SAAVEDOCRATES

Integrales Resueltas por Saavedócrates Página 1

I N TE G R AL E S P O R S US TI TU C I Ó N I

E l m é t o do d e in t e g r a c ió n po r s u s t i t u c i ón o ca m b io d e v a r i a b l e s e ba s a e n l a r e g l a d e l a c a d e n a .

E l m é t o d o s e b a s a e n i de n t i f i c a r u n a p a r t e d e l o q u e s e v a a i n t e g r a r c o n u n a n u e v a v a r i a b l e t , d e m od o q u e s e o b t e ng a u n a i n t e g r a l m á s s e nc i l l a .

P a s o s p a r a i n t e g r a r p or s u s t i t u c i ó n

1 º S e h a c e e l c am bi o d e v a r i a b l e y s e d i f e r e n c i a e n l o s d o s t é r m i n o s:

S e d e s p e ja u y d x , s u s t i t u ye n d o e n l a i n t e gr a l :

2 º S i l a i n t e g r a l r e s u l t a n t e e s m á s s e n c i l l a , p r o ce d e m o s a in t e g r a r :

3 º S e v u e l v e a l a v a r i a b le i n i c a l :

E je r c i c i o s

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I N TE G R AL E S P O R S US TI TU C I Ó N I I

C a m b io d e v a r i a b l e x = a s e n t

I N TE G R AL E S P O R S US TI TU C I Ó N I I I

C a m b io d e v a r i a b l e x = a t g t

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I N TE G R AL E S P O R S US TI TU C I Ó N I V

C a m b io d e v a r i a b l e x = a s e c t

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I N TE G R AL E S P O R S US TI TU C I Ó N V

I n t e g r a l e s i r r a c io n a l e s ra c i o n a l e s

I n t e g r a m o s po r p a r t e s .

S e r e a l i z a l a i n t e g r a l r a c i o n a l .

Ap l i c a m o s l a s p ro p i ed a de s d e lo s l o g a r i t m o s .

SAAVEDOCRATES

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I N TE G R AL E S P O R S US TI TU C I Ó N V I

I n t e g r a l e s i r r a c io n a l e s co n d i s t i n t o s í nd i c e s

E n l a s f u n c i o n e s r a c i o na l e s d e r a d i c a l e s co n d is t i n t o s ín d i c e s , d e u n m i s m o r a d i c a n d o l i n e a l a x + b , e l c am b io d e v a r i a b l e e s t e l e v a d o a l m í n im o co m ú n m úl t i p l o d e l os í n d i c e s .

I N TE G R AL E S P O R S US TI TU C I Ó N V I I

I n t e g r a l e s r a c io n a l e s ( s e n x , c o s x ) p a r e s : S i e s p a r . E s d e c i r :

S e r e a l i z a e l c a m bi o t = t g x . Ta m b i é n s e u t i l i z a e s t e c a m b io p a r a t o d a fu n c i ó n r a c io n a l d e t g x .

SAAVEDOCRATES

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E je r c i c i o s

I N TE G R AL E S P O R S US TI TU C I Ó N V I I I

I n t e g r a l e s r a c i on a l e s ( s e n x , c o s x ) n o p a r e : S i n o e s p a r . S e r e a l i z a e n

c a m b io .

SAAVEDOCRATES

Integrales Resueltas por Saavedócrates Página 8

E je r c i c i o s

SAAVEDOCRATES

Integrales Resueltas por Saavedócrates Página 9

IN T E G R A L E S R A C IO N A L E S I

D e p e n d i e n do d e l a s r a í ce s d e l d e n om in a d o r n o s e n c o n t r a m o s c o n lo s s igu i e n t e s c a s o s:

1 º E l d e n om in a d o r t i e n e s ó l o r a í c e s r e a l e s s im ple s

L a f r a c c i ó n p u e de e s c r i b i r s e a s í :

A, B y C s o n n úm e r o s q u e s e ob t i e n e n e f e c t u a n d o l a s um a e i d e n t i f i c a n d o c o e f i c i e n t e s o d a n d o v a l o r e s a x .

E j em p lo

S e e f e c t ú a l a s um a :

C o m o l a s d o s f r a c c io n e s t i e n e n e l m i s m o d en om in a d o r , l o s n um e r a do r e s h a n d e s e r ig u a l e s :

C a l c u l am o s l o s co e f i c i en t e s d e A, B y C d a n d o a l a x l o s v a l o r e s q u e a n u l a n a l d e no m i n a do r .

S e c a l c u l a n l a s i n t e g r a le s d e l a s f r a c c i o n e s s im p l e s :

O t r a f o r n a d e h a l l a r l o s c o e f i c i e n t e s e s r e a l i z a nd o l a s o p e r a c i o n e s e ig ua l a n d o c o e f i c i en t e s .

I g u a l am o s c o e f i c i e n t e s :

SAAVEDOCRATES

Integrales Resueltas por Saavedócrates Página 10

I N TE G R AL E S R AC I O N AL E S I I

2 º E l d e n om in a d o r t i e n e s ó l o r a í c e s r e a l e s m ú l t ip l e s

L a f r a c c i ó n pu e de e s c r i b i r s e a s í :

E j em p lo I

P a r a c a l c u l a r A, B y C , s u s t i t u im o s x p o r − 3 :

D e r i v a m o s y v o l v e m o s a s u s t i t u i r p or m e n o s − 3 :

V o l v em o s a d e r i v a r :

Ta m b i é n p od e m o s h a l l a r l o s c o e f i c i e n t e s r e a l i z a n d o l a s o p e r a c i o n e s e i gu a l a n do c o e f i c i e n t e s :

E j em p lo I I

P a r a c a l c u l a r l o s v a lo r es d e A, B y C , d a m o s a x l o s v a l o r e s q u e a n u la n a l d e n o m i n a do r y o t r o m á s .

