Limites Infinito 5

LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES

En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los límites infinitos y las asíntotas verticales. Ahí sedejó que x se aproximara a un número y el resultado es que los valores de y se vuelvenarbitrariamente grandes (ya sean positivos o negativos). En esta sección se permite que xse vuelva arbitrariamente grande en magnitud y se observa qué le sucede a y.

Empiece por investigar el comportamiento de la función f definida por

cuando x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta función correctos hasta seisposiciones decimales (o seis dígitos decimales) y, en la figura 1, se ha trazado la gráfica def por medio de una computadora.

Conforme x crece más y más, se puede ver que los valores de fsxd se aproximan cada vezmás a 1. De hecho, parece que puede acercar cuanto quiera los valores de fsxd a 1 eligiendouna x lo suficientemente grande. Esta situación se expresa en forma simbólica escribiendo

límx l

x 22 1

x 21 1

1

10

y=1

y=≈-1≈+1FIGURA 1

x

y

f sxd x 22 1

x 21 1

2.6

130 | | | | CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS

62. Si a y b son números positivos, comprobar que la ecuación

tiene por lo menos una solución en el intervalo s21, 1d.

63. Demuestre que la función

es continua en s2 , d.

64. (a) Demuestre que la función de valor absoluto Fsxd x escontinua en todas partes.

(b) Compruebe que si f es una función continua sobre unintervalo, entonces también lo es f .

(c) ¿Lo inverso de la proposición del inciso (b) también esverdadero? En otras palabras, ¿si f es continua sededuce que f es continua? De ser así, compruébelo.En caso de no ser así, halle un ejemplo contrario.

65. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 A.M. yemprende su camino habitual hacia la cima de la montaña,a donde llega a las 7:00 P.M. La mañana siguiente inicia elregreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 A.M. y llegaal monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del valorintermedio demuestre que existe un punto a lo largo de laruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora enambos días.

f sxd !x4 sens1yxd0

si x 0

si x 0

a

x31 2x2

2 11

b

x31 x 2 2

0

55. Demuestre que f es continua en a si y sólo si

56. Para demostrar que seno es continuo necesita demostrar quelím xl a sen x sen a para todo número real a. Según elejercicio 55, una proposición equivalente es que

Aplique (6) para demostrar que esto es cierto.

57. Compruebe que coseno es una función continua.

58. (a) Demuestre el teorema 4, parte 3.(b) Demuestre el teorema 4, parte 5.

59. ¿Para qué valores de x es continua f ?

60. ¿Para qué valores de x es continua g?

¿Hay un número que es exactamente 1 más que su cubo?61.

tsxd !0

x

si x es racional

si x es irracional

f sxd !0

1

si x es racional

si x es irracional

límhl 0

sensa 1 hd sen a

límhl 0

f sa 1 hd f sad

x f sxd

0 21!1 0!2 0.600000!3 0.800000!4 0.882353!5 0.923077!10 0.980198!50 0.999200!100 0.999800!1000 0.999998

En general, use el simbolismo

para indicar que los valores de f sxd tienden a L conforme x se hace más y más grande.

DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo sa, d. Entonces

significa que los valores de fsxd se pueden aproximar a L tanto como desee, si escogeuna x suficientemente grande.

Otra notación para lím xl f sxd L es

f sxdl L conforme xl

El símbolo no representa un número. No obstante, la expresión a menudose lee como

“el límite de fsxd, cuando x tiende al infinito, es L”

o “el límite de fsxd, cuando x se hace infinito, es L”

o bien “el límite de f sxd, cuando x crece sin cota, es L”

La definición 1 da el significado de esas frases. Una definición más exacta, similar a ladefinición de e, d de la sección 2.4 se encuentra al final de esta sección

En la figura 2 se muestran ilustraciones geométricas de la definición 1. Advierta quehay muchas maneras de aproximar la gráfica de f a la recta y L (la cual se llama asín-tota horizontal) a medida que ve hacia el extremo derecho de cada gráfica.

