j2 - edebe.com · c> La densitat de població es pot modelar mitjan-çant la fórmula: 3 Dx ax xb =...

2 #

q 1. Polinomisw 1.1. Valor numèric d’un polinomiw 1.2. Arrels d’un polinomi

q 2. Operacions amb polinomisw 2.1. Sumaw 2.2. Restaw 2.3. Multiplicaciów 2.4. Divisiów 2.5. Regla de Ruffini

q 3. Factorització de polinomisw 3.1. Teorema del residuow 3.2. Teorema del factorw 3.3. Factorització

q 4. Fraccions algèbriquesw 4.1. Fraccions algèbriques

equivalentsw 4.2. MCD i MCM de polinomisw 4.3. Simplificació de fraccions

algèbriques

q 5. Operacions amb fraccions algèbriquesw 5.1. Suma I restaw 5.2. Multiplicaciów 5.3. Divisiów 5.4. Descomposició de fraccions

algèbriques en fraccions simples

BLOC 1. ARITMÈTICA I ÀLGEBRA

Polinomis i fraccions algèbriques

SimuladorProblemes interactius

45

a> Llegeix la notícia anterior, reflexiona i respon: quines altres situacions coneixes que creus que es poden resoldre a través de polinomis o fórmu-les matemàtiques? Fes la pregunta a persones del teu entorn i compara les seves respostes amb la teva.

b> Observa la imatge:

— Escriu al quadern què hi veus, què penses en observar-la i quina pregunta et suggereix.

— En petits grups, exposeu les vostres respos-tes de manera raonada.

— Finalment, poseu-les en comú amb tota la classe registrant les respostes en un quadre d’observacions.

c> La densitat de població es pot modelar mitjan-çant la fórmula: 3

D xax

x b( ) =

+2

on D (x ) representa la densitat de població a la distància x (en km) del centre de la ciutat, i a i b són constants relacionades amb les característi-ques pròpies de la ciutat. Com més a prop del centre, més gran és la densitat de població.

— Podries dir on es troba el centre de la urbs de la imatge?

— Hi ha zones de la teva ciutat més poblades que d’altres?

— Creus que això té a veure segons com es tro-ben de prop o lluny aquestes zones del centre de la ciutat?

— Justifica si la teva ciutat respon al model des-crit per la fórmula de l’enunciat.

NotíciaA Xile, Franco Parisi, l’enginyer comercial cone-gut com «l’economista dels pobres», proposa ajustar el sou mínim a un polinomi, una equació d’ajust automàtic anual, en funció del producte geogràfic brut per capita.Segons ell, ‘es pot tenir un Xile per a tothom, on tothom es benvingut, però també on arriba, i això és el que no està succeint. El salari mínim: fem un polinomi i es s’acaba la tortura…’.Adaptat de: http://www.andime.cl y http://links.edebe.com/j2

EN CONTEXT

46

q q Un polinomi és una expressió algebraica composta de la suma o resta de dos o més monomis.

q q Un polinomi en la indeterminada x és una expressió algebraica del tipus: = + +…+ +−

−P x a x a x a x ann

nn

11

1 0( )

q q El valor numèric d’un polinomi P( x) per a un valor donat x = a, P( a), és el nombre real que s’obté substituint la variable x pel seu valor a i operant el polinomi.

1

bloc 1. aritmètica i àlgebra

1. PolinomisEls polinomis són expressions algèbriques que relacionen constants i variables. Encara que formalment són relativament simples, poden descriure gran quantitat de fenòmens i, per això, són una potent eina matemàtica utilitzada en disciplines com ara la informàtica o l’enginyeria.

1. Polinomis

1.1. Valor numèric d’un polinomi

1.2. Arrels d’un polinomi

INTERNET

RECORDA

Un monomi és una expressió alge-braica en la qual les úniques operaci-ons que apareixen entre les seves variables són el producte i la potència d’exponent natural.

Si té una única variable indetermina-da, un monomi és una expressió del tipus:

ax n

on a és un nombre real anomenat coeficient del monomi, x n és la part literal, x és la indeterminada i n, l’exponent, és un nombre natural que indica el grau del monomi.

Dos monomis són semblants si la seva part literal és idèntica; és a dir, si tenen la mateixa variable indeter-minada i el mateix grau:

— 7x 2 i -3x 2 són semblants.

— 2z 5 i 2z 2 no són semblants.

Calcula el valor numèric del polinomi P( x) = 5x 3 + 3x 2 - 7x + 8 per a x = 2.

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. S’ha de substituir en l’expressió del polinomi el valor x = 2.

RESOLUCIÓ. Substituïm el valor x = 2 i obtenim que un valor numèric de 46:

P (2) = 5 · 23 + 3 · 22 - 7 · 2 + 8 = 40 + 12 - 14 + 8 = 46

Solució

Exercicis i problemes 7, 8

VOCABULARI

Expressió algebraica. Combinació de lletres, nombres i signes d’opera-cions aritmètiques. Les lletres solen representar quantitats desconegu-des i es denominen variables o in-cògnites.

Es designen per una lletra majúscula, seguida de la variable o variables que apa-reixen en la seva expressió, entre parèntesis:

= + − = − + + −P z z z Q x y x y xy( ) 2 2 9; ( , ) 3 5 3 23 2 2

Si restringim el nostre estudi al cas d’una única variable indeterminada:

Considerem el polinomi P (x ) = 4x 3 + 3x 2 - 2x + 8:

— Cadascun dels monomis que formen el polinomi s’anomena terme del polino-mi. En aquest cas, els termes són: 4x 3, 3x 2, -2x i 8.

— Els coeficients d’un polinomi són els nombres reals que multipliquen a la va-riable en cadascun dels seus termes, així, en l’exemple: 4, 3, -2 i 8.

— El terme principal és el terme de major grau amb coeficient no nul, en aquest cas, 4x 3. El seu grau determina el grau del polinomi, que en el nostre exem-ple és 3.

— El terme independent és el monomi de grau zero, en aquest cas, 8.

Els termes dels polinomis solen ordenar-se en ordre decreixent respecte als seus graus, en aquest cas parlem de polinomi ordenat. Finalment, un polinomi reduït és aquell que no té monomis semblants.

1.1. Valor numèric d’un polinomi

Observa que si donem un valor a la indeterminada d’un polinomi i efectuem les operacions indicades, obtenim com a resultat un nombre real.

En el apartado de Recursos de la si-guiente web encontrarás un intere-sante documento sobre los primeros tratados de álgebra i sobre los pri-meros usos de las letras como ele-mentos matemáticos:

http://links.edebe.com/hf5psr

47

2

3

q q Les arrels d’un polinomi són els valors de la variable indeterminada que fan que el seu valor numèric sigui 0:

a és arrel de P(x) 3 P(a) = 0

unitat 2. Polinomis i fraccions algèbriques

1.2. Arrels d’un polinomi

Existeixen certs valors de la variable, els que anul·len el polinomi, que es denomi-nen arrels o zeros, i que tenen una importància especial perquè, com veurem en apartats següents, és molt útil calcular-los per a factoritzar polinomis, resoldre equacions polinòmiques i simplificar fraccions algèbriques.

Verifica si -2, 2 i 3 són arrels del polinomi = −P x x2 82( ) .

Calcula les arrels enteres del polinomi P( x) = x 2 + x - 12.

EXEMPLE

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Les arrels del polinomi seran els valors de x que anul·len el polinomi (fan que el seu valor numèric sigui zero).

RESOLUCIÓ. Substituïm els diferents valors de x en l’expressió del polinomi:

= − − = ⋅ − − = − = = −P x x P x( ) 2 8; ( 2) 2 ( 2) 8 8 8 0 22 2 S és arrel de P (x ).

= ⋅ − = − = =P x(2) 2 (2) 8 8 8 0 22 S és arrel de P (x ).

= ⋅ − = − = =P x(3) 2 (3) 8 18 8 10 32 S no és arrel de P (x ).

COMPRENSIÓ. Les arrels enteres del polinomi es troben entre els divisors del terme inde-pendent. Com que el grau de P (x ) és 2, com a màxim hi haurà dues arrels enteres.

RESOLUCIÓ. Elaborem una llista amb tots els divisors (positius i negatius) del terme inde-pendent i calculem el valor numèric del polinomi per a cadascun dels divisors: Div. (12) = = {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 12}.

P (1) = (1)2 + 1 - 12 = -10 S x = 1 no és arrel de P (x ).

P (-1) = (-1)2 + (-1) - 12 = 1 - 1 - 12 = -12 S x = -1 no és arrel de P (x ).

P (2) = (2)2 + 2 - 12 = 4 + 2 - 12 = -6 S x = 2 no és arrel de P (x ).


P (3) = (3)2 + 3 - 12 = 9 + 3 - 12 = 0 S x = 3 és arrel de P (x ).


P (4) = (4)2 + 4 - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 S x = 4 no és arrel de P (x ).

P (-4) = (-4)2 + (-4) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0 S x = -4 és arrel de P (x ).

En aquest cas, el grau del polinomi és 2 i ja hem trobat dues arrels. Així, les arrels de P (x ) són x = 3 i x = -4.

Solució

Solució

FIXA-T’HI

Tots els polinomis que no tenen ter-me independent admeten com a ar-rel x = 0.

En aquests casos, podem treure factor comú a la x: P (x ) = x Q (x ).

Així doncs, si calculem el valor nu-mèric del polinomi per a x = 0, el resultat serà zero com correspon a una arrel.

Per exemple:

Si P (x ) = x 2 + x = x (x + 1), aleshores P (0) = 0 i x = 0 és una arrel.

Problemes resolts A

LLENGUATGE MATEMÀTIC

La utilitat del llenguatge algebraic per a plantejar i resoldre problemes consisteix en la seva simplicitat i precisió.

Un dels problemes més antics de les matemàtiques consisteix en la resolució d’equacions algèbriques i en la determinació de les arrels de polinomis. La notació que encara utilitzem avui en dia es va desenvo-lupar a partir del segle xv però no va ser fins al segle xvi que van aparèixer les primeres aproximacions d’arrels i fórmules de polinomis de fins a grau quatre.

Les arrels enteres d’un polinomi compleixen les propietats següents:

— Perquè un nombre enter a sigui arrel d’un polinomi, és imprescindible que a sigui divisor del seu terme independent (sempre que aquest no sigui nul).

— El nombre d’arrels enteres d’un polinomi és sempre més petit o igual que el seu grau.

Exercicis i problemes 9 a 12

48

2–2

10 12864

10

8

6

4

2

0–8 –6 –2 –4

–12

–10

–8

–6

–4

Y

X

–P (x) = 2x3 – 2x2 + 9

P (x) = –2x3 + 2x2 –9

4


2. Operacions amb polinomisLes operacions que durem a terme amb polinomis són la suma, la resta, la multi-plicació i la divisió.

2.1. SumaPer tal de sumar dos o més polinomis se sumen els termes semblants de tots dos, i s’obté un polinomi nou. Si efectuem la suma en vertical, escrivim els poli-nomis un sota l’altre, de manera que en una mateixa columna hi hagi els termes d’igual grau, i es deixen, si cal, espais en blanc.

