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Relatividad y Cosmología

José Antonio Pastor González

Universidad de CórdobaMiércoles 28 de noviembre de 2012

Relatividad especial:la geometría de un espacio-tiempo llano

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Primeras IdeasIdeas razonables

Hasta Einstein se asumía que:

1 el tiempo físico es absoluto2 el espacio físico es absoluto

La radical – de raíz – propuesta de Einstein implicaque estos dos conceptos son relativos: están enrelación con el sujeto que los mide + experimenta +observa

Primeras IdeasConsecuencias que tendrá la teoría especial

1 la duración de una película depende de quién la estáobservando

2 la longitud – así como áreas, ángulos y volúmenes – deuna mesa dependen del observador

3 Importante: distinguir entre observar y ver. Ver implicavelocidad de la luz. Observar es lo correcto

4 Importante 2: definiremos más adelante qué es unamedición y cómo se mide el tiempo y el espacio

Primeras IdeasÁmbito inercial: sin campos

es en este ámbito donde se desarrolla la teoría de laRelatividad especial de Einsteinse ocupa de un ambiente ideal: aquél en el que no haycampos o, en caso de haberlos, su acción se encuentraequilibrada por otra fuerza1

1estación espacial: gravedad vs fuerza centrífuga; mesa de billar:gravedad vs tapete... hablar de inexactitud porque el equilibrio no es perfecto

Primeras IdeasÁmbito inercial: sin campos

es en este ámbito donde se desarrolla la teoría de laRelatividad especial de Einsteinse ocupa de un ambiente ideal: aquél en el que no haycampos o, en caso de haberlos, su acción se encuentraequilibrada por otra fuerza1

1estación espacial: gravedad vs fuerza centrífuga; mesa de billar:gravedad vs tapete... hablar de inexactitud porque el equilibrio no es perfecto

Primeras IdeasSeguimos viendo cosas curiosas...

Primera Ley de Newton: un objeto libre se mueveen movimiento rectilíneo y uniforme

Seamos puntillosos:1 tenemos claro el significado de libre: objeto no afectado

por ninguna fuerza. Admitimos este concepto con totalnaturalidad, aunque nunca hayamos experimentado esalibertad. Es una abstracción – abstraeremos muy amenudo en este curso

2 pero... ¿qué significa rectilíneo y uniforme? Vosotrosme diréis...

Primeras IdeasSeguimos viendo cosas curiosas...

Primera Ley de Newton: un objeto libre se mueveen movimiento rectilíneo y uniforme

Seamos puntillosos:1 tenemos claro el significado de libre: objeto no afectado

por ninguna fuerza. Admitimos este concepto con totalnaturalidad, aunque nunca hayamos experimentado esalibertad. Es una abstracción – abstraeremos muy amenudo en este curso

2 pero... ¿qué significa rectilíneo y uniforme? Vosotrosme diréis...

Primeras IdeasLa geometría del espacio es euclídea

cuando hablamos de recta no tenemos una definiciónprecisa.esto es porque no hay tal definición: una recta es unobjeto que consideramos como dado, es un elemento másde la geometría euclídeaincluso si pensamos en términos de coordenadas, ladiscusión carece de sentido.

Primeras IdeasLa dinámica de Newton

se formula para el ámbito de lo inercial, esto es, paraaquellos sistemas de referenciaen los que las partículaslibres siguen trayectorias rectilíneastodos estos sistemas se mueven a velocidades uniformesunos de otros: constituyen una clase de equivalenciapero Newton fue más lejos y sin ninguna necesidad (puessus leyes funcionaban igual de bien en todos ellos)propuso que en esta clase infinita de sistemas, había unoespecial: el espacio absolutoel espacio absoluto se supone que interactúa con cadaobjeto para resistir su aceleración, como si de una mallainvisible que entorpece los cambios de velocidad

Primeras IdeasEl espacio absoluto como estándar de no aceleración

el espacio absoluto se identificaba en tiempos de Newtoncon el centro de masas del sistema solar. Más tarde con elframe2 de las estrellas fijas. Mucho más tarde con elcentro de masas de la galaxia...El espacio absoluto aparece como algo ad hoc, esinnecesario para la teoría de Newton y puede estarmotivado por temas extra-científicos. Otra motivaciónpuede venir del hecho de que la aceleración sí esabsoluta. Esta aceleración es la misma para todos lossistemas pero Newton quiere responder a la pregunta:¿aceleración con respecto a qué?Su respuesta es: con respecto al espacio absoluto (==>def. masa inercial)

2sistema de referencia

Primeras IdeasEl espacio absoluto como medio de propagación

Consolidación del espacio absoluto: las ecuaciones deMaxwell. Éstas necesitan estar referidas respecto de unframe y Maxwell toma el espacio absoluto de NewtonMaxwell refuerza así la idea del espacio absoluto yapuntala la idea del éter como medio de propagación parala luz: el espacio absoluto está relleno de éter, es algoquieto, absoluto, inmutable...