Si vuelve a la figura 1, verá que para valores negativos de x grandes en magnitud, losvalores de f sxd están cercanos a 1. Al decrecer x a través de valores negativos sin cota,puede acercar fsxd a 1 cuanto quiera. Esto se expresa escribiendo

La definición general es como sigue:

DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo s2 , ad. Entonces

quiere decir que los valores de f sxd se pueden hacer arbitrariamente cercanos a Lhaciendo que x sea negativa y suficientemente grande en magnitud.

límxl2

f sxd L

2

límx l

2

x 22 1

x 21 1

1

x

y

0

y=ƒ

y=L

0 x

y

y=ƒ

y=L

x

y

0

y=ƒ

y=L

límx l

f sxd L

límx l

f sxd L

1

límx l

f sxd L

SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES | | | | 131

x `

FIGURA 2

Ejemplos que ilustran lím ƒ=L

Es necesario remarcar que el símbolo 2 no representa un número, pero la expresiónse lee a menudo como

“el límite de fsxd, cuando x tiende al infinito negativo, es L”.

La definición 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la gráfica tiende a la recta y L comoen el extremo izquierdo de cada gráfica.

DEFINICIÓN La recta y L se llama asíntota horizontal de la curvay f sxd si

o bien

Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene la recta y 1 como asíntotahorizontal porque

Un ejemplo de una curva con dos asíntotas horizontales es y tan21x. (Véase la figura 4.)En efecto,

de modo que las dos rectas y 2py2 y y py2 son asíntotas horizontales. (Éste surgea partir del hecho de que las rectas x !py2 son asíntotas verticales de la gráfica detan.)

EJEMPLO 1 Encuentre los límites infinitos, los límites en el infinito y las asíntotas para lafunción f cuya gráfica se muestra en la figura 5.

SOLUCIÓN Ya que los valores de f sxd se vuelven grandes cuando xl 21 por ambos lados;por lo tanto

Advierta que f sxd se hace negativo grande en magnitud cuando x tiende a 2 por la iz-quierda, pero grande positivo cuando x tiende a 2 por la derecha. De este modo,

y

De esta suerte, las dos rectas x 21 y x 2 son asíntotas verticales.Cuando x crece, f sxd tiende a 4. Pero cuando x decrece a través de valores negativos,

f sxd tiende a 2. Así entonces,

y

Esto significa que tanto y 4 como y 2 son asíntotas horizontales. c

límx l

2

f sxd 2límx l

f sxd 4

límx l

21 f sxd lím

x l

22 f sxd 2

límx l

21 f sxd

límx l

tan21x "

2lím

x l

2

tan21x 2"

24

límx l

x 22 1

x 21 1

1

límx l

2

f sxd Llímx l

f sxd L

3

lím xl2

f sxd L


x _`

FIGURA 3

Ejemplos que ilustran lím ƒ=L

0

y

x

y=ƒ

y=L

x0

y

y=ƒy=L

FIGURA 4 y=tan–!x

y

0x

π2

_π2

FIGURA 5

0 x

y

2

2

EJEMPLO 2 Encuentre y .

SOLUCIÓN Observe que cuando x es grande, 1yx es pequeño. Por ejemplo,

De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar 1yx a 0 cuanto quiera.Por lo tanto, según la definición 4

Un razonamiento similar hace ver que cuando x es negativo grande en magnitud, 1yx espequeño negativo; de este modo, también tiene

Se infiere que la recta y 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y 1yx (quees una hipérbola equilátera; véase la figura 6). c

La mayor parte de las leyes de los límites que se dieron en la sección 2.3 también secumplen para los límites en el infinito. Se puede probar que las leyes de los límites, cuya

lista se da en la sección 2.3 (con la excepción de las leyes 9 y 10), también son válidas si

“xl a” se reemplaza con “xl ” o con “xl 2 ”. En particular, si combina la ley 6con los resultados del ejemplo 2, obtiene la importante regla que sigue para el cálculo delímites.