Propietats de la suma de polinomis

La suma de polinomis compleix les mateixes propietats que la suma de nombres reals:

— Associativa. Donats tres polinomis P (x ), Q (x ) i R (x ), es verifica que [P (x ) + + Q (x )] + R (x ) = P (x ) + [Q (x ) + R (x )].

— Commutativa. Donats dos polinomis P (x ) i Q (x ), es verifica que P (x ) + Q (x ) = = Q (x ) + P (x ).

— Element neutre. Per a qualsevol polinomi es verifica que P (x ) + 0 (x ) = P (x ), on 0 (x ) és el polinomi nul.

— Elemento opuesto. Per a qualsevol polinomi P (x ), existeix -P (x ), tal que P (x ) + + [-P (x )] = 0 (x ) = 0.

2.2. RestaPer tal de restar dos polinomis, sumem al primer polinomi (minuend) l’oposat del segon (subtrahend), i s’obté un polinomi nou.

P (x ) - Q (x ) = P (x ) + [-Q (x )], on -Q (x ) és l’oposat de Q (x ).

2. Operacions amb polinomis

2.1. Suma

2.2. Resta

2.3. Multiplicació

2.4. Divisió

2.5. Regla de Ruffini


— El polinomi nul 0 (x ) és aquell que té tots els seus coeficients nuls. A i x í , O x x x xn n( ) 0 0 0 01= + +…+ +−

O x x x xn n( ) 0 0 0 01= + +…+ +− .

El seu valor numèric és nul per a qualsevol valor de x, d’aquí ve el seu nom.

— Donat un polinomi P (x ), el seu oposat és el polinomi que s’obté canviant el signe de tots els seus termes. El polinomi oposat es denota com a -P (x ).

En operar, escriurem prèviament els polinomis ordenats de forma decrei-xent.

De la mateixa manera, el resultat de qualsevol operació entre polinomis s’ha de donar sempre en forma de polinomi ordenat i reduït.

FIXA-T’HI

El grau del polinomi suma és sem-pre més petit o igual que el del poli-nomi de major grau.

FIXA-T’HI

Polinomis oposats.

Donats els polinomis 5 2 8 3 6 3 14 2 3 2P x x x x Q x x x x( ) i ( ) ,= − + + = − + − − calcula P( x ) + Q( x ) i P( x ) - Q( x ).

COMPRENSIÓ. Hem d’operar els termes semblants dels dos polinomis.

RESOLUCIÓ. En primer lloc, calculem la suma:

+ = − + + + − + − − =

= − + − + + − + − = − + − +

P x Q x x x x x x x

x x x x x x x x

( ) ( ) (5 2 8) ( 3 6 3 1)

5 3 ( 2 6) (1 3) (8 1) 5 3 4 2 7

4 2 3 2

4 3 2 4 3 2

Per tal de determinar la diferència, restem els termes semblants dels dos polinomis, o su-mem els termes semblants del primer polinomi amb els de l’oposat del segon.

− = − + + − − + − − =

= − + + + − + + =

= + + − − + + + + = + − + +

P x Q x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

( ) ( ) (5 2 8) ( 3 6 3 1)

(5 2 8) (3 6 3 1)

5 3 ( 2 6) (1 3) (8 1) 5 3 8 4 9

4 2 3 2

4 2 3 2

4 3 2 4 3 2

Si operem verticalment:

5x 4 - 2x 2 + x + 8 5x 4 - 2x 2 + x + 8

(+) - 3x 3 + 6x 2 - 3x - 1 (-) - 3x 3 + 6x 2 - 3x - 1

5x 4 - 3x 3 + 4x 2 - 2x + 7 5x 4 + 3x 3 - 8x 2 + 4x + 9

Solució

EXEMPLE

49

5

6


2.3. Multiplicació

Per tal de multiplicar dos polinomis, multipliquem tots els termes del primer per cadascun dels termes del segon i sumem els monomis obtinguts. Dit d’una altra manera, apliquem la propietat distributiva del producte de nombres reals respecte de la suma. El resultat serà un polinomi nou.

La multiplicació d’un nombre real per un polinomi és un cas concret de la mul-tiplicació de dos polinomis, un dels quals és un polinomi de grau zero.

FIXA-T’HI

En multiplicar dos polinomis, el grau del polinomi resultant és igual a la suma dels graus dels polinomis que es multipliquen.

FIXA-T’HI

És important procurar la presentació ordenada dels càlculs i els resultats obtinguts per evitar errors.

RECORDA

El producte de dos monomis ax m i bx n és un altre monomi abx m+n.


El polinomi neutre és aquell que únicament té terme independent, que és igual a 1.

Donats els polinomis P( x) = 3x 2 - 2x + 3 i Q( x) = 3x - 1, calcula el seu producte.

Comprova la propietat commutativa del producte de = + = +3 22P x x x Q x x( ) y ( ) .

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Multipliquem tots els termes del segon polinomi per cadascun dels mono-mis del primer (o viceversa).

RESOLUCIÓ. Si apliquem la propietat distributiva del producte respecte de la suma:

P (x ) · Q (x ) = (3x 2 - 2x + 3) · (3x - 1) = 3x 2 · 3x + 3x 2 · (-1) + (-2x ) · 3x + (-2x ) · (-1) + + 3 · 3x + 3 · (-1) = 9x 3 - 3x 2 - 6x 2 + 2x + 9x - 3 = 9x 3 - 9x 2 + 11x - 3

On, per acabar, hem reduït els termes semblants i ordenat el polinomi.

Verticalment, en la primera línia escrivim el producte de P (x ) per -1 i en la segona el pro-ducte de P (x ) per 3x. Després les sumem totes dues:

P (x ) 3x 2 - 2x + 3Q (x ) 3x - 1

1a línia: - 3x 2 + 2x - 3 2a línia: 9x 3 - 6x 2 + 9x

P (x ) · Q (x ) 9x 3 - 9x 2 + 11x - 3

COMPRENSIÓ. Verifiquem l’enunciat de la propietat commutativa del producte de polinomis.

RESOLUCIÓ. Multipliquem P (x ) · Q (x ) i Q (x ) · P (x ) i comprovem si s’obté el mateix resultat:

= + + = + + + = + +

= + + = + + + = + +

P x Q x x x x x x x x x x x

Q x P x x x x x x x x x x x

( ) · ( ) ( 3 ) · ( 2) 2 3 6 5 6

( ) · ( ) ( 2) · ( 3 ) 3 2 6 5 6

2 3 2 2 3 2

2 3 2 2 3 2

Solució

Solució

Propietats de la multiplicació de polinomis

La multiplicació de polinomis compleix les mateixes propietats que la multiplica-ció de nombres reals:

— Associativa. Donats tres polinomis P (x ), Q (x ) i R (x ), es verifica que [P (x ) · Q (x )] · · R (x ) = P (x ) · [Q (x ) · R (x )].

— Commutativa. Donats dos polinomis P (x ) i Q (x ), sees verifica que P (x ) · Q (x ) = = Q (x ) · P (x ).

— Element neutre. Per a qualsevol polinomi es verifica que P (x ) · 1 = P (x ), on 1 és el polinomi neutre.

— Distributiva de la multiplicació respecte de la suma. Donats tres polinomis, P (x ) · [Q (x ) + R (x )] = P (x ) · Q (x ) + P (x ) · R (x ).

EXEMPLE

50

7


2.4. División

En dividir un polinomi P (x ) de grau m entre un altre polinomi Q (x ) de grau n < m obtenim dos polinomis més C (x ) i R (x ) que compleixen les condicions se-güents:

P (x ) = Q (x ) · C (x ) + R (x )

grau de C (x ) = m - n; grau de R (x ) < n

De forma anàloga a la divisió de nombres reals, els polinomis P (x ), Q (x ), C (x ) i R (x ) s’anomenen, respectivament, dividend, divisor, quocient i residu.

Si R (x ) = 0, la divisió és exacta i aleshores podem dir que P (x ) és divisible per Q (x ), que P (x ) és múltiple de Q (x ), i que Q (x ) és divisor de P (x ).

En el blog següent trobaràs aplicaci-ons d’operacions amb polinomis en la vida quotidiana.

http://links.edebe.com/en3r

Per tal de dividir dos polinomis, s’ha de complir que el grau del dividend sigui igual o més gran que el grau del divisor.

FIXA-T’HI

INTERNET

Exercicis i problemes 13, 14, 16 a 25, 29 a 31

A continuació veurem com es pot dividir el polinomi = − + + = −63 86 3 20 13 2P x x x x Q x x( ) entre ( ) .= − + + = −63 86 3 20 13 2P x x x x Q x x( ) entre ( ) .

Per tal de dividir dos polinomis, apliquem l’algorisme de la divisió:

— Ordenem els termes del dividend i del divisor, de major a menor grau, i deixem un espai en blanc en el lloc de cada terme que falti en el dividend.

— Dividim el primer terme del dividend entre el primer terme del divisor, i obtenim el primer terme del quocient.

— Multipliquem el quocient pel divisor.

— Restem aquest producte del dividend, per a això el canviem de signe (per restar sumem l’oposat) i obtenim el primer residu parcial.

63x 3 - 86x 2 + 3x + 20 x - 1

- 63x 3 + 63x 2 63x 2

- 23x 2

— Baixem el següent terme del dividend i repetim el procés amb el polinomi resultant fins a obtenir un residu parcial de grau menor que el grau del divisor.

63x 3 - 86x 2 + 3x + 20 x - 1

- 63x 3 + 63x 2 63x 2 - 23x - 20

- 23x 2 + 3x

23x 2 - 23x

- 20x + 20

+ 20x - 20

0

El quocient i el residu de la divisió són:

= − −63 23 202C x x x( )

= 0R x( )

Com que el residu és igual a zero, es tracta d’una divisió exacta. Aleshores podem dir que P( x )és múltiple de Q( x ) i que Q( x ) és divisor de P( x ).

Podem comprovar que el resultat és correcte verificant que P( x ) = Q( x ) · C( x ) + R( x ):

+ = − − − + =

= − − − + + = − + +

1 63 23 20 0

63 23 20 63 23 20 63 86 3 20

2

3 2 2 3 2

Q x C x R x x x x

x x x x x x x x

( ) · ( ) ( ) ( ) · ( )

EXEMPLE

51

8

+

x

5 -3 2 -7 3

1 5 2 4 -3

5 2 4 -3 0AMPLÍA


2.5. Regla de Ruffini

La regla de Ruffini és un mètode que ens permet realitzar la divisió de polinomis d’una manera més senzilla. Per tal d’aplicar-la, el divisor ha de ser de la forma (x - a), on a un nombre real.

Vegem com es pot dividir el polinomi P( x) = 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 - 7x + 3 entre Q( x ) = x - 1, aplicant la regla de Ruffini.

Observem que la forma del divisor és del tipus ( x - a), sent a = 1, per tant podem aplicar la regla de Ruffini:

— Escrivim els coeficients ordenats del dividend i l’oposat del terme independent del divisor (el nombre a) de la manera que es mostra. Si el dividend és incomplet, s’ha de col·locar un zero en el lloc de cada terme que falti.