Primeras IdeasEl espacio absoluto como medio de propagación

Consolidación del espacio absoluto: las ecuaciones deMaxwell. Éstas necesitan estar referidas respecto de unframe y Maxwell toma el espacio absoluto de NewtonMaxwell refuerza así la idea del espacio absoluto yapuntala la idea del éter como medio de propagación parala luz: el espacio absoluto está relleno de éter, es algoquieto, absoluto, inmutable...

Primeras IdeasLa búsqueda del éter de Maxwell

Los físicos no se conforman con poco, sobre todo losexperimentales. Una vez postulada la existencia del éter,se trataba de confirmarla con experimentos:Michelson-MorleyEl resultado sorprendente condujo a muchas reaccionespara salvar el status-quo: hipótesis de arrastre del éter(desmontada por la aberración), teorías de emisión(desmontada por observaciones astronómicas), velocidadde la luz invariante (desechada porque contradiceprincipios clásicos), contracción de Lorentz-Fitzgerald(desechada en el experimento de Kennedy-Thorndike de1932)

Primeras IdeasLa búsqueda del éter de Maxwell

Los físicos no se conforman con poco, sobre todo losexperimentales. Una vez postulada la existencia del éter,se trataba de confirmarla con experimentos:Michelson-MorleyEl resultado sorprendente condujo a muchas reaccionespara salvar el status-quo: hipótesis de arrastre del éter(desmontada por la aberración), teorías de emisión(desmontada por observaciones astronómicas), velocidadde la luz invariante (desechada porque contradiceprincipios clásicos), contracción de Lorentz-Fitzgerald(desechada en el experimento de Kennedy-Thorndike de1932)

Primeras IdeasIrrupción de Einstein

Einstein adopta el camino más recio, drástico y radical:extiende el principio de relatividad de Galileo a todos losfenómenos de la física, incluyendo los electromagnéticos.Más aún: adopta como postulado que la velocidad de laluz es un invariante en todos los sistemas de referenciainercialesLa teoría (especial) de Einstein se muestra consistentecon los resultados experimentales y lo más impresionante:es Maxwell-invariante3

3las ecuaciones de Maxwell son válidas para cualquier sistema dereferencia inercial

Primeras IdeasEinstein y Maxwell

Einstein se inventa su teoría inspirado por Maxwell: no seinspira en Michelson-MorleyEn su artículo sobre la electrodinámica de los cuerpos enmovimiento desarrolla por completo la teoría especial de larelatividad (1905) y explica unas nuevas reglas detransformación para los sistemas inerciales(transformaciones de Lorentz) que sustituyen a las deGalileo

Primeras IdeasEinstein y Maxwell

Einstein se inventa su teoría inspirado por Maxwell: no seinspira en Michelson-MorleyEn su artículo sobre la electrodinámica de los cuerpos enmovimiento desarrolla por completo la teoría especial de larelatividad (1905) y explica unas nuevas reglas detransformación para los sistemas inerciales(transformaciones de Lorentz) que sustituyen a las deGalileo

Primeras IdeasOrígenes de la Relatividad General

Aunque la relatividad especial supone la abolición delconcepto de éter (del espacio absoluto en su rolMaxwelliano) no prescinde del espacio absoluto comoestándar de no-aceleraciónEinstein se pregunta por qué los sistemas inercialesson la clase privilegiada en la naturaleza comoestándares de no-aceleración

Primeras IdeasOrígenes de la Relatividad General

Aunque la relatividad especial supone la abolición delconcepto de éter (del espacio absoluto en su rolMaxwelliano) no prescinde del espacio absoluto comoestándar de no-aceleraciónEinstein se pregunta por qué los sistemas inercialesson la clase privilegiada en la naturaleza comoestándares de no-aceleración

Primeras IdeasEl Principio de Mach

La paradoja del cubo de Mach como primera idea paraeliminar el espacio absoluto.Mach afirma: no importa si pensamos que es el cubo elque está rotando y el universo quieto o viceversa, las leyesde la física deben ser formuladas para que ambassuposiciones sean equivalentesDel principio de Mach al principio de equivalencia y de ahía la Relatividad General

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Hechos que sabemosEl espacio absoluto como...

