquidos se vaporizan; es decir, cambian de estado, convirtindose en gases. La presin de vapor (Pv) se define como aquella presin, para una temperatura dada, en la cual un lquido se vaporiza.

7


CONCEPTOS GENERALES

En el estudio de la mecnica de los lquidos, la presin de vapor es de especial importancia, pues el lquido se vaporizara si llegara a alcanzarse, perdiendo as, no solo la continuidad de la materia, sino ocasionado el llamado fenmeno de cavitacin. En la tabla 1.2 se presenta los valores de algunas propiedades de los fluidos para distintos lquidos entre ellos la presin de vapor. El fenmeno de cavitacin se produce cuando el fluido alcanza la presin de vapor, el fluido se convierte en gas o cambia se estado formando burbujas de gas, esta se mueven de zonas de presiones bajas a zonas de presiones altas e implocionan, provocando ondas de expiacin perjudiciales a las estructuras.Tabla 1.2. Propiedades fsicas aproximadas de algunos lquidos a presin atmosfrica

Liquido Benceno CCL4 Alcohol etlico Gasolina Petrleo crudo Glicerina Mercurio Agua

Temperatura Densidad C kg/m3 876.2 1567.4 788.6 680.3 855.6 257.6 13555 999.8 1000 999.7 998.2 992.2 983.2 971.8 958.4

Densidad relativa 0.88 1.59 0.79 0.68 0.86 1.26 13.57 1 1 1 0.998 0.992 0.983 0.972 0.956

Tensin superficial N/m 0.029 0.026 0.022 --0.03 0.063 0.51 0.076 0.075 0.074 0.073 0.07 0.066 0.063 0.059

Presin de vapor (abs.) kPa 10 13.1 5.86 55.2 --1.4x10-5 1.7x10-4 0.61 0.87 1.23 2.34 7.38 19.92 47.34 101.33 kg/m2 1.019 1.336 598 5625 --1.43x10-3 1.73x10-2 62.2 87.7 125.4 235.6 752.5 2031.3 4827.3 10332.7

20 20 20 20 20 20 15.6 0 5 10 20 40 60

8


CONCEPTOS GENERALES

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Para la distribucin de velocidad parablica, generada por el movimiento de una placa sobre un fluido de viscosidad , encontrar el esfuerzo de corte sobre la placa mvil.y Vo A d

O

Se considera a la distribucin de velocidades como una parbola con vrtice en A, por lo tanto tomando como ejes coordenados el origen en O tendremos sus coordenadas O(0,0) y de A (vo,d). Aplicando la ecuacin general de una parbola: v = a y2 + b Para O (0,0): b = 0. Para A (vo, d):

vo = a d2 v a= o d2

Por lo tanto la ecuacin de la parbola es: v= Derivando la velocidad en funcin de y: v dv =2 o y dy d2 Reemplazando en la ecuacin de Newton (ecuacin 8): v = 2 o y d2 El esfuerzo de corte mximo se dar cuando la variable y sea igual a d, distancia mxima entre placas: v = 2 o d d2 v = 2 o d vo 2 y d2

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CONCEPTOS GENERALES

2. Se tiene dos recipientes A y B colocados sobre los platillos de una balanza. Cuando estn vacos la balanza esta en equilibrio. Al llenar el recipiente A de un lquido hasta una altura de 20 cm, la balanza indica 930 g peso; para volver a equilibrarla es necesario llenar el recipiente B con otro liquido hasta una altura de 20 cm. Cules son los pesos especficos de los lquidos?15 cm. 8 cm.

5 cm. 20 cm. 20 cm.

A

B

5 cm.

Como ya se explico en el aparte 5, el peso especfico es el peso de un lquido por unidad de volumen. = W V

El peso del lquido del recipiente A es de 0.93 kg que es igual al del recipiente B. El volumen de los dos recipientes se determina de la siguiente manera: (0.05) (0.15) + (0.15) VA = 4 4 3 VA = 1.18 10 m 32 2

(0.05)

VB =

(0.08) (0.20) 4 VB = 1.0110 3 m 32

Una ves obtenidos los volmenes se puede determinar los pesos especificos de ambos liquidos: A = WA 0.93 = VA 1.18 10 3 A = 789.5 kg f 3 m

B =

WB 0.93 = VB 1.01 10 3 A = 920.8 kg f 3 m

10


CONCEPTOS GENERALES

3. Un cilindro slido A de masa 2.5 kg se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra en la figura. El cilindro es perfectamente concntrico con la lnea central del tubo, con una pelcula de aceite entre el cilindro y la superficie interna del tubo. El coeficiente de viscosidad del aceite es de 7 x 10-3 N s/m2. Cul ser la velocidad terminal del cilindro, es decir, la velocidad constante al final del cilindro.

Se asume que el fluido del sistema es Newtoniano, entonces se aplica la ecuacin de Newton (ecuacin 8) para fluidos ideales: dv dy v-0 = 0.0001 v = 7 x10 3 0.0001 = 70 v = En la ecuacin anterior, el valor de v se tomara como la velocidad terminal vT. Por otro lado se determina el peso del cilindro interior mediante la siguiente expresin: W = Ac W = DL Donde: Ac; rea del cilindro interior en contacto con el lquido. W; peso del cilindro interior. D; Dimetro del cilindro interior. L; la longitud del cilindro interior. Reemplazando, y resolviendo:

(2.5)(9.81) = (70 v T )( 0.0738)(0.150)v T = 10.07 m / s

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CONCEPTOS GENERALES

4. Un cuerpo que pesa 90 lb y que tiene una superficie plana de 2 pie2 se resbala sobre un plano lubricado, el cual forma un ngulo de 30 con la horizontal. Para una viscosidad de 2.09 10 3 lb s pie 2 y una velocidad del cuerpo de 3 pie/s, determinar el espesor de la pelcula lubricante.

El esfuerzo cortante es igual a la fuerza por unidad de rea: = F A

El peso se descompone en sus componentes perpendicular (1) y paralelo (2) al plano inclinado.F1 = F cos 30 = (90 ) cos 30 F1 = 77.94 lb F2 = F sen30 = (90 ) sen 30 F2 = 45 lb

De las dos fuerzas calculadas previamente, la componente 2 es la que produce el esfuerzo de corte, por lo tanto el esfuerzo de corte es: F2 45 = A 2 = 22.5 lb 2 Pie = Se asume que el fluido es Newtoniano, entonces se aplica la ecuacin de Newton (ecuacin 8) para fluidos ideales: dv dy dv dy = (v 0 ) y= = v y= = El espesor de la pelcula lubricante es: y = 3.3 10 3 p lg

(2.09x10 ) (3)3

22.5

12


CONCEPTOS GENERALES

5. Un eje rota dentro de una camisa concntrica a 1200 rpm. La luz e es pequea con respecto al radio R, de tal manera que se puede suponer una distribucin lineal de velocidad en el lubricante. Cules son los requerimientos de potencia para rotar el eje? R =2 cm, L = 6 cm, e = 0.1 mm y = 0.2 N S/m2.

e L

R

Aplicando la ecuacin de Newton (ecuacin 8), se determina el esfuerzo de corte: =

(125.66)(0.02) R dv = (0.2) = dy e 0.0001 = 5026.5 N 2 mP=T

La potencia requerida para rotar el eje se determina mediante la siguiente ecuacin:

Donde: T = momento torsor. = Velocidad angular del eje. La velocidad angular del eje es: v= R 2 = 125.66 rad = 1200 s 60 El momento torsor es igual a: T = AC R = p L R Donde: Ac; rea del eje en contacto con el lquido. p; permetro del eje.T = p L R = (2 R L ) R T = (5026.5)(2 )(0.02 )(0.06 )(0.02 )

T = 0.758 N m Potencia requerida para rotar el eje es:P = (0.758)(125.66 )

P = 95.2 W13


CONCEPTOS GENERALES

6. Un viscosmetro (aparato para medir la viscosidad), consiste en 2 cilindros coaxiales separados una distancia muy pequea, donde se coloca el fluido deseado. Uno de ellos se hace girar con una velocidad angular , mientras que el otro se mantiene estacionario mediante la aplicacin de un momento que puede medirse. Para el caso mostrado en la figura, se desea calcular la viscosidad, si la velocidad angular es 40 rpm y el momento 2 kg m.

Se asume que el lquido a medir es Newtoniano, por tal motivo se aplica la ecuacin de Newton: = dv dy

Se determinar por un lado el gradiente de velocidades:r dv = = dy e

(40)

2 (0.4 0.002) 60 0.002

m dv = 833.57 s m dy

Por otro lado se conoce que el esfuerzo de corte, es igual a la fuerza por unidad de rea:=F = A =

F A F = 1042.26

dv A = (833.57 )(2)(0.4 0.002)(0.5) dy

El momento medido, es igual a: M = F b Reemplazando la ecuacin de la fuerza:M = F b = (1042.26 )(0.4 0.002 ) 2 = 414.8 M = 414.8

= 4.82 10 3 Kg s 2 m

14


CONCEPTOS GENERALES

7. Determinar la ecuacin de tensin superficial para los casos de una burbuja y de un chorro de agua. Para el caso de una burbuja:

Fi FT FT

Fuerza debido a la presin interna: Fi = p r 2 Fuerza debido a la tensin superficial: FT = 2 (2 r ) Para lograr el equilibrio:Fi FT = 0

Fi = FT

p r2 = 4 r

Despejando P: Para el caso del chorro:

p=

4 r

L

Fi FT

D

Fuerza debido a la presin interna: Fi = p D L Fuerza debido a la tensin superficial: FT = 2 L

Para lograr el equilibrio:Fi FT = 0 Fi = FT pDL = 2L

Despejando P:

p=

4 8 = D r

15


CONCEPTOS GENERALES

8. Encontrar el ngulo de tensin superficial para un tubo vertical sumergido en agua, si el dimetro del tubo es de 5 [cm.] y la altura capilar es de 2 [cm.]; = 5x10-5 [KN/cm.]

