Sa Luis Poto"9 S.LP., Mico, 1996 Universidad Autnoma ele SID Luis Potos

Unidad Zou Media

Juan Manuel Izar Landeta

300 250 200 150 100 50 o~==+==~::::___._-=-~====--+-~L---~_._--------

-50 -100 -150

para Administracin

INVESTIGACION DE

OPERACIONES

Fundamentos de

para Administracin

TNVESTIGACION DE OPERACIONES

Fundamentos de

San Luis Potos, S.L.P., Mxico, 1996.

Universidad Autnoma de San Luis Potos Unidad Zona Media

Juan Manuel Izar Landeta

para Administracin

INVESTIGACION D E

OPERACIONES

Fundamentos de

Editorial Universitaria Potosina

Derechos Reservados by Juan Manuel Izar Landeta ISBN-968-7674-01-6 0485-96022-AO l O 1

46 51

46 46

42

21

14 14

11 11 11 12 12

Pgina

Captulo 111 PROGRAMACION LINEAL. PLANTEAMIENTO DE

PROBLEMAS Introduccin Definiciones

Funcin objetivo. Variables del problema. Coeficientes de la funcin objetivo. Restricciones. Restricciones no explcitas.

Metodologa Problemas propuestos

Captulo D REPASO DE ALGEBRA Introduccin Determinantes

Definicin. Propiedades de los determinantes. Regla de Cramer. Matrices

Definicin. Matriz cuadrada. Matriz identidad. Matriz nula. Matriz regular. Matriz singular. Rango de una matriz. Matriz escalar. Matriz transpuesta. Matriz simtrica. Matriz antisimtrica. Operaciones matriciales. Suma. Multiplicacin. Multiplicacin de una matriz por un escalar. Multiplicacin de matrices. Transformacin de matrices. Matriz adjunta. Matriz inversa. Inversin de matrices. Mtodo de la Adjunta. Mtodo de Gauss Jordan. Solucin de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Problemas propuestos

Captulo 1 INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Breve resea histrica de Ja Investigacin de Operaciones Definicin de la Investigacin de Operaciones Resolucin de problemas Toma de decisiones Otras definiciones

Algoritmo. Modelo. Modelos probabilsticos y determinsticos. Modelos estticos y dinmicos. Modelos descriptivos y normativos. Sistema.

TEMA

VOLUMEN 1

CONTENIDO

98 98

Captulo VD ANALISIS DE SENSIBILIDAD Introduccin Clasificacin de casos para el anlisis de sensibilidad

Cambios en las constantes de las restricciones. Cambios en las contribuciones de las variables en la funcin objetivo. Cambios en los coeficientes de las variables en las ecuaciones de las restricciones. Adicin de nuevas variables. Adicin de nuevas restricciones. Cambios en el sentido

96 97

90 90 90 93 95

Captulo VI DUALIDAD Definicin Importancia El problema dual Otros tipos de restricciones Teora de dualidad

Principio de dualidad fuerte. Principio de dualidad dbil. Clasificacin de los problemas duales. Propiedad de simetra. Propiedad de soluciones complementarias. Propiedad de soluciones complementarias ptimas. Propiedad de holgura complementaria.

Interpretacin econmica del dual Problemas propuestos

88

86

63 63 63 63

Captulo V PROGRAM.ACION LINEAL. EL METODO SCMPLEX Introduccin Etapas del mtodo Simp1ex Propiedades de las soluciones factibles Metodologa Simplex

Caso de maximizacin. Caso de minimizacin. Casos especiales del mtodo Simplex

Desempates. No hay variable bsica de salida. Trminos negativos en el lado derecho de las restricciones. Precios sombra.

Problemas propuestos.

53 53 62

Captulo IV PROGRAMACION LINEAL. EL METODO GRAFICO Introduccin Metodologa Problemas propuestos

179 179 179 192

Captulo X PROGRAMACION DINAMICA Introduccin Caracteristicas y metodologa Terminologa Problemas propuestos

172

163

148

141

123 123 125

Captulo IX EL M:ETODO DE TRANSPORTE Introduccin Planteamiento del problema Mtodos de Inicializacin

Mtodo de la Esquina Noroeste. Mtodo del Costo Menor. Mtodo Mutuamente Preferido. Mtodo de Vogel. Mtodo de Russell.

Mtodos de Optimizacin Mtodo del Cruce del Arroyo. Mtodo Modi.

Variantes en los problemas de transporte Oferta diferente de demanda. Problemas de maximizacin. Degeneracin. Rutas prohibidas.

Casos especiales de transporte Programacin de produccin. Problemas de asignacin. Mtodo Hngaro. Problemas de transbordo.

Problemas propuestos

113 113 113 114 115 116 119 121

Captulo Vlll PROGRAMACION ENTERA Introduccin Caso base Mtodo Grfico Mtodo de Redondeo de la solucin ptima de Programacin Lineal Mtodo de Enumeracin Completa Mtodo de Bifurcacin y Acotacin Mtodo de Corte de Gomory Problemas propuestos

111 de las desigualdades. Problemas propuestos

255 Bibliografa

241 Respuestas de los problemas propuestos

239 Apndice 1

236

222 222 223 226 229 233

Captulo XII ANALISlS DE REDES Introduccin Terminologa de redes Mtodo de Recorrido Mnimo Mtodo de la Ruta ms Corta Mtodo de Flujo Mximo Otros problemas planteados como modelos de redes

Problemas de transbordo. Problemas de transporte. Problemas de asignacin. Problemas propuestos

218

195 195 197

Captulo XJ ADMINISTRACION DE PROYECTOS Introduccin El Grfico de Gantt Mtodo PER T/CPM

Generalidades. Metodologa. Construccin de la red del proyecto. Determinacin del camino critico. Estimacin de tiempos en PERT/CPM. Relaciones entre tiempo y costo para los proyectos en PERT/CPM.

Problemas propuestos

El autor.

Quiero dedicar este trabajo a mi esposa f na y a mis hijos Ana, Jorge y Juan, pues son ellos el motivo de mi esfuerzo para haber hecho realidad este libro.

Aprovecho tambin para agradecer a mis padres por su aliento constante y su comprensin. Asimismo les agradezco a las siguientes personas: Al alumno Margarito A !varado Medina, por su paciente colaboracin en haber tecleado el manuscrito del texto: a los ingenieros Salvador Gallegos Huerta y Fernando Cervantes Rivera, por sus valiosos comentarios y sugerencias.

Con la esperanza de que este trabajo sea de utilidad para la enseanza de las materias relacionadas con la Investigacin de Operaciones que se imparten en nuestra escuela, me honro en ponerlo a la disposicin de las generaciones presentes y venideras.

Agradecimientos

Resolucin de problemas. El administrador suele frecuentemente encontrarse con numerosos problemas en su trabajo diario, para los cuales deber llevar a cabo una serie de acciones racionales que le permitan enfrentarlos exitosamente, de tal

Definicin de la Investigacin de Operaciones. La Investigacin de Operaciones puede definirse como un grupo de mtodos y tcnicas aplicables a la

solucin de problemas operativos de los sistemas. Esta definicin no es completa. pero si nos da una idea de lo que trata la materia. Tambin suele conocrsele como Ciencias de la Administracin o como Mtodos y Modelos

Cuantitativos para la toma de decisiones. Un rasgo que debemos sealar de la Investigacin de Operaciones es su carcter imerdisciplinario, es

decir. se aplica a situaciones de diversa ndole en las empresas e instituciones. como pueden ser las reas de Ventas, Produccin. Finanzas. Personal. Mantenimiento y otras.

Breve resea histrica de la Investigacin de Operaciones. El hombre desde que apareci en la tierra ha buscado mejorar su forma de vida. esto lo ha hecho

preguntarse sobre cmo lograr ms satisfactores con menores esfuerzos. Este espritu fue el que movi a Frederick W. Taylor "El padre de la Administracin Cientfica" a

observar cmo desarrollaban los obreros sus diversas tareas y lo llev a plantearse varias opciones para mejorar la eficiencia de los mismos.

De igual forma al inicio de la segunda guerra mundial, los ingleses se vieron obligados a agrupar gentes que dominaban diferentes disciplinas para estudiar los problemas militares, tcticas de abastecimiento y dems inherentes a la guerra para el aprovechamiento ptimo de los recursos escasos. tanto materiales como humanos. Aqu es donde se considera que naci La Investigacin de Operaciones. De igual forma y casi al mismo tiempo en Estados Unidos de Norteamrica, se integraron exitosos grupos de trabajo cuyo objetivo era el desarrollo de estrategias para las operaciones militares, tales como problemas logsticos. planeacin de maniobras navales y establecimiento de patrones de vuelo para aviones.

Al finalizar la guerra. ese personal que haba aplicado los mtodos de Investigacin de Operaciones a acciones militares. pronto se dio cuenta que las tcnicas empleadas podan utilizarse para problemas industriales.

Fue en la dcada de los 50 cuando la Investigacin de Operaciones comenz a tener auge a nivel industrial, lo cual impuls su avance y evolucin.

En 194 7. en Estados Unidos de Norteamrica. George B. Dantzig desarroll el Mtodo Simplex de Programacin Lineal. el cual ha tenido amplias aplicaciones y ha servido de base para otros modelos de programacin. como la entera y la programacin por metas.

En la dcada de los 60, la Investigacin de Operaciones fue implantada en la formacin acadmica de las escuelas de niveles superiores como una nueva parte de los planes y programas de estudios en los Estados Unidos.

Hoy en da, la Investigacin de Operaciones es un tema muy popular, el cual est incluido casi en la totalidad de las currculas de las carreras ingenieriles y administrativas que se imparten en las instituciones de educacin superior en nuestro pas.

Todo esto se debe a que se ha reconocido su importancia para mejorar el proceso de toma de decisiones en los problemas tcnicos. econmicos y administrativos de las empresas e instituciones de servicios.

INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

CAPITULO 1 11

Algoritmo.- Es un procedimiento que consiste en una serie de pasos ejecutables y de decisin ordenados en una secuencia lgica para hallar la solucin de un problema.

Otras definiciones. En este inciso daremos .algunas definiciones adicionales que consideramos tiles para la mejor

comprensin del texto.

Toma de decisiones. En toda empresa o institucin, el administrador debe tomar numerosas decisiones sobre diferentes

situaciones en las que se halla involucrado. Al igual que en et inciso anterior, podramos sealar una serie de pasos racionales para lograr una buena decisin, los cuales pueden ser los siguientes:

1.- Establecer los objetivos de la decisin. Definir los objetivos que se pretenden aJcanzar con la decisin, de esta etapa quedar en claro la

importancia de tomar una decisin. 2.- Clasificar los objetivos. Esto ser jerarquizar los objetivos de acuerdo a su importancia respecto a la decisin. 3.- Desarrollar alternativas de decisin. Esto ser listar todas las posibles opciones de decisin que puedan ser tomadas. 4.- Evaluar las alternativas. Aqu cada alternativa deber sopesarse respecto a los objetivos para ver con cules de ellos y en qu

medida tos cumple. Al fina] de esta etapa deber elegirse la mejor opcin de todas. 5.- Implementar la alternativa elegida. Es decir, ejecutar las acciones que involucren la opcin seleccionada en el paso anterior. 6.- Controlar efectos no deseados de la decisin. Esto ser el anlisis y prevencin de los posibles problemas a los que puede dar lugar la implementacin

de la alternativa de decisin escogida. 7.~ Seguimiento. Una vez llevada a cabo la opcin de decisin elegida en el paso 5, deber darse un seguimiento del

desarrollo de la misma, pues en muchas ocasiones sta constar de una serie de pasos a realizar. Es muy importante sealar que la bondad de la decisin puede algunas veces ser distinta al resultado que

se obtenga con la misma.

manera que aquellos no le afecten a1 logro de los objetivos que se ha propuesto. Lo primero ser establecer qu es un problema, el cual puede definirse como un conjunto de hechos no

deseados en la operacin de un sistema, los cuales debern ser corregidos para lograr el desarrollo ptimo del mismo.

Para la resolucin de problemas, numerosos autores estn de acuerdo en seguir un procedimiento lgico que debe constar de las siguientes etapas:

1.- Definir el Problema. Esto significa identificar todas las caractersticas que describen el problema. 2.- Examinar todas tas causas posibles. Esto es, listar y analizar todas las posibles causas que dieron

lugar al problema. 3.- Obtener los hechos. Tratar de conseguir la mayor cantidad de informacin concerniente al problema. 4.- Confrontar las posibles causas con la informacin obtenida. Esto es. analizar cada una de las causas

para ver su factibilidad de haber sido la responsable del problema, de esta forma quedar identificada la(s) causa(s) ms probable(s).

