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Lecciones de Ecuaciones Diferenciales OrdinariasEcuaciones Exactas
Universidad Autónoma Metropolitana
September 13, 2020
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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La diferencial total de una función z = f (x , y)
Definición
Sea f (x , y) una función de dos variables reales cuyas derivadas parciales soncontinuas en un dominio D. La diferencial total de f (x , y), denotada por df (x , y)se define como:
df (x , y) =∂f (x , y)∂x
dx +∂f (x , y)∂y
dy , (x , y) ∈ D (1)
en donde, ∂f (x ,y)∂x y ∂f (x ,y)
∂y son las derivadas parciales de f (x , y), con respecto a xy a y , respectivamente. Recordamos la definición de las derivadas parciales def (x , y), con respecto a x y a y :
∂f (x , y)∂x
= limh→0
f (x + h, y) − f (x , y)h
∂f (x , y)∂y
= limk→0
f (x , y + k) − f (x , y)k
De este modo, ∂f (x ,y)∂x significa obtener la derivada habitual con respecto a x de
f (x , y), considerando a la variable y como si fuera constante y ∂f (x ,y)∂y significa
obtener la derivada habitual con respecto a y de f (x , y), considerando a lavariable x como si fuera constante.
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La diferencial total de una función z = f (x , y)
Definición
Sea f (x , y) una función de dos variables reales cuyas derivadas parciales soncontinuas en un dominio D. La diferencial total de f (x , y), denotada por df (x , y)se define como:
df (x , y) =∂f (x , y)∂x
dx +∂f (x , y)∂y
dy , (x , y) ∈ D (1)
en donde, ∂f (x ,y)∂x y ∂f (x ,y)
∂y son las derivadas parciales de f (x , y), con respecto a xy a y , respectivamente. Recordamos la definición de las derivadas parciales def (x , y), con respecto a x y a y :
∂f (x , y)∂x
= limh→0
f (x + h, y) − f (x , y)h
∂f (x , y)∂y
= limk→0
f (x , y + k) − f (x , y)k
De este modo, ∂f (x ,y)∂x significa obtener la derivada habitual con respecto a x de
f (x , y), considerando a la variable y como si fuera constante y ∂f (x ,y)∂y significa
obtener la derivada habitual con respecto a y de f (x , y), considerando a lavariable x como si fuera constante.
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La diferencial total de una función z = f (x , y)
Definición
Sea f (x , y) una función de dos variables reales cuyas derivadas parciales soncontinuas en un dominio D. La diferencial total de f (x , y), denotada por df (x , y)se define como:
df (x , y) =∂f (x , y)∂x
dx +∂f (x , y)∂y
dy , (x , y) ∈ D (1)
en donde, ∂f (x ,y)∂x y ∂f (x ,y)
∂y son las derivadas parciales de f (x , y), con respecto a xy a y , respectivamente. Recordamos la definición de las derivadas parciales def (x , y), con respecto a x y a y :
∂f (x , y)∂x
= limh→0
f (x + h, y) − f (x , y)h
∂f (x , y)∂y
= limk→0
f (x , y + k) − f (x , y)k
De este modo, ∂f (x ,y)∂x significa obtener la derivada habitual con respecto a x de
f (x , y), considerando a la variable y como si fuera constante y ∂f (x ,y)∂y significa
obtener la derivada habitual con respecto a y de f (x , y), considerando a lavariable x como si fuera constante.
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La diferencial total de una función z = f (x , y)
Definición
Sea f (x , y) una función de dos variables reales cuyas derivadas parciales soncontinuas en un dominio D. La diferencial total de f (x , y), denotada por df (x , y)se define como:
df (x , y) =∂f (x , y)∂x
dx +∂f (x , y)∂y
dy , (x , y) ∈ D (1)
en donde, ∂f (x ,y)∂x y ∂f (x ,y)
∂y son las derivadas parciales de f (x , y), con respecto a xy a y , respectivamente. Recordamos la definición de las derivadas parciales def (x , y), con respecto a x y a y :
∂f (x , y)∂x
= limh→0
f (x + h, y) − f (x , y)h
∂f (x , y)∂y
= limk→0
f (x , y + k) − f (x , y)k
De este modo, ∂f (x ,y)∂x significa obtener la derivada habitual con respecto a x de
f (x , y), considerando a la variable y como si fuera constante y ∂f (x ,y)∂y significa
obtener la derivada habitual con respecto a y de f (x , y), considerando a lavariable x como si fuera constante.
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Derivadas parciales. Ejemplos
Ejemplo 1
Obtener∂f (x , y)∂x
y∂f (x , y)∂y
para la función f (x , y) = x2y + xexy
Solución
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando y constante:
∂f (x , y)∂x
= 2xy + xyexy + exy
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando x constante:
∂f (x , y)∂y
= x2 + x2exy
Por lo tanto, la diferencial df , de acuerdo a (??) es
df = d(x2y + xexy) = (2xy + xyexy + exy)dx + (x2 + x2exy)dy
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Derivadas parciales. Ejemplos
Ejemplo 1
Obtener∂f (x , y)∂x
y∂f (x , y)∂y
para la función f (x , y) = x2y + xexy
Solución
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando y constante:
∂f (x , y)∂x
= 2xy + xyexy + exy
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando x constante:
∂f (x , y)∂y
= x2 + x2exy
Por lo tanto, la diferencial df , de acuerdo a (??) es
df = d(x2y + xexy) = (2xy + xyexy + exy)dx + (x2 + x2exy)dy
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Derivadas parciales. Ejemplos
Ejemplo 1
Obtener∂f (x , y)∂x
y∂f (x , y)∂y
para la función f (x , y) = x2y + xexy
Solución
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando y constante:
∂f (x , y)∂x
= 2xy + xyexy + exy
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando x constante:
∂f (x , y)∂y
= x2 + x2exy
Por lo tanto, la diferencial df , de acuerdo a (??) es
df = d(x2y + xexy) = (2xy + xyexy + exy)dx + (x2 + x2exy)dy
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Derivadas parciales. Ejemplos
Ejemplo 1
Obtener∂f (x , y)∂x
y∂f (x , y)∂y
para la función f (x , y) = x2y + xexy
Solución
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando y constante:
∂f (x , y)∂x
= 2xy + xyexy + exy
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando x constante:
∂f (x , y)∂y
= x2 + x2exy
Por lo tanto, la diferencial df , de acuerdo a (??) es
df = d(x2y + xexy) = (2xy + xyexy + exy)dx + (x2 + x2exy)dy
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Derivadas parciales. Ejemplos
Ejemplo 1
Obtener∂f (x , y)∂x
y∂f (x , y)∂y
para la función f (x , y) = x2y + xexy
Solución
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando y constante:
∂f (x , y)∂x
= 2xy + xyexy + exy
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando x constante:
∂f (x , y)∂y
= x2 + x2exy
Por lo tanto, la diferencial df , de acuerdo a (??) es
df = d(x2y + xexy) = (2xy + xyexy + exy)dx + (x2 + x2exy)dy
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Derivadas parciales. Ejemplos
Ejemplo 1
Obtener∂f (x , y)∂x
y∂f (x , y)∂y
para la función f (x , y) = x2y + xexy
Solución
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando y constante:
∂f (x , y)∂x
= 2xy + xyexy + exy
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando x constante:
∂f (x , y)∂y
= x2 + x2exy
Por lo tanto, la diferencial df , de acuerdo a (??) es
df = d(x2y + xexy) = (2xy + xyexy + exy)dx + (x2 + x2exy)dy
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Derivadas parciales. Ejemplos
Ejemplo 1
Obtener∂f (x , y)∂x
y∂f (x , y)∂y
para la función f (x , y) = x2y + xexy
Solución
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando y constante:
∂f (x , y)∂x
= 2xy + xyexy + exy
Derivamos f (x , y) = x2y + xexy , considerando x constante:
∂f (x , y)∂y
= x2 + x2exy
Por lo tanto, la diferencial df , de acuerdo a (??) es
df = d(x2y + xexy) = (2xy + xyexy + exy)dx + (x2 + x2exy)dy
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Segundas derivadas parciales
Es posible obtener la derivada, con respecto de x , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una
función de x y de y , es decir, obtener:
∂∂x
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂x2
y la derivada, con respecto de y , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una función de x y de y ,
es decir, obtener:∂∂y
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂y∂x
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂x∂y
∂∂y
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂y2
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Segundas derivadas parciales