Tenemos como datos: D = 5 [cm.] = 0.05 [m.] H = 2 [cm.] = 0.02 [m] = 5x10-5 [KN/cm.]= 5x10-3 [KN/m] Usando la ecuacin deducida para ascenso capilar:H= 4 cos g D

Donde: = g = (1000 )(9.81) = 9.810 KN m3

Despejando el coseno del ngulo:cos = HD = 4

(9.81)(0.02)(0.05) (4)(5 10 3 )

= 60.63

16


ESTTICA DE FLUIDOS

2ESTTICA DE FLUIDOSEs el caso ms sencillo de anlisis de mecnica de fluidos, cuando se encuentran en reposo, en este caso no existe velocidad (gradiente de velocidad dv dy = 0 ), por tanto los esfuerzos cortantes no existen. Solo estn presentes la presin y gravedad. Estas dos fuerzas deben estar en equilibrio esttico, por cuanto no existe aceleracin. 2.1. PRESIN El termino presin es usado para indicar la fuerza normal por unidad de rea que se presenta en cualquier punto de una masa fluida. Al no existir esfuerzo cortante en una masa fluida en reposo. Las unidades de la presin son: F p= 2 L

Blaise Pascal, un cientfico del siglo XVII, describi dos principios importantes acerca de la presin. El primero: La presin en un punto, en una masa fluida en reposo, es la misma cualquiera sea la direccin en que se la mida. Esto indica que la presin es una cantidad escalar, lo cual se puede demostrar mediante un elemento pequeo prismtico triangular de dimensiones; x, y, como catetos y n como la hipotenusa, con un acho unitario.

Fig. 2.1. Volumen de control triangular de ancho unitario

Como se trata de un fluido en reposo, este tiene equilibrio esttico, entonces:

H = 0Como: Sen =y n

Fx + Fn sen = 0

p x y + p n n sen = 0

Px y + Pn n

y = 0 Px = Pn n Px y + Pn y = 0 Px = Pn

Por otro lado:

V = 0

Fy Fn cos W = 0

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ESTTICA DE FLUIDOS

p y x p n n cos

1 x y = 0 2

Como: Cos =

x n p y x p n n

x 1 x y = 0 n 2

Hacemos tender x y z a cero, adems si el volumen del prisma tiende a cero:py = pnpx = py = pn

El segundo: En un fluido confinado entre fronteras slidas, la presin acta perpendicularmente a la frontera.

Tubo rectagular

Tubo circular

Recipiente

Fig. 2.2. Direccin de la presin de fluido sobre las fronteras.

2.2. VARIACIN DE LA PRESIN CON RESPECTO A SU POSICIN La presin en una masa fluida no vara en un plano horizontal. En el sentido de la vertical existir una variacin de la presin que aumenta con la profundidad. Tomamos un elemento diferencial rectangular de lados x, y y ancho unitario, con el eje y que coincide con la vertical, las fuerzas actuantes sern la fuerza debido a la presin y el peso del elemento.

Fig. 2.3. Volumen de control de ancho unitario.

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ESTTICA DE FLUIDOS

Por equilibrio esttico:

H = 0

p x p x y p x x y = 0 x p x p x y p x y x y = 0 x p x =0 x

Esto indica que la presin no vara a lo largo del eje x, es decir, la presin no vara horizontalmente. En el sentido vertical:

V = 0

p y p y x p y + y x x y = 0 y Py Py x Py x y x x y = 0 y p y yx = xy y p y = y

Integrando entre 1 y 2: Tenemos:

2 1

dp =

2 1

dy

p 2 p1 = (y1 y 2 )

Si se toma p1 como presin atmosfrica y se trabaja con presiones relativas, y por otro lado se dice que la diferencia de alturas y1 y2 es igual a la profundidad, entonces tenemos:p= h

Donde h ser la distancia medida verticalmente hacia abajo desde el plano horizontal de presin cero, es decir la superficie del lquido. La ultima expresin indica la variacin de la presin con la profundidad en un liquido incompresible, en funcin a esta se determina el grafico denominado prisma de presiones, donde la presin en la superficie de un liquido ser cero (presin atmosfrica, posteriormente se la desarrollara), la cual ira variando linealmente con la profundidad. En la fig. 2.4 se presenta esta relacin.

Fig. 2.4. Distribucin de presiones en un fluido en reposo

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ESTTICA DE FLUIDOS

En caso de gases, la presin no tiene variacin horizontal ni vertical, de hecho la presin en un gas se distribuye homogneamente en todo el recipiente que contiene el gas, es decir, la presin en un gas es la misma en todos sus puntos. Si existiera una sobre presin en la superficie del lquido, esta se distribuir de forma homognea en las presiones del prisma. A partir de:p y y =

2

1

dp =

2

1

dy

p + y = cons tan te

Cada uno de los elementos de la ltima ecuacin est en unidades de longitud. Como la altura de presin mas la altura es constante, esta puede igualarse a otra en la misma vertical, fig. 2.4.pa p + ya = +y

La presin en el punto de altura y, ser:p = p a + (y a y )

Esta relacin es la misma que la presentada en la propiedad 2, pero con la inclusin de una presin extra Pa, la cual es la sobre presin.

Fig. 2.5. Distribucin de presiones en un fluido en reposo incluyendo una sobre presin.

2.3. PARADOJA DE LA HIDROSTTICA

Fig. 2.6. Esquema de la paradoja de la hidrosttica.

La presin en el fondo de los recipientes de la fig. 2.6 es el mismo, si la altura de agua es h igual para todas sin importar el volumen de agua que contengan estos recipientes o el rea del fondo.

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ESTTICA DE FLUIDOS

La fuerza de presin del lquido sobre el fondo de cada uno de los recipientes representados en la fig. 2.5 es igual, si los vasos tienen igual altura de agua e iguales reas de fondo, aunque el peso del lquido en ellos es diferente. La fuerza de presin hidrosttica se calcula, de la siguiente manera:F=P A P= h

F= h A

Este hecho es explicable en el concepto de las dos primeras propiedades de la presin, donde, la presin en un punto es igual cualquier sea la direccin en que se la mida, y de mayor importancia, es que la presin no varia horizontalmente, solo varia verticalmente de acuerdo a la relacin ya presentada. 2.4. MEDICIN DE LA PRESIN. Cuando se realizan clculos que implican la presin de un fluido, se debe hacer la medicin en relacin con alguna presin de referencia. Normalmente, la presin de referencia es la atmosfrica. Normalmente, y la presin resultante que se mide se conoce como presin relativa. La presin que se mide en relacin con el vaco prefecto se conoce como presin absoluta. La relacin entre ambos sistemas de medicin de presin es:p abs = p rel + p atm

Donde: pabs; presin absoluta. prel; presin relativa. patm; presin atmosfrica. Las presiones absolutas y relativas (manomtricas) se pueden esquematizar en la Fig. 2.7. Unos cuantos conceptos bsicos pueden ser de ayuda para entender la figura: 1. Un vaco perfecto es la presin ms baja posible. Por consiguiente, una presin absoluta ser siempre positiva. 2. Una presin relativa que est por encima de la presin atmosfrica es positiva. 3. Una presin relativa que est por debajo de la presin atmosfrica es negativa, esta tambin se conoce como vaci o presin de succin. 4. La magnitud real de la presin atmosfrica vara con el lugar y con las condiciones climatolgicas.

Fig. 2.7. Esquema de presiones 21


ESTTICA DE FLUIDOS

En adelante se denotar la presin absoluta como pabs, mientras la presin relativa simplemente como p. Los instrumentos que se utilizan para medir la presin son: barmetros, manmetros y piezmetros. Los barmetros son unos instrumentos sencillos destinados a medir la presin atmosfrica local; consiste de un tubo de vidrio lleno de mercurio, con un extremo cerrado y el otro abierto, sumergido dentro del recipiente que contiene dicho elemento. En la fig. 2.8 se tiene un esquema. En la parte superior del tubo se produce un vaco que se encuentra muy cercano al vaco perfecto, conteniendo vapor de mercurio a una presin de solamente 0.17 [Pa] a 20 C.

Fig. 2.8. Esquema de barmetro

La presin atmosfrica se medir con la siguiente formula:p atm = Hg h

Como el peso especfico del mercurio es aproximadamente constante, un cambio en la presin atmosfrica ocasionar un cambio en la altura de la columna de mercurio. Esta altura se reporta a menudo como presin la baromtrica. La presin atmosfrica vara segn la condicin climatolgica y tambin varia con la altitud. Una disminucin de aproximadamente 85 [mm.] en la columna d mercurio se presenta para un aumento de 1000 [m.] de altitud.

Fig. 2.9. Manmetro de mercurio

Un manmetro medir presiones absolutas o relativas, segn sea su calibracin. El manmetro abierto, fig. 2.9, consiste en un tubo transparente en forma de U, parcialmente lleno de un liquido pesado, comnmente mercurio. Uno de sus extremos se conecta de manera perpendicular a la pared que confina el flujo del recipiente que lo contiene, el otro extremo puede estar abierto a la atmsfera

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ESTTICA DE FLUIDOS

o bien con otro punto de la pared en cuyo caso el manmetro medir diferenciales de presiones entre los dos puntos.PA = 2 Z 2 1 Z1

Procedimiento para escribir la ecuacin de un manmetro. 1. Empiece desde un punto conveniente, normalmente donde la presin sea conocida, y escriba esta presin en forma de smbolo (por ejemplo, pA se refiere a la presin en el punto A). 2. Utilizando p = h escriba expresiones para los cambios de presin que se presentan desde el punto de inicio hasta el punto en el cual la presin se va a medir, tiendo cuidado de incluir el signo algebraico correcto para cada trmino. 3. Iguale la expresin del paso 2 con la presin en el punto deseado. 4. Sustituya los valores conocidos y resuelva para la presin deseada. Los piezmetros se utilizan para medir las presiones de un lquido que fluye dentro de una tubera. Consiste de un tubo transparente de dimetro pequeo, conectado al interior de la tubera mediante un niple y con el otro extremo abierto a la atmsfera. La altura h que alcanza el lquido dentro del tubo transparente multiplicado por el peso especfico del lquido ser igual a la presin del lquido dentro de la tubera. 2.5. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS. SUPERFICIE PLANA VERTICAL. Como se menciono anteriormente, la presin varia en el sentido de la profundidad. A esta variacin se denomina prisma de presiones. Si sobre una superficie vertical se tiene una compuerta de rea A, se puede determinar la fuerza de presin que acta sobre la misma.