1 ... el sistema inercial más especial dentro de la claseinfinita de sistemas inerciales donde tienen su validez lasleyes de la mecánica (visión de Newton: artificial, ad hoc,estética, indemostrable, adaptada a las sucesivasampliaciones del Universo)

2 ... el sistema inercial en el que tienen su validez lasecuaciones de Maxwell, sistema que soporta el éter,medio de propagación de las ondas electromagnéticas engeneral y la luz en particular (visión de Maxwell,consistente con lo previo, demostrable...)

Hechos que sabemosEl espacio absoluto como...

1 ... el sistema inercial más especial dentro de la claseinfinita de sistemas inerciales donde tienen su validez lasleyes de la mecánica (visión de Newton: artificial, ad hoc,estética, indemostrable, adaptada a las sucesivasampliaciones del Universo)

2 ... el sistema inercial en el que tienen su validez lasecuaciones de Maxwell, sistema que soporta el éter,medio de propagación de las ondas electromagnéticas engeneral y la luz en particular (visión de Maxwell,consistente con lo previo, demostrable...)

Pero... ¿qué es el éter?Es algo raro, raro, raro...

Figura: Un rayo de luz viaja a través del éter

Propiedades del éter

1 rodea (inunda, afecta) a todo, incluso el vacío (¡vayaparadoja!)

2 es muy ligero y tenue (para no oponer resistencia algunaal movimiento)

3 es un medio incompresible (para que la velocidad de la luzsea alta)

La Tierra viaja a través del éter(pues es un sistema no inercial)

Figura: El "viento de éter"

El experimento de Michelson-Morley(viento de cara, viento a favor)

1 si la luz se mueve a velocidad constante con respecto aléter

2 y si nosotros nos movemos también con respecto al éter, yademás nuestro movimiento no es uniforme (si fueseuniforme, sería complicado detectar algo...)

3 pues entonces pues entonces podemos experimentarcomo varía el viento de éter

El experimento de Michelson-Morley(una analogía camionera)

Figura: Autovía=éter. Camión=luz. Coches=nosotros.

El experimento de Michelson-MorleyExplicación del aparato

Figura: Esquema del aparato

El experimento de Michelson-MorleyAnalogía del piragüista: viaje longitudinal

Figura:

El experimento de Michelson-MorleyAnalogía del piragüista: viaje transversal

Figura:

Primeras consecuencias

1 en ambos viajes el los tiempos t1 y t2 son mayores que siP rema en aguas tranquilas, esto es porque

2c< t1 y

2c< t2

2 además, el viaje longitudinal ocupa más tiempo que eltransversal ya que

= (1− v2

c2 )−12 > 1

Primeras consecuencias

1 en ambos viajes el los tiempos t1 y t2 son mayores que siP rema en aguas tranquilas, esto es porque

2c< t1 y

2c< t2

2 además, el viaje longitudinal ocupa más tiempo que eltransversal ya que

= (1− v2

c2 )−12 > 1

Establecemos la analogía

c es la velocidad de la luz con respecto al éterv es la velocidad de la tierra con respecto al éter(v ∼ 30000km/sec)el piragüista es un rayo de luz

El experimento en síBrazos desiguales, desplazamiento respecto al éter

El experimento en síCuentas sencillas

tiempo para el viaje longitudinal (brazo 1) es

t1 =2L1

c(1− v2

c2 )−1

tiempo para el viaje transversal (brazo 2) es

t2 =2L2

c(1− v2

c2 )− 1

tiempo para el viaje longitudinal (brazo 1) es

t1 =2L1

c(1− v2

c2 )−1

tiempo para el viaje transversal (brazo 2) es

t2 =2L2

c(1− v2

c2 )− 1

Usamos Taylor para aproximar

(1 + x)m = 1−mx +m(m − 1)

2x2 + · · ·

y nos quedamos hasta el primer orden ya que si x = v/centonces x2 ∼ 10−8, así pues tomamos

(1 + x)m ∼ 1−mx

Como los tiempos son distintos.....la onda llega con interferencias

El patrón de interferencias que se observa está directamenterelacionado con la diferencia de tiempos que está dada por

δt = t1 − t2 =2c

[(L1 − L2)(1 +

2c2 ) +L1v2

]Hay dos contribuciones al desfase:

la velocidad vla diferencia de longitudes de los brazos L1 − L2

el problema es que no sabemos discriminar entre ambas

δt = t1 − t2 =2c

[(L1 − L2)(1 +

2c2 ) +L1v2

δt = t1 − t2 =2c

[(L1 − L2)(1 +

2c2 ) +L1v2

¿Cómo saber de dónde proviene el desfase?Intercambiando los roles de los brazos

Si hacemos una rotación de la máquina entoncesintercambiamos los roles de los brazos: el que era longitudinalahora pasa a ser transversal y viceversa. Se produce de nuevoun desfase δt ′, pero lo más importante es que ahora

δt − δt ′ = v2

(L1 + L2

)Por tanto, la diferencia entre los patrones de interferencia seobtiene únicamente si v 6= 0.