Es posible obtener la derivada, con respecto de x , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una
función de x y de y , es decir, obtener:
∂∂x
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂x2
y la derivada, con respecto de y , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una función de x y de y ,
es decir, obtener:∂∂y
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂y∂x
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂x∂y
∂∂y
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂y2
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Segundas derivadas parciales
Es posible obtener la derivada, con respecto de x , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una
función de x y de y , es decir, obtener:
∂∂x
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂x2
y la derivada, con respecto de y , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una función de x y de y ,
es decir, obtener:∂∂y
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂y∂x
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂x∂y
∂∂y
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂y2
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Segundas derivadas parciales
Es posible obtener la derivada, con respecto de x , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una
función de x y de y , es decir, obtener:
∂∂x
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂x2
y la derivada, con respecto de y , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una función de x y de y ,
es decir, obtener:∂∂y
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂y∂x
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂x∂y
∂∂y
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂y2
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Segundas derivadas parciales
Es posible obtener la derivada, con respecto de x , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una
función de x y de y , es decir, obtener:
∂∂x
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂x2
y la derivada, con respecto de y , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una función de x y de y ,
es decir, obtener:∂∂y
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂y∂x
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂x∂y
∂∂y
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂y2
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Segundas derivadas parciales
Es posible obtener la derivada, con respecto de x , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una
función de x y de y , es decir, obtener:
∂∂x
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂x2
y la derivada, con respecto de y , de ∂f (x ,y)∂x , pues ésta es una función de x y de y ,
es decir, obtener:∂∂y
(∂f (x , y)∂x
) =∂2f (x , y)∂y∂x
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂x∂y
∂∂y
(∂f (x , y)∂y
) =∂2f (x , y)∂y2
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Segundas derivadas parciales. Ejemplo 1
En nuestro ejemplo:
∂∂x
(∂(x2y + xexy + exy)
∂x) = 2y + y(xexy y + exy) + exy y = 2y + xy2exy + 2yexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂x) = 2x + x(yexy x + exy) + exy x = 2x + x2yexy + 2xexy
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂x
(x2+x2exy) = 2x+x2exy y+2xexy = 2x+x2yexy+2xexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂y
(x2 + x2exy) = x2exy x = x3exy
Notamos que se cumple∂2f (x , y)∂y∂x
=∂2f (x , y)∂x∂y
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Segundas derivadas parciales. Ejemplo 1
En nuestro ejemplo:
∂∂x
(∂(x2y + xexy + exy)
∂x) = 2y + y(xexy y + exy) + exy y = 2y + xy2exy + 2yexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂x) = 2x + x(yexy x + exy) + exy x = 2x + x2yexy + 2xexy
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂x
(x2+x2exy) = 2x+x2exy y+2xexy = 2x+x2yexy+2xexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂y
(x2 + x2exy) = x2exy x = x3exy
Notamos que se cumple∂2f (x , y)∂y∂x
=∂2f (x , y)∂x∂y
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Segundas derivadas parciales. Ejemplo 1
En nuestro ejemplo:
∂∂x
(∂(x2y + xexy + exy)
∂x) = 2y + y(xexy y + exy) + exy y = 2y + xy2exy + 2yexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂x) = 2x + x(yexy x + exy) + exy x = 2x + x2yexy + 2xexy
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂x
(x2+x2exy) = 2x+x2exy y+2xexy = 2x+x2yexy+2xexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂y
(x2 + x2exy) = x2exy x = x3exy
Notamos que se cumple∂2f (x , y)∂y∂x
=∂2f (x , y)∂x∂y
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Segundas derivadas parciales. Ejemplo 1
En nuestro ejemplo:
∂∂x
(∂(x2y + xexy + exy)
∂x) = 2y + y(xexy y + exy) + exy y = 2y + xy2exy + 2yexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂x) = 2x + x(yexy x + exy) + exy x = 2x + x2yexy + 2xexy
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂x
(x2+x2exy) = 2x+x2exy y+2xexy = 2x+x2yexy+2xexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂y
(x2 + x2exy) = x2exy x = x3exy
Notamos que se cumple∂2f (x , y)∂y∂x
=∂2f (x , y)∂x∂y
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Segundas derivadas parciales. Ejemplo 1
En nuestro ejemplo:
∂∂x
(∂(x2y + xexy + exy)
∂x) = 2y + y(xexy y + exy) + exy y = 2y + xy2exy + 2yexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂x) = 2x + x(yexy x + exy) + exy x = 2x + x2yexy + 2xexy
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂x
(x2+x2exy) = 2x+x2exy y+2xexy = 2x+x2yexy+2xexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂y
(x2 + x2exy) = x2exy x = x3exy
Notamos que se cumple∂2f (x , y)∂y∂x
=∂2f (x , y)∂x∂y
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Segundas derivadas parciales. Ejemplo 1
En nuestro ejemplo:
∂∂x
(∂(x2y + xexy + exy)
∂x) = 2y + y(xexy y + exy) + exy y = 2y + xy2exy + 2yexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂x) = 2x + x(yexy x + exy) + exy x = 2x + x2yexy + 2xexy
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂x
(x2+x2exy) = 2x+x2exy y+2xexy = 2x+x2yexy+2xexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂y
(x2 + x2exy) = x2exy x = x3exy
Notamos que se cumple∂2f (x , y)∂y∂x
=∂2f (x , y)∂x∂y
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Segundas derivadas parciales. Ejemplo 1
En nuestro ejemplo:
∂∂x
(∂(x2y + xexy + exy)
∂x) = 2y + y(xexy y + exy) + exy y = 2y + xy2exy + 2yexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂x) = 2x + x(yexy x + exy) + exy x = 2x + x2yexy + 2xexy
Y, lo mismo para ∂f (x ,y)∂y :
∂∂x
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂x
(x2+x2exy) = 2x+x2exy y+2xexy = 2x+x2yexy+2xexy
Análogamente,
∂∂y
(∂(x2y + xexy)
∂y) =
∂∂y
(x2 + x2exy) = x2exy x = x3exy
Notamos que se cumple∂2f (x , y)∂y∂x
=∂2f (x , y)∂x∂y
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La diferencial exacta M(x , y)dx + N(x , y)dy
Definición. Ecuación diferencial exacta
La expresiónM(x , y)dx + N(x , y)dy (2)
se llama Una Diferencial Exacta en un dominio D si existe una función f (x , y) talque (??) sea la diferencial total de f (x , y) para todo (x , y) ∈ D, es decir,
df (x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy (3)
Lo cual significa que se cumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (4)
Una ecuación diferencial de la forma:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (5)
se llama Ecuación Diferencial Exacta si M(x , y)dx + N(x , y)dy es una diferencialexacta, es decir si existe f (x , y), tal que se cumple (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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La diferencial exacta M(x , y)dx + N(x , y)dy
Definición. Ecuación diferencial exacta
La expresiónM(x , y)dx + N(x , y)dy (2)
se llama Una Diferencial Exacta en un dominio D si existe una función f (x , y) talque (??) sea la diferencial total de f (x , y) para todo (x , y) ∈ D, es decir,
df (x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy (3)
Lo cual significa que se cumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (4)
Una ecuación diferencial de la forma:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (5)
se llama Ecuación Diferencial Exacta si M(x , y)dx + N(x , y)dy es una diferencialexacta, es decir si existe f (x , y), tal que se cumple (??)
