Tema iii funciones polinomicas radicales y racionales y limites uney
LIMITES DE FUNCIONES
-
Upload
juan-jose-isach-mayo -
Category
Documents
-
view
218 -
download
1
description
Transcript of LIMITES DE FUNCIONES
![Page 1: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/1.jpg)
Cálculo de límites de funciones
Juan José Isach Mayo
15/10/2012
![Page 2: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/2.jpg)
ii
![Page 3: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/3.jpg)
Índice general
I Cálculo de límites 1
1. l��mx!a
f(x) 3
1.1. Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Límites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Límites de funciones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Límites de funciones que tienen alguna raíz . . . . . . . . . . . . 231.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5. Límite de la suma o resta de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6. Límite del producto de dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7. Límite del cociente de dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8. Límites de funciones exponenciales, potenciales y potenciales ex-ponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.8.2. Límites que presentan la indeterminación 11 . . . . . . . 56
1.9. Límites de funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.9.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2. l��mx!+1
f(x) o l��mx!�1
f(x) 67
2.1. Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2. Límites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3. Funciones racionales con alguna raíz . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4. Suma o resta de funciones con alguna raíz . . . . . . . . . . . . . 842.5. Suma o resta de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 912.6. Límite del producto de funciones racionales . . . . . . . . . . . . 952.7. Límite de la división de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
iii
![Page 4: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/4.jpg)
iv ÍNDICE GENERAL
2.8. Límites de funciones exponenciales, potenciales y potenciales ex-ponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.8.1. Indeterminación 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.9. Límites de funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
![Page 5: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/5.jpg)
Parte I
Cálculo de límites
1
![Page 6: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/7.jpg)
Capítulo 1
l��mx!a
f (x)
1.1. Funciones polinómicas
Como las funciones polinómicas son continuas en R;entonces:
l��mx!a
Pn(x) = P ( l��mx!a
x) = P (a)
1.1.1. Ejemplos
Ejemplo 1 Calcula los siguientes límites
a) l��mx!2
(3x2 � 3x+ 1)
b) l��mx!�3
(�x3 � 2x2 + 3x� 4)
c) l��mx!�1
(3x5 � 3x3 + 1)
Solución
a) l��mx!2
(3x2 � 3x+ 1) = 3 (2)2 � 3 (2) + 1 = 7
b) l��mx!�3
(�x3 � 2x2 + 3x� 4) = � (�3)3 � 2 (�3)2 + 3 (�3)� 4 = �4
c) l��mx!�1
(3x5 � 3x3 + 1) = 3 (�1)5 � 3 (�1)3 + 1 = 1
1.2. Límites de funciones racionales
Vamos a calcular
l��mx!a
Pn(x)
Qm(x)
Se pueden presentar tres casos
3
![Page 8: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/8.jpg)
4 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
1. Si a pertenece al dominio de la función y = Pn(x)Qm(x)
. Como todas las fun-ciones racionales son continuas en todo punto de su dominio; entonces:
l��mx!a
Pn(x)
Qm(x)=Pn(a)
Qm(a)
Ejemplo 2 Calcula los siguientes límites:
a) l��mx!�1
2x� 4x2 + 1
b) l��mx! 2
3
x+ 3
x+ 1
c) l��mx!
p3
x2 + 3
x2 � 1
d) l��mx! 3p2
x6 + 3x3
x6 � x3
Solución
a) l��mx!�1
2x� 4x2 + 1
=�62= �3
b) l��mx! 2
3
x+ 3
x+ 1=
23 + 323 + 1
=11
5
c) l��mx!
p3
x2 + 3
x2 � 1 =3 + 3
3� 1 = 3
d) l��mx! 3p2
x6 + 3x3
x6 � x3 =4 + 6
4� 2 = 5
2. Si a no pertenece al dominio de la función.Es evidente que Qm(a) = 0.
En este situación (Qm(a) = 0)se pueden distinguir dos casos:
2a Si Qm(a) = 0 y Pn(a) 6= 0! l��mx!aPn(x)Qm(x)
= Pn(a)0 :
La recta x = a es una asíntota vertical de la función y tendremos queestudiar, imperiosamente, los límites laterales de la función cuandox! aPudiéndose presentar las siguientes cuatro situaciones1a l��m
x!a�f(x) = +1 y l��m
x!a+f(x) = +1. Diremos que la recta x = a
es una asíntota vertical de ramas convergentes hacia +12a l��m
x!a�f(x) = �1 y l��m
x!a+f(x) = �1. Diremos que la recta x = a
es una asíntota vertical de ramas convergentes hacia �13a l��m
x!a�f(x) = +1 y l��m
x!a+f(x) = �1. Diremos que la recta x = a
![Page 9: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/9.jpg)
1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 5
es una asíntota vertical de ramas divergentes4a l��m
x!a�f(x) = �1 y l��m
x!a+f(x) = +1. Diremos que la recta x = a
es una asíntota vertical de ramas divergentesEn todas estas situaciones diremos que la función presenta para x = auna discontinuidad inevitable de salto in�nito.
Nota: Para el cálculo de límites laterales de este tipo; es fundamental saberque:
30+ = +1
30� = �1
�30+ = �1
�30� = +1
Ejemplo 3 Calcula los siguientes límites
a) l��mx!2
x+ 3
(x� 2)2
b) l��mx!�1
2x� 4x+ 1
c) l��mx!2
�x� 3(x� 2)2
d) l��mx!3
3x
x� 3
indicando si existe alguna asíntota vertical y de que tipo es.
Solución
a) Observa que el dominio de de�nición de la función y = x+3(x�2)2 es:
D(f) = R � f2g
Como l��mx!2
x+3(x�2)2 =
50 ; entonces la recta x = 2 es una asíntota vertical. Para
ver de que tipo es (ramas convergentes o ramas divergentes); vamos a estudiarsus límites laterales
l��mx!2�
x+ 3
(x� 2)2=
5
0+= +1
l��mx!2+
x+ 3
(x� 2)2=
5
0+= +1
La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas convergentes a +1. Lafunción presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in�nito
![Page 10: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/10.jpg)
6 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
8
6
4
2
2
4
6
8
x
y
b) Observa que el dominio de de�nición de la función y = 2x�4x+1 es:
D(f) = R � f�1gComo l��m
x!�12x�4x+1 = �6
0 ; entonces la recta x = �1 es una asíntota vertical.Para ver de que tipo es; vamos a estudiar sus límites laterales
l��mx!�1�
2x� 4x+ 1
=�60�
= +1
l��mx!�1+
2x� 4x+ 1
=�60+
= �1
La recta x = �1 es una asíntota vertical de ramas divergentes y gracias alos límites laterales anteriores, conocemos la posición de la grá�ca con respectoa su asíntota vertical
8 6 4 2 2 4 6 8
8
6
4
2
2
4
6
8
x
y
![Page 11: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/11.jpg)
1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 7
y = 2x�4x+1
La función presenta para x = �1 una discontinuidad inevitable de saltoin�nitoc) Observa que el dominio de de�nición de la función y = �x�3
(x�2)2 es:
D(f) = R � f2g
Como l��mx!2
�x�3(x�2)2 =
�50 ; entonces la recta x = 2 es una asíntota vertical.
Para ver de que tipo es; vamos a estudiar sus límites laterales
l��mx!2�
�x� 3(x� 2)2
=�50+
= �1
l��mx!2+
�x� 3(x� 2)2
=�50+
= �1
La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas convergentes a �1
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
8
6
4
2
2
4
6
8
x
y
La función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in�nitod) Observa que el dominio de de�nición de la función y = 3x
x�3es:
D(f) = R � f3g
Como l��mx!3
3xx�3 =
90 ; entonces la recta x = 3 es una asíntota vertical. Para
ver de que tipo es; vamos a estudiar sus límites laterales
l��mx!3�
3x
x� 3 =9
0�= �1
l��mx!3+
3x
x� 3 =9
0+= +1
![Page 12: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/12.jpg)
8 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
La recta x = 3 es una asíntota vertical de ramas divergentes y gracias a loslímites laterales anteriores, conocemos la posición de la grá�ca con respecto asu asíntota vertical
10 5 5 10
10
5
5
10
x
y
La función presenta para x = 3 una discontinuidad inevitable de salto in�nito
2b Si Qm(a) = 0 y Pn(a) = 0.El límite l��mx!a
Pn(x)Qm(x)
presenta la indetermi-
nación 00
Al ser Pn(a) = 0 y Qm(a) = 0; en virtud del teorema del factor, sabe-mos que x� a es un factor de la descomposición de Pn(x) y Qm(x).Así pues; la descomposición factorial de ambos polinomios será
Pn(x) = (x� a)Pn�1(x) siendo Pn�1(x) el cociente dePn(x)
x� ay
Qm(x) = (x� a)Qm�1(x)siendo Qm�1(x) el cociente deQm(x)
x� a
Por consiguiente; el l��mx!a
Pn(x)Qm(x)
coincidirá con
l��mx!a
Pn(x)
Qm(x)= l��m
x!a
(x� a)Pn�1(x)(x� a)Qm�1(x)
= l��mx!a
Pn�1(x)
Qm�1(x)
Dicho límite puede presentar cualquiera de las tres situaciones ante-riores:
a) Si Qm�1(a) 6= 0;entonces:
l��mx!a
Pn(x)
Qm(x)= l��m
x!a
Pn�1(x)
Qm�1(x)=Pn�1(a)
Qm�1(a)
Cuando se dé esta situación, diremos que la grá�ca de la función
![Page 13: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/13.jpg)
1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 9
y = Pn(x)Qm(x)
coincide con la grá�ca de y = Pn�1(x)Qm�1(x)
si a esta última
le quitamos el punto de coordenadas P�a; Pn�1(a)Qm�1(a)
�:Diremos
que la función presenta para x = a una discontinuidad evitableb) Si Qm�1(a) = 0 y Pn�1(a) 6= 0
l��mx!a
Pn(x)
Qm(x)= l��m
x!a
Pn�1(x)
Qm�1(x)=Pn�1(a)
0
La recta x = a es una asíntota vertical de la grá�ca de la función.Tendremos que estudiar la posición de la grá�ca con respecto asu asíntota con ayuda de los límites laterales l��m
x!a+
Pn�1(x)Qm�1(x)
y
l��mx!a�
Pn�1(x)Qm�1(x)
La función presenta una discontinuidad inevitable de salto in�ni-to para x = a
c) SiQm�1(a) = 0 y Pn�1(a) = 0. El límite l��mx!a
Pn(x)Qm(x)
= l��mx!a
Pn�1(x)Qm�1(x)
presenta la indeterminación 00 :
Volvemos a factorizar
l��mx!a
Pn(x)
Qm(x)= l��m
x!a
Pn�1(x)
Qm�1(x)= l��m
x!a
(x� a)Pn�2(x)(x� a)Qm�2(x)
= l��mx!a
Pn�2(x)
Qm�2(x)
Pudiendo presentar este límite l��mx!a
Pn�2(x)Qm�2(x)
cualquiera de las dos
situaciones anteriores.
Ejemplo 4 Dada la siguiente función y = x2�5x+69�x2 calcula
D(f)
l��mx!3
x2 � 5x+ 69� x2
l��mx!�3
x2 � 5x+ 69� x2
Solución
Dada la función y = x2�5x+69�x2 su dominio de de�nición es
D(f) = R � f�3; 3g
Veamos que ocurre cuando x = 3l��mx!3
x2�5x+69�x2 = 0
0 Indeterminación
Factorizemos aplicando la regla de Ru�nni los dos polinomios
1 -5 63 3 -6
1 -2 0
-1 0 93 -3 -9
-1 -3 0
![Page 14: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/14.jpg)
10 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
l��mx!3
x2 � 5x+ 69� x2 = l��m
x!3
(x� 3)(x� 2)(x� 3)(�x� 3) = l��m
x!3
(x� 2)(�x� 3) = �
1
6
Por lo anterior; sabemos que la recta x = 3 no es una asíntota verticaly además la grá�ca de la función y = x2�5x+6
9�x2 coincide con la grá�ca de la
función y = (x�2)(�x�3) si a esta última le quitamos el punto P
�3;� 1
6
�. La función
presenta una discontinuidad evitable para x = 3Comprueba tú que la recta x = �3 es una asíntota vertical (para x =
�3 la función tiene una discontinuidad inevitable de salto in�nito) de ramasdivergentes calculando:
l��mx!�3+
x2 � 5x+ 69� x2 y l��m
x!�3�x2 � 5x+ 69� x2
8 6 4 2 2 4 6 8
8
6
4
2
2
4
6
8
x
y
y = (x�2)(�x�3)
8 6 4 2 2 4 6 8
8
6
4
2
2
4
6
8
x
y
P(3,1/6)
y = (x�2)(x�3)(�x�3)(x�3)
Ejemplo 5 Dada la siguiente función y = x2+5x+69�x2 calcula
l��mx!3
x2 + 5x+ 6
9� x2y
l��mx!�3
x2 + 5x+ 6
9� x2
Indica si su grá�ca tiene alguna asíntota vertical
Solución
Dada la función y = x2+5x+69�x2 su dominio de de�nición es
D(f) = R � f�3; 3g
![Page 15: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/15.jpg)
1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 11
Veamos que ocurre para x = 3
l��mx!3
x2 + x+ 6
9� x2 =18
0
La recta x = 3 es una asíntota vertical de la función (La función presentapara x = 3 una discontinuidad inevitable de salto in�nito)Para saber su posición con respecto a la grá�ca, calculamos sus límites lat-
erales
l��mx!3+
x2 + x+ 6
9� x2 = l��mx!3+
x2 + x+ 6
(x� 3)(�x� 3) =18
0+(�6) =18
0�= �1
l��mx!3�
x2 + x+ 6
9� x2 = l��mx!3�
x2 + 5x+ 6
(x� 3)(�x� 3) =18
0�(�6) =18
0+= +1
La recta x = 3 es una asíntota vertical de ramas divergentes:Veamos que ocurre para x = �3
l��mx!�3
x2 + x+ 6
9� x2 =12
0
La recta x = �3 es una asíntota vertical de la función (La función presentapara x = �3 una discontinuidad inevitable de salto in�nito)Para saber su posición con respecto a la grá�ca, calculamos sus límites lat-
erales
l��mx!�3+
x2 + x+ 6
9� x2 = l��mx!�3+
x2 + x+ 6
(x� 3)(�x� 3) =12
(�6)0� =12
0+= +1
l��mx!�3�
x2 + x+ 6
9� x2 = l��mx!�3�
x2 + x+ 6
(x� 3)(�x� 3) =12
(�6)0+ =12
0�= �1
La recta x = �3 es una asíntota vertical de ramas divergentes:
8 6 4 2 2 4 6 8
8
6
4
2
2
4
6
8
x
y
y = x2+x+69�x2
![Page 16: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/16.jpg)
12 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Ejemplo 6 Dada la función y = �2x3�11x2�12x+9�3x3�16x2�15x+18Calcula su dominio de de�ni-
ción y el siguiente límite
l��mx!�3
�2x3 � 11x2 � 12x+ 9�3x3 � 16x2 � 15x+ 18
¿Qué podemos a�rmar sobre su grá�ca?
Solución
La función y = �2x3�11x2�12x+9�3x3�16x2�15x+18 =
2x3+11x2+12x�93x3+16x2+15x�18
El dominio de de�nición de esta función es
D(f) = R ��x 2 R = 3x3 + 16x2 + 15x� 18 = 0
Resolvamos pues la ecuación
3x3 + 16x2 + 15x� 18 = 0
si descomponemos aplicando la regla de Ru�nni el polinomio 3x3 + 16x2 +15x� 18
3 16 15 -18-3 -9 -21 18
3 7 -6 0-3 -9 6
3 -2 0
obtendremos 3x3 + 16x2 + 15x� 18 = (3x� 2)(x+ 3)2:Así pues:
3x3 + 16x2 + 15x� 18 = 0m
(3x� 2)(x+ 3)2 = 0,
24 3x� 2 = 0o
x+ 3 = 0
35,24 x = 2
3o
x = �3 sol doble
35Con lo que
D(f) = R ���3; 2
3
�Fijate bien en lo que hago previamente
l��mx!�3
�2x3 � 11x2 � 12x+ 9�3x3 � 16x2 � 15x+ 18 = l��m
x!�3
2x3 + 11x2 + 12x� 93x3 + 16x2 + 15x� 18 =
0
0
Como este límite presenta la indeterminación 00 , hemos de factorizar ambos
polinomios al máximo
2 11 12 -9-3 -6 -15 9
2 5 -3 0-3 -6 3
2 -1 0
3 16 15 -18-3 -9 -21 18
3 7 -6 0-3 -9 6
3 -2 0
![Page 17: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/17.jpg)
1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 13
Teniendo presente la descomposición factorial
l��mx!�3
2x3+11x2+12x�93x3+16x2+15x�18 = l��m
x!�3(x+3)2(2x�1)(x+3)2(3x�2) = l��m
x!�3(2x�1)(3x�2) =
7
11
La grá�ca de la función y = �2x3�11x2�12x+9�3x3�16x2�15x+18 coincide con la grá�ca de la
función y = 2x�13x�2 si a esta última le quitamos el punto P
��3; 711
�. La función
presenta para x = �3 una discontinuidad evitable.
10 8 6 4 2 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
x
y
P(3,7/11)
Nota 7 Dada la función y = �2x3�11x2�12x+9�3x3�16x2�15x+18 Si hubiesemos factorizado al
máximo, hubiesemos observado que
y =(2x� 1) (x+ 3)2
(3x� 2) (x+ 3)2
Pudiendo a�rmar entonces: la grá�ca de la función coincide con la de lahipérbola equilatera y = 2x�1
3x�2 si a ésta le quitamos el punto P (�3;711 )
Ejercicio 8 Sea f(x) = 2xx�3 calcula l��mx!2
f(x)�f(2)x�2
Solución
![Page 18: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/18.jpg)
14 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Como�f(x) = 2x
x�3f(x) = �4
�entonces
l��mx!2
f(x)� f(2)x� 2 = l��m
x!2
2xx�3 � (�4)x� 2 =
= l��mx!2
2xx�3 + 4
x� 2 = l��mx!2
6x�12x�3x� 2 =
= l��mx!2
6x� 12(x� 2) (x� 3) =
0
0
Factoriando el numerador yu simpli�cando
l��mx!2
6x� 12(x� 2) (x� 3) = l��m
x!2
6 (x� 2)(x� 2) (x� 3) =
l��mx!2
6
(x� 3) = �6
1.2.1. Ejercicios
Ejemplo 9 Calcula ahora los siguientes límites
l��mx!0
4x�x23x2+4x l��m
x!2
�x2+4x3x2+4x�20 l��m
x!1
x2�3x+2x3�4x2+5x�2 l��m
x!1
x2�3x+2x3�2x2�x+2 l��m
x!�5x2+2x�15x2+5x+6
l��mx!� 4
3
43x2+4x l��m
x!3
x2�4xx2�6x+9 l��m
x!3
x2+4xx2�6x+9 l��m
x!�2x2+2xx2�4x+4 l��m
x!�2�x2�2xx2+4x+4
l��mx!5
x2�25x2�6x+5 l��m
x!�5x3+5x2�25x�125x3+11x2+35x+25 l��m
x!� 12
2x2�x�12x2+3x+1 l��m
x!� 34
x�116x2+24x+9 l��m
x!1
4(x2�1)2
(x�1)2
l��mx!� 3
4
16x2+964x2+96x+36 l��m
x!� 12
2x+1(4x2+4x+1)2
l��mx!�2
x3+2x2�4x�8x2+4x+4 l��m
x!�2x3+2x2�4x�8x3+6x2+12x+8 l��m
x!0
5x�x2+23x2+4x+3
l��mx!�2
4(3x2+6x)2
l��mx!0
4(3x2+6x)2
l��mx!� 3
4
4x+316x2+24x+9 l��m
x!3
x3�9x2+27x�27x2�6x+9 l��m
x!2
5x�x2�63x2+4x�20
1.3. Límites de funciones a trozos
Para calcular el límite de una función a trozos en un punto donde cambia elcriterio de la función, tendremos que recurrir a los límites laterales; ya que dichafunción a la derecha y a la izquierda de dicho punto tiene diferentes de�niciones.
