Límites Laterales y Continuidad de Funciones

UNIDAD 1:

Límites LateralesA continuación se muestra la gráfica de una función f.

Obsérvese que f(x) no está definida cuando x = 0. Cuando x tiende a 0 desde el lado derecho, f(x) tiende 1. Se escribe esto como

Por otro lado, cuando x tiende a O desde la izquierda, f(x) tiende a -1, y se escribe

A estos límites se les denomina límites unilaterales

Recordemos que el límite de una función cuando x tiende a a es independiente de la forma en x tiende a a. Por ello, el límite existe si, y solo si, ambos límites unilaterales existen y son iguales. Por lo tanto NO EXISTE

Límites lateralesVeamos otro caso, observemos la siguiente gráfica

Como f(x) está definida sólo cuando x ≥ 3, se puede hablar del límite cuando x tiende a 3 desde la derecha. Si x es ligeramente mayor que 3, entonces x - 3 es un número positivo cercano a 0 y, en consecuencia, próximo a 0.

Consideremos la función

Por lo tanto

Límites LateralesConsideremos ahora

Si x está cercana a 0, entonces x2 es positiva y está también próxima a 0 y, por consiguiente su recíproco, 1/x2 es muy grande. Veamos la gráfica

Obsérvese que cuando x tiende a 0, f(x) aumenta sin límite tanto por la izquierda como por la derecha. Consecuentemente no existe límite en 0. Se dice que cuando x O, f(x) se vuelve positivamente infinita y, en símbolos, se escribe:

Límites Laterales

Veamos la siguiente gráficaCuando x tiende a 0 por la derecha, f(x) = 1/x se vuelve positivamente infinito; cuando x tiende a 0 por la izquierda, f(x) = 1/x se vuelve negativamente infinito. En símbolos, se escribe:

Cualquiera de estas soluciones, implica que:

Límites Laterales

En la tabla anterior se puede observar que al aumentar x sin límite en los valores positivos, los valores de f(x) tienden a =. De la misma manera,al disminuir x sin límite en los valores negativos, los valores f(x) también tienden a O. Estas observaciones son también evidentes en la gráfica de la lámina anterior. Ahí, conforme se avanza hacia la derecha de la curva, sobre los valores positivos de x, los correspondientes valores de y tienden a 0. De manera similar, conforme se avanza a la izquierda de la curva, sobre los valores negativos de x, los correspondientes valores de y tienden a 0. En símbolos se escribe

Límite Laterales

Límite Laterales