Ejercicio n 1.-

Los planetas del sistema solar, en su movimiento alrededor del Sol describen rbitas:

a) Elpticas.b) Circulares.c) Parablicas.d) Al menos dos de las respuestas anteriores son correctas.

Justifica tu respuesta.

Solucin:

Kepler comprob, a partir de las observaciones de Tycho Brahe, que la trayectoria de un planeta alrededor del Sol es elptica, aunque se trata de una elipse cuya excentricidad es muy pequea, hasta el punto de que puede parecer una circunferencia.

Ejercicio n 2.-

El plano que definen el Sol y la rbita que describe la Tierra alrededor de l se denomina:

a) Plano solar.b) Plano orbital.c) Plano singular.d) Eclptica.e) Perihelio.

Solucin:

El plano que contiene la rbita de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol es el plano de la eclptica.

Ejercicio n 3.-

Basndonos en la segunda ley de Kepler, podemos afirmar que, en su movimiento alrededor del Sol, la Tierra posee una velocidad:

a) Constante.b) Nula.c) Mayor, cuanto ms lejos est del Sol.d) Menor, cuanto ms lejos est del Sol.

Solucin:

La segunda ley de Kepler afirma que un planeta barre, en su movimiento alrededor del Sol,

reas iguales en tiempos iguales.

De acuerdo con la figura, cuando el planeta est ms cerca del Sol debe moverse a mayor velocidad, para recorrer la distancia AB en el mismo tiempo que recorre la distancia CD en el otro extremo de la trayectoria. De ese modo, las dos reas pueden llegar a ser iguales, como afirma la segunda ley de Kepler.

Ejercicio n 4.-

Teniendo en cuenta que la distancia Venus-Sol es 0,723 U.A., un ao de Venus, medido en aos terrestres, equivale a:

a) 0,143 b) 0,615 c) 0,723d) 0,954 e) 1,134

Dato: 1 U.A. = 1 unidad astronmica = Distancia Tierra-Sol

Solucin:

La expresin de la tercera ley de Kepler es:

cte2

3

=

TR

siendo: R = distancia del planeta al Sol.

T = perodo del planeta (tiempo que tarda en dar una vuelta completa al Sol).

Para resolver el ejercicio, tomamos como patrn la Tierra. De ese modo, RT = 1 (1 U.A., que es la distancia Tierra-Sol) y TT = 1 ao terrestre.

Como conocemos la distancia Venus-Sol, medida en unidades astronmicas, obtenemos al sustituir todos los datos:

2

3

2

3

Venus

SolVenus

Tierra

SolTierra

Td

Td

=

Despejando el perodo de traslacin de Venus, resulta:

terrestresaos615,011

)723,0( 23

32

3

3

===

TierraSolTierra

SolVenusVenus Td

dT

Ejercicio n 5.-

La Tierra describe una rbita elptica alrededor del Sol. Se llama perihelio a la posicin en la que la Tierra est ms cerca del Sol y afelio a la posicin en que est ms alejada del Sol. En qu posicin ser mayor la cantidad de movimiento de la Tierra?

a) Afelio.b) Perihelio.c) Igual en ambos.

Solucin:

La segunda ley de Kepler afirma que un planeta, en su movimiento alrededor del Sol, barre reas iguales en tiempos iguales.

De acuerdo con la figura, cuando el planeta est ms cerca del Sol debe moverse a mayor velocidad, para recorrer la distancia AB en el mismo tiempo que recorre la distancia CD en el otro extremo de la trayectoria. De ese modo, las dos reas pueden llegar a ser iguales, como afirma la segunda ley de Kepler.

Como su masa no vara, en el perihelio la Tierra tiene mayor cantidad de movimiento. La respuesta correcta es, por tanto, la b).

Ejercicio n 6.-

Calcula, en valor absoluto, la fuerza de atraccin que ejerce la Tierra sobre un cuerpo situado a 12 000 km del centro del planeta, si la masa de este cuerpo es 3106 kg. Considera ambas masas puntuales.

Datos: Masa de la Tierra = 61024 kgG = 6,71011 U.I.

Solucin:

Al sustituir los datos que conocemos en la expresin que proporciona la fuerza que ejercen entre s dos masas, debido a la accin de la gravedad, resulta:

N10375,8)1012(103106107,6 626

62411

2=

=

=

rmMGF

Ejercicio n 7.-

En una zona del espacio existe un campo gravitatorio cuya intensidad es 0,2 N/kg. Calcula la fuerza que acta sobre una masa de 1 t situada en dicho zona. Expresa el resultado en newton.