TEOREMA Si r # 0 es un número racional, entonces

Si r # 0 es un número racional tal que x r está definida para toda x, entonces

EJEMPLO 3 Evalúe

e indique las propiedades de límites que se usan en cada etapa.

SOLUCIÓN Conforme x se hace más grande, tanto el numerador como el denominador sehacen más grandes, por lo tanto no resulta evidente qué sucede con su proporción. Necesi-ta hacer algunas operaciones algebraicas preliminares.

Para evaluar el límite en el infinito de una función racional, divida el numerador y eldenominador entre la mayor potencia de x que hay en el denominador. (Puede suponer

límx l

3x 2

2 x 2 2

5x 21 4x 1 1

V

lím xl2

1

x r 0

límxl

1

x r 0

5

límx l

2

1

x 0

límx l

1

x 0

1

1 000 000 0.000001

1

10 000 0.0001

1

100 0.01

límx l

2

1

xlímx l

1

x


x

x ` x _`

1x

1x

0

y

y=∆

FIGURA 6

lím =0, lím =0

que x 0, puesto que sólo está interesado en los valores grandes de x.) En este caso, lamayor potencia de x en el dominador es x2, con lo cual tiene

(por la ley de los Límites 5)

(por 1, 2 y 3)

(por 7 y el teorema 5)

Un cálculo semejante hace ver que el límite cuando xl 2 también es . En la figura 7se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función ra-cional dada se aproxima a la asíntota horizontal . c

EJEMPLO 4 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función

SOLUCIÓN Al dividir tanto el numerador como el denominador entre x y aplicar las propie-dades de los límites tiene

(puesto que s"x2 x para x # 0)

Por lo tanto, la recta es una asíntota horizontal de la gráfica de f.Si calcula el límite cuando x l 2 , debe recordar que para x $ 0,

tiene . De donde, al dividir el numerador entre x, parax $ 0 obtiene

1

x s2x 2 1 1 2

1

sx 2 s2x 2 1 1 2#2 1

1

x 2

sx 2 $ x $ 2x

y s2y3

s2 1 0

3 2 5 0

s2

3

lím xl

#2 11

x 2

lím xl

%3 25

x&

#lím xl

2 1 lím xl

1

x 2

lím xl

3 2 5 lím xl

1

x

límxl

s2x 2 1 1

3x 2 5 lím

xl

#2 1

1

x 2

3 25

x

f sxd s2x 2 1 1

3x 2 5

y 35

35

3

5

3 2 0 2 0

5 1 0 1 0

límx l

3 2 límx l

1

x2 2 lím

x l

1

x 2

límx l

5 1 4 límx l

1

x1 lím

x l

1

x 2

límx l

%3 21

x2

2

x 2&límx l

%5 14

x1

1

x 2&

límx l

3x 2

2 x 2 2

5x 21 4x 1 1

límx l

3x22 x 2 2

x2

5x21 4x 1 1

x2

límx l

3 21

x2

2

x 2

5 14

x1

1

x 2


1

y=0.6

x

y

0

FIGURA 7

y=3≈-x-25≈+4x+1

Por lo tanto,

Así, la recta también es una asíntota horizontal.Es probable que haya una asíntota vertical cuando el denominador, 3x 2 5, es 0, es

decir, cuando . Si x tiende a y , después el denominador está cercano a 0 y3x 2 5 es positivo. El numerador siempre es positivo, de modo que f sxd espositivo. Por lo tanto,

Si x está cerca de pero , en seguida 3x 2 5 $ 0 y f sxd es grande y negativa. Deesta manera,

La asíntota vertical es . Las tres asíntotas se ilustran en la figura 8. c

EJEMPLO 5 Calcule .