5.- Efectuar accin correctiva. Una vez identificada la(s) causa(s) que origin el problema, se proceder a resolver ste, eliminando dicha causa y ejecutando las acciones pertinentes para su solucin.

6.- Implementar acciones preventivas para el caso de reincidencia. Es decir. prever la repeticin del problema y prepararse para ello.

12

salida entrada Flujos de

SISTEMA Flujos de

Fgura 1.1 Representacin de un sistema

. Sistema- Es una parte del universo que se toma aparte para ser estudiada, pudiendo estar unida con el exterior o con otros sistemas por medio de flujos de materiales. tal y como se muestra en la figura l. 1

Modelos Descriptivos y Normativos. Los descriptivos son los modelos que no indican ninguna accin a ser tomada, simplemente presentan

una relacin que nos dice lo que sucede en el mundo real. Los normativos por el contrario. s sealan un curso de accin a ser tomado. A estos ltimos tambin suele denorninrseles modelos de optimizacin.

tiempo.

Modelos Estticos y Dinmicos. Los primeros son aquellos que se ocupan de una situacin que tiene condiciones que no cambian respecto

al tiempo, es decir, son constantes. Los Dinmicos en cambio, son aquellos en los cuales s existen variaciones en las condiciones con el

Modelos Probabilsticos y Determinsticos. Los primeros son aquellos que se basan en probabilidades en cuanto a la informacin que usan como

datos. Los segundos sern los que emplean informacin que se conoce exactamente, o bien que puede ser

obtenida. A los modelos probabilsticos tambin suele conocrseles como estocsticos.

Modelo.- Es una representacin de una situacin real. En el caso de la Investigacin de Operaciones los modelos que se manejan son matemticos, los cuales consisten en una ecuacin que describe el comportamiento de un fenmeno que sucede en un sistema dado.

Existen varias clasificaciones de los modelos de acuerdo a sus funciones, propsitos, temas o tipo de informacin que utilizan. Algunos de los ms usuales son los siguientes:

13

(b)I~ : = (5)(4 )- (8)( 7) = 20- 56 = -36 (a)I~ ~ll = (6)(0)-(-1)(3) =O+ 3 = 3

Solucin: De acuerdo a la Ec.(11.2) tendremos

Como puede observarse, es la diferencia de los productos formados con los elementos de las diagonales. A continuacin presentaremos un ejercicio. Ejemplo JI. l.- Hallar el valor de los siguientes determinantes de segundo orden

1 6 -11 Is s I hl (a)3 O (b)7 4 (c)a b

a21 a22 Ec.(Il.2) = a11a22 - a12a21 011 a12

Ec.(II. 1) a11 a12 a21 a22

Donde los subndices significan la posicin del elemento en el arreglo. representando el primer subndice el rengln en el cual se halla situado el elemento y el segundo a la columna. as por ejemplo el elemento a12 ser el correspondiente al primer rengln y a la segunda columna.

El valor de un determinante de segundo orden se calcula de la siguiente manera:

Determinantes Definicin: Se le llama determinante a un arreglo tabular de elementos en forma cuadrada, es decir con

igual nmero de renglones que de columnas. el cual tiene un valor numrico dado. Sus elementos pueden ser variables o constantes. siendo la mayora de las veces valores numricos.

Los determinantes hallan amplias aplicaciones para la solucin de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, como veremos ms adelante.

El orden de un determinante es el nmero de renglones y/o de columnas que posee. De esta forma el determinante ms sencillo es el de segundo orden con 4 elementos. como por ejemplo el siguiente:

Introduccin En este captulo presentaremos un breve repaso de lgebra, tratando los temas de matrices y

determinantes. El lgebra de matrices se aplica para la solucin de ecuaciones algebraicas lineales como las que

aparecen en la Programacin Lineal y en especial en el mtodo Sirnplex, el cual utiliza la inversin de matrices para llegar a la solucin.

Los determinantes por su parte, son aplicados para resolver ecuaciones algebraicas simultneas. este tipo de sistemas aparecen en los problemas de Anlisis de Markov, los cuales se vern posteriormente.

REPASO DE ALGEBRA

CAPITULO 11 14

De esta forma descompondremos un determinante de orden n, en n determinantes de orden n-1 Ec.(D.7) i = 1,2, ..... ,n D = a;1Ci1 + ai2Ci2+ ..... +a;11t

Propiedades de los determinantes. Propiedad nmero /.- Un determinante puede descomponerse en otros determinantes de rdenes

menores conforme a la siguiente frmula:

(4)(5)(2) + (6)(0)(3) + (3)(-2)(-i) - (3)(5)(3) - (4)(0)(-1) - (6)(-2)(2) = 40 + o + 6 - 45 - o + 24 = 25

Solucin: De acuerdo a la metodologa explicada. aplicaremos la Ec.(11.6) a los elementos del determinante para

obtener

Enseguida presentamos un ejercicio: Ejemplo ll.2.- Hallar el valor del determinante

4 6 3 -2 5 o 3 -1 2

Ec. (Il.6) 011022033 + Ul2023031 + 013021032 - Ol3022Q31 - 01 W23032 - Ol202l033 es:

Estas representan los productos de los elementos que las forman. de manera que el valor del determinante

Ec.(11.5)

a 12 Ahora formaremos 3 diagonales en un sentido y 3 en el sentido opuesto. del modo siguiente:

031 032 033 031 032

021 022 023 021 022 Ec.(II.4) 011 012 013 011 012

a21 a22 a23

GJt Q32 Q33 Por su parte para encontrar el valor de ste. deberemos realizar un poco ms de trabajo, sin embargo, una

manera simple de hacerlo es agregando las dos primeras columnas del determinante como cuarta y quinta columnas respectivamente, con lo cual tendremos:

Ec.(Il.3) a11 a12 an

(c)I: :1 = (o)(b)- (b)(o) = ob- ba =O Existen determinantes de rdenes mayores, como los de tercer orden, de Jos cuales el siguiente es un

ejemplo:

15

4 6 3 -2 5 o 3 -1 2

Si aplicamos la Ec.(11. 7) al primer rengln, tendremos: D = a11C11 + a12C12 + auCu

Donde cada cofactor se obtendr por la aplicacin de la Ec.(11.8) a nuestro caso, de esta forma tendremos: C = (-1)1+1M1

Donde M 11 ser el determinante de segundo orden resultante de eliminar en D el primer rengln y la primera columna,

M11=15 I = (5)(2)-(0)(-1) = 10- o;: 10 -1 2 Resultando entonces para C 11:

c11= c-1)2 oo) = 10 Ahora para e 12:

C12 = (-1)1+2 M12 Donde M 12 ser:

M12=1~2 ~I = (-2)(2)- (0)(3) = -4- o::; -4 Resultando entonces el cofactor:

C2 = (-1)3 (-4) = 4

Ahora presentaremos un ejemplo para ilustrar lo antes sealado. Ejemplo D.3.- Resolver el determinante del ejemplo IJ.2 utilizando la metodologa de los cofactores. Solucin: El determinante de tercer orden es

QJI QJ3

a21 a23 M12 = Ec.(Il.10)

Quedando de este modo

a 33 a 31

Ec.(11.9) 23

Donde Mij es el menor del elemento aj el cual ser el determinante de orden inmediato inferior que resulta de eliminar el rengln i y la columna j del determinante original. as por ejemplo para el caso de un determinante de 3x3 definido por la Ec.(11.3). el menor M 12 ser el determinante de segundo orden que resultar al eliminar el primer rengln y Ja segunda columna del determinante original, es decir:

En esta frmula a I- a2, ....... an son los elementos del rengln i simo del determinante, mientras que Cil C2, ....... , Cn son los cofactores de cada elemento, los cuaJes se obtienen con la ecuacin siguiente:

Cij = (-l)i+j Mj Ec.(II.8)

16

Propiedad nmero 4.- Si todos los elementos de un rengln o una columna son cero, el valor del determinante ser tambin de cero.

Propiedad nmero 5.- Si se intercambian de posicin 2 lneas cualquiera de un determinante, que pueden ser renglones o columnas, el valor del determinante ser el mismo con el signo cambiado.

A continuacin presentaremos un ejemplo: Ejemplo ll.6.- Comprobar la quinta propiedad para el determinante del ejemplo anterior.

Propiedad nmero 3.- Si los elementos de un rengln (o de una columna) cualquiera se multiplican por un valor dado S, el valor del determinante quedar multiplicado por S.

Esto lo ilustraremos con el siguiente ejemplo: Ejemplo 11.5.- Comprobar la tercera propiedad para el determinante del ejemplo anterior para el caso

de que S= l /2. Solucin:

Elegiremos arbitrariamente a la primera columna para efectuar la comprobacin, entonces al multiplicar los elementos de ella por S, tendremos:

D'= DS = 1~; ~ -841=(612)(8)-(-4)(3/ 2) = 24+ 6 =JO El cual es igual al valor del determinante D' que ser D (60) multiplicado por S, con lo que ha quedado

comprobado.

Solucin: Este determinante vale

o = 1~ -841 = (6)(8}- (-4)(3) = 48 + 12 = 60 Ahora de acuerdo a lo enunciado en la segunda propiedad, pondremos los dos renglones corno columnas

en el mismo orden, entonces tendremos:

D = ,_64 :1 = (6)(8)- (3)(-4) = 48 + 12 = 60 Con lo cual ha quedado comprobado.

Propiedad nmero 2.- El valor de un determinante no se altera si sus renglones se escriben como columnas en el mismo orden.

Esto lo comprobaremos con un ejercicio. Ejemplo 11.4.- Comprobar la segunda propiedad con el determinante

D = I~ -841

Finalmente para C 13 : C13 = (-1)1+3 M13

Donde M 13 es:

M13=1~2 ~11=(-2)(-1)-(5)(3)=2-15 = -13 Dando para C 13:

C13 =(-1)4(-13)=-13 Finalmente sustituiremos los cofactores para calcular D conforme a la Ec.(11. 7):

D = (4)(10) + (6)(4) + (3)(-13) = 40 + 24 - 39 = 25 El cual es el mismo valor del ejemplo anterior. Esta propiedad de los determinantes es muy utilizada cuando aparecen casos de rdenes cuartos o

mayores.

17

Propiedad nmero 7.- El valor de un determinante no se aJtera si a los elementos de una lnea cualquiera, ya sea rengln o columna. se le agregan o restan un mltiplo constante de los elementos respectivos de otra lnea cualquiera.

Esto lo comprobaremos enseguida. Ejemplo 0.8.- Para el determinante

D=I~ ~I Comprobar la sptima propiedad.

Solucin: El determinante vaJe

D = '~ ~I = (9)(2)-(7)(5) = 18- 35 = -17 Ahora conforme a la propiedad nmero 7, aJ primer rengln le agregaremos el doble del segundo

rengln, con lo cual tendremos:

D = 1; ~11=(19)(2)-(11)(5)=38- 55 = -17 Por lo que su vaJor no ha cambiado y ha sido vlido el enunciado de la propiedad. Es conveniente sealar que en las transformaciones de lneas de un determinante no debern mezclarse

elementos de renglones con aquellos de columnas. esto significa que no podremos agregar o restar elementos de un rengln a los de una columna.

Solucin: Vemos que los elementos de la segunda columna son el doble de los de la primera. por lo que conforme a

la sexta propiedad este determinante debe valer cero. lo cuaJ estimaremos ahora mediante la aplicacin de la Ec.(11.6):

D = (4)(l4)(2) + (8)(-1)(-3) + (5)(7)(-6)- (5)(14)(-3)- (4)(-1)(-6)- (8)(7)(2) = 112+24-210+210-24- 112 =o

Con lo cual se ha comprobado.

Para el siguiente determinante 4 8 5 D= 1 14 -1 -3 -6 2

Propiedad nmero 6. - Si los elementos de dos lineas cualquiera, sean renglones o columnas son proporcionales, el determinante valdr cero.

Esto lo ilustraremos con el siguiente caso: Ejemplo 0.7.- Comprobar la sexta propiedad.

Solucin: El determinante origina] es:

D=I: ~I= 60 Escogeremos cambiar de posicin los renglones, con lo cual tendremos:

D= 13 81 = (3)(-4)-(8)(6) = -12- 48 = -60 6 -4 Con lo que ha quedado comprobado.