Fig. 2.10. Fuerza sobre superficie plana vertical

La fuerza resultante se define como la suma de las fuerzas que actan sobre pequelis elementos del rea de interes. La fuerza sobre la superficie vertical, es igual a la presin sobre dicha superficie, multiplicado por el rea de la de la misma:dF = p dAF = pA F = h cg A

dF = p dA

Donde: hcg; es la distancia desde la superficie del liquido al centro de gravedad del rea. A; rea de la superficie.23


ESTTICA DE FLUIDOS

; peso especfico del fluido. SUPERFICIE PLANA INCLINADA. Sobre un rea pequea dA, existe una fuerza dF que acta perpendicularmente al rea debido a la presin del fluido, p.dF = p dA = h dA

La variable h es la representacin de la profundidad del fluido, por lo tanto se mide verticalmente con cero en la superficie del lquido y positivo hacia abajo. Se tomara el eje y en la misma direccin que la inclinacin de la superficie.

Fig. 2.11. Fuerza sobre superficie plana inclinada

Por lo tanto: h = y sen dF = y sen dA

Integrando, la expresin anterior:F = dF = y sen dA = sen y dAA A A

A

y dA = L

cg

A

Donde: Lcg; Es la longitud inclinada desde el punto O hasta el centro de gravedad de la superficie. Por lo que la fuerza resultante ser:F = sen L cg A

Por lo tanto: h cg = L cg sen F = h cg A

El centro de presiones es aquel punto sobre un rea en el que se puede suponer que acta la fuerza resultante para tener el mismo efecto que la fuerza distribuida sobre el rea entera representada por el prisma de presiones. Podemos expresar este efecto en trminos del momento de una fuerza con respecto de un eje que pasa por el punto O, perpendicular al plano de la pgina. El momento de cada pequea fuerza, dF, con respecto al eje es:dM = dF y

Se sabe que: dF = y sen dA

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ESTTICA DE FLUIDOS

dM = y [ y sen dA ]

Integrando la ecuacin previa, obtendremos el momento que produce la fuerza resultante, sobre la superficie.M = y 2 sen dA

El momento ser la fuerza resultante multiplicando por la longitud de O hasta el centro de presiones Lcp.F L cp = y 2 sen dA = sen y 2 dA

La expresin y 2 dA se define como el momento de inercia I del rea completa respecto del eje desde el cual se mide y, entonces:F L cp = sen I sen I F sen I I = = sen L cg A L cg A L cp =

L cp

Se puede desarrollar una ecuacin ms conveniente mediante el uso del teorema de la transferencia para el momento de inercia de la mecnica.I = I cg + A L2cg

Reemplazando en la ecuacin del centro de presiones:L cp =L cp =

I cg + A L2cg L cg AI cg L cg A + L cg

Esta ecuacin se usa para ambos casos, superficie plana vertical y superficie inclinada. SUPERFICIE CURVA. Para determinar la fuerza hidrosttica sobre una superficie curva, se descompone la fuerza en dos componentes FH y FV, fuerza horizontal y fuerza vertical respectivamente. Para determinar la fuerza horizontal, hallaremos la fuerza sobre la proyeccin en el plano vertical de la superficie curva, que pasara a ser una superficie plana vertical, y procedemos del modo ya explicado. Para la fuerza vertical, la fuerza hidrosttica ser el peso del lquido que se encuentra sobre la superficie, es decir, el volumen que forma la superficie limitado por los contornos del mismo:FV = V

Donde: V; volumen.

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ESTTICA DE FLUIDOS

Fig. 2.12. Fuerzas en superficies curvas.

Para determinar el centro el punto de aplicacin de las dos fuerzas, horizontal y vertical, se resuelven las ecuaciones siguientes, siguiendo el mismo procedimiento, que el explicado para el caso de superficies rectas:y cp FH = y P dAA

;

x cp FV = x P dAA

2.6. FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD. Es fcilmente apreciable la diferencia de peso de objetos sumergidos en agua u otros lquidos, adems de que cuerpos de grandes pesos flotan si mayor problema. Este hecho es posible gracias a la existencia de una fuerza denominada fuerza ascensional. La fuerza ejercida por la presin del fluido sobre un cuerpo sumergido o flotante, se da por la presencia de diferencial de presiones en el sentido vertical. Si observamos la fig. 2.13 notaremos que las componentes horizontales de las fuerzas que se dan sobre el cuerpo son iguales y opuestas, mientras que las componentes verticales son opuestas pero no iguales, ya que las fuerzas que actan en la parte inferior del cuerpo son mayores, por lo tanto la resultante de la fuerzas verticales nos dar una fuerza en sentido vertical con direccin hacia arriba, a esta fuerza se denomina fuerza ascensional.

Fig. 2.13. Fuerzas que actan sobre un cuerpo sumergido

Por lo tanto la fuerza ascensional ejercida por el lquido sobre un cuerpo, en sentido vertical, es el volumen sumergido del slido, multiplicado por el peso especfico del lquido.

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ESTTICA DE FLUIDOS

Fig. 2.14. Fuerza ascensional

De la figura 2.14: Fa; Fuerza ascensional:Fa = VSolido Fluido

W = Peso del cuerpo. Procedimiento para resolver problemas de flotabilidad: 1. Determinar el objetivo de la solucin del problema. Tiene que encontrar una fuerza, un peso, un volumen o un peso especifico? 2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del objeto que se encuentre en el fluido. Muestre todas las fuerzas que actan sobre el cuerpo en la direccin vertical, incluyendo su peso, la fuerza de flotacin y las fuerzas externas. Si la direccin de alguna fuerza no se conoce, suponga la direccin ms probable y mustrela en el diagrama. 3. Escriba la ecuacin del equilibrio esttico en la direccin vertical, Fv = 0 tomando la direccin positiva hacia arriba. 4. Resuelva la ecuacin para la fuerza, peso, volumen o peso especifico deseados, tomando en consideracin los siguientes conceptos: a) La fuerza de flotacin o fuerza ascensional se calcula con:Fa = f Vs

b) El peso de un objeto slido es el producto de su volumen total por su peso especifico:W = Vs s

c) Un objeto con un peso especifico promedio menor que el del fluido tender a flotar, debido a que W < Fa con el objeto sumergido. d) Un objeto con un peso especifico promedio mayor que el del fluido tender a hundirse, debido a que W > Fa con el objeto sumergido. e) La flotabilidad neutral se presenta cuando un cuerpo permanece en una posicin dada en dondequiera que este sumergido el fluido. Un objeto cuyo peso especifico promedio sea igual al del fluido ser neutralmente flotante. PRINCIPIO DE ARQUMEDES El principio para la fuerza ascensional fue descubierto y establecido por Arqumedes hace alrededor de 2200 aos. Este principio se enuncia: Un cuerpo sumergido en un lquido ser levantado por una fuerza ascensional igual al peso del volumen del fluido desplazado. Un cuerpo flotante desplaza su propio peso en el fluido donde flota. ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS. La condicin para cuerpos completamente sumergidos en un fluido es que el centro de gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de empuje o centro de flotacin.

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ESTTICA DE FLUIDOS

El centro de empuje de un cuerpo sumergido se encuentra en el centro de gravedad del fluido desplazado, y es a travs de este punto que acta la fuerza de empuje en direccin vertical hacia arriba. El peso del cuerpo acta verticalmente hacia abajo a travs de su centro de gravedad. Analizamos el caso del objeto sumergido de la fig. 2.15 (a) en posicin original, donde CG, es el centro de gravedad y CE el centro de empuje o flotacin. En la fig. 2.15 (b) se muestra el desbalanceo del objeto debido al movimiento lateral, la fuerza ascensional se encuentra accionado en el centro de empuje y el peso del cuerpo en el centro de gravedad, tomado en cuenta esta disposicin las dos fuerzas crean un momento que ayuda al desbalanceo, por esta razn el caso es inestable. En la fig. 2.15 (c), las fuerzas crean un momento opuesto al movimiento, este ayuda a que el cuerpo se equilibre, por esta razn el caso c es estable.

Fig. 2.15. Estabilidad de cuerpos sumergidos.

ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Se denominara CG al centro de gravedad y CE centro de empuje (centro de gravedad del fluido desplazado por la parte del cuerpo que esta sumergido).

CG CE

Fig. 2.16. Cuerpo flotante, posicin original

Fig. 2.17. Cuerpo flotando con estabilidad

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ESTTICA DE FLUIDOS

Fig. 2.18. Cuerpo flotando con inestabilidad

Denominamos metacentro (mc) a la interseccin entre el eje del cuerpo, que pasa por el centro de gravedad, y la recta vertical que pasa por el centro de empuje. Si el metacentro queda sobre el centro de gravedad, decimos que el cuerpo se encuentra en equilibrio estable fig. 2.17. Si el metacentro queda por debajo del centro de gravedad entonces el cuerpo queda en equilibrio inestable fig. 2.18. Tambin se puede decir:ME = I Vd

Donde: I; inercia en el eje de rotacin Vd; Volumen de fluido desalojado. Tambin:MG = ME GE

Donde: MG; distancia desde el metacentro al centro de gravedad. ME; distancia desde el metacentro al centro de empuje. GE; distancia desde el centro de gravedad al centro de empuje. Si MG es menor que 0, entonces el cuerpo flota con inestabilidad y si MG es mayor que 0, entonces el cuerpo flota con estabilidad. 2.7. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACIN CONSTANTE. Cuando a una masa fluida contenida en un recipiente se le aplica una aceleracin constante, esta es adquirida por todas las partculas de dicha masa y por lo tanto no existe movimientos relativos entre estas. Una vez aplicada y mantenida permanentemente la aceleracin, la masa adquiere un equilibrio relativo, por lo que puede ser analizada como un fluido en reposo.