SOLUCIÓN Ya que tanto como x son grandes cuando x es grande, es difícilver qué sucede con su diferencia, por eso, use el álgebra para escribir de nuevo lafunción. En primer lugar multiplique el numerador y el denominador por el radicalconjugado.

Se podría aplicar el teorema de la compresión para demostrar que este límite es 0. Peroun método más fácil es dividir el numerador y el denominador entre x. Al efectuaresto y aplicar las leyes de los límites obtiene

En la figura 9 se ilustra este resultado. c

En la gráfica de la función exponencial natural y ex tiene la recta y 0 (el eje x)como asíntota horizontal. (Lo mismo se cumple para cualquier función exponencial con

límx l

1

x

#1 11

x 21 1

0

s1 1 0 1 1 0

límx l

(sx 2 1 1 2 x) límx l

1

sx 2 1 1 1 x lím

x l

1

x

sx 2 1 1 1 x

x

límx l

sx 2

1 1d 2 x 2

sx 2 1 1 1 x lím

x l

1

sx 2 1 1 1 x

límx l

(sx 2 1 1 2 x) límx l

(sx 2 1 1 2 x) sx 2 1 1 1 x

sx 2 1 1 1 x

sx 2 1 1

límx l

(sx 2 1 1 2 x)

x 53

límxl s5y3d2

s2x 2 1 1

3x 2 5 2

x $53

53

límxl s5y3d1

s2x 2 1 1

3x 2 5

s2x 2 1 1x #

53

53x

53

y 2s2y3

2#2 1 lím xl2

1

x 2

3 2 5 lím xl2

1

x

2s2

3 límxl2

s2x 2 1 1

3x 2 5 lím

xl2

2#2 11

x 2

3 25

x


FIG 8

y= 3x-5+1

x

y

y= œ„3

y=_ œ„3

x=53

FIGURA 9

y= œ„„„„„ ≈+1-x

x

y

0 1

1

& Puede considerar que la función dada tiene

un denominador de 1.

base a # 1.) En efecto, a partir de la gráfica de la figura 10 y la tabla correspondientede valores observe que

Advierta que los valores de ex tienden a 0 con mucha rapidez.

EJEMPLO 6 Evalúe .

SOLUCIÓN Si hace que t 1yx, sabe que tl 2 cuando xl 02. Por lo tanto, de acuerdocon (6),

(Véase ejercicio 71.) c

EJEMPLO 7 Evalúe .

SOLUCIÓN Cuando x crece, los valores de sen x oscilan entre 1 y 21 infinitamente a menudo,y, de este modo, no se aproximan a ningún número definido. Así, lím xl sen x no existe. c

LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO

La notación

se usa para indicar que los valores de f sxd se agrandan cuando x se hace grande. Se aso-cian significados semejantes a los símbolos siguientes:

EJEMPLO 8 Determine y .

SOLUCIÓN Cuando x se incrementa, también lo hace x 3. Por ejemplo,

103 1000 1003

1 000 000 10003 1 000 000 000

En efecto, puede hacer a x3 tan grande como quiera incrementando de manera suficientea x. Por lo tanto,

de manera similar, cuando x toma un valor negativo grande, así es x3. En estos términos

Asimismo, eatas proposiciones de los límites se pueden ver en la gráfica de y x3 en lafigura 11. c

límxl2

x 3 2

límxl

x 3

límxl2

x 3límxl

x 3

límxl2

f sxd 2 límxl

f sxd 2 límxl2

f sxd

límxl

f sxd

límx l

sen x

límx l

02 e 1yx

límt l

2

e t 0

límx l

02 e 1yx

V

x ex

0 1.0000021 0.3678822 0.1353423 0.0497925 0.0067428 0.00034210 0.00005

y=´

x0

1

y

1FIGURA 10

límx l

2

e x 06


& La estrategia para resolver problemas para

el ejemplo 6 es introducir algo adicional

(véase página 76). En este caso, lo adicional,

el elemento auxiliar, es la variable t.

y=˛

x

y

0

FIGURA 11

lím x#=`, lím x#=_`x ` x _`

Al examinar la figura 10 observe que

pero, como se muestra en la figura 12, y ex se hace grande cuando x l con muchamayor rapidez que y x3.