Solucin:

La fuerza que acta sobre una masa, m, situada en un punto de un campo gravitatorio en el que la intensidad del mismo es g, viene dada por la expresin:

gmF

=

Por tanto, el mdulo de la fuerza ser, en este caso:

N2002,00001 ==F

Ejercicio n 8.-

En cierta zona del espacio existe un campo gravitatorio de intensidad desconocida. Sin embargo, se sabe que la fuerza que acta sobre una masa de 1 t, debida a dicho campo, es 500 N. Cul es el valor del campo gravitatorio en la zona? Expresa el resultado en unidades S.I.

Solucin:

La fuerza que acta sobre una masa, m, situada en un punto de un campo gravitatorio en el que la intensidad del mismo es g, viene dada por la expresin:

gmF

=

Por tanto, el mdulo del vector intensidad del campo gravitatorio ser en este caso:

1kgN5,00001500

===

m

Fg

Ejercicio n 9.-

Entre las siguientes grficas, seala la que muestra cmo vara la fuerza gravitatoria ejercida entre dos masas, en funcin de la distancia.

Solucin:

La expresin que permite calcular la fuerza gravitatoria ejercida entre dos masas, M y m, separadas una distancia r, es:

rurmMGF

=2

Si las masas, M y m, no varan, la expresin que permite calcular la fuerza depende solo de la distancia entre masas, de la forma:

rurkF

=

2

Esta ecuacin es la de una hiprbola situada en el cuarto cuadrante que tiende asintticamente a 0 cuando r aumenta, como muestra la figura a).

Ejercicio n 10.-

Dos masas, M y m, estn separadas una distancia R. Si se alejan una distancia 2R, el mdulo de la fuerza gravitatoria que acta entre ellas:

a) Disminuye 4 veces.b) Disminuye 2 veces.c) No vara.d) Aumenta 2 veces.e) Aumenta 4 veces.

Solucin:

:es , fuerza, la de mdulo el , distancia una separadas estn masas las Cuando FR

2RmMGF =

:resulta , fuerza, la de mdulo el duplica, se distancia esta Cuando F

2)2('

RmMGF

=

Dividiendo una por otra, resulta:

41

)2('

2

2

=

=

RR

FF

FF =41'

Como vemos, el mdulo de la fuerza se reduce a la cuarta parte. La respuesta correcta es la a).

cSolucin:

La expresin que permite calcular el potencial gravitatorio es:

rMGVg =

Por tanto, en el caso que nos ocupa:

16

2211 kgJ800495

1010104,7107,6 =

==

rMGVg

Una vez conocido el potencial gravitatorio en ese punto, resulta sencillo calcular la energa potencial:

J109,247800495500 6=== gp VmE

Ejercicio n 12.-

Una sonda espacial se lanza desde la superficie de la Tierra, con la intencin de que escape del campo gravitatorio terrestre. Calcula la velocidad con que debe lanzarse la sonda. Expresa la velocidad en unidades S.I., con dos cifras decimales.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmMasa de la Tierra = 5,981024 kgG = 6,671011 unidades S.I.

Solucin:

La expresin que permite calcular la energa total de un satlite en rbita es:

RmMGvmE total

=2

21

En esta expresin, R es el radio de la Tierra, ya que es desde la superficie del planeta desde donde lanzamos el cuerpo.

Para que la sonda escape al campo gravitatorio, su energa total ha de ser, al menos, nula. Ello indicar que su energa cintica es suficiente para vencer el campo gravitatorio terrestre. Por tanto:

021 2

=

=

RmMGvmE total

Despejando la velocidad, resulta:

113

2411

skm2,11~sm19111103706

1098,51067,622

=

=

=

RMGv

Ejercicio n 13.-

Se lanza un cuerpo de 500 g de masa verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 10 m/s. Calcula la altura mxima a que llegar el cuerpo. Considera despreciable el rozamiento del cuerpo con el aire y sita el origen de potenciales en el punto de lanzamiento.

Considera g = 10 m/s2.

Solucin:

Al no existir rozamiento, la energa mecnica del sistema se conserva.

Inicialmente, la energa mecnica del sistema es:

J445,021

21 22

=== vmEci

J00102 === hgmE piJ404 =+=mecnicaE

Cuando la bola llega al punto ms alto del plano, su energa mecnica sigue siendo de 4 joule debido, precisamente, a la ausencia de rozamiento. Ten en cuenta, adems, que en el punto ms alto de la trayectoria la velocidad de la bola es nula. Por tanto:

pfmecnica

pf

cf

pfcfmecnica

EEhhgmE

vmE

EEE

=

==

===

+=

105,0

J005,021

21 2

Igualando la expresin de la energa potencial al valor de la energa mecnica, podemos despejar la altura:

pfmecnica EE =h= 105,04

m8,054

==h

Ejercicio n 14.-

La masa del planeta Jpiter es, aproximadamente, 318 veces la de la Tierra y su dimetro es 11 veces mayor. Calcula el peso en ese planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es 750 N.

