Libro Matem Basicas Diego F Satizábal

MATEMTICASBSICAS CONAPLICACIONAFACULTADESDECIENCIASECONMICASYEMPRESARIALES AUTOR: DIEGOFERNANDO SATIZBAL GARCA Este libro es un obsequiodepartedesuautor, perolomas importanteesque sihas ingresado todos tus datosenel formulario ( e-mail, nombre, ciudad ypas ),tellegarn ( va e-mail ) una seriedevideos( producidos por el autor )donde se explicacondetallealgunosejerciciosresueltosypropuestos. Siquieres conocer otras publicacionesyvideostales como IngenieraEconmicaMatemticasFinancierasingresaalapagina de el autor:www.diegosatizabal.comPara descargareste librodebescolocar el cursoren la parte inferioryhacerclicdonde seindica ( en el disquete ) acontinuacin. DEDICATORIA : A mi esposa PaulaAndreaL A mihijoJuanDiego : MI GRAN ADORACIN AGRADECIMIENTOS DeunamaneramuyespecialagradezcoalosestudiantesdelaUniversidad Santiago de Cali, quienes han sido los encargados de hacer las sugerencias para que esta obra cada vez sea de mejor utilidad. Mi familia ha sido fundamental en la ejecucin de este libro. Agradezco tambin a todos los profesores que de una u otra forma utilicen este texto y puedan hacerme llegar sugerencias. Definitivamente Nadie nace aprendido. Estomeobligaareconocerquelopocoqueheaprendidoselodeboamuchas personas, ya sea porque me han enseado porque he ledo sus textos. TengoqueagradecerleaunagrancantidaddeprofesoresdelaUniversidadde Valle (de la cual soy egresado)y en especial aAlfonso Bustamanteya Carlos JulioGonzlezquesonunosverdaderosmaestros,porquesondeesas personasquedespiertanelintersensumateriaacualquierindividuoylo estimulan y forman para que salga adelante. AniveldePost-gradoenlaUniversidaddelVallehansidomuyimportantespara miformacin:GustavoLineros,EduardoRuizAnzola,RubenDaroCubides, HectorFabioCeballos,CarlosHugoGiraldo,GuillermoBuenaventura,Luis Enrique Polanco, Gonzalo Sinisterra, Omar Cedeo, Melquisedec Acua, etc. EnelPost-gradoenGerenciaFinancieradelaUniversidadSantiagodeCali, agradecerlemuchoalassiguientespersonas:LuisFernandoEscobar,Carlos FernandoCuevas,JorgeEnriquebueno,RalSnchez,CarlosEduardoLeyton, DiegoNavia,alprofesorCarvalloyalexdirectordelpost-gradoJuanGuillermo Posada. Otraspersonasquenomehanenseadoperoquelesdebomuchoporhaber ledosustextosson:elIng.GermnArboledaVelez,RodrigoVrelaV.Ph.D, Arturo Infante Villareal y Guillermo Bacca. A ellos muchos agradecimientos. INTRODUCCION EltextodeMATEMATICASBASICASAPLICADASesdegranimportanciapara estudiantes de primeros semestres en las facultades de ciencias econmicas y empresariales talescomo:Finanzas,Negocios,Administracin,Economa,IngenieraComercial, Contadura , Mercadeo y ciencias afines. Esmuyimportanteaclararqueestetexto lopreparydigitpersonalmenteyen ningnmomentohasidorevisadonieditadopuestoqueloutilicnicamentecon estudiantesde pregrado hacemuchosaoscuandodictabaestamateriaendiferentesuniversidadesdelaregin(enestosmomentosmifuertesonlasmatemticasfinancieras ). Hagoestaaclaracinpuestoquenoexisteningunarigurosidadencuantoal tratamiento queledan losmatemticosyexpertoseneltema. El texto esta concebido de la siguiente manera : Posee la teora necesaria de una forma tal que explica lo necesario de una forma clara y sencilla para hacer la aplicacin posteriormente. Tiene una gran cantidad de ejercicios resueltos para que el lector tenga la posibilidad de entender la aplicacin y adems resolver otro tipo de ejercicios muy similares. Tiene una gran cantidad de ejercicios propuestos para que el lector tenga la posibilidad de practicar y afianzar los conocimientos adquiridos. Enestetextoexistenalgunosfundamentosdelgebra,peroestoestincluidoenel apndice (al final) puesto que vamos a centrar la atencin ms bien en la aplicacin. El texto se divide en ocho (9) captulos que estn conformados de la siguiente manera : CAPITULO 1 :INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES Aqusetratadeindicarallectorcomoseincrementadisminuyeunadeterminada cantidad,utilizandounfactor;yademsparadecidirsientredoscantidadessucesivas existeunincrementodisminucin.Loanteriortieneaplicacinentodaslascienciaseinclusiveennuestravida cotidiana. CAPITULO 2 :ECUACIONES En este captulo el lector estar en capacidad de resolver : -Ecuaciones lineales en una variable -Ecuaciones cuadrticas en una variable -Ecuaciones que contienen radical -Sistemas simultneos de dos ecuaciones y dos incgnitas Seplantearnunaseriedeproblemasrelacionadosconecuacionesdecosto,ingresoy utilidad. CAPITULO 3 :INECUACIONES Aqu definiremos lo que es una inecuaciny se aprender a resolver inecuaciones lineales en una variable e inecuaciones cuadrticas en una variable. CAPITULO 4 :FUNCION LINEAL Estecaptuloesunodelosmsimportantespuestoquerespectoalafuncinlinealhay mucha aplicacin en las ciencias econmicas y empresariales.Aqu,definiremos,determinaremosygraficaremoslalnearecta;ylomsimportantees queharemosunaaplicacinacostos,produccin,microeconoma,macroeconomay finanzas. CAPITULO 5 :FUNCIONCUADRATICA Aqu identificaremos una funcin cuadrtica para posteriormente graficarla y hacer lo ms importantequeesinterpretarestagrficaalrededordeproblemasqueestnrelacionados confuncionesdecosto,ingresoyutilidad.Estecaptulotienemuchaaplicacinenla determinacin de precios. CAPITULO 6 :FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA Aquinicialmente,definiremosloqueesunlogaritmoytrabajaremossupropiedades. Posteriormente resolveremos algunas ecuaciones exponenciales y logartmicas.Tambingraficaremosfuncionesdetipoexponencialylogartmica.Seharalguna aplicacin a ecuaciones de demanda de tipo exponencial . CAPITULO 7 :LIMITES Aqusedarunaideadeloqueesunlimite,yestoloharemosexclusivamentepara abordar el capitulo de derivadas . CAPITULO 8 :LA DERIVADA Aqu daremos un concepto breve de lo que es la derivada, y nos concentraremos en hacer una aplicacin a las ciencias econmicas y empresarialesmediante ejerciciosde optimizacin yanlisis marginal. CAPITULO9 :APENDICE EnesteCaptulotrataremosalgunoscasosdefactorizacinyalgunaspropiedadesdela potenciacin y radicacin; para luego simplificar expresiones algebraicas donde se requiere lo expuesto anteriormente. Adems est incluido el conceptodelo que es una progresin aritmticaygeomtrica consus respectivosejercicios INDICE PAG. CAPITULO 1INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES11 Incrementos Porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Disminuciones Porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 CAPITULO 2ECUACIONES19 Solucin de Ecuaciones Lineales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Solucin de Ecuaciones Cuadrticas en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Solucin de Ecuaciones que Contienen Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 Sistema Simultaneo de 2 Ecuaciones con 2 Incgnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Mtodo de Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Mtodo de Igualacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Mtodo de Reduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Aplicacin a Costosy Produccin Ecuaciones de Costo, Ingreso y Utilidad . . . . .38 Problemas de Aplicacin Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Problemas de Aplicacin Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 CAPITULO 3INECUACIONES 57 Representacin Grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Desigualdades Lineales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Solucin de Inecuaciones Cuadrticas en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 CAPITULO 4FUNCION LINEAL 72 Funciones y Grficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Funcin Lneal Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 Clculo de la Pendiente Dados 2 Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 Clculo de la Ecuacin de la Recta Dados 1 Punto y una Pendiente . . . . . . . . . . . . . . 