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ESTTICA DE FLUIDOS

Fig. 2.19. Volumen de control rectangular acelerado

F = M a Segn X:p x px z px + x z = x z a x x p x px z px z x z = x z a x x p x ax (1) = ax = g x p z pz x pz + z x - x z = x z a z z p z pz x pz x z - x z = x z a z z P (a z + g ) = a z + = (2) z g

Segn Z:

Tendiendo el volumen control a un punto, se tiene que px = pz = p. Las ecuaciones 1 y 2 son las ecuaciones que se usa para determinar las presiones en las mismas direcciones. El diferencial total de la presin en funcin de sus derivadas parciales:dp = p p dz dx + x z

(3)

Reemplazando las ecuaciones (1) y (2) en la ecuacin (3):dp = (a z + g ) dz a x dx g g

A lo largo de una lnea de presin constante la variacin de presiones es cero, dp = 0.0= (a z + g ) dz a x dx g g (a z + g ) dz a x dx = g g dz ax = dx az + g

La ecuacin es la pendiente de la recta de presin constante.30


ESTTICA DE FLUIDOS

ACELERACIN LINEAL CONSTANTE. Si la aceleracin tiene una solo la componente vertical az, la aceleracin no tiene la componente horizontal, es decir la aceleracin horizontal es cero, las diferenciales parciales se las toma como totales en la ecuacin 2.p (a z + g ) = z g - dp = (a z + g )dz g a - dp = dz + z dz g -

Esta ecuacin es similar a la de los fluidos en reposo, solo que incluimos en ella la componente de la aceleracin. Como la componente horizontal de la aceleracin es cero la ecuacin 4 es:dz =0 dx

Lo que indica que la superficie de presin constante es horizontal.

az < 0 Hidrostatica az > 0

h

Fig. 2.20. Aceleracin vertical

Cuando la aceleracin vertical es mayor que 0 el fluido ira hacia arriba y cuando la aceleracin es menor que 0 ira hacia abajo. Entonces si la aceleracin vertical es positiva la presin hidrosttica aumentara. Si la aceleracin tiene una solo la componente horizontal ax, la componente vertical es igual a cero por lo que las ecuaciones 1 y 2 son: p = ax x g p = z

La pendiente de la recta de presin constante:

a dz = x dx gm= ax g

Las presiones en el sentido vertical tiene una distribucin hidrosttica, mientras que la presin en el sentido horizontal no es constante, las superficies de presin constante son rectas con pendiente m.

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ESTTICA DE FLUIDOS

Sup. Inclinada (P=0, m=ax/g )

h1

ax h2

Fig. 2.21. Aceleracin horizontal

En el caso de que existan las dos componentes. Se debe usar las ecuaciones (1), (2) y (4), como caso general.P=0 -az ax a

h1

az = 0 az < 0

h2

Fig. 2.22. Aceleracin en cualquier sentido.

VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE. Cuando una masa liquida se hace girar con una velocidad angular constante , se introduce a cada una de sus partculas una aceleracin centrpeta: a c = 2 r Donde r es la distancia de la partcula al eje de rotacin. De la ecuacin (1) y (2):p 2 = r r g p = z

(5) (6)

Donde el eje x coincide con r, pero en sentido contrario y en tal forma que az = 0, el eje z coincide con el eje de rotacin. Por diferencial total: Sustituyendo (5) y (6) en (7):dp = 2 r dr dz g2 r dz = dr g dp = p p dr + dz z r

(7)

La variacin de presiones sobre la misma lnea de presin es cero, dp = 0 :

Integrando:

z zo =

2 2 2 r ro 2g

(

)

(8)

La ecuacin (8) es la ecuacin de una parbola.

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ESTTICA DE FLUIDOS

Fig. 2.23. Aceleracin angular

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ESTTICA DE FLUIDOS

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular la presin en [KN/m2] si el equivalente en columna de liquido es de 400 [mm.] de: a) b) c) d) Mercurio de densidad relativa 13.6. Agua. Aceite de peso especifico 7.9 kN/m3 Liquido de densidad 520 kg/m3h = 400 [mm] = 0.4[m]

La presin es igual ap = h

Se tiene como dato la altura de columna de liquido, por lo que se debe hacer es hallar el peso especifico con los datos dados en los incisos. a) La densidad relativa de un fluido es:DR = sust H 2O Hg = Hg g = (13.6 ) (9.81) Hg = 133.42 KN 3 m

p Hg = Hg h = (133.42 ) (0.4)

p Hg = 53.4 KN 2 m

b) El peso especfico del agua es un valor conocido:p H O = H 0 h = (9.81)(0.4)2 2

p H O = 3.92 KN 2 m 2

c) El peso especfico es dato:p ac = ac h = (7.9) (0.4) p ac = 3.16 KN 2 m

d) La densidad es igual al peso especfico entre la velocidad de la gravedad: L = L g = (520)(9.81) p L = L h = (5.1012 )(0.4 ) L = 5101.2 N 3 m p L = 2.04 KN 2 m

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ESTTICA DE FLUIDOS

2. Cual es la presin en [KN/m2] absoluta y relativa en un punto 3 [m] debajo de la superficie libre de un liquido cuya densidad de masa es de 1.5.x103 [Kg./m3], si la presin atmosfrica es equivalente a 750 [mm.] de mercurio. Tomamos la densidad relativa de mercurio como 13.6 y la densidad del agua como 1000 [Kg./m3]. El peso especfico de un lquido es igual a la densidad de masa multiplicada por la aceleracin de la gravedad. L = L g = 1.53 10 3 (9.81) L = 15009.3 N 3 = 15.01 KN 3 m m

(

)

Presin relativa es aquella que se mide tiendo como cero la presin atmosfrica.p R = L h = (15.01) (3) p R = 45.03 KN 2 m

Para poder hallar la presin atmosfrica, se tiene de dato la altura equivalente de mercurio.DRHg

=

Hg H O2

Hg = D R H O = (13.6 )(1000) Hg = 13600 Kg 3 m Hg 2

Hg = Hg g = (13600 )(9.81)

Hg = 133416 N 3 = 133.42 KN 3 m m

p atm = h Hg Hg = (0.75)(133.42 ) p atm = 100.07 KN 2 m

Por lo tanto la presin absoluta es la suma de la presin relativa y la presin atmosfrica:p abs = p R + p atm = 45.03 + 100.07 p abs = 145.1 KN 2 m

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ESTTICA DE FLUIDOS

3. Cul es la lectura del manmetro de la figura?

Se comienza el anlisis de un punto de presin conocida, como el tubo del lado derecho esta cerrado se trabajara en presiones absolutas, adems se tiene un valor de presin en el gas de tubo igual a cero. Los valores entre parntesis son las densidades relativas de los lquidos, por lo que se debe hallar los pesos especficos. Hg = D R Hg = (13.6)(9.81) Hg = 133.42 KN 3 m Hg

L = D R H O = (0.80 )(9.81) L = 7.85 KN 3 m Hg 2

Se debe hallar la presin que ejerce el mercurio en el punto A.p A ( abs ) = h A Hg = (0.5)(133.42 ) p A ( abs ) = 66.71 KN 2 m

Como los puntos A y B se encuentran sobre la misma horizontal y adems el punto B es mercurio pero directamente en contacto con agua, las presiones sern iguales.p A ( abs ) = p B( abs ) = 66.71 KN 2 m

La presin en C, ser igual a la presin en B menos la presin provocada por la columna de agua AC.p C ( abs ) = p B( abs ) h BC H 2O = 66.71 (0.5)(9.81) p C ( abs ) = 61.81 KN 2 m

La presin en D, de la misma manera que en C, ser igual a la presin en C menos la presin provocada por la columna DC.p D ( abs ) = p C ( abs ) h DC L = 61.81 (0.1)(7.85) p D ( abs ) = 61.03 KN 2 m p E ( abs ) = p D ( abs ) = 61.03 KN 2 m

La presin G, ser igual a la presin en E mas la presin provocada por la columna EG.p G ( abs ) = p E ( bas ) + h EG H 2O = 61.03 + (0.9)(9.81) p G ( abs ) = 69.86 KN 2 m p H ( bas ) = p G ( abs ) + h GH Hg = 69.86 + (0.1)(133.42 ) p H ( bas ) = 83.20 KN 2 m KN p I ( abs ) = p H ( abs ) = 83.20 m2

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ESTTICA DE FLUIDOS

p man ( abs ) = p I ( abs ) = 83.20 KN 2 m

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ESTTICA DE FLUIDOS

4. Existen dos tuberas por donde fluye agua a diferentes presiones, por estas tuberas salen unos piezmetros que se unen como se muestra en la figura, determinar cual es la diferencia de presiones entre las dos tuberas.Agua 1.60

A

C E1.35

1.52 Hg (13.6)

D(0.80)

1.20

FAgua

0.89

B

0.62

G

0.45

(0.75) Datum

Primero se halla la presin en la parte inferior del mercurio:p D = Hg h CD = (9.81)(13.6 )(1.52 1.20)p D = 42.69 KN 2 m