EJEMPLO 9 Encuentre .

| SOLUCIÓN Advierta que no puede escribir

Las leyes de los límites no se pueden aplicar a los límites infinitos porque no es un nú-mero ( 2 está indefinido). Sin embargo, puede escribir

porque tanto x como x 2 1 se hacen arbitrariamente grandes y, por lo tanto, tambiénsu producto. c

EJEMPLO 10 Encuentre .

SOLUCIÓN Como en el ejemplo 3, divida el numerador y denominador entre la potenciamás alta de x en el denominador, que es justamente x:

porque x 1 1 l y 3yx 2 1 l 21 cuando xl . c

En el ejemplo siguiente se muestra que al analizar límites infinitos en el infinito, juntocon intersecciones, es posible llegar a tener una idea general de la gráfica de un polinomiosin tener que graficar una gran cantidad de puntos.

EJEMPLO 11 Trace la gráfica de con ayuda de lasintersecciones y sus límites cuando x l y cuando x l 2 .

SOLUCIÓN La intersección con el eje y es y los cortes con eleje x se encuentran al hacer y 0: x 2, 21, 1. Observe que como es positiva,la función no cambia de signo en 2; de este modo, la gráfica no corta el eje x en 2. Lagráfica corta el eje en 21 y 1.

Cuando x adquiere un valor grande y positivo, los tres factores son grandes, de modo que

Cuando x tiene un valor grande y negativo, el primer factor toma un valor grande ypositivo y el segundo y el tercer factores son grandes negativos, por lo que

Al combinar esta información, obtiene un esbozo de la gráfica en la figura 13. c

límxl2

sx 2 2d4sx 1 1d3sx 2 1d

límxl

sx 2 2d4sx 1 1d3sx 2 1d

sx 2 2d4f s0d s22d4s1d3s21d 216

y sx 2 2d4sx 1 1d3sx 2 1dV

lím xl

x 21 x

3 2 x lím

xl x 1 1

3

x2 1

2

límx l

x 21 x

3 2 x

límx l

sx 22 xd lím

x l

xsx 2 1d

límx l

sx 22 xd lím

x l

x 22 lím

x l

x 2

límxl

sx 22 xd

lím xl

e x


x0

100

y

1

y=˛

y=´

FIGURA 12

´ es tan grande como ˛cuando x es grande.

y

y=(x-2)$ (x +1)#(x-1)FIGURA 13

0 x_1

_16

21

DEFINICIONES EXACTAS

La definición 1 se puede establecer precisamente como se indica a continuación.

DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo sa, d. Entonces,

significa que para toda e # 0 hay un número correspondiente N tal que

si x # N entonces f sxd 2 L $ e

En lenguaje común, esto establece que los valores de f sxd se pueden hacer arbitraria-mente cercanos a L (dentro de una distancia e, donde e es cualquier número positivo) alhacer que x tome valores suficientemente grandes (más grandes que N, donde N dependede e). Desde el punto de vista gráfico, esto plantea que al escoger valores grandes de x(mayores que algún número N) es posible hacer que la gráfica de f se sitúe entre las rec-tas horizontales y L 2 e y y L 1 e como en la figura 14. Esto se tiene que cumplirsin que importe qué tan pequeño sea e. En la figura 15 se ilustra que si se escoge unvalor pequeño de e, después se podría requerir un valor mayor de N.

De igual manera, una versión exacta de la definición 2 se proporciona mediante ladefinición 8, la cual se ilustra en la figura 16.

DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo de s2 , ad.Entonces,

quiere decir que para toda e # 0 hay un número correspondiente N tal que

si x $ N entonces f sxd 2 L $ e

límxl2

f sxd L

8

FIGURA 14

límƒ=Lx `

FIGURA 15

límƒ=Lx `

y

0 xN

Ly=ƒ

y=L-∑

y=L+∑

0

y

xN

L

donde x está aquí

ƒestá aquí

y=L-∑

y=L+∑∑∑

y=ƒ

límxl

f sxd L

7


En el ejemplo 3 se calculó que

En el ejemplo siguiente se utiliza una calculadora o computadora para relacionar esteenunciado de la definición 7 con y e 0.1.

EJEMPLO 12 Mediante una gráfica determine un número N tal que

si x # N entonces

SOLUCIÓN Reescriba la desigualdad como

Es necesario determinar los valores de x para los cuales la curva dada queda entre lasrectas horizontales y 0.5 y y 0.7. La curva y las rectas están graficadas en la figura 17.Luego, por medio del cursor, se estima que la curva cruza la recta y 0.5 cuandox ' 6.7. A la derecha de este número, la curva se localiza entre las rectas y 0.5 yy 0.7. Efectúe un redondeo y después

si x # 7 entonces

En otras palabras, para e 0.1 puede elegir N 7 (o cualquier otro número mayor) enla definición 7. c

EJEMPLO 13 Mediante la definición 7 demuestre que .

SOLUCIÓN Dado e # 0, busque N tal que

si x # N entonces

Al calcular el límite podría suponer que x # 0. Entonces 1yx $ e &fi x # 1ye.Seleccione N 1ye. De esa manera

si entonces ( 1

x2 0 ( 1

x$ %x # N

1

%

( 1

x2 0 ( $ %

límxl

1

x 0

( 3x 22 x 2 2

5x 21 4x 1 1

2 0.6 ( $ 0.1

0.5 $3x 2

2 x 2 2

5x 21 4x 1 1

$ 0.7

( 3x 22 x 2 2

5x 21 4x 1 1

2 0.6 ( $ 0.1

L 35

límxl

3x 2

2 x 2 2

5x 21 4x 1 1

3

5

x _`

FIGURA 16

lím ƒ=LxN

y

Ly=L-∑

y=L+∑y=ƒ

0


FIGURA 17

1

0 15

y=0.7

y=0.5

y= 3≈-x-25 +4x+1

De donde, según la definición 7,

En la figura 18 se ilustra la demostración en la que se muestran algunos valores de ylos valores correspondientes de N.

c

Para finalizar, observe que se puede definir un límite infinito en el infinito como sigue.La representación geométrica se proporciona en la figura 19.

DEFINICIÓN Si f es una función definida en algún intervalo sa, d. entonces

significa que para todo número positivo M hay un número positivo correspondienteN tal que

si x # N entonces f sxd # M

Definiciones similares son válidas cuando el símbolo se reemplaza con 2 . (Véaseejercicio 70.)

límxl

f sxd

9

%

límxl

1

x 0


x

y

0 N=5∑=0.2

FIGURA 18

x

y

0 N=1

∑=1

x

y

0 N=10∑=0.1

FIGURA 19

límƒ=`x `

0 x

y

N

My=M

(d) (e)

(f) Las ecuaciones de las asíntotas.

x

y

1

1

límx l

2

f sxdlímx l

f sxd1. Explique con sus propias palabras el significado de cada una delas expresiones siguientes.

(a) (b)

(a) ¿La gráfica de y f sxd se puede intersecar con una asíntotavertical? ¿Se puede intersecar con una asíntota horizontal?Ilustre trazando gráficas.

(b) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica dey f sxd? Trace gráficas para ilustrar las posibilidades.