5 -3 2 -7 3

1

— Baixem el primer coeficient del dividend, el multipliquem per a i el resultat el sumem al se-gon coeficient del dividend.

5 -3 2 -7 3

1 5

5 2

— Repetim el procés amb tots els coeficients del dividend.

5 -3 2 -7 3

1 5 2 4 -3

5 2 4 -3 0

L’últim nombre obtingut equival al residu de la divisió, i el polinomi quocient es construeix amb els altres nombres obtinguts com a coeficients, tenint en compte que té un grau menys que el dividend.

Dividend

Divisor

Residu

quocient

Així doncs, el quocient i el residu resultants són:

5 2 4 3 03 2C x x x x R x( ) y ( )= + + − =

De la mateixa manera que en la divisió numèrica, s’ha de complir que P( x ) = Q( x ) · C( x ) + + R( x ), després podem escriure:

5 3 2 7 3 1 5 2 4 3 04 3 2 3 2x x x x x x x x( ) · ( )− + − + = − + + − +

Si calculem el producte, comprovarem que es compleix que el resultat equival al polinomi inicial:

− + + − = + + − − − − + =

= − + − +

1 5 2 4 3 5 2 4 3 5 2 4 3

5 3 2 7 3

3 2 4 3 2 3 2

4 3 2

x x x x x x x x x x x

x x x x

( ) · ( )

EXEMPLE

AMPLIA

Donat un polinomi amb coeficient principal an i terme independent a 0, el teorema de Gauss estableix que si aquest polinomi té arrels ra-cionals aleshores les mateixes es-tan dins de la llista que es forma prenent totes les fraccions possi-bles el numerador de les quals sigui un divisor de a 0 i el denominador del qual sigui divisor de an.

Paolo Ruffini (1765-1822) va ser un matemàtic i metge italià que també es va dedicar a la docència. Va idear el mètode que permet tro-bar els coeficients del polinomi que resulta de la divisió d’un polinomi qualsevol pel binomi x - a. Cap a l’any 1805 va demostrar, encara que de manera prematura, la im-possibilitat de trobar una solució general per a les equacions de cin-què grau o superiors.

FIXA-T’HI

Si ens trobem amb divisors del ti-pus (-x + a), per poder aplicar Ruffi-ni hem de multiplicar per -1 al dividend i al divisor, ja que:

-1 · (-x + a) = x - a

Exercicis i problemes 15, 26 a 28, 32

PAOLO RUFFINI

52

q q El residu R(x) de la divisió d’un polinomi P( x) entre (x - a) és igual al valor numèric d’aquest polinomi per a x = a; P(a) = R( x).

9

q q Un polinomi P( x) eés divisible per ( x - a) si i només si el valor nu-mèric d’aquest polinomi per a x = a és 0.

10

Falta traducir COMPROVACIObloc 1.

aritmètica i àlgebra

3. Factorització de polinomisEn aquest apartat veurem com podem expressar un polinomi en forma de producte de factors, per a la qual cosa ens seran molt útils els teoremes del residu i del factor.

3.1. Teorema del residuEl teorema del residu, que es dedueix directament de les propietats de la divisió, s’enuncia de la manera següent:

3. Factorització de polinomis

3.1. Teorema del residu

3.2. Teorema del factor

3.3. Factorització

El teorema del residu permet:

— Trobar el valor numèric d’un polino-mi sense necessitat de substituir.

— Obtenir el residu d’una divisió entre x - a sense necessitat d’efectuar-la.

FIXA-T’HI

— El teorema del factorpermet sa-ber si un polinomi és divisible per un altre de la forma (x - a) sense necessitat de fer la divisió.

— Si (x - a) és factor d’un polino-mi, aleshores a és arrel d’aquest polinomi.

FIXA-T’HI

— Càlcul d’arrels d’un polinomi de grau 3:

http://links.edebe.com/cpa4, http://links.edebe.com/3p2bkh

— Aplicació del teorema del residu i regla de Ruffini:

http://links.edebe.com/gbse6u, http://links.edebe.com/6y

INTERNET

Exercicis i problemes 33, 37 a 42

Calcula per substitució i mitjançant el teorema del residu el valor numèric del polinomi P( x ) = = x 3 - x + 6 per a x = 2.

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Trobem el valor numèric P(2) substituint el valor de x = 2 en el po-linomi i calculant el residu de la divisió P (x ) : (x - 2).

RESOLUCIÓ. En primer lloc, substituïm en el polinomi per x = 2:

P (2) = 23 - 2 + 6 = 12

A continuació, calculem el residu R(x ) de la divisió P (x ) : (x - 2) per la regla de Ruffini:

1 0 -1 6

2 2 4 6

1 2 3 12

COMPROVACIÓ. Tal como enuncia el teo-rema del resto, el valor numérico del poli-nomio para x = 2 i el resto de la división coinciden: P (2) = R (x ) = 12.

Solució

3.2. Teorema del factor

Si apliquem el teorema del residu en el cas en què la divisió de P (x ) entre (x - a) és exacta, obtenim el teorema del factor, que s’enuncia de la manera següent:

Determina de dues maneres diferents si el polinomi P( x ) = 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 - 7x + 3 és divisible entre (x - 1).

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Hem de veure si el residu de la divisió és zero, per a això podem calcular-la o aplicar el teorema del factor.

RESOLUCIÓ. Primer efectuem la divisió per Ruffini:

5 -3 2 -7 3

1 5 2 4 -3

5 2 4 -3 0

Després P (x ) és divisible per (x - 1). Anàlogament, pel teorema del factor:

P (1) = 5 · 14 - 3 · 13 + 2 ·12 - 7 · 1 + 3 = 0 S

S P (1) = 0

Comprovem que el polinomi és divisible per (x - 1), atès que P (1) = 0.

Solució

Així, el polinomi P (x ) es pot expressar de la forma P (x ) = (x - a) · C(x ), on (x - a) és un factor de P (x ).

53

b

a

b a

ab a ²

abb ²

11


3.3. Factorització de polinomis

Factoritzar un polinomi consisteix a expressar-lo com a producte de polinomis irreductibles (que no es poden seguir factoritzant) de grau menor anomenats factors.

En cada pas, s’ha d’escriure el polinomi inicial com a producte de tots els factors oposats. D’aquesta manera, un polinomi de grau n,

P (x ) = anx n + an - 1x n - 1 + ... + a1x + a0

amb n arrels x 1, x 2,..., x n, quedaria descompost de la manera següent:

P (x ) = an(x - x 1) · (x - x 2) · ... · (x - x 0)

Per a cada arrel calculada, x = a, tindrem un factor (x - a). Tingues en compte que un polinomi de grau n té com a màxim n arrels i, per tant, n factors irreducti-bles.

Es finalitza la factorització quan tots els factors siguin de grau u o quan no es pu-gui continuar factoritzant.

La factorització de polinomis ens permetrà:

— Simplificar fraccions algèbriques.

— Resoldre equacions i buscar les seves arrels enteres.

Podem utilitzar les següents tècniques per a factoritzar un polinomi:

— Treure factor comú a la variable i/o a algun nombre (si el polinomi no té terme independent o els seus coeficients tenen algun divisor comú).

— Identificar les igualtats notables (vegeu el requadre al marge).

— Calcular les arrels enteres i factoritzar el polinomi aplicant la regla de Ruffini i els teoremes del residu i del factor.

— Calcular les arrels a través de la resolució de l’equació de manera clàssica.

Les arrels d’un polinomi poden estar repetides. Si una arrel solament apareix una vegada es tracta d’una arrel simple, si està repetida, s’anomena arrel doble, arrel triple..., segons el nombre de vegades que es repeteixi.

INTERNET

En aquest enllaç trobaràs exercicis i problemes resolts de polinomis:

http://www.vitutor.com/ab/p/p_e.html

RECORDA

Igualtats notables:

— Quadrat d’una suma o diferèn-cia:

± = ± +a b a ab b( ) 22 2 2

— Suma per diferència:

+ − = −a b a b a b( )( ) 2 2

— Cub d’una suma o diferència:

± = + ± ±a b a a b ab b( ) 3 33 3 2 2 3

Exercicis i problemes 34 a 36, 43 a 50

Síntesi 70 i 72

Problemes resolts B, C

Factoritza el polinomi P(x) = x 4 + 7x 3 + 16x 2 + 12x.

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Per tal de factoritzar el polinomi, intentarem aplicar els mètodes presentats més amunt de manera successi-va fins a aconseguir que tots els factors siguin de grau 1 o irre-ductibles.

RESOLUCIÓ. En primer lloc, traiem factor comú a la x, atès que no existeix terme independent:

P (x ) = x 4 + 7x 3 + 16x 2 + 12x = x (x 3 + 7x 2 + 16x + 12)

Prosseguim factoritzant el polinomi de grau 3. Per a això, calcu-lem les arrels enteres, que es troben entre els divisors del terme independent, i apliquem el teorema del factor. Així, obtenim que x = -3 és una arrel i, per tant, (x + 3) és un factor de P (x ):

Div. (12) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}

1 7 16 12

-3 -3 - 12 -12

1 4 4 0

Així, P (x ) = x (x + 3)(x 2 + 4x + 4).

Podríem seguir-ho provant amb altres divisors, però s’identifica fàcilment una igualtat notable coneguda (el quadrat d’una suma):

P (x ) = x (x + 3)(x + 2)2 = x (x + 3)(x + 2)(x + 2)

Com que tots els factors són de grau u, hem acabat la factorit-zació.

Una vegada expressat el polinomi d’aquesta manera, podem identificar que les arrels de P (x ) són x = 0, x = -3 i x = -2. Les dues primeres són arrels simples, mentre que x = -2 és una arrel doble perquè el factor (x + 2) apareix dues vegades.

Solució

54

q q S’anomena fracció algebraica al quocient de dos polinomis amb coeficients reals P( x ) i Q( x ) de la forma:

P( x )

Q( x )amb Q( x ) ≠ 0

q q Dues fraccions algèbriques són equivalents, si es compleix que:

= =P x

Q x

R x

S xP x S x R x Q x

( )

( )

( )

( )( ) · ( ) ( ) · ( )3

12

q q El màxim comú divisor (MCD) de dos o més polinomis és el polino-mi de major grau que és divisor de tots ells.

El mínim comú múltiple (MCM) de dos o més polinomis és el polinomi de menor grau que és múltiple de tots ells.


4. Fraccions algèbriques

De la mateixa manera que la divisió entre dos nombres enters pot expressar-se com a fracció, la divisió entre polinomis dóna lloc a les fraccions algèbriques.


4.1. Fraccions algèbriques equivalents

4.2. MCD i MCM de polinomis

4.3. Simplificació de fraccions algèbriques

Qualsevol polinomi es pot expressar com a fracció algebraica, tan sols col·locant la unitat com a denomina-dor. Per exemple:

Polinomi: x 2 - 2x

Fracció algebraica: -x x21

2

FIXA-T’HI

Determina si les següents fraccions algèbriques són equivalents: 2

1

2 2

2 2x x

x

x

xi .

+ −

−

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Per tal de saber si dues fraccions algèbriques són equivalents, hem de calcular els productes creuats dels polinomis que les componen.