La presin en D es igual a una presin en la misma horizontal del lquido de densidad relativa igual a 0.80. Por lo tanto la presin en E y F ser:p E = p D (0.80 ) h ED = 42.69 (9.81)(0.80 )(1.35 1.20) p E = 41.51 KN 2 m p F = p D + (0.80 ) h DF = 42.69 + (9.81)(0.80)(1.20 0.89) p F = 45.12 KN 2 m

La presin en A ser:p A = p E agua h AE = 41.51 (9.81)(1.60 1.35) p A = 39.06 KN 2 m

La presin en G ser:p G = p F + (0.75 ) h FG = 45.12 + (9.81)(0.75)(0.89 0.45)p G = 48.36 KN 2 m

La presin en B ser:p B = p G agua h BG = 48.36 (9.81)(0.62 0.45)p B = 46.69 KN 2 m

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ESTTICA DE FLUIDOS

La diferencia de presin entre la tubera A y B ser:p = p B p A = 46.69 39.06 p = 7.63 KN 2 m

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ESTTICA DE FLUIDOS

5. Se tiene dos estanques, uno con agua y el otro con aceite, conectados por un piezmetro, como se muestra en la figura. Se desea calcular la longitud A, que es la diferencia de niveles los reservorios.pm = 25 mm de Hg de vacio

Agua 6m

A

Aceite (0.80)

B 0.1 m C

La presin en el manmetro corresponde a una presin de vaci o negativa:p m = Hg h m = (9.81)(13.6)(0.025) p m = 3.34 KN 2 m

La presin en B ser:p B = p m + agua h = 3.34 + (9.81)(6)p B = 55.52 KN 2 m

La presin en C ser:p C = p B + Hg h Hg = 55.52 + (9.81)(13.6 )(0.1) p C = 68.86 KN 2 m

La altura desde el punto C hasta la superficie del aceite ser:h = 6 + .1 A = 6.1 A

Aplicando la ecuacin de la presin para el punto B desde el lado del aceite, este debe ser igual al encontrado por el otro lado:p B = aceite h = (9.81)(0.80 )(6.1 A ) = 68.86 A = 2.67 [m ]

El nivel del aceite estar a 2.67 [m] por encima del nivel del agua.

40


ESTTICA DE FLUIDOS

6. a) Determinar la fuerza resultante F debido a la accin del agua sobre la superficie plana rectangular AB de medidas 1 x 2 [m] b) Determinar la fuerza resultante debido a la accin del agua sobre el rea triangular CD de 1.2 x 1.8 [m] con c en el vrtice del triangulo

a) Determinacin de la fuerza sobre la compuerta AB:F = h cg A

Se determina las componentes de la ecuacin previa.A = b h = (1) (2) A = 2 m 2 h h cg = 1.2 + = 1.2 + 1 h cg = 2.2 [m ] 2 F = h cg A = (9.81) (2.2 ) (2 ) F = 43.16 [KN ]

[ ]

Se debe hallar el centro de presiones:h cp = I cg h cg A

(1) (2)3+ h cg =

(2.2) (2)

12

+ 2.2 h cp = 2.35 [m]

desde O1.

b) Se hallar la longitud desde O2 hasta el centro de gravedad de la compuerta.

1 = 1.41[m ] sen 45 2 1.8 = 2.61 [m] L cg = 1.41 + 3 (1.8)(1.2 ) F = L cg (sen 45) A = (2.61) (sen 45) (9.81) 2 F = 19.55 [KN] L1 =

El punto de aplicacin de la fuerza ser:

41


ESTTICA DE FLUIDOS

L cp =

I cg L cg A

(1.2) (1.8)3+ L cg = 36 (2.61) (1.2)(1.8) 2 + 2.61 L cp = 2.68 [m]

42


ESTTICA DE FLUIDOS

7. Calcular la fuerza total ejercida sobre el rea inclinada en la figura, la cual esta situada en un plano inclinado a 30. El lquido es agua y en su superficie la presin es atmosfrica.

Dividimos el rea de la compuerta en tres subareas: Triangulo ABE:FABE = h cg A ABE1 (3) sen (30 ) = 2.5 3 (3)(3) = (9.81)(2.5) FABE = 110.36 [KN ] 2 h cg = 2 +

FABE

Localizacin de esta fuerza:L cp I cg = L cg A ABE (3)(3)3 36 + L cg = (3)(3) 2.5 sen (30 ) 2 L cp = 5.1[m] desde G. 2.5 + sen (30 )

Para la localizacin lateral de la fuerza, esta debe situarse sobre la media del ngulo AEB. Por semejanza de tringulos:

1.5 x = 3 3 1.1

x = 0.95 [m]

Cuadrado BCDE:FBCDE = h cg A BCDE = (9.81)[2 + (1.5)sen (30 )](3)(3) FBCDE = 242.8 [KN ]

Localizacin de esta fuerza:

43


ESTTICA DE FLUIDOS

L cp

I cg = L cg A ABE

(3)(3)3 2.75 12 + L cg = + 2.75 (3)(3) sen (30 ) sen (30 ) L cp = 5.64 [m] desde G

Localizacin lateral: Semicrculo CFD:

x=

3 2

x = 1.5 [m]

de BE.

FCFD = h cg A CFD = (9.81)[2 + (1.5)sen (30 )]

(3) 8

2

FCFD = 95.23 [KN ]

Localizacin de la fuerza:L cp4 (1.5) I cg 2.75 8 + = + L cg = 2.75 L cg A ABE sen (30 ) (3.53) sen (30 ) L cp = 5.60 [m] desde CD

Localizacin lateral:

p=

dF = h dF = h dA = h x dy dA

Tomando momentos respecto CD:dM = b dF

Donde: b; brazo.dM = x 1 h x dy = h x 2 dy 2 2

Por otra parte, la ecuacin de la circunferencia:x 2 + y 2 = 1.52 x 2 = 2.25 y 2

Adems, colocamos h en funcin de y:

h = h cp + y sen (30 ) = 2.75 + y sen (30 ) h = 2.75 + y sen (30 ) h = 2.75 y sen (30 )

sobre OF bajo OF

Reemplazando:M=1.5 1.5 2 2 (2.75 + 0.5y ) 2.25 y dy + (2.75 0.5y ) 2.25 y dy 2 0 0

(

)

(

)

44


ESTTICA DE FLUIDOS

Integrando:M= 9.81 (6.83 + 5.56) M = 60.77 [KN m] 2

Por lo tanto la posicin lateral ser:x= M 60.77 = = 0.64 [m] FCFD 95.23

desde CD.

Fuerza total que acta sobre la compuerta ser:FT = 110.36 + 242.8 + 95.23 FT = 448.39 [KN ]

Ubicacin de la fuerza total: Para hallar la ubicacin vertical se toma momentos desde G:M = (110.36 )(5.10 ) + (242.8)(5.64 ) + (95.23)(5.60 ) = 2465.52 [KN m] M 2465.52 L cp = = L cp = 5.49 [m] desde G. FT 448.39

Para hallar la ubicacin lateral se toma momentos desde A:M = (110.36 )(3 0.95) + (242.8)(3 1.5 + 3) + (95.23)(0.64 + 3 + 3) = 1951.17 [KN m] M 1951.17 x cp = = x cp = 4.35 [m] desde A. FT 448.39

45


ESTTICA DE FLUIDOS

8. En la figura, el cilindro de 1.22 [m] de dimetro y 1.22 [m] de longitud est sometido a la accin del agua por su lado izquierdo y de un aceite de densidad relativa de 0.8 por su lado derecho. Determinar la fuerza vertical total en B si el cilindro pesa 17.8 [KN].Agua 0.61 m

Aceite (0.80) B

En el lado izquierdo el efecto del agua causara dos fuerzas verticales:A1

F1

A2

F2

Las reas coloreadas son las que producen las fuerzas:A 1 = (0.61)(0.61 + 0.61) A 1 = 0.452 m 2V1 = 0.551 m 3

V1 = A 1 L = (0.452 )(1.22 )

[ ]

(1.22 ) 4 4

2

[ ]

La fuerza vertical 1 ser:

F1 = agua V1 = (9.81)(0.551)F1 = 5.41 [KN ]

El rea que produce la segunda fuerza vertical ser:A 2 = (0.61)(0.61 + 0.61) + A 2 = 1.036 m 2 V2 = 1.264 m 3

V2 = A 2 L = (1.036 )(1.22 )

[ ]

(1.22 ) 4 4

2

[ ]


F2 = agua V2 = (9.81)(1.264 ) F1 = 12.39 [KN ]

La fuerza total ejercida por el agua ser la suma vectorial de ambas:Fagua = F2 F1 = 12.39 5.41

Fagua = 6.98 [KN ]

46


ESTTICA DE FLUIDOS

En el lado derecho, de la misma manera que en el izquierdo, el efecto del aceite causara dos fuerzas verticales:

A3 A4 F3

4

Las reas coloreadas son las que producen las fuerzas:

(1.22 ) 4 A 3 = (0.61)(0.61) 4 2 A 3 = 0.079 m

2

V3 = A 3 L = (0.079 )(1.22 ) V3 = 0.096 m 3

[ ]

[ ]


F3 = aciete V3 = (9.81)(0.80 )(0.096 ) F3 = 0.75 [KN ]

El rea que produce la segunda fuerza vertical ser:

(1.22 ) 4 A 4 = (0.61)(0.61) + 4 2 A 4 = 0.664 m

2

V4 = A 4 L = (0.664 )(1.22 ) V4 = 0.81 m 3

[ ]

[ ]


F4 = agua V4 = (9.81)(0.80 )(0.81) F4 = 6.36 [KN ]

La fuerza total ejercida por el agua ser la suma vectorial de ambas:Faceite = F3 F4 = 6.36 0.75 Faceite = 5.61 [KN ]

La fuerza total en el punto B ser:FB = 5.61 + 6.98 17.8 FB = 5.21 [KN ]

47


ESTTICA DE FLUIDOS

9. En la figura se muestra la seccin de una presa con una cara parablica. El vrtice de la parbola esta en O. Encontrar la fuerza resultante debido a la accin agua y su inclinacin con la vertical.