¡¡PERO LOS PATRONES ERAN IDÉNTICOS!!SORPRESA DE LA COMUNIDAD CIENTÍFICA

Sorpresa, porque no se podía detectar el viento del étermediante una máquina que era muy precisa y que, en teoría ysi las cosas eran como se suponían que eran, debía funcionar.Las reacciones no se hacen esperar.

Reacción 1Velocidad de la luz es un invariante

La velocidad de la luz siempre es la misma en cualquiersistema de referencia inercial (éste será uno de los postuladosde Einstein unos 20 años más tarde). Se desecha porque

ningún tipo de movimiento ondulatorio se comporta asícontradice el principio de adición de velocidades de ladinámica de Newton

Reacción 1Velocidad de la luz es un invariante

La velocidad de la luz siempre es la misma en cualquiersistema de referencia inercial (éste será uno de los postuladosde Einstein unos 20 años más tarde). Se desecha porque

ningún tipo de movimiento ondulatorio se comporta asícontradice el principio de adición de velocidades de ladinámica de Newton

Reacción 2Arrastre del éter

se basa en la hipótesis de que la Tierra, al viajar a travésdel éter, arrastra una fina capa de éste sobre su superficiede suerte que la Tierra y esta capa superficial de éter sonsolidarias: no se detecta ningún viento entoncesla hipótesis es rápidamente desechada por el conocidofenómeno de la aberración estelar (explicamos aquí comoçazar la luz de una estrella")

Reacción 2Arrastre del éter

se basa en la hipótesis de que la Tierra, al viajar a travésdel éter, arrastra una fina capa de éste sobre su superficiede suerte que la Tierra y esta capa superficial de éter sonsolidarias: no se detecta ningún viento entoncesla hipótesis es rápidamente desechada por el conocidofenómeno de la aberración estelar (explicamos aquí comoçazar la luz de una estrella")

Reacción 3Teorías de emisión

se basa en la hipótesis de que la velocidad de la luzdepende de la fuentees descartada por observaciones astronómicas

Reacción 3Teorías de emisión

se basa en la hipótesis de que la velocidad de la luzdepende de la fuentees descartada por observaciones astronómicas

Reacción 4Contracción de Lorentz-Fitzgerald

propuesta independientemente por ambos en 1892,propone que los objetos en movimiento a través del étersufren una contracción espacial – en la misma direccióndel movimiento – dada por el factor

(1− v2

c2 )12

explicaba las observaciones de Michelson-Morley y semantuvo en vilo hasta el experimento deKennedy-Thorndike de 1932 cuando fue refutada

Reacción 4Contracción de Lorentz-Fitzgerald

propuesta independientemente por ambos en 1892,propone que los objetos en movimiento a través del étersufren una contracción espacial – en la misma direccióndel movimiento – dada por el factor

(1− v2

c2 )12

explicaba las observaciones de Michelson-Morley y semantuvo en vilo hasta el experimento deKennedy-Thorndike de 1932 cuando fue refutada

Reacción 5 y última:El experimento de Michelson-Morley era incorrecto

errores en las medidas, vibraciones, algún fenómenoextraño, etc...el experimento se repitió infinidad de veces, se refinaronlas medidas y se mejoró el aparato... jamás se observóuna diferencia de patrones en las interferencias

Reacción 5 y última:El experimento de Michelson-Morley era incorrecto

errores en las medidas, vibraciones, algún fenómenoextraño, etc...el experimento se repitió infinidad de veces, se refinaronlas medidas y se mejoró el aparato... jamás se observóuna diferencia de patrones en las interferencias

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

El artículo de 1905

[las asimetrías del electromagnetismo...] junto con losintentos frustrados de descubrir el movimiento de laTierra con respecto al éter sugieren que losfenómenos del electromagnetismo así como losrelativos a la mecánica no poseen propiedades quenos permitan distinguir un estado de reposoabsoluto. De hecho, estas situaciones sugieren quelas mismas leyes del electromagnetismo, de la ópticay de la mecánica deben ser válidas para todos lossistemas de referencia inerciales