18

Donde cada elemento Cij vendr dado por cj = a 1bj + i2b2j + + anbnj para i=l,2, ,n Ec.(11.13)

j=l, 2, , n Aqu los determinantes multiplicados debern ser necesariamente del mismo orden. A continuacin presentaremos un ejercicio. Ejemplo 11.10.- Comprobar la propiedad nmero 9 con Jos siguientes determinantes de segundo orden

4 3 5 -2 A= y B= -1 2 4 -1

Propiedad nmero 9.- Para la multiplicacin de determinantes se tiene que a11 a12 ai b11 b12 b111 cu C12 C111 a21 aii a211 b21 b n b211 C21 en C211

X = Ec.(1112) a,,1 a.a "" b111 b .. 2 bm1 C111 C112 C1111

Deberemos evaluar estos determinantes, los cuales sern: 1 = (4)(4)(-4) + (4)(1)(-2) + (1)(7)(-3)- (1)(4)(-2) - (4)(1)(-3)- (4)(7)(-4)

=-64-8-21+8+ 12+ 112=39 y para o2: a

D2 = (2)(4)(-4) + (1 )(l )(-2) + ( 1 )(7)(-3) - ( l )( 4)(-2) - (2)(1 )(-3) - ( 1 )(7)(-4) = -32 - 2 - 21 + 8 + 6 + 28 = -13

Por lo que D = D 1 + Dz = 39 - 13 = 26, con lo cual ha quedado demostrado.

Solucin: El determinante D vale:

0=(6)(4)(-4) + (5)(1)(-2) + (2)(7)(-3)- (2)(4)(-2) - (6)(1)(-3)- (5)\7)(-4) =-96-10-42+ 16+ 18+ 140=26

Conforme a la propiedad nmero 8, lo descompondremos en la forma siguiente: 4+2 4+1 1+1 4 4 1 2 l 1

D= 7 4 = 7 4 l + 7 4 1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -2 -3 -4

01 Di

La cual demostraremos con un ejercicio. Ejemplo U.9.- Demostrar la propiedad nmero 8 para el determinante

6 5 2 D= 7 4 1

-2 -3 -4

C3

Ec.(11.11) G3 bs C3 G3 bs C3

D= ar

Propiedad nmero 8.- Si cada uno de los elementos de un rengln o una columna cualquiera de un determinante pueden expresarse como un binomio, entonces el determinante podr descomponerse en dos, de acuerdo a la siguiente frmula:

a1+k1 bs+ks C1+kJ Q b. C1 k1 k k

19

Enseguida presentaremos un ejemplo de la aplicacin de esta regla.

Ott Ct s

0111 Cu '"'

Mientras que Di ser aquel determinante que resulta de reemplazar en el D la columna i por los trminos independientes e, c2 en Esto significa que para el caso de D2 tendramos:

"' 0112 "'' Ec.(Il.16)

a21 a22 az D=

Donde D ser un determinante de orden n dado por: a11 a12 '"

Ec.(11.15) para i=l , 2, , n x = Di/ D

Es pertinente comentar que la multiplicacin de determinantes es exactamente igual a la de matrices, la cual se ver ms adelante en este mismo captulo.

Ahora presentaremos la Regla de Cramer, la cual es muy conocida pues se aplica a la solucin de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Regla de Cramer.- Para el sistema de ecuaciones algebraicas lineales a11X1 +a12X2+. +a1,,X, = c1 a21X1 +a22X2+ .+a2,,X,, = ex

+ +!> + = Ec.(II.14) + + + =

Ou1X1 +a,,2X2+ +a1111Xn =e,, Cada incgnita puede calcularse por medio de la siguiente frmula:

El cual deber de ser igual al producto de los valores de los determinantes A y B, los cuales valdrn: A= (4)(2)- (3)(-1) = 8 + 3 = 11 y B =(5)(-1)-(-2)(4) =-5 + 8 = 3 Por lo que el producto de ambos ser:

A X B = ( 11 )(3) = 33 Con lo cual ha quedado demostrado.

Entonces el determinante Ces:

e= 1332 -~ il Cuyo valor es:

e= (32)(0)- i1 = (4)(5) +(3)(4) = 20 + 12 = 32 Para i=l,j=2:c12=a1b12 + 02b22 = (4}(-2) + (3)(-1) =-8 - 3 =-11 Para i=2, j=l:c21 = 21 b11 + 22b21 = (-1)(5) + (2)(4) = -5 + 8 = 3 Para i=2,j=2:c22 = 21h12 + 22b22 = H)(-2) + (2)H) = 2- 2 =O

20

Matriz cuadrada de 3 x J ol -lj -2

5 J 2 6 3

Siendo el orden de la matriz m x n, el cual indica el tamao del arreglo. Cada ij es un elemento de la matriz y la notacin de los subndices, significa la posicin del mismo, de

esta forma la i se refiere al rengln en el cual est colocado el elemento, mientras que la j. representa la columna. al igual que la notacin vista anteriormente para los determinantes.

Las matrices a diferencia de los determinantes no poseen ningn valor numrico para todo el arreglo. La diagonal principal de una matriz es el grupo de elementos ij para los cuales se cumpla que sea igual

aj, o sea que estar integrada por elementos a 11 22 , nn A continuacin presentaremos algunos tipos de matrices, los cuales es conveniente recordar. Matriz Cuadrada.- Es aquella matriz que tiene el mismo nmero de renglones y de columnas. De esta

manera habr matrices cuadradas de 2x2, de Jx3. de 4x4. de las cuales presentamos ejemplos:

45 32) Matriz cuadrada de 2 x 2

Om2 ami

Ec.(II.17)

Matrices Definicin: La matriz es un arreglo de elementos en forma rectangular dispuestos en. renglones y

columnas. Estos elementos pueden ser numricos. variables, constantes. funciones, etc. La siguiente es una matriz de m renglones y n columnas:

a11 a12 a1 .. \ a21 a22 .. . . . . . az 1 ~,~J

X 1= D1 I O = 20/2 = 10. Por lo tanto al aplicar la Ec.(II.15) a nuestro caso, tendremos:

Mientras que D y D2 sern:

D1 = l1~ ~'I = (3)(1)- (-1)(17) = 3 + 17 = 20 11 31 . D2 = 1 7=(1)07)-(3)(1)""17-J= 14

Solucin: De acuerdo a lo establecido por la Ec.(I 1.16), D ser:

l l -11 D= 1 1 =(1)(1)-(-1)(1)=1+1=2 X-X2 = 3 X1 + X2 = 17

Ejemplo 11. t l.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas lineales utilizando la regla de Cramer

21

= -15+ 80- 20+ 15- 80+ 20 =o

5 10 = (1)(3)(-5) + (2)(8)(5) + (-1)(2)( 10)- (5)(3)(-1) - (IOX8)(1) - (-5)(2)(2)

= 144 + 84 - 5 + 24 - 24 - 105 = 1,18 El cual por ser diferente de cero y de tercer orden, nos indica que la matriz es de rango 3. Por su parte para la matriz B, calcularemos su determinante,

IBI='~ ~ ~] 8 -5

-1 4 3

5 3 8 1 = (6)(8)(3) + (7)( 4)(3) + (-1)(5)(1) - (3)(8)(-1)- (1)( 4)(6)- (3)(5)(7)

6 IAI= 7

Matriz Regular.- Es aquella matriz cuyo determinante formado con sus elementos es diferente de cero. 1 Aj* O F.c.(II.19)

Matriz Singular.- Es aquella cuyo determinante vale cero. IAI =o Ec.(IJ.20) Rango de una Matriz.- Es el orden mximo del determinante que puede formarse con los elementos de

la matriz cuyo valor sea diferente de cero. Para aclarar esta definicin presentaremos un ejemplo:

Ejemplo n.12; ~'(T;~:'J' rango: las ~~;l("t' ~,::Jes -1 4 3 -1 8 5

Solucin: Deberemos calcular los determinantes formados con los elementos de cada matriz. Entonces para la A tendremos:

Matriz nula de 2 x 3 o o o') o o o)

x 3 ser: La matriz ;tt"iJsiempre es cuadrada, as por ejemplo, la matriz identidad de 3

o o l Matriz Nula.- Es aquella matriz en la cual todos sus elementos son cero. Ejemplo:

SI j ~ j, aij= E c.(11.18)

aij= 1 si i=j, aij

Matriz Identidad.- Es aquella matriz en Ja cual los elementos de la diagonal principal son Ja unidad y el resto de los elementos son cero.

Esto es:

Matriz cuadrada de 4 x 4 (: }2 ~l ~]

-2 5 3 2 1 o 2 8

22

Ec.(11.25)

Matriz Antisimtrica.- Es aquella matriz para la cual se cumple que AT = - A Ec.(11.24)

La cual implica que ij = -oji si i es diferente de j oij= O si i=j

Presentaremos ahora un ejemplo de este tipo de matriz:

Ec.(11.23) La cual implica que

aj = ji para toda i y para toda j

Matriz Simtrica.-(~s t~ ~1;~riz que es igual a su transpuesta, por ejemplo:

A= 7 3 sj -1 5 6

(AxB)T= sT x AT Ec.(II.22) Esto puede demostrarse con un ejemplo numrico, tal es el caso del problema propuesto nmero II.30.

Matriz Transpuesta.- Es aquella matriz denotada como A T que se obtiene a partir de la matriz original A, en la cual los elementos de cada rengln de sta pasan a ser los elementos de cada columna de aquella. Esto quedar claro con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 11.13.-:b(t:ne~ la ~;a)triz transpuesta de A, si

A 5 7 2 Solucin.- Colocaremos los elementos del primer rengln como primera columna y los del segundo

rengln como segunda columna en la matriz transpuesta, de esta forma obtendremos: (4 ~ .

A' =l~J ~J Observamos que la transpuesta no es del mismo orden que Ja matriz original a menos que sta sea

cuadrada. Una propiedad de las matrices transpuestas es que la transpuesta del producto de 2 matrices A y B es igual

al producto de las transpuestas colocadas en sentido inverso, es decir:

Matriz Escalar.- Es aquella matriz en la cual los elementos de Ja diagonal principal valen un escalar

dado k dif:~T[ Ty el 'fji: :.:::::, son cero, por ejem::o(ll ll l o o k

Por lo tanto IBl=O y la matriz B no es de rango 3, por lo que deberemos buscar un determinante cualquiera de orden 2 que pueda formarse con los elementos de la matriz y que sea diferente de cero. Si tomamos los 2 primeros elementos de los dos primeros renglones, tendremos:

. IBI = I~ ~I = (1)(3)-(2)(2) = 3-4 = -1 El cual ya es diferente de cero, por lo que el rango de Ja matriz es 2.

La nica matriz de rango cero es la nula.

23

Solucin: Cada elemento cij de la matriz suma se obtendr de sumar los correspondientes elementos de las matrices sumando. As para el caso del elemento del primer rengln y la primera columna tendremos:

c 1 = 011 + b11 =5+4=9

para i = 1. j = 2: c12= 12+b12

= 8 + (-2) = 6 parai=l,j=3:

c13 = a3 + b13 =-7+7=0

Procediendo del mismo modo para el segundo y tercer rengln, obtendremos: para i = 2. j = 1:

c21=021+ b21 = -6 + 6 =D

para i=2, j=2: c22 = 022+ b22

= l+(-1)=0 para i=2, j=3:

y

Operaciones matriciales. Suma.- La suma de matrices slo puede llevarse a cabo si las matrices sumando son del mismo orden.

Entonces se suman los elementos de la misma posicin de las matrices sumando para obtener el elemento de la matriz suma para esa posicin. Esto es, dadas las matrices A y B

C = A+ B Ec. (IT.26) Donde cada elemento cij = ij + bij para toda i y para todaj Esto lo ilustraremos con un par de ejemplos Ejemplo U.IS.- Obtener C = A+ B si

( 5 8 -7l At6 ~2 ~J

Ejemplo n~l~-(Dim~r~ :~Jue la siguiente matriz es antisimtrica. -2 4 o

Solucin: La matriz A ser antisimtrica si se cumple lo sealado en la Ec.(ll.24). Entonces obtendremos AT y luego ~A para ver si se satisface la igualdad.

La transpuesta implicar poner cada rengln de la matriz original como columna para obtener: (o 5 -2l

AT :::: l-5 o 4 J 2 -4 o

La matriz -A ser la matriz original con el signo de cada elemento cambiado, entonces tendremos:

-A =l (~5 ~ -:J 2 -4 o

La cual es exactamente igual a la transpuesta, con lo cual se ha comprobado.