Ejemplo 10 Dada la función
f(x) =
�2x� 1 si x � 2�x+ 2 si x > 2
calcula l��mx!2
f(x)
SoluciónCalculemos l��m
x!2+f(x)
![Page 19: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/19.jpg)
1.3. LÍMITES DE FUNCIONES A TROZOS 15
Si x! 2+; entonces f(x) = �x+ 2. Por lo que
l��mx!2+
f(x) = l��mx!2+
(�x+ 2) = 0
Calculemos ahora l��mx!2�
f(x)
Si x! 2�; entonces f(x) = 2x� 1. Por lo que
l��mx!2�
f(x) = l��mx!2�
(2x� 1) = 3
Al no coincidir ambos límites, no existe l��mx!2
f(x)
La imagen de la función para x = 2 es f(2) = 3Conclusión: Si miras la gra�ca; observarás que la función no es continua para
x = 2.Al ser los límites laterales de la función en ese punto diferentes y �nitos;
diremos que la función presenta para x = 2 una discontinuidad de salto �nito.
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
x
yP(2,3)
f(x) =
�2x� 1 si x � 2�x+ 2 si x > 2
Ejemplo 11 Dada la función
f(x) =
�x+ 1 si x � �1�x2 + 1 si x > �1
calcula l��mx!�1
f(x)
SoluciónComo la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha de
�1. tendremos que calcular sus límites laterales.
![Page 20: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/20.jpg)
16 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Calculemos su límite lateral por la derecha l��mx!�1+
f(x)
Observa que si x ! �1+ (x > �1 y muy próximo a �1) entonces f(x) =x+ 1. Por lo que
l��mx!�1+
f(x) = l��mx!�1+
(x+ 1) = �1 + 1 = 0
Calculemos su límite lateral por la izquierda l��mx!�1�
f(x)
Observa que si x ! �1� (x < �1 y muy próximo a �1) entonces f(x) =�x2 + 1. Por lo que
l��mx!�1�
f(x) = l��mx!�1�
��x2 + 1
�= �1 + 1 = 0
como ambos coinciden; podemos a�rmar que
l��mx!�1
f(x) = 0
Fíjate además que f(�1) = �(�1)2 + 1 = �1 + 1 = 0Conclusión:La función es continua en x = �1 ya que l��m
x!�1f(x) = f(�1) =
0.Mira ahora su grá�ca
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
x
y
f(x) =
�x+ 1 si x � �1�x2 + 1 si x > �1
![Page 21: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/21.jpg)
1.3. LÍMITES DE FUNCIONES A TROZOS 17
Ejemplo 12 Dada la función
f(x) =
�2x2 + 3 si x < 13x+ 2 si x > 1
calcula l��mx!�1
f(x)
SoluciónComo la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha de 1;
tendremos que calcular sus límites laterales.
Calculemos su límite lateral por la derecha l��mx!1+
f(x)
Observa que si x! 1+ (x > 1 y muy próximo a 1) entonces f(x) = 3x+ 2.Por lo que
l��mx!1+
f(x) = l��mx!1+
(3x+ 2) = 5
Calculemos su límite lateral por la izquierda l��mx!1�
f(x)
Observa que si x! 1� (x < 1 y muy próximo a 1) entonces f(x) = 2x2+3.Por lo que
l��mx!��
f(x) = l��mx!1�
�2x2 + 3
�= 5
como ambos coinciden; podemos a�rmar que
l��mx!1
f(x) = 5
Fíjate además que no existe f(1)Conclusión:La función no es continua en x = 1. Si miras ahora su grá�ca,
verás que a la grá�ca le falta el punto de coordenadas P (1; 5)Diremos que la función presenta para x = 1 una discontinuidad evitable ( Si
pudiesemos añadir ese punto P la función sería continua para x = 1)
4 2 2 4
2
2
4
6
8
x
y
P(1,5)
f(x) =
�2x2 + 3 si x < 13x+ 2 si x > 1
![Page 22: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/22.jpg)
18 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
¿Las funciones g(x) =�2x2 + 3 si x � 13x+ 2 si x > 1
y f(x) =�2x2 + 3 si x < 13x+ 2 si x > 1
en qué se diferencian? Mira sus grá�cas
4 2 2 4
2
2
4
6
8
x
y
P(1,5)
f(x) =
�2x2 + 3 si x < 13x+ 2 si x > 1
4 2 2 4
2
2
4
6
8
x
y
P(1,5)
g(x) =
�2x2 + 3 si x � 13x+ 2 si x > 1
Ejemplo 13 Dada la función
f(x) =
(x2 � 1 si x � 21
x� 2 si x > 2
calcula l��mx!2
f(x)
SoluciónComo la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha del 2;
tendremos que calcular sus límites laterales.
Calculemos su límite lateral por la derecha l��mx!2+
f(x)
Observa que si x ! 2+ (x > 2 y muy próximo a 2) entonces f(x) =1
x� 2 .Por lo que
l��mx!2+
f(x) = l��mx!2+
1
x� 2 =1
0+= +1
Calculemos su límite lateral por la izquierda l��mx!2�
f(x)
Observa que si x ! 2� (x < 2 y muy próximo a 2) entonces f(x) = x2 � 1Por lo que
l��mx!2�
f(x) = l��mx!2�
�x2 � 1
�= 3
![Page 23: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/23.jpg)
1.3. LÍMITES DE FUNCIONES A TROZOS 19
como no coinciden; podemos a�rmar que
No existe l��mx!2
f(x)
Fíjate además que f(2) = 3Conclusión:La función no es continua en x = 2. Si miras ahora su grá�ca
verás que la grá�ca tiene por asíntota vertical la recta x = 2 ( a la derecha )Diremos que la función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable
de salto in�nito
4 2 2 4
2
2
4
6
8
x
y
P
f(x) =
(x2 � 1 si x � 21
x� 2 si x > 2
Ejemplo 14 Dada la función
f(x) =
8><>:� 1
x� 2 si x < 2
1
x� 2 si x > 2
calcula l��mx!2
f(x)
SoluciónComo la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha del 2;
tendremos que calcular sus límites laterales.
Calculemos su límite lateral por la derecha l��mx!2+
f(x)
Observa que si x ! 2+ (x > 2 y muy próximo a 2) entonces f(x) =1
x� 2 .Por lo que
l��mx!2+
f(x) = l��mx!2+
1
x� 2 =1
0+= +1
![Page 24: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/24.jpg)
20 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Calculemos su límite lateral por la izquierda l��mx!2�
f(x)
Observa que si x ! 2� (x < 2 y muy próximo a 2) entonces f(x) = � 1x�2
Por lo que
l��mx!2�
f(x) = l��mx!2�
� 1
x� 2 = �1
0�= +1
como coinciden; podemos a�rmar que
l��mx!2
f(x) = +1
Fíjate además que no existe f(2)Conclusión:La función no es continua en x = 2. Si miras ahora su grá�ca
verás que la grá�ca tiene por asíntota vertical la recta x = 2 ( Esta asíntota esde ramas convergentes a +1)Diremos que la función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable
de salto in�nito
4 2 2 4
2
2
4
6
8
x
y
f(x) =
8><>:� 1
x� 2 si x < 2
1
x� 2 si x > 2
Ejemplo 15 Dada la función
f(x) =
�x2�9
x2�2x�3 si x 6= 35 si x = 3�
calcula l��mx!3
f(x) y l��mx!1
f(x)
SoluciónComportamiento de la función para x = �1
Calculemos su límite lateral por la derecha l��mx!�1+
f(x)
![Page 25: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/25.jpg)
1.3. LÍMITES DE FUNCIONES A TROZOS 21
Observa que si x ! �1+ (x > �1 y muy próximo a �1) entonces f(x) =x2�9
x2�2x�3 . Por lo que
l��mx!�1+
f(x) = l��mx!�1+
x2 � 9x2 � 2x� 3 = l��m
x!�1+(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x� 1) =
= l��mx!�1+
(x+ 3)
(x+ 1)=
2
0+= +1
Calculemos su límite lateral por la izquierda l��mx!�1�
f(x)
Observa que si x ! �1� (x < �1 y muy próximo a �1) entonces f(x) =x2�9
x2�2x�3 . Por lo que
l��mx!�1�
f(x) = l��mx!�1�
x2 � 9x2 � 2x� 3 = l��m
x!�1�(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x� 1) =
= l��mx!�1�
(x+ 3)
(x+ 1)=
2
0�= �1
como no coinciden; podemos a�rmar que no existe l��mx!1
f(x)
Fíjate además que no existe f(�1)Conclusión:La función no es continua en x = �1. Si miras ahora su grá�ca
verás que la grá�ca tiene por asíntota vertical la recta x = �1 ( Esta asíntotaes de ramas divergentes)Diremos que la función presenta para x = �1 una discontinuidad inevitable
de salto in�nitoComportamiento de la función para x = 3
Calculemos directamente su límite l��mx!3
f(x)
l��mx!3
f(x) = l��mx!3
x2 � 9x2 � 2x� 3 =
0
0
l��mx!3
(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x+ 1) = l��m
x!3
(x+ 3)
(x+ 1)=6
4=3
2
l��mx!3
f(x) = 32
Fíjate además que f(3) = 5
Conclusión:La función no es continua en x = 3 ya que
24 l��mx!3
f(x) = 32
yf(3) = 5
35..Paradicho valor la función presenta una discontinuidad evitable
![Page 26: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/26.jpg)
22 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
La grá�ca de esta función coincide con la grá�ca de la función g(x) =x+ 3
x+ 1si a esta última le quitamos el punto Q(3; 32 ) y después le añadimos el puntoP (3; 5)
4 2 2 4
2
2
4
6
8
x
y
Q(3, 1.5)
P(3,5)
f(x) =
8<:(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x+ 1) si x 6= 3
5 si x = �3
Nota: Todo lo anterior lo hubiesemos podido evitar ya que al ser�
x2 � 9 = (x� 3)(x+ 3)x2 � 2x� 3 = (x� 3)(x+ 1)
�podemos de�nir la función así:
f(x) =
8<:(x� 3) (x+ 3)(x� 3) (x� 1) si x 6= 3
5 si x = 3, f(x) =
( x+ 3
x+ 1si x 6= 3
5 si x = 3
Su grá�ca será la de la hiperbola y =x+ 3
x+ 1quitándole el punto Q(3; 32 ) y
añadiéndole el punto P (3; 5)
1.3.1. Ejercicios
Ejercicio 16 Dada la función
f(x) =
8<:x�2x+3 si x < �3
�x� 2 si �3 � x < 0x2 � 2 si x � 0
calcula l��mx!�3
f(x) y l��mx!0
f(x) e indica en esos puntos si la función es continua.
En caso de no serlo, clasi�ca sus discontinuidades
![Page 27: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/27.jpg)
1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ 23
Ejercicio 17 Dada la función
f(x) =
8<: 1 +p�x� 2 si x < �2
x2 � 4 si �2 � x < 02x� 4 si x � 0
calcula l��mx!�2
f(x) y l��mx!0
f(x) e indica en esos puntos si la función es continua.
En caso de no serlo, clasi�ca sus discontinuidades
Ejercicio 18 Dada la función
f(x) =
�x2�1
x2+2x�3 si x 6= 13 si x = 1
calcula su dominio de de�nición, l��mx!�3
f(x) , l��mx!1
f(x) e indica en esos puntos
si la función es continua. En caso de no serlo, clasi�ca sus discontinuidades
1.4. Límites de funciones que tienen alguna raíz
Ejemplo 19 Dada la función f(x) = �3 +p�x+ 2 calcula su dominio de
de�nición y los siguientes límites
a) l��mx!1
f(x)
b) l��mx!0
f(x)
c) l��mx!�3
f(x)
SoluciónEl dominio de de�nición de la función es:
D(f) = fx 2 R /� x+ 2 � 0g = fx 2 R / x � 2g = (�1; 2]
Recuerda que la función es continua en su dominio de de�nición.Por esta razón, para calcular l��m
x!af(x) siempre que a 2 D(f);bastará con
sustituir x por a en la función
l��mx!a
f(x) = f(a)
Calculemos pues los tres límites
a) l��mx!1
(�3 +p�x+ 2) = �3 + 1 = �2
b) l��mx!0
��3 +
p�x+ 2
�= �3 +
p2
c) l��mx!�3
��3 +
p�x+ 2
�= �3 +
p5
Los puntos P (1;�2); Q(0;�3 +p2) y R(�3;�3 +
p5) son puntos de la
grá�ca donde la función es continua. Mira su grá�ca
![Page 28: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/28.jpg)
24 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2
3
2
1
1
2
3
x
y
P
QR
y = �3 +p�x+ 2
Nota: Si al calcular un límite obtenemos la indeterminación 00 y nos aparece
una resta de monomios donde al menos uno de éstos aparece una raíz cuadrada;tendremos que multiplicar numerador y denominador por su expreión conjugada
Ejemplo 20 Dada la función f(x) = x�22�px+2
determina su dominio de de�ni-ción y después estudia el comportamiento de la función para x = �2 y parax = 2
SoluciónSu dominio de de�nición es
D(f) = fx 2 R = x+ 2 � 0g ��x 2 R / 2�
px+ 2 = 0
D(f) = [�2;+1) � f2g = [�2; 2) [ (2;+1)
Ya sabemos que la función es continua en [�2; 2) [ (2;+1)
Para estudiar el comportamiento de la función para x = �2; bastará conestudiar l��m
x!�2+f(x). Veámoslo
l��mx!�2+
f(x) = l��mx!�2+
�x� 2
2�px+ 2
�=�42= �2
La función para x = �2 es continua por la derecha ( H(�2;�2) es el primerpunto de la grá�ca)
![Page 29: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/29.jpg)
1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ 25
Para estudiar el comportamiento de la función para x = 2; calcularemosl��mx!2
f(x)
l��mx!2
f(x) = l��mx!2
�x� 2
2�px+ 2
�=0
0
Al obtener la indeterrminación 00 ; para eliminarla y calcular el límite multi-
plicaremos numerador y denominador por la conjugada del denominador
l��mx!2
x� 22�
px+ 2
= l��mx!2
(x� 2)�2 +
px+ 2
��2�
px+ 2
� �2 +
px+ 2
� == l��m
x!2
(x� 2)�2 +
px+ 2
�4� (x+ 2) = l��m
x!2
(x� 2)�2 +
px+ 2
��x+ 2
Fíjate quex� 2�x+ 2 = �1: Por lo que
= � l��mx!2
�2 +
px+ 2
�= �4
Como
24 No existe f(2)y
l��mx!2
f(x) = �4
35 la función presenta para x = 2 una discontinuidadevitable. La grá�ca de la función y = x�2
2�px+2
coincide con la grá�ca de y =
�2�px+ 2 si a esta última le quitamos el punto de coordenadas P (2;�4)
4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
x
y
P
H
y = x�22�px+2
Ejemplo 21 Dada la función f(x) = x�21�px+1
determina su dominio de de�ni-ción y después estudia el comportamiento de la función para x = �1 y parax = 0
![Page 30: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/30.jpg)
26 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Solución
Su dominio de de�nición es
D(f) = fx 2 R = x+ 1 � 0g ��x 2 R / 1�
px+ 1 = 0
D(f) = [�1;+1) � f0g = [�1; 0) [ (0;+1)
Ya sabemos que la función es continua en [�1; 0) [ (0;+1)
Para estudiar el comportamiento de la función para x = �1; bastará conestudiar l��m
x!�2+f(x). Veámoslo
l��mx!�1+
f(x) = l��mx!�1+
�x� 2
1�px+ 1
�=�31= �3
La función para x = �1 es continua por la derecha ( H(�1;�3) es el primerpunto de la grá�ca)
Para estudiar el comportamiento de la función para x = 0; calcularemosl��mx!0
f(x)
l��mx!0
f(x) = l��mx!0
�x� 2
1�px+ 1
�=�20
Al obtener �20 ; sabemos que x = 0 es una asíntota vertical. La función no
es continua para x = 0
Para x = 0 la función presenta una discontinuidad inevitable de salto in�nito
Para saber la posición de la grá�ca de la función con respecto a esa asíntotavertical, tendemos que estudiar sus límites lateralesw
l��mx!0+
x� 21�
px+ 1
=�20�
= +1
l��mx!0�
x� 21�
px+ 1
=�20+
= �1
Conclusión: x = 0 es una asíntota vertical, de ramas divergentes, de la fun-cion y = x�2
1�px+1
![Page 31: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/31.jpg)
1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ 27
10 8 6 4 2 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
x
y
P
x=0 A.V.