RESOLUCIÓ. Trobem els dos productes creuats, que són iguals, per la qual cosa les frac-cions són equivalents:

(x 2 + x )(2x - 2) = 2x 3 - 2x 2 + 2x 2 - 2x = 2x 3 - 2x 2; 2x (x 2 - 1) = 2x 3 - 2x 2

Solució

4.2. MCD i MCM de polinomis

Conèixer el màxim comú divisor (MCD) i el mínim comú múltiple (MCM) de diver-sos polinomis ens serà útil per a operar amb les fraccions algèbriques.

Són fraccions algèbriques, per exemple: − +

−

− +x xx

xx

x2 6 8

3,3 2

,5 8

8.

2

2

2

4.1. Fraccions algèbriques equivalents

També de forma anàloga a les fraccions numèriques, per a les fraccions algèbri-ques és possible definir la seva equivalència, que expressem amb el signe igual:

En la pràctica, primer descompondrem en factors els diferents polinomis i:

— En el MCD prenem els factors comuns elevats al menor exponent.

— En el MCM, els comuns i no comuns elevats al major exponent.

55

q q Simplificar una fracció algebraica és transformar-la en una altra de més senzilla i equivalent.

q q S’anomena fracció algebraica irreductible aquella en què entre numerador i denominador no hi ha més factors comuns que la unitat.

13

14


4.3. Simplificació de fraccions algèbriques

En operar amb fraccions algèbriques, igual que ens passava amb les fraccions numèriques, sempre és convenient simplificar les fraccions.

A més, una vegada efectuades les operacions és preferible simplificar també el resultat.

Calcula el MCD i el MCM dels polinomis P( x ) = x 4 + 7x 3 + 16x 2 + 12x i Q( x ) = x 3 + 8x 2 + 21x + 18.

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Per tal de calcular el MCD i el MCM és necessari factoritzar els dos polinomis.

RESOLUCIÓ. Factoritzem P (x ) i Q (x ):

= + + = + +P x x x x Q x x x( ) ( 3)( 2) y ( ) ( 3) ( 2)2 2

Per tal de trobar el MCD considerem els factors comuns elevats al menor exponent:

M.C.D.[P (x ), Q (x )] = (x + 3)(x + 2)

Per tal de trobar el MCM prenem els factors comuns i no comuns elevats al major expo-nent:

m.c.m.[P (x ), Q (x )] = x (x + 3)2(x + 2)2

Solució

FIXA-T’HI

Per simplificar fraccions algèbriques utilitzem el mateix mètode de simpli-ficació que utilitzàvem amb les frac-cions numèriques:

=⋅ ⋅

⋅= =

6045

2 3 53 5

23

43

2

2

2

INTERNET

En el següent enllaç trobaràs un ví-deo sobre la simplificació de fracci-ons algèbriques.

http://youtu.be/KG12HptTW9w


Simplifica la fracció algebraica =+ − −

− −

8 12

3 10

4 3 3

4 2 2

P x

Q x

x x x x

x x x

( )

( ).

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Factoritzem els polinomis del numerador i del denominador i els dividim pels factors comuns.

RESOLUCIÓ. En primer lloc factoritzem:

= − + = − +P x x x x Q x x x x( ) ( 3)( 2) ; ( ) ( 5)( 2)2 2

I, a continuació, dividim pels factors comuns:

=+ − −

− −=

=− +

− +=

− −

−

P x

Q x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

( )

( )

8 12

3 10

( 3)( 2)

( 5) ( 2)

6

5

4 3 3

4 2 2

2

2

2

2

La fracció irreductible és, per tant, =− −

−

P xQ x

x xx x

( )( )

65

.2

2.

Solució

Per tal de simplificar una fracció algebraica seguirem els passos següents:

— Factoritzarem els polinomis del numerador i del denominador.

— Dividirem el numerador i el denominador pels factors comuns, és a dir, pel MCD de tots dos.

D’aquesta manera, obtenim una fracció que no és possible simplificar més.

Aquestes fraccions són la «mínima expressió» de la fracció equivalent inicial i, com el seu nom indica, no es poden reduir més.

56

15

16


5. Operacions amb fraccions algèbriquesAmb les fraccions algèbriques podem efectuar les mateixes operacions que amb les fraccions numèriques: suma, resta, multiplicació i divisió.

5.1. Suma i restaPer tal de sumar o restar fraccions algèbriques se segueixen els següents passos:

— Es calcula el MCM dels denominadors de les fraccions donades, i es reduei-xen les fraccions a comú denominador.

— S’obté el numerador resultat mitjançant la suma o diferència dels numeradors obtinguts en el pas anterior. El denominador resultat és el MCM dels denomi-nadors.

— Se simplifica la fracció algebraica resultant.

5. Operacions amb fraccions algèbriques

5.1. Suma i resta

5.2. Multiplicació

5.3. Divisió

5.4. Descomposició de fraccions algèbriques en fraccions simples

RECORDA

RECORDA

En treballar amb fraccions algèbri-ques realitzarem les mateixes opera-cions que utilitzàvem amb fraccions numèriques.

— Recordes com feies les següents operacions?

+ −

⋅

26

512

;38

14

42

313

;94

:76

Per reduir a comú denominador:

1. Calculem el MCM dels denomi-nadors.

2. Dividim el MCM entre els deno-minadors de cada fracció.

3. Multipliquem el numerador i el denominador de cada fracció pel resultat corresponent trobat en el punt 2.

Calcula +

−−

+

+ +

10

4

4

4 42 2

x

x

x

x x.

COMPRENSIÓ. Per tal de restar dues fraccions algèbriques és necessari reduir-les a comú denominador.

RESOLUCIÓ. Factoritzem els denominadors, calculem el MCM i reduïm a comú denomi-nador. Finalment, operem els numeradors per obtenir el resultat.

MCM (x 2 - 4, x 2 + 4x + 4) = MCM [(x + 2)(x - 2), (x + 2)2] = (x + 2)2(x - 2)

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x x x

x x

x

x x

x

x x

10

4

4

4 4

( 10)( 2)

( 2) ( 2)

( 4)( 2)

( 2) ( 2)

2 10 20 ( 2 4 8)

( 2) ( 2)

10 28

( 2) ( 2)

2(5 14)

( 2) ( 2)

2 2 2 2

2 2

2 2 2

+

−−

+

+ +=

+ +

+ −−

+ −

+ −=

=+ + + − − + −

+ −=

+

+ −=

+

+ −

Solució

5.2. Multiplicació

El producte de fraccions algèbriques és una altra fracció que té:

— Per numerador el producte dels numeradors.

— Per denominador el producte dels denominadors.

=P xQ x

R xS x

P x R xQ x S x

( )

( )·

( )

( )

( ) · ( )

( ) · ( )

S’ha de simplificar la fracció algebraica resultat, encara que també es pot sim-plificar abans d’operar.

Calcula 1

9

2 6

22

x

x

x

x·

+

−

+

−.

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Han de factoritzar-se les fraccions algèbriques abans d’operar i simplificar-les perquè els càlculs siguin més senzills.

Solució

RESOLUCIÓ. Factoritzem les fraccions, efectuem el producte en línia i, finalment, simplifiquem:

x

x

x

x

x

x x

x

x

x x

x x x

x

x x

1

9·

2 6

2

1

( 3)( 3)·

2( 3)

2

2( 1) ( 3)

( 3) ( 3)( 2)

2( 1)

( 3)( 2)

2

+

−

+

−=

+

+ −

+

−=

=+ +

+ − −=

+

− −

EXEMPLE

57

17

18


5.3. Divisió

Per tal de dividir dues fraccions algèbriques es multiplica la primera fracció per la inversa de la segona.

En la pràctica, el quocient de fraccions algèbriques és una altra fracció que té:

— Per numerador el producte del numerador de la primera pel denominador de la segona.

— Per denominador el producte del denominador de la primera pel numerador de la segona.

=P xQ x

R xS x

P x S xQ x R x

( )

( ):

( )

( )

( ) · ( )

( ) · ( )

És convenient simplificar la fracció algebraica resultat, encara que també es pot simplificar abans d’operar.

INTERNET

En l’enllaç següent trobaràs exerci-cis sobre fraccions algèbriques:

http://www.vitutor.com/ab/p/f_e.html

RECORDA

La fracción inversa d’una de donada és una altra fracció on el numerador i denominador estan intercanviats.

x − 7x + 1

inversa⎯ →⎯⎯⎯x + 1x − 7

El producte de tot parell de fraccions inverses és igual a la unitat:

−

+⋅

+

−=

=− ⋅ +

+ ⋅ −=

xx

xx

x xx x

71

17

( 7) ( 1)( 1) ( 7)

1


Síntesi 71

Problemes resolts D

Efectua l’operació següent expressant el resultat en forma de fracció irreductible:

−+

+

−−

−

2 2 1

12 2 2

x

x

x

x x x.

Calcula: +

− +

+ +

−

2

5 6

4 4

4

2

2

2

2

x x

x x

x x

x: .

EXEMPLE

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Per tal de calcular aquestes operacions, hem de reduir les fraccions a comú denominador.

RESOLUCIÓ. En primer lloc, factoritzem els denominadors:

x 2 - x = x (x - 1)

x 2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

A continuació, calculem el MCM dels tres denominadors:

MCM (x 2, x 2 - x, x 2 - 1) = MCM [x 2, x(x - 1), (x + 1)(x - 1)] = x 2(x - 1)(x + 1)

Finalment, reduïm a comú denominador i operem els numeradors per obtenir el resultat:

−+

+

−−

−=

− − + + + + −

− +=

=− − + + + + −

− +=

+ +

−

x

x

x

x x x

x x x x x x x

x x x

x x x x x x x

x x x

x x

x x

2 2 1

1

( 2)( 1)( 1) ( 2) ( 1)

( 1)( 1)

( 2 2) ( 3 2 )

( 1)( 1)

2 2

2 2 2

2

2

3 2 3 2 2

2

3

4 2

COMPRENSIÓ. Han de factoritzar-se les fraccions algèbriques abans d’operar i simplifi-car-les perquè els càlculs siguin més senzills.

RESOLUCIÓ. Factoritzem les fraccions, efectuem el producte en creu i, finalment, simpli-fiquem:

+

− +

+ +

−=

+

− −

+

+ −=

=+ −

− − +=

−

x x

x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x x x

x x x

x

x

2

5 6:

4 4

4

( 2)

( 3)( 2):

( 2)

( 2) ( 2)

( 2) ( 2)

( 3) ( 2) ( 2) 3

2

2

2

2

2

Solució

Solució

58

AMPLÍA

19


5.4. Descomposició de fraccions algèbriques en fraccions simples

Quan el denominador d’una fracció algebraica es pot descompondre en factors, la fracció es pot escriure com a suma o diferència d’altres fraccions més simples. Aquest procés es coneix amb el nom de descomposició en fraccions simples.

Suposem una fracció algebraica de numerador P (x ) i denominador Q (x ):

— Si grau P (x ) < grau Q (x ), considerem els casos següents:

•Q (x ) solament té arrels simples.