24

Ec.(11.29) Ak=kA

Multiplicacin: Multiplicacin de una matriz por un escalar.- En la multiplicacin de una matriz A por un escalar k

se tendr lo siguiente.

Estas leyes son obvias si consideramos que el orden en que se agregan los sumandos no afecta al resultado de la suma.

Ec. (II.27) Ec. (II.28)

En la suma de matrices se cumplen las siguientes leyes: Conmutativa: A + 8 = B + A Asociativa: A+ (B+C) = (A+B) + C

10 2

-10

Efectuando operaciones tendremos: ( 5-4 8+2 -7-7l ( 1

D ~ l-6 - 6 1 + 1 o - 6 J = l-12 4- 3 -2 - 8 3 + 2 1

-7) -6 2

-.7) (_4 2 o +l-6 1 3 -3 -8

(_4 2 -7l -B=l-6 1 -26J -3 -8

La cual sumada a A nos dar D, ( 5 8

D =A +(-B) =l-6 t 4 -2

Ejemplo 11.16.- Obtener la matriz resta D = A - B para las matrices A y B dadas en el ejemplo anterior.

Solucin: De hecho la operacin de restar matrices puede considerarse un caso especial de la suma, pues la matriz que va a ser restada (la Ben este ejemplo) se suma con el signo cambiado, es decir:

D= A-8= A+(-8) Entonces tendremos que

c23 = a23+ "23 =0+6 =6

para i=3,j=I: c31= 031+ b31

=4+3 =7 para i=3, j=2:

c32= 032+ b32 = -2 + 8 = 6

para i=3, j=3: c33= a33+ b33

=3+(-2)=1 De esta forma la matriz C ser:

(9 6 ol e ~l~ ~ ~j

25

Ahora procederemos a multiplicar el escalar k= 2 por esta matriz suma:

(2(7) 2(11)) (14 22) k(A+B)= 2(8) 2(4) = 8 8 y este es el resultado del lado izquierdo de la igualdad. Por su parte, para et lado derecho tendremos que obtener el producto kA, luego el producto kB y

finalmente la suma de ambos. El producto k A ser:

(3 s) (4 6) (7 11) A + B = 7 9 + -3 -s = 4 4

Solucin: De acuerdo a la Ec.(Il.31) tenemos que k (A+B) = kA + kB Obtendremos primeramente el lado izquierdo de la igualdad, para ello debemos recordar que los

parntesis afectan el orden en que se deben efectuar las operaciones, por tanto iniciaremos ejecutando la suma de matrices A+B que es lo que est dentro del parntesis:

Solucin: De acuerdo a lo sealado por la Ec. (11.30), tendremos:

( 1/2(6) 1/2(8)) (3 4) Ak = 112(-2) 11 2(4) = -1 2 = kA Ntese que la divisin de una matriz por un escalar es un caso especial de la multiplicacin, pues este

ejemplo podra haberse planteado como la divisin de la matriz A entre el escaJar 2, que es lo mismo que multiplicar por el inverso, es decir 1/2.

A1gunas propiedades de las multiplicacin de matrices por un escalar son las siguientes: Propiedad Distributiva respecto a la suma de matrices: k (A+B) = k A + k B Ec. (Il.31) Propiedad Distributiva respecto a la suma de escaJares: (k+ 1) A= k A + 1 A Ec. (II.32) Propiedad Asociativa del producto de escalares por una matriz: k (\ A)= (k I) A Ec. (II.33) Siendo k y 1 escalares; A y B matrices. Ahora presentaremos 2 ejemplos que comprueban parte de lo anterior. Ejemplo 0.18.- Comprobar la propiedad distributiva respecto a la suma de matrices, si k=2 y A y B son

A=(~ :) y B=C~ ~5)

Ntese que el resultado es tambin una matriz del mismo orden que la matriz original, A continuacin presentaremos un ejemplo. Ejemplo 11.17.- Resolver la multiplicacin de la matriz A por el escaJar k=l/2, si A es

A =C62 !)

Ec.(Il.30) de orden m x n

kavi kas 1 k~~2 k~~nj

kam2 kamn [

ka11 kas, Ak=k.A= kami

Entonces

Qln l Q2n 1 . .. J de orden m x n Omn

(

011 a\2 . 021 a22 . si A= Oml Oml

26

donde cada elemento Cij de la matriz C Se calcula por medio de la siguiente frmula: . CiJ ~ aib~ Ec.(ll.35) ~

Multiplicacin de matrices. Para poder efectuar la multiplicacin de 2 matrices cualesquiera A x B, ser necesario que el nmero de

columnas de la primera de ellas sea igual al nmero de renglones de la segunda, de lo contrario el producto no estar definido.

Si por ejemplo, la matriz A es de orden m x n y la matriz B de orden n x p, la matriz producto A x 8 = C ser de orden m x p, es decir, del nmero de renglones de la primera matriz y del nmero de columnas de la segunda, esto es:

A x B C Ec.(11.34) (m x n) (n x p) (m x p)

que es exactamente igual al resultado obtenido para 'el primer miembro, por lo cual ha quedado demostrado.

99 / 2) 63 / 2

por su parte, la suma ser

( 20 44) ( 5 / 2 11 / 2) ( 45 / 2 . kA +/A= -12 28 + -31 2 7 12 = -27 12

11/2) 7/2

Por su parte, para el segundo miembro de la Ec.(11.32), debemos obtener el producto kA, luego el producto JA y finalmente la suma de ambos, entonces:

( 4(5) 4(11)) ( 20 44) kA = 4(-3) 4(7) ;;;; -12 28 (

l/ 2(5) l / 2(11}) ( 512 IA= 1/2(-3) 1/2(7) = -312 .

9912) 63 / 2

Solucin: Conforme a la Ec.(ll.32), procederemos a obtener el primer miembro, para lo cual lo primero ser efectuar la suma de escalares k+l y luego este resultado que tambin es un escalar, multiplicarlo por la matriz A, entonces:

(k+l) = 4 + 112 = 8/2 + 1/2 = 9/2 entonces la multiplicacin es:

( 9 / 2(5) 9/2(11)) ( 45 J 2

(k+l)A= 912(-3) 912(7) = -2112

Ejemplo 11.19.- Comprobar la Ec.(11.32), si k= 4 y 1 = 1/2, ( 5 11) si A= _3 7 .

La cual es exactamente igual al resultado del lado izquierdo.

Finalmente, la sum(~ de ~)+(k~ ser~~ J (14 kA + kB = 14 18 + -6 -1 O = 8

(2(3) 2(5)) (6 10) kll = 2(7) 2(9) =' 14 18 Por su parte k B ser:

(2(4) 2(6)) (8 12)

kB = 2(-3) 2(-5) = -6 -10

27

La multiplicacin de matrices tiene las siguientes propiedades:

El cual es el nico elemento de la matriz C.

Con lo que la matriz producto C es: (,g 35l C=ll: :1J

Ejempl: :~:-- :: :~ m; Solucin: A es de orden 1 x 2 y B es de 2 x 1, por lo que la matriz producto C ser de 1 x 1, es decir solamente de

un elemento, el cual obtendremos mediante la aplicacin de la Ec.(11.35) a nuestro caso para obtener: Para i=l,j=l:

Po' 10 cua1; ~q(:r ~sy;:z0:::: Axs es Ahora procederemos a calcular e X D, para lo cual tambin aplicaremos la Ec.(ll.35),

CxD = G~ 298){~ ~J = p Donde denominarnos como P a la matriz producto. Entonces cada elemento de P ser: Para i=I,j=I:

Pt I = c 1d11 + c12d21 = (29)(5) + (28)(0) = 145 + o= 145

Para i=Lj=Z; P12 =c11d12 + c12d22

= (29)(2) + (28)(- l) = 58 - 28 = 30 Para i=2. j=l:

P21=c21d11 .... c22d21 = (12)(5) + (9)(0) = 60 +o= 60

Para i=2, j=2: P22 = c21d12 + c22d22

= (12)(2) + (9)(-1) = 24 - 9 = 15

Solucin: Conforme a la Ec.(11.37), el primer miembro deber obtenerse efectuando primeramente AxB y el

resultado se m;~:P:rr ~}e ~r: procederemos llevar a cabo esto Al aplicar la frmula dacia por la Ec.(11.35), para k de 1 a 2, tendremos: Para j::::;J,j=I:

C]] = OJ Jb) 1 + OJ2b21 = (6)(4) + (5)(1) = 24 + 5 = 29

Para i=l,j=2: c12 = a11b12 + 012b22

= (6)(3) + (5)(2) = 18 + 10 = 28 Para i=2,j=I:

c21 = 021h11+ a22b21 = (3)(4} + (O)(l) = 12 +O= 12

Para i=2. j=2: c22 = 21b12 + 022b22

= (3)(3) + (0)(2) = 9 + o= 9

A continuacin demostraremos con ejercicios numricos algunas de estas propiedades: Ejemplo 11.22.- Demostrar la propiedad asociativa de la multiplicacin de matrices para

A = (~ ~) B = (: ~) y C = (~ ~J

AxB * BxA Ec.(11.36) (AxB) X e:::::; A X (BxC) Ec.(II.37) (A+B) X e:::::; AxC + BxC . Ec.(ll.38) e X (A+B) = CxA + CxB Ec.(11.39)

No es conmutativa Propiedad asociativa Propiedades distributivas

29

Ejemplo 11.23.- Demostrar para las mismas matrices del problema anterior la propiedad distributiva dada por la Ec. (11.39).

Solucin: Lo primero ser obtener el primer miembro, es decir D x (A+B), para lo cual haremos la suma, a la que

llamaremos S, entonces:

S =A+ B = (~ ~)+(: ~)=e: ~) Ahora efectuaremos el producto D x S, al que llamaremos P, entonces:

P12=011e12 + 012e22 = (6)(5) + (5)(0) = 30 + o= 30

Para i=2,j=l: P21=021e11+022e21

= (3)(20) + (0)(5) = 60 + o= 60 Para i=2, j=2:

P22 = 21e12 + 022e22 = (3)(5) + (0)(0) = 15 + o= 15

Siendo la matriz P exactamente igual a la obtenida para el primer miembro, por lo que ha quedado demostrado.

= (12)(2) + (9)H) = 24 - 9 = 15 Por lo tanto la matriz producto P es:

= (145 30) p 60 15 Ahora vamos a calcular el segundo miembro de la igualdad dada por la Ec.(fl.37), para lo cual

primeramente obtendremos BxD y este producto que llamaremos E ser el segundo factor que luego ser multiplicado por A, entonces tendremos:

Para i=Lj=I: e11 = b11d 1 + b12d21

= (4)(5) + (3)(0) = 20 +o= 20 Para i=I,j=2:

e12 = b11d12 + b12d22 = (4)(2) + (3)(-1) = 8 - 3 = 5

Para i=2, j= 1 : e21 = b21d11 + b22d21

= (I )(5) + (2)(0) = 5 + o= 5 Para i=2, j=2:

e22 = b21d12 + b22d22 = (1)(2) + (2)(-1) = 2 - 2 =o

Por lo que la matriz E ser

E =(~O ~) Ahora procederemos a obtener el producto final Ax.E el cual deber ser igual a P, entonces: Para i=Lj=I:

P11 = 011e11+012e21 = (6)(20) + (5)(5) = 120 + 25 = 145

Para i= 1, j=2:

30

p = DxS = (5 2 ) ( 1 O 8) o -1 -\4 2 Utilizando nuevamente la Ec.(11.35), tendremos: Para i=l.j=J:

PI 1 = d1s1 + d12521 = (5)(10)+(2)(4)=50+8=58

Para i=l,j=2: P 12 = d 1 1s12 + d 12s22

= (5)(8) + (2)(2) = 40 + 4 = 44 Para i=2,j=I:

P21 =d21s11 +dz2s21 = (0)(10) + (-1)(4) =O- 4 = -4

Para i=2, j=2: P22 = d21s12 + d22s22

= (0)(8) + (-1)(2)"' O- 2 = -2 Por lo que la matriz P ser

p =(58 44) -4 -2

Ahora procederemos a calcular el segundo miembro, los productos DxA al que denominaremos U, y el DxB al que llamaremos V. Entonces hallaremos primeramente U:

U = Dx4 = (~ ~Jx(~ ~) Aplicando la Ec.(11.35), tendremos Para i=l , j=I:

u l = d11all + d1221 = (5)(6) + (2)(3) = 30 + 6 = 36

Para i= 1. j=2: u12=d1112 + d1222

= (5)(5) + (2)(0) = 25 +o= 25 Para i=2, j= 1:

u21 = d2111 + d2221 = (0)(6)+(-1)(:,)=0-3=-3

Para i=2, j=2: u22 = d21a12 + d2222

= (0)(5)+(-l)(O)=O+O=O Por lo que la matriz U ser:

u= (36 25) -3 o

Por su parte para Ja matriz V tendremos:

= DxB = (~ ~Jx(: ~) donde cada elemento de ella se obtiene mediante la Ec.(II.35), entonces Para i=l,j=l:

v11 = db11 + d12"21 = (5)(4) + (2)(1) = 20 + 2 = 22

31

-~ : 130] 7 8 9

3.- Sumarle o restarle a un rengln o a una columna k veces otro rengln u otra columna. Ejemplo: Si a la matriz original de los casos anteriores a los elementos del primer rengln le sumamos

los del segundo rengln multiplicados por 3, tendremos:

O bien si a I~ m~riz~Joriginal le cambiamos la primera ysegunda columnas de posicin, tendremos:

8 7 9 2.- Multiplicar un rengln o una columna por una constante. Ejemplo: Si en la matriz del ejemplo anterior, multiplicamos los elementos del segundo rengln por 2,

tendremos:

Transformaciones de matrices. Es posible hacer transformaciones elementales de matrices, las cuales no alteran ni el orden ni el rango

de las mismas. Las ms usuales son las siguientes: 1. - 1 ntercambio de posicin entre dos renglones o entre dos columnas. Ejemplo: Si tenemos la matriz de JxJ 4 6 3\ -1 2 5j

7 8 9 Si cambiamos el primero y tercer renglones, tendremos:

7 8 9\ -1 2 sj 4 6 3

v12 = d11b12 + d12b22 = (5)(3) + (2)(2) = 15 + 4 = 19

Para i=2, j= 1: v21=d21b11 + d22b21

= (O)( 4) + (-1 )( l) = O - 1 = -1 Para i=2, j=2:

v22 = d21b12 + d22b22 = (O)(J)+(-1)(2)=0-2=-2

Quedando la matriz V como = (22 19) -1 -2

Finalmente sumaremos U y V para obtener: U+ V= (36 25) (22 19) = (58 44)

- 3 o -\-1 -2 -4 -2 La cual es exactamente igual al resultado del primer miembro, con lo que ha quedado demostrado.

Para i=l,j=2:

32

Para a T l 3 el menor es

1

8 41 = (8)(-1)-(4)(6) = -8- 24;;;; -32 6 -1

y el cofactor ser (-1)4 (-32) = -32

Para a T 12 el menor ser

18 .31 6 2=(8)(2)-(3)(6)=16-18=-2

y el cofactor ser (-1)3 (-2) = 2

Solucin: Lo primero ser obtener la transpuesta de A, es decir AT, la cual ser:

AT =(; : -32Jl 6 -1 . 2

Ahora habr que obtener los cofactores de cada elemento de A T, para lo cual aplicaremos la tcnica vista en el tema de determinantes.

Para a T 11: el menor ser el determinante

14 31 . -1 2 =(4)(2)-(3)(-))=8+3;;;;J

El cofactor ser (-1)2 (11) = 11

Ejemplo 11.24.[- ~bt:ner ~~adjunta de la matriz A la cual es:

A= 5 4 -IJ -2 3 2

Matriz Adjunta. Para una matriz A dada, su matriz adjunta se obtiene de la siguiente forma: Primeramente habr que

tener la matriz transpuesta de A, es decir A T y luego obtener los cofactores de los elementos de sta, conforme a lo visto en determinantes. La adjunta estar entonces integrada por los cofactores ubicados en la misma posicin de los respectivos elementos para los cuales fueron calculados.

La matriz adjunta se denota como A+ . Para ilustrar la obtencin de la matriz adjunta, presentaremos un caso:

1 12 18lj -1 2 5 7 8 9

O bien, s para esta ltima matriz a la primera columna le restamos la segunda, nos dar: -11 12 1sl .: ~ !J

33

Ec.(ll.40) Ax A"'= Alx A= 1 Donde 1 es la matriz identidad

Matriz inversa. La matriz inversa A" 1 de una matriz A dada, deber cumplir con la siguiente condicin:

Por lo tanto Ja matriz adjunta ser:

(

11 2 -32l A+= -8 26 37 J

23 -37 -12 La obtencin de la adjunta tiene importantes aplicaciones en la inversin de matrices y tambin en la

resolucin de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Para o T 33 el menor es I~ !I = (7)(4)- (5)(8) = 28- 40 = -12 y el cofactor es (-1)6 ( -12)= -12

Para a T 32 el menor es

I~ -321= (7)(3)-(-2)(8)= 21+ 16= 37 y el cofactor es (-1)5 (37)= .37

Para a T 31 el menor es I~ -321=(5)(3)-(-2)(4)=15+8=23 y el cofactor es (-1 )4 (23) = 23

Para a T 23 el menor es

1

7 51=(7)(-1)-(5)(6)=-7-30=-37 6 -1

y el cofactor es( l)S (-37) = 31

Para a T 22 el menor es

1: -221 = (7)(2)- (-2)(6) = 14 + 12 = 26 y el cofactor es (- 1)4 {26) = 26

Para a T 21 el menor es

1~, ~21 = (5)(2)- (-2)(-1) = 10- 2 = 8 y el cofactor es( I )3 (8) = -8

34

Solucin: Lo primero ser obtener la adjunta A+, para lo cual obtendremos antes la transpuesta A T,

(5 3 1 l AT=l2 4 -IJ

1 2 2 Por su parte los cofactores sern:

QTJl;;:(-1)21; ~ll=(4)(2)-(-1)(2);;:8+2=10 a" 12;;: (-1)31~ ~JI= -((2)(2)- (-1)(1)]:: -(4 + 1) = -5 QT 13 = (-1)41~ ;1;;: (2)(2)-(4)(1);;: 4-4 = 0 T 21 ==

Mtodo de Gauss Jordau. Este mtodo es muy utilizado para la resolucin de ecuaciones algebraicas lineales simultneas, as como

para obtener la matriz inversa. Consta de las siguientes etapas: 1.- Dada la matriz cuadrada A de orden n, se agrega a sta la matriz identidadquedando de esta forma

el arreglo de n renglones y 2n columnas. 2.- En la matriz original A se tratar de generar la matriz identidad mediante transformaciones

elementales que son de dos tipos y las cuales se llevan a cabo ordenadamente de la siguiente manera: a). Normalizacin del rengln. Este paso consiste en generar un uno en el elemento del rengln

correspondiente a la diagonal principal, lo cual se logra simplemente mediante la divisin de los elementos del rengln por el valor del elemento citado.

b), Reduccin de la columna. Este paso consiste en generar ceros en la columna donde se halla el elemento normalizado en el paso anterior, con excepcin de ste. Esto se efecta mediante transformaciones matriciales de sumarle o restarle a los elementos de un rengln dado x nmero de veces los respectivos elementos del rengln normalizado, el cual de esta manera ser el rengln pivote para realizar estos cambios.

De tal forma se llevan a cabo estos pasos comenzando por el primer rengln y primera columna hasta llegar a los ltimos, lo que dar al final del procedimiento la matriz identidad ubicada del lado izquierdo, justo donde estaba A y la inversa de sta del lado derecho donde se encontraba la matriz identidad al principio.

Enseguida presentaremos un ejemplo de esta metodologa: Ejemplo 11.26.- Obtener la inversa dela matriz A del problema anterior por el mtodo de Gauss Jordan. Solucin: Lo primero ser agregar la matriz identidad a Ja A, con lo cual tendremos:

(~ : ~ ~ ~ ~I 1 -1 2 o o 1J Ahora procederemos a los pasos de normalizacin y reduccin para esta matriz aumentada, iniciando por

el primer rengln, cuyo elemento correspondiente a la diagonal principal es el s ubicado en la primera columna, por lo cual para hacerlo la unidad dividiremos todo el rengln entre 5, con este cambio nuestra matriz quedar en la forma siguiente:

(1 0.4 0.2 0.2 o J 3 4 2 o 1 o 1 -1 2 o o 1

La cual podra comprobarse al multiplicarla por la matriz original A debiendo resultar la matriz identidad conforme a la Ec.(IJ.40).

-ll 7 o ' 9/35 -usj 115 2/5

Entonces al apl::r la Ec.(IL{41::e~:em~sJ: ( 217 A-=IAl=(l/35-4 9 -7=-4135

-7 7 14 -1/5

= 40- 3+ 4- 4+ 10-12 = 35 -1 2

1 2 = (5)( 4)(2) + (3)(-1)(1) + (1)(2)(2) - (1)( 4)(1)- (2)(-1)(5) - (2)(2)(3)

5 2 IAI= 3 4

A+=(~~ ~ -1] -7 7 14

Por su parte el determinante de los elementos de la matriz ser:

36

Con estos cambios nuestra matriz ser:

Finalmente iremos a la ltima normalizacin, que ser la del tercer rengln, para lo cual dividiremos a ste entre 2.50. para que se nos haga la unidad el elemento correspondiente a la diagonal principal. con lo cual tendremos: o o -0.20 0.20 0.40

Ahora procederemos a la reduccin, por lo que si vemos nuestra matriz, nos daremos cuenta que el elemento que corresponde a la tercera columna y al primer rengln ya es un cero, por lo cual pasamos al segundo rengln. donde vemos que el elemento de l y de la tercera columna es 0.50. por lo que para hacerlo cero deberemos restarle a este rengln el pivote multiplicado por 0.50, es decir: o 1 0.5 -0.2143 0.3571 o

0.50 o o 1 -0.2 0.2 0.40 ) o o -0.1143 0.2571 -0.20

o o Con estos cambios nuestra matriz ser ahora: u o o 0.285 7 -0.1428 ~J 1 0.5 -0.2143 0.3571 o 2.5 -0.5 0.5 Por su parte para hacer cero el elemento del la segunda columna y tercer rengln, a este le sumaremos el

segundo rengln multiplicado por 1.40, con lo cual tendremos: o -1.4 1.8 -0.2 o + 1.40 ( o 1 0.5 -0.2143 0.3571 o )

2.5 -0.5 0.5

o o 0.2857 -0.1428 o o o

0.2 0.2 o 0.5 -0.2143 0.3571

0.4 1

1 o 0.40

Ahora procederemos a la reduccin de los elementos de Ja primera columna, es decir, hacerlos cero, con excepcin del elemento normalizado en la etapa anterior, Jo cual haremos mediante transformaciones matriciales, para lo cual vemos que si al segundo rengln le restamos el triple del primero, se generar un cero en el elemento respectivo de la primera columna:

3 4 2 o 1 o 3 1 0.4 0.2 0.2 o o )

o 2.8 1.4 -0.6 o Por su parte para hacer cero el elemento de la primera columna y tercer rengln, simplemente hay que

restarle al tercer rengln los valores del primero, es decir: 1 -1 2 o o 1 1 0.4 0.2 0.2 o o ) o -1.4 1 . 8 -0.2 o o

Con estos cambios nuestra matriz quedar de la manera siguiente:

(] 0.4 0.2 0.2 o J o 2.8 1.4 -0.6 1 o o -1.4 1.8 -0.2 o 1

Ahora pasaremos a la normalizacin del segundo rengln, para lo cual vemos que el elemento correspondiente a la diagonal principal es el 2.80, por lo que dividiremos todo el rengln entre este valor, quedndonos entonces: o 0.50 -0.2143 0.3571 o

De aqu proseguiremos con la reduccin. la cual implica hacer ceros los elementos de la segunda columna excepto el del rengln pivote. por lo que vemos de nuestra matriz que si al primer rengln le restamos el segundo rengln multiplicado por 0.40, nos generar un cero en el elemento del primer rengln y segunda columna, es decir:

37

Entonces l::dj:(~;; ~) Por su parte el determinante de P ser:

Lo primero ser ob::~r:l(~rit:~)r (i~mb:1~)para lo cual obtendremos el producto Ax B, el cual ser:

s 1 \-4 3 Por lo que el elemento del primer rengln y primera columna de la matriz producto ser:

(8)(6) + (-3)(-4) = 48 + 12 = 60 El elemento del primer rengln y segunda columna ser:

(8)(-2) + (-3)(3) = -16 - 9 = -25 El del segundo rengln y primera columna ser: . (5)(6) + (1)(-4) = 30-4 = 26 El del segundo rengln y segunda columna:

(5)(-2) + (1)(3) = -10 + 3 :::;. -7 Por lo que la matriz producto. que denominaremos Pes:

p-::::; (60 -25) 26 -7

A sta tendremos que sacarle la matriz inversa, lo cual efectuaremos por el mtodo de la adjunta. entonces lo primero ser obtener ta transpuesta de P. la cual es:

PT = (60 26) 25 -7

Para la cual los cofactores son: Para pT 11 = (1)2 (-7); -7 ParapT12= (-1)3 (-25)=25 ParapT21 == (-1)3 (26)=-26 Para pT 22 = (-1)4 (60) = 60

Solucin:

Ejemplo Il.27.- Demostrar la Ec.(ll.42) para las siguientes matrices: = (8 -3) = ( 6 -2) .4 51 y B -43

Ec.(11.42) ( A X B r 1 = s-1 X A-1 la cual demostraremos con un ejercicio.