Ejemplo 22 Dada la función f(x) = x1�px+1
determina su dominio de de�ni-ción y después estudia el comportamiento de la función para x = �1 y parax = 0
SoluciónSu dominio de de�nición es
D(f) = fx 2 R = x+ 1 � 0g ��x 2 R / 1�
px+ 1 = 0
D(f) = [�1;+1) � f0g = [�1; 0) [ (0;+1)
Ya sabemos que la función es continua en [�1; 0) [ (0;+1)
Para estudiar el comportamiento de la función para x = �1; bastará conestudiar l��m
x!�1+f(x). Veámoslo
l��mx!�1+
f(x) = l��mx!�1+
�x
1�px+ 1
�=�11= �1
La función para x = �1 es continua por la derecha ( P (�1;�1) es el primerpunto de la grá�ca)
Para estudiar el comportamiento de la función para x = 0; calcularemosl��mx!0
f(x)
l��mx!0
f(x) = l��mx!0
�x
1�px+ 1
�=0
0
![Page 32: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/32.jpg)
28 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Al obtener la indeterrminación 00 ; para eliminarla y calcular el límite multi-
plicaremos numerador y denominador por la conjugada del denominador
l��mx!0
�x
1�px+ 1
�= l��m
x!0
x�1 +
px+ 1
��1�
px+ 1
� �1 +
px+ 1
� =l��mx!0
x�1 +
px+ 1
�1� (x+ 1) = l��m
x!0
x�1 +
px+ 1
��x = � l��m
x!0
�1 +
px+ 1
�= �2
Como
24 No existe f(0)y
l��mx!0
f(x) = �2
35 la función presenta para x = 0 una discontinuidadevitable. La grá�ca de la función y = x
1�px+1
coincide con la grá�ca de y =
�1�px+ 1 si a esta última le quitamos el punto de coordenadas H(0;�2)
4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
x
y
P
H
y = x1�px+1
Ejemplo 23 Dada la función f(x) = 1�px+1x determina su dominio de de�ni-
ción y después estudia el comportamiento de la función para x = �1 y parax = 0
SoluciónSu dominio de de�nición es
D(f) = fx 2 R = x+ 1 � 0g � fx 2 R / x = 0gD(f) = [�1;+1) � f0g = [�1; 0) [ (0;+1)
Ya sabemos que la función es continua en [�1; 0) [ (0;+1)
![Page 33: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/33.jpg)
1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ 29
Para estudiar el comportamiento de la función para x = �1; bastará conestudiar l��m
x!�1+f(x). Veámoslo
l��mx!�1+
f(x) = l��mx!�1+
�1�
px+ 1
x
�=�11= �1
La función para x = �1 es continua por la derecha ya que
264 f(1) = �1y
l��mx!�1+
f(x) = 1
375(P (�1;�1) es el primer punto de la grá�ca)
Para estudiar el comportamiento de la función para x = 0; calcularemosl��mx!0
f(x)
l��mx!0
f(x) = l��mx!0
�1�
px+ 1
x
�=0
0
Multiplicando numerador y denominador por 1 +px+ 1
l��mx!0
f(x) = l��mx!0
�1�
px+ 1
� �1 +
px+ 1
�x�1 +
px+ 1
� = l��mx!0
1� (x+ 1)x�1 +
px+ 1
� == l��m
x!0
�xx�1 +
px+ 1
� = � l��mx!0
�1
1 +px+ 1
�= �1
2
Como
24 No existe f(0)y
l��mx!0
f(x) = � 12
35 la función presenta para x = 0 una discon-
tinuidad evitable. La grá�ca de la función y = 1�px+1x coincide con la grá�ca
de y = �11+px+1
si a esta última le quitamos el punto de coordenadas H(0;� 12 )
![Page 34: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/34.jpg)
30 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
x
y
PH
y = 1�px+1x
Ejemplo 24 Dada la función f(x) =4� 2
px+ 1
x2 � 9 determina su dominio de
de�nición y después estudia el comportamiento de la función para x = �1 ypara x = 3
SoluciónEl dominio de de�nición de esta función
D(f) = fx 2 R = x+ 1 � 0g ��x 2 R / x2 � 9 = 0
D(f) = [�1;+1) � f�3; 3g = [�1; 3) [ (3;+1)
Ya sabemos que la función es continua en [�1; 3) [ (3;+1)
Para estudiar el comportamiento de la función para x = �1; bastará conestudiar l��m
x!�1+f(x). Veámoslo
l��mx!�1+
f(x) = l��mx!�1+
�4� 2
px+ 1
x2 � 9
�=
4
�8 = �1
2
La función para x = �1 es continua por la derecha
264 f(�1) = � 12
yl��m
x!�1+f(x) = � 1
2
375(P (�1;� 1
2 ) es el primer punto de la grá�ca)
![Page 35: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/35.jpg)
1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ 31
Para estudiar el comportamiento de la función para x = 3; calcularemossu limite
l��mx!3
f(x) = l��mx!3
�4� 2
px+ 1
x2 � 9
�=0
0
Multiplicando numerador y denominador por 4 + 2px+ 1
l��mx!3
f(x) = l��mx!3
�4� 2
px+ 1
� �4� 2
px+ 1
�(x2 � 9)
�4 + 2
px+ 1
� = l��mx!3
16� 4(x+ 1)(x2 � 9)
�4 + 2
px+ 1
� == l��m
x!3
�4x+ 12(x2 � 9)
�4 + 2
px+ 1
� = 1 = l��mx!3
�4(x� 3)(x� 3)(x+ 3)
�4 + 2
px+ 1
� == l��m
x!3
�4(x+ 3)
�4 + 2
px+ 1
� = �46�8 = �
1
12
Como
24 No existe f(3)y
l��mx!3
f(x) = � 112
35 la función presenta para x = 3 una discon-
tinuidad evitable. La grá�ca de la función y =4� 2
px+ 1
x2 � 9 coincide con la
grá�ca de y = �4(x+3)(4+2
px+1)
si a esta última le quitamos el punto de coorde-
nadas H(3;� 112 )
4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
x
y
P
H
y =4� 2
px+ 1
x2 � 9
Ejemplo 25 Sea f(x) =px calcula
l��mx!a
�f(x)� f(a)x� a
�
![Page 36: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/36.jpg)
32 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Solución
l��mx!a
f(x)� f(a)x� a = l��m
x!a
px�
pa
x� a = 00
Para eliminar la indeterminación 00 ; multiplicamos numerador y
denominador por la expresión conjugada del numerador
l��mx!a
px�
pa
x� a = l��mx!a
(px�
pa) (px+
pa)
(x� a) (px+
pa)
=
= l��mx!a
x� a(x� a) (
px+
pa)= l��m
x!a
1
(px+
pa)=
1
2pa
Ejemplo 26 Sea f(x) = 1pxcalcula l��m
x!a
�f(x)� f(a)x� a
�Solución
l��mx!a
f(x)� f(a)x� a = l��m
x!a
1px� 1p
a
x� a =
= l��mx!a
pa�
pxp
apx
x� a = l��mx!a
pa�
pxp
ax (x� a) =0
0
Para eliminar la indeterminación 00 ; multiplicamos numerador y
denominador por la expresión conjugada del numerador
l��mx!a
pa�
pxp
ax (x� a) = l��mx!a
(pa�
px) (
pa+
px)p
ax (x� a) (pa+
px)=
= l��mx!a
a� xpax (x� a) (
pa+
px)
Ahora fíjate que a�xx�a = �1 con lo que
= l��mx!a
�1pax (
pa+
px)= � 1
a (2pa)= � 1
2apa
1.4.1. Ejercicios
Ejercicio 27 Dada la siguiente función y = 3�p2x+3
4�p5x+1
calcula su dominio dede�nición y los siguientes límites
a) l��mx!� 1
5+
�3�
p2x+ 3
4�p5x+ 1
�b) l��m
x!3
3�p2x+ 3
4�p5x+ 1
![Page 37: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/37.jpg)
1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ 33
Ejercicio 28 Dada la siguiente función y = x2�4x+4px+2�2 calcula su dominio de
de�nición y los siguientes límites
a) l��mx!�2+
�x2 � 4x+ 4px+ 2� 2
�b) l��m
x!2
�x2 � 4x+ 4px+ 2� 2
�
Ejercicio 29 Dada la siguiente función y = �x2+3x�22px+3�4 calcula su dominio de
de�nición y los siguientes límites
a) l��mx!�3+
�x2 + 3x� 22px+ 3� 4
b) l��mx!1
�x2 + 3x� 22px+ 3� 4
Ejercicio 30 Dada la siguiente función y = 4�p5x+1
3�p2x+3
calcula su dominio dede�nición y los siguientes límites
a) l��mx!� 1
5+
�4�
p5x+ 1
3�p2x+ 3
�b) l��m
x!3
�4�
p5x+ 1
3�p2x+ 3
�
Ejercicio 31 Dada la siguiente función y =px+2�2
x2�4x+4calcula su dominio dede�nición y los siguientes límites
a) l��mx!�2+
�px+ 2� 2
x2 � 4x+ 4
�b) l��m
x!2
�px+ 2� 2
x2 � 4x+ 4
�
Ejercicio 32 Dada la siguiente función y =px+3�2
�x2+3x�2calcula su dominio dede�nición y los siguientes límites
a) l��mx!�3+
� px+ 3� 2
�x2 + 3x� 2
�b) l��m
x!1
� px+ 3� 2
�x2 + 3x� 2
�c) l��m
x!1
� px+ 3� 2
�x2 + 3x� 2
�
![Page 38: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/38.jpg)
34 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
1.5. Límite de la suma o resta de funciones
Para calcular l��mx!a
(f(x) + g(x) tendremos presente la siguiente tabla
l��mx!a
f(x)
b +1 �1
c b+ c
�+1
x = a A:V
� ��1
x = a A:V
�l��mx!a
g(x) +1�
+1x = a A:V
� �+1
x = a A:V
�Ind
�1�
�1x = a A:V
�Ind
��1
x = a A:V
�cuando nos aparezca "1 � 1" diremos que es una indeterminación. No
podremos evaluar directamente el límite; ya que éste dependerá de las funcionesf y g que intervangan. Para eliminar la indeterminación operaremos y ...
1.5.1. Ejemplos y ejercicios
Ejemplo 33 Calcula l��mx!3
hx2�5xx+1 � 1
x+5
iSoluciónCalculamos por separado cada límite
l��mx!3
x2 � 5xx+ 1
= �32
l��mx!3
1
x+ 5=
1
8
Por lo que
l��mx!3
�x2 � 5xx+ 1
� 1
x+ 5
�= �3
2� 18= �13
8
Ejemplo 34 Calcula l��mx!3+
hx2�5xx+1 � 1
3�x
iSoluciónCalculamos por separado cada límite
l��mx!3+
x2 � 5xx+ 1
= �32
l��mx!3+
1
3� x =1
0�= �1
Por lo que:
l��mx!3+
�x2 � 5xx+ 1
� 1
3� x
�= �3
2� (�1) = �3
2+1 = +1
![Page 39: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/39.jpg)
1.5. LÍMITE DE LA SUMA O RESTA DE FUNCIONES 35
Ejercicio 35 Calcula tú l��mx!3�
hx2�5xx+1 � 1
3�x
iEjemplo 36 Calcula l��m
x!2+
hx�3x�2 �
4(x�3)2
iSoluciónCalculamos por separado cada límite
l��mx!2+
x� 3x� 2 =
�10+
= �1
l��mx!2+
4
(x� 2)2=
4
0+= +1
Por lo que:
l��mx!2+
"x� 3x� 2 �
4
(x� 2)2
#= �1� (+1) = �1�1 = �1
Ejercicio 37 Calcula l��mx!2�
hx�3x�2 �
4(x�2)2
i¿Cuál es el valor del l��m
x!2
hx�3x�2 �
4(x�3)2
i?
Ejemplo 38 Calcula l��mx!2+
hx�3x�2 +
4(x�2)2
iSoluciónCalculamos por separado cada límite
l��mx!2+
x� 3x� 2 =
�10+
= �1
l��mx!2+
4
(x� 2)2=
4
0+= +1
Por lo que:
l��mx!2+
"x� 3x� 2 +
4
(x� 2)2
#= �1+ (+1) = �1+1 Indeterminación
Para eliminar la indeterminación, calcularemos la suma de fracciones re-duciéndola a común denominador
l��mx!2+
"x� 3x� 2 +
4
(x� 2)2
#= l��m
x!2+
"(x� 3) (x� 2)(x� 2)2
+4
(x� 2)2
#=
= l��mx!2+
"x2 � 5x+ 10(x� 2)2
#=
4
0+= +1
Ejercicio 39 Calcula l��mx!2�
hx�3x�2 +
4(x�2)2
i¿Cuál es el valor del l��m
x!2
hx�3x�2 +
4(x�2)2
i?
![Page 40: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/40.jpg)
36 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Ejemplo 40 Calcula l��mx!2�
hx+3x�2 �
5x�10(x�2)2
iSoluciónCalculamos por separado cada límite
l��mx!2�
x+ 3
x� 2 =5
0�= �1
l��mx!2�
5x� 10(x� 2)2
=0
0! l��m
x!2�
5 (x� 2)(x� 2)2
= l��mx!2�
5
(x� 2) =5
0�= �1
Por lo que:
l��mx!2�
"x+ 3
x� 2 �5x� 10(x� 2)2
#= �1� (�1) = �1+1 Indeterminación
Para eliminar la indeterminación, calcularemos la suma de fracciones re-duciéndola a común denominador
l��mx!2�
"x+ 3
x� 2 �5x� 10(x� 2)2
#= l��m
x!2�
�x+ 3
x� 2 �5
(x� 2)
�=
= l��mx!2+
�x� 2x� 2
�= l��m
x!2+1 = 1
Ejercicio 41 Calcula l��mx!2+
hx+3x�2 �
5x�10(x�2)2
i. ¿Cuál es el valor del l��m
x!2
hx+3x�2 �
5x�10(x�2)2
i?
Observa que:La grá�ca de y = x+3
x�2 �5x�10(x�2)2 coincide con la función constante y = 1 si le
quitamos el punto P (2; 1)
Ejemplo 42 Calcula l��mx!1+
hx+2x�1 �
x+11(x�1)(x+3)
iSoluciónCalculamos por separado cada límite
l��mx!1+
x+ 2
x� 1 =3
0+= +1
l��mx!1+
x+ 11
(x� 1) (x+ 3) =12
0+�2 =6
0+= +1
Por lo que:
l��mx!1+
�x+ 2
x� 1 �x+ 11
(x� 1) (x+ 3)
�= +1� (+1) =1�1 Indeterminación
![Page 41: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/41.jpg)
1.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES 37
Para eliminar la indeterminación, calcularemos la suma de fracciones re-duciéndola a común denominador
l��mx!1+
�x+ 2
x� 1 �x+ 11
(x� 1) (x+ 3)
�= l��m
x!1+
�(x+ 2) (x+ 3)
(x� 1) (x+ 3) �(x+ 11)
(x� 1) (x+ 3)
�=
= l��mx!1+
�x2 + 5x+ 6� x� 11(x� 1) (x+ 3)
�= l��m
x!1+
�x2 + 4x� 5(x� 1) (x+ 3)
�=0
0
Factorizando el numerador y simpli�cando
= l��mx!1+
�x2 + 4x� 5(x� 1) (x+ 3)
�= l��m
x!1+
�(x+ 5) (x� 1)(x� 1) (x+ 3)
�=
= l��mx!1+
�x+ 5
x+ 3
�=6
4=3
2
Ejercicio 43 l��mx!1�
hx+2x�1 �
x+11(x�1)(x+3)
i: ¿Cuál es el valor del l��m
x!1
hx+2x�1 �
x+11(x�1)(x+3)
i?
Observa que:La grá�ca de y = x+2
x�1 �x+11
(x�1)(x+3) coincide con la función constante y =x+5x+3
si le quitamos el punto P (1; 32 )
1.6. Límite del producto de dos funciones
Para calcular l��mx!a
(f(x)�g(x) tendremos presente la siguiente tabla
l��mx!a
f(x)
b 6= 0 0 +1 �1
c 6= 0 b�c 0
24 +1 si c > 0�1 si c < 0x = a A:V
35 24 �1 si c > 0+1 si c < 0x = a A:V
35l��mx!a
g(x) 0 0 0 Ind Ind
+1
24 +1 si b > 0�1 si b < 0x = a A:V
35 Ind�
+1x = a A:V
� ��1
x = a A:V
�
�1
24 �1 si b > 0+1 si b < 0x = a A:V
35 Ind�
+1x = a A:V
� �+1
x = a A:V
�
Cuando nos aparezca "0�1" diremos que es una indeterminación. No po-dremos evaluar directamente el límite; ya que éste dependerá de las funciones fy g que intervengan. Para eliminar la indeterminación operaremos y ...
1.6.1. Ejemplos y ejercicios
Ejemplo 44 Calcula l��mx!3
hx2�5xx+1
�3� 1
x+5
�i
![Page 42: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/42.jpg)
38 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
SoluciónCalculamos por separado cada límite
l��mx!3
x2 � 5xx+ 1
= �32
l��mx!3
�3� 1
x+ 5
�= 3� 1
8=23
3
Por lo que
l��mx!3
�x2 � 5xx+ 1
�3� 1
x+ 5
��= �3
2
�23
8
�= �69
16
Ejercicio 45 l��mx!4
hx2�9x+1
�1� 1
(x�3)2
�iEjercicio 46 Calcula l��m
x!�1+
hx2�9x+1
�1� 1
(x�3)2
�iEjercicio 47 Calcula l��m
x!�1�
hx2�9x+1
�1� 1
(x�3)2
�iEjemplo 48 Calcula l��m
x!3+
hx2�9x+1
�1� 1
(x�3)2
�iSoluciónCalculamos por separado cada límite
l��mx!3+
x2 � 9x+ 1
= 0
l��mx!3+
�1� 1
(x� 3)2
�= 1� 1
0+= 1�1 = �1
Por lo que
l��mx!3+
�x2 � 9x+ 1
�1� 1
(x� 3)2
��= "0�1"
Calculando�x2 � 9x+ 1
�1� 1
(x� 3)2
��=x2 � 9x+ 1
x2 � 6x+ 8(x� 3)2
=
=(x� 3)(x+ 3)
x+ 1
x2 � 6x+ 8x+ 5
Así pues
l��mx!3+
�x2 � 9x+ 1
�1� 1
(x� 3)2
��= l��m
x!3+
"(x� 3)(x+ 3)
�x2 � 6x+ 8
�(x+ 1) (x+ 5)
#=0
0
simpli�cando la fracción resultante
= l��mx!3+
"(x� 3)(x+ 3)
�x2 � 6x+ 8
�(x+ 1) (x� 3)2
#= l��m
x!3+
"(x+ 3)
�x2 � 6x+ 8
�(x+ 1) (x� 3)
#=
�64�0+ �1
![Page 43: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/43.jpg)
1.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES 39
Ayuda: El dominio de de�nición de f(x) = g(x)�h(x) donde g(x) = x2�9x+1
(D(g) = R � f�1g) y h(x) = 1� 1(x�3)2 (D(h) = R � f3g)es
D(f) = D(g) \D(h) = R � f�1; 3g
La grá�ca de y = x2�9x+1
�1� 1
(x�3)2
�es la misma que la de y =
(x+3)(x2�6x+8)(x+1)(x�3)
ya que ambos dominios son iguales
Ejercicio 49 Calcula l��mx!3�
hx2�9x+1
�1� 1
(x�3)2
�iEjercicio 50 Calcula l��m
x!2
hx+3x+2
�1� 3x�5
x�1
�iEjercicio 51 Calcula l��m
x!2�
h3
(x�2)2
�1� 3x�5
x�1
�iEjemplo 52 Calcula l��m
x!1+
hx+3(x�1)2
�x+34x � 1
�iSoluciónCalculando cada límite por separado
l��mx!1+
x+ 3
(x� 1)2=
4
0+= +1
l��mx!1+
�x+ 3
4x� 1�= 0
Con lo que
l��mx!1+
"x+ 3
(x� 1)2�x+ 3
4x� 1�#
= "0�1"
Para eliminar la indeterminación operaremos lo de dentro del límite
l��mx!1+
"x+ 3
(x� 1)2�x+ 3
4x� 1�#
= l��mx!1+
"x+ 3
(x� 1)2��3x+ 34x
�#= l��m
x!1+
"(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)2
#=0
0
Factorizando numerador y denominador
l��mx!1+
"(�3x+ 3) (x+ 3)4x (x� 1)2
#= l��m
x!1+
"�3 (x� 1) (x+ 3)4x (x� 1)2
#= l��m
x!1+
�3(x+ 3)4x(x� 1) =
�124�0+ =
�30+
= �1
Ejercicio 53 Calcula l��mx!1�
hx+3(x�1)2
�x+34x � 1
�iObserva que:La grá�ca de y = x+3
(x�1)2�x+34x � 1
�es la misma que la de y = �3(x+3)
4x(x�1) ya queambos dominios son iguales
![Page 44: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/44.jpg)
40 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Ejemplo 54 Calcula l��mx!0+
hx+3(x�1)2
�x+34x � 1
�iy l��mx!0�
hx+3(x�1)2
�x+34x � 1
�iEjemplo 55 Calcula l��m
x!1+
hx+3x�1
�x+34x � 1
�iSoluciónCalculando cada límite por separado
l��mx!1+
x+ 3
x� 1 =4
0+= +1
l��mx!1
�x+ 3
4x� 1�= 0
Con lo que
l��mx!1+
�x+ 3
(x� 1)
�x+ 3
4x� 1��
= "0�1"
Para eliminar la indeterminación operaremos lo de dentro del límite
l��mx!1+
�x+ 3
x� 1
�x+ 3
4x� 1��
= l��mx!1+
�x+ 3
x� 1
��3x+ 34x
��= l��m
x!1+
�(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)
�=0
0
Factorizando numerador y denominador
l��mx!1+
�(�3x+ 3) (x+ 3)
4x (x� 1)
�= l��m
x!1+
��3 (x� 1) (x+ 3)
4x (x� 1)
�= l��m
x!1+
�3(x+ 3)4x
= �3
Ejercicio 56 l��mx!1�
hx+3(x�1)
�x+34x � 1
�iObserva que:Ayuda: El dominio de de�nición de f(x) = g(x)�h(x) donde g(x) = x+3
(x�1)(D(g) = R � f1g) y h(x) =
�x+34x � 1
�(D(h) = R � f0g)es
D(f) = D(g) \D(h) = R � f0; 1g
La grá�ca de y = x+3(x�1)
�x+34x � 1
�es la misma que la de y = �3(x+3)
4x ; peroquitándole el punto P (1;�3)
1.7. Límite del cociente de dos funciones
Para calcular l��mx!a
f(x)g(x) � tendremos presente la siguiente tabla
l��mx!a
f(x)
b 6= 0 0 +1 �1
c 6= 0 b
c0
24 +1 si c > 0�1 si c < 0x = a A:V
35 24 �1 si c > 0+1 si c < 0x = a A:V
35l��mx!a
g(x) 0x = a A.V
calculan límites lateralesInd
x = a A.Vcalculan límites laterales
x = a A.Vclculan límites laterales
+1 0 0 Ind Ind�1 0 0 Ind Ind
![Page 45: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/45.jpg)
1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES 41
No podremos evaluar directamente el límite cuando nos aparezcan las in-determinaciones 0
0 o11 ; ya que éste dependerá de las funciones f y g que
intervengan.
Cuando nos aparezca la indeterminación " 00" factorizaremos al máximo
la fracción f(x)g(x) y simpli�caremos En esta última situación, si aparece al
menos un binomio que contenga alguna raíz cuadrada, primero multipli-caremos numerador y denominador por su expresión conjugada y, despuésintentaremos factorizar al máximo.
Cuando aparezca la indeterminación "11"operaremos la fracción.
1.7.1. Ejemplos y ejercicios
Ejemplo 57 Calcula l��mx!2
h3x+2x+3 :
2x�1x+1
iSolución:
Como
264 l��mx!2
3x+2x+3 =
85
yl��mx!2
2x�1x+1 = 1
375; entoncesl��mx!2
�3x+ 2
x+ 3:2x� 1x+ 1
�=8
5: 1 =
8
5
Conclusión: La función para x = 2 es continua; ya que
f(2) = 85
y
l��mx!2
h3x+2x+3 :
2x�1x+1
i= 8
5
Ejemplo 58 Calcula l��mx!2
hx+4x�1 :
x�2x+3
i. ¿La función es continua para x = 2?
Solución:
Como
264 l��mx!2
x+4x�1 = 6
yl��mx!2
x�2x+3 = 0
375; entoncesl��mx!2
�x+ 4
x� 1 :x� 2x+ 3
�=6
0
Ya sabemos que x = 2 es una asíntota vertical de la función y = x+4x�1 :
x�2x+3 .