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La diferencial exacta M(x , y)dx + N(x , y)dy
Definición. Ecuación diferencial exacta
La expresiónM(x , y)dx + N(x , y)dy (2)
se llama Una Diferencial Exacta en un dominio D si existe una función f (x , y) talque (??) sea la diferencial total de f (x , y) para todo (x , y) ∈ D, es decir,
df (x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy (3)
Lo cual significa que se cumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (4)
Una ecuación diferencial de la forma:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (5)
se llama Ecuación Diferencial Exacta si M(x , y)dx + N(x , y)dy es una diferencialexacta, es decir si existe f (x , y), tal que se cumple (??)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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La diferencial exacta M(x , y)dx + N(x , y)dy
Definición. Ecuación diferencial exacta
La expresiónM(x , y)dx + N(x , y)dy (2)
se llama Una Diferencial Exacta en un dominio D si existe una función f (x , y) talque (??) sea la diferencial total de f (x , y) para todo (x , y) ∈ D, es decir,
df (x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy (3)
Lo cual significa que se cumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (4)
Una ecuación diferencial de la forma:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (5)
se llama Ecuación Diferencial Exacta si M(x , y)dx + N(x , y)dy es una diferencialexacta, es decir si existe f (x , y), tal que se cumple (??)
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La diferencial exacta M(x , y)dx + N(x , y)dy
Definición. Ecuación diferencial exacta
La expresiónM(x , y)dx + N(x , y)dy (2)
se llama Una Diferencial Exacta en un dominio D si existe una función f (x , y) talque (??) sea la diferencial total de f (x , y) para todo (x , y) ∈ D, es decir,
df (x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy (3)
Lo cual significa que se cumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (4)
Una ecuación diferencial de la forma:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (5)
se llama Ecuación Diferencial Exacta si M(x , y)dx + N(x , y)dy es una diferencialexacta, es decir si existe f (x , y), tal que se cumple (??)
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La diferencial exacta M(x , y)dx + N(x , y)dy
Definición. Ecuación diferencial exacta
La expresiónM(x , y)dx + N(x , y)dy (2)
se llama Una Diferencial Exacta en un dominio D si existe una función f (x , y) talque (??) sea la diferencial total de f (x , y) para todo (x , y) ∈ D, es decir,
df (x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy (3)
Lo cual significa que se cumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (4)
Una ecuación diferencial de la forma:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (5)
se llama Ecuación Diferencial Exacta si M(x , y)dx + N(x , y)dy es una diferencialexacta, es decir si existe f (x , y), tal que se cumple (??)
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La diferencial exacta M(x , y)dx + N(x , y)dy
Definición. Ecuación diferencial exacta
La expresiónM(x , y)dx + N(x , y)dy (2)
se llama Una Diferencial Exacta en un dominio D si existe una función f (x , y) talque (??) sea la diferencial total de f (x , y) para todo (x , y) ∈ D, es decir,
df (x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy (3)
Lo cual significa que se cumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (4)
Una ecuación diferencial de la forma:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (5)
se llama Ecuación Diferencial Exacta si M(x , y)dx + N(x , y)dy es una diferencialexacta, es decir si existe f (x , y), tal que se cumple (??)
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La diferencial exacta M(x , y)dx + N(x , y)dy
Definición. Ecuación diferencial exacta
La expresiónM(x , y)dx + N(x , y)dy (2)
se llama Una Diferencial Exacta en un dominio D si existe una función f (x , y) talque (??) sea la diferencial total de f (x , y) para todo (x , y) ∈ D, es decir,
df (x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy (3)
Lo cual significa que se cumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (4)
Una ecuación diferencial de la forma:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (5)
se llama Ecuación Diferencial Exacta si M(x , y)dx + N(x , y)dy es una diferencialexacta, es decir si existe f (x , y), tal que se cumple (??)
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 2
La ecuación diferencial
(2xy + xyexy + exy) dx + (x2 + x2exy) dy = 0,
en donde M(x , y) = 2xy + xyexy + exy y N(x .y) = x2 + x2exy , es una ecuacióndiferencial exacta, pues la función f (x , y) = x2y + xexy satisface
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (6)
En efecto:
∂(x2y + xexy)
∂x= 2xy + xyexy + exy
∂(x2y + xexy)
∂y= x2 + x2exy (7)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 2
La ecuación diferencial
(2xy + xyexy + exy) dx + (x2 + x2exy) dy = 0,
en donde M(x , y) = 2xy + xyexy + exy y N(x .y) = x2 + x2exy , es una ecuacióndiferencial exacta, pues la función f (x , y) = x2y + xexy satisface
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (6)
En efecto:
∂(x2y + xexy)
∂x= 2xy + xyexy + exy
∂(x2y + xexy)
∂y= x2 + x2exy (7)
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 2
La ecuación diferencial
(2xy + xyexy + exy) dx + (x2 + x2exy) dy = 0,
en donde M(x , y) = 2xy + xyexy + exy y N(x .y) = x2 + x2exy , es una ecuacióndiferencial exacta, pues la función f (x , y) = x2y + xexy satisface
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (6)
En efecto:
∂(x2y + xexy)
∂x= 2xy + xyexy + exy
∂(x2y + xexy)
∂y= x2 + x2exy (7)
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 2
La ecuación diferencial
(2xy + xyexy + exy) dx + (x2 + x2exy) dy = 0,
en donde M(x , y) = 2xy + xyexy + exy y N(x .y) = x2 + x2exy , es una ecuacióndiferencial exacta, pues la función f (x , y) = x2y + xexy satisface
∂f (x , y)∂x
= M(x , y)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (6)
En efecto:
∂(x2y + xexy)
∂x= 2xy + xyexy + exy
∂(x2y + xexy)
∂y= x2 + x2exy (7)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones exactas
Porqué son importantes las ecuaciones exactas?
Si una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (8)
es exacta, entonces existe f (x , y), tal que
M(x , y)dx + N(x , y)dy = df (x , y) (9)
De (??) y (??) se obtienedf (x , y) = 0 (10)
de donde, al integrar, ∫df (x , y) =
∫0
obtenemos una relación que involucra a y , que es la solución de (??)
f (x , y) = K
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones exactas
Porqué son importantes las ecuaciones exactas?
Si una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (8)
es exacta, entonces existe f (x , y), tal que
M(x , y)dx + N(x , y)dy = df (x , y) (9)
De (??) y (??) se obtienedf (x , y) = 0 (10)
de donde, al integrar, ∫df (x , y) =
∫0
obtenemos una relación que involucra a y , que es la solución de (??)
f (x , y) = K
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Ecuaciones exactas
Porqué son importantes las ecuaciones exactas?
Si una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (8)
es exacta, entonces existe f (x , y), tal que
M(x , y)dx + N(x , y)dy = df (x , y) (9)
De (??) y (??) se obtienedf (x , y) = 0 (10)
de donde, al integrar, ∫df (x , y) =
∫0
obtenemos una relación que involucra a y , que es la solución de (??)
f (x , y) = K
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Ecuaciones exactas
Porqué son importantes las ecuaciones exactas?
Si una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (8)
es exacta, entonces existe f (x , y), tal que
M(x , y)dx + N(x , y)dy = df (x , y) (9)
De (??) y (??) se obtienedf (x , y) = 0 (10)
de donde, al integrar, ∫df (x , y) =
∫0
obtenemos una relación que involucra a y , que es la solución de (??)
f (x , y) = K
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Ecuaciones exactas
Porqué son importantes las ecuaciones exactas?