La matriz inversa de un producto tiene la siguiente propiedad:

Quedndonos la matriz identidad del lado izquierdo (3 primeras columnas) y la inversa del lado derecho (3 ltimas columnas).

Si comparamos la inversa con la obtenida en el ejemplo anterior, nos daremos cuenta que son exactamente iguales.

-0.1428 o J 0.2571 -0.20

0.2 0.4 (l o o 0.2857 o 1 o -0.1143 o o 1 -0.2

38

Siendo la adj:n~a(: 1 3)

A -5 8 y el determinante

IAI ~ (: ~3 l ~ (8)(1)- (-3)(5) ~ 8+ 15 ~ 23 Quedando entonces la inversa:

_1 A+ ( 1/23 3/23) A = IAI = -5 / 23 8 / 23

La cual es el primer miembro. Por su parte, para obtener el segundo miembro debemos hallar las inversas de B y A y luego

multiplicarlas, entonces primeramente hallaremos la inversa de B, para la cual la transpuesta es: BT =C~ -34) .

Mientras que los cofactores sern: bTll = (-1)2(3)=3 bTt2 = (-l)3 (-2)=2 b T 21 = H )3 (-4) = 4 bT22 = (-1)4(6)=6

Siendo la adjunta: a+=(:~) y el determinante

IBI=(~ -32]=(6)(3)-(-2)(-4)= 18-8= 10 Quedando entonces la inversa:

__ 1 _ s+ -(3110 115) B - IBI - 2 / 5 315

Por su parte ~ar:(la8ma~)iz A tendremos primero su transpuesta, la cual es:

A -3 1 Para la cual los cofactores sern:

a T 11 = (-1)2 ( 1) = 1 aT12= (-1)3 (3)=3 aTzt = (-1)3 (5)=-5 aT22= (-1)4 (8)=8

5146) 6123 .

Entonces la inversa de P ser: -1 e: (-7 / 230

P =TPI= -131115

r 60 -251 IPI = ~26 -7 ~ = (60X-7)-(-25)(26) = -420+ 650 = 230 39

Entonces obt;ndr(en;os 11a)inversa de A, para lo cual la transpuesta

A = -1 2

Solucin: ldenlifi::1 r ~r~s A : C. de acu~: rn notacin anterior, stas sern Ejemplo 11. 28.- Solucionar por medio de la inversin de matrices el sistema de ecuaciones 4X1 - Xz = 2 X1 + 2 x2 = 5 De donde concluimos que la matriz solucin X se obtiene del producto de la matriz inversa de aquella

formada con los coeficientes de las ecuaciones. A-1 y la matriz de los trminos independientes. C. Las matrices X y C son de una sola columna, por lo que en realidad son vectores. Para ilustrar lo anterior presentaremos un ejemplo sencillo.

Ec.(11.46)

Si en la Ec.(11.43) multiplicamos por la matriz inversa de A, es decir A-1 a ambos lados, tendremos: A-1 A X = A-1 C Ec.(11.45)

y dado que A-1 A = 1. la matriz identidad que es la unidad, por lo tanto:

Donde XI CI

[" Ol2

'"] 021 a22 0211 Xi C2 A= .r = C= Ec. (11.44) Onl 0112 "" X11 e;

Solucin de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales La matriz inversa es muy til para solucionar un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, tal como el

indicado en la ecuacin (ll.14), el cual puede representarse en forma matricial de la manera siguiente: A X = C Ec.(11.43)

que es exactamente igual a ~ 1 por lo cual queda demostrado.

Para esta matriz producto el elemento del primer rengln y la primera columna ser: (3/10)( 1/23) + (1/5)(-5123) = 3/230 - 5/115 = -7/230

El del primer rengln y segunda columna ser: (3/10)(3/23) + ( 1/5)(8/23) = 91230 + 8/115 = 25/230 = 5/46

El del segundo rengln y primera columna: (2/5)(1123) + (3/5)(-5123) = 21115 - 15/115 = -131115

El del segundo rengln y segunda columna: (2/5)(3/23) + (3/5)(8/23) = 61115 + 24/115 = 30/115 = 6/23

Quedando entonces el producto: _1 _1 -(- 7 I 230 51 46)

B X A - - J 3 / 115 6 / 23

FinaJmente obtendremos el producto s-1 X A-1 -1 -1=(3/10 1/5)(1/23 3/23)

B X A 2 I 5 3 / 5 \-51 23 8 / 23

40

La cual significa que X = 1, X 2 =2 para el sistema de ecuaciones.

y los cofactores son aT11= (-1)2(2)=2 a T 12 = (-1 )3 (-1) = l a T 21 = (. i )3 (1) = -1 aT22= (-1)4(4)=4

Quedando entonces la adjunta + =(2 ) A -1 4

y el determinante de A:

IAI = (~ ~') = (4X2)-(-l)(I) = 8 + 1 = 9 Siendo la inversa

_1 A... '( 2 I 9 11 9) A =TAT= -1/9 4/9

Ahora ya podemos aplicar la Ec.(11.46), para obtener:

X= A-xc=(~/199 :~:){~) Cuyo producto ser la matriz solucin X. la cual estar formada por 2 renglones y una columna,

calculndose sus elementos en la forma siguiente: Elemento para el primer rengln y primera columna:

(2/9)(2) + (119)(5) = 4/9 + 519 = 9/9 = 1 Elemento del segundo rengln y primera columna:

(-1/9)(2) + (4/9)(5) = -2/9 + 20/9 = 18/9 = 2 Siendo la matriz solucin entonces:

X=C)

41

11.8.- Hallar el valor del determinante 7 5 2

11 4 -2 3 3 -1 2 2 o -1

11. 9.- Evaluar el determinante 8 -7 4 6 -14 8 5 -3 -2

11. 7.- Evaluar el determinante 7 4 J 2 5 -2 -1 o -1 6 2 4 2 J 2 -1

11.5.- Calcular el determinante 6 5 -4 2

12 10 -8 4 6 -2 8 1 7 6 -5 -3

11.6.- Evaluar el determinante 7 5 -1 2 4 -2 6 3 3 -1 2 2 2 o 4 -1

11.4.- Calcular el valor del determinante 6 5 4 3 2 1 1 o -2

11.3.- Hallar el valor del determinante 4 8 -2 5 4 -1 6 3 2

11.2.- Calcular los determinantes

128 41 140 (a)7 1 (b)5

11. 1 .- Calcular el valor de los siguientes determinantes (a)I~ ~I (b >I: ~I (e )I~ ~ PROBLEMAS PROPUESTOS

42

-\) -2

43

11.19.(- 4

H:lla;)la suma de las(s~;uie~~es ~;)s matrices A.~ y(~.2si _2 A= IJ= (= 6 5 4 -1 -2 -3 3 1

11.18.- Determinar si la matriz 8 es simtrica. ( 5 4 -ll B=l~, ~ j .

11.17.- Determinar s la matriz A es antisimtrica. (o -7 3l

A t3 ~ ~J -71)

-2 y 6

Obtener la matriz transpuesta de A y de B si ( 6 si

A=l4 1J -2 5 11.16.-

fl.11.- Por la regla de Cramer resolver el sistema de ecuaciones 4X+ X2 - X3 15 6 X - X2 - X3 = 13

_X 1 - X 2 + X 3 = O 11.12.- Resolver usando la regla de Cramer el sistema

2 X1 + 8 X2 = 36 4 X - 9 X2 = -3

11.13.- Por la regla de Cramer solucionar el sistema de ecuaciones 2 X1 - X2 + X3 = 7

- Xz + X3 = -3 4X1-X2-X3=17

11.14.- Determinar el rango de la siguiente matriz (5 3 tl

A =l~ ; ~J 11.15.- Hallar el rango de la matriz

( 4 8 5 l B = l 8 16 -3J

-1 -2 -4

8 -2 6 7 -1 4

II.IQ.- Hallar el valor del determinante e= A X B, siendo 4 3 2 4 5 11

A = 1 o 5 y B = 6 -3 2

11.29.- Por el mtodo de la adjunta resolver el sistema 4 X1 - X2 .. X3 = 13

X+ X2+ X3 17 2X-X2+X3 15

11.28.- Por el mtodo de Gauss Jordan resolver el sistema de ecuaciones 6 X1 + X2 15 4 X1 X2 + X3 = 6 5X1 + X2 X3 = 12

11.27.- Resolver por el mtodo de la adjunta el siguiente sistema de ecuaciones 4X1-JX2 -1 7X1+ x2 = 17

11.26.- Por el mtodo de Gauss Jordan obtener la inversa de B ( 4 7 3 \

/J=l-2 5 J 6 o -1

11.25.- Obtener Ja inversa de A del problema anterior.

11.24.- Obtener la matriz adjunta de A ( 9 6 2 \

A ~l~I ~1 -,2J 11.23.- Demostrar la propiedad distributiva dada por la Ec.(11.38) para las siguientes matrices ( 4 7) (9 6) ( 4 -2) A = -2 5 B = 3 -1 C = -6 3

11.22.- Con las mismas matrices del problema anterior. hallar B x A.

y (4 3 1) A= 5 8 -2 11.21.- Hallar Ax B si

Hallar: (a) A+ B; (b) A - B; (e) Ax B; (d) B x A

5 4l 2 1j 1 1

Dadas las matrices (6

A =l~ [l.20.-

44

45

Metodologa. Para plantear un problema pueden aplicarse los siguientes pasos: Paso l.- Definir las variables del problema Este paso consiste en identificar dichas variables y

denotarlas por letras. Paso 2.- Definir la funcin objetivo. Esto ser identificar aquella variable a ser optimizada. la cual

representaremos como Z y expresar su ecuacin matemtica en funcin de las variables del problema y sus coeficientes. En este paso deber adems establecerse si la optimizacin es una maximizacin o una minimizacin.

Paso 3.- Definir las restricciones. Esto ser el establecer una ecuacin para cada restriccin en funcin de las variables del problema. Es frecuente que las ecuaciones de las restricciones sean desigualdades del tipo mayor o igual que ~ y/o menor o igual qu~.

Es conveniente sealar aqu que no todas las variables del problema pueden aparecer en cada restriccin, esto depender del tipo particular de problema del que se trate.

Definiciones. Para facilitar la comprensin de la terminologa usada, a continuacin daremos algunas definiciones

tiles: Funcin Objetivo.- Esta es una variable, normalmente simbolizada por la letra Z, la cual representa aquello que se desea optimizar, por ejemplo, un costo que se pretende minimizar, o bien, una utilidad que se busca maximizar. Variables del Problema.- Son aquellas variables que no se conocen y que al momento de resolver el problema, debern quedar definidas de tal manera que logren la optimizacin de la funcin objetivo. A estas. variables tambin se les conoce como variables de decisin. Coeficientes de la funcin objetivo.- Son cantidades constantes que aparecen en la ecuacin de la funcin objetivo multiplicando a las variables del problema. Restricciones> Son las limitaciones fsicas o condiciones que debe cumplir el problema, por ejemplo, cantidad disponible de materiales, tiempo, mano de obra, etc. Tambin suele llamrseles restricciones funcionales. Restricciones no explcitas.- Son aquellas condiciones ocultas en el problema, las cuales no aparecen en la informacin disponible, pero que deben de ser tomadas en cuenta tanto en el planteamiento como en la resolucin del mismo. Los ejemplos ms frecuentes de este tipo de restricciones es la no negatividad de las variables del problema o el que stas deban ser nmeros enteros.

Introduccin. La programacin lineal es una parte de la programacin matemtica que tal y como su nombre lo indica,

maneja ecuaciones lineales. es decir, aquellas donde todas las variables que intervienen tienen como exponente la unidad en todos sus trminos.

En este captulo vamos a ver la manera de plantear un problema dado, expresndolo en forma matemtica.

