INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE OCCIDENTE

Departamento de Matemáticas y Física

Periférico Sur 8585, Tlaquepaque, Jal. Tel:(3) 669 3598 / Fax: (3) 669 3511 45604, MEXICO

Matemáticas Discretas

Proyecto solución de recurrencias y decodificaciones.

Objetivo: Determinar modelos matemáticos usando los conocimientos adquiridos en el curso

con el fin de dar solución a los problemas propuestos.

Introducción

En muchos campos, la obtención de un modelo matemático permite analizar y simplificar los problemas con la finalidad de ahorrar tiempo y recursos. Por ejemplo, en programación cuando se hace frente a la recurrencia el encontrar una fórmula general permite evitar realizar muchas iteraciones para llegar a una solución, lo que se traduce en un gran ahorro en líneas de código y evitar el uso excesivo de ciclos. Lo mismo aplica a otras áreas que manejan la recurrencia, como lo es el caso del interés compuesto para conocer el valor del dinero en el tiempo. Actividades 1. Analice el siguiente proceso y conteste lo que se pide: Se tiene un cuadrado cuyos lados son unitarios.

Dentro de dicho cuadrado se incribe un círculo.

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Posteriormente cada lado del cuadrado se triseca (Es decir, se parte en tres partes iguales)

Como último paso en la primera etapa se sombrea el área que se muestra a continuación.

En una segunda etapa se repiten los pasos descritos con anterioridad (inscribir el círculo,

trisecar un cuadrado y sombrear el área); pero sobre el cuadrado central de la figura anterior.

En una tercera etapa se pueden repetir los mismos pasos resultando la figura mostrada a

continuación.

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1.1. Encuentre el valor del área sombreada al finalizar la segunda etapa.

1.2. Encuentre un modelo matemático que permita calcular el área de la figura después de

n etapas.

1.3. ¿Qué conceptos matemáticos del curso utilizará? Justifique su respuesta.

1.4. Demuestre formalmente la validez del modelo matemático.

1.5. ¿Qué propiedades tiene el modelo matemático propuesto?

Sugerencia: No usar un valor aproximado de π, sino manejarla como la constante que es.

Ejemplo, el área de un círculo de radio 3 unidades, es 9π unidades cuadradas.

2. Sea f: A→A una función. Las potencias naturales de una función se definen recursivamente

de la siguiente manera:

f1=f

fn+1=fn ∘f

Sea f(x) una función lineal, es decir sea f(x)= ax + b.

2.1. Proponga un modelo matemático que permita calcular la composición n-ésima de

funciones, es decir fn(x).

2.2. Demuestre la formalmente la validez del modelo propuesto.

2.3. ¿Qué propiedades tiene el modelo matemático propuesto?

3. Se ha captado parte de un código simple que se transmiten unos alumnos del ITESO en la

sala de cómputo, donde cada número corresponde a una letra del alfabeto mexicano. De

dicho código se descifró lo siguiente:

El número 0 equivale a la letra D.

El número 1 equivale a la letra K

El número 7 equivale a la letra Y.

El número 944 equivale a la letra W.

3.1. Encuentre un modelo matemático que permita descifrar números.

3.2. ¿Qué conceptos matemáticos del curso utilizará?. Justifique su respuesta.

3.3. Descifre el siguiente mensaje.

329, 885 * 16, 209, 941, 625 * 19, 317, 409, 553.

3.4. ¿Qué propiedades tiene el modelo matemático propuesto?.

3.5. ¿El modelo propuesto permite también codificar? Justifique su respuesta

4. Escriba conclusiones y aprendizajes personales acerca del proyecto.

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Productos a entregar

1. Reporte por escrito, a mano o por computadora.

Indicadores de éxito

Los modelos propuestos permiten dar solución a los problemas para cualquier valor

introducido y no sólo para casos aislados.

Las demostraciones presentan coherencia y no se ven forzadas.

Principales riesgos previstos

1. No se le dedica el tiempo necesario a la elaboración del proyecto. 2. Se comienza a trabajar cerca de la fecha de entrega. 3. No sé solicita asesoría en caso de tener dificultades. 4. No tener organización con el equipo de trabajo. 5. No se justifican respuestas y no se formalizan los modelos matemáticos. 6. Usar razonamientos incorrectos.

Factores de éxito

1. El equipo se mantiene unido y organizado. 2. Se dedica el tiempo suficiente al proyecto. 3. Se mantiene actitud de éxito y se hacen las preguntas pertinentes en asesoría. 4. Se siguen métodos fórmales y razonamientos adecuados.

Listado de los desempeños que se pondrán a prueba con el desarrollo del proyecto.

1. Abstraer las características más importantes de los problemas de recurrencia y decodificación de mensajes con la finalidad de construir modelos usando el lenguaje de las matemáticas discretas.

2. Identificar las propiedades de las estructuras discretas utilizadas en los modelos matemáticos propuestos con el fin de reconocer la importancia y aplicación de dichas propiedades en la solución de problemas.

3. Desarrollar demostraciones formales para validar los modelos matemáticos obtenidos. 4. Analizar y evaluar las herramientas matemáticas discretas adquiridas en el curso con el

objetivo de utilizar aquellas que permitan resolver los problemas planteados de recurrencia y decodificación de manera más eficiente.

5. Desarrollar de habilidades en el trabajo en equipo.

Evaluación

El obtener la nota más alta de este proyecto representa 10/100 puntos de la calificación final. También se toma en cuenta la limpieza, el orden y la ortografía. Fallas en estos puntos conlleva a penalizaciones. La calificación del proyecto se distribuye de la siguiente manera: los incisos del 1-3 tienen un valor de 30/100 puntos cada uno, el apartado 4 tiene un valor de 10/100 puntos.

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Notas - El proyecto será anulado en caso de plagio. - Cualquier retraso en la fecha de entrega disminuirá la calificación del proyecto. - Por cada día de atraso en la entrega el proyecto valdrá 10 puntos menos.