Tendremos que estudiar los límites laterales
l��mx!2+
�x+ 4
x� 1 :x� 2x+ 3
�= l��m
x!2+
�(x+ 4) (x+ 3)
(x� 1) (x� 2)
�=
30
1�0+ = +1
l��mx!2�
�x+ 4
x� 1 :x� 2x+ 3
�= l��m
x!2�
�(x+ 4) (x+ 3)
(x� 1) (x� 2)
�=
30
1�0� = �1
![Page 46: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/46.jpg)
42 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Conclusión: La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas divergentesde la función La función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable desalto in�nitoAyuda Al ser f(x) = g(x)
t(x) donde g(x) =x+4x�1 (D(g) = R � f1g) y t(x) =
x�2x+3
(D(t) = R � f�3g) , su dominio de de�nición será
D(f) = D(g) \D(t) ��x 2 R / x� 2
x+ 3= 0
�=
[(R � f1g) \ (R � f�3g)] � f2g = R � f�3; 1; 2g
Nota: La grá�ca de la función y = x+4x�1 : x�2
x+3 coincide con la de y =(x+4)(x+3)(x�1)(x�2) quitándole el punto P (�3; 0) (Compruébalo)
Ejemplo 59 Calcula l��mx!3
hx�32x+1 :
�5x+15x+2
i. ¿La función es continua para x =3?
Solución:
Como
264 l��mx!3
x�32x+1 = 0
yl��mx!3
�5x+15x+2 = 0
375; entoncesl��mx!3
�x� 32x+ 1
:�5x+ 15x+ 2
�=0
0
Operando y simpli�cando [�5x+ 15 = �5(x� 3)]
l��mx!3
�(x� 3) (x+ 2)
(2x+ 1) (�5x+ 15)
�= l��m
x!3
�(x� 3) (x+ 2)
�5 (2x+ 1) (x� 3)
�=
l��mx!3
�(x+ 2)
�5 (2x+ 1)
�=
5
�35 = �1
7
Ayuda Al ser f(x) = g(x)t(x) donde g(x) =
x�32x+1 (D(g) = R �
�� 12
) y
t(x) = �5x+15x+2 (D(t) = R � f�2g) , su dominio de de�nición será
D(f) = D(g) \D(t) ��x 2 R / �5x+ 15
x+ 2= 0
�=��
R ���12
��\ (R � f�2g)
�� f3g = R �
��2;�1
2; 3
�Conclusión: La función presenta para x = 3 una discontinuidad evitable;
puesto queno existe f(3)
y9 l��mx!3
f(x) = � 17
La grá�ca de y= x�32x+1 :
�5x+15x+2 es la misma que la de y = (x+2)
�5(2x+1) pero
quitándole el punto P (3;� 17 ) y también el punto Q(�2; 0) (Compruébalo)
![Page 47: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/47.jpg)
1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES 43
Ejemplo 60 Calcula l��mx!3
h(x�3)2x+1 : x�3x+3
i. ¿La función es continua para x =3?
Solución:
Como
264 l��mx!3
(x�3)2x+1 = 0
yl��mx!3
x�3x+3 = 0
375; entonces
l��mx!3
"(x� 3)2
x+ 1:x� 3x+ 3
#=0
0
Operando y simpli�cando
l��mx!3
"(x+ 3) (x� 3)2
(x+ 1) (x� 3)
#= l��m
x!3
�(x� 3) (x+ 3)
(x+ 1)
�=
l��mx!3
"�x2 � 9
�(x+ 1)
#= 0
Ayuda Al ser f(x) = g(x)t(x) donde g(x) =
(x�3)2x+1 (D(g) = R � f�1g) y
t(x) = x�3x+3 (D(t) = R � f�3g) , su dominio de de�nición será
D(f) = D(g) \D(t) ��x 2 R / x� 3
x+ 3= 0
�=
[(R � f�1g) \ (R � f�3g)] � f3g = R � f�3;�1; 3g
Conclusión: La función presenta para x = 3 una discontinuidad evitable;puesto que
no existe f(3)y
9 l��mx!3
f(x) = 0
La grá�ca de y = (x�3)2x+1 : x�3
x+3 es la misma que la de y =(x2�9)(x+1) pero
quitándole el punto P (3; 0) y también el punto Q(�3; 0) (Compruébalo)
Ejemplo 61 Calcula l��mx!�2
hx+2x+1 :
(x+2)2
x+3
i. ¿La función es continua para x =
�2?
Solución:
Como
2664l��mx!�2
x+2x+1 = 0
y
l��mx!�2
(x+2)2
x+3 = 0
3775; entonces
l��mx!�2
"x+ 2
x+ 1:(x+ 2)
2
x+ 3
#=0
0
![Page 48: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/48.jpg)
44 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Operando y simpli�cando
l��mx!�2
"x+ 2
x+ 1:(x+ 2)
2
x+ 3
#= l��m
x!�2
"(x+ 3) (x+ 2)
(x+ 1) (x+ 2)2
#=
l��mx!�2
�(x+ 3)
(x+ 1) (x+ 2)
�=
1
0
Ya sabemos que x = �2 es una asíntota vertical de la función y = x+2x+1 :
(x+2)2
x+3 . Tendremos que estudiar los límites laterales
l��mx!�2+
�(x+ 3)
(x+ 1) (x+ 2)
�=
1
�1�0+ =1
0�= �1
l��mx!�2�
�(x+ 3)
(x+ 1) (x+ 2)
�=
1
�1�0� =1
0+= +1
Conclusión: La recta x = �2 es una asíntota vertical de ramas divergentesde la función La función presenta para x = �2 una discontinuidad inevitable desalto in�nitoAyuda Al ser f(x) = g(x)
t(x) donde g(x) =x+2x+1 (D(g) = R � f�1g) y t(x) =
(x+2)2
x+3 (D(t) = R � f�3g) , su dominio de de�nición será
D(f) = D(g) \D(t) �(x 2 R / (x+ 2)
2
x+ 3= 0
)=
[(R � f�1g) \ (R � f�3g)] � f�2g = R � f�3;�2;�1g
NOTA: La grá�ca de y = x+2x+1 :
(x+2)2
x+3 coincide con la de y = (x+3)(x+1)(x+2)
pero si le quitamos el punto P (�3; 0)
Ejemplo 62 Calcula
2664l��mx!1+
hx+3(x�1)2 :
x+5x�1
iy
l��mx!1�
hx+3(x�1)2 :
x+5x�1
i3775 ¿La función es continua para
x = 1?
Solución:
Calculemos primero l��mx!1+
hx+3(x�1)2 :
x+5x�1
i
Como
264 l��mx!1+
x+3(x�1)2 =
40+ = +1
yl��mx!1+
x+5x�1 =
60+ = +1
375; entonces
l��mx!1+
"x+ 3
(x� 1)2:x+ 5
x� 1
#=+1+1
![Page 49: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/49.jpg)
1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES 45
Operando y simpli�cando
l��mx!1+
"x+ 3
(x� 1)2:x+ 5
x� 1
#= l��m
x!1+
"(x+ 3) (x� 1)(x� 1)2 (x+ 5)
#=
l��mx!1+
�(x+ 3)
(x� 1) (x+ 5)
�=
4
0+�6 =4
0+= +1
Calculemos ahora l��mx!1�
hx+3(x�1)2 :
x+5x�1
i
Como
264 l��mx!1�
x+3(x�1)2 =
40� = �1
yl��mx!1�
x+5x�1 =
60� = �1
375; entoncesl��mx!1�
"x+ 3
(x� 1)2:x+ 5
x� 1
#=�1�1
Operando y simpli�cando
l��mx!1�
"x+ 3
(x� 1)2:x+ 5
x� 1
#= l��m
x!1�
"(x+ 3) (x� 1)(x� 1)2 (x+ 5)
#=
l��mx!1�
�(x+ 3)
(x� 1) (x+ 5)
�=
4
0��6 =4
0�= �1
Conclusión: La recta x = 1 es una asíntota vertical, de ramas divergentes,dela función.. Ésta presenta para x = 1 una discontinuidad inevitable de saltoin�nito.Ayuda Al ser f(x) = g(x)
t(x) donde g(x) =x+3(x�1)2 (D(g) = R � f1g) y t(x) =
x+5x�1 (D(t) = R � f1g) , su dominio de de�nición será
D(f) = D(g) \D(t) ��x 2 R / x+ 5
x� 1 = 0�=
[R � f1g] � f�5g = R � f�5; 1g
NOTA: La grá�ca de y = x+3(x�1)2 :
x+5x�1 coincide con la de y =
(x+3)(x�1)(x+5)
Ejemplo 63 Calcula l��mx!4
hx+2(x�4)2 :
x+3(2x�8)2
i¿La función es continua para x =
1?
Solución:
Como
264 l��mx!4
x+2(x�4)2 =
60+ = +1
yl��mx!4
x+3(2x�8)2 =
70+ = +1
375; entoncesl��mx!4
"x+ 2
(x� 4)2:
x+ 3
(2x� 8)2
#=+1+1
![Page 50: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/50.jpg)
46 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Operando y simpli�cando ((2x� 8)2 = [2(x� 4)]2 = 4(x� 4)2)
l��mx!4
"x+ 2
(x� 4)2:
x+ 3
(2x� 8)2
#= l��m
x!4
"(x+ 2) (2x� 8)2
(x� 4)2 x+ 3
#=
l��mx!4
"(x+ 2) 4(x� 4)2
(x� 4)2 (x+ 3)
#= l��m
x!4
�4 (x+ 2)
(x+ 3)
�=24
7
Ayuda Al ser f(x) = g(x)t(x) donde g(x) =
x+2(x�4)2 (D(g) = R � f4g) y t(x) =
x+3(2x�8)2 (D(t) = R � f4g) , su dominio de de�nición será
D(f) = D(g) \D(t) �(x 2 R / x+ 3
(2x� 8)2= 0
)=
[R � f4g] � f�3g = R � f�3; 4g
Conclusión: La función presenta para x = 4 una discontinuidad evitable;puesto que
no existe f(4)y
9 l��mx!4
f(x) = 247
La grá�ca de y = x+2(x�4)2 :
x+3(2x�8)2 es la misma que la de y =
4(x+2)(x+3) pero
quitándole el punto P (4; 247 )
Ejemplo 64 Calcula
2664l��mx!5+
hx+1x�5 :
x+2(x�5)2
iy
l��mx!5+
hx+1x�5 :
x+2(x�5)2
i3775 ¿La función es continua para
x = 1?
Solución:Calculemos primero l��m
x!5+
hx+1x�5 :
x+2(x�5)2
iComo
264 l��mx!5+
x+1x�5 =
60+ = +1
yl��mx!5�
x+2(x�5)2 =
70+ = +1
375; entonces
l��mx!5+
"x+ 1
x� 5 :x+ 2
(x� 5)2
#=+1+1
Operando y simpli�cando
l��mx!5+
"x+ 1
x� 5 :x+ 2
(x� 5)2
#= l��m
x!5+
�(x+ 1) (x� 5)
x+ 2
�= 0
![Page 51: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/51.jpg)
1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES 47
Calculemos ahora l��mx!5�
hx+1x�5 :
x+2(x�5)2
iComo
264 l��mx!5�
x+1x�5 =
60� = �1
yl��mx!5�
x+2(x�5)2 =
70+ = +1
375; entonces
l��mx!5�
"x+ 1
x� 5 :x+ 2
(x� 5)2
#=�1+1
Operando y simpli�cando
l��mx!5�
"x+ 1
x� 5 :x+ 2
(x� 5)2
#= l��m
x!5�+
�(x+ 1) (x� 5)
x+ 2
�= 0
Ayuda Al ser f(x) = g(x)t(x) donde g(x) =
x+1x�5 (D(g) = R � f5g) y t(x) =
x+2(x�5)2 (D(t) = R � f5g) , su dominio de de�nición será
D(f) = D(g) \D(t) �(x 2 R / x+ 2
(x� 5)2= 0
)=
[R � f5g] � f�2g = R � f�2; 5g
Conclusión: La función presenta para x = 5 una discontinuidad evitable;puesto que
no existe f(5)y
9 l��mx!3
f(5) = 0
La grá�ca de y = x+1x�5 :
x+2(x�5)2 es la misma que la de y =
(x+1)(x�5)x+2 pero
quitándole el punto P (5; 0)
![Page 52: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/52.jpg)
48 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
1.8. Límites de funciones exponenciales, poten-ciales y potenciales exponenciales
Vamos a explicar todas las situaciones posibles para poder calcular los sigu-ientes límites
l��mx!b
[f(x)]g(x) donde l��m
x!bf(x) =
8>><>>:0+
a donde a 2 R+ � f1g1+1
Si el l��mx!b
f(x) = a; Es conveniente recordar las siguientes grá�cas
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
y = ax si a > 1
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
y = ax si 0 < a < 1
Las cuales nos permitirán a�rmar
Si a > 1 Si 0 < a < 1a+1 = +1 a+1 = 0+
a�1 = 0+ a�1 = +1Veamos ahora algunas situaciones concretas con los símbolos matématicos+1 y �1
Recuerda que
Si k > 0 Si k < 0k+1 = 0+ k
+1 = 0�
k�1 = 0� k
�1 = 0+
Si k > 0 Si k < 0(+1)k = +1 (+1)k = 0
(+1)+1 = +1 (+1)�1 = 0+
![Page 53: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/53.jpg)
1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES49
Veamos ahora algunas situaciones con el 0
Si k > 0 Si k < 0(0+)
k= 0+ (0+)
k= +1
(0+)+1
= 0+ (0+)�1
= +1
Cuando nos aparezcan las siguientes situaciones:
(+1)0 ; 00 ,1+1; y 1�1
diremos que son indeterminaciones (no se puede deducir directamente elresultado). Más adelante ya veremos como se resuelven.
En este curso sólo explicaremos como eliminar la indeterminación 11 ,dejando para segundo de bachiller las otras indeterminaciones.
Nota 1: El dominio de de�nición de la función potencial,h(x) =[f(x)]
k donde k 2 R � f0g, es
D(h) = D(f)
Nota 2: El dominio de de�nición de la función exponencial,h(x) =[k]
f(x) donde k 2 R+ � f1g, es
D(h) = D(f)
Nota 3: El dominio de de�nición de la función potencial- expo-nencial ,h(x) = [f(x)]g(x), es:
D(h) = fx 2 R / f(x) > 0g \ D(g)
Ejemplo 65 Dada la función y = 21x calcula su dominio de de�nición y los
siguientes límites laterales
l��mx!0+
21x
l��mx!0�
21x
SoluciónEl dominio de de�nción de esta función es
D(f) = R � f0g
La función es continua en todo punto de su dominio¿Qué ocurre con la función en los alrededores de x = 0?Para saberlo, determinamos sus límites laterales
l��mx!0+
21x = 2
1
0+ = 2+1 = +1
l��mx!0�
21x = 2
1
0� = 2�1 = 0+
![Page 54: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/54.jpg)
50 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
La función no es continua para x = 0. Presenta una discontinuidad inevitablede salto in�nito; ya que la recta x = 0 es una asíntota vertical de la función (ala derecha de dicho valor).Por otro lado; para valores de x que se aproximan a 0 por la izquierda, los
valores de sus y correspondientes tienden a aproximarse a cero por arriba.Mira su grá�ca
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=0 A. Vertical
y=1 A. Horizontal
Nota: El conjunto imagen de esta función es
Im f = (0; 1) [ (1;+1)
Más adelante podrás comprobar que la recta y = 1 es una asíntota horizontalde la función
Ejercicio 66 Haz lo mismo que antes para la función y =�12
� 1x
Ejemplo 67 Dada la función y =�23
� 1x calcula su dominio de de�nición y los
siguientes límites laterales
l��mx!2+
�2
3
� 1x�2
l��mx!2�
�2
3
� 1x�2
SoluciónEl dominio de de�nción de esta función es
D(f) = R � f2g
![Page 55: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/55.jpg)
1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES51
La función es continua en todo punto de su dominio¿Qué ocurre con la función en los alrededores de x = 2?Para saberlo, determinamos sus límites laterales
l��mx!2+
�2
3
� 1x�2
=
�2
3
� 1
0+
=
�2
3
�+1= 0+
l��mx!2�
�2
3
� 1x�2
=
�2
3
� 1
0�
=
�2
3
��1= +1
La función no es continua para x = 2. Presenta una discontinuidad inevitablede salto in�nito; ya que la recta x = 2 es una asíntota vertical de la función (porla izquierda de dicho valor).Por otro lado; para valores de x que se aproximan a 0 por la derecha, los
valores de sus y correspondientes tienden a aproximarse a cero por arriba.
Mira su grá�ca y =�23
� 1x�2
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=2 A. Vertical
y=1 A. Horizontal
y =�23
� 1x�2
1.8.1. Ejercicios
Ejercicio 68 Dada la la función y =�53
� 1x+2 determina su dominio y los sigu-
ientes límites laterales
l��mx!2+
�5
3
� 1x+2
l��mx!2�
�5
3
� 1x+2
![Page 56: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/56.jpg)
52 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Ejercicio 69 Dada la función y =�x�2x�1
�2calcula su dominio de de�nición y
después estudia los siguientes límites
a) l��mx!1+
�x� 2x� 1
�2b) l��m
x!1+
�x� 2x� 1
�2Ayuda: D(f) = (�1; 1) [ (1;+1)
Ejercicio 70 Dada la función y =�x�1x�2
�2calcula su dominio de de�nición y
después estudia los siguientes límites
a) l��mx!2+
�x� 1x� 2
�2b) l��m
x!2+
�x� 1x� 2
�2Ejercicio 71 Dada la función y =
�x�1x�2
�3calcula su dominio de de�nición y
después estudia los siguientes límites
a) l��mx!2+
�x� 1x� 2
�3b) l��m
x!2+
�x� 1x� 2
�3Ejercicio 72 Dada la función y =
�x�2x�1
�3calcula su dominio de de�nición y
después estudia los siguientes límites
a) l��mx!1+
�x� 2x� 1
�3b) l��m
x!1+
�x� 2x� 1
�3Ejercicio 73 Calcula los siguientes límites
a) l��mx!3
(2x+ 2)1
(x�3)2 b) l��mx!3
( 12x+1 )
1(x�3)2 c) l��m
x!23
1x�2
d) l��mx!1
( 13 )1
(x�1)2 e) l��mx!5
( 12 )1
5�x f) l��mx!0
( 1x2 )x+3
g) l��mx!2
�(x� 2)2
�xh) l��m
x!2
�(x� 2)2
�x�5i) l��m
x!1
�(x� 1)4
� 1(x�1)2
j) l��mx!1
�(x� 1)2
� �3(x�1)4 k) l��m
x!2(2x+ 1)x�3
![Page 57: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/57.jpg)
1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES53
Solución
a) l��mx!3
(2x+ 2)1
(x�3)2 = 81
0+ = 8+1 = +1
b) l��mx!3
( 12x+1 )
1(x�3)2 =
�17
� 1
0+ = 7�10+ = 7�1 = 0+
c) l��mx!2
31
x�3 = 310 . Tenemos que estudiar los límites laterales para saber el
comportamiento de la función a la derecha y a la izquierda del 2
l��mx!2+
31
x�2 = 31
0+ = 3+1 = +1
l��mx!2
31
x�2 = 31
0� = 3�1 = 0+
d) l��mx!1
( 13 )1
(x�1)2 =�13
� 1
0+ = 31
0+ = 3+1 = +1
e) l��mx!5
( 12 )1
5�x = (12 )10 . Tenemos que estudiar los límites laterales para saber
el comportamineto de la función a la derecha y a la izquierda del 5
l��mx!5+
(1
2)
15�x = (
1
2)
1
0� = 2�10� = 2+1 = +1
l��mx!5�
(1
2)
15�x = (
1
2)
1
0+ = 2�10+ = 2�1 = 0+
f) l��mx!0
( 1x2 )x+3 =
�10+
�3= (+1)3 = +1
g) l��mx!2
�(x� 2)2
�x= (0+)
4= 0+
h) l��mx!2
�(x� 2)2
�x�5= (0+)
�3= 1
(0+)3= 1
0+ = +1
i) l��mx!1
�(x� 1)4
� 1(x�1)2 = (0+)
1
0+ = (0+)+1
= 0+
l��mx!1
�(x� 1)2
� �3(x�1)4 = (0+)
�30+ = (0+)
�1= +1
k) l��mx!2
(2x+ 1)x�3 = 5�1 = 15
Ejercicio 74 Calcula l��mx!0+
�x+34x
� x+3
(x�1)2 y l��mx!0�
�x+34x
� x�3(x�1)2
Ejercicio 75 Dada la función f(x) = xx su dominio de de�nición es
D(f) = (0;+1)
![Page 58: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/58.jpg)
54 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Fíjate bien en la siguiente tabla de valores para esta función
f
0BBBBBBBB@
x0;20;10;010;0010;00010;00001
1CCCCCCCCA=
0BBBBBBBB@
xx
0;724 779 663 70;794 328 234 70;954 992 5860;993 116 048 40;999 079 390 00;999 884 877 4
1CCCCCCCCAFíjate que l��m
x!0+xx presenta la indeterminación 00¿Cuál crees que es el valor
de l��mx!0+
xx observando la tabla anterior?