Solucin:

La fuerza con que cada planeta atrae al astronauta situado en su superficie, es:

2planeta

planeta

RmM

GPesoF

==

Teniendo presente lo anterior, si relacionamos los pesos del astronauta en cada planeta, resulta:

2

2

Jpiter

Jpiter

Tierra

Tierra

Jpiter

Tierra

RM

G

RM

G

FF

=

En esta expresin podemos sustituir los valores que conocemos, obteniendo, de ese modo, el peso del astronauta en Jpiter:

N9711750111318

2

2

2

2

2

=

==

=

TierraJpiter

Tierra

Tierra

JpiterJpiter

JpiterTierra

Tierra

Tierra

Jpiter

Jpiter

FRR

MM

F

FF

RM

RM

Ejercicio n 15.-

Calcula la distancia a que se encuentra el punto en la lnea recta que une la Tierra con la Luna en el que la fuerza gravitatoria resultante sobre un objeto de 10 kg de masa es nula. Qu valor toma la energa potencial gravitatoria del objeto de 10 kg cuando lo situamos en ese punto? La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna, siendo esta de 7,34 1022 kg, y la distancia que las separa es 3,84 108 m.

Supn que el sistema fsico Tierra-objeto-Luna est aislado de cualquier otro cuerpo del universo.

Solucin:

En primer lugar, debemos tener en cuenta que el dato de la masa del cuerpo es intil, ya que buscar un punto donde la fuerza se anule es lo mismo que buscar un punto en el cual el campo gravitatorio se anule. Se trata, pues, de encontrar un punto, en la direccin Tierra-Luna, en el cual el campo gravitatorio sea nulo.

En primer lugar, calculamos el campo gravitatorio creado por cada cuerpo. Tomaremos como eje OX positivo la lnea Tierra-Luna, en el sentido Tierra a Luna. El origen del eje ser el centro de la Tierra. De este modo;

TLL

T uxM

Gg

=2

81

TLL

L uxLM

Gg

+=2)(

Si aplicamos el principio de superposicin y sustituimos:

[ ]11084,3(181

282 TLLLTu

xxMGgg

=+

Al igualar a cero la expresin [ 1 ], obtenemos una ecuacin de segundo grado cuya incgnita es la distancia, X, respecto al centro de la Tierra, a la cual el campo gravitatorio se anula:

010194,1101022,680 1910222 =+ xx

m. 1041,3 :ser resulta distancia La 8=x

La energa potencial en ese punto, para el cuerpo de 10 kg, se calcula por medio de la expresin:

VmE p =

El potencial en cualquier punto de la recta, V, ser la suma algebraica de los potenciales creados por cada una de las masas:

+

=+=)(

81xL

MxM

GVVV LLLT

:obtiene se m, 1041,3 punto el para doSustituyen 8=x

LT VVV +=

158

22

8

2211 kgJ1077,12

10)41,384,3(1034,7

1041,31034,7811067,6 =

+

=V

siendo la energa potencial:

J1077,12 6== VmE p

Ejercicio n 16.-

Un satlite orbita alrededor de la Tierra, a 5 000 km de la superficie. Calcula la velocidad con que se mueve en su rbita.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmMasa de la Tierra = 5,98 1024 kgG = 6,67 1011 U.I.

Solucin:

La fuerza centrpeta que hace que el satlite gire es, precisamente, la fuerza gravitatoria:

rvm

rmMGF

2

2=

=

Si despejamos en esta expresin la velocidad del satlite, resulta al sustituir:

13

2411

sm923510)00053706(1098,51067,6

=

+

=

=

rMGv

Ejercicio n 17.-

Un satlite de 30 toneladas orbita alrededor de la Tierra, a 5 000 km de la superficie. Calcula la energa total que posee el satlite.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmMasa de la Tierra = 5,98 1024 kgG = 6,67 1011 U.I.