Q (x ) = (x - a1)(x - a2) ... (x - an), aleshores:

=−

+−

+ +−

P xQ x

Ax a

Ax a

Ax a

n

n

( )

( )...1

1

2

2

•Q (x ) té arrels múltiples.

Q x x a x a x amn m( ) ( ) ( ) … ( ),1 2= − − − − aleshores:

P xQ x

Ax a

Ax a

Ax a

Ax a

Ax a

m

m

n m

n m

( )

( ) ( )...

( )...1

1

1,2

12

1,

1

2

2

=−

+−

+ +−

+−

+ +−

−

−

•Q (x ) conté polinomis de grau 2.

Q x x bx c x a x a x an( ) ( )( )( ) … ( ),21 2 2= + + − − − − aleshores:

P xQ x

Mx Nx bx c

Ax a

Ax a

Ax a

n

n

( )

( )...

2

1

1

2

2

2

2

=+

+ ++

−+

−+ +

−−

−

— Si grau P (x ) ≥ grau Q (x), efectuem la divisió i obtenim:

= +P xQ x

C xR xQ x

( )

( )( )

( )

( )

Com que grau R (x ) < grau Q (x ), apliquem el mètode anterior a R xQ x

( )

( ).

Si l’equació + + =ax bx c 02 no té arrels reals, aleshores la fracció

−

+ +

Mx nax bx c2

no es pot descom-

pondre en factors reals.

AMPLIA

Exercicis i problemes 68 i 69

Problemes resolts E

Descompon la fracció algebraica següent en fraccions simples: +

+ −

4 1

3 42

x

x x.

EXEMPLE

COMPRENSIÓ. Atès que el grau P (x ) < grau Q (x ),descompon-drem Q (x ) en factors i expressarem la fracció com a suma de fraccions.

RESOLUCIÓ. En primer lloc, factoritzem Q (x ):

Q (x ) = (x - 1)(x + 4)

que té 2 arrels simples, per la qual cosa podem escriure la frac-ció de la manera següent:

+

+ −=

−+

+=

+ + −

− +

x

x x

A

x

B

x

A x B x

x x

4 1

3 4 1 4

( 4) ( 1)

( 1)( 4)2

Així, si igualem els numeradors, obtenim:

+ = + + −x A x B x4 1 ( 4) ( 1)

Per tal de determinar els valors de A i B, desenvolupem la igual-tat i resolem el sistema d’equacions:

+ = + + −x A B x A B4 1 ( ) 4

A + B = 44A − B = 1

⎫⎬⎭

5A = 5; A = 1; B = 3

Així doncs:

+

+ −=

−+

+

xx x x x

4 13 4

11

342

Solució

59

A

B

Problemes RESOLTSunitat 2. Polinomis i fraccions algèbriques

Calcula a i b perquè es compleixi que -5 i 0 són arrels de = + +22P x x ax b( ) .

Solució

1. s Calcula a i b perquè es compleixi que:

a) les arrels de = + −( )P x xa

x b4

32

siguin -3 i 2. b) les arrels de = − +( )Q x x ax b5 siguin -2 i 2.

Sol.: a) a = 4, b = 2; b) a = 16, b = 0

2. s Factoritza els següents polinomis i determina les seves arrels: a) = − − −( )P x x x x2 3 8 33 2 ; b) = − −( )Q x x x6 9 62 .

Sol.: a) P(x) = 2(x + 1)(x + 1/2)(x - 3), x 1 = -1, x 2 = -1/2, x 3 = 3; b) P(x) = 6(x - 2)(x + 1/2), x 1 = 2, x 2 = -1/2

3. s Factoritza el polinomi = − + − +( )P x x x x x2 3 4 9 65 3 2

i determina les seves arrels.

Sol.: a) P(x) = (x - 1)2(x + 2)(2x 2 + 3), x 1 = 1 (doble), x 2 = -2

COMPRENSIÓ. m és arrel de P (x ) 3 P (m) = 0. Per tal de calcular a i b, hem d’obtenir els valors del polinomi per a x = -5 i x = 0 i resoldre les equacions resultants.

DADES. P (x ) = x 2 + 2ax + b; x = -5 i x = 0 arrels de P (x ).

RESOLUCIÓ. Intenta resoldre el problema tu sol. Per a això, tapa la columna de la resposta i segueix aquests passos:

Passos

— Apliquem la definició d’arrel a -5 i 0 per plantejar un siste-ma de dues equacions i dues incògnites.

— Resolem el sistema d’equacions substituint el valor obtingut per a b en la primera expressió per a calcular a.

Resposta

—P(−5) = (−5)2 + 2a(−5) + b = 0

P(0) = (0)2 + 2a(0) + b = 0

⎫⎬⎭⎪

25 − 10a + b = 0b = 0

⎫⎬⎪

⎭⎪

— − + = − = − =−

−=a a a25 10 0 0 10 25

25

10

5

2S S

COMPROVACIÓ. Substituïm els valors de a = 5/2 i b = 0 a P (x ) i comprovem que P (-5) = P (0) = 0.

Factoritza el polinomi = − − +2 3 11 63 2P x x x x( ) i determina les seves arrels.

Solució

COMPRENSIÓ. Per tal de factoritzar el polinomi, intentarem aplicar els diferents mètodes estudiats a la unitat de manera successiva fins a aconseguir que tots els factors siguin de grau 1 o irreductibles.

DADES. P (x ) = 2x 3 - 3x 2 - 11x + 6.

RESOLUCIÓ. Calculem les arrels enteres, que es troben entre els divisors del terme independent, i apliquem el teorema del factor. Així, obtenim que x = -2 és una arrel i, per tant, (x + 2) és un factor de P (x ):

Div. (6) = {±1, ±2, ±3, ±6}

2 -3 -11 6

2 -4 14 -6

2 -7 3 0

Així, la factorització queda de moment:

= + − +P x x x x( ) ( 2) · (2 7 3)2

Podríem continuar provant amb altres divisors però, com que el polinomi resultant és de segon grau, trobarem les arrels aplicant la fórmula de les equacions de segon grau:

x =7 ± 72 − 4 · 2 · 3

2 · 2=

7 ± 254

=7 ± 5

4= 3

1 / 2

⎧⎨⎪

⎩⎪

I la factorització queda així: P x x x x( ) 2( 2)( 3) 1/2( )= + − − .

Com que tots els factors són de grau u, hem acabat la factorit-zació.

Una vegada expressat el polinomi d’aquesta forma, podem identificar que les arrels de P (x ) són x = -2, x = 3 i x = 1/2. Totes són arrels simples.

COMPROVACIÓ. Si multipliquem els factors que formen el polinomi P (x ), comprovem que s’obté l’expressió de P (x ) de l’enunciat.

ARRELS D’UN POLINOMI

FACTORITZACIÓ D’UN POLINOMI

60

C

D

E


Factoritza els següents polinomis, amb ajuda de les igualtats notables: a) P( x ) = 25x 4 + 30x 2 + 9; b) R( x ) = (x + 7)2 - 16.

Calcula l’operació següent amb fraccions algèbriques:

++

−

+1

3

1

1

22

x

x

x

x· .

Descompon en fraccions simples la següent fracció algebraica:

− +

1

5 62x x.

FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS MITJANÇANT IGUALTATS NOTABLES

OPERACIONS COMBINADES

DESCOMPOSICIÓ EN FRACCIONS SIMPLES

Solució

Solució

Solució

4. s Usant les igualtats notables, factoritza: a) = −( )P x x 92 ; b) = −( )Q x x y 12 2 ; c) = + +( )R x x x4 20 252 .

Sol.: a) P(x) = (x + 3)(x - 3); b) Q(x) = (xy + 1)(xy - 1); c) R(x) = (2x + 5)(2x + 5)

COMPRENSIÓ. Intentarem identificar la forma dels polinomis amb les fórmules de les igualtats notables.

DADES. P (x ) = 25x 4 + 30x 2 + 9;R (x ) = (x + 7)2 - 16.

RESOLUCIÓ.

COMPRENSIÓ. A més d’operar segons hem vist a la unitat, s’ha de tenir en compte la jerarquia de les operacions.

DADES. xx

xx

131

·1

22+

+

−

+.

RESOLUCIÓ. D’acord amb la jerarquia de les operacions, pri-mer calcularem el producte de fraccions (mitjançant el pro-ducte en línia) i després trobarem la suma (reduint a comú denominador). En tots els passos, sempre que sigui possible, simplificarem les fraccions:

COMPRENSIÓ. Atès que el grau P (x ) < grau Q (x ), descom-pondrem Q (x ) en factors i expressarem la fracció com a suma de fraccions.

DADES. P (x ) = 1; Q (x ) = x 2 - 5x + 6.

RESOLUCIÓ. En primer lloc, factoritzem Q (x ):

Q (x ) = (x - 2)(x - 3)

que té 2 arrels simples, per la qual cosa podem escriure la fracció de la manera següent:

x x

A

x

B

x

A x B x

x x

1

5 6 2 3

( 3) ( 2)

( 2)( 3)2 − +=

−+

−=

− + −

− −

Així, si igualem els numeradors, obtenim:

A x B x1 ( 3) ( 2)= − + −

Per tal de determinar els valors de A i B, tenim dues opcions:

a) Identifiquem que P (x ) té la forma del quadrat d’una suma: a ab b a b2 ( )2 2 2+ + = + . Per tant:

P x x x

x x x

( ) 25 30 9

(5 ) 2 · 5 · 3 3 (5 3)

4 2

2 2 2 2 2

= + + =

= + + = +

b) S’observa que Q (x ) té la forma del quadrat d’una diferèn-cia: a b a b a b( )( ) 2 2+ − = − . Per tant:

R x x xx x x x

( ) ( 7) 16 ( 7) 4

[( 7) 4][( 7) 4] ( 11)( 3)

2 2 2= + − = + − =

= + + + − = + +

x

x

x

x

x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

13

1·

1

21

( 3) ( 1)

2 ( 1) ( 1)

2 ( 1) ( 3)

2 ( 1)

2 2 3

2 ( 1)

2 3

2 2

2

2 2

2

++

−

+= +

+ +

+ −=

=− + +

−=

− + +

−=

− +

−

— Desenvolupar la igualtat i resoldre el sistema:

A B x A B1 ( ) 3 2= + − −

A + B = 0

−3A − 2B = 1

⎫⎬⎭

A = −B3B − 2B = 1

⎫⎬⎭

B = 1; A = −1

— En la igualtat de polinomis 1 = A(x - 3) + B(x - 2), substi-tuir x en els dos membres per valors que simplifiquin l’expressió, en aquest cas els valors 2 i 3:

x = 2 S 1 = A(2 - 3); A = -1 x = 3 S 1 = B(3 - 2); B = 1

Així doncs:

x x x x

1

5 6

1

2

1

32 − +=

−

−+

−

5. s Calcula: 1

x+

1

x2 −1

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ·

x +1

2:

x

x −1

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Sol.: + −x x

x

1

2

2

2

6. s Descompon en fraccions més simples:

a) -

- -

x

x x

5 3

2 32 b)

+ +

+ +

x x

x x x

5 20 6

2

2

3 2

Sol.: a) +

+−x x

2

1

3

3; b) −

++

+( )x x x

6 1

1

9

1 2

OJO: HAY QUE REDUCIR DOS LÍNEAS EN EL PROBLEMA D

EN EL PROBLEMA C, HABIA LA TRADUCCION DEL AP. C) QUE YA NO ESTÁ

61

unitat 2. Polinomis i fraccions algèbriques EXERCICIS y PROBLEMES

1 POLINOMIS

7. a Justifica quines de les expressions següents són polinomis i quines no:

a) -x 52 d) -x x

3 5

2

b) +−x 22 e) + +x x2 22

c) -

x

x

3

7 f ) -z z72

8. a Calcula per a x = -3 el valor numèric dels següents polinomis: a) P( x ) = 2x 3 + 9x + 12; b) Q( x ) = -x 3 - 27.