80 Grfica de la Lnea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Rectas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Rectas Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Interpolacin Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Ejercicio Resuelto con aplicacin a costo, ingreso y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 Aplicacin a Microeconoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Relaciones de Demanda y Oferta Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .107 Funcin de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Funcin de Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .110 Punto de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Elasticidad Precio de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 Elasticidad Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 Aplicacin a Macroeconoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Funcin de consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 Curva de Demanda de Inversin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 131 Ecuacin de la Curva IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 Ejercicio Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 Ecuacin de la Curva LM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .142 Multiplicador de la Poltica Fiscal y Monetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Ejercicio Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 CAPITULO 5FUNCION CUADRATICA158 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158 Grfica de la Funcin Cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Grfica de la Parbola Utilizando el Vrtice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Clculo de la Ecuacin de una Parbola Dados 3 Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Ejercicios Resueltos (Funcin de Costo, Ingreso y Utilidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 CAPITULO 6FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA 185 Logaritmos Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186 Solucin de Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Funcin Exponencial y Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203Funcin Exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Funcin Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 CAPITULO 7LIMITES 216 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 El numero de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .223 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 CAPITULO 8LADERIVADA229 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .231 Ecuacin de la rectatangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Ecuacin de la rectanormal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236 Derivada de la potencia N- esima de unavariable .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Derivada de una constante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237 Derivada del producto entre una constante y una funcin .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237 Derivada de una suma de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 Derivada del producto de 2 funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Derivada del cocientede funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239 Derivada de una funcin compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Derivacinimplcita.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Derivadas de orden superior .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252 Grafica de una funcin utilizando derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 Criterios de la primera derivada .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255 Criterios de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256 Ejercicioresuelto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 257 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Problemas de optimizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Elasticidad punto de la demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Anlisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280 Ingreso y utilidad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285 Ingreso marginal en trminos deelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Ejercicios resuelto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Costo total medio, costo variable medio y costo fijo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 CAPITULO 9APENDICE298 Algunos Casos de Factorizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Factor Comn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Diferencia de Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .298 Suma y Diferencia de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299 Trinomio Cuadrado Perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300 Trinomio de la Formaax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Simplificacin de Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307 Propiedades de Potenciacin y Radicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322 Progresin Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Progresin Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Distancia Entre Dos Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Coordenadas del Punto Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Ecuacin de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341 Ecuacin de la Parbola (Forma Cannica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Ecuaciones con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Problemas de Aplicacin de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350 Bibliografa . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352 LIBRODEMATEMTICASBSICAS CONAPLICACIONESAFACULTADESDECIENCIASECONMICASYEMPRESARIALES AUTOR: DIEGOFERNANDO SATIZBAL GARCA Este libro es un obsequiodepartedesuautor, perolomas importanteesque sihas ingresado todos tus datosenel formulario ( e-mail, nombre, ciudad ypas ),posteriormente te empezar allegar una seriedevideos( producidos por el autor )donde se explicacondetallealgunosejerciciosresueltosypropuestos. Si quieres conocer otras publicacionesyvideostales como IngenieraEconmicaMatemticasFinancierasingresaalapagina de el autor:www.diegosatizabal.comPara descargareste librodebescolocar el cursoren la parte inferioryhacerclicdonde seindica ( en el disquete ) acontinuacin. DEDICATORIA : A mi esposa PaulaAndreaL A mihijoJuanDiego : MI GRAN ADORACIN AGRADECIMIENTOS DeunamaneramuyespecialagradezcoalosestudiantesdelaUniversidad Santiago de Cali, quienes han sido los encargados de hacer las sugerencias para que esta obra cada vez sea de mejor utilidad. Mi familia ha sido fundamental en la ejecucin de este libro. Agradezco tambin a todos los profesores que de una u otra forma utilicen este texto y puedan hacerme llegar sugerencias. Definitivamente Nadie nace aprendido. Estomeobligaareconocerquelopocoqueheaprendidoselodeboamuchas personas, ya sea porque me han enseado porque he ledo sus textos. TengoqueagradecerleaunagrancantidaddeprofesoresdelaUniversidadde Valle (de la cual soy egresado)y en especial aAlfonso Bustamanteya Carlos JulioGonzlezquesonunosverdaderosmaestros,porquesondeesas personasquedespiertanelintersensumateriaacualquierindividuoylo estimulan y forman para que salga adelante. AniveldePost-gradoenlaUniversidaddelVallehansidomuyimportantespara miformacin:GustavoLineros,EduardoRuizAnzola,RubenDaroCubides, HectorFabioCeballos,CarlosHugoGiraldo,GuillermoBuenaventura,Luis Enrique Polanco, Gonzalo Sinisterra, Omar Cedeo, Melquisedec Acua, etc. EnelPost-gradoenGerenciaFinancieradelaUniversidadSantiagodeCali, agradecerlemuchoalassiguientespersonas:LuisFernandoEscobar,Carlos FernandoCuevas,JorgeEnriquebueno,RalSnchez,CarlosEduardoLeyton, DiegoNavia,alprofesorCarvalloyalexdirectordelpost-gradoJuanGuillermo Posada. Otraspersonasquenomehanenseadoperoquelesdebomuchoporhaber ledosustextosson:elIng.GermnArboledaVelez,RodrigoVrelaV.Ph.D, Arturo Infante Villareal y Guillermo Bacca. A ellos muchos agradecimientos. INTRODUCCION EltextodeMATEMATICASBASICASAPLICADASesdegranimportanciapara estudiantes de primeros semestres en las facultades de ciencias econmicas y empresariales talescomo:Finanzas,Negocios,Administracin,Economa,IngenieraComercial, Contadura , Mercadeo y ciencias afines. Es muyimportanteaclararqueestetextolohepreparydigitpersonalmenteyen ningnmomentohasidorevisadonieditadopuestoqueloutilicenicamentecon misestudiantesdepregradohacemuchosaoscuandodictabaestamateriaendiferentesuniversidadesdelaregin(enestosmomentosmifuertesonlasmatemticasfinancieras ). Hagoestaaclaracinpuestoquenoexisteningunarigurosidadencuantoal tratamiento queledan losmatemticosyexpertoseneltema ( mejordichoestetexto lo visualizocomounacartilla ). El texto esta concebido de la siguiente manera : Posee la teora necesaria de una forma tal que explica lo necesario de una forma clara y sencilla para hacer la aplicacin posteriormente. Tiene una gran cantidad de ejercicios resueltos para que el lector tenga la posibilidad de entender la aplicacin y adems resolver otro tipo de ejercicios muy similares. Tiene una gran cantidad de ejercicios propuestos para que el lector tenga la posibilidad de practicar y afianzar los conocimientos adquiridos. Enestetextoexistenalgunosfundamentosdelgebra,peroestoestincluidoenel apndice (al final) puesto que vamos a centrar la atencin ms bien en la aplicacin. El texto se divide en ocho (9) captulos que estn conformados de la siguiente manera : CAPITULO 1 :INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES Aqusetratadeindicarallectorcomoseincrementadisminuyeunadeterminada cantidad,utilizandounfactor;yademsparadecidirsientredoscantidadessucesivas