Solucin:

La expresin que permite calcular la energa total de un satlite en rbita es:

rmMGvmE total

=2

21

Teniendo en cuenta que la fuerza centrpeta que hace que el satlite gire es la fuerza gravitatoria, la velocidad con que se mueve el satlite debe ser:

rvm

rmMGF

2

2=

=

rMGv =

Sustituyendo esta ltima expresin en la que proporciona la energa, resulta:

=

=

rmMG

rMGmET 2

1

rmMGET

=

21

Al sustituir en esta expresin los datos que conocemos, obtenemos para la energa:

J1026,510)00053706(10301098,51067,6

21

21 11

3

32411

=

+

=

=

rmMGE p

Ejercicio n 18.-

Calcula la velocidad angular de rotacin con que debe girar un satlite artificial alrededor de la Tierra, para que lo haga en una rbita cuyo radio sea doble que el radio de la Tierra.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmg = 9,8 m/s2

Solucin:

La fuerza gravitatoria que acta sobre el satlite es, precisamente, la fuerza centrpeta que lo hace girar:

TierraTierra Rvm

RmMGF

=

=

2)2(

2

2

Por tanto, la velocidad con que se mueve es:

TierraRMGv

=

2

En este ejercicio no nos proporcionan ni la constante G, ni la masa de la Tierra. Sin embargo, debemos recordar que, en la superficie de la Tierra, el satlite sera atrado con una fuerza igual a su peso. Ello nos permite escribir la siguiente relacin:

gmR

mMGFTierra

=

=2

2TierraRgMG =

Al sustituir en esta expresin los datos que conocemos, obtenemos para la energa:

J1026,510)00053706(10301098,51067,6

21

21 11

3

32411

=

+

=

=

rmMGE p

Sustituyendo ahora el producto GM en la expresin de la velocidad, resulta:

22

2 gRR

gRv Tierra

Tierra

Tierra =

=

Teniendo ahora en cuenta la expresin que permite calcular la velocidad angular, podemos obtenerla al sustituir toda la informacin que tenemos:

143 srad1039,41037068

8,98

822

2

=

=

=

=

=

==

=

Tierra

TierraTierra

Tierra

Tierra

Rg

Rg

R

gR

Rv

Rv

Rv

Ejercicio n 19.-

El perodo orbital de la Luna es de 28 das terrestres y el radio de su rbita, supuesta circular, vale 384 000 km. Con esos datos, calcula la masa terrestre, sabiendo que el valor de la constante de gravitacin universal es: G = 6,671011 U.I.

Solucin:

Considerando las masas de la Tierra y de la Luna puntuales, y suponiendo que la Luna orbita en una trayectoria circular alrededor de la Tierra debido a la accin del campo gravitatorio, podemos escribir la siguiente relacin:

LunaTierraLuna

LunaTierra

LunaTierra

Rvm

RmM

G

=

2

2

La velocidad la podemos obtener de la relacin que existe entre esta magnitud y el perodo de revolucin:

TR

v LunaTierrapi

=

2

Sustituyendo la velocidad por su valor y despejando la masa en la primera ecuacin, resulta:

2

324TG

RM LunaTierraTierra

pi=

Sustituyendo ahora los datos que facilita el enunciado, obtenemos el siguiente resultado:

kg1073,5)60032428(1067,6

)10000384(4 24211

332

=

pi=

TierraM

Ejercicio n 20.-

Se desea mandar al espacio un satlite de 100 kg de masa para que describa una rbita cuyo radio sea 1,5 veces el radio de la Tierra. Calcula la energa que hemos de comunicar al satlite para ponerlo en rbita.

Datos: Radio de la Tierra = 6 370 kmG = 6,67 1011 U.I.Masa de la Tierra = 5,98 1024 kg

Solucin:

La energa que comunicamos al satlite es el trabajo que tenemos que realizar para ponerlo en rbita, en la posicin que nos indican. Ser, por tanto, la diferencia entre la energa total que posee en la superficie de la Tierra y la que tendr en el espacio, cuando se encuentre en rbita.

La energa del satlite en la superficie de la Tierra es:

TierraRmMGE =1

Cuando se encuentra en rbita, su energa total es:

TierraRmMG

rmMGE

=

=

5,121

21

2

Por tanto, el trabajo que hemos de comunicar al satlite para ponerlo en rbita (despreciando rozamientos) ser:

TTierraTierra

RmMGW

RmMG

RmMGEEW

=

+

==

32

5,121

12

Sustituyendo los datos que proporciona el enunciado, resulta ahora:

J1025,1103706

1001098,51067,62 103

2411

=

=

W

De la editorial Anaya

Ejercicio n 1.-Ejercicio n 2.-Ejercicio n 3.-Ejercicio n 4.-Ejercicio n 5.-Ejercicio n 6.-Ejercicio n 7.-Ejercicio n 8.-Ejercicio n 9.-Ejercicio n 10.-Ejercicio n 12.-Ejercicio n 13.-Ejercicio n 14.-Ejercicio n 15.-Ejercicio n 16.-Datos: Radio de la Tierra = 6 370 km

Ejercicio n 17.-Datos: Radio de la Tierra = 6 370 km

Ejercicio n 18.-Datos: Radio de la Tierra = 6 370 km

Ejercicio n 19.-Ejercicio n 20.-