Sol.: a) P(-3) = -15; b) Q(-3) = -54

9. s Assenyala el valor numèric dels polinomis següents per a x = -2 i x = 2 i les seves arrels.

a) -x 92 c) + +x x2 22

b) − +( )( )x x2 2 d) +x 12

Sol.: Valors: a) -5, -5; b) 0, 0; c) 2, 10; d) 5, 5; Arrels: a) 3, -3; b) 2, -2; c) -; d) -

10. s Explica amb les teves pròpies paraules què és una arrel d’un polinomi.

— Com podem trobar les arrels de = + +( ) ?P x ax bx c2

11. s Determina quin és el polinomi de tercer grau les ar-rels del qual són 1, –3 i 7 i que té 7 com a coeficient del terme de major grau.

Sol.: 7x 3 - 35x 2 - 119x + 147

12. d Calcula el polinomi P( x ) sabent que: a) és de tercer grau; b) s’anul·la per a x = 1; c) només té dos termes; d) P(2) = 28.

Sol.: = −( )P x x4 43 o = −( )P x x x7 73 2 o = −( )P x x x14

3

14

33

2 OPERACIONS AMB POLINOMIS

13. a Donats els polinomis: = + −( )P x x x3 72 y = −( )Q x x x2

= −( )Q x x x2 , comprova que es compleix:

a) La propietat commutativa de la suma.

b) La propietat associativa del producte.

14. a Donats els monomis: = −( )P x x2 2 y =( )Q x x6 2, calcu-la: a) P( x ) + Q( x ); b) P( x ) - Q( x ); c) P( x ) · Q( x ); d) 2P( x ).

Sol.: a) 4x 2; b) -8x 2; c) -12x 4; d) -4x 2

15. a Utilitzant la regla de Ruffini, troba el quocient i el residu de les divisions següents:

a) - -( ) : ( )x x8 23

b) + − +( ) : ( )x x x x3 2 23 2

c) − +( ) : ( )x x16 24

Sol.: a) C( x ) = x 2 + 2x + 4, R = 0; b) C( x ) = 3x 2 - 4x + 7, R = -14; c) C( x ) = c3 - 2c2 + 4c - 8, R = 0

16. s Determina a, b i c perquè es verifiqui:

− + + + + = − +( ) ( )x x c ax bx x x2 4 3 8 5 2 32 2 2

Sol.: a = 3, b = 2/3, c = -5

17. s Realitza les operacions següents amb polinomis:

a) + + − − −( ) ( )x x x x17 19 15 9 11 175 2 7

b) − − − + − −( ) ( )x x x x x x20 13 7 7 20 46 5 6 5 3 2

c) − − + +( ) · ( )x x x x2 11 10 4 62 3 2

d) - -· ( )x x5 6 32

e) + − + − +( ) ( ) · ( )x x x x6 10 17 10 10 4 2

f ) − + + + + + +( ) · ( ) ( )x x x x x11 6 11 16 9 14 8 122 2

Sol.: a) -9x7 + 17x 5 + 19x 2 + 11x + 32; b) 27x 6 - 20x 5 + 20x 3 + 4x 2; c) -22x 5 + 20x 4 - 8x 3 - 12x 2;

d) -30x 3 - 15x 2; e) -40x 2 - 31x; f ) -275x 3 - 114x 2 - 87x + 126

18. s Siguin els polinomis: = + +( ) –P x x x3 12 , = − +( )Q x x x3 43 2

= − +( )Q x x x3 43 2 i R( x ) = x 2 - 3x. Calcula: a) P( x ) + Q( x ); b) P( x ) · Q( x ); c) P( x ) + R( x ); d) P( x ) · R( x ).

Per realitzar els càlculs, pots utilitzar el Wolfram Alpha a: http://www.wolframalpha.com 1

Sol.: a) + +–x x x4 3 53 2 ; b) – – –x x x x x6 8 7 12 45 4 3 2+ + + ; c) 1; d) – – –x x x x6 8 34 3 2+

19. s Donats els polinomis: = + −( )P x x x3 72 , = −( )Q x x x2

= −( )Q x x x2 y = − −( )R x x2 2, efectua les operacions se-güents: a) P( x ) · Q( x ); b) P( x ) · R( x ); c) Q( x ) · R( x ); d) P( x ) · 2Q( x ) · 2xR( x ); e) P( x ) + 3Q( x ) + 3R( x ).

Sol.: a) 3x 4 - 2x 3 - 8x 2 + 7x; b) -6x 3 - 8x 2 + 12x + 14;

c) -2x 3 + 2x; d) -24x 6 - 8x 5 + 80x 4 + 8x 3 - 56x 2; e) 6x 2 - 8x - 13

20. s Determina el polinomi P( x ) de primer grau que com-pleix + + = + + −( ) · ( )x P x x x x x2 5 2 4 82 2 3 2 .

Sol.: P( x ) = 2x - 4

21. s Efectua les divisions polinòmiques següents:

a) (x 4 - 2x 3 - 11x 2 + 30x - 20) : (x 2 + 3x - 2)

b) − + − +( ) : ( )x x x x7 5 3 2 12 2

c) − + − −( ) : ( )x x x x x2 7 5 3 23 2 2

d) − + + − +( ) : ( )x x x x x5 2 4 13 2 2

Sol.: a) = + =( ) – , ( ) –C x x x R x x5 6 2 82 ; b) = =( ) , ( ) –C x R x x7 9 4;

c) = =( ) – , ( ) – –C x x R x x2 3 3; d) ( ) ( – ), ( ) –C x x R x x4 3 8= = +

22. s Comprova si x + 3 és un divisor de − − + +x x x x14 164 3 2

− − + +x x x x14 164 3 2 .

23. s Donats els polinomis = +( ) –P x x x6 3 123 i = + +( )Q x x x2 4 102

= + +( )Q x x x2 4 102 , calcula ( ) : ( )P x Q x1

3

1

2.

Sol.: C( x ) = 2x - 4, R( x ) = 19x - 24

62

bloque 1. aritmètica i àlgebra

24. s Divideix =( ) – – –P x x x x3 2 6 43 2 entre els polino-mis següents, i mostra’n el resultat en la forma Divisor · Quocient + Residu: a) x - 1; b) x -2; c) x - 3.

Sol.: a) + + −·( – ) ( – ) ( )x x x1 3 5 92 ; b) ·( – ) ( )x x x2 3 4 2 02 + + + ; c) ·( – ) ( )x x x3 3 7 15 412 + + +

25. s Calcula les operacions indicades i simplifica.

a) − + + − + + +( ) ( ) ( )x x x x x x x3 4 2 55 3 5 4 3

b) − − − + −( ) ( ) ( )x x x x8 5 3 3 3 52 2

c) − +( ) · ( )x x4 1 7 2

d) − +( ) · ( )x x6 5 6 5

e) + + +( ) · ( )x x x2 1 4 2 12

f ) + + −x x x x

x

15 30 12 9

3

4 3 2

— Amb l’ajuda de la calculadora d’operacions amb polino-mis que trobaràs a http://links.edebe.com/vspjim, realit-za novament les operacions anteriors. 1

Sol.: a) + +–x x x4 4 3 55 4 ; b) – –x x5 2 22 ; c) + –x x28 22 ; d) –x36 252 ;

e) +x8 13 ; f ) + + –x x x5 10 4 33 2

26. s Troba el quocient i el residu de les següents divisi-ons aplicant la regla de Ruffini:

a) − + − + + +( ) : ( )x x x x x x4 6 8 10 6 2 45 4 3 2

b) − + − −( ) : ( )x x x2 3 5 34 3

c) ( ) : ( )x x x4 35 2+ +

d) + − −( ) : ( )ax x a x a33

Sol.: a) = + + = −( ) – – ,C x x x x x R4 22 96 394 1582 63264 3 2 ; b) ( ) – – – – , –C x x x x R2 3 9 27 863 2= = ;

c) = + + =( ) – – , –C x x x x x R3 9 23 69 2074 3 2 ; d) = + + +( )C x ax a x a 32 2 3 , = +( )R x a a24

27. s Calcula el valor del paràmetre p, perquè la divisió − − +( ) : ( )x x p x2 5 33 tingui com a residu -30.

Sol.: p = -9

28. s Determina el valor del paràmetre m, perquè el poli-nomi P( x ) sigui divisible entre Q( x ).

a) = +( )P x x m4 , = −( )Q x x 1

b) = + + +( )P x x x x m6 43 2 , = +( )Q x x 1

Sol.: a) m = -1; b) m = 9

29. d Calcula i simplifica les operacions següents:

a) +( )x3 4 2 b) + −( ) – ( )s s3 32 2

Sol.: a) + +x x9 24 162 ; b) 12s

30. d Donats els polinomis = +( ) – –P x x x x3 2 94 2 ,

= − + −( )Q x x x1

22 , calcula ( ) – [ ( )]P x Q x 2 .

Sol.: 2x 3 - 3x 2 + x - 37/4

31. d Efectua les següents operacions amb polinomis:

a) [(x 3 - 2x 2) + (3x 2 - 3)] · (2x + 3)

b) [(x 3 - 2x 2) - (3x 2 - 3)] · (2x + 3)

c) [(3x 2 - 3) - (x 3 - 2x 2)] · (2x + 3)

— Tenint en compte les propietats de la suma, la resta i la multiplicació de polinomis, podries haver predit el resul-tat de l’apartat c), a partir dels resultats de l’apartat a) i el b)? Com?

Sol.: a) + + – –x x x x2 5 3 6 94 3 2 ; b) + +– –x x x x2 7 15 6 94 3 2 ; c) + +– – –x x x x2 7 15 6 94 3 2

32. d Troba un polinomi de primer grau que en dividir-lo per (x - a) tingui de residu R, i en dividir-lo per (x -2) doni exacte.

Sol.: x - 2

3 FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS

33. a Determina, sense fer la divisió, si el polinomi = + − −( )P x x x x5 4 1594 3 és divisible per = +( )Q x x 3.

Justifica la resposta.

34. a Troba un polinomi de grau 3 les arrels del qual si-guin 3, 3 i -5.

Sol.: x 3 - x 2 - 21x + 45

35. a Factoritza el polinomi P( x ) = 2x 3 - 6x 2 + 4x.

Sol.: 2x(x - 2)(x - 1)

36. a Factoritza el polinomi P( x ) = 9x 2 - 30x + 25.