No se proceder a su resolucin, nicamente a su planteamiento, el cual consistir en convertir una serie de datos e informacin concerniente al problema en ecuaciones matemticas.

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS PROGRAMACION LINEAL

CAPITULO 111

46

Presentaremos otro ejemplo: Ejemplo lll.2.- Una fbrica de calzado dispone de 45 unidades de piel y 20 horas de tiempo para producir 2 tipos de'bota, de las cuales el primer tipo requiere 6 unidades de piel y 2.5 hrs . vendindose a N$ 140/par; mientras que el segundo tipo necesita 5 unidades de piel y 2 hrs .. vendindose a N$ 115/par. Cuntos pares de botas de cada tipo debern fabricarse de forma que se maximicen los ingresos?.

12X1 + IOX2 + 8X3 2 10.0 JOX1 + IOX2 + 6X3 < 9.5

60X1 + 50X2 + 44X3 .'.:'._ _52.0 X1 + X2 + X3 = 1

Con X. X2. X3, No negativas

sujeta a las restricciones:

Cunto debern mezclar ele cada una de las 3. si se desea minimizar el costo de preparar un kg de alimento cuyo contenido de azcar no sea menor al 10%, su contenido de grasa no mayor del 9.5% y su contenido de protenas no menor de 52%?

Solucin: De acuerdo a la metodologa descrita anteriormente, iremos al primer paso, es decir definir las variables del problema.

Estas variables sern los contenidos necesarios de cada una de las 3 materias primas, las cuales definiremos de la siguiente manera:

X 1 =Fraccin de kilogramo de la materia prima A x2;;;;; Fraccin de kilogramo de la materia prima B x3 =Fraccin de kilogramo de la materia prima C

Con esto queda satisfecho el paso 1. Prosiguiendo con el paso 2. definiremos la funcin objetivo Z que ser el costo de un kg de alimento. el

cual deber minimizarse y cuya ecuacin en funcin de las variables x1, x2, x3 ser: Min Z " 2.35 X1 + 2.00 X2 + 1.70 X3

Aqu los coeficientes de las variables son los costos unitarios de cada materia prima Al continuar con la metodologa y de acuerdo al paso 3. hay limitaciones en cuanto al contenido de

azcares, grasas y protenas, por lo que habr una restriccin por cada limitante, stas sern: Contenido de Azcares: 12 x + 10 X2 + 8 X3 .'.:'., 10.0 Contenido de Grasas: 10 x1 + 10 X2 + 6 X3 ::: 9.5 Contenido de Protenas: 60X1 + 50 X2 + 44 X3 .'.:'., 52.0

Adems habr una condicin adicional. en cuanto a la sumatoria de las 3 variables X. X2 y X 3 la cual deber ser la unidad. es decir:

X+X2+X3= 1 Finalmente al ir al paso 4. la nica restriccin no explcita ser que las variables X 1. X2 y X3 debern

ser no negativas. pues no tendra ningn sentido fsico hablar de alguna X negativa, esto es: X1. X2. X3, No negativas

Al agrupar las ecuaciones, dejaremos planteado el problema. el cual ser: Min Z = 2.35 X 1 + 2.00 X2 + 1.70 X3

% Inertes 18 30 42

% Protenas 60 50 44

% Grasas 10 10 6

% Azcares 12 10 8

Costo. N$/kg 2.35 2.00 1.70

Materia prima A B e

A continuacin presentaremos varios ejemplos resueltos: Ejemplo 111.1.- Un expendio naturista prepara sus alimentos que vende al pblico basndose en 3 materias primas cuyos contenidos se presentan en la siguiente tabla:

Paso 4.- Definir las restricciones no explcitas. Consiste en identificar y expresar dichas restricciones en el planteamiento del problema.

47

Cmo deber mezclar estas 3 materias primas para preparar 1 kilogramo del producto si ste deber contener por lo menos 11 % de vitaminas. 28% de minerales y 17% de protenas?

Solucin: Primeramente definiremos las variables del problema, las cuales son para este caso las cantidades de las materias primas A 1, Az y A3 a mezclar para preparar 1 kilogramo del producto, es decir:

X 1 Cantidad de la materia prima A 1 X2 = Cantidad de la materia prima A2 X3 = Cantidad de la materia prima A3

Ahora definiremos la funcin objetivo Z, la cual ser el costo de 1 kilogramo del producto, el cual deber ser minimizado, entonces:

Mn Z== 4.50X1 + 3.70X2 + 3.00X3 Siendo los costos unitarios de las materias primas los coeficientes de las variables. El siguiente paso es definir las restricciones, de las cuales se tendr una para el contenido mnimo de

vitaminas, otra para el de minerales y otra para el de protenas. adems de que la suma de las variables debe ser la unidad (1 kilogramo), entonces tendremos:

Contenido de Vitaminas: 12 x1 + 10 x2 + 8 X3 :: 11 Contenido de Minerales: 30 X1 + 30 X2 + 25 X3 2: 28 ContenidodeProtenas: 18X1+15X2 + 15X3~17 Sumatoria de las Variables: X 1 + X2 + X3 = 1

A continuacin presentaremos otro ejemplo: Ejemplo 111.3.- La empresa Agropec est buscando producir un alimento para ganado a un costo mnimo. Rara esto cuenta con 3 productos como materias primas los cuales tienen las siguientes caractersticas:

Materia prima Costo, N$/kg % Vitaminas % Minerales % Protenas A1 4.50 12 30 18 A2 3.70 lO 30 15 A3 3.00 8 25 15

6 X1 + 5 X2 :'.:: 45 2.5 X + 2 X2 S 20

Con X y Xz, Enteras y No negativas.

sujeta a las restricciones:

Solucin: Lo primero ser definir las variables del problema. las cuales sern las cantidades a producir de cada tipo de bota. es decir:

X 1 = Cantidad a producir del primer tipo de bota, nmero de pares. X2 = Cantidad a producir del segundo tipo de bota. nmero de pares.

Lo siguiente es definir la funcin objetivo Z. la cual ser el ingreso por la venta de los 2 tipos de botas, el que deber maximizarse y cuya ecuacin en funcin de las variables vendr dada por:

Max Z= 140X1 + 115X2 Donde los coeficientes de las variables son los precios de venta de cada tipo de bota. Ahora procederemos a definir las restricciones, las cuales sern dos en este caso, una para la cantidad de

piel y otra para el tiempo disponible, entonces tendremos: Unidades de Piel : 6 X 1 + 5 X2 :;: 45 Tiempo disponible hrs: 2.5 X + 2 X2 S 20

Aqu las 2 restricciones son del tipo menor o igual que ( _::: ) debido a que tanto las unidades de piel como el tiempo disponible en horas tienen un mximo posible en 45 unidades y 20 horas respectivamente.

Finalmente definiremos las restrcciones no explcitas las cuales son: XI Xz, Enteras y No negativas

Las variables deben ser enteras ya que no tendra sentido hablar de una fraccin de un par de botas, por decir 0.33 pares de botas. La no negatividad de las variables es tambin obvia dado que tampoco habra sentido al hablar de un nmero negativo de pares de botas.

Por lo tanto el planteamiento completo del problema quedar de la siguiente forma: Max Z= 140X1 + 115X2

48

Cul sera la manera de cargar el camin? Cabe aclarar que no puede llevarse algn material en fracciones, es decir que se acarrea todo el material o nada del mismo.

Solucin: Aqu las variables del problema sern una para cada tipo de material, entonces: X 1 = Variable de probabilidad de acarrear naranjas

Ejemplo 111.5.- El dueo de un camin de 1 O toneladas de capacidad de carga est plantendose la pregunta de cmo cargar el camin de tal forma que se obtenga el mximo ingreso. En la siguiente tabla se presentan las diferentes cargas posibles y el ingreso por concepto de flete que generaran:

Material Peso, kgs Ingreso, N$ Naranjas 2500 220 Pepinos 1800 170 Melones 2100 210 Sandas 1850 170 Nueces 1650 21 O

Zanahorias 2100 200

o

Si la fbrica dispone de 5000 horas-mquina, de 120 kilogramos de cido graso y de 10 kilogramos de sosa custica. Cuntos jabones deber producir de cada tipo?

Solucin: En este caso las variables sern las unidades de cada tipo de jabn a ser producidas, o sea: X l Unidades a producir del primer tipo de jabn. X2 = Unidades a producir del segundo tipo de jabn. X 3 = Unidades.a producir del tercer tipo de jabn.

Por su parte la funcin objetivo Z ser el ingreso, el cual vendr dado por: Max Z= 5.18X1 + 4.37X2+ 3.29X3

Siendo los precios unitarios los coeficientes de las variables. Las restricciones sern las disponibilidades de Horas-Mquina, Acido Graso y Sosa Custica, es decir:

Horas Mquina: 18 x1 + 14 X2 + 10 X3 S 5,000 AcdoGraso,grs: 418X1 + 350X2 +310X3 S 120,000 Sosa Custica. grs: 32 X1 + 24 X2 + 20 X3 ::: 10,000

Siendo X, X2. X 3, Enteras y No negativas.

Sosa Custica, grs 32 24 20

Acido Graso, grs 418 350 310

Horas-Mquina 18 14 10

Precio, N$/u 5.18 4.37 3.29

Tipo de jabn 1 2 3

Ejemplo 111.4.- Una fbrica de jabones est buscando un programa de produccin que maximice sus mgresos.

Tiene la opcin de elaborar 3 diferentes tipos de jabones, los cuales requieren de horas-mquina, cido graso y sosa custica en las siguientes cantidades:

12 X + lO X2 + 8 X3 > 11 30X + 30X2 +25X3 > 28 18 x1 + 15 X2 + 15 X3 ~- 17

Xt + X2 + X3 = l Siendo X, x2, x3, No negativas.

Finalmente las restricciones no explcitas; las cuales en este caso nicamente son Ja no negatividad de las variables.

Entonces al planteamiento completo del problema es: Min Z= 4.50X + 3.70X2 + 3.00X3

Sujeta a las restricciones:

49

X~ X2 .S X3 ~ X4 s X5 .S x6.:::

con X, X2, X3. X4, X5, X6, Enteras En cuanto a las restricciones no explcitas, stas implican la no negatividad de las variables y que stas

debern ser cero o la unidad. De esta manera el planteamiento completo del problema quedar en la siguiente forma:

Max Z = 220 X + 170 X2 + 210 X3 + 170 X4 + 210 X5 + 200 X6 Sujeta a las restricciones:

2500 X1 + 1800 X2 + 2100 X3 + 1850 X4 + 1~50 X5 + 2100 X6 s 10,000 X < 1 X2 s 1 X3 .S X < 4 - X5 .S x6.:::

Con las variables X1. X2. X3, X4, X5, X6, Enteras y No negativas.

Xz = Variable de probabilidad de acarrear pepinos X3 = Variable de probabilidad de acarrear melones X4 = Variable de probabilidad de acarrear sandas X5 = Variable de probabilidad de acarrear nueces

X6 = Variable de probabilidad de acarrear zanahorias La funcin objetivo Z la cual deber maximizarse, ser el ingreso total por el flete, el cual vendr dado

por: Max Z= 220X1 + 170X2 + 210X3 + 170X4 + 210X5 + 200X6

Las restricciones sern una para el peso total cargado al camin, es decir: 2500 X + 1800 X2 + 2100 X3 + 1850 X4 + 1650 X5 + 2100 X6 .S 10,000

la cual es del tipo menor o igual que (9. dado que el camin no puede ser sobrecargado arriba de su capacidad.

Adems cada variable podr tener un par de valores posibles: Ser cero o la unidad si se transporta de ese tipo de material o no, esto lo ponemos para las restricciones en la forma siguiente:

50

Cuntas sillas de cada tipo deber fabricar, de modo que pueda maximizar sus ingresos?

13.50 13.00 1.00

1.05

Precio, N$/u 15.20

Tiempo, horas 1.20

111.5.- Una carpintera cuenta con 100 metros cbicos de madera y 40 horas de tiempo libre. Busca fabricar 3 tipos diferentes de sillas, las cuales pueden venderse aceptablemente en el mercado, cada tipo tiene los siguientes requerimientos y precios de venta:

Tipo de Silla Madera, m3 1 2.5 2 2.0 3 2.2

111.4.- La fbrica Qumica de R.ioverde busca satisfacer las leyes ecolgicas, para lo cual le han ofrecido 2 diferentes tipos de equipo anticontaminante. El primer equipo le proporciona un 70% de control y su costo es de N$ 7,500.00, mientras que el segundo equipo le proporciona 80% de control y cuesta N$ 8,500.00.