Postulados de la Relatividad

las leyes de la física – todas – son las mismas paracualquier observador inercial (=no acelerado)la velocidad de la luz en el vacío es siempre la mismacon independencia de la fuente

Postulados de la Relatividad

las leyes de la física – todas – son las mismas paracualquier observador inercial (=no acelerado)la velocidad de la luz en el vacío es siempre la mismacon independencia de la fuente

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Relatividad de la Simultaneidad

Relatividad de las medidas temporales

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Relatividad de las medidas espaciales

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Unidades geométricas

Consecuencias de estas unidades

Una nueva visión de las transformaciones

Experimento de la Simultaneidad

La aparición del intervalo como algoabsoluto

¿Cómo calibrar los ejes?

Calibración de los ejes

La contracción de longitudes

El reloj láser...

Causas antes que efectos... o efectos antesque causas

Una primera solución

El cono de luz como región del espacio-tiempocausal

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Planteamiento inicial

Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Dianaes más viajera y quiere visitar la estrella α-centauroPlanifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a0,8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz.Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo)hayan pasado 5 años Diana estará en su destinoPrimera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana enese viaje?

Tres formas de responder: la primera

Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el sucesoDiana llega a la EstrellaSegún Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 añosen su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuántomarca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste estáen movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que haceApolo de la separación temporal entre A y B está dilatadacon respecto a la de Diana (<5)Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana duramenos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde

t0√1− β2

Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

t0√1− β2

Tres formas de responder: la segunda

La contracción de longitudes está dada por la fórmula

` = `0√

1− β2

En este caso, `0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vistade Diana ocurre que

` = 4× 0,6 = 2,4 años/luz

Como la velocidad sigue siendo β = 0,8, entonces eltiempo empleado por Diana es

2,4/0,8 = 3 años

` = `0√

1− β2

` = 4× 0,6 = 2,4 años/luz

2,4/0,8 = 3 años

` = `0√

1− β2

` = 4× 0,6 = 2,4 años/luz

2,4/0,8 = 3 años

Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) yDiana (sistema S’) nos dan lo siguiente:El suceso A tiene coordenadas (0,0)S y (0,0)S′

El suceso B tiene coordenadas (4,5)S y (0,3)S′

Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S′ secumple t ′B − t ′A = 3Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporales invariante

Otra perspectiva

El suceso B (Diana llega a la estrella) tieneS-coordenadas (4,5) y es por esto por lo que Apoloobserva que Diana tarda 5 años en llegarLa pregunta es...Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres añosen su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurridopara Apolo?Por simetría, como Apolo observa las medidas temporalesde Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolotambién dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUEOBSERVA DIANA EN SU RELOJ SECORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑOEN EL RELOJ DE APOLO

Otra perspectiva

¿Cuánto más pequeño?

Simplemente, es el valor t0 dado por

t0√1− β2

por lo que t0 = 3× 0,6 = 1,8 añosEsto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVAQUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDOÚNICAMENTE 1,8 añosEs lo natural... debemos esperar simetría (si cuando4

Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando5

Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)

4Apolo–simultáneos5Diana–simultáneos

t0√1− β2

En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasaa ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está alcuadrado nada debe variar...Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse(suceso C) tienen las siguientes versiones (como lospolíticos y los medios):Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVENSegún Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo1,8 + 1,8 = 3,6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dossistemas de referencia?¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo oviceversa?Observemos que si el viaje fuera en un único sentido síhabría SIMETRÍAPero la CLAVE está en el cambio de sentido...

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da lavuelta y regresaTambién es cierto que Diana observa que Apolo (en laTierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las queexperimenta ApoloDIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tieneque frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLOSIEMPRE ES INERCIAL

La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdanregalarse unos pasteles a la vuelta...Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero esperael regreso de su hermana para regalárselosDiana también los pone en el salpicadero de su nave... losestá viendo todo el tiempo...Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única quese come los pasteles es Diana porque los que ella llevabapara Apolo están espachurrados

Un esquema espacio-temporal

Solucion de la paradoja

En el diagrama observamos que para Apolo transcurren 10 anos,mientras que para Diana transcurren 3+3=6 anos. ¡Por lo tantoDiana es 4 anos mas joven que Apolo!

Ilustración de un efecto Doppler

El numero de felicitaciones por ano nuevo

Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe solo una antes de llegar a ! Centauro, cuando habıan pasado 3 anos, justo antes

de dar la vuelta. Las 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a razon de una cada 1/3 ano (4 meses).

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