Si una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (8)
es exacta, entonces existe f (x , y), tal que
M(x , y)dx + N(x , y)dy = df (x , y) (9)
De (??) y (??) se obtienedf (x , y) = 0 (10)
de donde, al integrar, ∫df (x , y) =
∫0
obtenemos una relación que involucra a y , que es la solución de (??)
f (x , y) = K
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Ecuaciones exactas
Porqué son importantes las ecuaciones exactas?
Si una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (8)
es exacta, entonces existe f (x , y), tal que
M(x , y)dx + N(x , y)dy = df (x , y) (9)
De (??) y (??) se obtienedf (x , y) = 0 (10)
de donde, al integrar, ∫df (x , y) =
∫0
obtenemos una relación que involucra a y , que es la solución de (??)
f (x , y) = K
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Ecuaciones exactas
Porqué son importantes las ecuaciones exactas?
Si una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (8)
es exacta, entonces existe f (x , y), tal que
M(x , y)dx + N(x , y)dy = df (x , y) (9)
De (??) y (??) se obtienedf (x , y) = 0 (10)
de donde, al integrar, ∫df (x , y) =
∫0
obtenemos una relación que involucra a y , que es la solución de (??)
f (x , y) = K
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Ecuaciones exactas
Por lo tanto, dada una ecuación exacta:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
encontrar f (x , y) significa resolver la ecuación exacta. Es decir, encontrar lafunción f (x , y) que satisfaga
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (11)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (12)
permite expresar la solución de la ecuación dada como:
f (x , y) = K
Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Cómo encontrar la función f (x , y)?
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Ecuaciones exactas
Por lo tanto, dada una ecuación exacta:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
encontrar f (x , y) significa resolver la ecuación exacta. Es decir, encontrar lafunción f (x , y) que satisfaga
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (11)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (12)
permite expresar la solución de la ecuación dada como:
f (x , y) = K
Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Cómo encontrar la función f (x , y)?
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Ecuaciones exactas
Por lo tanto, dada una ecuación exacta:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
encontrar f (x , y) significa resolver la ecuación exacta. Es decir, encontrar lafunción f (x , y) que satisfaga
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (11)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (12)
permite expresar la solución de la ecuación dada como:
f (x , y) = K
Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Cómo encontrar la función f (x , y)?
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Ecuaciones exactas
Por lo tanto, dada una ecuación exacta:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
encontrar f (x , y) significa resolver la ecuación exacta. Es decir, encontrar lafunción f (x , y) que satisfaga
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (11)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (12)
permite expresar la solución de la ecuación dada como:
f (x , y) = K
Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Cómo encontrar la función f (x , y)?
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Ecuaciones exactas
Por lo tanto, dada una ecuación exacta:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
encontrar f (x , y) significa resolver la ecuación exacta. Es decir, encontrar lafunción f (x , y) que satisfaga
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (11)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (12)
permite expresar la solución de la ecuación dada como:
f (x , y) = K
Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Cómo encontrar la función f (x , y)?
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Ecuaciones exactas
Por lo tanto, dada una ecuación exacta:
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
encontrar f (x , y) significa resolver la ecuación exacta. Es decir, encontrar lafunción f (x , y) que satisfaga
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (11)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (12)
permite expresar la solución de la ecuación dada como:
f (x , y) = K
Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Cómo encontrar la función f (x , y)?
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Teorema 1
Una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
es exacta si y sólo si∂M(x , y)∂y
=∂N(x , y)∂x
(13)
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
Verificar que la siguiente ecuación diferencial es exacta:
(3xy4 + x) dx + (6x2y3− 2y2 + 7) dy = 0
TenemosM(x , y) = 3xy4 + x
N(x , y) = 6x2y3− 2y2 + 7
Entonces:
∂M(x , y)∂y
= 12xy3
∂N(x , y)∂x
= 12xy3 (14)
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
Verificar que la siguiente ecuación diferencial es exacta:
(3xy4 + x) dx + (6x2y3− 2y2 + 7) dy = 0
TenemosM(x , y) = 3xy4 + x
N(x , y) = 6x2y3− 2y2 + 7
Entonces:
∂M(x , y)∂y
= 12xy3
∂N(x , y)∂x
= 12xy3 (14)
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
Verificar que la siguiente ecuación diferencial es exacta:
(3xy4 + x) dx + (6x2y3− 2y2 + 7) dy = 0
TenemosM(x , y) = 3xy4 + x
N(x , y) = 6x2y3− 2y2 + 7
Entonces:
∂M(x , y)∂y
= 12xy3
∂N(x , y)∂x
= 12xy3 (14)
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
Verificar que la siguiente ecuación diferencial es exacta:
(2x cos y + 3x2y) dx + (x3− x2 sin y − y) dy = 0
IdentificamosM(x , y) = 2x cos y + 3x2y
N(x , y) = x3− x2 sin y − y
Entonces:
∂M(x , y)∂y
= −2x sin y + 3x2
∂N(x , y)∂x
= −2x sin y + 3x2 (15)
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
Verificar que la siguiente ecuación diferencial es exacta:
(2x cos y + 3x2y) dx + (x3− x2 sin y − y) dy = 0
IdentificamosM(x , y) = 2x cos y + 3x2y
N(x , y) = x3− x2 sin y − y
Entonces:
∂M(x , y)∂y
= −2x sin y + 3x2
∂N(x , y)∂x
= −2x sin y + 3x2 (15)
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Ecuaciones exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
Verificar que la siguiente ecuación diferencial es exacta:
(2x cos y + 3x2y) dx + (x3− x2 sin y − y) dy = 0
IdentificamosM(x , y) = 2x cos y + 3x2y
N(x , y) = x3− x2 sin y − y
Entonces:
∂M(x , y)∂y
= −2x sin y + 3x2
∂N(x , y)∂x
= −2x sin y + 3x2 (15)
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Teorema 1
Una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (16)
es exacta si y sólo si∂M(x , y)∂y
=∂N(x , y)∂x
(17)
Demostración
⇒). Supongamos que (??) es una ecuación exacta, entonces existe f (x , y) quecumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (18)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (19)
Si f (x , y) tiene primeras derivadas parciales continuas ∂f (x ,y)∂x , ∂f (x ,y)
∂y , entonces
las segundas derivadas mixtas ∂2 f (x ,y)∂y∂x , ∂2 f (x ,y)
∂x∂y son iguales
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Teorema 1
Una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (16)
es exacta si y sólo si∂M(x , y)∂y
=∂N(x , y)∂x
(17)
Demostración
⇒). Supongamos que (??) es una ecuación exacta, entonces existe f (x , y) quecumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (18)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (19)
Si f (x , y) tiene primeras derivadas parciales continuas ∂f (x ,y)∂x , ∂f (x ,y)
∂y , entonces
las segundas derivadas mixtas ∂2 f (x ,y)∂y∂x , ∂2 f (x ,y)
∂x∂y son iguales
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Teorema 1
Una ecuación diferencial
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (16)
es exacta si y sólo si∂M(x , y)∂y
=∂N(x , y)∂x
(17)
Demostración
⇒). Supongamos que (??) es una ecuación exacta, entonces existe f (x , y) quecumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (18)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (19)
Si f (x , y) tiene primeras derivadas parciales continuas ∂f (x ,y)∂x , ∂f (x ,y)
∂y , entonces
las segundas derivadas mixtas ∂2 f (x ,y)∂y∂x , ∂2 f (x ,y)
∂x∂y son iguales
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇒). Supongamos que (??) es una ecuación exacta, entonces existe f (x , y) quecumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (20)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (21)
Si f (x , y) tiene primeras derivadas parciales continuas ∂f (x ,y)∂x , ∂f (x ,y)
∂y , entonces
las segundas derivadas mixtas ∂2 f (x ,y)∂y∂x , ∂2 f (x ,y)
∂x∂y son iguales, por lo tanto, derivando(??) con respecto a y y (??), con respecto a x :
∂2f (x , y)∂y∂x
=∂M(x , y)∂y
(22)
∂2f (x , y)∂x∂y
=∂N(x , y)∂x
(23)
por lo tanto,∂M(x , y)∂y
=∂N(x , y)∂x
(24)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇒). Supongamos que (??) es una ecuación exacta, entonces existe f (x , y) quecumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (20)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (21)
Si f (x , y) tiene primeras derivadas parciales continuas ∂f (x ,y)∂x , ∂f (x ,y)
∂y , entonces
las segundas derivadas mixtas ∂2 f (x ,y)∂y∂x , ∂2 f (x ,y)
∂x∂y son iguales, por lo tanto, derivando(??) con respecto a y y (??), con respecto a x :
∂2f (x , y)∂y∂x