3. Para la función f cuya gráfica se ilustra, dé lo siguiente:

(a) (b) (c) límx l

211 f sxdlím

x l

212 f sxdlím

x l

2 f sxd

2.

lím xl2

f sxd 3lím xl

f sxd 5

E JERCIC IOS2.6


13–14 Evalúe un límite y justifique cada etapa señalando las pro-piedades adecuadas de los límites.

13. 14.

15–36 Calcule el límite.

15. 16.

17. 18.

20.

21. 22.

23. 24.

26.

27.

28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

; 37. (a) Estime el valor de

dibujando la función .(b) Use una tabla de valores de f sxd para conjeturar el valor del

límite.(c) Pruebe que su conjetura es correcta.

; 38. (a) Use una gráfica de

para estimar el valor de lím xl f sxd hasta una cifradecimal.

(b) Use una tabla de valores de f sxd para estimar el límite hastacuatro cifras decimales.

(c) Halle el valor exacto del límite.

f sxd s3x 2 1 8x 1 6 2 s3x 2 1 3x 1 1

f sxd sx 2 1 x 1 1 1 x

límx l

2

(sx 2 1 x 1 1 1 x)

límx l

s"y2d1e tan xlím

xl

se22x cos xd

lím xl

tan21sx 22 x 4 dlím

xl

1 2 ex

1 1 2ex

límx l

x 32 2x 1 3

5 2 2x2límx l

2

sx 41 x5 d

límxl

sx21 1lím

xl

x 1 x3

1 x5

1 2 x21 x4

límx l

cos x

límx l

(sx 2 1 ax 2 sx2 1 bx )

límxl2

(x 1 sx 2 1 2x )límx l

(s9x 2 1 x 2 3x)25.

límx l

2

s9x 6 2 x

x 31 1

límx l

s9x 6 2 x

x 31 1

límx l

x 1 2

s9x 21 1

límu l

4u4

1 5

su22 2ds2u2

2 1d

límt l

2

t 21 2

t 31 t 2

2 1límx l

x 31 5x

2x 32 x 2

1 419.

límy l

2 2 3y2

5y21 4y

límx l

2

1 2 x 2 x2

2x22 7

límx l

3x 1 5

x 2 4límx l

1

2x 1 3

límx l

#12x3

2 5x 1 2

1 1 4x21 3x3lím

x l

3x2

2 x 1 4

2x21 5x 2 8

4. Para la función t cuya gráfica se ilustra, proporcione losiguiente:

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f) Las ecuaciones de las asíntotas.

5–10 Dibuje el ejemplo de una función f que satisfaga todas lascondiciones dadas.

5. f s0d 0, f s1d 1, f es impar

6.

8.

9. f s0d 3, , ,

, , ,

10. , , f s0d 0, f es par

; 11. Determine el valor del límite

evaluando la función f sxd x2y2x para x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 20, 50 y 100. A continuación, utilice una gráfica de fpara respaldar su conjetura.

; 12. (a) Use una gráfica de

para estimar el valor de lím xl f sxd correcto hasta dos ci-fras decimales

(b) Use una tabla de valores de f sxd para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales.

f sxd %1 22

x&x

límx l

x 2

2x

límxl

f sxd 2límxl3

f sxd 2

límxl

f sxd 3

límxl 41

f sxd límxl42

f sxd 2 límxl2

f sxd 2

límxl 01

f sxd 2límxl02

f sxd 4

límx l

f sxd 23 límx l

2

f sxd 3,límx l

22 f sxd ,

límx l

02 f sxd 2 lím

x l

01 f sxd ,

límx l

2

f sxd 0,límx l

f sxd , límx l

2 f sxd 2 , 7.

límx l

2

f sxd 1

límx l

f sxd 1,límx l

02 f sxd 2 , lím

x l

01 f sxd ,

límx l

f sxd 0,

20 x

y

1

límx l

221 tsxd

límx l

0 tsxdlím

x l

3 tsxd

límx l

2

tsxdlímx l

tsxd


53. (a) Aplique el teorema de la compresión para evaluar

.