Encontramos la ecuacin de la curva que representa la presa:y = a x2 + b

Con: b = 0 entonces 50 = a (25)2 a = 0.08y = 0.08 x 2

Se tomara D = 50 [m] profundidad del agua con ancho unitario W = 1 [m] La fuerza de la presin ejercida por el agua sobre la presa, es:dF = p dA

Donde: P = h ; h = D y Fuerza Horizontal:dFx = p dA = p W dy = h W dy dFx = (D y ) W dy

Integrando:Fx = (D y )Wdy = W (D y )dy0 0 50 50

y Fx = Dy 2 Fx2

50 2 = (9.81)(50 )(50 ) 2 0 = 12262.5 [KN ]

50

Se saca un resultado similar hallando la fuerza sobre la proyeccin de la curva sobre un plano vertical, aplicando:Fx = h cg A proyeccion

Fuerza vertical:dFy = p dA = p Wdx = h W dx = (D y ) W dxdFy = D 0.08x 2 W dx

(

)

Integrando:Fy = D 0.08x 2 W dx = W D 0.08x 2 dx0 0 25

(

)

25

(

)

48


ESTTICA DE FLUIDOS

3 0.08(25) x3 = (9.81) (50 )(25) Fy = D x 0.08 3 3 0 25

Fy = 8175 [KN ]

Punto de aplicacin:x cp dFy = x p dA

Integrando:x cp Fy = D 0.08x 2 x W dx0 25

(

)

x cp =x cp =

Fy

25 0

3 (D x 0.08 x ) dx

2 x2 x4 9.81 (50)(25) (0.08)(25)4 0.08 D = Fy 2 4 0 8175 2 4 x cp = 9.38 [m] desde O 25

y cp =

I cg y cg A

(1)(50)3+ y cg =

(25)(50)

12

+ 25

y cp = 33.33 [m] desde la superficie del liquido.

FT = Fx2 + Fy2 =

(12262.5)2 + (8175)2 FT = 14737.69 [KN ]Fx 12262.5 = Fy 8175 = 56.3

tan ( ) =

49


ESTTICA DE FLUIDOS

10. Que cantidad mnima de concreto (peso especifico = 2400 Kg/m3) debe agregarse a una viga de 0.1 [m3] de volumen y densidad relativa 0.70 para que se hunda? Peso agua del mismo volumen de la viga:Pag = VV ag = (0.1)(1000 ) Pag = 100 [Kg ]

Peso especifico de la viga: V = DrV ag = (0.7 )(1000 ) V = 700 Kg 3 m

Peso de la viga:PV = VV V = (0.1)(700 ) PV = 70 [Kg ]

Pag = PV + PC

Peso del concreto:PC = Pag PV = 100 70 PC = 30 [Kg ]

Volumen de concreto mnimo necesario para hundir la viga:VC = PC 30 = C 2400

VC = 0.0125 m 3

[ ]

50


ESTTICA DE FLUIDOS

11. Se tiene una barra de seccin cuadrada de material homogneo de Dr = 0.5. Se quiere saber en cual de las dos posiciones A o B flotara en el agua con equilibrio.

Caso A, realizamos un diagrama de cuerpo libre y hallamos la altura h.

Peso = empuje B VB = ag Vdes B b 2 L = ag b h L h= DrB ag b B b2 L b = B = ag b L ag ag

h = DrB b = (0.5)b h = 0.5 b

MG = ME GE Donde: G; centro de gravedad. M = metacentro E = centro de empuje.ME = I yy Vdes = L b3 12 hbL ME = = b 6 b2 = 12h b2 b 12 2

51


ESTTICA DE FLUIDOS

b h b GE = = 2 GE = 2 2 4 4b 6b 2b b b b MG = = = MG = 6 4 24 24 12

0

Caso B flota con equilibrio

53


ESTTICA DE FLUIDOS

12. Un cono de madera flota en la posicin que se muestra en la figura. La densidad relativa de la madera es de 0.60. Determinar si la flotacin es estable.b

25 cm h

Primero se debe hallar las dimensiones del volumen de lquido desplazado por el cono: El volumen del cono de madera ser:Vc = h D2 (0.25)(0.18) = 12 12 Vc = 0.0021 m 32

[ ]

El volumen del cono de lquido desalojado por el cono de madera ser:Vd =25 18 = b h Vd =

h D2 h b2 = 12 12b= 18 h = 0.72 h 252

Por semejanza geomtrica se puede decir que: Reemplazando en la formula del volumen desplazado:

h (0.72 h ) 12 Vd = 0.136 h 3 m 3

[ ]

Segn el principio de Arqumedes, un cuerpo flotante desplaza un volumen de liquido con un peso igual al peso del cuerpo.Wc = Wd Vc c = Wd agua

(0.0021)(9.81)(0.6) = 0.136 h 3 (9.81) h = 0.21 [m ]b = 0.1512 [m] b = 0.72 (0.21)

Para determinar si un cuerpo es inestable se aplica la siguiente ecuacin:MG = ME GE

La posicin del centro de gravedad ser:h 0.25 = 0.25 4 4 G = 0.1875 [m] desde el vrtice G = 0.25

La posicin del centro de empuje ser:E = 0.21 h 0.21 = 0.21 4 4

54


ESTTICA DE FLUIDOS

desde el vrtice Por lo tanto la distancia desde el centro de gravedad al centro de empuje ser:GE = 0.1875 0.1575 GE = 0.03 [m]

G = 0.1575 [m]

La distancia entre el metacentro y el centro de empuje se halla mediante la siguiente expresin:ME = b 64 ME = = 0.136 h 34

I cg Vd (0.1512 ) 64 (0.136)(0.21)34

ME = 0.0204 [m ]

Por lo tanto la distancia entre el metacentro al centro de gravedad ser:MG = 0.0204 0.03 MG = 0.0096 [m ]

Este valor es menor que cero; por lo tanto el cuerpo en esta posicin es inestable!

55


ESTTICA DE FLUIDOS

13. Un cuerpo hecho de dos trozos de madera pesada con peso especifico m=1150 [Kg/m3] flota en un liquido de Dr = 0.93 tal como se muestra en la figura. Se desea calcular la profundidad de hundimiento del cuerpo en el lquido. Considere una unidad de ancho.

Primero se calcula el centro de gravedad CG del cuerpo, ya que se trata de un cuerpo compuesto de varias piezas diferentes: Taco superior de madera (abcd):M ab = W B = (1150 )(0.25) M ab = 287.5 Kg m W = V m = (0.5)(2 )(1)(1150 ) W = 1150 Kg

Taco inferior de madera (efgh):M ab = W B = (2300)(2.5) M ab = 5750 Kg m W = V m = (1)(2)(1)(1150) W = 2300 Kg

La posicin del centro de gravedad de todo el sistema ser: Horizontalmente estar sobre el eje de simetra. Verticalmente: M y =cg

FT

y cg =

5750 + 287.5 2300 + 1150

y cg = 1.75 m

Desde ab.

El centro de flotacin estar en el centro de gravedad del volumen (gijh): Horizontalmente estar sobre el eje de simetra del sistema. Verticalmente:Fa = Vgijh = d (2 )(0.93)(1000) Fa = 1860 d

Donde: Fa; fuerza ascensional. La fuerza ascensional debe ser igual al peso del cuerpo, para que el cuerpo flote en el lquido.Fa = Wcuerpod = 1.85 [m] 1860 d = 2300 + 1150

Se determina si el cuerpo flota con estabilidad, para esto se debe hallar el centro de flotacin.y cf = 3 1.85 2 y cf = 2.075 [m ] Desde ab

El centro de flotacin se encuentra por debajo del centro de gravedad, esto indica que el cuerpo flota con estabilidad.56


ESTTICA DE FLUIDOS

14. En el caso del ejercicio 9, cul seria el espesor del taco superior de madera, para que el cuerpo comience a ser inestable?

Primero se halla el peso del cuerpo en funcin de la distancia ac. Los pesos de los tacos superior e inferior son:Wabcd = ac (2 )(1150) [Kg ] Wegfh = 2300 [Kg ]

El peso total ser:PT = 2300 + 1150 (2 )ac = 2300 (1 + ac )

De la misma manera se halla el momento total debido al peso en funcin de la distancia ac, respecto ab:M ab = 5750 + 2300 ac ac = 5750 + 1150 ac 2 2

La distancia vertical desde la cara ab hasta el centro de gravedad del cuerpo ser:y cg = 5750 + 1150 ac 2 2300 (1 + ac )

La fuerza ascensional debe ser igual al peso del cuerpo:Fa = PT 1860 d = 2300 (1 + ac ) d = 1.237 (1 + ac ) y cf = 3 1.237 (1 + ac ) = 2.38 0.62 ac 2

Un cuerpo flota con inestabilidad cuando el CF esta sobre el CG. Por esto, si el CG coincide con el CF, empezara la inestabilidad.y cg = y cf5750 + 1150 ac 2 = 2.38 0.62 ac 2300 (1 + ac ) ac = 6.5 [cm]

57


ESTTICA DE FLUIDOS

15. El orifico rectangular de dimensiones b x h, practicado en la pared rectangular de un recipiente, se cierra con una compuerta de iguales dimensiones; dicha compuerta esta conectada a una palanca y unida rgidamente por otra a un tambor cilndrico hueco de dimetro D, longitud L y peso W, de tal manera que al subir el nivel del agua el recipiente, se abre la compuerta girando el sistema alrededor de O. Cul debe ser la distancia x, de modo que ello ocurra para ZG = 25 [cm.], D = 39 [cm.], L = 60 [cm.], h = 40 [cm.], b = 30 [cm.], W = 25 [Kg.]?