Ejercicio 76 Dada la función h(x) =�x+34x
� 1x�1 cuyo dominio es D(h) =
(�:1;�3) [ (0; 1) [ (1;+1). Observa las siguientes tablas de valores
h
0BBBBBBBB@
x1;11;011;0011;00011;000011;000001
1CCCCCCCCA=
0BBBBBBBB@
�x+34x
� 1x�1
0;493 528 005 90;474 570 513 80;472 587 871 50;472 388 693 90;472 368 766 90;472 366 774 2
1CCCCCCCCAh
0BBBBBBBB@
x0;90;990;9990;99990;999990;999999
1CCCCCCCCA=
0BBBBBBBB@
�x+34x
� 1x�1
0;449 137 107 10;470 141 971 20;472 145 027 80;472 344 409 50;472 364 338 50;472 366 331 3
1CCCCCCCCAObserva que al calcular
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� 1x�1
= 11
0+ = 1+1
y
l��mx!1�
�x+ 3
4x
� 1x�1
= 11
0� = 1�1
Obtenemos la indeterminación11. ¿Crees que tiene límite la función para x =1? Calcula el siguiente valor e�
34 y cómpáralo con los valores obtenidos en la
tabla
Ejercicio 77 Dada la función j(x) =�x+34x
� x+3x�1 cuyo dominio es D(j) = (�:1;�3)[
(0; 1) [ (1;+1). Observa las siguientes tablas de valores
j
0BBBBBBBB@
x1;11;011;0011;00011;000011;000001
1CCCCCCCCA=
0BBBBBBBB@
�x+34x
� x+3x�1
5: 528 131 810� 10�25: 034 612 055� 10�24: 984 306 832� 10�24: 979 266 931� 10�24: 978 762 847� 10�24: 978 712 438� 10�2
1CCCCCCCCAj
0BBBBBBBB@
x0;90;990;9990;99990;999990;999999
1CCCCCCCCA=
0BBBBBBBB@
�x+34x
� x+3x�1
4: 408 368 149� 10�24: 922 591 589� 10�24: 973 104 742� 10�24: 978 146 722� 10�24: 978 650 826� 10�24: 978 701 236� 10�2
1CCCCCCCCA
![Page 59: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/59.jpg)
1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES55
Observa que al calcular
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x+3x�1
= 14
0+ = 1+1
y
l��mx!1�
�x+ 3
4x
� x+3x�1
= 14
0� = 1�1
Obtenemos la indeterminación11. ¿Crees que tiene límite la función para x =1? Calcula el siguiente valor e�3 y cómparalo con los valores obtenidos en latabla
Ejercicio 78 Dada la función r(x) =�x+34x
� x+3
(x�1)2 cuyo dominio es D(r) =(�:1;�3) [ (0; 1) [ (1;+1). Observa las siguientes tablas de valores
r
0BBBBBBBB@
x1;11;011;0011;00011;000011;000001
1CCCCCCCCA= :
0BBBBBBBB@
�x+34x
� x+3
(x�1)2
2: 665 531 970� 10�131: 572 537 946� 10�1304: 025 032 916� 10�13034: 509 075 985� 10�130291: 393 178 143� 10�1302881: 103 751 153� 10�1302883
1CCCCCCCCAr
0BBBBBBBB@
x0;90;990;9990;99990;999990;999999
1CCCCCCCCA:
0BBBBBBBB@
�x+34x
� x+3
(x�1)21
(x�1)2 (x+3)
3: 607 625 442� 10136: 034 196 843� 101302: 357 185 322� 1013032: 104 141 956� 10130296: 810 138 307� 101302888: 595 901 179� 101302883
1CCCCCCCCA: :
Observa que al calcular
l��mx!1
�x+ 3
4x
� x+3
(x�1)2
= 14
0+ = 1+1
y
l��mx!1�
�x+ 3
4x
� x+3
(x�1)2
= 14
0+ = 1+1
Obtenemos la indeterminación11. ¿Puedes decir algo sobre el comportamientode dicha función en el entorno de x = 1?
Ejercicio 79 Dada la función t(x) =�x+34x
� x2+3x
(x�1)2 cuyo dominio es D(t) =(�:1;�3) [ (0; 1) [ (1;+1). Observa las siguientes tablas de valores
t
0BBBBBBBB@
x1;11;011;0011;00011;000011;000001
1CCCCCCCCA=
0BBBBBBBBB@
�x+34x
� x2+3
(x�1)2
1: 225 820 495� 10�137: 407 384 569� 10�1311: 900 756 527� 10�13032: 129 876 778� 10�130296: 580 889 057� 10�1302895: 213 749 805� 10�1302884
1CCCCCCCCCAt
0BBBBBBBB@
x0;90;990;9990;99990;999990;999999
1CCCCCCCCA=
0BBBBBBBBB@
�x+34x
� x2+3
(x�1)2
1: 590 374 109� 10122: 970 388 662� 101291: 172 252 95� 1013021: 047 472 738� 10130283: 390 530 071� 101302874: 279 642 382� 101302882
1CCCCCCCCCA
![Page 60: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/60.jpg)
56 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Observa que al calcular
l��mx!1
�x+ 3
4x
� x2+3x
(x�1)2
= 14
0+ = 1+1
y
l��mx!1�
�x+ 3
4x
� x2+3x
(x�1)2
= 14
0+ = 1+1
Obtenemos la indeterminación11. ¿Puedes decir algo sobre el comportamientode dicha función en el entorno de x = 1?
1.8.2. Límites que presentan la indeterminación 11
Si al menos uno de los límites l��mx!b+
[f(x)]g(x)
o l��mx!b�
[f(x)]g(x) nos da 1+1
o 1�1 utilizaremos que
l��mx!b+
[f(x)]g(x)
= el��m
x!b+g(x)[f(x)�1]
(o l��mx!b�
[f(x)]g(x)
= el��m
x!b�g(x)[f(x)�1]
Si calculamos dicho límite, todos los resultados que podemos obtener son:
ea siendo a 2 R
e0=1
e+1 = +1, al ser e > 1
e�1 = 0+ al ser e > 1
Ejemplo 80 Dada la función y =�x+34x
� 1x�1 cuyo dominio es D(f) = (�:1;�3)[
(0; 1) [ (1;+1) calcula
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� 1x�1
SoluciónComo l��m
x!1+
�x+34x
� 1x�1 = 1+1 utilizando la regla anterior; tendremos
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� 1x�1
= el��m
x!1+[ 1x�1 (
x+34x �1)]
Calculando, por separado, el l��mx!1+
h1
x�1�x+34x � 1
�itendremos
l��mx!1+
�1
x� 1
�x+ 3
4x� 1��
= l��mx!1+
�1
x� 1
��3x+ 34x
��= l��m
x!1+
��3x+ 34x (x� 1)
�=0
0
![Page 61: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/61.jpg)
1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES57
Factorizando numerador y denominador
l��mx!1+
��3x+ 34x (x� 1)
�= l��m
x!1+
��3 (x� 1)4x (x� 1)
�= l��m
x!1+
�34x
=�34
Por lo que
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� 1x�1
= e�34 =
14pe3=
4pe
e
Ejercicio 81 Comprueba tú que l��mx!1�
�x+34x
� 1x�1 = e�
34 ¿La función es contin-
ua para x = 1?. En caso de no serlo, ¿qué tipo de discontinuidad presenta?
Ejemplo 82 Dada la función y =�x+34x
� x+3x�1 cuyo dominio es D(f) = (�:1;�3)[
(0; 1) [ (1;+1) calcula
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x+3x�1
SoluciónComo l��m
x!1+
�x+34x
� x+3x�1 = 1+1 utilizando la regla anterior; tendremos
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x+3x�1
= el��m
x!1+[ x+3x�1 (
x+34x �1)]
Calculando, por separado, el l��mx!1+
hx+3x�1
�x+34x � 1
�itendremos
l��mx!1+
�x+ 3
x� 1
�x+ 3
4x� 1��
= l��mx!1+
�x+ 3
x� 1
��3x+ 34x
��= l��m
x!1+
�(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)
�=0
0
Factorizando numerador y denominador
l��mx!1+
�(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)
�= l��m
x!1+
��3 (x� 1) (x+ 3)
4x (x� 1)
�= l��m
x!1+
�3(x+ 3)4x
= �3
Por lo que
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x+3x�1
= e�3 =1
e3
Ejercicio 83 Comprueba tú que l��mx!1�
�x+34x
� x+3x�1 = e�3. ¿La función es con-
tinua para x = 1?. En caso de no serlo, ¿qué tipo de discontinuidad presenta?
Ejemplo 84 Dada la función y =�x+34x
� x+3
(x�1)2 cuyo dominio es D(f) = (�:1;�3)[(0; 1) [ (1;+1) calcula
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x+3
(x�1)2
![Page 62: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/62.jpg)
58 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
SoluciónComo l��m
x!1+
�x+34x
� x+3
(x�1)2 = 1+1 utilizando la regla anterior; tendremos
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x+3
(x�1)2
= el��m
x!1+
x+3
(x�1)2 (x+34x �1)
Calculando, por separado, ell��m
x!1+
x+3
(x�1)2 (x+34x �1)
tendremos
l��mx!1+
"x+ 3
(x� 1)2�x+ 3
4x� 1�#
= l��mx!1+
"x+ 3
(x� 1)2��3x+ 34x
�#= l��m
x!1+
"(�3x+ 3) (x+ 34x (x� 1)2
#=0
0
Factorizando numerador y denominador
l��mx!1+
"(�3x+ 3) (x+ 3)4x (x� 1)2
#= l��m
x!1+
"�3 (x� 1) (x+ 3)4x (x� 1)2
#= l��m
x!1+
�3(x+ 3)4x(x� 1) =
�124�0+ =
�30+
= �1
Por lo que
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x+3
(x�1)2
= e�1 = 0
Nota: Calcula tú l��mx!1�
�x+34x
� x+3
(x�1)2 y comprúeba que da +1
Ejemplo 85 Dada la función y = t(x) =�x+34x
� x2+3x
(x�1)2 cuyo dominio es D(f) =(�:1;�3) [ (0; 1) [ (1;+1) calcula
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x2+3x
(x�1)2
Solución
Como
2664l��mx!1+
�x+34x
�= 1
y
l��mx!1+
�x2+3x(x�1)2
�= 4
0+ = +1
3775; entonces
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x2+3x
(x�1)2
= 1+1
Aplicando la regla
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x2+3x
(x�1)2
= e
�l��m
x!1+
x2+3x
(x�1)2 (x+34x �1)
�
Calculemos por separado l��mx!1+
hx2+3x(x�1)2
�x+34x � 1
�il��mx!1+
"x2 + 3x
(x� 1)2�x+ 3
4x� 1�#
= +1�0
![Page 63: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/63.jpg)
1.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 59
Operando
l��mx!1+
"x2 + 3x
(x� 1)2�x+ 3
4x� 1�#
= l��mx!1+
"x2 + 3x
(x� 1)2��3x+ 34x
�#
= l��mx!1+
"�x2 + 3x
�(�3x+ 3)
4x (x� 1)2
#=0
0
Factorizando el numerador
= l��mx!1+
"�3�x2 + 3x
�(x� 1)
4x (x� 1)2
#=
Y simpli�cando
= l��mx!1+
"�3�x2 + 3x
�4x (x� 1)
#=�120+
= �1
Por lo que
l��mx!1+
�x+ 3
4x
� x2+3x
(x�1)2
= e
�l��m
x!1+
x2+3x
(x�1)2 (x+34x �1)
�= e�1 = 0+
Ejercicio 86 Comprueba tú que
l��mx!1�
�x+ 3
4x
� x2+3x
(x�1)2
= +1
¿La función es continua para x = 1?. ¿x = 1 es una asíntota vertical de lafunción?
1.9. Límites de funciones logarítmicas
Dada la función g(x) = loga f(x). Su dominio de de�nición es:
D(g) = fx 2 R /f(x) > 0g
Sabemos además que dicha función es continua en D(g). Por lo que si c 2D(g) entonces l��m
x!cloga f(x) = loga f(c):
En el resto de casos; para poder calcular el l��mx!c
loga f(x) tendremos presente:
Si a > 1 Si 0 < a < 1loga 0
+ = �1 loga 0+ = +1
loga (+1) = +1 loga (+1) = �1
![Page 64: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/64.jpg)
60 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Para acordarte de estos resultados; basta con que conozcas la grá�ca dey = loga x si a > 1 o si 0 < a < 1
Si a > 1 Si 0 < a < 1
2 4
4
2
0
2
4
x
y
y = loga x si a > 1
2 4
4
2
0
2
4
x
y
y = loga x si 0 < a < 1
También hay que recordar todas las propiedades relativas a los logaritmos:
loga b = z , az = b siendo a 2 R+ � f1g y b 2 R+266664loga 1 = 0loga a = 1loga a
n = nloga a
�n = �nloga
kpan = n
k
377775log 1
ax = � loga x
loga (b�c) = loga b+ loga c siendo a 2 R+ � f1g y
24 b 2 R+y
c 2 R+
35loga
�bc
�= loga b� loga c
loga (bn) = n loga b24 log b, log10 b logaritmos decimales (base 10)
ln b = loge b logaritmos neperianos (base e � 2: 718 281 828)
35aloga b = b
![Page 65: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/65.jpg)
1.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 61
2666664loga b =
log b
log a
loga b =ln b
ln a
loga b =logc b
logc acon a; c 2 R+ � f1g y b 2 R+
3777775 F. Cambio de base
AB = eB lnA siempre que A > 0 y B 2 R. Cualquier función potencial-exponencial se puede escribir como función exponencial de base el númeroe:
1.9.1. Ejemplos
Ejemplo 87 Calcula el dominio de la función y = log2(x+6) y después l��mx!2
log2(x+
6)
SoluciónEl dominio de y = log2(x+ 6) es:
D(f) = fx 2 R /x+ 6 > 0g = (�6;+1)
Calculemos ahora l��mx!2
log2(x+ 6)
l��mx!2
log2(x+ 6) = log2
hl��mx!2
(x+ 6)i= log2 8 = log2 2
3 = 3
Ejemplo 88 Calcula el dominio de la función y = log2(2x) y después l��mx! 1
2
log2(2x)
SoluciónEl dominio de y = log2(2x) es
D(f) = fx 2 R /2x > 0g = (0;+1)
Calculemos ahora l��mx! 1
2
log2(2x)
l��mx! 1
2
log2(2x) = log2
"l��mx! 1
2
(2x)
#= log2 1 = 0
Ejemplo 89 Calcula el dominio de la función y = log 12(x + 6) y después
l��mx!2
log 12(x+ 6)
SoluciónEl dominio de la función y = log 1
2(x+ 6) es:
D(f) = fx 2 R /x+ 6 > 0g = (�6;+1)
Calculemos ahora l��mx!2
log 12(x+ 6)
l��mx!2
log 12(x+ 6) = log 1
2
hl��mx!2
(x+ 6)i= log 1
28 = � log2 23 = �3
Nota: La función y = log 12(x+ 6) = � log2(x+ 6)
![Page 66: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/66.jpg)
62 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
Ejemplo 90 Calcula el dominio de la función y = log 12(2x) y después l��m
x! 12
log 12(2x)
SoluciónEl dominio de y = log 1
2(2x) es
D(f) = fx 2 R /2x > 0g = (0;+1)
Calculemos l��mx! 1
2
log 12(2x)
l��mx! 1
2
log 12(2x) = log 1
2
"l��mx! 1
2
(2x)
#= log 1
21 = 0
Ejemplo 91 Calcula el dominio de la función y = log2(x�2) y después l��mx!2+
log2(x�2)
SoluciónEl dominio de la función es:
D(f) = (2;+1)
Calculemos l��mx!2+
log2(x� 2)
l��mx!2+
log2(x� 2) = log2�l��mx!2+
(x� 2)�= log2 0
+ = �1
Ejemplo 92 Calcula el dominio de la función y = log 12(x�2) y después l��m
x!2+log( 12 )
(x�2)
SoluciónEl dominio de la función es:
D(f) = (2;+1)
Calculemos l��mx!2+
log 12(x� 2)
l��mx!2+
log( 12 )+(x� 2) = log( 12 )
�l��mx!2+
(x� 2)�= log( 12 )
�0+�= +1
Nota: La función y = log 12(x� 2) = � log2(x� 2)
Ejemplo 93 Calcula el dominio de la función y = log3(1
x�2 ) y después l��mx!2+
log3(1
x�2 )
SoluciónEl dominio de la función es::
D(f) = (2;+1)
![Page 67: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/67.jpg)
1.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 63
Calculemos l��mx!2+
log3(1
x�2 )
l��mx!2+
log3(1
x� 2) = log3�l��mx!2+
(1
x� 2
�=
= log3
�1
0+
�= log3 (+1) = +1
Nota: La función y = log3(1
x�2 ) = � log3(x� 2)
Ejemplo 94 Calcula el dominio de la función y = log3(1
x+7 ) y después l��mx!2log 1
3( 1x+7 )
SoluciónEl dominio de la función es::
D(f) = (�7;+1)
Calculemos l��mx!2
log3(1
x+7 )
l��mx!2
log 13(1
x+ 7) = log 1
3
�l��mx!2
(1
x+ 7
�=
= log 13
�1
9
�= log 1
3
"�1
3
�2#= 2
Nota: la función y = log3(1
x+7 ) = � log3(x+ 7)
Ejemplo 95 Calcula el dominio de la función y = log3(x+1x�1 ) y después l��m
x!1+log3(
x+1x�1 )
SoluciónEl dominio de la función es:
D(f) =
�x 2 R / x+ 1
x� 1 > 0�= (�1;�1) [ (1;+1)
Calculemos su límite cuando x tiende a 1+
l��mx!1+
log3
�x+ 1
x� 1
�= log3
�l��mx!1+
�x+ 1
x� 1
��=
= log3
�2
0+
�= log3 [+1] = +1
Ejemplo 96 Calcula el dominio de la función y = log 13(x+1x�1 ) y después l��m
x!1+log 1
3(x+1x�1 )
![Page 68: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/68.jpg)
64 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
SoluciónEl dominio de la función es:
D(f) =
�x 2 R / x+ 1
x� 1 > 0�= (�1;�1) [ (1;+1)
Calculemos su límite cuando x tiende a 1+
l��mx!1+
log 13
�x+ 1
x� 1
�= log 1
3
�l��mx!1+
�x+ 1
x� 1
��=
= log 13
�2
0+
�= log 1
3[+1] = �1
Ejemplo 97 Calcula el dominio de de�nición de y = log 12(x+ 3)�log 1
2(x� 2)
y después l��mx!2+
�log 1
2(x+ 3)� log 1
2(x� 2)
�SoluciónComo la función es una resta de otras dos funciones, su dominio será:
D(f) = fx 2 R / x+ 3 > 0g \ fx 2 R / x� 2 > 0g == (�3;+1) \ (2;+1) = (2;+1)
Determinemos ahora su límite cuando x tienda a 2+
l��mx!2+
�log 1
2(x+ 3)� log 1
2(x� 2)
�=
= log 13(5)� log 1
3
�0+�= log 1
3(5)�1 = �1
Ejemplo 98 Calcula el dominio de de�nición de y = log2
��x2+5x�6
x�2
�y de-
spués l��mx!2
log2
��x2+5x�6
x�2
�SoluciónEl dominio de la función es:
D(f) =
�x 2 R / �x
2 + 5x� 6x� 2 > 0
�=
�x 2 R / x
2 � 5x+ 6x� 2 < 0
�=
=
�x 2 R / (x� 2) (x� 3)
x� 2 < 0
�=
= (�1; 3) � f2g = (�1; 2) [ (2; 3)
Si calculamos ahora su límite cuando x! 2
l��mx!2
log2
��x2 + 5x� 6
x� 2
�= log2
�l��mx!2
��x2 + 5x� 6
x� 2
��
![Page 69: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/69.jpg)
1.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 65
Calculamos por separado l��mx!2
��x2+5x�6
x�2
�l��mx!2
�x2 + 5x� 6x� 2 =
0
0
Factorizando el numerador y simpli�cando
l��mx!2
�x2 + 5x� 6x� 2 = l��m
x!2
� (x� 2) (x� 3)x� 2 =
= l��mx!2
(�x+ 3) = 1
Por lo que; el límite inicial vale:
log2
�l��mx!2
��x2 + 5x� 6
x� 2
��= log2 1 = 0
Nota: La grá�ca de y = log2
��x2+5x�6
x�2
�coincide con la grá�ca de y =
log2(�x+ 3) si a ésta le quitamos el punto P (2; 0)
Ejemplo 99 Calcula l��mx!2
log2
�2x2�4xx�2
�Solución
l��mx!2
log2
�2x2 � 4xx� 2
�= log2
�l��mx!2
�2x2 � 4xx� 2
��Si calculamos por separado l��m
x!2
�2x2�4xx�2
�l��mx!2
�2x2 � 4xx� 2
�=0
0
Factorizando el numerador y simpli�cando
l��mx!2
�2x2 � 4xx� 2
�= l��m
x!2
2x (x� 2)x� 2 = l��m
x!22x = 4
Por lo que:
log2
�l��mx!2
�2x2 � 4xx� 2
��= log2 4 = 2
![Page 70: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/70.jpg)
66 CAPÍTULO 1. L�IMX!A
F (X)
![Page 71: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/71.jpg)
Capítulo 2
l��mx!+1
f (x) o l��mx!�1
f (x)
Para calcular el límite de una función cuando x! +1 o x! �1 tendremospresente que
l��mx!+1
Kxn = K�(+1) =�+1 si k > 0�1 si k < 0
Si n es par l��mx!�1
Kxn = K�(�1)n = K�(+1) =�+1 si k > 0�1 si k < 0
Si n es impar l��mx!�1
Kxn = K�(�1)n = K�(�1) =��1 si K > 0+1 si K < 0
l��mx!+1
K
xn=
K
+1 =
�0+ si K > 00� si k < 0
l��mx!�1
K
xn=
K
(�1)n =
8>><>>:= K
�1 =
�0� si K > 00+ si K < 0
si n es impar
= K+1 =
�0+ si K > 00� si K < 0
si n es par
Y además todas las consideraciones que aparecen en los cuadros del capítuloanterior.Recuerda: Nunca podremos calcular directamente los límites de una función
cuando x ! +1 (o x ! �1)cuando aparezcan alguna de estas siete indeter-minaciones
1�1 0�1 00
11 11 00 10
2.1. Funciones polinómicas
Para calcular el límite de una función polinómica procederemos de la sigu-iente manera: "sacaremos factor común la potencia de x de mayor grado. Acontinuación, el límite del producto de ambas expresiones coincidirá con el pro-ducto de los límites ( ya que el primero siempre será +1 o �1 y el segundo
67
![Page 72: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/72.jpg)
68 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
será el coe�ciente de la potencia de mayor grado )y por último concluiremoscuanto ha de valer su límite".Nota: Éste siempre será +1 o �1
Ejemplo 100 Calcula el l��mx!+1
(5x3 � 2x+ 1)
l��mx!+1
(5x3 � 2x+ 1) =
= l��mx!+1
x3�5� 2
x2+1
x3
�=
l��mx!+1
x3� l��mx!+1
�5� 2
x2+1
x3
�= +1�5 = +1
Ejemplo 101 Calcula el l��mx!�1
(5x3 � 2x+ 1)
l��mx!�1
(5x3 � 2x+ 1) =
= l��mx!�1
x3�5� 2
x2+1
x3
�=
l��mx!�1
x3� l��mx!�1
�5� 2
x2+1
x3
�= �1�5 = �1
Ejemplo 102 Calcula el l��mx!�1
(�7x3 � 2x+ 1)
l��mx!�1
(�7x3 � 2x+ 1) = l��mx!�1
x3��7� 2
x2+1
x3
�=
= l��mx!�1
x3� l��mx!�1
��7� 2
x2+1
x3
�= �1�(�7) = +1