Si la empresa necesita instalar un total de 4 equipos anticontaminantes con un 75% de control global, Cuntos equipos de cada tipo deber adquirir, de modo que el costo de compra sea mnimo?

III.3.- Un taller de herrera busca mejorar sus utilidades fabricando 2 tipos diferentes de puertas. El taller cuenta con 150 kilogramos de fierro y 70 horas de tiempo disponible. La puerta tipo nmero 1 requiere de 1 O kilogramos de fierro y 6 horas de tiempo dando una utilidad de N$ 180, mientras que el segundo tipo necesita de 12 kilogramos de fierro y 7 horas de tiempo. con una utilidad de N$ 200. Cuntas puertas de cada tipo deber fabricar el taller de manera que maximice sus utilidades?

Si el alimento balanceado debe contener como mximo 18.5 .o/o de grasas y. 16 % de azcares. Cmo deber mezclar la clinica sus materias primas para satisfacer esas condiciones a un costo mnimo?

UI.2.- Una clnica de dietas busca minimizar sus costos al preparar un alimento balanceado. Para esto cuenta con 3 productos como materias primas, los cuales tienen las siguientes especificaciones:

Materia Prima % Grasas % Azcares Costo. N$/kg 1 20 17 3.00 2 18 15. 3.-30 3 15 15 3.50

Si el restaurante dispone de una entrega de 10 kgs. de azcar y l8 litros de lechecondensada, Cunto deber preparar de cada tipo de postre?

Leche, mis 120 135 70

90 120

Gelatina Budn Dulce

Precio, N$/u 3.50 3.60 4.00 4.60

170 200

lll.1.- Un restaurante busca optimizar sus ingresos por la venta de postres, puede disponer de 4 diferentes tipos: natillas, gelatina, budn y dulce, los cuales requieren de azcar y leche condensada en las cantidades que se sealan en la siguiente tabla:

Postre Azcar, grs Natilla 60

PROBLEMAS PROPUESTOS.

51

111.10.- Una radiodifusora cuenta con 2 horas de tiempo libre para poder programar comerciales. Hay 3 tipos diferentes de comerciales. los cuales tomaran 2, 1. 7 y 1.5 minutos cada uno, generando un ingreso de 18, 15 y 13 N$ respectivamente. Cuntos comerciales de cada tipo deber programar de manera que sus ingresos por este concepto se maximicen?

111. 9.- Un constructor cuenta con 3 tipos diferentes de albailes: MB, R y P los cuales pueden colocar 400, 300 y 250 ladrillos diarios devengando salarios de 35, 28 y 20 N$/da, respectivamente. Si el constructor necesita colocar 3000 ladrillos diarios y cuenta con 4 albailes tipo MB, 6 del tipo R y 8 del P. Cmo asignara 1 O albailes para colocar los 3000 ladrillos a un costo salarial mnimo?

lfl.8.- Un proveedor de materiales de construccin desea preparar grava que contenga por lo menos el 65% de material de 1/2", para esto cuenta con 3 tipos de materias primas, las cuales contienen 80, 60 y 58% de material de 1/2". con un costo de 10, 7 y 6.50 N$/tonelada respectivamente.

Cmo deber mezclar estas 3 materias primas para preparar una tonelada de grava a un costo mnimo?

111.7.- Un supermercado puede poner en sus estantes 3 nuevos productos, los cuales le ocuparian 3, 4 y 5 estantes respectivamente, y le proporcionaran 6, 7 y 8.5 N$ de ingresos adicionales respectivamente. S el supermercado cuenta con 80 estantes para colocar estos productos. Cuntos productos de cada tipo deber colocar de tal modo que maximice sus ingresos adicionales?

111.6.- Una fbrica de quesos debe elaborar stos con un contenido de grasas no mayor del 20%, para lo cual puede adquirir 2 tipos diferentes de leche: El primer tipo tiene un 25% de grasas y cuesta N$ 1.20/litro, mientras que el segundo tipo contiene 16% de grasas y su costo es de N$ 1.70/litro. Cmo deber mezclar estas leches para preparar queso a un costo mnimo?

52

Metodologa. Un procedimiento dividido en pasos del presente mtodo puede ser el siguiente: Paso 1.- Plantear el problema. Esto es, convertir los datos e informacin que se tiene del problema en un

sistema de ecuaciones debidamente planteadas como programacin lineal. Este paso ya no se desarrollar aqu puesto que se trat en el captulo precedente.

Paso 2.- Representar una variable del problema en cada eje cartesiano, procediendo luego a graficar las ecuaciones de las restricciones en el plano formado.

Cada interseccin de un par de restricciones formar un vrtice de la zona de solucin. siendo el primero de estos el origen, ya que es el punto de interseccin de las restricciones de no negatividad.

Entonces habr tantos vrtices como intersecciones posibles haya entre un par dado de restricciones, ya sean stas funcionales o de no negatividad.

Con esto se delimita la zona factible de solucin de acuerdo al tipo de restricciones del problema. Paso 3.- Trazar ecuaciones de la funcin objetivo, dndole diferentes valores a Z, viendo cules de ellas

quedan dentro de la zona factible de solucin. Debemos sealar que este paso puede omitirse, pues el objetivo es hallar el punt que corresponde a la

solucin del problema el cual ser aquel que optimice la Z. lo cual se llevar a cabo en el paso siguiente. Paso 4.- Hallar la solucin del problema, es decir, aquella recta de las trazadas en el paso anterior que

optimice la funcin objetivo. Aqu debemos comentar que pueden existir varias soluciones ptimas de un problema, si alguna de las rectas correspondientes a las restricciones es paralela a la recta de la funcin objetivo: en caso contrario. existir una solucin ptima nica, que ser aquella que maximice o minimice la Z. segn sea el caso.

Este paso tambin puede llevarse a cabo hallando el valor de Z de cada uno de los vrtices de la regin factible de solucin, aquella Z que sea mxima o mnima segn el tipo de problema en cuestin, ser la solucin del mismo.

Para ilustrar este procedimiento, presentaremos 4 ejemplos resueltos. los cuales ya han sido planteados. Ejemplo IV.1.- Resolver por el mtodo grfico el problema.

Max Z = 0.5 A+ 0.4 B Sujeta a las siguientes restricciones:

2 A+ B ~ 20 (1) A+ B~ 16 (2) Siendo A, B no negativas.

Introduccin. El mtodo grfico es la forma ms simple para resolver problemas de programacin lineal, el cual

consiste en graficar las ecuaciones correspondientes a las restricciones en coordenadas cartesianas, siendo cada variable representada en uno de los ejes, de tal forma que quede perfectamente delimitada la zona factible de solucin, procedindose entonces a tratar de localizar en ella al punto que optimice la funcin objetivo.

En este mtodo como cada variable se representa en un eje, slo podrn manejarse problemas que tengan como mximo 3 variables, puesto que no podemos graficar ms de 3 dimensiones.

En este texto nos ocuparemos nicamente de casos de 2 variables, pues son los ejemplos que usualmente se manejan en el mtodo grfico para ser representados en un plano, ya que an cuando son ms sencillos, ilustran de una manera adecuada el procedimiento de solucin de los problemas.

EL METODO GR.AFICO ..

PROGRAMACION LINEAL

CAPITULO IV

53

En la figura hemos sealado 3 zonas numeradas del 1 al 3 de las cuales comentaremos lo siguiente: La zona 1 queda debajo de la recta correspondiente a la ecuacin 1 y arriba de la recta de la ecuacin 2,

esto significa que como las restricciones son del tipo menor o igual que ( S ), la zona cumple con la primera restriccin y no cumple con la segunda, por lo tanto no es regin factible de la solucin, pues para lograr esto deber cumplir con ambas.

A o 4 o

Zona 3

1

1

Figura IV.1 Grfica del ejemplo IV.1

Una representacin grfica de estas ecuaciones se muestra en la figura IV. l. IJ_n comentario adicional es el hecho de que como A y B deben ser no negativas, esto delimita la zona

factible de solucin al primer cuadrante. B

Si vemos el tipo de ecuaciones de cada restriccin. nos daremos cuenta que se trata de lneas rectas, tas cuales podrn trazarse con localizar 2 puntos. esto se hace de la siguiente manera:

Para la ecuacin ( 1 ) : 2A + B = 20

Si A=O. B = 20 Si 8 =O, A= 10

Entonces los puntos son P1 (A= O. 8 = 20) y P2 (A= 10, 8 =O) Para la ecuacin ( 2 ):

A+ B = 16 Si A=O. B= 16 Si B=O. A::;:: 16

Siendo los puntos Q (A= O, B = 16) y 02 (A= 16, B =O).

2 A + B = 20 ( 1) A+ B= 16 (2)

Solucin: Aqu iniciaremos ta metodologa. a partir del paso 2. puesto que et 1 ya se ha efectuado, entonces

representaremos a A en el eje de las abcisas y a B en el de las ordenadas. Luego graficaremos las ecuaciones de las restricciones tomando las desigualdades como igualdades. es

decir:

54

Como puede observarse en la figura. la lnea Z = 5 queda toda dentro de la zona de solucin, mientras que la recta Z = 6.4 tiene algunos puntos dentro de dicha zona, pero otros fuera de la misma.

Una observacin importante es que estas 2 rectas son paralelas, lo cual es lgico, pues los coeficientes 0.5 y 0.4 que multiplican a las variables A y 8 respectivamente son constantes, slo vara el valor de Z, ai ser estos coeficientes constantes. la pendiente de la recta tambin ser constante, por lo que al tener la misma pendiente, las lneas sern paralelas.

o 16 o

1

A

1 Figura IV.2 Grfica de las 2 rectas

de la funcin objetivo, Z=6.4 y Z=S.

La zona 2 queda debajo de la recta de la ecuacin 2 y arriba de Ja recta de la ecuacin l , por lo que cumple con la segunda restriccin, pero no con la primera, por Jo que tampoco es regin factible de solucin.

Por su parte, la zona 3 queda debajo de las rectas de las ecuaciones 1 y 2. cumpliendo por lo tanto con ambas restricciones, siendo la regin factible para la solucin, por lo cual se representa marcada con lneas diagonales punteadas, quedando comprendida entre los puntos 0-Q-PQ-Pz.

En este caso hay 4 vrtices del problema que son los puntos O, Q1, PQ y P2. Ahora procederemos con el paso 3, trazando algunas rectas de la funcin objetivo, dndole diferentes

valores a Z. En este caso particular tomaremos 2 rectas, primeramente la que pasa por el punto Q1 donde A=O, B = 16, por lo tanto Z ser igual a 0.5 x A+ 0.4 x B = 0.5 x O+ 0.4 x 16 = 6.4

Para graficar esta lnea recta necesitamos 2 puntos, uno es el Q de donde se ha tomado el valor de 6.4, el otro puede ser cuando B = O, entonces.

Z = 6.4 = 0.5 A+ 0.4 ( O) de donde A= 6.4/ 0.5= 12.8

Siendo el otro punto (A= 12.8, B = 0), el cual llamaremos R. Para la otra lnea recta, tomaremos la que pasa por el punto P2 donde A = 1 O, B = O, siendo Z = O. 5 x A

+ 0.4 x B = 0.5xl0 + 0.4x0 = 5. Para graficar esta recta necesitamos un segundo punto, el cual tomaremos cuando A = O, entonces

Z = 5 = 0.5 A+ 0.4 B = 0.5 ( O)+ 0.4 B de donde B.= 510.4 = 12.5

Siendo este segundo punto (A= O, B= 12.5), el cual denominaremos S. Estas 2 lneas rectas se presentan junto con la regin factible de solucin en la figura IV.2

B 20

55

Ejemplo IV.2.- Resolver el problema Min Z = IOA + 98

Sujeto a las restricciones: A+ 28 2: 12 (l)

2A+ B 2: 10 (2) Siendo A y B no negativas

Solucin: Iniciamos la resolucin del problema a partir del paso 2 representando a A en el eje de las abcisas y a B

en las ordenadas.

A=4 B= 12

con 2=6.8

Por lo tanto. lo primero ser obtener su localizacin. para esto sabemos que dicho punto es la interseccin de la recta de la restriccin nmero 1 con la recta de la restriccin nmero 2, por lo tanto si resolvemos las ecuaciones de esas 2 restricciones simultneamente. obtendremos los valores de A y B que corresponden al punto PQ. entonces:

2A + B = 20 ( 1) A+B=l6 (2)

Si resta