SAAVEDOCRATES

Integrales Resueltas por Saavedócrates Página 11

I N TE G R AL E S R AC I O N AL E S I I I

3 º E l d e n om in a d o r t i e n e r a í c e s c om p l e ja s s im pl es

L a f r a c c i ó n p u e de e s c r i b i r s e a s í :

E s t a i n t e g r a l s e d e s c om p o n e e n u n a d e t i p o lo g ra r i t m i co y o t r a d e t i po ar c o t a n g e n t e .

E j em p lo I

I g u a l am o s l o s c o e f i c i e n te s d e lo s do s m i em b ro s .

M u l t ip l i c a m o s p or 2 en l a s e g u n d a i n t e gr a l p a r a i r p r ep a r á d o l a .

E l 2 d e l nu m e r a do r d e se g u n d a i n t e g r a l l o t r a n fo r m am o s en 1 + 1 .

D e s c o m p o n em o s l a s e g un d a in t e g r a l e n o t r a s d os .

L a s d o s p r im e r a s i n t e g ra l e s s o n d e t i p o l og a r í tm i c o .

L a i n t e g r a l q u e n o s qu ed a e s d e t i p o a r c o t a n g en t e .

T r a n s f o r m a m o s e l d e n om i n ad o r en un b i n om i o a l c u a d r ad o .

SAAVEDOCRATES

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M u l t ip l i c a m o s n um e r a dor y d e n o m i n a do r po r 4 / 3 , p a r a ob t e n e r un o en e l d e n o m i n a do r .

D e n t r o d e l b i n om io a l c ua d r a d o m ul t i p l i c a r em o s p o r s u r a í z cu a d r a d a d e 4 / 3 .

E j em p lo I I

M u l t ip l i c a m o s y d i v i d im o s e n l a p r im e r a f r a c c i ón p o r 2 .

T r a n s f o r m a m o s e l d e n om i n ad o r en un b i n om i o a l c u a d r ad o .

R e a l i z am o s u n c a m bi o de v a r i a b l e .

I N TE G R AL E S TR I G O N OM É TR I C AS I

P o t e n c i a s p a r e s d e s e n x o c o s x E l s e n o y c o s e n o d e l á ng u lo m i t a d s o n:

S i n e s p a r , e n t o n c e s s e p u e d e n e s c r i b i r s e nn y c o s

n e n f o r m a d e p ot e n c i a s d e y

r e s p e c t i v a m e n t e .

SAAVEDOCRATES

Integrales Resueltas por Saavedócrates Página 13

E je m p lo s

I N TE G R AL E S TR I G O N OM É TR I C AS I I

P o t e n c i a s im p a r e s d e s en x o c o s x

E l s en o y e l c o s e n o e s t á n r e l a c i o n a do s m e d i an t e l a f ó rm ul a :

S i n e s im p a r , e n t o n c e s s e p u e d e n e s c r i b i r s e nn x c o m o :

s e n x · ( 1 − c o s2 x )

n – 2 Y c o s

n x e n f o rm a d e : c os x · ( 1 − s en

2 x )

n − 2

SAAVEDOCRATES

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I N TE G R AL E S TR I G O N OM É TR I C AS I I I

C o n e x p on e n t e p a r e i m p a r

E l e xp o n e n t e im p a r s e t ra n s f o r m a en un o p a r y o t r o im p a r .

Ta m b i é n s e p u e d e h a c e r p o r e l c am bi o d e v a r i a b l e t = s e n x o t = c o s x

I N TE G R AL E S TR I G O N OM É TR I C AS I V

P r o d u c t o s d e t i p o s e n ( nx ) · c o s (m x ) : S e t r a n s f o rm a n l o s p r o du c t o s e n s um a s :

SAAVEDOCRATES

Integrales Resueltas por Saavedócrates Página 15

co s ( - 4 x ) = c o s 4 x

E J E R C I C IO S EX TR AS

R e s o l v e r l a s s i gu i e n t e s i n t e g r a l e s d e t ip o p o t e nc i a l :

1

2

3

4

5

6

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1 4

1 5

1 6

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2 0

2 1

2 2

2 C a l c u l a r l a s i n t e g r a l e s l o g a r í t m i c a s :

1

2

3

4

5

6

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1 0

1 1

3 R e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s i n t e g r a l e s e x p on e n c i a l es :

1

2

3

4

5

6

7

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8

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4 C a l c u l a r l a s i n t e g r a l es t r i g on om é t r i c a s :

1 2

3

4

5

6

7

8

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9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

5 R e s o l v e r l a i n t e g r a l e s t r i g o n om é t r i c a s :

1

2

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3

4

5

6 C a l c u l a r l a s i n t e g r a l es :

1

2

3

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4

5

6

I N TE G R AL E S I NM E D I AT A S

S i l a f un c i ón a i n t e g r a r e s x , l a s f ó rm ul a s d e i n te g r a c i ó n s o n:

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