Ejemplo 103 Calcula el l��mx!+1
(�7x3 � 2x+ 1)
l��mx!+1
(�7x3 � 2x+ 1) = l��mx!+1
x3��7� 2
x2+1
x3
�=
= l��mx!+1
x3� l��mx!+1
��7� 2
x2+1
x3
�= +1� (�7) = �1
Ejemplo 104 Calcula el l��mx!+1
(5x4 � 2x+ 1)
l��mx!+1
(5x4 � 2x+ 1) = l��mx!+1
x4�5� 2
x3+1
x4
�=
= l��mx!+1
x4� l��mx!+1
�5� 2
x3+1
x4
�= +1�5 = +1
![Page 73: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/73.jpg)
2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 69
Ejemplo 105 Calcula el l��mx!�1
(5x4 � 2x+ 1)
l��mx!�1
(5x4 � 2x+ 1) = l��mx!�1
x4�5� 2
x3+1
x4
�=
= l��mx!�1
x4� l��mx!�1
�5� 2
x3+1
x4
�= +1�5 = +1
Nota: Aunque últimamente se está extendiendo el siguiente criterio
l��mx!+1
(anxn + an�1x
n�1 + :::+ a1x+ a0) = l��mx!+1
anxn
l��mx!�1
(anxn + an�1x
n�1 + :::+ a1x+ a0) = l��mx!�1
anxn
segun este criterio; los límites anteriores se pueden determinar fácilmenteasí:
l��mx!+1
(5x3 � 2x+ 1) = l��mx!+1
5x3 = 5� (+1) = +1
l��mx!�+1
(5x3 � 2x+ 1) = l��mx!�1
5x3 = 5� (�1) = �1
l��mx!+1
(�7x3 � 2x+ 1) = l��mx!+1
��7x3
�= �7� (+1) = �1
l��mx!�1
(�7x3 � 2x+ 1) = l��mx!�1
��7x3
�= �7� (�1) = +1
l��mx!+1
(5x4 � 2x+ 1) = l��mx!+1
5x4 = 5�(+1) = +1
l��mx!�1
(5x4 � 2x+ 1) = l��mx!�1
5x4 = 5�(+1) = +1
2.2. Límites de funciones racionales
Al calcular el l��mx!+1
Pn(x)Qm(x)
(o l��mx!�1
Pn(x)Qm(x)
) siempre obtenemos la indetermi-
nación 11 . Para eliminirla dividiremos numerador y denominador por la potencia
de x de mayor grado que nos aparezca en ambos
2.2.1. Ejemplos y ejercicios
Ejemplo 106 Dada la función f(x) = 3x�42x�2 cuyo dominio es
D(f) = (�1; 1) [ (1;+1)
estudia el comportamiento de ésta cuando x! +1 y cuando x! �1
Solución
Calculemos l��mx!+1
f(x)
l��mx!+1
3x� 42x� 2 = "
+1+1"
![Page 74: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/74.jpg)
70 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
dividiendo arriba y abajo por x
l��mx!+1
3x� 42x� 2 = l��m
x!+1
3� 4x
2� 2x
=3
2
Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas se aproximan al número real32 .Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 32 o por debajo?Para saberlo completa la siguiente tabla
f
0BBBB@1010010001000010000
1CCCCA =
0BBBB@13914899149899914 998999914 9989999
1CCCCA =
0BBBB@1: 444 444 4441: 494 949 4951: 499 499 4991: 499 949 9951: 499 949 995
1CCCCAEsta claro que si x! +1 entonces f(x)!
�32
��Calculemos l��m
x!�1f(x)
l��mx!�1
3x� 42x� 2 = "
�1�1"
dividiendo arriba y abajo por x
l��mx!�1
3x� 42x� 2 = l��m
x!�1
3� 4x
2� 2x
=3
2
Si los valores de x tienden a �1 sus ordenadas se aproximan al número real32 .Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 32 o por debajo?Para saberlo completa la siguiente tabla
f
0BBBB@�10�100�1000�10000�10000
1CCCCA =
0BBBB@17111521011502100115 00210 00115 00210 001
1CCCCA =
0BBBB@1: 545 454 5451: 504 950 4951: 500 499 51: 500 049 9951: 500 049 995
1CCCCAEsta claro que si x! �1 entonces f(x)!
�32
�+Conclusión: la recta horizontal y = 3
2 es una asíntota horizontal por ambosladosEstudia tú el comportamiento de la función cuando x ! 1 y verás que es
una asíntota vertical de ramas divergentes.Miralo en su grá�ca
![Page 75: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/75.jpg)
2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 71
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
y = 3x�42x�2
Nota: Los dos límites anteriores se pueden calcular considerando de cadapolinomio su término correspondiente de mayor grado
l��mx!+1
3x� 42x� 2 = l��m
x!+1
3x
2x=3
2
l��mx!�1
3x� 42x� 2 = l��m
x!�1
3x
2x=3
2
La recta y = 32 es una asíntota horizontal de la función y =
3x�42x�2 . Para de-
terminar la posición de la curva con respecto a la asíntota horizontal tendremosque recurrir a las tablas anteriores
Ejercicio 107 Dada la función f(x) = 3x2�4x2�1 cuyo dominio es
D(f) = (�1;�1) [ (�1; 1) [ (1;+1)
estudia el comportamiento de ésta cuando x! +1 y cuando x! �1
Ejercicio 108 Dada la función f(x) = 3x�4x2�1 cuyo dominio es
D(f) = (�1;�1) [ (�1; 1) [ (1;+1)
estudia el comportamiento de ésta cuando x! +1 y cuando x! �1
Solución
Calculemos l��mx!+1
f(x)
l��mx!+1
3x� 4x2 � 1 = "
+1+1"
![Page 76: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/76.jpg)
72 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
dividiendo arriba y abajo por x
l��mx!+1
3x� 4x2 � 1 = l��m
x!+1
3x �
4x2
1� 1x2
=0
1= 0
Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas se aproximan al número real0.Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 0 o por debajo?Para saberlo completa la siguiente tabla
f
0BBBB@1010010001000010000
1CCCCA =
0BBBB@26992969999428
142 85729 996
99 999 99929 996
99 999 999
1CCCCA =
0BBBB@0;262 626 262 6
2: 960 296 030� 10�22: 996 002 996� 10�32: 999 600 030� 10�42: 999 600 030� 10�4
1CCCCAEsta claro que si x! +1 entonces f(x)! (0)
+
Calculemos l��mx!�1
f(x)
l��mx!�1
3x� 4x2 � 1 = "
�1+1"
dividiendo arriba y abajo por x
l��mx!�1
3x� 4x2 � 1 = l��m
x!�1
3x �
4x2
1� 1x2
=0
1= 0
Si los valores de x tienden a �1 sus ordenadas se aproximan al número real0.Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 0 o por debajo?Para saberlo completa la siguiente tabla
f
0BBBB@�10�100�1000�10000�10000
1CCCCA =
0BBBB@� 3499
� 3049999
� 3004999 999
� 30 00499 999 999
� 30 00499 999 999
1CCCCA =
0BBBB@�0;343 434 343 4�0;030 403 040 3
�3: 004 003 004� 10�3�3: 000 400 03� 10�4�3: 000 400 03� 10�4
1CCCCAEsta claro que si x! �1 entonces f(x)! (0)
�
Conclusión: la recta horizontal y = 0 es una asíntota horizontal por ambosladosSi estudiaras con detenimiento el comportamiento de la función en los alrede-
dores de x = �1 y de x = �1 comprobarías que son asíntotas verticales. Aquítienes su grá�ca
![Page 77: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/77.jpg)
2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 73
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
y = 3x�4x2�1
Nota: Los dos límites anteriores se pueden calcular considerando de cadapolinomio su término correspondiente de mayor grado
l��mx!+1
3x� 4x2 � 1 = l��m
x!+1
3x
x2= l��m
x!+1
3
x=
3
+1 = 0+
l��mx!�1
3x� 42x� 2 = l��m
x!�1
3x
x2= l��m
x!�1
3
x=
3
�1 = 0�
La recta y = 0 es una síntota horizontal de la función y = 3x�4x2�1 . Para
determinar la posición de la curva con respecto a la asíntota horizontal, en esteejercicio, podemos evitar la utilización de las tablas anteriores
Ejercicio 109 Dada la función f(x) = x2�4x�1 cuyo dominio es
D(f) = (�1; 1) [ (1;+1)
estudia el comportamiento de ésta cuando x! +1 y cuando x! �1
Solución
Calculemos l��mx!+1
f(x)
l��mx!+1
x2 � 4x� 1 = "
+1+1"
dividiendo arriba y abajo por x
l��mx!+1
x2 � 4x� 1 = l��m
x!+1
1� 4x2
1x �
1x2
=1
0+= +1
![Page 78: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/78.jpg)
74 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas tienden a +1.Esta claro que si x! +1 entonces f(x)! +1Calculemos l��m
x!�1f(x)
l��mx!�1
x2 � 4x� 1 = "
+1�1"
dividiendo arriba y abajo por x
l��mx!�1
x2 � 4x� 1 = l��m
x!�1
1� 4x2
1x �
1x2
=1
0�= �1
Si los valores de x tienden a �1 sus ordenadas tienden a �1.Esta claro que si x! �1 entonces f(x)! �1Si estudiaras con detenimiento el comportamiento de la función en los alrede-
dores de x = �1 comprobarías que es asíntota vertical. Aquí tienes su grá�caNota: Creo que Marta podría determinar su conjunto Im f
4 2 2 4
4
2
2
4
x
y
y = x2�4x�1
Nota: Los dos límites anteriores se pueden calcular considerando de cadapolinomio su término correspondiente de mayor grado
l��mx!+1
x2 � 4x� 1 = l��m
x!+1
x2
x= l��m
x!+1x = +1
l��mx!�1
x2 � 4x� 1 = l��m
x!�1
x2
x= l��m
x!�1x = �1
Nota 110 Si ahora dividiesemos x2 � 4 entre x� 1 obtendríamos
y =x2 � 4x� 1 = x+ 1�
3
x� 1
![Page 79: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/79.jpg)
2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 75
Diremos que la recta y = x+ 1 es una asíntota oblícua de la funciónConstruye las siguientes tablas y compáralas
x f(x) = x2�4x�1
10100100100010000100000
x g(x) = x+ 110100100100010000100000
x f(x) = x2�4x�1
�10�100�100�1000�10000�100000
x g(x) = x+ 1�10�100�100�1000�10000�100000
Mira su grá�ca y la de la asíntota
10 5 5 10
10
5
5
10
x
y
y = x2�4x�1
Ejercicio 111 Dada la función f(x) = x3�8x�1 cuyo dominio es
D(f) = (�1; 1) [ (1;+1)
estudia el comportamiento de ésta cuando x! +1 y cuando x! �1
Solución
![Page 80: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/80.jpg)
76 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Calculemos l��mx!+1
f(x)
l��mx!+1
x3 � 8x� 1 = "
+1+1"
dividiendo arriba y abajo por x
l��mx!+1
x3 � 8x� 1 = l��m
x!+1
1� 8x3
1x2 �
1x3
=1
0+= +1
Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas tienden a +1.Esta claro que si x! +1 entonces f(x)! +1Calculemos l��m
x!�1f(x)
l��mx!�1
x3 � 8x� 1 = "
�1�1"
dividiendo arriba y abajo por x
l��mx!�1
x3 � 8x� 1 = l��m
x!�1
1� 8x3
1x2 �
1x3
=1
0+= +1
Si los valores de x tienden a �1 sus ordenadas tienden a +1.Esta claro que si x! �1 entonces f(x)! +1Si estudiaras con detenimiento el comportamiento de la función en los alrede-
dores de x = �1 comprobarías que es asíntota vertical. Aquí tienes su grá�ca
10 5 5 10
10
5
5
10
x
y
y = x3�8x�1
Nota: Los dos límites anteriores se pueden calcular considerando de cadapolinomio su término correspondiente de mayor grado
l��mx!+1
x3 � 8x� 1 = l��m
x!+1
x3
x= l��m
x!+1x2 = +1
l��mx!�1
x3 � 8x� 1 = l��m
x!�1
x3
x= l��m
x!�1x2 = +1
![Page 81: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/81.jpg)
2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES 77
Nota 112 Si ahora dividiesemos x3 � 8 entre x� 1 obtendríamos
y =x3 � 8x� 1 = x
2 + x+ 1� 7
x� 1
Diremos que la función y = x2 + x+ 1 es una asíntota parabólica de la funciónConstruye las siguientes tablas y compáralas
x f(x) = x3�8x�1
10100100100010000100000
x g(x) = x2 + x+ 110100100100010000100000
x f(x) = x3�8x�1
�10�100�100�1000�10000�100000
x g(x) = x2 + x+ 1�10�100�100�1000�10000�100000
Mira su grá�ca y la de la asíntota parabólica
15 10 5 5 10 15
15
10
5
5
10
15
x
y
y = x3�8x�1
Resumen 113 Siempre que calculemos
l��mx!+1
�anx
n+an�1xn�1+:::+a1x+a0
bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0
�= "
11"
l��mx!+1
�anx
n+an�1xn�1+:::+a1x+a0
bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0
�= l��m
x!+1
anxn
bmxm=
8>><>>:anbm
si n = m0 si n < m�+1�1 si n > m
![Page 82: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/82.jpg)
78 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Ocurrirá lo mismo cuando x! �1
Nota 114 Diremos que la recta y = b es una asíntota horizontal de la función
f(x) = anxn+an�1x
n�1+:::+a1x+a0bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0
si y solo sil��m
x!+1anx
n+an�1xn�1+:::+a1x+a0
bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0= b
o
l��mx!�1
anxn+an�1x
n�1+:::+a1x+a0bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0
= b
Nota 115 Todas las funciones racionales ( sin discontinuidades evitables) dela forma
f(x) = anxn+an�1x
n�1+:::+a1x+a0bmxm+bm�1xm�1+:::+b1x+b0
tendrán asíntota horizontal siempre que n � m .Presentándose los siguientescasos:
a) Si n < m su asintota horizontal será y = 0 (eje x)
b) si n = m su asintota horizontal será y =anbm
![Page 83: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/83.jpg)
2.3. FUNCIONES RACIONALES CON ALGUNA RAÍZ 79
2.3. Funciones racionales con alguna raíz
Ejemplo 116 Calcula l��mx!+1
1px2+1+x
Soluciónl��m
x!+1
1px2 + 1 + x
=1
+1 = 0+
La recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función (a la derecha de lagrá�ca)
Ejemplo 117 Calcula l��mx!�1
1px2+1+x
Soluciónl��m
x!�1
1px2 + 1 + x
=1
"1�1"Realizamos el siguiente cambio de variable x = �z. Es evidente que si
x! �1, z ! +1
por lo que
l��mx!�1
1px2+1+x
= l��mz!+1
1
(pz2+1�z)
=1
"1�1"Multiplicando numerador y denominador por
pz2 + 1 + z
l��mz!+1
(pz2+1+z)
(pz2+1�z)(
pz2+1+z)
= l��mz!+1
�pz2 + 1 + z
�= +1
Con lo quel��m
x!�11p
x2+1+x= +1
Mira su grá�ca
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
x
y
y=0 A. Horizontal
y = 1px2+1+x
![Page 84: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/84.jpg)
80 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Ejemplo 118 Calcula l��mx!+1
x+3px2+1+x
Soluciónl��m
x!+1
x+ 3px2 + 1 + x
= "+1+1"
Dividimos numerador y denominador por x
l��mx!+1
1 + 3xp
x2+1x + 1
= l��mx!+1
1 + 3xq
1 + 1x2 + 1
=1
2
La recta y = 12 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha solo)
Ejemplo 119 Calcula l��mx!�1
x+3px2+1+x
Soluciónl��m
x!�1
x+ 3px2 + 1 + x
= "�1
+1�1"
Realizamos el siguiente cambio de variable x = �z. Es evidente que si
x! �1, z ! +1
por lo que
l��mx!�1
x+ 3px2 + 1 + x
= l��mz!+1
�z + 3pz2 + 1� z
= "�1
+1�1"
Multiplicamos numerador y denominador porpz2 + 1 + z
l��mz!+1
(�z+3)(pz2+1+z)
(pz2+1�z)(
pz2+1+z)
= l��mz!+1
(�z + 3)�p
z2 + 1 + z�= �1
Con lo que
l��mx!�1
x+ 3px2 + 1 + x
= �1
Mira la grá�ca de la función y = x+3px2+1+x
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
2
2
4
x
y
y=1/2 A. Horizontal
![Page 85: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/85.jpg)
2.3. FUNCIONES RACIONALES CON ALGUNA RAÍZ 81
y = x+3px2+1+x
Ejemplo 120 Calcula l��mx!+1
px4+x2�x23x+2
Solución
l��mx!+1
px4 + x2 � x23x+ 2
= "+1�1+1 "
Multiplicando numerador y denominador porpx4 + x+ x2
l��mx!+1
(px4+x2�x2)(
px4+x2+x2)
(3x+2)(px4+x2+x2)
= l��mx!+1
x2
(3x+2)(px4+x2+x2)
= "+1+1"
Dividiendo numerador y denominador por x3
l��mx!+1
x2
(3x+2)(px4+x2+x2)
= l��mx!+1
1x
(3x+2)
x3(px4+x2+x2)
=
= l��mx!+1
1x
(3x+2)x
(px4+x2+x2)
x2
= l��mx!+1
1x
(3+ 2x )�q
1+ 1x2+1� = 0+
La recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha)
Ejemplo 121 Calcula l��mx!�1
px4+x2�x23x+2
Solución
l��mx!�1
px4 + x2 � x23x+ 2
= "+1�1�1 "
Realizamos el siguiente cambio de variable x = �z. Es evidente que si
x! �1, z ! +1
por lo que
l��mx!�1
px4 + x2 � x23x+ 2
= l��mz!+1
pz4 + z2 � z2�3z + 2
Multiplicamos numerador y denominador porpz4 + z2 + z2
l��mz!+1
pz4 + z2 � z2�3z + 2 = l��m
z!+1
�pz4 + z2 � z2
� �pz4 + z2 + z2
�(�3z + 2)
�pz4 + z2 + z2
� =
= l��mz!+1
z2
(�3z + 2)�pz4 + z2 + z2
� = +1�1
dividiendo numerador y denominador por z3
l��mz!+1
z2
(�3z+2)(pz4+z2+z2)
= l��mz!+1
1z
(�3z+2)z3
(pz4+z2+z2)
=
= l��mz!+1
1z
(�3z+2)z
(pz4+z2+z2)
z2
= l��mz!+1
1z
(�3+ 2z )�q
1+ 1z2+1� = 0+
�6 = 0�
![Page 86: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/86.jpg)
82 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Con lo que
l��mx!�1
px4 + x2 � x23x+ 2
= 0�
La recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función (por la izquierda)El dominio de de�nición de la función y =
px4+x2�x23x+2 es
D(f) = (�1;�23) [ (�2
3;+1)
Puedes comprobar que la recta x = � 23 es una asíntota vertical de ramas
divergentes calculando sus límites laterales.Mira su grá�ca
4 2 2 4
4
2
2
4
x
y
y=0 A. Horizontal
x=2/3 A. Vertical
y =px4+x2�x23x+2
Realizando un zoom hacia adentro
2 1 1 2
2
1
1
2
x
y
y=0 A. Horizontal
x=2/3 A. Vertical
y =px4+x2�x23x+2
![Page 87: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/87.jpg)
2.3. FUNCIONES RACIONALES CON ALGUNA RAÍZ 83
Ejemplo 122 l��mx!+1
p4x2+x�3xp9x2+x�x
Solución
l��mx!+1
p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x
= "+1�1+1�1"
Dividiendo numerador y denominador por x
l��mx!+1
p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x
= l��mx!�1
p4x2+xx � 3
p9x2+xx � 1
=
= l��mx!�1
q4 + 1
x � 3q9 + 1
x � 1=
p4� 3p9� 1
= �12
La recta y = � 12 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha)
Ejemplo 123 l��mx!�1
p4x2+x�3xp9x2+x�x
Solución
l��mx!�1
p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x
= "+1+1"
Realizamos el siguiente cambio de variable x = �z. Es evidente que si
x! �1, z ! +1
por lo que
l��mx!�1
p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x
= l��mz!+1
p4z2 � z + 3zp9z2 � z + z
Dividiendo numerador y denominador por z
l��mz!+1
p4z2 � z + 3zp9z2 � z + z
= l��mz!+1
p4z2�zz + 3
p9x2+xx + 1
=
= l��mz!+1
q4� 1
z + 3q9� 1
z + 1=
p4 + 3p9 + 1
=5
4
La recta y = 54 es una asíntota horizontal de la función (por la izquierda)
El dominio de la función y =p4x2+x�3xp9x2+x�x es
D(f) =��x 2 R /4x2+x � 0
\�x 2 R /9x2+x � 0
��nx 2 R /
p9x2 + x�x = 0
o=
=
���1;�1
9
�[ [0;1)
�\���1;�1
4
�[ [0;1)
�� f0g =
��1;�1
4
�[ (0;1)
![Page 88: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/88.jpg)
84 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Si calculas
l��mx!0+
p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x
obtendrás como resultado1�(el punto P (0; 1)no está) y si calculas
l��mx!(� 1
4 )�
p4x2 + x� 3xp9x2 + x� x
obtendrás como resultado 34
p5� 3
4 :(El punto Q(�14 ;
34
p5� 3
4 ) si está en lagrá�ca. Diremos que la función es continua en x = � 1
4 por la izquierda)Aquí tienes su grá�ca
2 1 1 2
2
1
1
2
x
y
P(0.1)Q
y=0.5 A. Horizontal
y=1.25 A. Horizontal
y =p4x2+x�3xp9x2+x�x
P (0; 1)
Q(� 14 ;
34
p5� 3
4 )
2.4. Suma o resta de funciones con alguna raíz
La determinación que más veces nos puede aparecer, cuando calculamosel límite de una suma o resta de funciones con alguna raíz, será la del tipo"1 � 1" . Para eliminarla y que nos aparezca otra, multiplicaremos por suexpresión conjugada numerador y denominador.