existeunincrementodisminucin.Loanteriortieneaplicacinentodaslascienciaseinclusiveennuestravida cotidiana. CAPITULO 2 :ECUACIONES En este captulo el lector estar en capacidad de resolver : -Ecuaciones lineales en una variable -Ecuaciones cuadrticas en una variable -Ecuaciones que contienen radical -Sistemas simultneos de dos ecuaciones y dos incgnitas Seplantearnunaseriedeproblemasrelacionadosconecuacionesdecosto,ingresoy utilidad. CAPITULO 3 :INECUACIONES Aqu definiremos lo que es una inecuaciny se aprender a resolver inecuaciones lineales en una variable e inecuaciones cuadrticas en una variable. CAPITULO 4 :FUNCION LINEAL Estecaptuloesunodelosmsimportantespuestoquerespectoalafuncinlinealhay mucha aplicacin en las ciencias econmicas y empresariales.Aqu,definiremos,determinaremosygraficaremoslalnearecta;ylomsimportantees queharemosunaaplicacinacostos,produccin,microeconoma,macroeconomay finanzas. CAPITULO 5 :FUNCIONCUADRATICA Aqu identificaremos una funcin cuadrtica para posteriormente graficarla y hacer lo ms importantequeesinterpretarestagrficaalrededordeproblemasqueestnrelacionados confuncionesdecosto,ingresoyutilidad.Estecaptulotienemuchaaplicacinenla determinacin de precios. CAPITULO 6 :FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA Aquinicialmente,definiremosloqueesunlogaritmoytrabajaremossupropiedades. Posteriormente resolveremos algunas ecuaciones exponenciales y logartmicas.Tambingraficaremosfuncionesdetipoexponencialylogartmica.Seharalguna aplicacin a ecuaciones de demanda de tipo exponencial . CAPITULO 7 :LIMITES Aqusedarunaideadeloqueesunlimite,yestoloharemosexclusivamentepara abordar el capitulo de derivadas . CAPITULO 8 :LA DERIVADA Aqu daremos un concepto breve de lo que es la derivada, y nos concentraremos en hacer una aplicacin a las ciencias econmicas y empresarialesmediante ejerciciosde optimizacin yanlisis marginal. CAPITULO9 :APENDICE EnesteCaptulotrataremosalgunoscasosdefactorizacinyalgunaspropiedadesdela potenciacin y radicacin; para luego simplificar expresiones algebraicas donde se requiere lo expuesto anteriormente. Adems est incluido el conceptodelo que es una progresin aritmticaygeomtrica consus respectivosejercicios INDICE PAG. CAPITULO 1INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES11 Incrementos Porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Disminuciones Porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 CAPITULO 2ECUACIONES19 Solucin de Ecuaciones Lineales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Solucin de Ecuaciones Cuadrticas en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Solucin de Ecuaciones que Contienen Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 Sistema Simultaneo de 2 Ecuaciones con 2 Incgnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Mtodo de Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Mtodo de Igualacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Mtodo de Reduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Aplicacin a Costosy Produccin Ecuaciones de Costo, Ingreso y Utilidad . . . . .38 Problemas de Aplicacin Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Problemas de Aplicacin Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 CAPITULO 3INECUACIONES 57 Representacin Grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Desigualdades Lineales en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Solucin de Inecuaciones Cuadrticas en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 CAPITULO 4FUNCION LINEAL 72 Funciones y Grficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Funcin Lneal Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 Clculo de la Pendiente Dados 2 Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 Clculo de la Ecuacin de la Recta Dados 1 Punto y una Pendiente . . . . . . . . . . . . . . 80 Grfica de la Lnea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Rectas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Rectas Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Interpolacin Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Ejercicio Resuelto con aplicacin a costo, ingreso y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 Aplicacin a Microeconoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Relaciones de Demanda y Oferta Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .107 Funcin de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Funcin de Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .110 Punto de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Elasticidad Precio de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 Elasticidad Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 Aplicacin a Macroeconoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Funcin de consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 Curva de Demanda de Inversin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 131 Ecuacin de la Curva IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 Ejercicio Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 Ecuacin de la Curva LM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .142 Multiplicador de la Poltica Fiscal y Monetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Ejercicio Resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 CAPITULO 5FUNCION CUADRATICA158 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158 Grfica de la Funcin Cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Grfica de la Parbola Utilizando el Vrtice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Clculo de la Ecuacin de una Parbola Dados 3 Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Ejercicios Resueltos (Funcin de Costo, Ingreso y Utilidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 CAPITULO 6FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA 185 Logaritmos Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186 Solucin de Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Funcin Exponencial y Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203Funcin Exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Funcin Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 CAPITULO 7LIMITES 216 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 El numero de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .223 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 CAPITULO 8LADERIVADA229 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .231 Ecuacin de la rectatangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Ecuacin de la rectanormal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236 Derivada de la potencia N- esima de unavariable .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Derivada de una constante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237 Derivada del producto entre una constante y una funcin .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237 Derivada de una suma de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 Derivada del producto de 2 funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Derivada del cocientede funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239 Derivada de una funcin compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Derivacinimplcita.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Derivadas de orden superior .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252 Grafica de una funcin utilizando derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 Criterios de la primera derivada .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255 Criterios de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256 Ejercicioresuelto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 257 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Problemas de optimizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Elasticidad punto de la demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Anlisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280 Ingreso y utilidad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285 Ingreso marginal en trminos deelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Ejercicios resuelto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Costo total medio, costo variable medio y costo fijo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 CAPITULO 9APENDICE298 Algunos Casos de Factorizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Factor Comn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Diferencia de Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .298 Suma y Diferencia de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299 Trinomio Cuadrado Perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300 Trinomio de la Formaax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Simplificacin de Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307 Propiedades de Potenciacin y Radicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322 Progresin Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Progresin Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Distancia Entre Dos Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Coordenadas del Punto Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Ecuacin de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341 Ecuacin de la Parbola (Forma Cannica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Ecuaciones con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Problemas de Aplicacin de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350 Bibliografa . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAINCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 11 INCREMENTOS Puedesermuyusualenciertasocasionesaumentardisminuirunaciertacantidadenun porcentaje determinado. Por ejemplo, si quisiramos aumentarle a 500 su 20%. Como lo haramos ? R/ Debemos obtener primero el 20% de 500.Como ? 10020 (500)0.2 (500) = 100 Ahora sumemos :500 + 100=600Resultado final. Se podra hacer de otra forma ? De otra forma haramos lo siguiente : 500 (1.2)= 600Resultado final Cmo se hizo ? Veamos :500 + 20100(500)=> 500 + 0.2 (500) sacando factor comn 500 (1 + 0.2) 500 (1.2) = 600 Resultado final Y si quisiramos incrementar 500 pero en un 30% ? CAPITULO INCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 1 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAINCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 12 R/ Tendramos :500 + 30100(500) 500 + 0.3 (500) 500 (1 + 0.3) 500 (1.3) = 650 Incrementar 500 en un 40% Incrementar 500 en un 8% Incrementar 500 en un 16% De lo anterior podemos observar lo siguiente : Sivamosaincrementarunacantidadenun20%,debemosmultiplicarporunfactor equivalente a 1.2 . Por que 1.2 ?Veamos : 1.2=1 +0.2 20100 Esto significa 20% Y si hubiera sido el incremento de un 30% ? R/El factor seria 1.3 1.3= 1 +0.3 30100 Esto significa 30% Y si hubiera sido el incremento de un 8% ? R/El factor seria 1.08 1.08= 1 +0.08 8100 Esto significa 8% En trminos generales : Si se va a incrementar un valor dado (P) en un determinado porcentaje (por ejemplo 43%), se debe multiplicarel valorde (P) porun factor equivalente (o igual) a 1.43 y el resultado final sera :1.43 P este es el resultado final. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAINCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 13 EJERCICIOS RESUELTOS 1) Se tiene un valor constante (P) y se debe incrementar en un determinado porcentaje, para cada caso decir por que factor se debe multiplicar. a) En un 25% R/1.25P b) En un 32% R/1.32P c) En un 85% R/ d) En un 16% R/ e) En un 5% R/ f) En un 1% R/ g) En un 120%R/ 2)ParacadacasosetieneunacantidadconstantePmultiplicadaporunfactor,decir entonces en que porcentaje se esta incrementando P . a)1.28 P Pest incrementada en un 28% b)1.43 P Pest incrementada en unc)1.025 P Pest incrementada en un d)1.94 P Pest incrementada en un e)1.14 P Pest incrementada en un f)2.5 P Pest incrementada en un Sitengounacantidad,porejemplo2000ylaincrementamosenun30%tendramos entonces : 2000 (1.3)=2600 Si a esta cantidad resultante la quisiramos incrementar en un 20% nos dara entonces : 2600 (1.2)= 3120 Si a esta ltima (3120) la incrementamos en un 5% obtendramos : 3120 (1.05)= 3276 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAINCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 14 Este ltimo valor (3276) lo hubiramos podido sacar inmediatamente as : 2000 (1.3) (1.2) (1.05) = 3276 2000 (1.638) = 3276 Enotraspalabras ;hacerlosincrementossucesivosdel30%,20%y5%esequivalentea incrementar 2000 en un 63.8% 3)Enlossiguientesejerciciosdadounvalorinicialhacerlosincrementossucesivose indicar con un solo porcentaje como se obtendra el resultado final, dado el valor inicial. Valor inicial Incrementos Sucesivos (%) Resultado parcial% a)3000 b)500000 c)400000 d)P 25 - 32 - 7 31 - 22 - 16 20 - 5.3 - 18 - 20.5 4.5 - 21 - 32.5 - 12.3 3000(1.25)(1.32)(1.07)3000(1.7655)76.55% DISMINUCIONES PORCENTUALES Quesucedesiqueremosdisminuirunacantidaddeterminadaenunporcentajedado,por ejemplo :Disminuir 500 en un 20%. Procedimiento : 500 - 20100(500) 500 - 0.2 (500) sacando factor comn500 (1 - 0.2)=> 500 (0.8)=> 400Resultado final Podemos observar que el factor por el que debemos multiplicar es 0.8 (factor menorque 1) Recordemos que el factor 0.8 se obtiene de la siguiente forma : 0.8 1-0.2 20100 Esto significa 20% Disminuir DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAINCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 15 Si quisiramos disminuir una cantidad en un 30% el factor seria 0.7 4)Enlossiguientesejerciciosdadounvalorinicial,decircualdebeserelfactorpara disminuir la cantidad en el porcentaje dado. Valor inicialDisminuir enFactor a multiplicar Resultado parcial Resultado final 6000 85000 100000 40000 200000 350000 25% 15% 5% 90% 1% 7.5% 1 - 0.256000 (0.75)4500 5)ParacadacasosetieneunacantidadPmultiplicadaporunfactor,decirenque porcentaje se esta disminuyendo P. a)0.72 P Pse est disminuyendo en un 28% b)0.84 P Pse est disminuyendo en unc)0.96 P Pse est disminuyendo en und)0.08 P Pse est disminuyendo en un e)0.99 P Pse est disminuyendo en un f)0.01 P Pse est disminuyendo en un Ejercicio : Se tiene una cantidad, por ejemplo 50000 y se van a hacer los incrementos disminuciones porcentuales sucesivos : Aumentar en un 15%, posteriormente disminuir en un 10% y luego aumentar en un 20%. R/50000 (1.15) (0.9)(1.2)50000 (1.242)incremento del 24.2% incremento del 20% incremento disminucin del 15%del 10% Enconclusinpodemosafirmarqueaumentarunacantidadenun15%,disminuirlaenun 10% y aumentarla en un 20%, es equivalente a aumentar la cantidad inicial en un 24.2%. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAINCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 16 6)Paracadacasoaumentar,disminuiryaumentarporcentualmenteunacantidaddaday decir finalmente si el resultado es equivalente a un aumento o disminucin porcentual de la cantidad inicial. Cantidad inicial Aume. (%) Dismi. (%) Aumen. (%) Resultado parcialResultado final a)45000 b)80000 c)100000 d)250000 e)P f)P 30% 5% 16% 16% 10% 16% 25% 40% 16% 25% 20% 10% 15% 20% 5% 14.95% 10% 0% 45000(1.3)(0.75)(1.15)80000(1.05)(0.6)(1.2) Aumento del 12.13% Disminucin del 24.4% Esprobablequesetengalacreenciadequealdisminuirunacantidaddeterminadaenun porcentaje y luego al aumentarla en el mismo porcentaje el resultado final sea el mismo. Ejemplo :Disminuir500enun20%yposteriormentelacantidadresultanteaumentarla otra vez en el mismo 20%. Procedimiento : Disminuir en 20% 500 (0.8) = 400 Aumentar en 20% 400 (1.2) = 480 Podemos observar que el resultado final es 480 y no lo que probablemente se crea era 500. Preguntmonos ahora a que porcentaje corresponde 480 respecto de 500 ? Para responder esto podemos hacer lo siguiente : 480500 = 0.96paso a multiplicar a . . . .500 480 = 500 (0.96) Delaigualdadanteriorpodemosdeducirqueel96%de500esiguala480queeslo mismo 480 corresponde a un 96% de 500. 7)En los siguientes ejercicios decir a que porcentaje corresponde una cantidad respecto de otra mayor. a) Que porcentaje ser 2000 de 4000 ? 2000/4000 = 0.5 R/ 50% b) Que porcentaje ser 8000 de 15000 ?8000/15000 = 0.5333 R/ 53.33% c) Que porcentaje ser 185000 de 350000 ? DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAINCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 17 d) Que porcentaje ser 45000 de 900000 ? e) Que porcentaje ser 48000 de 720000 ? Quesucedeahorasia500loincrementamosenun 20%y posteriormente lo disminuimos en un 20% ? Procedimiento : 500 (1.2) = 600 600 (0.8) = 480 Observamos entonces que el resultado es el mismo. Por que ? Veamos : Para el primer caso los pasos fueron los siguientes (500) (0.8) (1.2) = 480 Para el segundo caso los pasos fueron los siguientes(500) (1.2) (0.8) = 480 Aqusepuedeverqueparalosdoscasoslosfactoressonlosmismos.Quesucedesi establezco el siguiente cociente : 500400= 1.25 500 = 400 (1.25) Esto me indica que si incremento a 400 en un 25% el resultado es 500. Por que es importante esto ? Supongamos la siguiente situacin : EnunaempresaXlasventasenelao1996fueronde$895300.000,mientrasqueenel ao1997fuede$1535200.000.Enqueporcentajeaumentaronlasventasenelao1997 respecto del ao 1996 ? R/1535200 000895300 000' .' .=1.7147 Que hubiera pasado si las ventas en el ao 1996 son de $895300.000 y en el ao 1997de $761005.000. En que porcentaje se han disminuido las ventas ? R/761005000895300 000' .' .=0.85 761005.000 = 895300.000 (0.85) La igualdad anterior debido al factor (0.85) me indica que las ventas han disminudo en un 15%. estefactorindicaqueparaelao1996lasventas aumentan en un 71.47%. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAINCREMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 18 8)En el siguiente ejercicio se dan las ventas de la compaa ABC desde el ao 1990 basta el ao 1997. Decir en que porcentaje aumentaron o disminuyeron las ventas anualmente ? COMPAA ABC AoVentas en milesFactorConclusin 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 45328 55527 50236 62695 78744 69295 95627 147457 1.225 0.9047 Aument en un 22.5% Disminuy en un 9.53% DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 19 Los objetivos de este captulo son los siguientes : 1.Identificar una ecuacin 2.Resolver una ecuacin lineal en una variable 3.Resolver una ecuacin cuadrtica en una variable 4.Resolver una ecuacin que contiene radical 5.Resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas 6.Resolver problemas de aplicacin Que es una ecuacin ? R/ Definicin : Una ecuacin es una igualdad donde interviene una o ms variables y cuyo objetivo es determinar el valor de esa o esas variables para que se me de la igualdad. Los ejemplos siguientes son ecuaciones : 3x + 5 = 11 => x = ? 2x - 5x + 8 = 0=> x = ?3x - 2y = 0=> x = ?y y = ? 4xy - 5x = 9=> x = ?y y = ? Por ejemplo3x + 8 = 14 es una ecuacin y la solucin esx = 2. Por qu ? R/Si reemplazamosx = 2en la ecuacin obtenemos : 3 (2) + 8= 1414 = 14ok! CAPITULO ECUACIONES 2 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 20 Observemos que al reemplazarx = 2en la ecuacin se cumpli la igualdad. Cmo se determinx = 2 ? R/La ecuacin3x + 8 = 14se llama ecuacin lineal en una variable. Veamos : SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE Forma ax + b = c SOLUCION ax = c - b

x = (c - b) / a(*) Para comprobar que esta es la solucin debemos reemplazar el valor dexen (*) en la ecuacin original. Veamos : a( ) c ba +b =c=>c - b+b=c =>c=c Como la igualdad se cumpli, esto indica que la solucin esx=(c - b) / a. Ejemplos :Resolver para cada incgnita. 1)3x + 8 = 14 => 3x = 14 - 8 => 3x = 6 => x = 6/3x = 2 Reemplacemos en la ecuacin original 3(2) + 8 = 14=> 6 + 8 = 14 14 = 14OK !s/x = 2 5x + 6 2) =7=>5x + 6 = 21 =>5x = 21 - 6 35x = 15 x = 3 3)42 343 5 x x +=5x 3 = 3 + 2x DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 21Observemos que desapareci el denominador del lado izquierdo y derecho. Por qu ? R/Si tenemos la siguiente situacin por ejemplobcba= Podramos multiplicar toda la ecuacin porby esto nos dara : bbcbba. . = a = c O de una forma ms sencilla : Si tengo bcba= imaginemos de que el denominador del lado izquierdo(b) que esta dividiendo pasa a multiplicar al lado derecho, esto sera : a =bbc. a = c Observemos que se cancelb. Lo mismo sucede con 42 343 5 x x += 5x 3 = 3 + 2x5x 2x = 3 + 33x = 6 x = 2 En lo sucesivo si el denominador de TODO el lado izquierdo es igual al denominador de TODO el lado derecho, simplemente lo que hacemos ser cancelarlos. 4) Resolver : 33 2635 2 x x = + Aqu no se pueden cancelar puesto que el nmero3(denominador) de la izquierda no es denominador de todo ese lado (izquierdo). Qu se debe hacer ? R/Al lado izquierdo se suman los fraccionarios para obtener un solo denominador. Veamos : DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 22 33 2318 5 2 x x =+ 2x 5 + 18 = - (2 3x) 2x + 13 = -2 + 3x13 + 2 = 3x - 2x 15 = x 2x - 3 6 - 3x 2 - 6x x 5) +=- 4312 1 3(2x - 3) + 4(6 - 3x)1(2 - 6x) - 12x = 1212 6x - 9 + 24 - 12x=2 - 6x - 12x=>-6x + 15=2 - 18x -6x + 18x = 2 - 15=>12x = -13x = - 13/12 3 - 5x4x - 52x - 33 - x 6)-+=-(Sacando m.c.m) 124612 -1(3 - 5x) + 3(4x - 5) 2(2x - 3) - (3 - x) = 1212 -3 + 5x + 12x - 15 = 4x - 6 - 3 + x => 17x - 18 = 5x - 9 17x - 5x = -9 + 18=>12x = 9x = 9/12=>x = 3/4 3 - 8x3 + 2x 5x - 22x 7)-+=+ 186 123 -1(3 - 8x) + 3(3 + 2x)5x - 2 + 4(2x) = 1812 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 23 -3 + 8x + 9 + 6x5x - 2 + 8x14x + 613x - 2 ==>= 6 * 3 6 * 232 2(14x + 6) = 3(13x - 2) => 28x + 12 = 39x - 6 28x - 39x = - 6 - 12 =>- 11x = - 18 (- 1) =>11x = 18 x = 18/11 SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE Forma=>ax + bx +c = 0 ; a 0 Ejemplos : -3x + 6x - 8 = 0a = -3b = 6c = -8 2x - 3x= 0a = 2b = -3c = 0 4m - 8= 0a = 4b = 0c = -8 6z = 0a = 6b = 0c = 0 1/3x+ 2/5x - 3 = 0a = 1/3b = 2/5c = -3 0.01x + 0.5x - 8 = 0 a = 0.01b = 0.5c = - 8 3.25z + 2.42z = 0 a = 3.25b = 2.42c = 0 1/5m - 0.032m + 1.26 = 0a = 1/5b = -0.032c = 1.26 Las anteriores son ecuaciones cuadrticas en una variable. Observemos que todas son de la formaax2 + bx + c = 0naturalmente dondea 0.En cada caso se tienea, b yc. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 24 Como se soluciona ? R/ Solucin : Siax + bx + c = 0x = b b aca242 b - 4acse llama discriminante.El discriminante puede ser de tres formas : Casos : 1)Si b - 4ac> 0 => hay 2 soluciones reales : x1 = + b b aca242yx2 = b b aca242 2)Sib - 4ac= 0 => hay solamente una solucin real x=- ba 2 3)Sib - 4ac< 0 =>No hay soluciones reales (las soluciones son imaginarias) Corroboremos lo anterior resolviendo las siguientes ecuaciones : 1)2x + 5x - 3 = 0a = 2b = 5c = - 3 Solucinx = b b aca242 x = 5 5 4 2 32 22( ) ( )( )( )= + 5 25 244= 5 494 Esta expresin sirve para solucionar una ecuacin cuadrtica de la formaax2 + bx + c = 0 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 25 x = 5 74=>x1 = + 5 74= 24x1 = 1/2 x2 = 5 74= 124 x2 = - 3 2)- 4x + 20x - 25 = 0 (-1) => 4x - 20x + 25 = 0 a= 4b = - 20c = 25 Nota: Regularmente cuando el valor deaes negativo se trata de multiplicar toda la ecuacin por -1 para convertir este valor deaen un nmero positivo. x = ( ) ( ) ( )( )( )20 20 4 4 252 42= 20 400 4008 =20 08 x = 20 08=>x1 = 20 08+= 208 x1 = 5/2 x2 = 20 08= 208x2 = 5/2 Entonces la solucin es nicax = 5/2 Observemos que como el discriminante es igual a cero, entoncesx = -ba 2 Verifiquemos x = - 820) 4 ( 2) 20 (=x = 5/2 3)3x - 5x + 40 = 0a = 3 b = - 5 c = 40 x = ( ) ( ) ( )( )( )5 5 4 3 402 32= 5 25 4806 =5 4556 R/ No hay solucin en los nmeros reales, debido a que dentro de la raz cuadrada existe un nmero negativo, y por tanto el resultado es un nmero imaginario. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 26 4)0.01x + 0.5x - 8 = 0a = 0.01b = 0.5c = - 8 x = ( . ) ( . ) ( . )( )( . )05 05 4 0 01 82 0012= + 0 5 0 25 0 320 02.. . ..= 05 0570 02. .. x = 05 0 7550 02. ..x1 = 12.75 yx2 = -62.75 5)Resolver : 51 x + 32 6 x + = 5310 5 2 6 3 11 2 6( ) ( )( )( )x xx x+ + +=5.3 10x + 30 + 3x - 3 = 5.3(x - 1) (2x + 6) 13x + 27 = 5.3(2x + 6x - 2x - 6) => 13x + 27 = 10.6x + 31.8x - 10.6x - 31.8 13x + 27 = 10.6x + 21.2x - 31.8 =>-10.6x - 21.2x + 31.8 + 13x + 27 = 0 -10.6x - 8.2x + 58.8 = 0 (- 1) => 10.6x + 8.2x - 58.8 = 0 a = 10.6b = 8.2 c = -58.8 x = ( . ) ( . ) ( . )( . )( . )8 2 8 2 4 10 6 5882 10 62= 8 2 2560 36212. ..= 82 50 6212. .. x1 = 2 yx2- 2.77 SOLUCION DE ECUACIONES QUE CONTIENEN RADICAL solucin Forma=> x+ a = bx= b - a (elevar al cuadrado) ( x ) = (b - a) x = (b - a ) DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 27 Resolver : 1)x= 4(elevar al cuadrado)=> ( x ) = (4)x = 16 2)x 3= 5 (elevar al cuadrado)=> ( x 3 ) = 5 x 3 = 25x = 28 Debemos tener muy en cuenta lo siguiente : Se debe elevar al cuadrado TODA!La parte izquierdayTODA!la parte derechay no cada una de las partes. Por ejemplo : Si tenemosx - 5 = xy elevamos al cuadrado, no podemos cometer el siguiente error : ( x )2 (5)2 = (x)2ERROR! Que se debe hacer entonces ? R/ Se debe hacer lo siguiente : Six - 5 = xelevar al cuadrado ( x - 5 )2=x2 ESTO SI SE PUEDE HACER ! 3)2 3 x + 9 = 2x => 2 3 x =2x - 9 (elevar al cuadrado) Aqu pasamos9al otro lado para que al elevar al cuadrado desapareciera el radical. ( 2 3 x ) = (2x - 9)=>2x - 3 = 4x - 36x + 81 -4x + 38x - 84 = 0 (-1)=>4x - 38x + 84 = 0 ( 4) x - 9.5x + 21 = 0 => a = 1b = - 9.5c = 21 x = ( . ) ( . ) ( )( )( )9 5 9 5 4 1 212 12= 95 6 252. . =9 5 2 52. . DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 28 x1 = 6yx2 = 3.5 Reemplacemos en la ecuacin inicial para verificar que cumple la igualdad : Six = 6 =>2 6 3 ( ) + 9 = 2(6)=> 9 + 9 = 1212 = 12 Six = 3.5 => 2 35 3 ( . ) + 9 = 2(3.5)=> 4 + 9 = 7117 Como x = 3.5 no satisface la ecuacin ; significa entonces que x = 3.5 es una solucin extraa, por tanto x = 3.5 no sirve.R/ x = 6 4) x 4-4 x + 3= - 13=>x 4 + 13 =4 x + 3(elevar al cuadrado) Recordemos que (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2 ( x 4 + 13) = (4 x + 3 ) =>( x 4 ) + 26 x 4+ 169 =16( x + 3 ) x - 4 + 26 x 4 + 169 = 16(x + 3) => x + 165 + 26 x 4= 16x + 48 26 x 4= 15x - 117 (volvemos a elevar al cuadrado)=>(26 x 4 ) = (15x - 117) 676(x - 4) = 225x - 3510x + 13689 => 676x - 2704 = 225x - 3510x + 13689 - 225x + 3510x - 13689 +676x - 2704 = 0 - 225x + 4186x - 16393 = 0(- 1)=>225x - 4186x + 16393 = 0( 225) x - 18.6x + 72.86 = 0 a = 1 b = - 18.6 c = 72.86 x = ( . ) ( . ) ( )( . )( )186 186 4 1 72 862 12= 186 54522. . =186 7 382. . x1=13yx2 =5.6 Nota :Verificar si hay alguna solucin extraa. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 29EJERCICIOS PROPUESTOS I.Resuelva las ecuaciones siguientes : 1.1 + x = 3 - x2. 2x - 5 = - 15 - 3x 3.4(x - 3)=8 - x4. 2x - 5(1 - 3x)=1 - 3(1 - 2x) 5.3 - 2(1 - x) = 5 + 7(x - 3)6. 6y - 5(1 + 2y) = 3 + 2(1 - y) 7.3z - 2 + 4(1 - z) = 5(1 - 2z) - 128. 5[1 - 2(2z - 1)] = - 3(3z - 1) + 1 9.1 - 2[4 - 3(x + 1)] = 4(x - 5) - 110.3[2x + 1 - 2(2x - 1)] + 4 = 2[1 + 2(3 - x)] 11.3 7213x x +=+ 12.2 7353 24x x = 13.5 6223yyy = 14. 1/3 (2y + 1) + y = 2/5 (1 - 2y) - 4 15. 121143 1 + ( ) z=2312z 16. 45 445 3 x x = 17. 33 2831 4 x x = +18. 102 353 5103 4 x x x = 19. 242 434 384242 4 x x x x ++=++20. 164 2381 4167 3 + =++ x x x Respuestas : 1.x = 17. z = - 1 13. y = 219. x = - 4/5 2.x = - 28. z = 1 14. y = 122/59 20. x = 13 3.x = 49. x = - 0 15. z = 3 4.x = 3/1110.x = - 2 16. x = 9/8 5.x = 17/511.x = -19/717. x = 21 6.y = - 512.x = 94/1718. x = 9/5 II. Resuelva las siguientes ecuaciones por la frmula cuadrtica. 1. x + 3x + 1 = 0 2. x - 4x + 2 = 0 3.2x + 3x - 4 = 0 4. 3x + 6x - 2 = 05. x + x - 3 = 0 6. 4x - 12x + 9 = 0 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 30 7. 4x + 20x + 25 = 0 8. 2x + 5x - 3 = 09. 5x(x + 2) + 6 = 3 10. (4x - 1) (2x + 3) = 18x - 411. (x + 1) = 2 (x - 1) 12. (2x + 1) = 3(x + 1)13. 61 3245 3=++xx 14. 3 445 31 2+=+x xx 15.7 1 2 = + + x x 16.5 x x 2 8 2 3 = 17.7 1 3 1 2 = + + x x Respuestas : 1.x1 = - 0.38218.x1 = 0.5 14.No hay solucin en x2= - 2.618x2 = - 3 nmeros reales. 2.x1 = 3.41429.x1 = - 0.367515.x = 4 x2 = 0.5858x2 = - 1.6325 16.x1 = 6 3.x1 = 0.850810.x1 = 0.8536x2 = 4.75 x2 = - 2.3508x2 = 0.1465 17.x = 5 4.x1 = 0.29111.x1 = 5.8284 x2 = - 2.291x2 = 0.1716 5.x1 = 1.302812.x1 = 2.7321 x2 = - 2.3028x2 = - 0.7321 6.x = 1.513.x1 = - 0.2 x2 = -4.333 7.x = - 2.5 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 31 SISTEMA SIMULTANEO DE 2 ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS Un sistema simultneo de 2 ecuaciones lineales con 2 incgnitas es de la siguiente forma : a1x + b1y = c1(1) a2x + b2y = c2(2) Aqu tenemos 2 ecuaciones [ (1) y (2) ] con 2 incgnitas ( x e y). Ejemplo : y + 3x = 5 4y - 5x = 3 Reemplazando tenemos : 2 + 3 (1) = 55 = 5 Ok ! 4 (2) - 5 (1) = 3 3 = 3 Ok ! Como se determina esta solucinx = 1 yy = 2 ? Para hallar la solucin existen algunos mtodos algebraicos para resolver el sistema. Estos son : 1)Sustitucin 2)Igualacin 3)Reduccin Analicemos estos tres mtodos : 1)SUSTITUCION Consisteendespejardecualquieradelasdosecuacionesunavariable(yaseaxy)y reemplazarlaenlaotraecuacinrestante,paraquesegenereunasolaecuacinconuna incgnita. Veamos : (1) y + 3x = 5(2) 4y - 5x = 3Despejamos yde (1) y la reemplazamos en (2). Entonces de (1) y = 5 - 3x si reemplazamos en (2) quedara4(5 - 3x) - 5x = 3 El objetivo de este sistema de ecuaciones es determinar los valores de x e y que satisfagan las dos igualdades. Para este sistema los valores que satisfacen las igualdades son x = 1 yy = 2.veamos : DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 32y resolviendo nos dara : 20 - 12x - 5x = 3 => 20 - 17x = 3 => 20 - 3 = 17x 17=17xx = 1 Para determinar el valor de y reemplazamos x = 1 en cualquiera de las 2 ecuaciones, por ejemplo en (1) : y = 5 - 3 (1)y = 2 2) IGUALACION Consiste en despejar de las 2 ecuaciones la misma variable (ya sea x y) e igualarlas para que se genere una sola ecuacin con una incgnita. Veamos : (1) y + 3x = 5Despejamos de (1) y (2) la variable y, (2) 4y - 5x = 3 esto nos dara : De (1) y = 5 - 3x De (2)4y = 3 + 5x => y =3 54+ x si igualamos nos quedara 5 - 3x=3 54+ x 4 (5 - 3x) = 3 + 5x => 20 - 12x = 3 + 5x 20 - 3 = 12x + 5x => 17 = 17x1 = x Entoncesy = 5 - 3 (1) y = 2 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 33 3)REDUCCION Consiste en sumar o restar las 2 ecuaciones tratando de que se anule alguna de las 2 variables. Por ejemplo, tenemos : (1) y + 3x = 5Podemos observar que si sumamos o restamos las(2) 4y - 5x = 3 dos ecuaciones no se me anula ninguna de las variables. Pero, si multiplicamos la ecuacin (1) por- 4podremos lograr nuestro objetivo. Veamos : (1) y + 3x = 5 (* - 4) - 4y - 12 x = - 20 (2) 4y - 5x = 3 4y -5 x = 3 - 17x = -17( - 1) 17x = 17 x = 1

six = 1entonces y + 3 (1) = 5=> y = 5 - 3 y = 2 4)Resolvamos por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: (1) (x + 3) y= 20Lo ms adecuado es resolverlo por sustitucin, (2)y= 2x o sea reemplazary = 2xen(1). Entonces : ( x + 3) 2x=20=>2x + 6x = 20 =>2x + 6x - 20 = 0 si dividimos entre 2 x + 3x - 10 = 0 Factorizando tenemos (x + 5) (x - 2) = 0 Recordemos que si ab = 0 a = 0 vb = 0 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 34 De aqu x + 5=0 v x 2 = 0 x1 = - 5vx2 = 2 Si x1= - 5=> y1 =2 (- 5)y1 = - 10 Si x2 = 2 => y2=2 (2) y2 =4 La solucin definitiva sern dos parejas : x1=- 5x2 = 2 y1 =- 10 y2 =4 5)Resolver ( por sustitucin) (1) y + 2x = 4 Despejamosyde(1) y reemplazamos en(2) (2) y - 3x = 1y = 4 - 2xentonces reemplazando en(2) tenemos : (4 - 2x) - 3x = 1 => (4) - 2 (4) (2x) + (2x)- 3x = 1 16 - 16x + 4x - 3x = 1=>4x - 19x + 15 = 0 a = 4 b = - 19c = 15 x = ( ) ( ) ( )( )( )19 19 4 4 152 42

x = 19 361 2408 =19 118 x1=15/4; x2 = 1 six1=15/4 => y1= 4 - 2 (15/4) y1=- 7/2 six2 = 1 => y2 = 4 - 2 (1)y2= 2 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 35 La solucin definitiva sern 2 parejas : x1=15/4x2 = 1 y1=- 7/2y2= 2 6) Resolver el siguiente sistema : y -2 + x= 2(1) y2 - 8x = 0(2) Podemos resolver este sistema por sustitucin. Entonces despejando la variable y de(1)y reemplazarlo en(2)obtenemos : De(1) y = 2 +2 + x Reemplazando en(2) (2 +2 + x )2 8x = 0 4 + 4 2 + x+ ( 2 + x )2 - 8x = 0 4 + 4 2 + x+ x + 2 8x = 0 4 2 + x= 7x 6 [elevando al cuadrado] (4 2 + x )2 = (7x 6)2 16(x + 2) = 49x2 - 84x + 36 16x + 32 = 49x2 - 84x + 36 49x2 - 100x + 4 = 0 Resolviendo obtenemos :x1 = 2;x2 = 492 Hallary1 y2 y decir que pareja de estas es la solucin. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 36 EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones : 1)x + 4y = 3 2)4x + 2y = 93)3x - 4y = 13 3x - 2y = - 55y - 4x = 52x + 3y = 3 4)2x - y = 15)5y + 2w = 366)p + q = 3 - x + 2y = 7 8y - 3w = - 543p + 2q = 19 7)4p + 12q = 68)5x - 3y = 29)y = 4 - x 2p + 6q = 3- 10x + 6y = 43x + y = 0 10)y = x311)p = 4 - q 12)y - x = 28 x - y = 0 p = q + 2x - y = 14 13)x = y 14)p - q = 0 15)y = 4x - x + 8 y = x 3q - 2p - 1 = 0 y = x - 2x 16)x- y = 817)p =q 18)z = 4/w y - x = 0 p = q3z = 2w + 2 19)x = y + 14 20)x + y - 2xy = 1 21)x = y + 6 y = x - 163x - y = 5 y = 3 x + 4 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 37 Respuestas : 1.x = -18.No hay solucin15. x1 = 4x2 = -1 y = 1 y1 = 8y2 = 3 9.x1 = 4x2 = -1 2.x = 1.25 y1 = -12y2 = 316. No hay solucin y = 2 10. x1 = 0x2 = 1x3 = - 117. q1 = 0q2 = 1 3.x = 3y1 = 0y2 = 1y3 = -1 p1 = 0p2 = 1 y = - 1 11. p1 = 2p2 = -3 18. w1 = 2 w2 = -3 4.x = 3q1 = 0q2 = -5 z1 = 2z2 = -4/3 y = 5 12. x = 619. x1 = 18x2 = 5.x = 0y = - 8 y1 = 2 y2 = -1 w = 18 13. x1 = 0x2 = 120. x1 = 3x2 = 2 6.p = 13 y1 = 0y2 = 1y1 = 4y2 = 1 q = - 10 14. q1 = 1q2 = 1/921. x = 21 7.Hay infinitasp1 = 1p2 = -1/3 y = 15 soluciones 15DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 38 APLICACIN A COSTOS Y PRODUCCION ECUACIONES DE COSTO, INGRESO Y UTILIDAD Supongamos que se va a producir un determinado artculo y para esto se hace una inversin inicialde$4000.000quenodependedelaproduccin, a esto lo llamaremoscostosfijos (CF).Despusdehacerunanlisisdecostosnosdamoscuentaqueelcostodeproducir cada artculo es de $3000, este ser el costo variable unitario y lo denotaremos por (c.v.u.) Si llamamos a x :cantidadC :costo Cul ser el costo de 1 artculo ?C(1)=3000 (1) Cul ser el costo de 2 artculos ?C(2)=3000 (2) Cul ser el costo de 8 artculos ?C(8)=3000 (8) : Sucesivamente entonces :C(x)=3000 x Podemosobservarquelacantidadestcambiandovariando,yelcostovariableunitario permanece constante. En consecuencia C(x)=3000 xlo denominaremos costos variables debido a que el costo (C)dependedelniveldeproduccin(x).Aqunoestninvolucradosloscostosfijos.Si llamamos al costo total (CT), costos variables (CV) y costos fijos (CF), podemos definir : CT=CV+CF C(x)=3000 x+4000.000 o sea que : CT = (c.v.u) x+CFEcuacin de costo total Despusdehacerunestudiodemercadonosdamoscuentadequepodemosvenderel artculo en $5000 cada uno. Si llamamos aI : ingresop :preciodeventaporunidad,entonces : Ingreso al vender 1 artculoI(1)=5000 (1) Ingreso al vender 2 artculosI(2)=5000 (2) Ingreso al vender 10 artculos I(10)=5000 (10) Sucesivamente : Ingreso al vender x artculosI(x)=5000 x Ecuacin de ingreso DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 39De aqu observamos queIngreso=(precio de venta por unidad)(cantidad) de otra forma :I=p . x Para encontrar la utilidad debemos restarle al ingreso