=∂M(x , y)∂y
(22)
∂2f (x , y)∂x∂y
=∂N(x , y)∂x
(23)
por lo tanto,∂M(x , y)∂y
=∂N(x , y)∂x
(24)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇒). Supongamos que (??) es una ecuación exacta, entonces existe f (x , y) quecumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (20)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (21)
Si f (x , y) tiene primeras derivadas parciales continuas ∂f (x ,y)∂x , ∂f (x ,y)
∂y , entonces
las segundas derivadas mixtas ∂2 f (x ,y)∂y∂x , ∂2 f (x ,y)
∂x∂y son iguales, por lo tanto, derivando(??) con respecto a y y (??), con respecto a x :
∂2f (x , y)∂y∂x
=∂M(x , y)∂y
(22)
∂2f (x , y)∂x∂y
=∂N(x , y)∂x
(23)
por lo tanto,∂M(x , y)∂y
=∂N(x , y)∂x
(24)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇒). Supongamos que (??) es una ecuación exacta, entonces existe f (x , y) quecumple:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (20)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (21)
Si f (x , y) tiene primeras derivadas parciales continuas ∂f (x ,y)∂x , ∂f (x ,y)
∂y , entonces
las segundas derivadas mixtas ∂2 f (x ,y)∂y∂x , ∂2 f (x ,y)
∂x∂y son iguales, por lo tanto, derivando(??) con respecto a y y (??), con respecto a x :
∂2f (x , y)∂y∂x
=∂M(x , y)∂y
(22)
∂2f (x , y)∂x∂y
=∂N(x , y)∂x
(23)
por lo tanto,∂M(x , y)∂y
=∂N(x , y)∂x
(24)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇐). Supongamos que la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 satisface lacondición: ∂M(x ,y)
∂y =∂N(x ,y)∂x . Demostremos que la ecuación dada es exacta, es
decir, encontremos una función f (x , y), que satisfaga:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (25)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (26)
Para que se cumpla (??) se debe tener:
f (x , y) =∫
M(x , y) dx + φ(y), y, por (??),
∂f (x , y)∂y
=∂∂y
( ∫M(x , y) dx + φ(y)
)=
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
)+ φ′(y) = N(x , y)
φ(y) =∫ (
N(x , y) −∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy (27)
por lo tanto f (x , y) =∫
M(x , y) dx +
∫ (N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy
(28)Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇐). Supongamos que la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 satisface lacondición: ∂M(x ,y)
∂y =∂N(x ,y)∂x . Demostremos que la ecuación dada es exacta, es
decir, encontremos una función f (x , y), que satisfaga:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (25)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (26)
Para que se cumpla (??) se debe tener:
f (x , y) =∫
M(x , y) dx + φ(y), y, por (??),
∂f (x , y)∂y
=∂∂y
( ∫M(x , y) dx + φ(y)
)=
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
)+ φ′(y) = N(x , y)
φ(y) =∫ (
N(x , y) −∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy (27)
por lo tanto f (x , y) =∫
M(x , y) dx +
∫ (N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy
(28)Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇐). Supongamos que la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 satisface lacondición: ∂M(x ,y)
∂y =∂N(x ,y)∂x . Demostremos que la ecuación dada es exacta, es
decir, encontremos una función f (x , y), que satisfaga:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (25)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (26)
Para que se cumpla (??) se debe tener:
f (x , y) =∫
M(x , y) dx + φ(y), y, por (??),
∂f (x , y)∂y
=∂∂y
( ∫M(x , y) dx + φ(y)
)=
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
)+ φ′(y) = N(x , y)
φ(y) =∫ (
N(x , y) −∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy (27)
por lo tanto f (x , y) =∫
M(x , y) dx +
∫ (N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy
(28)Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇐). Supongamos que la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 satisface lacondición: ∂M(x ,y)
∂y =∂N(x ,y)∂x . Demostremos que la ecuación dada es exacta, es
decir, encontremos una función f (x , y), que satisfaga:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (25)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (26)
Para que se cumpla (??) se debe tener:
f (x , y) =∫
M(x , y) dx + φ(y), y, por (??),
∂f (x , y)∂y
=∂∂y
( ∫M(x , y) dx + φ(y)
)=
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
)+ φ′(y) = N(x , y)
φ(y) =∫ (
N(x , y) −∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy (27)
por lo tanto f (x , y) =∫
M(x , y) dx +
∫ (N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy
(28)Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇐). Supongamos que la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 satisface lacondición: ∂M(x ,y)
∂y =∂N(x ,y)∂x . Demostremos que la ecuación dada es exacta, es
decir, encontremos una función f (x , y), que satisfaga:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (25)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (26)
Para que se cumpla (??) se debe tener:
f (x , y) =∫
M(x , y) dx + φ(y), y, por (??),
∂f (x , y)∂y
=∂∂y
( ∫M(x , y) dx + φ(y)
)=
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
)+ φ′(y) = N(x , y)
φ(y) =∫ (
N(x , y) −∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy (27)
por lo tanto f (x , y) =∫
M(x , y) dx +
∫ (N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy
(28)Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇐). Supongamos que la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 satisface lacondición: ∂M(x ,y)
∂y =∂N(x ,y)∂x . Demostremos que la ecuación dada es exacta, es
decir, encontremos una función f (x , y), que satisfaga:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (25)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (26)
Para que se cumpla (??) se debe tener:
f (x , y) =∫
M(x , y) dx + φ(y), y, por (??),
∂f (x , y)∂y
=∂∂y
( ∫M(x , y) dx + φ(y)
)=
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
)+ φ′(y) = N(x , y)
φ(y) =∫ (
N(x , y) −∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy (27)
por lo tanto f (x , y) =∫
M(x , y) dx +
∫ (N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy
(28)Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
⇐). Supongamos que la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 satisface lacondición: ∂M(x ,y)
∂y =∂N(x ,y)∂x . Demostremos que la ecuación dada es exacta, es
decir, encontremos una función f (x , y), que satisfaga:
∂f (x , y)∂x
= M(x , y) (25)
∂f (x , y)∂y
= N(x , y) (26)
Para que se cumpla (??) se debe tener:
f (x , y) =∫
M(x , y) dx + φ(y), y, por (??),
∂f (x , y)∂y
=∂∂y
( ∫M(x , y) dx + φ(y)
)=
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
)+ φ′(y) = N(x , y)
φ(y) =∫ (
N(x , y) −∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy (27)
por lo tanto f (x , y) =∫
M(x , y) dx +
∫ (N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))dy
(28)Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
Lo único que falta es comprobar que el integrando de (??) no dependede x :
∂∂x
(N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))= 0
Lo cual es cierto, pues,
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂x∂y
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂y∂x
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
∂∂x
( ∫M(x , y) dx)
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
M(x , y) = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
Lo único que falta es comprobar que el integrando de (??) no dependede x :
∂∂x
(N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))= 0
Lo cual es cierto, pues,
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂x∂y
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂y∂x
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
∂∂x
( ∫M(x , y) dx)
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
M(x , y) = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
Lo único que falta es comprobar que el integrando de (??) no dependede x :
∂∂x
(N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))= 0
Lo cual es cierto, pues,
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂x∂y
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂y∂x
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
∂∂x
( ∫M(x , y) dx)
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
M(x , y) = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
Lo único que falta es comprobar que el integrando de (??) no dependede x :
∂∂x
(N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))= 0
Lo cual es cierto, pues,
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂x∂y
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂y∂x
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
∂∂x
( ∫M(x , y) dx)
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
M(x , y) = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
Lo único que falta es comprobar que el integrando de (??) no dependede x :
∂∂x
(N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))= 0
Lo cual es cierto, pues,
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂x∂y
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂y∂x
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
∂∂x
( ∫M(x , y) dx)
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
M(x , y) = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Cómo determinar si la ecuación M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 es exacta ?