La fuerza ascensional que se da sobre el cilindro ser:Fa = D 2 4 2 L= (0.39 ) 4 22

(60)(1000)

Fa = 35.84 [Kg ]

Fuerza hidrosttica sobre la compuerta, se calcula del mismo modo que el explicado en compuertas verticales:F = h cg A = Z G h b = (1000)(0.25)(0.4)(0.3) F = 30 [Kg ] h cp = I cg h cg A

(0.3)(0.4)3+ h cg =

(0.25)(0.3)(0.4)

12

+ 0.25 h cp = 0.303 [m ]

Para que exista equilibrio, la suma de momentos respecto del eje O debe ser cero:

MO = 0FT x F h cp = 0

Donde la fuerza total es igual a la fuerza ascensional menos el peso del cilindro:

x=

Fa W

(Fa W ) x = F h cp F h cp (30)(0.30) =x = 0.83 [m]

35.84 25

58


ESTTICA DE FLUIDOS

16. Un cubo de lado 2 [m], abierto en la parte superior y completamente lleno de agua, si se somete a una aceleracin igual a la aceleracin de la gravedad. Determinar la fuerza que ejerce el agua sobre la cara AB. a) La aceleracin es vertical. b) La aceleracin es horizontal. c) La aceleracin tiene una inclinacin 45 con la horizontal,. Qu cantidad de agua se bota en el caso b y c? El caso a:

La variacin de la presin para el caso de aceleracin vertical es:dp = (a z + g ) dz g 2 2 dp = g (a z + g ) dz 1 1 (a z + g ) (z1 z 2 ) p 2 p1 = g

La presin 1 es la presin de referencia, en este caso la atmosfrica.p= p= (a z + g )h g

(2 g ) h = 2 h = (2)(9810)(2) g

La presin en el fondo del cubo ser:p f = 39.24 KN 2 m

La presin el centro de gravedad ser:p= 39.24 = 19.62 KN 2 m 2 F = P A = (19.62 )(2)(2) F = 78.48 [KN]

La fuerza que acta en la cara AB, ser:

El caso b:

59


ESTTICA DE FLUIDOS

La pendiente de la recta de presiones constantes es:dz a g = x = = 1 dx g g

Este indica que la superficie del fluido ser una recta de 45 de inclinacin, como se indica en la figura. La variacin de la presin respecto a la vertical en el caso de aceleracin horizontal simplemente es: p = z

Esta es la misma variacin ya estudiada, por tal motivo la fuerza ser igual a:F = (9.81 )(1)(2 )(2 ) F = 39.24 [KN] F = h cg A

El volumen de agua que se bota ser:V= 1 1 (2)(2)(2) bhL = 2 2 V = 4 m3

[ ]

El caso c:

Se determina las componentes cartesianas de la aceleracin:

60


ESTTICA DE FLUIDOS

a x = a cos 45 = 6.94 m 2 s a x = a sen 45 = 6.94 m 2 s

La pendiente de la recta de presiones constantes es:dz ax 6.94 = = dx ay + g 6.94 + 9.81 dz = 0.41 dx

Para x = 1 [m], entonces z = - 0.41 [m] Para x = 2 [m], entonces z = - 0.82 [m] Volumen derramado:V= 1 (2)(0.82)(2) 2 V = 1.64 m 3

[ ]

Determinacin de la fuerza sobre la pared:dP (a z + g ) = dz g (a z + g ) h = 9810 (6.94 + 9.81)(2) P= g 9.81 P = 33500 N 2 m F = P A = (33.5)(2)(2) F = 134 [KN ]

61


ESTTICA DE FLUIDOS

17. Un vehculo con un recipiente cerrado que esta totalmente lleno de un lquido de densidad relativa 0.85, se mueve en un plano inclinado, como se muestra en la figura. Cuando el vehculo no esta en movimiento la lectura del manmetro A es de 30 [KPa]. Cul ser el valor de la aceleracin si el manmetro A marque 35 [KPa] cuando el vehculo esta en movimiento?

Cuando el recipiente est esttico:PA = 30 [KPa ] = 30 000 N 2 m = (1000)(0.85) = 850 Kg 3 m = g = (850)(9.81) = 8338.5 N 3 m

Altura de presin ser:h= PA 30 000 = 8338.5 h = 3.6 [m] Desde A.

Cuando esta en movimiento: La nueva altura de presin ser:h1 = PA 35000 = 8338.5 h 1 = 4.2 [m] Desde A.

La pendiente de la superficie ser:m= dV 0.6 = dH 2 m = 0.3

Por otro lado:

62


ESTTICA DE FLUIDOS

dz ax a cos 45 = = dx g + ay g + a sen 45 dz 0.71a = dx g + 0.71a

La ltima ecuacin es igual a la pendiente de la recta:m= dz dx

0.71 a = 0.3 g + 0.71 a a = 5.92 m 2 s

Esta aceleracin esta 45 y ascendente.

63


ESTTICA DE FLUIDOS

18. Calcular las presiones en A y B cuando el recipiente mostrado en la figura gira a 50 [rpm] para los casos siguientes: a) El eje de rotacin pasa por A. b) El eje de rotacin pasa por B. Para el caso a:

Primero se debe convertir los [rpm] en radianes por segundo: = 50 rpm 2 60 = 5.23 rad

[ s]

Aplicando la ecuacin para rotacin relativa de fluidos:z zo =zo = z

2 2 2 r ro 2g

(

)

2 2 2 5.232 r ro = 4.6 (1 0) 2g (2)(9.81) z o = 3.21 [m]

(

)

Se determina la presin en A y B:PA = z o = (9.81)(3.21) PB = z o = (9.81)(4.6 ) PA = 31.5 KN 2 m KN PB = 45.1 m2

Para resolver el caso b:

z zo = zo = z

2 2 2 r ro 2g

(

)

2 2 2 5.232 r ro = 4.6 22 0 2g (2)(9.81)

(

)

(

)

64


ESTTICA DE FLUIDOS

z o = 0.97 [m ]

Se halla la presin en A y B:PB = 0

Para hallar la presin en A primero se debe hallar la altura de agua en A:zA = zo + 2 2 2 5.232 r ro = 0.97 + (1 0) 2g (2)(9.81) z A = 0.42 [m] PA = 4.12 KN 2 m

(

)

PA = z A = (9.81)(0.42 )

65

INTRODUCCIN A LA HIDRULICA

CINEMTICA DE FLUIDOS

3CINEMTICA DE FLUIDOSLa cinemtica es una parte de la mecnica de fluidos que analiza el movimiento sin tomar en cuenta los motivos por lo que se produjo este, este flujo se analiza en trminos de velocidad, aceleracin y desplazamiento. 3.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES. VELOCIDAD. La velocidad v se define como un vector:vx ; vy ; vz

Donde la velocidad en cada eje, es funcin de su posicin y del tiempo:v x = f 1 (x , y, z, t ) ;

v y = f 2 (x , y, z, t ) ;

v z = f 3 (x , y, z, t )

Tambin se define por su vector posicin:r r r v = i x + jy+ kz

Para el anlisis del movimiento de las partculas revisaremos dos mtodos: Mtodo de Lagrange: Para este mtodo se elige una partcula de una masa fluida y analizar la variacin de la velocidad y aceleracin en el espacio y el tiempo. Mtodo de Euler: Se selecciona un punto fijo en el espacio, relacionado con un sistema de coordenadas cualquiera, y se analizan las variaciones, con el tiempo, de las velocidades y aceleraciones de las diferentes partculas de la masa fluida que pasan por el. PERMANENCIA Y UNIFORMIDAD DE LAS VELOCIDADES. Cuando la velocidad permanece en todos los puntos invariable con el tiempo, aunque vare de un punto a otro, el flujo ser permanente o estable, cuando no ocurra as, el flujo ser no permanente o inestable. Cuando la velocidad se mantiene constante con respecto del desplazamiento, el flujo se denomina flujo uniforme, por el contrario se denomina flujo no uniforme o variado. El flujo permanente uniforme es aquel donde el vector velocidad permanece inalterado con el tiempo en cada punto del espacio y es constante para puntos sucesivos en el sentido del movimiento. Un flujo permanente variado ser similar al anterior con la diferencia de que la velocidad vara en el sentido del flujo. En el flujo no permanente y variado la velocidad se modifica tanto con el espacio como en el tiempo. El flujo no permanente y uniforme es aquel donde el vector velocidad vara con el tiempo, pero permanece constante en puntos sucesivos en el sentido del movimiento.

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Fig. 3.1. Permanencia y uniformidad de fluidos.

CAMPOS DE FLUJO, LNEAS DE CORRIENTE, TRAYECTORIAS Un campo de flujo es cualquier regin en el espacio donde hay un fluido en movimiento, a condicin de que la regin o subregin del flujo esta ocupada completamente por el fluido. En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de magnitudes fsicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro del flujo. Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad fsica a la cual corresponde; ejemplo: presin, densidad y temperatura. En un campo vectorial, adems de la magnitud, se necesita definir una direccin y sentido para la cantidad fsica a la que corresponde; esto es tres valores escalares. La velocidad, la aceleracin y la rotacin son ejemplos de campos vectoriales. Finalmente para definir campos tensoriales se requieren nueve o ms componentes escalares; ejemplo: esfuerzo, deformacin unitaria y momento de inercia. Lneas de corriente son lneas que son tangentes a los vectores velocidad en unos puntos determinados del flujo en un instante de tiempo. Tubo de corriente es una superficie cerrada formada por lneas de corriente e limitada en el sentido de ellas.v v v v v

Fig. 3.2. Esquema de una lnea de corriente.

La trayectoria es el desplazamiento que lleva una partcula del fluido. Para un flujo permanente, o cuando siendo inestable nicamente la magnitud del vector velocidad varia con el tiempo, la lnea de corriente coincide con la trayectoria. Volumen de control, es un volumen fijo en el espacio, de forma y tamao invariable con el tiempo, a travs del cual fluye materia.