; (b) Grafique f sxd ssen xdyx. ¿Cuántas veces la gráfica cortala asíntota?

; 54. Por comportamiento al final de una función debe dar aentender una descripción de lo que sucede a sus valores cuandoxl y cuando xl 2 . (a) Describa y compare el comportamiento al final de las

funciones

Psxd 3x52 5x3

1 2x Qsxd 3x5

dibujando las dos funciones en los rectángulos de visua-lización )22, 2* por )22, 2* y )210, 10* por )210 000,10 000*.

(b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento

al final si su relación tiende a 1 cuando x l . Demuestreque P y Q tienen el mismo comportamiento al final.

Sean P y Q dos polinomios. Encuentre

si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayorque el grado de Q.

56. Haga un boceto aproximado de la gráfica de la curva y xn (nun entero) para los cinco casos siguientes:

(i) n 0 (ii) n # 0, n impar

(iii) n # 0, n par (iv) n $ 0, n impar

(v) n $ 0, n par

Después use estos bocetos para encontrar los límites siguientes.

(a) (b)

(c) (d)

Determine lím xl f sxd si, para toda x # 1,

58. (a) Un depósito contiene 5 000 L de agua pura. Se bombeasalmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua aldepósito a una proporción de 25 Lymin. Demuestre quela concentración de sal t minutos después (en gramos porlitro) es

(b) ¿Qué sucede con la concentración cuando tl ?

59. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis,la velocidad vstd de una gota de lluvia que cae, en el instantet, es

vstd v*s1 2 e2ttyv*d

donde t es la aceleración debida a la gravedad y v* es lavelocidad terminal de la gota de lluvia. (a) Encuentre lím tl vstd.

Cstd 30t

200 1 t

10ex2 21

2ex$ f sxd $

5sx

sx 2 1

57.

límx l

2

x nlímx l

x n

límx l

02 x nlím

x l

01 x n

límxl

PsxdQsxd

55.

límx l

sen x

x

39–44 Hallar las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Sitiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando lacurva y estimando las asíntotas.

39. 40.

42.

43. 44.

; 45. Estimar la asíntota horizontal de la función

mediante la gráfica de f para 210 & x & 10. Después calculela ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica ladiscrepancia?

; 46. (a) Grafique la función

¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Use lagráfica para estimar el valor de los límites

y

(b) Calcular los valores de f sxd, proporcione estimacionesnuméricas de los límites del inciso (a).

(c) Calcular los valores exactos de los límites en el inciso (a)obtenga el mismo valor o valores diferentes de esos doslímites [con respecto a su respuesta del inciso (a), tendráque verificar su cálculo para el segundo límite].

47. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga lascondiciones siguientes:

, , f s2d 0,

,

48. Plantee una fórmula para una función cuyas asíntotas verticalesson x 1 y x 3 y asíntota horizontal y 1.

49–52 Determine los límites cuando xl y cuando xl 2 .Utilice esta información junto con las intersecciones para conseguirun esbozo de la gráfica como en el ejemplo 11.

49. y x42 x6

50. y x3sx 1 2d2sx 2 1d

51. y s3 2 xds1 1 xd2s1 2 xd4

52. y x2sx22 1d2sx 1 2d

límx l

31 f sxd 2 lím

x l

32 f sxd

límx l

0 f sxd 2 lím

x l

!

f sxd 0

límxl2

s2x 2

1 1

3x 2 5límxl

s2x2

1 1

3x 2 5

f sxd s2x2

1 1

3x 2 5

f sxd 3x3

1 500x2

x31 500x2

1 100x 1 2000

y 2ex

ex 2 5y

x32 x

x22 6x 1 5

y 1 1 x4

x 22 x4y

2x21 x 2 1

x 21 x 2 2

41.

y x 21 1

2x 22 3x 2 2

y 2x 1 1

x 2 2

Limites Infinito 5

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