Sol.: (3x - 5)2

37. s Utilitza el teorema del residu per a calcular el residu d’aquestes divisions: a) (x 11 - 2x 2) : (x - 1); b) (x 12 - 81) : : (x + 1); c) (x7 - 1) : (x - 1).

Sol.: a) -1; b) -80; c) 0

38. s Troba el residu de les següents divisions algèbri-ques, sense fer-les: a) (3x 2 - 5x + 1) : (x + 2); b) (x 25 - - 3x 2 - 4) : (x - 1); c) (x 10 - 1) : (x + 1).

Sol.: a) 23; b) -6; c) 0

39. s Calcula les arrels enteres dels polinomis següents de dues maneres diferents:

a) = + + +( )A x x x x2 9 12 43 2

b) = − −( )B x x x8 94 2

Sol.: a) x = -2, b) x = -3, x = +3

40. s Utilitzant la regla de Ruffini, esbrina si el polinomi = + − − −( )P x x x x x3 4 14 3 2 és múltiple de:

a) = +( )A x x 3 b) = +( )B x x 1

41. s Aplica el teorema del factor per a: a) comprovar si (x + 1) és un factor de: P( x ) = 3x 4 - 2x 2 + x; b) identificar els factors del polinomi P( x ) = x 3 - 3x 2 - 6x + 8, d’entre els següents: (x - 1), (x - 3), (x + 1), (x + 2).

42. s Troba el valor de m, sabent que (x + 2) és un factor del polinomi mx 3 - 3x 2 + 5x + 9m.

Sol.: m = 22

43. s Escriu un polinomi de grau 3 les arrels del qual siguin 1, 2 i 3, i el seu coeficient del terme de major grau és 4.

44. s Factoritza el polinomi x 3 + 2x 2 - 16x - 32.

Sol.: (x - 4)(x + 2)(x + 4)

63

unidad 2. Polinomis i fraccions algèbriques

45. s Factoritza els polinomis següents: a) (x + 1)2 - 4; b) x 3 - 1; c) x 2 + 5x + 6; d) x 3 - x 2 - 25x + 25.

Sol.: a) +( – )( )x x1 3 ; b) + + +( )( )x x x1 12 ; c) + +( )( )x x2 3 ; d) +( – )( – )( )x x x5 1 5

46. s Factoritza els següents polinomis: a) −2x 3 + 17x − 3; b) 4x 3 − 20x 2 + 25x − 3; c) x 4 − 5x 2 + 4.

Sol.: a) + +–( )( – )x x x3 2 6 12 ; b) +( – )( – )x x x3 4 8 12 ; c) + +( – )( – )( )( )x x x x2 1 1 2

47. s Factoritza els polinomis següents: a) 12x 2(x - 1) - - 4x(x - 1) - 5(x - 1); b) 6x 4 + 35x 2 - 6.

Sol.: a) ( )( )( )x x x1 2 1 6 5− + − ; b) ( )( )x x6 6 12 2+ −

48. s Factoritza els polinomis següents i escriu les seves arrels: a) -x3 123 ; b) − +x x x4 24 363 2 ; c) + +x x x24 3 2; d) -x x166 2 .

Sol.: a) ( – )x3 43 ; b) ( )x x4 3 2- ; c) ( )x x 12 2+ ; d) + +( – )( )( )x x x x2 2 42 2

49. s Factoritza els següents polinomis, traient factor c o m ú : a) − + −( ) ( )x x x2 3 5 3 ; b) + − +( ) ( )t s s7 9 6 9 ; c) + − +( ) ( )y y y5 1 4 12 2 .

Sol.: a) ( )( )x x3 2 5− + ; b) ( )( )s t9 7 6+ − ; c) ( )( )y y1 5 42 + −

50. d Raona quines de les afirmacions següents són cer-tes: 2

a) x 2 - 9 = (x - 3)2 per a qualsevol nombre real x.

b) El polinomi 4x 2 + 100 és una suma de quadrats, i, per tant, no pot ser factoritzat.

c) En treure factor comú en el polinomi 3xy3 + 9xy2 +

+ 21xy, el trinomi resultant no pot ser factoritzat.

4 FRACCIONS ALGÈBRIQUES

51. a Proposa una fracció equivalent a la fracció:

−

+

x

x

2 1

4 32

52. a Simplifica la fracció algebraica següent:

− +

+ −

( )( )

( )( )

x x

x x x

2 3 3

4 3 1Sol.:

-

-( )

x

x x

3

2 1

53. s Comprova si els següents parells de fraccions algè-briques són equivalents:

a) -

-

x

x

4

3 12i 1

2

b) +x x

x2

2

i x

2

c) -

x

x x2i

-x

2

2 2

54. s Completa les equivalències següents:

a) +

− −=

−

...

x

x x

x1

2 3

2 42

b) − −

− +=

−

...x x

x x x

2

6 8 4

2

2

Sol.: a) − +x x2 10 122 ; b) +x 1

55. s Calcula el MCD i el MCM dels polinomis = − − +( )A x x x x2 23 2

= − − +( )A x x x x2 23 2 i = + − − −( )B x x x x x2 3 8 44 3 2 .

Sol.: = − + −M.C.D.[ ( ), ( )] ( )( )( )A x B x x x x1 1 2 , = + + −m.c.m.[ ( ), ( )] ( ) ( )( )A x B x x x x1 2 22

56. s Simplifica les següents fraccions algèbriques:

a) −

+ +

x

x x

9

6 9

2

2

b) -

-

x

x

2

42

c) + −

+

x x

x

25 10

25

2

2

Sol.: a) −

+

x

x

3

3; b)

−

+x

1

2; c) −

+

x

x1

10

252

57. s Expressa les fraccions següents en la seva forma més simple:

a) + + −

−

( ) ( )x x

x

3 2 5 4

4 7 c)

+

+

x

x

2

3 6

b) +x2 4

12 d)

+x x

x

5 25

100

2

3

Sol.: a) 2; b) +x 2

6; c)

1

3; d)

+x

x

5

20 2

58. s Factoritza mentalment el numerador i denominador de les següents fraccions algèbriques i després simplifi-ca-les si és possible.

a) -

-

x x

x3 3

2

c) − +

−

x x

x

4 4

4

2

2

b) +

−

( )x

x

2

4

2

2 d)

-

x

x x

2

2

Sol.: a) x/3; b) +

−

x

x

2

2; c)

−

+

x

x

2

2; d)

-

x

x 1

5 OPERACIONS AMB FRACCIONS ALGÈBRIQUES

59. a Redueix a comú denominador -

-x

1

12 2i

-( )

x

x 1 2.

Sol.: − −

+ −

( )

( )( )

x

x x

1 1

1 1 2,

+

+ −

( )

( )( )

x x

x x

1

1 1 2

60. s Redueix a comú denominador i simplifica les fracci-ons algèbriques següents:

a) −

++

−−

−

x

x

x

x x x

2 2 1

12 2 2

b) + −

−+

−−

+

x

x x x

x

x

2

2

5

2

4

3 62

— Efectua les operacions amb fraccions algèbriques de l’exercici anterior, utilitzant, en línia, el programa Derive o un altre de similar. 1

Sol.: a) + +

−( )

x x

x x

2 2

1

3

2 2; b) −

+ −

− +( )( )

x x

x x

4 11

3 1 2

2

61. s Realitza les operacions següents i simplifica:

a) −−

+−

xx

x

x

x3

3 2 1

2

2

2 b) + +

− +

−( )x

x x

x1

3 1

1

2

Sol.: a) +x

x

5 1

2 2; b)

-

-

( )x x

x

2 3

1

64

x + 6

x – 3

x


62. s Calcula i expressa en la seva forma més simple:

−⋅

+

− +

m

n

n n

m m

1 3

7 6

2

2

Sol.: +

−

n

m

3

6

63. s Calcula i simplifica les fraccions algèbriques següents:

a) :x x2

5

4

10

2

b) - -

:x x4 8

6

2

3

c) + +

−

+:

x x

x

x4 4

7

3 6

5

2

Sol.: a) x; b) 2; c) +

−

( )

( )

x

x

5 2

3 7

64. s Calcula:

a) +

+⋅

+

−

x

x

x x

x

2

1 4

2

2 b)

+

−

+

−:

x x

x

x

x

2

1

2 1

3 4

2

2 2

Sol.: a) -

x

x 2; b)

+

+ −

( )

( )

x

x x x

3 1

2 123 2

65. s Realitza les operacions amb fraccions algèbriques següents:

a) - -

-·

x x

x

x

x

2 8

3

6

3 12

2

2

b) −

⋅−

x

x

x

x

3 15

6

2

252 2

c) - -

-

-:

x x

x

x

x

6

2 6

4

4

2 2

2

Sol.: a) +( )x

x

2 2

3; b)

+( )x x

1

5; c)

-

x

x

8

2

2

66. s Multiplica i divideix les fraccions algèbriques se-güents:

a) -

-·

x

x

x4

2

4

12

2 2

b) + +

:z z

z

z3

6

5 15

4

2

2

c) + + +

:x x x13 26

39

3 2

2

2

Sol.: a) +( )x x

1

3 22; b)

z

2

15; c)

+( )x

2

3 1

67. s Calcula i simplifica:

a) x +4x −1

x − 4

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ·

2

x −1

b) 1

x2 − 4+

1

x − 2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ : 1+

2

x − 2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

c) 1

x+

2

x2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ·

3x2

x + 2

Sol.: a) +

−

( )x

x

2 1

4; b)

+

+( )

x

x x

3

2; c) 3

68. s Escriu la fracció següent com a suma de fraccions

més simples −

+ −

x

x x

4 1

3 102.

Sol.: −

++x x

1

2

3

5

69. s Descompon les següents fraccions algèbriques en fraccions més simples: 2

a) − + −

− +

x x x

x x

2 5 1

2

3 2

2 b)

+

+

x x

x

3

4

2

Sol.: a) − ++

− +x

x

x x1

2 1

22; b) −

+x

x

x 4

Síntesi

70. s Donat = +( ) – –Q x x px x3 6 83 2 : 2

a) Sabent que 4 és una arrel del polinomi, troba p i els factors de Q( x ).

b) Expressa les arrels del polinomi donat.

c) Calcula el seu valor numèric per a x = -1 i x = 5.

Sol.: a) p = 11, (x - 4), (x + 1) i (3x - 2); b) arrels: 4, -1 i 2/3; c) Q(-1) = 0, Q(5) = 78

71. s Efectua les operacions següents amb fraccions algè-briques:

a) 4 −1

2x −1 ·

2

x−

1

x2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

b) 1−x −1

x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ·

x2

x + 3−1

c) 1

x−

1

x + 3

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ :

3

x2

— Calcula el MCD i el MCM dels denominadors dels resul-tats.

Sol.: a) -x

x

4 12

2; b) −

+x

3

3; c)

+( )x x

1

33

72. d Expressa l’àrea A( x ) i el volum V( x ) d’aquesta caixa usant polinomis: 2

— Calcula V( x ) + A( x ), V( x ) - A( x ), V( x ) · A( x ), V( x ) : A( x ).

— Determina quines són les arrels de V( x ).