Ejemplo 124 Calcula el l��mx!+1
px2 + x� x
Solución
![Page 89: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/89.jpg)
2.4. SUMA O RESTA DE FUNCIONES CON ALGUNA RAÍZ 85
Como el l��mx!+1
�px2 + x� x
�presenta la indeterminación 1 � 1; para
eliminarla multiplicaremos arriba y abajo porpx2 + x+ x
l��mx!+1
�px2 + x� x
�= l��m
x!+1(px2+x�x)(
px2+x+x)
(px2+x+x)
=
= l��mx!+1
x
(px2+x+x)
= "+1+1"
Dividiendo numerador y denominador por x
= l��mx!+1
1�px2+xx +1
� = l��mx!+1
1�p1+ 1
x+1� = 1
2
La recta y = 12 es asíntota horizontal de la función.
Si te �jas en la siguiente tabla
h
0BBBBBB@x10100100010000100000
1CCCCCCA =
0BBBBBB@
px2 + x� x
0;488 088 481 70;498 756 211 20;499 875 062 50;499 987 500 60;499 998 75
1CCCCCCApodrás concluir que:
l��mx!+1
�px2 + x� x
�=
�1
2
��
Ejemplo 125 Calcula el l��mx!�1
�px2 + x� x
�SoluciónPara calcular el l��m
x!�1
�px2 + x� x
�realizamos el siguiente cambio de vari-
able x = �z. Es evidente que si x! �1, z ! +1:Por lo que
l��mx!�1
(px2 + x� x) = l��m
z!+1
�pz2 � z + z
�= +1+ (+1)
Nota: El dominio de la función h(x) =px2 + x� x es
D(h) =�x 2 R / x2 + x � 0
= (�1;�1] [ [0;1)
Su grá�ca es ésta:
![Page 90: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/90.jpg)
86 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
y =px2 + x� x
y = �2x� 12 asíntota oblícua
Ejemplo 126 Calcula el l��mx!+1
px2 + x+ x
SoluciónComo el l��m
x!+1
�px2 + x+ x
�= 1+1 = +1
Ejemplo 127 Calcula el l��mx!�1
�px2 + x+ x
�SoluciónPara calcular el l��m
x!�1
�px2 + x+ x
�realizamos el siguiente cambio de vari-
able x = �z. Es evidente que si x! �1, z ! +1:Por lo que
l��mx!�1
(px2 + x+ x) = l��m
z!+1
�pz2 � z � z
�= +1� (+1)
Para eliminar la indeterminación multiplicamos arriba y abajo porpz2 � z+
z
l��mz!+1
�pz2 � z � z
�= l��m
z!+1
�pz2 � z � z
� �pz2 � z + z
��pz2 � z + z
� =
= l��mz!+1
�z�pz2 � z + z
� = �1+1 =
Dividendo numerador y denominador por z
= l��mz!+1
�1�q1� 1
z + 1� = �1
2
![Page 91: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/91.jpg)
2.4. SUMA O RESTA DE FUNCIONES CON ALGUNA RAÍZ 87
Nota: El dominio de la función h(x) =px2 + x+ x es
D(h) =�x 2 R / x2 + x � 0
= (�1;�1] [ [0;1)
Su grá�ca es ésta:
4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
y =px2 + x+ x
y = 2x+ 12 asíntota oblícua
Ejemplo 128 Calcula el l��mx!+1
px2 + x� 3x+ 1
SoluciónComo el l��m
x!+1
�px2 + x� 3x+ 1
�= l��m
x!+1
�px2 + x� (3x� 1)
�presenta
la indeterminación 1�1; para eliminarla multiplicaremos arriba y abajo porpx2 + x+ (3x� 1)
l��mx!+1
�px2 + x� (3x� 1)
�= l��m
x!+1(px2+x�(3x�1))(
px2+x+(3x�1))
(px2+x+(3x�1))
=
= l��mx!+1
x2+x�(3x�1)2
(px2+x+(3x�1))
= l��mx!+1
�8x2+7x�1(px2+x+(3x�1))
"�1+1"
Dividiendo numerador y denominador por x2
= l��mx!+1
�8+ 7x�
1x2q
1x4+ 1x3+( 3x�
1x2)=�80+
= �1
Ejemplo 129 Calcula el l��mx!�1
�px2 + x� (3x� 1)
�Solución
![Page 92: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/92.jpg)
88 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Para calcular el l��mx!�1
�px2 + x� (3x� 1)
�realizamos el siguiente cambio
de variable x = �z. Es evidente que si x! �1, z ! +1:Por lo que
l��mx!�1
�px2 + x� (3x� 1)
�= l��m
z!+1
�pz2 � z � (�3z � 1)
�= l��m
z!+1
�pz2 � z + 3z + 1
�= +1+ (+1) = +1
Nota: El dominio de la función h(x) =px2 + x� (3x� 1) es
D(h) =�x 2 R / x2 + x � 0
= (�1;�1] [ [0;1)
Su grá�ca es ésta:
8 6 4 2 2 4 6 8
8
6
4
2
2
4
6
8
x
y
y =px2 + x� (3x� 1)
y = �4x+ 12 asíntota oblícua
y = �2x+ 32 asíntota oblícua
Ejemplo 130 Calcula el l��mx!+1
px2 + x�
px2 � 4x
Solución
![Page 93: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/93.jpg)
2.4. SUMA O RESTA DE FUNCIONES CON ALGUNA RAÍZ 89
Como el l��mx!+1
�px2 + x�
px2 � 4x
�presenta la indeterminación 1�1;
para eliminarla multiplicaremos arriba y abajo porpx2 + x+
px2 � 4x
l��mx!+1
�px2 + x�
px2 � 4x
�= l��m
x!+1(px2+x�
px2�4x)(
px2+x+
px2�4x)
(px2+x+
px2�4x)
=
= l��mx!+1
x2+x�(x2�4x)(px2+x+
px2�4x)
= l��mx!+1
5x
(px2+x+
px2�4x)
"�1+1"
Dividiendo numerador y denominador por x
= l��mx!+1
5p1+ 1
x+p1� 4
x
=5
2
La recta y = 52 es una asíntota horizontal
Ejemplo 131 Calcula el l��mx!�1
�px2 + x�
px2 � 4x
�SoluciónPara calcular el l��m
x!�1
�px2 + x�
px2 � 4x
�realizamos el siguiente cambio
de variable x = �z. Es evidente que si x! �1, z ! +1:Por lo que
l��mx!�1
�px2 + x�
px2 � 4x
�= l��m
z!+1
�pz2 � z �
pz2 + 4z
�= "+1�(+1)"
Como el l��mz!+1
�pz2 � z �
pz2 + 4z
�presenta la indeterminación 1�1;
para eliminarla multiplicaremos arriba y abajo porpz2 � z +
pz2 + 4z
l��mz!+1
�pz2 � z +
pz2 + 4z
�= l��m
z!+1(pz2�z�
pz2+4z)(
pz2�z+
pz2+4z)p
z2�z+pz2+4z
=
= l��mz!+1
z2�z�(z2+4z)pz2�z+
pz2+4z
= l��mz!+1
�5zpz2�z+
pz2+4z
"�1+1"
Dividiendo numerador y denominador por z
= l��mx!+1
�5p1� 1
z+p1+ 4
z
=�52
La recta y = � 52 es una asíntota horizontal
Nota: El dominio de la función h(x) =px2 + x�
px2 � 4x es
D(h) =�x 2 R / x2 + x � 0
\�x 2 R / x2 � 4x � 0
=
= [(�1;�1] [ [0;1)] \ [(�1; 0] [ [4;1)] = (�1;�1] [ [4;1)
Su grá�ca es ésta:
![Page 94: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/94.jpg)
90 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
8 6 4 2 2 4 6 8
8
6
4
2
2
4
6
8
x
y
y =px2 + x�
px2 � 4x
y = � 52 asíntota horizontal
y = 52 asíntota horizontal
![Page 95: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/95.jpg)
2.5. SUMA O RESTA DE FUNCIONES RACIONALES 91
2.5. Suma o resta de funciones racionales
La determinación que más veces nos puede aparecer, cuando calculamos ellímite de una suma o resta de funciones, será la del tipo "1�1" . Para elimi-narla y que nos aparezca otra realizaremos las operaciones oportunas reduciendoa común denominador.
Ejemplo 132 Calcula l��mx!+1
�3x2�x2x+3 �
3x+13x+2
�Solución
Como
264 l��mx!+1
3x2�x2x+3 = l��m
x!+13x2
2x = l��mx!+1
3x2 +1
yl��m
x!+13x+13x+2 = l��m
x!+13x3x = l��m
x!+11 = 1
375;entoncesl��m
x!+1
�3x2�x2x+3 �
3x+13x+2
�= +1� 1 = +1
Ejercicio 133 Calcula l��mx!�1
�3x2�x2x+3 �
3x+13x+2
�Ejercicio 134 Dada la función y = 3x2�x
2x+3 �3x+13x+2 =
9x3�3x2�13x�3(2x+3)(3x+2) calcula su
dominio y clasi�ca sus discontinuidades
Ejemplo 135 Calcula l��mx!+1
�4x3+x3x2+x +
3x4x2+1
�Solución
Como
264 l��mx!+1
4x3+x3x2+x = l��m
x!+14x3
3x2 = l��mx!+1
4x3 +1
yl��m
x!+13x
4x2+1 l��mx!+1
3x4x2 = l��m
x!+134x = 0
375;entoncesl��m
x!+1
�4x3 + x
3x2 + x+
3x
4x2 + 1
�= +1+ 0 = +1
Ejercicio 136 Calcula l��mx!�1
�4x3+x3x2+x +
3x4x2+1
�Ejercicio 137 Dada la función y = 4x3+x
3x2+x+3x
4x2+1 =x(16x4+17x2+3x+1)x(3x+1)(4x2+1) calcula
su dominio y clasi�ca sus discontinuidades.
Ejemplo 138 Calcula l��mx!�1
�4x2+1x+3 + 3x2
x+2
�Solución
Como
2664l��m
x!�14x2+1x+3 = l��m
x!�14x2
x = l��mx!�1
4x = �1y
l��mx!�1
3x2
x+2 = l��mx!�1
3x2
x = l��mx!�1
3x = �1
3775;entoncesl��m
x!�1
�4x2 + 1
x+ 3+
3x2
x+ 2
�= �1+ (�1) = �1
![Page 96: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/96.jpg)
92 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Ejercicio 139 Calcula l��mx!+1
�4x2+1x+3 + 3x2
x+2
�Ejercicio 140 Dada la función y = 4x2+1
x+3 + 3x2
x+2 =7x3+17x2+x+2(x+3)(x+2) . Calcula su
dominio y clasi�ca las discontinuidades. ¿Existe alguna asíntota oblícua?Ayuda: 7x
3+17x2+x+2(x+3)(x+2) = 7x� 18 + 49x+110
(x+3)(x+2)
Ejemplo 141 Calcula l��mx!�1
�4x2+1�2x2+x +
3x�2x+3
�Solución
Como
264 l��mx!�1
4x2+1�2x2+x = l��m
x!�14x2
�2x2 = l��mx!�1
(�2) = �2y
l��mx!�1
3x�2x+3 = l��m
x!�13xx = l��m
x!�1(3) = 3
375;entoncesl��m
x!�1
�4x2 + 1
�2x2 + x +3x� 2x+ 3
�= �2 + 3 = 1
La recta y = 1 es una asíntota horizontal
Ejercicio 142 Calcula l��mx!+1
�4x2+1�2x2+x +
3x�2x+3
�. ¿La recta y = 1 es una asín-
tota horizontal?
Ejercicio 143 Dada la función y = 4x2+1�2x2+x +
3x�2x+3 =
2x3�19x2+x�3x(x+3)(2x�1) . Calcula
su dominio y clasi�ca las discontinuidades.
Ejemplo 144 Calcula l��mx!+1
�2x2�3x2x+3 � 3x2
3x+5
�Solución
Como
2664l��m
x!+12x2�3x2x+3 = l��m
x!+12x2
2x = l��mx!+1
(x) = +1y
l��mx!+1
3x2
3x+5 = l��mx!+1
3x2
3x = l��mx!+1
(x) = +1
3775;entoncesl��m
x!+1
�2x2 � 3x2x+ 3
� 3x2
3x+ 5
�= +1� (+1)
Como aparece la indeterminación "1�1"; tendremos que calcular la restade funciones que aparecen
l��mx!+1
�2x2 � 3x2x+ 3
� 3x2
3x+ 5
�= l��m
x!+1
�(2x2�3x)(3x+5)�3x2(2x+3)
(2x+3)(3x+5)
�=
= l��mx!+1
�8x2 � 15x6x2 + 19x+ 15
= "+1+1" = l��m
x!+1
�8x26x2
= l��mx!+1
��43
�=�43
Ejercicio 145 Calcula l��mx!�1
�2x2�3x2x+3 � 3x2
3x+5
�. ¿La recta y = � 4
3 es una asín-
tota horizontal?
![Page 97: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/97.jpg)
2.5. SUMA O RESTA DE FUNCIONES RACIONALES 93
Ejercicio 146 Dada la función y = 2x2�3x2x+3 � 3x2
3x+5 =�8x2�15x6x2+19x+15 . Calcula su
dominio y clasi�ca las discontinuidades.
Ejercicio 147 Dada la función y = 4x2+1�2x2+x +
3x�2x+3 =
2x3�19x2+x�3x(x+3)(2x�1) . Calcula
su dominio y clasi�ca las discontinuidades.
Ejemplo 148 Calcula l��mx!+1
�3x2+x2x+1 �
3x3
x2+5
�Solución
Como
2664l��m
x!+13x2+x2x+1 = l��m
x!+13x2
2x = l��mx!+1
�32x�= +1
yl��m
x!+13x3
x2+5 = l��mx!+1
3x3
x2 = l��mx!+1
(3x) = +1
3775;entoncesl��m
x!+1
�3x2 + x
2x+ 1� 3x3
x2 + 5
�= +1� (+1)
Como aparece la indeterminación "1�1"; tendremos que calcular la restade funciones que aparecen
l��mx!+1
�3x2 + x
2x+ 1� 3x3
x2 + 5
�= l��m
x!+1
�(3x2+x)(x2+5)�3x3(2x+1)
(2x+1)(x2+5)
�=
l��mx!+1
��3x4 � 2x3 + 15x2 + 5x2x3 + x2 + 10x+ 5
�= "
�1+1" = l��m
x!+1
�3x42x3
= l��mx!+1
��32x
�= �1
Ejercicio 149 Calcula l��mx!�1
�3x2+x2x+1 �
3x3
x2+5
�.