Demostración
Lo único que falta es comprobar que el integrando de (??) no dependede x :
∂∂x
(N(x , y) −
∂∂y
( ∫M(x , y) dx
))= 0
Lo cual es cierto, pues,
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂x∂y
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂2
∂y∂x
( ∫M(x , y) dx
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
∂∂x
( ∫M(x , y) dx)
)= 0
∂N(x , y)∂x
−∂∂y
M(x , y) = 0
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 1
Dada la ecuación deferencial (2x cos y + 3x2y)dx + (x3− x2 sin y − y)dy = 0,
verificar que es exacta y resolverla.
Solución
IdentificamosM(x , y) = 2x cos y + 3x2y
N(x , y) = x3− x2 sin y − y
Entonces:
∂M(x , y)∂y
= −2x sin y + 3x2
∂N(x , y)∂x
= −2x sin y + 3x2
Por lo tanto, la ecuación es exacta.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 1
Dada la ecuación deferencial (2x cos y + 3x2y)dx + (x3− x2 sin y − y)dy = 0,
verificar que es exacta y resolverla.
Solución
IdentificamosM(x , y) = 2x cos y + 3x2y
N(x , y) = x3− x2 sin y − y
Entonces:
∂M(x , y)∂y
= −2x sin y + 3x2
∂N(x , y)∂x
= −2x sin y + 3x2
Por lo tanto, la ecuación es exacta.
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= 2x cos y + 3x2y (29)
∂f (x , y)∂y
= x3− x2 sin y − y (30)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(2x cos y + 3x2y) dx + φ(y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
es decir,f (x , y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
Y para obtener φ(y) utilizamos (??), derivando f (x , y) con respecro a y :
∂f (x , y)∂y
= −x2 sin y + x3 +dφ(y)
dy= x3
− x2 sin y − y
de donde dφ(y)dy = −y , entonces φ(y) = − y2
2 y f (x , y) = x2 cos y + x3y − y2
2 La
solución es x2 cos y + x3y − y2
2 = C
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= 2x cos y + 3x2y (29)
∂f (x , y)∂y
= x3− x2 sin y − y (30)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(2x cos y + 3x2y) dx + φ(y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
es decir,f (x , y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
Y para obtener φ(y) utilizamos (??), derivando f (x , y) con respecro a y :
∂f (x , y)∂y
= −x2 sin y + x3 +dφ(y)
dy= x3
− x2 sin y − y
de donde dφ(y)dy = −y , entonces φ(y) = − y2
2 y f (x , y) = x2 cos y + x3y − y2
2 La
solución es x2 cos y + x3y − y2
2 = C
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= 2x cos y + 3x2y (29)
∂f (x , y)∂y
= x3− x2 sin y − y (30)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(2x cos y + 3x2y) dx + φ(y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
es decir,f (x , y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
Y para obtener φ(y) utilizamos (??), derivando f (x , y) con respecro a y :
∂f (x , y)∂y
= −x2 sin y + x3 +dφ(y)
dy= x3
− x2 sin y − y
de donde dφ(y)dy = −y , entonces φ(y) = − y2
2 y f (x , y) = x2 cos y + x3y − y2
2 La
solución es x2 cos y + x3y − y2
2 = C
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= 2x cos y + 3x2y (29)
∂f (x , y)∂y
= x3− x2 sin y − y (30)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(2x cos y + 3x2y) dx + φ(y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
es decir,f (x , y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
Y para obtener φ(y) utilizamos (??), derivando f (x , y) con respecro a y :
∂f (x , y)∂y
= −x2 sin y + x3 +dφ(y)
dy= x3
− x2 sin y − y
de donde dφ(y)dy = −y , entonces φ(y) = − y2
2 y f (x , y) = x2 cos y + x3y − y2
2 La
solución es x2 cos y + x3y − y2
2 = C
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= 2x cos y + 3x2y (29)
∂f (x , y)∂y
= x3− x2 sin y − y (30)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(2x cos y + 3x2y) dx + φ(y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
es decir,f (x , y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
Y para obtener φ(y) utilizamos (??), derivando f (x , y) con respecro a y :
∂f (x , y)∂y
= −x2 sin y + x3 +dφ(y)
dy= x3
− x2 sin y − y
de donde dφ(y)dy = −y , entonces φ(y) = − y2
2 y f (x , y) = x2 cos y + x3y − y2
2 La
solución es x2 cos y + x3y − y2
2 = C
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= 2x cos y + 3x2y (29)
∂f (x , y)∂y
= x3− x2 sin y − y (30)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(2x cos y + 3x2y) dx + φ(y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
es decir,f (x , y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
Y para obtener φ(y) utilizamos (??), derivando f (x , y) con respecro a y :
∂f (x , y)∂y
= −x2 sin y + x3 +dφ(y)
dy= x3
− x2 sin y − y
de donde dφ(y)dy = −y , entonces φ(y) = − y2
2 y f (x , y) = x2 cos y + x3y − y2
2 La
solución es x2 cos y + x3y − y2
2 = C
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= 2x cos y + 3x2y (29)
∂f (x , y)∂y
= x3− x2 sin y − y (30)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(2x cos y + 3x2y) dx + φ(y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
es decir,f (x , y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
Y para obtener φ(y) utilizamos (??), derivando f (x , y) con respecro a y :
∂f (x , y)∂y
= −x2 sin y + x3 +dφ(y)
dy= x3
− x2 sin y − y
de donde dφ(y)dy = −y , entonces φ(y) = − y2
2 y f (x , y) = x2 cos y + x3y − y2
2 La
solución es x2 cos y + x3y − y2
2 = C
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= 2x cos y + 3x2y (29)
∂f (x , y)∂y
= x3− x2 sin y − y (30)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(2x cos y + 3x2y) dx + φ(y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
es decir,f (x , y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
Y para obtener φ(y) utilizamos (??), derivando f (x , y) con respecro a y :
∂f (x , y)∂y
= −x2 sin y + x3 +dφ(y)
dy= x3
− x2 sin y − y
de donde dφ(y)dy = −y , entonces φ(y) = − y2
2 y f (x , y) = x2 cos y + x3y − y2
2 La
solución es x2 cos y + x3y − y2
2 = C
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= 2x cos y + 3x2y (29)
∂f (x , y)∂y
= x3− x2 sin y − y (30)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(2x cos y + 3x2y) dx + φ(y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
es decir,f (x , y) = x2 cos y + x3y + φ(y)
Y para obtener φ(y) utilizamos (??), derivando f (x , y) con respecro a y :
∂f (x , y)∂y
= −x2 sin y + x3 +dφ(y)
dy= x3
− x2 sin y − y
de donde dφ(y)dy = −y , entonces φ(y) = − y2
2 y f (x , y) = x2 cos y + x3y − y2
2 La
solución es x2 cos y + x3y − y2
2 = C
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
Dada la ecuación deferencial ey dx + (xey + 2y)dy = 0, verificar que es exacta yresolverla.