Sol.: A( x ) = 6x 2 +12x -36, V( x ) = x 3 + 3x 2 - 18x; V( x ) + A( x ) = x 3 + 9x 2 - 6x - 36,

V( x ) - A( x ) = x 3 - 3x 2 - 30x + 36, V( x ) · A( x ) = 6x 5 + 30x 4 - 108x 3 - 324x 2 + 648x,

V( x ) = A(x ) · (x/6 + 1/6) - 14x + 6; arrels: 0, 3, -6

#2

65

Teorema del resto: El resto R(x) de la división de un polinomio P(x) entre (x – a) es igual al valor numérico de dicho polinomio para x = a; P(a) = R(x).

1. Polinomios

2. Factorización de polinomios

3. Fracciones algebraicas

Síntesis1. Polinomis

2. Operacions amb polinomis

3. Factorització de polinomis


5. Operacions amb fraccions algèbriques

Síntesi

#2

65

Polinomis

Operacions amb polinomis

Un polinomi en la indeterminada x és una expressió algebraica del tipus:

11

1 0P x a x a x a x a( ) nn

nn= + +…+ +−−

Factorització de polinomis

Suma

Resta

Multiplicació

Divisió

Regla de Ruffini

El valor numérico d’un polinomi P(x) per a un valor donat x = a, P(a), és el nombre real que s’obté substituint la variable x pel seu valor a i operant el polinomi.

Les arrels d’un polinomi són els valors de la variable indeterminada que fan que el seu valor numèric sigui 0.

Propietats de la suma: associativa, commutativa, element neutre, element oposat.

Propietats de la multiplicació: associativa, commutativa, element neutre, distributiva de la multiplicació respecte de la suma.

Teorema del factor: Un polinomi P(x) és divisible per (x – a) si i només si el valor numèric d’aquest polinomi per a x = a és 0.

Factorització Mètodes: treure factor comú, identificar les igualtats notables, determinar les arrels senceres (Ruffini, teoremes del residu i del factor), calcular les arrels resolent l’equació.

Teorema del residu: El residu R(x) de la divisió d’un polinomi P(x) entre (x – a) és igual al valor numèric d’aquest polinomi per ax = a; P(a) = R(x).

Fraccions algebraiques

Operacions amb fraccions algebraiques

Suma, resta, multiplicació, divisió.

Descomposició en fraccions simples.

El màxim comú divisor (MCD) de dos o més polinomis és el polinomi de major grau que és di-visor de tots ells.

El mínim comú múltiple (MCM) de dos o més polinomis és el polinomi de menor grau que és múltiple de tots ells.

Simplificar una fracció algebraica és transformar-la en una altra de més senzilla i equivalent.

S’anomena fracció algebraica irreductible aquella en què entre numerador i denominador no hi ha més factors comuns que la unitat.

S’anomena fracció algebraica al quocient de dos polinomis amb coeficients reals P(x) i Q(x) de la forma:

P( x )

Q( x )amb Q( x ) ≠ 0

Dues fraccions algebraiques són equivalents si es compleix que:

P x

Q x

R x

S xP x S x R x Q x

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )3= ⋅ = ⋅

66

#2

x x

x

x

AVALUACIÓPOLINOMIS I fRACCIONS ALGèbRIqUES

66

AVALUACIÓ #2POLINOMIS I fRACCIONS ALGèbRIqUES

b) Quan hi haurà més turistes, a la primera setma-na o a la penúltima?

c) El nombre de turistes creix ràpidament entre les setmanes 7 i 10. Utilitza el teorema del resi-du per a determinar la setmana de màxima afluència a l’illa.

5 Assenyala quina estratègia utilitzaries per a facto-ritzar cadascun dels polinomis següents; després, factoritza’ls:

a) x x3 42 - - d) x x x2 5 2 53 2− − +

b) b b24 4 82 - - e) x 16 -

c) m m100 202 + − f) t t6 6 122 + +

Sol.: a) (x - 4)(x + 1); b) 24(x - 2/3)(x + 1/2); c) (x - 10)2; d) 2(x - 1)(x + 1)(x - 5/2);

e) (x + 1)(x 2 - x + 1)(x - 1)(x 2 + x + 1); f) 6t2 + 6t + 12

6 En Joan ha factoritzat un polinomi com a a b x y( )( ),- - mentre que en Pau ha factoritzat el

mateix polinomi i ha obtingut com a solució b a y x( )( )- - . Poden ser les dues solucions co-rrectes? Justifica la resposta.

7 En l’exercici següent, et proposem un polinomi i una de les seves arrels. Factoritza’ls completament i di-gues el seu valor numèric per a l’arrel:

a) P x x x( ) 5 2 242= − + + , x = -2

b) Q x x x x( ) 7 7 153 2= − + + , x = 3

c) R x x x x x( ) 2 12 18 274 3 2= + − − + , x = -3

d) S x x x x x( ) 4 6 4 54 3 2= + − − + , x = 1

e) T x x x x( ) 2 11 303 2= + − − , x = 3/2

Sol.: a) P (x ) = -5(x + 2)(x - 12/5); b) Q (x ) = (x - 3)(x - 5)(x + 1); c) R (x ) = (x - 1)(x - 3)(x + 3)2; d) S (x ) = (x - 1)2(x + 1)(x + 5);

e) T (x ) = 2(x - 3/2)(x + 2)(x + 5)

8 L’empresa en la qual treballes, MVM Music SL, està desenvolupant un nou lector d’MP3. Els teus estudis de mercat han determinat que per a x uni-tats venudes, els beneficis es calculen mitjançant el polinomi B x x x( ) 280 0, 4 2= − euros. El presi-dent de l’empresa et demana que li aclareixis la fórmula. Troba una nova expressió per als benefi-cis, en la qual la x no tingui exponents.

9 Resol:

x − 1

x + 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ :

2x − 1

x 2 + 2x + 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Sol.: x

x

1

2 1

2 -

-

1 Calcula les següents operacions amb polinomis:

a) [(3x 3 - 2x 2 + 5x - 15) + (2x 3 + 3x 2 + 12x - 3)] · · (x 2 + 3)

b) (x 3 + x )(x - 7) + (5x - 15) + (2x 3 + 3x 2 + 12x - 3) · · (x 2 + 3)

Sol.: a) x x x x x5 32 – 15 51 – 545 4 3 2+ + + ; b) x x x x x5 ( – 10 22 – 10 21)4 3 2+ +

2 Justifica si són correctes aquestes afirmacions:

a) Si es divideix x x x2 4 2 13 2+ − − entre x 2- , el residu és 3.

b) El binomi x + 1 és un factor de x x x4 3 24 3− − +x x x4 3 24 3− − + .

c) Si es divideix x x x x2 7 6 14 204 3 2− + − + en-tre x - 3, el residu és -5.

d) El binomio x + 2 es un factor de x x5 7 123 2+ + .

3 Un dels clients d’Indústries del Cartró SL ha dema-nat una caixa de cartró sense tapa. La caixa es cons-trueix tallant els quadrats dels cantons d’un full de cartró que mesura un total de 24 18× cm, i aixecant els laterals. El volum de la caixa ve donat per la fór-mula V x x x x( ) 4 84 4323 2= − + , on x representa la mesura del quadrat tallat.

Utilitza la divisió polinòmica i el teorema del residu per a calcular si un volum de 640 cm3 correspon a quadrats de cantons de 2, 3, 4 o 5 cm, i indica les dimensions de la caixa per a aquest volum.

Sol.: x = 4 cm, 16 × 10 × 4 (en cm)

4 Durant les 12 setmanes dels mesos d’estiu, el nombre de turistes que arriben a l’illa de Tavira es pot modelar seguint la següent funció polinòmica N x x x x x( ) 0,1 2 14 52 54 3 2= − + − + + , on N(x ) és el nombre (en milers) de turistes durant la setmana x. Respon:

a) Quan hi haurà més turistes a l’illa de Tavira, a la setmana 5 (x = 5) o a la setmana 10?

67

OJO: la abreviacion ud. creo que no es correcta

POLINOMIs I FRACCIONs ALGèBRIqUEsUD. 2ZONAZONA

El pare de la computacióCharles Babbage (1791-1871) va ser un matemàtic britànic que és considerat el pare de la computació pel seu afany d’inventar màquines de calcular. Entre elles destaca la màquina diferencial (1822), la funció de la qual havia de ser la

tabulació de polinomis usando usant el mètode numèric de les diferències. Tot i que la va comen-çar a construir mai no va aconse-guir acabar-la a causa de diverses dificultats tècniques; no obstant això, el 1991 el Museu de Ciències de Londres en va construir una rèplica basant-se en el projecte de Babbage i utilitzant la tecnologia d’aquella època. La màquina va funcionar sense cap problema...

EL CÀLCUL DE L’IPCEl IPC (índex de preus de consum) indica la variació dels preus de diversos articles i serveis entre dos períodes de temps. A Espanya es calcula mitjançant la fórmula de Laspeyres, de la qual forma part un determinat polinomi amb coeficients per-centuals.

GaussianosEn aquest blog trobaràs un interessant article http://links.edebe.com/ur, en el qual es parla de polinomis generadors de nombres primers.

Per a què serveixen els polinomis a la vida real?Per a resoldre equacions, per a extreure arrels, per a operar alge-braicament... Només per a això?

A més de totes les aplicacions estrictament matemàtiques ja conegudes, els polinomis són útils en diversos camps de la ciència: telecomunicacions, biologia i medici-na, realitzar pronòstics en economia i meteorologia, etc.

Per exemple, en pediatria solen utilitzar-se fórmules en forma de fraccions algèbriques per a deduir la dosi de medicació que ha de prendre un menor, prenent com a referència la d’un adult. Per a menors d’entre 2 i 12 anys se sol utilitzar la fórmula de Young:

Nx y

y 12,=

+

on N és la fracció resultant, x és la dosi estàndard per a un adult i y és l’edat del menor.

BLOG

SOCIETY

SOCIETY

CRITICAL SENSE

− Descriu-ne alguns tenint en comp-te, en cada cas, les seves limitaci-ons.

− Cerca a la xarxa algunes aplicaci-ons concretes dels polinomis en els camps abans esmentats.

− Formeu grups de tres components i distribuïu els rols i les tasques amb la fina-litat d’investigar què és l’IPC.

− Busqueu informació en diferents fonts per esbrinar quin tipus d’articles i ser-veis s’utilitzen per a calcular l’IPC a Espanya i d’on s’obtenen aquestes dades.

− Creus que és ajustada la distribució percentual d’aquests articles i serveis si es té en compte l’ús real que es fa de cadascun d’ells?

− Feu un càlcul simplificat de l’IPC al vostre barri o població. Per a això, definiu un cistell de con-sum tipus i en el supermercat més proper determineu l’evolució setmanal del preu del vostre cis-tell durant un parell mesos. Com-pareu el resultat obtingut amb la variació real de l’IPC en el mateix període.

− Exposeu a classe el mètode que heu seguit i les vostres conclusions.

j2 - edebe.com · c> La densitat de població es pot modelar mitjan-çant la fórmula: 3 Dx ax xb =...

Documents

Transcript of j2 - edebe.com · c> La densitat de població es pot modelar mitjan-çant la fórmula: 3 Dx ax xb =...