Ejercicio 150 Dada la función y = 3x2+x2x+1 �
3x3
x2+5 =�3x4�2x3+15x2+5x
(2x+1)(x2+5) . Calculasu dominio y clasi�ca las discontinuidades.
Ejemplo 151 Calcula l��mx!+1
�x2+xx+2 �
x2+3xx+3
�Solución
Como
2664l��m
x!+1x2+xx+2 = l��m
x!+1x2
x = l��mx!+1
(x) = +1y
l��mx!+1
x2+3xx+3 = l��m
x!+1x2
x = l��mx!+1
(x) = +1
3775;entoncesl��m
x!+1
�x2 + x
x+ 2� x
2 + 3x
x+ 3
�= +1� (+1)
Como aparece la indeterminación "1�1"; tendremos que calcular la restade funciones que aparecen
l��mx!+1
�x2 + x
x+ 2� x
2 + 3x
x+ 3
�= l��m
x!+1
�(x2+x)(x+3)�(x2+3x)(2x+1)
(x+2)(x+3)
�=
l��mx!+1
��x2 � 3x
(x+ 2) (x+ 3)
�= "
�1+1" = l��m
x!+1
�x2x2
= l��mx!+1
(�1) = �1
La recta y = �1 es asíntota horizontal de la función
![Page 98: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/98.jpg)
94 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Ejercicio 152 Calcula l��mx!�1
�x2+xx+2 �
x2+3xx+3
�.¿La recta y = �1 es una asín-
tota horizontal?
Ejercicio 153 Dada la función y = x2+xx+2 �
x2+3xx+3 = � x(x+3)
(x+2)(x+3) . Calcula sudominio y clasi�ca las discontinuidades.
![Page 99: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/99.jpg)
2.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES RACIONALES 95
2.6. Límite del producto de funciones racionales
Las indeterminaciones que más veces nos pueden aparecer, cuando calculam-os el límite de un producto de funciones, será las del tipo "0�1"y "1�1" . Paraeliminarlas y que nos aparezca otra, realizaremos las operaciones oportunas .
Ejemplo 154 Calcula l��mx!+1
3x2+12x2+1
�x+23x+1 �
2x6x+1
�SoluciónPara calcular el l��m
x!+13x2+12x2+1
�x+23x+1 �
2x6x+1
�calcularemos previamente por
separado los siguientes límites
l��mx!+1
3x2 + 1
2x2 + 1= "
+1+1" = l��m
x!+1
3 + 1x2
2 + 1x2
=3
2
l��mx!+1
x+ 2
3x+ 1= "
+1+1" = l��m
x!+1
1 + 2x
3 + 1x
=1
3
l��mx!+1
2x
6x+ 1= "
+1+1" = l��m
x!+1
2
6 + 1x
=1
3
Por lo que:
l��mx!+1
3x2 + 1
2x2 + 1
�x+ 2
3x+ 1� 2x
6x+ 1
�=3
2
�1
3� 13
�= 0
Ejemplo 155 Calcula l��mx!+1
3x2+12x2+1
�x+23x+1 �
2x6x+1
�SoluciónPara calcular el l��m
x!�13x2+12x2+1
�x+23x+1 �
2x6x+1
�Realizamos el siguiente cambio
de variable x = �z. Es evidente que si
x! �1, z ! +1
por lo que
l��mx!�1
3x2 + 1
2x2 + 1
�x+ 2
3x+ 1� 2x
6x+ 1
�, l��m
z!+1
3z2 + 1
2z2 + 1
��z + 2�3z + 1 +
2z
�6z + 1
�Calculamos por separado los siguientes límites
l��mz!+1
3z2 + 1
2z2 + 1=
+1+1" = l��m
z!+1
3 + 1z2
2 + 1z2
=3
2
l��mz!+1
�z + 2�3z + 1 = "
�1�1" = l��m
z!+1
�1 + 2z
�3 + 1z
=1
3
l��mz!+1
2z
�6z + 1 = "+1�1" l��m
z!+1
2
�6 + 1x
= �13
![Page 100: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/100.jpg)
96 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Así pues:
l��mz!+1
3z2 + 1
2z2 + 1
��z + 2�3z + 1 +
2z
�6z + 1
�=3
2
�1
3� 13
�= 0
Ejemplo 156 Calcula l��mx!+1
3x3�x�x2+3
�2x+3x+2 � 1
�Para calcular el l��m
x!+13x3�x�x2+3
�2x+3x+2 � 1
�calcularemos previamente por sep-
arado los siguientes límites
l��mx!+1
3x3 � x�x2 + 3 = "
+1�1" = l��m
x!+1
3� 1x2
� 1x +
3x3
=3
0�= �1
l��mx!+1
2x+ 3
x+ 2= "
+1+1" = l��m
x!+1
2 + 3x
1 + 2x
= 2
Por lo que:
l��mx!+1
3x3 � x�x2 + 3
�2x+ 3
x+ 2� 1�= �1 (2� 1) = �1
Ejercicio 157 Calcula l��mx!�1
3x3�x�x2+3
�2x+3x+2 � 1
�y comprueba que da +1
Ejemplo 158 Calcula l��mx!+1
3x2+xx+1
�2x2+xx+1 � x
�SoluciónPara calcular el l��m
x!+13x2+xx+1
�2x2+xx+1 � x
�calcularemos previamente por sep-
arado los siguientes límites
l��mx!+1
3x2 + x
x+ 1= "
+1+1" = l��m
x!+1
3 + 1x2
+ 1x +
1x2
=3
0+= +1
l��mx!+1
2x2 + x
x+ 1= "
+1+1" = l��m
x!+1
2 + 1x
1x +
1x2
=2
0+= +1
l��mx!+1
x = +1
Por lo que:
l��mx!+1
3x2 + x
x+ 1
�2x2 + x
x+ 1� x
�= " +1 (+1� (+1)) " =
Al obtener una indeterminación; tendremos que operar, con lo que
l��mx!+1
3x2 + x
x+ 1
�2x2 + x
x+ 1� x
�= l��m
x!+1
3x2 + x
x+ 1
�x2
x+ 1
�= l��m
x!+1
3x4 + x3
(x+ 1)2 = "
11"
= l��mx!+1
3x4 + x3
x2 + 2x+ 1= l��m
x!+1
3 + 1x
1x2 +
2x3 +
1x4
=3
0+= +1
![Page 101: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/101.jpg)
2.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES RACIONALES 97
Ejercicio 159 Calcula l��mx!�1
3x2+xx+1
�2x2+xx+1 � x
�y comprueba que da +1
Ejercicio 160 Comprueba que l��mx!+1
3x2+xx+1
�x� 2x2+x
x+1
�da �1 y que l��m
x!�13x2+xx+1
�x� 2x2+x
x+1
�=
�1
Ejercicio 161 Comprueba que l��mx!+1
x+4x2+x
�x3+xx+2 � x
�= +1 y que l��m
x!�1x+4x2+x
�x3+xx+2 � x
�=
�1
Ejemplo 162 Dada la función g(x) = x+2x3+1
�x3+xx+2 � x
�determina su dominio
y clasi�ca sus discontinuidades. Después calcula l��mx!+1
x+2x3+1
�x3+xx+2 � x
�y l��mx!�1
x+2x3+1
�x3+xx+2 � x
�SoluciónEl dominio de la función y = x+2
x3+1
�x3+xx+2 � x
�es
D(f) = R � f�2;�1g
Para x = �1 la función tiene una discontinuidad inevitable de salto in-�nito; ya que x = �1es una asíntota vertical de ramas convergentes alser
l��mx!�1+
x+ 2
x3 + 1
�x3 + x
x+ 2� x
�= �1
y
l��mx!�1�
x+ 2
x3 + 1
�x3 + x
x+ 2� x
�=1
Para x = 2 la función presenta una discontinuidad evitable ya que
l��mx!�2
x+ 2
x3 + 1
�x3 + x
x+ 2� x
�= "0�1"
l��mx!�2
x+ 2
x3 + 1
�x3 + x
x+ 2� x
�= l��m
x!�2
x+ 2
x3 + 1
�x3 � x2 � xx+ 2
�= "
0
0"
= l��mx!�2
x+ 2
x3 + 1
�x3 � x2 � xx+ 2
�= l��m
x!�2
x3 � x2 � xx3 + 1
=10
7
(La grá�ca de y = x+2x3+1
�x3+xx+2 � x
�coincide con la grá�ca de y = x3�x2�x
x3+1
si a ésta le quitamos el punto
P
��2; l��m
x!�2
x+ 2
x3 + 1
�x3 + x
x+ 2� x
��= P
��2; 10
7
�
![Page 102: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/102.jpg)
98 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Para calcular el l��mx!+1
x+2x3+1
�x3+xx+2 � x
�calcularemos previamente por
separado los siguientes límites
l��mx!+1
x+ 2
x3 + 1= "
+1+1" = l��m
x!+1
1x2 +
1x3
1 + 1x3
=0+
1= 0+
l��mx!+1
x3 + x
x+ 2= "
+1+1" = l��m
x!+1
1 + 1x2
1x2 +
2x3
=1
0+= +1
l��mx!+1
x = +1
Por lo que:
l��mx!+1
x+ 2
x3 + 1
�x3 + x
x+ 2� x
�= "0+ (+1� (+1)) " =
Al obtener una indeterminación; tendremos que operar, con lo que
l��mx!+1
x+ 2
x3 + 1
�x3 + x
x+ 2� x
�= l��m
x!+1
x+ 2
x3 + 1
�x3 � x2 � xx+ 2
�=
Simpli�cando la fracción
= l��mx!+1
x3 � x2 � xx3 + 1
= "11"
= l��mx!+1
1� 1x �
1x2
1 + 1x3
= 1
La recta y = 1 es una asíntota horizontal de la función.
Fíjate en la siguiente tabla g(x) = x+2x3+1
�x3+xx+2 � x
�
g
0BBBBBB@x1010010001000010000
1CCCCCCA =
0BBBBBBB@
x+2x3+1
�x3+xx+2 � x
�0;889 110 889 10;989 899 010 10;998 998 9990;999 899 990 00;999 899 990 0
1CCCCCCCAAsí pues:
l��mx!+1
x+ 2
x3 + 1
�x3 + x
x+ 2� x
�= 1�
Comprueba tú que
l��mx!�1
x+ 2
x3 + 1
�x3 + x
x+ 2� x
�= 1+
Aquí tienes su grá�ca
![Page 103: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/103.jpg)
2.7. LÍMITE DE LA DIVISIÓN DE FUNCIONES 99
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
x
y
y = x+2x3+1
�x3+xx+2 � x
�
2.7. Límite de la división de funciones
Las indeterminaciones que más veces nos pueden aparecer, cuando calcu-lamos el límite de una división de funciones, serán las del tipo "00", "1�1"y "11" . Para eliminarlas y que nos aparezca otra, realizaremos las operacionesoportunas .
Ejercicio 163 Calcula l��mx!+1
h�x2
x+3 � x�:�x2+xx+2
�iSoluciónCalculamos por separado los siguientes límites
1) l��mx!+1
�x2
x+3 � x�
1) l��mx!+1
�x2
x+ 3� x
�= "1�1"
Operando
l��mx!+1
�x2
x+ 3� x
�= l��m
x!+1
�3xx+ 3
= "�1+1"
Dividiendo por x numerador y denominador
= l��mx!+1
�31 + 3
x
= �3
![Page 104: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/104.jpg)
100 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
2) l��mx!+1
�x2+xx+2
�2) l��m
x!+1
�x2 + x
x+ 2
�= "
+1+1"
Dividiendo por x2 numerador y denominador
= l��mx!+1
�1 + 1
x1x +
2x2
�=
1
0+= +1
Por lo anterior:
l��mx!+1
��x2
x+ 3� x
�:
�x2 + x
x+ 2
��=�3+1 = 0�
La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función y =�x2
x+3 � x�:�x2+xx+2
�Ejemplo 164 Calcula l��m
x!�1
h�x2
x+3 � x�:�x2+xx+2
�iSoluciónCalculamos por separado los siguientes límites
1) l��mx!�1
�x2
x+3 � x�1) l��m
x!�1
�x2
x+ 3� x
�= �1+1
Operando
l��mx!�1
�x2
x+ 3� x
�= l��m
x!�1
�3xx+ 3
= "+1�1"
Dividiendo por x numerador y denominador
= l��mx!�1
�31 + 3
x
= �3
2) l��mx!�1
�x2+xx+2
�2) l��m
x!�1
�x2 + x
x+ 2
�= "
+1�1"
Dividiendo por x2 numerador y denominador
= l��mx!�1
�1 + 1
x1x +
2x2
�=
1
0�= �1
Por lo anterior:
l��mx!+1
��x2
x+ 3� x
�:
�x2 + x
x+ 2
��=�3�1 = 0+
![Page 105: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/105.jpg)
2.7. LÍMITE DE LA DIVISIÓN DE FUNCIONES 101
La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función y =�x2
x+3 � x�:�x2+xx+2
�Nota: El dominio de de�nición de la función y =
x2
x+3�xx2+xx+2
es
D(f) = [R � f�3;�2g] ��x 2 R / x2 + x = 0
=
= R � f�3;�2;�1; 0g
Comprueba que para x = �3 y para x = �1 la función presenta una discon-tinuidad inevitable de salto in�nito (las rectas x = �3 y x = �1 son asíntotasverticales de ramas divergentes)Comprueba que para x = 0 y x = �2 la función presenta una discontinuidad
evitable ya que no existen sus imágenes y sus límites valen
l��mx!0
x2
x+3 � xx2+xx+2
= �2
l��mx!�2
x2
x+3 � xx2+xx+2
= 0
La grá�ca de la función y =x2
x+3�xx2+xx+2
coincide con la grá�ca de y = � 3x+6(x+3)(x+1)si
a ésta le quitamos los puntos P (0; 2) y Q(�2; 0).Mira su grá�ca:
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
x
y
y =x2
x+3�xx2+xx+2
Ejercicio 165 Calcula el l��mx!+1
x2x+3�x
2
x+2
x2+3
![Page 106: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/106.jpg)
102 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
Ejercicio 166 Calcula el l��mx!�1
x2x+3�x
2
x+2
x2+3
Ejercicio 167 Calcula el l��mx!+1
xx2+5
x2+xx+1
y el l��mx!�1
xx2+5
x2+xx+1
Solución
Para calcular l��mx!+1
xx2+5
3x2
2x3+1
calculamos por separado los siguientes límites
l��mx!+1
xx2+5 y l��m
x!+13x2
2x3+1
1) l��mx!+1
x
x2 + 5=+1+1
Dividiendo por x2numerador y denominador
l��mx!+1
x
x2 + 5= l��m
x!+1
1x
1 + 5x2
= 0+
2) l��mx!+1
3x2
2x3 + 1=+1+1
Dividiendo por x3numerador y denominador
l��mx!+1
3x2
2x3 + 1= l��m
x!+1
3x
2 + 1x3
= 0+
Por lo que
l��mx!+1
xx2+5
3x2
2x3+1
=0
0
Operando
l��mx!+1
xx2+5
3x2
2x3+1
= l��mx!+1
2x3 + 1
3x3 + 15x=+1+1
Dividiendo arriba y abajo por x3
= l��mx!+1
2 + 1x3
3 + 15x2
=2
3
Comprueba tú que l��mx!�1
xx2+5
3x2
2x3+1
= 23 .La recta y =
23 es asíntota horizontal
Nota: La función y =x
x2+5
3x2
2x3+1
tiene por dominio
D(f) = R ��� 1
3p2; 0
�
![Page 107: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/107.jpg)
2.7. LÍMITE DE LA DIVISIÓN DE FUNCIONES 103
Puedes comprobar que para x = 0 la función tiene una asíntota verticalde ramas divergentes y para x = � 1
3p2 la función presenta una discontinuidad
evitable ya que l��mx!� 1
3p2
xx2+5
3x2
2x3+1
= 0
Su grá�ca coincide con la grá�ca de j(x) = 2x3+13x3+15x si a esta última le
quitamos el punto P ((� 13p2 ; 0).
Mira su grá�ca
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
x
y
y =x
x2+5
3x2
2x3+1
Ejercicio 168 Calcula el l��mx!+1
xx2+5
x2
x4+1
y el l��mx!�1
xx2+5
x2
x4+1
Ejercicio 169 Calcula el l��mx!+1
xx2+5
3x2
2x3+1
y el l��mx!�1
xx2+5
3x2
2x3+1
![Page 108: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/108.jpg)
104 CAPÍTULO 2. L�IMX!+1
F (X) O L�IMX!�1
F (X)
2.8. Límites de funciones exponenciales, poten-ciales y potenciales exponenciales
Ejercicio 170 Comprueba que los siguientes límites son correctos
l��mx!+1
21x = 1 l��m
x!�121x = 1
l��mx!+1
2x+3x = 2 l��m
x!�123x+32x = 2
p2
l��mx!+1
�4x�8x�1
� x+3x
= 4 l��mx!�1
�4x�8x�1
� x+3x
= 4
l��mx!+1
�4x�8x�1
�x=1 l��m
x!�1
�4x�8x�1
�x= 0
l��mx!+1
�4x�8x�1
� x2
x+1
=1 l��mx!�1
�4x�8x�1
� x2
x+1
= 0
l��mx!+1
�x2+32x2+1
�3x= 0 l��m
x!�1
�x2+32x2+1
�3x=1
l��mx!+1
�2x2+1x2+3
�3x=1 l��m
x!�1
�2x2+1x2+3
�3x= 0
l��mx!+1
�x2+32x2+1
� 3x4x+2
= 12
4p2 l��m
x!�1
�x2+32x2+1
� 3x4x+2
= 12
4p2
l��mx!+1
�x2+32x2+1
� 3x4x2+2
= 1 l��mx!�1
�x2+32x2+1
� 3x4x2+2
= 1
l��mx!+1
�x2+32x3+1
��3= 1 l��m
x!+1
�x2+32x3+1
�3= 0
2.8.1. Indeterminación 11
Nota: si un límite presenta la indeterminación 1+1 o 1�1 para calcular sulímite, utilizaremos la relación siguiente:
l��mx!+1
[f(x)]g(x)
= el��m
x!+1g(x)[f(x)�1]
(o l��mx!�1
[f(x)]g(x)
= el��m
x!�1g(x)[f(x)�1]
Si calculamos dicho límite, todos los resultados que podemos obtener son:
ea siendo a 2 R
e0=1
e+1 = +1, al ser e > 1
e�1 = 0+ al ser e > 1
![Page 109: LIMITES DE FUNCIONES](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022042616/568bd42d1a28ab203493cbee/html5/thumbnails/109.jpg)
2.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 105
Ejercicio 171 Comprueba que
l��mx!+1
�2x2+32x2+1
�3x= 1 l��m
x!�1
�3x2+x3x2+1
�3x= e
l��mx!+1
�x2+2xx2+1
� 3x2
4x+1
= e32 l��m
x!+1
�x2+xx2+1
� 3x2
x+1
= e3
l��mx!+1
�4x+54x+3
� 3x2
4x+1
= e38 l��m
x!�1
�x2+5x2+3x
� 3x2
4x+1
= e�94
l��mx!+1
�4x3+5x2
4x3+3
� 3x3
4x+1
=1 l��mx!�1
�4x3+5x2
4x3+3
� 3x3
4x+1
= 0
l��mx!+1
�2�px2 + x� x
��x= e�
14 l��m
x!�1
�2�px2 � x+ x
��x= e
14
2.9. Límites de funciones logarítmicas
Ejercicio 172 Comprueba que
l��mx!+1
log2(1x ) = �1 l��m
x!+1log 1
2( 1x ) =1
l��mx!+1
log2(8x�4x ) = 3 l��m
x!+1log2(
x8x�4 ) = �3
l��mx!+1
log2(x2
8x�4 ) =1 l��mx!+1
log 12( x2
8x�4 ) = �1l��m
x!+1log2(
8x�4x2 ) = �1 l��m
x!+1log 1
2( 8x�4x2 ) = 1
l��mx!+1
(log2(2x� 3)� log2(8x� 2)) = �2 l��mx!+1
�log(2x�3)log 1
2
� log(8x�2)log 1
2
�= 2
l��mx!+1
(3x+ 2) (log3(3x� 2)� log3(3x+ 2)) = � 4ln 3 l��m
x!+1
�log2(2x� 3)� log2(x2 + 1)
�= �1
l��mx!+1
(x+ 2) (ln(2x� 3)� ln(2x+ 1)) = �2 l��mx!+1
�log(2x2 + 3)� log(x+ 1)
�=1