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3.2. ECUACIN GENERAL DEL VOLUMEN DE CONTROL. El volumen de control, conocido tambin como sistema abierto, se refiere a una regin de inters en el espacio a travs de cuyas fronteras un fluido entra y sale continuamente. Las fronteras del volumen de control se llaman superficies de control. La forma y el tamao de un volumen de control son arbitrarias, todo se deja en funcin de la comodidad del investigador, o la facilidad que esta de a la solucin del problema, en general se hace coincidir estas fronteras con los limites del un escurrimiento y en otras ocasiones hace coincidir perpendicularmente a la direccin de flujo. Consideremos el siguiente esquema:III

II Itiempo t

II

tiempo t + dt

Fig. 3.3. Volumen de control en tiempo t y t +dt.

En el tiempo t, se considerar una masa de fluido dentro un sistema determinado por el volumen II En un tiempo t + dt, el sistema se ha movido, y se determina por dos sistemas, el II y III. Llamaremos: N, a la cantidad de alguna propiedad de fluidos, como: masa, energa o cantidad de movimiento. es la cantidad de esta propiedad N por unidad de masa en todo el fluido. En t + dt; (fig. a), el sistema consta de los volmenes II y III. En t; (fig. b), el sistema consta del volumen I. Determinamos el aumento de N en el sistema en u tiempo dt: N sist(t + dt) N sist(t) = dV + dV dV III II t + dt II t

A esta ecuacin sumamos y restamos: dV I t + dt

Tambin dividimos toda la expresin entre t , por lo tanto la ecuacin, queda as: Resolviendo y acomodando de una forma ms cmoda la expresin anterior, tenemos:N sist(t + dt) N sist(t) t dV + dV dV dV dV I II t + dt II t III t + dt I t + dt = + t t t

El primer termino de la derecha:N sist(t + dt) N sist(t) t

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Determina la rapidez promedio del aumento de N en t . Si t 0 entonces esta expresin quedara reducida a:dN dt

Para el primer termino de la derecha: las dos primeras integrales representan la cantidad de N en el volumen de control en t+dt. La tercera integral representa la cantidad de N en el volumen de control en t. Con: t 0 tVC

dV

El volumen de control se mantiene constante cuando t tiende a 0. El segundo termino de la derecha, es la rapidez de flujo N saliendo del volumen de control:dA v

a

Interior

Volumen de control

Fig. 3.4. Sistema de salida de flujo del volumen de control.

dV t + dt III Lim = v dA = v cos dA t 0 t Area conflujo hacia fuera

dA representa el vector del elemento de rea de salida de flujo, normal a este. El tercer trmino representa la rapidez de flujo N entrando al volumen de control.

dAa

Interior v

Fig. 3.5. Sistema de entrada de flujo al volumen de control.

dV t + dt I Lim = v dA = v cos dA t 0 t Area conflujo hacia adentro

Los dos ltimos trminos pueden combinarse en uno.

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dV dV I t + dt III t + dt Lim t 0 t t

= v dA = v cos dA SC SC

Donde no hay flujo hacia fuera o hacia adentro, como:v dA = 0

dN = dt t

VC

dV + v dASC

Esta ecuacin representa el aumento de N dentro de un sistema. Esta ecuacin sirve para derivar leyes y principios de la forma sistemal a la forma de volumen de control. Forma sistemal, sigue el movimiento de las partculas (mtodo de Lagrange). Forma de volumen, observa el flujo desde un sistema fijo de referencia, volumen de control (mtodo de Euler). 3.3. CONTINUIDAD, VELOCIDAD MEDIA Y CAUDAL. PLANTEAMIENTO PARA UN TUBO DE CORRIENTE. El principio de la conservacin de la masa establece que esta ni se crea ni se destruye. Esto supone que la cantidad de masa que fluye segn un esquema cualquiera, debe mantenerse constante.

Fig. 3.6. Esquema de continuidad para un tubo de corriente

El principio de conservacin de la masa establece que la cantidad de masa que pasa por la seccin 1 debe ser igual a la que pasa por la seccin 2 en un tiempo dt. Del volumen de control limitado por las reas dA1 y dA2 que es presentado en la figura 3.6, tomamos un volumen diferencial de seccin dA y dS de longitud, la masa de esta seccin ser:dM = dV

Donde: dM; Diferencial de masa. dV; Diferencial del volumen. El diferencial de volumen ser igual a el diferencial de rea dA multiplicado por el diferencial de desplazamiento dS.dV = dA dS

Donde: A; rea de una seccin de tubo.

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ds; desplazamiento diferencial a los largo de las lneas de corriente. Por lo tanto, el diferencial de masa quedara:dM = dA dS

Si ambos miembros se divide entre el diferencial del tiempo dt. dA dS dM = dt dt

Donde:dM = dG dt

Cantidad de masa que pasa por una seccin por unidad de tiempo.

Por otro lado se sabe que el diferencial de desplazamiento dividido entre el diferencial de tiempo es la velocidad:dS =v dt

Por lo tanto la ecuacin queda:dG = v dA

La cantidad de masa debe ser igual en todas sus secciones, como establece el principio de la conservacin de la masa.dG = 1 v 1dA1 = 2 v 2 dA 2

Para el caso de fluido incompresible, la densidad de masa se mantiene constante:v 1dA1 = v 2 dA 2 = v dA = dQ

Donde: Q; volumen por unidad de tiempo. Este se denomina gasto o caudal. Integrando para cada rea tendremos:A1

v1 dA 1 = v 2 dA 2 = v dA = QA2 A

Por lo tanto la ecuacin de la continuidad entre las secciones 1 y dos, para fluidos incompresibles ser:V1 A1 = V2 A 2

La velocidad media es el caudal entre el rea por la que pasa dicho caudal:V= V= 1 A Q AA

v da

Esta ltima ecuacin es la que mas se utiliza para determinar la velocidad media. Se denota la velocidad instantnea con una v minscula y a la velocidad media con una V mayscula.

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ECUACIN DE LA CONTINUIDAD PARA FLUJO BIDIMENSIONAL.

Fig. 3.7. Variacin de las velocidades para un volumen de control rectangular

Se toma un volumen de control tipo paraleleppedo con dimensiones: x, y y ancho unitario. Se tiene ingreso de caudal por los lados ab y ad, la velocidad media se toma en el vrtice a, donde se toma la componentes de la velocidad Vx y Vy. Por el principio de la continuidad, la cantidad de materia que ingresa al volumen de control debe ser igual a la que sale del mismo, adems que el fluido es incompresible, esto significa que el caudal que ingresa al volumen de control es igual al caudal de salida.r r Q = (v ad x + v ab y ) 1 r r Q = (v bc x + v cd y ) 1

La primera ecuacin es el caudal que entra y la segunda que sale del volumen de control. Los valores promedio de velocidad se calcularan por la semisuma de las velocidades actuantes en cada lado: Para la velocidad promedio de ingreso:v y x vy + vy + r x v ad = 2vx + vx + 2 v x y y

r 1 v ad = v y + 2

v y x

x

r v ab =

r 1 v ab = v x + 2

v x y y

Para la velocidad promedio de salida:r v bc =

vy +

v y y

y + v y + 2

v y y

y +

v y x

x

v y r 1 v bc = v y + y + y 2

v y x

x

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r v cd =

vx +

v x v x v x x + v x + x + y x x y 2 v x y y

r v x 1 v cd = v x + x + x 2

Sustituyendo las ecuaciones de velocidad media de entrada y salida, y resolviendo se tiene:v y y y x + v x x y = 0 x

Esta ecuacin llevamos a un punto:v y y + v x =0 x

Esta ltima expresin es la ecuacin de la continuidad en flujo permanente bidimensional. De manera anloga para flujo permanente tridimensional:v y y + v x v z + =0 x z

3.4.ACELERACIONES. La aceleracin es un vector que se define por la variacin de la velocidad con el tiempo.r r dv a= dt

Como estamos hablando de un vector, para definir claramente la aceleracin debemos determinar su magnitud, direccin y sentido. As definimos la aceleracin en funcin de las coordenadas cartesianas x y z, y del tiempo t.a x = f1 (t , x , y, z ) = a y = f 2 (t , x , y, z ) = dv x dt dv y

dt dv z a z = f 3 (t , x, y, z ) = dt

El clculo diferencial permite establecer, para el sentido de las x:dv x = v x v x v x v x dt + dx + dy + dz t x y z

Dividiendo todo entre dt:dv x v x v x = + dt t x v x dx + dt y v x dy + dt z dz dt

dv x v x v x v x v x = + vx + vy + vz dt t x y z

Por lo tanto anlogamente en las otras direcciones:

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ax =

v x v x v x v x vx + vy + vz + t x y z v y v y v y v y vz vy + vx + ay = + z y x t v z v z v z v z az = vx + vy + vz + t x y z

En los primeros trminos de los segundos miembros de las ecuaciones, se tiene la variacin de la velocidad con el tiempo, esta tambin se denomina aceleracin local. Los ltimos tres trminos de los segundo miembros de las ecuaciones, son la variacin de la velocidad con el espacio, tambin se denomina aceleracin convectiva. 3.5. DEFORMACIN, ROTACIONALIDAD Y VORTICIDAD.

3.8. Volumen de control con sus variaciones de velocidad.

TRASLACIN. De la figura 3.8 supngase que no existe variacin en la velocidad en toda la longitud del volumen de control, es decir:v y v y v x v x =0 = = = y x x y

Se puede decir que las velocidades vx y vy permanecen constantes, por lo tanto el volumen de control se mover de sin cambiar su forma, es decir, el rectngulo abcd se comportara como un slido:

Fig. 3.9. Traslacin de masas fluidas

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DEFORMACIN LINEAL. Este

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