total el costo total. Si llamamos aU : utilidadentonces : Utilidad total=Ingreso total-Costo total O sea que :U(x)=I(x)-C(x) U(x)=5000 x-(3000 x+4000.000) U(x)=5000 x-3000 x-4000.0000 U(x)=2000 x-4000.000 Ecuacin de utilidad Lautilidadporcadaunidad(2000)eselresultadoderestarelpreciodeventadecada unidadyelcostodecadaunidadsea(5000-3000).Hastaahorahemosobtenido3 ecuaciones que son : 1)C(x)=3000 x+4000.000 2)I(x)=5000 x 3)U(x) =2000 x-4000.000 Al respecto respondamos las siguientes preguntas : 1)Cual es el ingreso, costo y utilidad total al producir y vender 4000 unidades ? R/Six = 4000cuanto valeI = ? C = ?U = ? Six = 4000 I(4000)=5000 (4000) I(4000) = 20000000 Six = 4000 C(4000)=3000 (4000)+4000.000 C(4000)= 16000000 Six = 4000 U(4000) =2000 (4000)-4000.000 U(4000) = 4000000 2)Cuntas unidades se deben producir y vender para que la utilidad sea de $8000000 ? R/x = ? para que U = 8000000 Sabemos queU = 2000 x-4000000 entonces : 8000000=2000 x-4000000 12000000=2000 x DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 40 x=12 0000002000' x=6000unidades 3)Cuntas unidades se deben producir y vender para cubrir gastos ? R/Paracubrirgastosserequierequeelingresoseaigualalcostodeotraformaquela utilidad sea igual a cero. Entonces : x= ? para queI=C U=0 Igualemos el ingreso y el costo : 5000 x= 3000 x+4000000 5000 x-3000 x=4000000 2000 x=4000000 x=4 0000002000' cantidad que se debe producir y vender para cubrir gastos x=2000unidades Otra forma : Igualemos la utilidad a cero : Sabemos que :U(x)=2000 x-4000.000entonces : SiU = 0tenemos 0=2000 x-4000000 4000000 =2000 x 4 0000002000' =x x=2000unidades cantidad para cubrir los gastos Cul es el ingreso y el costo para este nivel de produccin : I(2000)=5000 (2000) I=10000000 Iguales C(2000)=3000 (2000)+4000000 C=10000000 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 41 Observamos entonces que para ese nivel de produccin el ingreso es igual al costo, o dicho en otras palabras, en ese nivel de produccin estamos en !EQUILIBRIO !. Esto indica que cubrir gastos es equivalente a estar en equilibrio. Hemos determinado 2 valores de equilibrio :(2000 , 10000000) 2000Es el punto de equilibrio en unidades. 10000000Es el punto de equilibrio en unidades monetarias ($). Hasta ahora en trminos generales hemos definido lo siguiente : CT=CV+CF CT=(c.v.u) x+CF I=p . x Con esta informacin podemos hacer la siguiente formulacin : U=I-C U=px-[(c.v.u) x+CF] U=px-(c.v.u) x-CF U+CF=px-(c.v.u) x(sacando axcomo factor comn) U+CF=x ( p - c.v.u ) U CFp c v ux+=. . Esta es la expresin para hallar el nivel de produccin para cualquier utilidad En este ejercicio sabemos que : CF = 4000000 p = 5000c.v.u = 3000 o sea que la expresin quedara as : x=U +4 0000005000 3000' x=U + 4 0000002000' DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 42Preguntmonos ahora : Cul debe ser el nivel de produccin para que la utilidad sea de $8000000 ? x = ?siU = 8000000entonces : x = 8 000000 4 000000200012 0000002000' ' ' += x = 6000unidades Es la misma respuesta a la pregunta No. 2 Cul debe ser el nivel de produccin para cubrir gastos ? x= ?para queU = 0 entonces : x=0 4 0000002000+ ' x=2000unidades En trminos generales el nivel de equilibrio en cantidad lo encontramos cuandoU = 0. Expresin para hallar el punto de equilibrio en cantidad : Nivel de equilibrio en cantidad=u v c pCF. . Como se determin el punto de equilibrio en pesos ? R/Recordemos que reemplazamosx = 2000en la ecuacin de ingreso. I=5000 (2000)=10000000 Precio de ventaNivel de equilibrio en unidades Oseaqueentrminosgeneraleselpuntodeequilibrioenunidadesmonetarias(pesos)lo podemos encontrar as : Punto de equilibrio en pesos=p . CFp c v u . . P.E. ($)=CFp c v up . . DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 43 P.E. ($)=CFc v up1. .Expresin para hallar el punto de equilibrio en pesos Si aplicamos la frmula anterior tendremos : P.E. ($)=4 0000001300050004 0000001 0 6' '.= P.E. ($)= 4 0000000 4'. =10000000 El denominados que es equivalente a 1c v up. .se llama Margen de Contribucin (MC) y se puede expresar como un porcentaje (%) . En este caso el MC es 0.4 sea del 40%. Acabamos de resolver un ejercicio donde CF = 4000000,c.v.u = $3000,p = $5000y esto nos arroj los siguientes resultadosPE(cantidad) = 2000,PE($) = $10000000. Con respecto de la situacin inicial, cul sera el nuevo punto de equilibrio y el Margen de Contribucin si : a)El precio de venta se incrementa en un 20%. b)El costo variable unitario disminuye en un 25%. c)Los costos fijos aumentan en un 20%. d)Simultneamenteelpreciodeventaaumentaenun25%,elcostovariableunitario aumenta en un 40% y los costos fijos disminuyen en un 45%. Solucin : a)CF = 4000000c.v.u = $3000 p = 5000 (1.2) p = $6000 reemplazando tenemos : PE(cant.)=4 0000006000 3000' =1333unidades DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 44PE($)= 4 0000001300060004 00000005' '.= =$8000000 Margen de contribucin=50% Enconclusinparaempezaratenerutilidadsedebenvender1333unidadesyno2000 unidades como en la condicin inicial. Esto debido a que el precio de venta aument en un 20%. Cul sera el nuevo equilibrio si el precio de venta hubiera disminudo en un 20% ? b)CF = 4000000 c.v.u = $3000 (0.75) = $2250p = $5000 reemplazando tenemos : PE(cant.)=4 0000005000 2250' =1455unidades PE($)= 4 0000001225050004 000000055' '.= =$7272727 Margen de contribucin=55% Amigolector :ustedmismodeunaconclusinydigaculseraelnuevopuntode equilibrio si el costo variable unitario aumenta en un 25%. c) CF = 4000000 (1.2) = 4800000 c.v.u = $3000 p = $5000 reemplazando tenemos : PE(cant.)=48000005000 3000' =2400unidades PE($)= 4 8000001300050004 8000000 4' '.= =$12000000 Margen de contribucin=40% Concluya usted mismo y diga que hubiera pasado si los costos fijos disminuyen en un 20%. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 45 d)CF = 4000000 (0.55)c.v.u = $3000 (1.4) p = 5000 (1.25) CF = 2200000 c.v.u =$4200p = 6250 reemplazando tenemos : PE(cant.)=2 2000006250 4200' =1073unidades PE($)= 2 2000001420062502 2000000 328' '.= =$6707317 Margen de contribucin=32.8% Concluyaustedydiga :Quepasarasisimultneamenteloscostosfijosaumentanenun 30%,elcostovariableunitariodisminuyeenun20%yelpreciodeventaaumentaenun 16% ? DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 46EJERCICIOS RESUELTOS 1) Ungrupodeestudiantesdeprimersemestrealquilaunacarpaparaunaactividadpor $24000.Dos de las personas del grupo no asistieron(no pagaron) por lo cual el resto deestudiantescancel$600mscadauno.Determineelnmerodeestudiantesque pagaron la carpa. Sea x= Nmero de estudiantes que alquilaron la carpa. x - 2=Nmero de estudiantes que pagaron. 24000 / x= Costo por persona si hubiesen sido x personas. 24000 / (x - 2)= Costo por persona si hubiesen sido x - 2 personas. 24000600240002 x x+ =

24000 600 240002+=xx x (24000 + 600x) (x - 2) = 24000x 24000x - 48000 + 600x - 1200x = 24000x 600x - 1200x - 48000 = 0 ( 600) x - 2x -80 = 0 (x - 10) (x + 8) = 0 x - 10 = 0v x + 8 = 0 x = 10x = - 8 No sirve Nmero de personas que alquilan la carpa = 10 Nmero de personas que pagaron la carpa = 8 2) Un electrodomstico que costo $90000 fue puesto a un precio de venta V.Como no se vendi, el precio fue reducido 1/3.El almacn an gana el 10% sobre el costo original.Encontrar el precio de venta V. Recordemos que : Utilidad = Ingreso - Costo Costo = 90000U = I - C Utilidad = 10% del costo9000 = V - 1/3V - 90000 Precio de venta = V = ?9000 = 2/3V - 90000 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 47 90000 + 9000 = 2/3V 2/3 V = 99000 Precio de venta V = 148500 3)Usted ha ganado $200000 y desea invertirlos.Si coloca una parte al 8% y lo dems al 12%.Cuantodeberinvertiracadatasadeintersparaqueelrendimientoseael mismo que si colocara todo al 11% ? 200000 x y 8% 12% x = Cantidad invertida al 8% y = Cantidad invertida al 12% (1) x + y = 200000 x =200000 - y (2) 81001210011100200000 x y + = ( ) Reemplazando en (2) tenemos : 2200010012) 200000 (1008= + y y0.08 (200000 - y) + 0.12y = 22000 16000 - 0.08y + 0.12y = 220000.04y = 22000 - 16000 0.04y = 6000y = 6000 / 0.04 y = 150000 x = 200000 - 150000 x = 50000 R/ Invertir$150000 al 12%y$50000 al 8% DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 48 4)Como resultado de dos (2) inversiones una persona recibe mensualmente$30255.Una de las inversiones produceal 4% y la otra al 3%. Si las inversiones se intercambiaran una por otra ganaran $28090 mensual.A cuanto asciende cada inversin ? x = Cantidad invertida al 4% y = Cantidad invertida al 3% Ecuaciones : 4100310030255 x y + = (1) 3100410028090 x y + = (2) (4x + 3y) / 100 = 302554x + 3y = 3025500(1) (3x + 4y) / 100 = 280903x + 4y = 2809000(2) Por reduccin : 4x + 3y = 3025500(- 4) 3x + 4y = 2809000(* 3) -16x- 12y = - 12102000 9x + 12y = 8427000 -7x= - 3675000(*- 1) 7x =3675000x = 3675000 / 7 x = 525000 Reemplazando x = 525000 en (1) tenemos : 4 (525000) + 3y = 30255002100000 + 3y = 3025500 3y = 3025500 - 2100000 3y = 925500y = 308500 R/ Las inversiones son de $525000 y $308500. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 495)La ecuacin de la demanda diaria para el producto de un fabricante esta dada como : q + p-200=0,dondepeselpreciodeventaporunidadyqeslacantidadproduciday demandada.Existeuncostofijode$2800ycadaunidadproducidatieneuncostode $45.Cuntas unidades deber producir el fabricante en el da para obtener una utilidad de $3186 diarios. p : Precio de venta q : Cantidad Costo variable unitario : $45 c/uCostos fijos :$2800 Aqu nos estn preguntandoq = ?para queU = 3186.Esto nos indica que debemos tener unaecuacinquemerelacioneutilidad(U)concantidad(q);yposteriormente reemplazarU = 3186ydespejarq. Recordemos que : Costo Total = Costo variable + costo fijo CT = CV + CFC(q) = 45q + 2800 Tambin :Ingreso = Precio * Cantidad I = p.q como p + q - 200 = 0 p = 200 - q I = (200 - q) qI = 200q - q Sabemos que : Utilidad = Ingreso - Costo U = I - CU = 200q - q - (45q + 2800) U = 200q - q - 45q -2800 U = - q + 155q - 2800 q = ? Para que U = 3186 3186 = - q + 155q - 2800 q - 155q + 2800 + 3186 = 0 q - 155q + 5986 = 0 a = 1 b = - 155c = 5986 q = = ( ) ( ) ( )( )( )155 155 4 1 59862 1155 24025 2394422 q = 155 812155 92=q1 = 82; q2 = 73 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 506)Supngase que los consumidores adquirirn q unidades de un producto, si el precio es de (80 - q) / 4 por unidad.Cuntas unidades deben venderse para que los ingresos por ventas sean de $400 ? q = Cantidad;p = Precio;I = Ingreso Comonosestnpreguntandoq=?paraI=400entoncesdebemostenerunarelacin entre ingreso y cantidad; para reemplazarI = 400 y posteriormente despejarq. p = 804 qq = ? siI = 400 Recordemos que I = p.q I = (804 q) q I = 8042q q ComoI = 400 400 = 8042q q 1600 = 80q - q q - 80q + 1600 = 0 (q - 40) (q - 40) = 0 q - 40 = 0v q - 40 = 0 q = 40q = 40 R/ Se deben vender 40 unidades para que el ingreso sea de $400. 7)Cadasemana,unacompaapuedevenderunidadesdesuproductoaunpreciodep dlares cada uno, en donde p = 600 - 5x. si le cuesta a la compaa (8000 + 75x) dlares producir x unidades. a.Cuntasunidadesdeberavenderlacompaaalasemanasideseagenerarun ingreso de U$17500 ? b.Queprecioporunidaddeberafijarlacompaaconelpropsitodeobtener ingresos semanales por U$18000 ? c.Cuntasunidadesdeberaproduciryvendercadasemanaparalograrutilidades semanales de U$5500 ? d.A que precio por unidad generara la compaa una utilidad semanal de $5750 ? x = Cantidad p = Precio p = 600 - 5xC(x) = 8000 + 75x a)x = ? I = 175000 Debo tener ingreso en trminos de x Si I = px I = (600 - 5x)x I(x) = 600x - 5x Ahora reemplazoI = 175000 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 51 17500 = 600x - 5x 5x - 600x + 17500 = 0(5) x - 120x + 3500 = 0 a = 1 b = - 120c = 3500 x = ( ) ( ) ( )( )( )120 120 4 1 35002 12 x = 120 4002 x = 220 120 x1 = 70 ;x2 = 50 R/Para que el ingreso sea de 17500 se deben producir y vender 50 70 unidades. Si x = 70 p = 600 - 5 (70) p = 250 I = 250 (70) I = 17500 Si x = 50 p = 600 - 5 (50) p = 350 I = 350 (50) I = 17500 Nota : Podemos observar que en la medida en que la cantidad disminuye el precio aumenta viceversa, (en la medida que el precio aumenta la cantidad disminuye). b) p = ? I = 18000 Debo tener ingreso en trmino de p. Para tener I(p) debo despejar a x en trminos de p, veamos : p = 600 - 5x 5x = 600 - p x = 5600 p x = 120 - (1/5)p comoI = px I = p (120 - 1/5 p) I(P) = 120p - 1/5 p Ahora reemplazo I = 18000 18000 = 120p - 1/5 p 1/5 p - 120p + 18000 = 0 a = 1/5 = 0.2b = - 120c = 18000 [ I = p.x] DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 52p = = ( ) ( ) ( . )( )( . ) .120 120 4 0 2 180002 0 2120 00 42P = 300 R/ Para que el ingreso sea de 18000 se debe fijar un precio de u$300. Si p = 300 x = 120 - 1/5 (300) x = 60 I = 300 (60) I = 18000 c) x = ?U = 5500 Debo tener utilidad en trminos de x. U = I - C U = 600x - 5x - (8000 + 75x) U = 600x - 5x - 8000 - 75x U = - 5x + 525x - 8000Ahora reemplazoU = 5500 5500 = - 5x + 525x - 8000 5x - 525x + 13500 = 0Solucionando tenemos x1 = 45; x2 = 60 R/Para que la utilidad sea de u$5500 se deben producir 45 60 unidades (hacer la prueba) d)p = ? U = 5750 Debo tener utilidad en trminos de p. U(p) = I(p) - C(p) I(p) = 120p - 1/5 pDebo hallar ahora el costo en trminos dep, tenemosC = 75x + 8000 C(p) = ? C = 75(120 - 1/5 p) + 8000 C = 9000 - 15 p + 8000 C(p) = 17000 - 15p U = 120p - 1/5 p - (17000 - 15p) U = 120p - 1/5 p - 17000 + 15p U(p) = - 1/5 p + 135p - 17000 DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 53Ahora reemplazamos U = 5750 0.2p2 135p + 22750 = 0 Solucionando tenemos p1 = 325 ;p2 = 350 R/El precio para que la utilidad sea de 5750 debe ser325350. EJERCICIOS PROPUESTOS 1)Un comerciante en bienes races compra un terreno en una colina a $200000 la hectrea.El20%delterrenonosepodaaprovecharparaserlotificado,porloquedecidi donarloalacomunidad.Elrestolovendienlotesdeunahectreaa$2000000cada uno, lo que le produjo una utilidad de $10000000. Cuantas hectreas compro ? R/7.1429 hectreas 2)Un hombre invierte el doble de la cantidad que destina a un 8% al 5%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840000.Cuanto invirti a cada tasa ? R/4666667al 8% y9333333al 5% 3)Uncomercianteofreceun30%dedescuentoalpreciomarcadodeunartculoyan obtiene una utilidad de un 10%.Si el artculo tiene un costo de $35.Cul debe ser el precio mercado?R/ $55 4)Unconciertodemsicaandinaprodujo$600000porlaventade8000boletas.Silas boletassevendierona$60y$100cadauna.Cuntasboletasdecadatipose vendieron?R/ 5000 de $60 y3000 de $100. 5)Uncomerciantedeautosusadoscompradosautomvilesen$2900000.Vendeuno conunagananciadel10%yelotroperdiendoel5%yanobtuvounautilidadde $185000 por la transaccin completa.Determine el costo de cada vehculo. R/$2200000y$700000. 6)Los miembros de una fundacin desean invertir $18000000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9% y 6% respectivamente.Cunto debern invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que producira al 8% la inversin total. R/12000000 al 9% y 6000.000 al 6%. 7)Una firma industrial fabrica un producto que tiene costos variables de $3500 por unidad si los costos fijos son de $950000 y se vende cada unidad en $5000.Cuntas unidades deben venderse para que la compaa obtenga utilidades de $500000 ? R/967 unidades. DIEGO FERNANDO SATIZABAL GARCIAECUACIONES 548)Losadministradoresdeunacompaadeseansabereltotaldeunidadesquedeben venderse para que la firma obtenga utilidades de $1000000.Se tienen disponibles los siguientesdatos:preciounitariodeventa,$3000;costovariableporunidad,$2000; costos fijos totales, $600000. R/1600 unidades. 9)Unapersonadeseainvertir$20000000endosempresas,demaneraquesusingresos totales sean de $1440000 al ao.Una compaa paga 6% anual ; la otra tiene un mayor riesgo y ofrece 7.5% anual.Cunto debe invertir en cada una de ellas ?. R/4000000 al 6%y16000000 al 7.5%. 10) Unapersonainvirti$20000000.Unaparteaunatasadeintersde6%anual,yel resto al 7% anual.El total de intereses ganados al final del primer ao fue equivalente a unatasaanualde6%sobreeltotaldelos$20000000.Cuntoseinvirtia cada tasa de inters?R/ 5000000 al 6% y 15000000 al 7%. 11) Enunacompaasesabequesisevendenqunidadesdeunproducto,susingresos totalespor lasventassernde10q.Siloscostosvariablesporunidadson de $2 y los costos fijos son de $1200, encuntrese los valores de q para los cuales : Ingresos totales de venta = Costos variables + Costos fijos (es decir, una utilidad igual a cero). R/q = 150 12) Los ingresos mensuales I de cierta compaa, estn dados por I = 800p - 7p, en donde p es el precio en dlares del producto de fabrica.A qu precio se obtendran ingresos de $10000, si el precio debe ser superior a $50? R/$100. 13) Uncolegiodestina$60000000aunfondoafindeobteneringresosanualesde $5000000 para becas.Parte de eso se destinar a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depsitos a largo plazo a un 10.5%.Cunto debern invertir en cada opcin con objeto de obtener el ingreso requerido?. R/ 52000000 al 8%y8000000 al 10.5% 14) Unfabricantepuedevenderxunidadesdeunproductocadasemanaalpreciodep dlaresporunidad,endondep=-(1/2)x+7000.Cuesta(3000x+3000000)dlares producir x unidades. a.Cuntasunidadesdeberavenderalasemanasideseageneraringresospor $20000000. R/10000 4000 unidades. b.A que precio por unidad generara un ingreso semanal de $15000000. R/$1320$5679.50c.Cuntasdeberaproduciryvenderelfabricantealasemanaparaobteneruna utilidad de $4000000. R/5415 2586 unidades d.Aqueprecioporunidadgeneraraelfabricanteunautilidadsemanalde $3500000. R/$4134$5866 DIEGO FERNANDO SATIZABA

Libro Matem Basicas Diego F Satizábal

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