Solución
Identificamos: M(x , y) = ey y N(x , y) = xey + 2y . Entonces:
∂M(x , y)∂y
= ey ,∂N(x , y)∂x
= ey
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la segunda de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= ey (31)
∂f (x , y)∂y
= xey + 2y (32)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(x) = xey + y2 + ψ(x)
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
Dada la ecuación deferencial ey dx + (xey + 2y)dy = 0, verificar que es exacta yresolverla.
Solución
Identificamos: M(x , y) = ey y N(x , y) = xey + 2y . Entonces:
∂M(x , y)∂y
= ey ,∂N(x , y)∂x
= ey
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la segunda de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= ey (31)
∂f (x , y)∂y
= xey + 2y (32)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(x) = xey + y2 + ψ(x)
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
Dada la ecuación deferencial ey dx + (xey + 2y)dy = 0, verificar que es exacta yresolverla.
Solución
Identificamos: M(x , y) = ey y N(x , y) = xey + 2y . Entonces:
∂M(x , y)∂y
= ey ,∂N(x , y)∂x
= ey
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la segunda de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= ey (31)
∂f (x , y)∂y
= xey + 2y (32)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(x) = xey + y2 + ψ(x)
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
Dada la ecuación deferencial ey dx + (xey + 2y)dy = 0, verificar que es exacta yresolverla.
Solución
Identificamos: M(x , y) = ey y N(x , y) = xey + 2y . Entonces:
∂M(x , y)∂y
= ey ,∂N(x , y)∂x
= ey
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la segunda de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= ey (31)
∂f (x , y)∂y
= xey + 2y (32)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(x) = xey + y2 + ψ(x)
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
Dada la ecuación deferencial ey dx + (xey + 2y)dy = 0, verificar que es exacta yresolverla.
Solución
Identificamos: M(x , y) = ey y N(x , y) = xey + 2y . Entonces:
∂M(x , y)∂y
= ey ,∂N(x , y)∂x
= ey
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la segunda de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
= ey (31)
∂f (x , y)∂y
= xey + 2y (32)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(x) = xey + y2 + ψ(x)
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(y) = xey + y2 + ψ(x)
Y derivando f (x , y) con respecto a x para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂x
= ey +dψ(x)
dx
Por (??)∂f (x , y)∂x
= ey
de donde,dψ(x)
dx= 0
lo cual implica,ψ(x) = C
La solucin es:xey + y2 + C = C1
o seaxey + y2 = K
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(y) = xey + y2 + ψ(x)
Y derivando f (x , y) con respecto a x para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂x
= ey +dψ(x)
dx
Por (??)∂f (x , y)∂x
= ey
de donde,dψ(x)
dx= 0
lo cual implica,ψ(x) = C
La solucin es:xey + y2 + C = C1
o seaxey + y2 = K
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(y) = xey + y2 + ψ(x)
Y derivando f (x , y) con respecto a x para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂x
= ey +dψ(x)
dx
Por (??)∂f (x , y)∂x
= ey
de donde,dψ(x)
dx= 0
lo cual implica,ψ(x) = C
La solucin es:xey + y2 + C = C1
o seaxey + y2 = K
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(y) = xey + y2 + ψ(x)
Y derivando f (x , y) con respecto a x para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂x
= ey +dψ(x)
dx
Por (??)∂f (x , y)∂x
= ey
de donde,dψ(x)
dx= 0
lo cual implica,ψ(x) = C
La solucin es:xey + y2 + C = C1
o seaxey + y2 = K
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(y) = xey + y2 + ψ(x)
Y derivando f (x , y) con respecto a x para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂x
= ey +dψ(x)
dx
Por (??)∂f (x , y)∂x
= ey
de donde,dψ(x)
dx= 0
lo cual implica,ψ(x) = C
La solucin es:xey + y2 + C = C1
o seaxey + y2 = K
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 3
f (x , y) =∫
(xey + 2y) dy + ψ(y) = xey + y2 + ψ(x)
Y derivando f (x , y) con respecto a x para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂x
= ey +dψ(x)
dx
Por (??)∂f (x , y)∂x
= ey
de donde,dψ(x)
dx= 0
lo cual implica,ψ(x) = C
La solucin es:xey + y2 + C = C1
o seaxey + y2 = K
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Explicación adicional
Porqué? ∫(2x cos y + 3x2y) dx = x2 cos y + x3y + φ(y)
Porqué? ∫(xey + 2y) dy = xey + y2 + ψ(x)
Sabemos que∫
xy dx =x2y2
+ C puesddx
(x2y2
+ C) = xy Pero también
ddx
(x2y2
+ 5y) = xy y tambiénddx
(x2y2
+ ey) = xy En general:
ddx
(x2y2
+ ψ(y)) = xy
por lo tanto, ∫xy dx =
x2y2
+ ψ(y)
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Explicación adicional
Porqué? ∫(2x cos y + 3x2y) dx = x2 cos y + x3y + φ(y)
Porqué? ∫(xey + 2y) dy = xey + y2 + ψ(x)
Sabemos que∫
xy dx =x2y2
+ C puesddx
(x2y2
+ C) = xy Pero también
ddx
(x2y2
+ 5y) = xy y tambiénddx
(x2y2
+ ey) = xy En general:
ddx
(x2y2
+ ψ(y)) = xy
por lo tanto, ∫xy dx =
x2y2
+ ψ(y)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Explicación adicional
Porqué? ∫(2x cos y + 3x2y) dx = x2 cos y + x3y + φ(y)
Porqué? ∫(xey + 2y) dy = xey + y2 + ψ(x)
Sabemos que∫
xy dx =x2y2
+ C puesddx
(x2y2
+ C) = xy Pero también
ddx
(x2y2
+ 5y) = xy y tambiénddx
(x2y2
+ ey) = xy En general:
ddx
(x2y2
+ ψ(y)) = xy
por lo tanto, ∫xy dx =
x2y2
+ ψ(y)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Explicación adicional
Porqué? ∫(2x cos y + 3x2y) dx = x2 cos y + x3y + φ(y)
Porqué? ∫(xey + 2y) dy = xey + y2 + ψ(x)
Sabemos que∫
xy dx =x2y2
+ C puesddx
(x2y2
+ C) = xy Pero también
ddx
(x2y2
+ 5y) = xy y tambiénddx
(x2y2
+ ey) = xy En general:
ddx
(x2y2
+ ψ(y)) = xy
por lo tanto, ∫xy dx =
x2y2
+ ψ(y)
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Explicación adicional
Porqué? ∫(2x cos y + 3x2y) dx = x2 cos y + x3y + φ(y)
Porqué? ∫(xey + 2y) dy = xey + y2 + ψ(x)
Sabemos que∫
xy dx =x2y2
+ C puesddx
(x2y2
+ C) = xy Pero también
ddx
(x2y2
+ 5y) = xy y tambiénddx
(x2y2
+ ey) = xy En general:
ddx
(x2y2
+ ψ(y)) = xy
por lo tanto, ∫xy dx =
x2y2
+ ψ(y)
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Explicación adicional
Porqué? ∫(2x cos y + 3x2y) dx = x2 cos y + x3y + φ(y)
Porqué? ∫(xey + 2y) dy = xey + y2 + ψ(x)
Sabemos que∫
xy dx =x2y2
+ C puesddx
(x2y2
+ C) = xy Pero también
ddx
(x2y2
+ 5y) = xy y tambiénddx
(x2y2
+ ey) = xy En general:
ddx
(x2y2
+ ψ(y)) = xy
por lo tanto, ∫xy dx =
x2y2
+ ψ(y)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Explicación adicional
Porqué? ∫(2x cos y + 3x2y) dx = x2 cos y + x3y + φ(y)
Porqué? ∫(xey + 2y) dy = xey + y2 + ψ(x)
Sabemos que∫
xy dx =x2y2
+ C puesddx
(x2y2
+ C) = xy Pero también
ddx
(x2y2
+ 5y) = xy y tambiénddx
(x2y2
+ ey) = xy En general:
ddx
(x2y2
+ ψ(y)) = xy
por lo tanto, ∫xy dx =
x2y2
+ ψ(y)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Explicación adicional
Porqué? ∫(2x cos y + 3x2y) dx = x2 cos y + x3y + φ(y)
Porqué? ∫(xey + 2y) dy = xey + y2 + ψ(x)
Sabemos que∫
xy dx =x2y2
+ C puesddx
(x2y2
+ C) = xy Pero también
ddx
(x2y2
+ 5y) = xy y tambiénddx
(x2y2
+ ey) = xy En general:
ddx
(x2y2
+ ψ(y)) = xy
por lo tanto, ∫xy dx =
x2y2
+ ψ(y)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
Dada la ecuación deferencial( y1 + x2
− 2xy2)dx + (arctan x − 2x2y + 1)dy = 0,
verificar que es exacta y resolverla.
Solución
Tenemos: M(x , y) =y
1 + x2− 2xy2 y N(x , y) = arctan x − 2x2y + 1. Entonces:
∂M(x , y)∂y
=1
1 + x2− 4xy ,
∂N(x , y)∂x
=1
1 + x2− 4xy
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
=y
1 + x2− 2xy2 (33)
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1 (34)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
x(
y1 + x2
− 2xy2) dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y) (35)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
Dada la ecuación deferencial( y1 + x2
− 2xy2)dx + (arctan x − 2x2y + 1)dy = 0,
verificar que es exacta y resolverla.
Solución
Tenemos: M(x , y) =y
1 + x2− 2xy2 y N(x , y) = arctan x − 2x2y + 1. Entonces:
∂M(x , y)∂y
=1
1 + x2− 4xy ,
∂N(x , y)∂x
=1
1 + x2− 4xy
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
=y
1 + x2− 2xy2 (33)
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1 (34)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
x(
y1 + x2
− 2xy2) dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y) (35)
Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Exactas
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
Dada la ecuación deferencial( y1 + x2
− 2xy2)dx + (arctan x − 2x2y + 1)dy = 0,
verificar que es exacta y resolverla.
Solución
Tenemos: M(x , y) =y
1 + x2− 2xy2 y N(x , y) = arctan x − 2x2y + 1. Entonces:
∂M(x , y)∂y
=1
1 + x2− 4xy ,
∂N(x , y)∂x
=1
1 + x2− 4xy
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
=y
1 + x2− 2xy2 (33)
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1 (34)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
x(
y1 + x2
− 2xy2) dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y) (35)
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
Dada la ecuación deferencial( y1 + x2
− 2xy2)dx + (arctan x − 2x2y + 1)dy = 0,
verificar que es exacta y resolverla.
Solución
Tenemos: M(x , y) =y
1 + x2− 2xy2 y N(x , y) = arctan x − 2x2y + 1. Entonces:
∂M(x , y)∂y
=1
1 + x2− 4xy ,
∂N(x , y)∂x
=1
1 + x2− 4xy
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
=y
1 + x2− 2xy2 (33)
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1 (34)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
x(
y1 + x2
− 2xy2) dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y) (35)
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
Dada la ecuación deferencial( y1 + x2
− 2xy2)dx + (arctan x − 2x2y + 1)dy = 0,
verificar que es exacta y resolverla.
Solución
Tenemos: M(x , y) =y
1 + x2− 2xy2 y N(x , y) = arctan x − 2x2y + 1. Entonces:
∂M(x , y)∂y
=1
1 + x2− 4xy ,
∂N(x , y)∂x
=1
1 + x2− 4xy
Por lo tanto, la ecuación es exacta. A partir de la primera de las ecuaciones
∂f (x , y)∂x
=y
1 + x2− 2xy2 (33)
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1 (34)
obtenemos f (x , y), integrándola:
f (x , y) =∫
x(
y1 + x2
− 2xy2) dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y) (35)
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
f (x , y) =∫
x
( y1 + x2
− 2xy2)
dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y)
Y derivando f (x , y) con respecto a y , para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y +dφ(y)
dy
Por (??)∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1
de donde,dφ(y)
dy= 1 ⇒ φ(y) = y
Por lo tanto:f (x , y) = y arctan x − x2y2 + y
Y la solucin es f (x , y) = K , es decir:
y arctan x − x2y2 + y = K
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
f (x , y) =∫
x
( y1 + x2
− 2xy2)
dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y)
Y derivando f (x , y) con respecto a y , para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y +dφ(y)
dy
Por (??)∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1
de donde,dφ(y)
dy= 1 ⇒ φ(y) = y
Por lo tanto:f (x , y) = y arctan x − x2y2 + y
Y la solucin es f (x , y) = K , es decir:
y arctan x − x2y2 + y = K
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Ecuaciones Exactas. Ejemplos
Ejemplo 4
f (x , y) =∫
x
( y1 + x2
− 2xy2)
dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y)
Y derivando f (x , y) con respecto a y , para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y +dφ(y)
dy
Por (??)∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1
de donde,dφ(y)
dy= 1 ⇒ φ(y) = y
Por lo tanto:f (x , y) = y arctan x − x2y2 + y
Y la solucin es f (x , y) = K , es decir:
y arctan x − x2y2 + y = K
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Ejemplo 4
f (x , y) =∫
x
( y1 + x2
− 2xy2)
dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y)
Y derivando f (x , y) con respecto a y , para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y +dφ(y)
dy
Por (??)∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1
de donde,dφ(y)
dy= 1 ⇒ φ(y) = y
Por lo tanto:f (x , y) = y arctan x − x2y2 + y
Y la solucin es f (x , y) = K , es decir:
y arctan x − x2y2 + y = K
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Ejemplo 4
f (x , y) =∫
x
( y1 + x2
− 2xy2)
dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y)
Y derivando f (x , y) con respecto a y , para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y +dφ(y)
dy
Por (??)∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1
de donde,dφ(y)
dy= 1 ⇒ φ(y) = y
Por lo tanto:f (x , y) = y arctan x − x2y2 + y
Y la solucin es f (x , y) = K , es decir:
y arctan x − x2y2 + y = K
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Ejemplo 4
f (x , y) =∫
x
( y1 + x2
− 2xy2)
dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y)
Y derivando f (x , y) con respecto a y , para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y +dφ(y)
dy
Por (??)∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1
de donde,dφ(y)
dy= 1 ⇒ φ(y) = y
Por lo tanto:f (x , y) = y arctan x − x2y2 + y
Y la solucin es f (x , y) = K , es decir:
y arctan x − x2y2 + y = K
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Ejemplo 4
f (x , y) =∫
x
( y1 + x2
− 2xy2)
dx + φ(y) = y arctan x − x2y2 + φ(y)
Y derivando f (x , y) con respecto a y , para utilizar (??), tenemos:
∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y +dφ(y)
dy
Por (??)∂f (x , y)∂y
= arctan x − 2x2y + 1
de donde,dφ(y)
dy= 1 ⇒ φ(y) = y
Por lo tanto:f (x , y) = y arctan x − x2y2 + y
Y la solucin es f (x , y) = K , es decir:
y arctan x − x2y2 + y = K
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